初中数学竞赛专题讲座 有理数及其运算的技巧

第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同窗们在明白得有理数的有关概念、法那么的基础上，能依照法那么、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要擅长依照题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，进展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的利用在代数运算中，能够依照运算法那么和运算律，去掉或添上括号，以此来改变运算的顺序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成份数，把带分数变成假分数，如此便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．说明加括号的一样思想方式是“分组求和”，它是有理数巧算中的经常使用技术．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方式可使计算大大简化．2．用字母表示数咱们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，假设用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算进程变成(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是咱们取得了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①那个公式叫平方差公式，以后应用那个公式计算时，没必要重复公式的证明进程，可直接利用该公式计算．例5 计算 3001×2999的值．例6 计算 103×97×10 009的值．例7 计算：224690123461234512347-⨯ 例8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．例9 计算：22221111111123910⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭通过以上例题能够看到，用字母表示数给咱们的计算带来专门大的益处．下面再看一个例题，从中能够看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10 计算：3．观看算式找规律例11 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88． 例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．说明 一样地，一列数，若是从第二项开始，后项减前项的差都相等(此题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都能够用上例中的“倒写相加”的方式解决．例13 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．说明 若是一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，都可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：111111223344519981999+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 说明 本例利用拆项法的目的是使总和中显现一些能够相消的相反数的项，这种方式在有理数巧算中很经常使用．练习一1．计算以下各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；（5） 111111335577920122013+++++⨯⨯⨯⨯⨯ (6)1+4+7+ (244)（7）200032313131311+++++（8）561542133011209127311-+-+- 2．某小组20名同窗的数学考试成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．。

第二讲 有理数及其运算②——再探绝对值绝对值，不仅仅是有理数中的一个重要的概念，也是初中数学中一个异常活跃且举足轻重的元素。

它不但描述了有理数与数轴的密切联系，而且是有理数运算的基本工具，可以说深刻理解了绝对值概念，是学好初中数学的第一个关品。

一 知识点精讲1、定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，记作：| a |。

2、去绝对值符号的法则。

0000a a a a a a >⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪<⎝⎭- 00a a a a a ≥⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪≤⎝⎭- 3、性质：| a | ≥0，即数a 的绝对值具有非负性。

4、技能构建。

（1）数轴上，右边的数比左边的数大，如图a －b<0，b －a>0，a ＋b<0（2）多项式的相反数，用去括号法则理解为：括号前是负号，把括号和负号一起去掉，括号内每项都要变号,也可以直接理解为每项都变号。

如a －b 的相反数是：－（a －b ）=－a ＋b（3）|a －b|表示数a 到数b 的两点间的距离。

（4）若|a|=b ，且b ≥0，则有a ＝±b（5）|ab|＝|a|·|b|a ab b=（b ≠0） |a| 2 ＝|a 2 |＝a 2（6）充分利用“数轴”这个工具来进行“数形结合”的思考，这是一种很重要的数学方法，本专题也要用到“分类讨论思想”。

它必须遵循两条原则：①每一次分类要按照同一标准进行；②不重复，不遗漏。

二 典型例题讲解及思维拓展：例1：已知，|a|＝1，|b|＝2，则a ＋b 的值是_________。

例2：a 是任意有理数，则|－a|－a 的值是等于___________。

例3：如图，化简|a|－|a ＋b|＋|c －a|－|a －|a||例4：已知，x<y<0，设M=|x|，N=|y|，p= ，则M 、N 、p 的大小关系是___________。

例5：（湖北省选拔赛题）若|a|=5，|b|=3，且|a－b|=b －a ，那么|a+b|=___。

有理数及其运算技巧经验谈：有理数运算是中学数学中全部运算的基础，正确的理解有理数有关的看法，以及它的运算法例、公式，并且擅长依据所给题目要求，将推理与计算相联合，灵巧奇妙的选择简捷的算法，能够很好的提升思想的矫捷性。

将现实中的问题与学习中的知知趣联合，并合理的解决它，你会发现数学的好多乐趣。

内容综述：当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的看法。

整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都能够表示为一个既约分数。

并且，有理数能够比较大小，有理数的和、差、积、商（分母不为零）仍为有理数，随意两个有理数之间都有无量个有理数，有理数运算是中学数学中全部运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关看法、法例的基础上，能依据法例，公式等正确、快速地进行运算，同时还要擅长依据题目条件，将推理与计算相联合，灵巧奇妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提升运算能力，发展思想的矫捷性与灵巧性。

重点解说：§1、数轴与大小：两个有理数的大小由它们在数轴上对应点的地点关系来确立：对应点在右侧的数总比对应点在左侧的数大。

★★例 1 察看图 1 中的数轴用字母a,b,c挨次表示点A， B， C 对应的数，试确立这三个数的大小关系。

思路：由 B 点在 A 点右侧，知b-a>0 ，而 A， B 都在原点左侧，故ab>0 ，又 c>0 ，这说明要比较的大小，只要比较分母ab,b-a,c的大小。

解：因为 C 点在 1 的右侧，所以c>1 ，因为 A 点在 -1 与之间，B点在与0之间，所以AB 的距离大于而小于1，即由相同的原因有，。

所以又 ab>0, 故从而有0<ab<b-a<c。

所以★★例 2：设证明 1：a,b∵是两个有理数，且a<b,∴ b>a,∴ba<b, 求证：-a>0..而∴∴证明2∵∴即∴又∴即故说明：由本例可知，随意两个不相等的有理数a,b之间存在一个有理数，由此可推知，随意两个有理数之间存在无穷多个有理数。

初中数学竞赛应对技巧数学竞赛是检验学生数学综合素质的有效手段，对于提高学生的数学思维能力、解决问题能力具有重要的促进作用。

初中数学竞赛更是培养学生数学兴趣、挖掘数学潜能的重要途径。

为了帮助学生在初中数学竞赛中取得优异成绩，本文将从以下几个方面介绍应对初中数学竞赛的技巧。

一、了解竞赛特点，明确考查方向初中数学竞赛主要考查学生的数学基础知识、逻辑思维能力、空间想象能力和创新意识。

在竞赛中，学生需要熟练掌握以下几个方面的内容：1.初中数学基础知识，如代数、几何、概率等；2.数学逻辑思维，如归纳总结、推理证明等；3.空间想象能力，如立体几何、平面几何等；4.数学创新意识，如数学建模、数学探究等。

了解竞赛特点，有助于学生在备考过程中有的放矢，有针对性地进行复习。

二、培养良好的数学思维习惯1.细心阅读题目，理解题目要求，避免因粗心大意导致失分；2.分析题目，找出已知条件和求解目标，理清解题思路；3.运用合适的解题方法，注重数学公式、定理的灵活运用；4.检查答案，确保解题过程完整、逻辑清晰。

三、提高解题速度和准确性1.强化训练，提高解题熟练度；2.做好时间规划，合理分配解题时间，避免因时间不足导致题目无法完成；3.培养题目分析能力，快速找出解题关键点；4.注重基础，提高基本运算速度和准确性。

四、积极参加模拟竞赛，提高应试能力1.参加学校组织的模拟竞赛，熟悉竞赛环境和流程；2.分析模拟竞赛中的错误，总结经验教训，及时调整学习方法；3.参加各类数学竞赛培训班，提高专业指导；4.与同学交流学习心得，相互借鉴，共同进步。

五、注重创新能力培养1.参与数学课题研究，锻炼数学探究能力；2.多做创新性数学题，培养数学建模能力；3.参加数学竞赛研讨会，拓宽视野，激发创新思维；4.注重数学与实际生活的联系，培养解决实际问题的能力。

总之，要想在初中数学竞赛中取得好成绩，学生需要扎实的数学基础、良好的数学思维习惯、较高的解题速度和准确性以及创新能力的培养。

第1讲 有理数的计算技巧知识总结归纳一．常见方法： 1. 分拆与合并：比如将每一项拆成两项的差，然后相加，将大多数项相互抵消，是多个数求和的常用技巧。

2. 利用周期性：从简单的情况算起，先算几步发现规律，然后得到问题的解。

3. 换元法 4. 错位相减法 二．分数裂项： 1. 常见公式：a)11(11n m n m n m -⨯-=⨯ b)nm n m n m 11+=⨯+ c)⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+-+⨯⨯=+⨯+⨯)2()1(1)1(121)2()1(1n n n n n n n 2. 分数裂项常见解题步骤：a) 首先看这些分数的分母有什么规律。

b) 找每一个分数的分子和分母有什么联系。

c) 根据分子和分母的联系，把每一个分数变形。

d) 根据变形以后的分数，利用各种公式进行计算。

三．整数求和常见公式：1. 2)1(321+=++++n n n 2. 6)12)(1(3212222++=++++n n n n3. 4)1()21(3212223333+=+++=++++n n n n典型例题例题1. 计算：199819981999199919991998⨯-⨯例题2. 计算：636636636363363636363363⨯例题3. 计算：156156156156156156143143143143143143++++例题4. 计算：123246100200300234468200300400⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯．例题5. 已知：1006915681467136612651170156914681367126611⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，问a 的整数部分是多少？例题6. 计算：501271261()5014914131211(+++÷-++-+-例题7. 计算：200613121()20071211(20061211()200713121(+++⨯+++-+++⨯+++例题8. 计算：93221212121++++例题9. 计算：)1(32≠++++q aq aq aq aq a n例题10. 比较n n nS 2164834221+++++=与2的大小.例题11. 计算：1009799981079874654132⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯例题12.计算：2222222221411812012141181201++++++++----．例题13. 计算：1111123234345484950++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．例题14. 计算：35737123234345181920++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯．例题15. 计算： 20642186421642142121 ++++++++++++++例题16. 计算： 1032114321132112111 ++++++++++++++例题17. 计算：10910943433232212122222222⨯+++⨯++⨯++⨯+例题18. 计算：)1021()921(10)4321()321(4)321()21(3)21(121+++⨯+++++++⨯+++++⨯+++⨯+例题19. 计算：123992!3!4!100!++++（最后结果可以用阶乘表示）．例题20. 计算：!20072007!22!11⨯++⨯+⨯ （最后结果可以用阶乘表示）．例题21. 已知18A =，22221111891064B =++++，请比较A 和B 的大小．例题22. 证明：6)12)(1(3212222++=++++n n n n例题23. 计算：222220131211++++例题24. 计算：222220642++++例题25. 计算：222219531++++例题26. 证明：3)2)(1()1(433221++=+⨯++⨯+⨯+⨯n n n n n例题27. 计算：4039654321⨯++⨯+⨯+⨯例题28. 证明：4)1()21(3212223333+=+++=++++n n n n课后作业1. 计算：20132013201220122013201220122013⨯-⨯2. 计算：199519951995199519951995200920092009200920092009++++．3. 计算：111111123451920_______.1111212221030-+-+++-=++++++4. 计算：100322992221+++5. 计算：109118657454634352⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯6. 计算：456111232343458910++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯． 7. 计算： 111111111335192124_____11111111111123234345192021++++++++=1⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯。

第一讲：巧算有理数一、巧用运算律进行有理数运算时注意符号的处理，再看是否可以用运算律简化运算。

例1 计算：(1)719998-×16；(2)11311()()63641248--+-÷-解析(1)原式＝1 (2000)8--×16＝－(3200－2) ＝－31998(2)原式＝－1131()48636412--+-⨯＝－(－8－43＋36－4)＝－2223.点评:(1)像719998、2003等数字在参与运算时，往往将其写成120008-、2000＋3的形式；(2)利用乘法对加法的分配律时，应注意符号的处理技巧，尽量以免错误。

二、有理数大小的比较有理数大小比较的一般规律：正数>零>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；两个正数比较大小，倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时，往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运用一些熟知的规律进行比较.例 2 把199191199292,,,199292199393----四个分数按从小到大的顺序排列是.解析：1992192119931931 1,1,1,1, 199119919191199219929292 =+=+=+=+ 1111199319929392,, 199219919291199219919291 199219919291199219919291,. 199319929392199319929392 <<<∴<<<∴>>>∴-<-<-<-而点评:比较分数的大小通常可以将分子化成相同或分母化成相同，再进行比较，除了通分外，倒数法也是经常用到的方法.实际上，此类习题具有一般规律；11n nn n-<+(n是正整数)，如12342345<<<<⋅⋅⋅三、有理数巧算的几种特殊方法有理数运算时，经常会出现一些较大或较多的数求和的问题，仔细观察它们的特点，探求其中的规律，往往可以为解题开辟新的途径.1.倒序相加法例3计算：(1)1＋2＋3＋…＋2003＋2004；(2)1－2＋3－4＋…＋2003－2004.解析(1)设S＝1＋2＋3＋…＋2003＋2004 ①则S＝2004＋2003＋…＋3＋2＋1 ②①＋②，得2S ＝(1＋2004)＋(2＋2003)＋…＋(2004＋1)＝2005＋2005＋…＋2005 (共2004个2005)＝2005×2004，∴S ＝200520042⨯＝2009010， 即原式＝2009010.(2)原式＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(2003一2004)＝－1－1－…－1(共1002个－1)＝－1002.点评:(1)式的特点是：后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用a 1表示；最后一项叫末项，通常用a n 表示；相等的差叫公差，通常用d 表示。

七年级数学思维探究：有理数的运算(有答案)(数学竞赛)杨辉,中国南宋时期杰出的数学家,大约于13世纪中叶至末叶生活在钱塘（今杭州）一带．他一生著作很多,著名的数学书共5种21卷．大家熟悉的“杨辉三角”数表就在他1261年所著的《详解九章算术》一书里记载着,他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的“纵横图”及有关的构造方法． 3．有理数的运算有理数及其运算是整个数与代数的基础,有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上．深刻理解有理数相关概念,掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础．有理数的运算不同于算术数的运算：这是因为有理数的运算每一步要确定符号,有理数的运算很多是字母运算,也就是常说的符号演算．运算能力是运算技能与推理能力的结合．这就要求我们既能正确地算出结果,又善于观察问题的结构特点,选择合理的运算路径,提高运算的速度．有理数运算常用的技巧与方法有： 利用运算律；以符代数；恰当分组；裂项相消；分解相约；错位相减等． 问题解决例1 （1）已知()()21,2,3,1n aa n n ==+,记()1121b a =-,()()212211b a a =--,…,()()()122111n n b a a a =---,则通过计算推测n b 的表达式n b =________．（用含n 的代数式表示）（2）若a 、b 是互为相反数,c 、d 是互为倒数,x 的绝对值等于2,则42x cdx a b +--的值是____． 试一试对于（2）,运用相关概念的特征解题．例2 已知整数a 、b 、c 、d 满足25abcd =,且a b c d >>>,那么a b c d +++等于（）． A ．0 B ．10 C ．2 D ．12试一试解题的关键是把25表示成4个不同整数的积的形式． 例3计算（1）1121231259233444606060⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （2）111112123123100+++++++++++；（3）77371217381727111385271739172739⎛⎫⎛⎫+-÷+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 试一试对于（1）,设原式S =,将各括号反序相加；对于（2）,若计算每个分母值,则易掩盖问题的实质,不妨先从考察一般情形入手；对于（3）,视除数为一整体,从寻找被除数与除数的关系入手,例4在数学活动中,小明为了求2341111122222n+++++的值（结果用n 表示）,设计了如图所示的几何图形．图①图②（1）请你用这个几何图形求2341111122222n +++++的值； （2）请你用图②,再设计一个能求2341111122222n+++++的值的几何图形． 试一试求原式的值有不同的解题方法,而剖分图形面积是构造图形的关键． 例5在1,2,…,2002前面任意添上正号和负号,求其非负和的最小值．分析与解首先确定非负代数和的最小值的下限,然后通过构造法证明这个下限可以达到即可．整数的和差仍是整数,而最小的非负整数是0．代数和的最小值能是0吗？能是1吗？由于任意添“+”号或“-”号,形式多样,因此,不可能一一尝试再作解答,从奇数、偶数的性质入手． 因a b +与a b -的奇偶性相同,故所求代数和的奇偶性与()20021200212320012002100120032⨯++++++==⨯的奇偶性相同,即为奇数．因此,所求非负代数和不会小于1．又()()()()()123456789101112131419992000200120021-++--++--++--+++--+=∵,∴所求非负代数和的最小值为1．类比类比是一种推理方法,根据两种事物在某些特征上的相似,作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通,即用类比的方法提出问题及寻求解决问题的途径和方法． 例6观察下面的计算过程111111111111141122334451223344555⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 问：（1）从上面的解题方法中,你发现了什么？用字母表示这一规律．（2）“学问”,既要学会解答,又要学会发问．爱因斯坦曾说：。

冲刺金牌奥林匹克竞赛辅导第二讲有理数在代数、几何或有关的综合题目中，有理数的蕴含量是最丰富的因此，掌握好有理数的知识是学好数学的基础，有理数的知识点包括：1、有理数的定义和性质除课本上的定义外，为了解决问题方便，还可这样定义：能够表示成分数pm的形式的数（其中m,p为整数，m≠0），称为有理数。

有理数的性质包括：顺序性，四则运算的封闭性，稠密性。

2、有理数的绝对值绝对值是个重要的概念，它的代数定义是：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值还是零。

它的几何意义是：|a|表示a这个点离开原点的距离。

3、有理数的大小比较。

4、有理数的运算。

运算能力是最基本的数学能力之一，数学竞赛中的计算题，一般都是计算与推理两者兼有的技巧题，另外，通过多角度的观察，大胆探索发现规律，然后确定最佳解题方案，在赛题中常考的数学思想有：“凑整”“凑零”法，分组合并法，公式、法则的逆用等，以上情况，请同学们在解题时多加留意，以免多走弯路。

要想很好地掌握有理数，较好的计算能力是关键，根据公式、法则及题目条件寻求合理的、简便的运算途径是首选，如何能更好地达到这一目的呢？“秘诀一”------掌握有理数的有关概念1、若a，b互为相反数<=>a+b=0;a,b互为倒数<=>ab=1。

2、近似数和有效数字。

3、科学记数法。

“秘诀二”-------有理数的绝对值1、绝对值定义（1）|a|=(0) 0(0)(0)a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩（2）|x-a|表示在数轴上点x离开点a的距离。

2、绝对值的性质（1）|a|≥a，|a|≥-a；（2）若|a|=|b|，则a，b相等或互为相反数，反之亦成立；（3）222||||a a a==；（4）|| ||||||;||||a a ab a bb b=∙=3、绝对值的的化简求值“秘诀三”------有理数的运算通性1、添去括号法则；2、分数的基本性质；3、加法、乘法的交换律和结合律；乘法对加法的分配律；指数运算律；4、“0”和“1”的特性。

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全-第02章-有理数及其运算1.整数和分数的大小比较：-方法一：通分。

将整数转换为分数，然后通分进行比较。

-方法二：化为相同的分数形式。

将分数化为相同的分母，然后比较分子的大小。

-方法三：换算成小数进行比较。

将分数转换为小数形式，然后比较大小。

2.有理数的加法和减法运算：-方法一：同分母相加（减）。

-方法二：通分后相加（减）。

3.有理数的乘法运算：-方法一：分子乘分子，分母乘分母。

-方法二：化为最简形式。

-方法三：化为小数进行计算。

4.有理数的除法运算：-方法一：分子乘除分子，分母乘除分母。

-方法二：化为最简形式。

-方法三：化为小数进行计算。

5.有理数的混合运算：-方法一：先按运算顺序完成个别运算，然后进行总体运算。

-方法二：化为分数形式进行运算。

6.有理数的平方运算：-方法一：整数的平方是整数，分数的平方是分数。

-方法二：先化为最简形式，再进行平方运算。

7.有理数的相反数和绝对值：-方法一：相反数是原数的负数。

-方法二：绝对值是原数的去掉符号的值。

8.有理数的乘方运算：-方法一：整数次幂，底数不变，指数相乘。

-方法二：0的正整数次幂为0。

-方法三：0的非正整数次幂无意义。

-方法四：1的任何整数次幂都为1-方法五：负数的奇数次幂为负数，偶数次幂为正数。

-方法六：分数的乘方运算，将底数与指数分别进行乘方运算。

9.有理数的开方运算：-方法一：将开方式化为最简形式。

-方法二：将开方数化为分数形式。

-方法三：化为小数进行计算。

10.展示解题过程和解题思路。

解答有理数的运算问题时，尽量展示解题过程和解题思路，不仅仅写出答案，可以加深对有理数运算规则的理解，并且能体现出解题的逻辑性和连贯性。

11.理解运算规则。

熟练掌握有理数的运算规则，不仅能快速解答题目，还能够在解题过程中发现和运用运算规则，更好地理解数学概念和思维方法。

有理数竞赛题解法技巧例说本文结合近几年数学竞赛谈谈有理数竞赛题的常见解答技巧，供同学们分析时参考．一、拆项组合（“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）（“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）二、字母巧代数例3 计算1996×19941993-1994×19961996．（广西河池地区初中数学竞赛试题）解：设1996=a，则1994=a-2，1993=a-3．原式=a[(a-2)×10000+(a-3)]-(a-2)(a×10000+a)=a(a-2)×10000+a(a-3)-a(a-2)×10000-a(a-2)=a2-3a-a2+2a=-a=-1996．三、整体巧代换（“希望杯”全国数学邀请赛初一试题）四、反序巧相加（上海市初中数学竞赛试题）解：设原式=S，则括号内各项反序排列有此式与原式相加，得∴S=885．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．以下错误的是( )A ．0.5±B ．0.5C ．0.5是0.25的平方根D ．0的平方根是0【答案】B【解析】根据实数的平方根和算术平方根的意义和性质逐一进行判断即可.【详解】A. ，故本选项正确；B. ±0.5，故本选项错误；C. 0.5是0.25的平方根，故本选项正确；D. 0的平方根是0，故本选项正确.故选B.【点睛】本题考查了平方根和算术平方根，注意正数的算术平方根的结果是一对相反数.2．若a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．0a b -<B ．0ab >C ．a b ->-D ．11a b +>-【答案】D【解析】根据不等式的基本性质解答即可．【详解】解：∵a ＞b ，∴a-b ＞0，故A 错误；由于不能确定a 与b 是否同号，所以ab 的符号不能确定，故B 错误；-a ＜-b ，故C 错误；a+1＞b+1，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练运用不等式的性质是解题的关键．3．下列方程中是二元一次方程的是（ ）A ．2 x 2 - 4 = 0B ．xy = 3C ．2x +y 2= 1D ．x +1y = 3【答案】C【解析】分析: 根据二元一次方程的定义求解即可.详解: A 、是一元二次方程，故A 不符合题意；B 、是二元二次方程，故B 不符合题意；C 、是二元一次方程，，故C 符合题意；D 、是分式方程，故D 不符合题意；故选：C.点睛: 本题考查了二元一次方程，二元一次方程必须符合以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程.4．已知a>b ，下列各式中正确的是（ ）A ．a-2 < b-2B ．ac > bcC ．-2a < -2bD ．a-b < 0 【答案】C【解析】根据不等式的性质，解答即可；【详解】解：∵a>b∴a-2 >b-2，A.错误；当c ＞0，ac > bc 才成立，B 错误.；-2a < -2b ，C 正确；a-b >0, D 错误；故答案为C;【点睛】本题考查了不等式的性质，即：基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变5．计算（a ﹣b ）2的结果是（ ）A ．a 2﹣b 2B ．a 2﹣2ab+b 2C ．a 2+2ab ﹣b 2D ．a 2+2ab+b 2 【答案】B【解析】分析：根据完全平方公式进行计算即可.详解：原式222.a ab b =-+故选B.点睛：考查完全平方公式，熟记公式是解题的关键.6．不等式3（x+1）＞2x+1的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【详解】解：去括号得，3x+3＞2x+1，移项得，3x ﹣2x ＞1﹣3，合并同类项得，x ＞﹣2，在数轴上表示为：．故选：A ．【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．7．点A 在直线m 外，点B 在直线m 上，A B 、两点的距离记作a ，点A 到直线m 的距离记作b ，则a 与b 的大小关系是 ( )A ．a b >B ．a b ≤C ．a b ≥D ．a b <【答案】C【解析】分两种情况：①a 和b 构成一个直角三角形，且a 是斜边，b 是直角边，所以a ＞b ；②若B 是垂足时，a=b ．【详解】如图，a 是斜边，b 是直角边，∴a ＞b ，若点A 、点B 所在直线垂直直线m ，则a=b ，故选C ．【点睛】本题考查了点到直线的距离，明确点到直线的距离是这点到直线的垂线段的长度，属于基础题． 8．下列四个命题中：①在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交②有且只有一条直线垂直于已知直线③两条直线被第三条直线所截，同位角相等④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2 个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】分析：利用平行公理及其推论和垂线的定义、点到直线的距离的定义分别分析求出即可． 详解：①在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，正确；②在同一个平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线，此选项错误；③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，错误；④从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，错误；真命题有1个.故选A.点睛：本题考查了命题与定理.其中真命题是由题设得出结论，如果不能由题设得出结论则称为假命题.题干中②、③、④，均不能由题设得出结论故不为真命题.9．已知()()()210333a b c --=-=-=-，，，那么a ，b ，c 之间的大小关系是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >> 【答案】D【解析】分析：利用0指数幂和负整数指数幂的运算性质分别求出a 、b 、c 的值，再比较即可. 详解：()2a 3-=-=()213-=19， ()1b 3-=-=13-=-13， ()0c 3=-=1，故c a b >>故选D.点睛：此题考查了0次幂和负整数指数幂的运算及数的大小比较，熟练在掌握运算性质是解此题的关键. 10．9的平方根是（ ）A ．3B ．±3C ．D ．【答案】B【解析】根据平方根的定义直接求解即可．【详解】解：∵（±1）2=9，∴9的平方根为±1．故选：B ．【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．二、填空题题11．对部分学生最喜爱的电视节目情况调查后，绘制成如图所示的扇形统计图，其中最喜爱体育的有50人，则最喜爱教育类节目的人数有________人．【答案】1【解析】先求出被调查的总人数，再乘以对应百分比可得答案．【详解】由题意知，被调查的总人数为50÷25%＝200（人），所以最喜爱教育类节目的人数有200×40%＝1（人），故答案为：1．【点睛】本题考查的是扇形统计图，根据扇形统计图求出被调查的总人数是解答此题的关键．12．若关于x 的不等式组0721x m x -<⎧⎨-≤-⎩只有4个正整数解，则m 的取值范围为__________. 【答案】78m <≤【解析】首先解两个不等式，根据不等式有4个正整数解即可得到一个关于m 的不等式组，从而求得m 的范围．【详解】0721x m x -<⎧⎨-≤-⎩①② 解不等式①得：x<m解不等式②得：x≥4∵原不等式组只有4个正整数解，故4个正整数解为;4、5、6、7∴78m <≤故答案为：78m <≤【点睛】本题主要考查了不等式组的正整数解，正确求解不等式组，并得到关于m 的不等式组是解题的关键. 13．如果，那么的值等于______. 【答案】 【解析】根据非负数的性质列出关于x 、y 的二元一次方程组求解得到x 、y 的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】根据题意得，，由②得，y=3x ③，把③代入①得，x+3x−4=0，解得x=1，把x=1代入③得，y=3， 所以方程组的解是，所以2x−y=2×1−3=−1.【点睛】本题考查解二元一次方程组和非负数的性质，解题的关键是掌握解二元一次方程组和非负数的性质. 14．已知点(),P x y 在y 轴右侧，且点P 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为2，则点P 的坐标为__________.【答案】()2,3或()2,3-【解析】根据点到坐标轴的距离公式(点(),P x y 到x 轴的距离为y ，到y 轴的距离为x )计算出,x y 的值，再由题意取合适的坐标即可.【详解】解： 点P 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为23,2y x ∴==解得3,2y x =±=±点(),P x y 在y 轴右侧0x ∴>2x ∴=所以点P 的坐标为()2,3或()2,3-故答案为：()2,3或()2,3-【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离公式是解题的关键.15．如图,AB ∥CD,直线EF 分别交AB 、CD 于点E. F,HF 平分∠EFD,若∠1=110°,则∠2的度数为_____【答案】35°【解析】根据对顶角相等求出∠3，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠DFE ，然后根据角平分线的定义求出∠DFH ，再根据两直线平行，内错角相等解答．【详解】∵∠1=110°，∴∠3=∠1=110°，∵AB ∥CD ，∴∠DFE=180°−∠3=180°−110°=70°∵HF 平分∠EFD ，∴∠DFH=12∠DFE=12×70°=35° ∵AB ∥CD ，∴∠2=∠DFH=35°. 故答案为35°【点睛】此题考查平行线的性质，解题关键在于求出∠DFE16．甲、乙两人轮流做下面的游戏：掷一枚均匀的骰子(每个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字)，如果朝上的数字大于3，则甲获胜，如果朝上的数字小于3，则乙获胜，你认为获胜的可能性比较大的是_____．【答案】甲【解析】∵1,2,3,4,5,6这六个数字中大于3的数字有3个:4,5,6,∴P（甲获胜）=31 62 =,∵1,2,3,4,5,6这六个数字中小于3的数字有2个:1,2,∴P（乙获胜）=21 63 =,∵1123>,∴获胜的可能性比较大的是甲,故答案为:甲.17．若三角形的三个内角的比为2：3：4，则这个三角形最大内角为______________【答案】80°【解析】可设这三个角分别是2x，3x，4x，然后使用三角形内角和列出方程，求出x；4x的值即为答案。