初中数学竞赛讲座之数论初步(一)

初中数学竞赛中的数论问题近年来，初中数学竞赛的参赛人数增加，涌现出一批数学爱好者，数论问题成为竞赛中的重要内容。

本文介绍了初中数学竞赛中的数论问题，旨在提高初中学生数学竞赛的水平，提高他们解决数论问题的能力。

首先，数论问题是指分析、研究自然数、整数和实数之间的关系、规律以及与它们有关的运算方式及其性质。

它是数学中一个基本领域，也是数学竞赛中的一个重要内容。

数论问题涉及大整数分解、素数分解、欧拉函数等多种内容，涉及许多理论和方法，使得学习起来更具有挑战性和吸引力。

其次，解决数论问题需要学生掌握一定的数学知识，加强对数论理论的掌握，培养相应的解题思路，有利于培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力和自主学习能力。

针对初中生，可以通过实例讲解、习题训练等方式，结合学生的实际能力，引导学生学习，依次深入，循序渐进，从而提高学生解决数论问题的能力。

此外，在初中数学竞赛中，数论问题的教学也很重要，主要包括以下几个方面：（1）系统知识、方法和思维：学生必须掌握一些有关数论方面的知识，如欧拉函数、因子分解、素数因子分解等，以及有关的一些算法和思维；（2）解题思路：学生要逐步掌握把握数论问题的总体解题思路，明确问题的解法，刻画出问题的有效解法，从经典例题中总结出解题思路；（3）实践：学生要通过不断练习，培养准确实用的解题技巧，不断熟悉各种数论问题的特点，以及有效的应用两者的解决方案；（4）提高解题水平：学生要参加练习和竞赛，不断提高解决数论问题的能力，熟悉解题思路和技巧，增强解题的自信心和适应能力，实现竞赛的胜利。

最后，数论问题在初中数学竞赛中也扮演着至关重要的角色，是竞赛中必不可少的一部分，学习数论除了提高数学水平以外，也可以提高学生分析问题、解决问题的能力。

因此，在数学竞赛中，数论问题的教学应当重视，为初中学生提供更多的学习资源，为他们的数学知识学习、解决数论问题提供更多的支持。

《数学竞赛辅导》——初等数论部分数论是竞赛数学中最重要的一部分，特别是在1991年，IMO 在中国举行，国际上戏称那一年为数论年，因为6道IMO 试题中有5道与数论有关。

数论的魅力在于它可以适合小孩到老头，只要有算术基础的人均可以研究数论――在前几年还盛传广东的一位农民数学爱好者证明了哥德巴赫猜想，当然，这一谣言最终被澄清了。

可是这也说明了最难的数论问题，适合于任何人去研究。

初等数论最基础的理论在于整除，由它可以演化出许多数论定理。

做数论题，其实只要整除理论即可，然而要很快地解决数论问题，则要我们多见识，以及学习大量的解题技巧。

这里我们介绍一下数论中必需的一个内容：对于N r q N b a ∈∃∈∀,,,，满足r bq a +=，其中b r <≤0。

除了在题目上选择我们努力做到精挑细选，在内容的安排上我们也尽量做到讲解详尽，明白。

相信通过对本书学习，您可以对数论有一个大致的了解。

希望我们共同学习，相互交流，在学习交流中，共同提高。

编者：刘道生2007-8-21于江西赣州第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。

进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。

在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。

基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。

由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。

b a 数学竞赛筑阶系列讲座——初等数论之一讲解人：凌 彬姓名__________专题一：整数的基本知识一、十进制整数和整除概念十进制中的n 位数表示为：12121121101010n n n n n n a a a a a a a a ----=⨯+⨯++⨯+ ， 其中i a 是0到9中整数且0n a ≠．设a 、b 是两个整数，0b ≠，假如有一个整数c ，使得a bc =，则称b 能整除a ，记作|b a ．如果没有这样的c ，则称b 不能整除a ，记作 ．例1．一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，则7，11，13是此六位数的约数．例2．证明：201001能被11整除．二、数的整除的特征1．一个整数被2整除（即是偶数），则它的个位是偶数；反之亦然． 2．一个整数被5整除，则它的个位数是0或5；反之亦然．3．设整数1n N a a = 被3（或9）整除，则N 的各位数码之和1n a a ++ 被3（或9）整除，反之亦然．4．设整数1n N a a = 被11整除，则N 的各位数码的正负交错和：111(1)n n n a a a ---++-被11整除；反之亦然．例3．用数码1，2，3，4，5，6各十个，随意排成一个六十位数n ，求证：n 一定是3的倍数．例4．由数码0，1，2，3，4，5能否组成各位数码不同而又能被11整除的六位数？例5．已知1345n xy z =能被792整除，试确定x 、y 、z 的值．三、整除的两个基本性质和一个基本公式基本性质1 如果|c ab ，(, )1a c =，那么|c b ．基本性质2 设|b a ，|c a ，如果(, )1b c =，那么|bc a ． 基本公式 对任意正整数n 以及整数a 、b ，总有|n n a b a b --．例6．已知有n 使1987|111n，求证：对此n 也有 1987|111999888777nnnn．例7．证明：对任意一个整数a ，都有36|a a -．例8．已知|10n a b -，|10n c d -，求证：|n ad bc -．四、平方数的性质（也叫完全平方数）1．性质1 平方数的个位数只能取0、1、4、5、6、9这六种情形． 2．性质2 偶数的平方必是4的倍数即偶数的平方必是8n 或84n +型． 3．性质3 奇数的平方必是8的倍数加1即81n +型．4．性质4 平方数与平方数的乘积必为平方数，平方数与非平方数的乘积必为非平方数． 5．性质5 平方数的形式必为下列两种之一：3k ，31k +． 6．性质6 平方数的数字之和只能是0，1，4，7，9．（注：256的各位数字相加25613++=，13叫做256的各位数字之和，再把13的各位数字相加134+=，4也叫做256的各位数字之和）例9．证明： 111n，222n ， ，999n(1)n >都不是平方数．例10．证明：225671987m mn n -+=无整数解．例11．证明：方程2222n a b c abc ++=(*)n N ∈只有0a b c ===这一组整数解．例12．证明：49，4489，444889， ，14448889nn -都是平方数．例13．证明： 1111100051nn -⨯+是平方数．五、巩固练习1．设n 为正整数，证明：421n -能被15整除．2．已知存在正整数n ，使 111n被1987整除，证明：数 111999888777nn n np =和数 1111111999888777n n n n q ++++=都能被1987整除．3．已知八位数141283x y 是9及11的倍数，求这个八位数的万位数码x 及十位数码y ．4．设n 为非负整数，求证：2211112n n +++是133的倍数．5．证明：有一个且只有一个n ，使811222n ++是平方数．6．设正整数n 不是4的倍数，证明：10|1234n n n n +++．。

初一数学竞赛讲座第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

小学数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r （0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a 的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有：1．十进制表示形式：n=a n10n+a n-110n-1+…+a0；2．带余形式：a=bq+r；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t，其中t为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。

第1章整除在日常生活中，我们会过到许多有趣而又耐人寻味的问题：某同学到文具店买了七个一角二分钱的本子、五个六分钱的铅笔和三个活页夹子。

售货员收了他三元钱，并找还三角七分钱。

这个同学马上对售货员说：“您的账算错了！”你能知道他为什么这样快就知道“算错了账”吗？排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时，队形都能成为矩形，问最少需要多少人参加团体操的排练？§1.1 十进制整数在小学数学中，我们主要学习的是整数的运算，思考整数是怎样表示的？“逢十进一”是什么意思？我们通常接触到整数都是十进制的整数。

十进制计数法就是采取逢十进一的法则进行计数的方法。

例如，1995就是由1个一千，9个一百，9个十和1个五组成，因此1995这个数就可以写成.那么对于任意一个n+1位的正整数怎样用这种形式表示？为了表示方便，我们经常把用字母表示数字的多位数，在这个多位数上面加一个横线，以避免和乘法混淆，例如，就表示一个五位数。

§1.2 数的整除设有两个整数a，b（b≠0），若有另一整数q，使得，则称a被b 整除；或b能整除a；若a被b整除，也成a是b的倍数；b是a的约数，并记作b|a.若a不能被b整除，则记作.我们曾经学过下述有关整除的判别法则：1、被2或5整除的数的特征是末位数字能被2或5整除；2、被4或25整除的数的特征是末两位数字能被4或25整除；3、被8或125整除的数字的特征是末三位数字能被8或125整除；4、被3或9整除的数的特征是个位数字的和能被3或9整除；5、被11整除的数的特征是其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除；解题过程中我们常用的性质：1、若，，则；2、若，，则；3、若，则是正整数；4、若a、b互质，且，则；5、若a、b互质，且，，则；6、n个连续整数中，必有一个能被n整除；§1.3~1.4 奇数和偶数把全体整数分成奇数类和偶数类是一种最常用的分类方法；奇数就是通常所述的单数，偶数就是通常所说的双数；一般的，一个整数如果能被2整除就叫做偶数，如果不能被2整除（即被2除余1）就叫做奇数；偶数可以记作2n，奇数可以记作2n-1或2n+1（n为整数）；奇数和偶数有一些十分简单又明显的性质：1、奇数不等于偶数；2、奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，奇数偶数奇数；3、奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意多个偶数的和都是偶数；4、奇数奇数奇数，偶数整数偶数，偶数偶数的倍数；5、两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性；6、奇数的平方为4k+1型的数，偶数的平方为4k型的数（k为整数）；7、任意两个整数的平方和被4除一定不余3；8、任意两个整数的平方差被4除一定不余2；§1.5 质数与合数对于正整数可以依照它们的正约数的个数分为三类：一类是只有一个正约数的数，它就是1；一类是只有两个正约数的数，这两个正约数只能是1和它本身，例如5,7,11，这样的数叫做质数（也叫做素数）；第三类是有两个以上的正约数的数，例如6就有4个正约数：1,2,3,6，这样的数叫做合数。

第一讲正整数的表示及进位制一、基础知识：1．我们通常接触的整数都是“十进制”整数，十进制计数法就是用0，1，2…9十个数码，采用“逢十进一”的法则进行计数的方法。

例如1999就是一个一千，9个一百，9个十，9个1组成的，故1999这个数也可以表示为：1999=1×1000+9×100+9×10+9底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数：100=1(个位上的数—第1位)， 101=10(十位上的数---第2位)，102=100(百位上的数---第3位)，…10n(第n+1位上的数)故1999=1×103+9×102+9×101+9×1003na记作：3na=10n-1+…+102a n-2+10其中最高位a1≠0，即，其它则是0≤a1，a．各位上的数字相同的正整数记法：999=1000－1104－1，∴999n个＝10n-1111n个＝1019n-，333n个＝103n555n个＝5(101)9n-解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据示0到9的整数这一性质进行讨论。

．二进制及其它进制二进制即计数法就是用0，1两个数码，采用“逢二进一”的法则进行计数的方法。

例如二进制中的111记为(111)2111=1×22+1×2+1=73na )2记作：3na=2n-1××a3+…+22×a其中最高位a1≠0，，其它则是0≤a1，a2，位数(n为正整数3na )b记作：3na=b n-1××a3+…+b2×a其中最高位a1≠0，，其它则是0≤a1，（一）十进制转二进制（整数部分）辗转相除直到结果为，将余数和最后的60/2 = 30 余 0 30/2 = 15 余 0 15/2 = 7 余 1 7/2 = 3 余 1 3/2 = 1 余 1所以十进制数60转为二进制数即为 (11100)2 （二）十进制小数转换为二进制小数 方法：乘2取整，顺次排列。

初中数学竞赛中的数论初步
数论是数学中一个重要的分支，它涉及许多问题，如素数分解、同余关系、算术平衡、因子分解等。

作为一个抽象的学科，它在数学竞赛中至关重要，使得学生们能够积累丰富的知识，并运用它们来解决复杂的问题。

在初中阶段，数论一般介绍一些简单的基础知识，主要包括基本的整数计算，比如整除、分解质因数、最大公约数等，以及一些诸如费马小定理、欧拉函数、素数表示等复杂的概念。

同时，初中还引入了许多实际应用的概念，如计算机图形、排列组合、几何图形等。

这些概念对学生来说都是新鲜的，可以作为重要的知识积累。

在数学竞赛中，数论的应用特别重要。

一些复杂的题目的答案依赖于数论的技巧，而实现这些技巧需要许多基础知识的积累。

因此，在竞赛中，学生需要掌握许多数论的基础知识，以便在比赛中设计出有效的解决方案。

此外，学生还需要结合几何、排列组合、代数等其他方面的概念，来解决更加复杂的题目。

初中数学竞赛除了要求学生掌握数论的基本知识，还要求其学会实际操作，因此在比赛过程中，学生需要以更高的效率来完成题目的求解。

这就要求学生更好地掌握数论的技巧，比如要掌握欧拉函数和欧拉等式在数学比赛中的应用，也要掌握因式分解、费马小定理等概念，以及分解质因数、素数表示等概念。

此外，有效的解题技巧也是数学比赛的关键，学生需要更多的练习以提高自己的水平，尤其是针对相同题型题目的复习和训练，还可
以总结和掌握新解题技巧，便于在以后的数学比赛中更胜一筹。

总之，数论是初中数学竞赛中的重要一环，它不仅要求学生掌握数论的基础知识，还要求他们有效求解题目，掌握解题技巧，这种能力对学生以后参加数学比赛乃至学习数学都有重要意义。

初中数学竞赛辅导讲义1初中数学竞赛是培养学生数学能力的一种重要途径，也是考验学生数学素质和思维能力的有效方法。

竞赛的题目一般会有一定的难度，需要学生具备较高的数学知识和思维能力。

为此，我们推出这份初中数学竞赛辅导讲义1，旨在为广大学生提供一些在数学竞赛中常用的数学方法和技巧。

一、数的分解1.1 质因数分解对于一个正整数，我们可以将其分解为若干个质数的乘积的形式，这种分解方式称为质因数分解。

质数是指只能被1和它本身整除的正整数，常见的质数有2、3、5、7等。

在竞赛中，质因数分解是一个非常常见的题型。

例如，对于数字28，它可以表示为2×2×7的形式，因此28的质因数分解式是28=2×2×7。

1.2 分解因式在数学竞赛中，分解因式也是一种很常见的题型。

分解因式即将一个多项式拆分成多个因数的乘积，许多数学问题可以用分解因式的方式解决。

例如，求解一个一次方程或二次方程就需要先进行分解因式。

例如，对于多项式x2+3x+2，我们可以将其拆分成(x+2)×(x+1)的形式，因此x2+3x+2的因式分解式是(x+2)×(x+1)。

二、方程的解法2.1 一元一次方程的求解在数学竞赛中，一元一次方程的求解是一个很基础的知识点。

一元一次方程是指只有一个未知数且未知数的最高次幂为1的方程。

例如，解方程2x+3=7，我们可以将其转化为2x=4，再将其化简为x=2，因此方程的解为x=2。

2.2 二元一次方程的求解在数学竞赛中，二元一次方程也是一种常见的题型。

二元一次方程指的是含有两个未知数且未知数的最高次幂为1的方程。

例如，解方程2x+3y=7，x-y=1，我们可以利用消元法或其他方法来求解未知数的值。

三、几何基础知识3.1 圆的相关知识在数学竞赛中，圆的相关知识也是一个非常重要的内容。

圆是平面上一组点构成的集合，其中任意两点之间的距离相等，这个距离被称为圆的直径。

这份资料的来源，是中学奥数里面的数论模块，主要讲一些基本的知识和分析方法，没有具体的算法和程序，但是，对于学习ACM 的数论模块依然是很有帮助的整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。

1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。

定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。

由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。

若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。

更一般，若n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++ 。

或着i b a |，则∑=n i i i bc a 1|其中n i Z c i ,,2,1, =∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=；(4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是质数，若n a p |，则a p |；(6)(带余除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r 称为a 被b 除得的余数。

初一数学竞赛讲座(一)自然数的有关性质一、知识要点1、 最大公约数定义1 如果a 1,a 2,…,a n 和d 都是正整数，且d ∣a 1,d ∣a 2,…, d ∣a n ，那么d 叫做a 1,a 2,…,a n 的公约数。

公约数中最大的叫做a 1,a 2,…,a n 的最大公约数，记作(a 1,a 2,…,a n ).如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公约数，但4是这些公约数中最大的，所以4是它们的最大公约数，记作(4,8,12)=4.2、最小公倍数定义2 如果a 1,a 2,…,a n 和m 都是正整数，且a 1∣m, a 2∣m,…, a n ∣m ，那么m 叫做a 1,a 2,…,a n 的公倍数。

公倍数中最小的数叫做a 1,a 2,…,a n 的最小公倍数，记作[a 1,a 2,…,a n ].如对于4、8、12这一组数，显然24、48、96都是它们的公倍数，但24是这些公倍数中最小的，所以24是它们的最小公倍数，记作[4,8,12]=24.3、最大公约数和最小公倍数的性质性质1 若a ∣b,则(a,b)=a.性质2 若(a,b)=d,且n 为正整数，则(na,nb)=nd.性质3 若n ∣a, n ∣b,则()n b a n b n a ,,=⎪⎭⎫ ⎝⎛. 性质4 若a=bq+r (0≤r<b), 则(a,b)= (b,r) .性质4 实质上是求最大公约数的一种方法，这种方法叫做辗转相除法。

性质5若 b ∣a,则[a,b]=a.性质6若[a,b]=m,且n 为正整数，则[na,nb]=nm.性质7若n ∣a, n ∣b,则[]n b a n b n a ,,=⎥⎦⎤⎢⎣⎡.4、数的整除性定义3 对于整数a 和不为零的整数b ，如果存在整数q ，使得a=b q 成立，则就称b 整除a 或a 被b 整除，记作b ∣a ，若b ∣a ，我们也称a 是b 倍数；若b 不能整除a ，记作b a5、数的整除性的性质性质1 若a ∣b ，b ∣c ，则a ∣c性质2 若c ∣a ，c ∣b ，则c ∣(a ±b)性质3 若b ∣a, n 为整数，则b ∣n a6、同余定义4 设m 是大于1的整数，如果整数a ，b 的差被m 整除，我们就说a ，b 关于模m 同余，记作 a ≡b(mod m)7、同余的性质性质1 如果a ≡b(mod m)，c ≡d(mod m)，那么a ±c ≡b ±d(mod m)，ac ≡bd(mod m)性质2 如果a ≡b(mod m)，那么对任意整数k 有ka ≡kb(mod m)性质3 如果a ≡b(mod m)，那么对任意正整数k 有a k ≡b k (mod m)性质4如果a ≡b(mod m)，d 是a ，b 的公约数，那么()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≡d m,m mod d b d a2、 例题精讲例1 设m 和n 为大于0的整数，且3m+2n=225.如果m 和n 的最大公约数为15，求m+n 的值(第11届“希望杯”初一试题)解：(1) 因为 (m,n)=15,故可设m=15a ，n=15b ，且(a,b)=1因为 3m+2n=225，所以3a+2b=15因为 a,b 是正整数，所以可得a=1,b=6或a=b=3，但(a,b)=1，所以a=1,b=6从而m+n=15(a+b)=15⨯7=105评注：1、遇到这类问题常设m=15a ，n=15b ，且(a,b)=1，这样可把问题转化为两个互质数的求值问题。

中预数学竞赛辅导 第1讲 数 论 初 步一、赛点归纳研究整数性质的数学分支叫数论，它是数学竞赛中的一项重要内容。

虽然数论问题看似简明，但要解释清楚，并且证明它却是困难的；又因为整数及相关的一些数学知识正是中小学学习的重点，所以，在各类数学竞赛中，数论问题占有相当大的比重。

中小学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇偶性、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分析等等。

要解答这方面的问题，首先应熟悉关于整数的某些知识，此外还要掌握考试问题的基本方法和技巧，后者自然是更重要的。

本讲主要介绍整数的整除和余数问题。

（一） 整除问题对整数a 和b （b 不为0），如果存在一个整数q ，使q b a ⨯=, 则称a 能被b 整除，记作a b |, 否则就称a 不能被b 整除。

例如：9436⨯=，于是36能被4（或9）整除。

性质1若a c |, b c |, 则)(|nb ma c ±，这里m ，n 是任意整数。

性质2若b a c ∙|，且（c ，b ）=1，则a c |。

性质3 若a b |，a c |，且（b ，c ）=1，则a bc |。

性质4 a 个连续自然数中必恰有一个数能被a 整除。

整除问题是各类数学竞赛中必考的热点问题，必须掌握好解决整除问题的方法与技巧。

（二） 同余问题如果两个正整数a 与b 被正整数m 除时所得余数相同，即,,r pm b r qm a +=+= 则称a 与b 关于模m 同余，其中p 、q 、r 都是整数，而且m r <≤0。

可见，如果a 与b 关于模m 同余，则)(|b a m -。

性质1两数的和除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数和。

性质2两数的差除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数差。

性质3两数的积除以m 的余数等于这两个数分别除以m 的余数积。

在解决同余问题时，常常把同余问题转化为整除问题来处理。

二、解题指导【例1】有0、1、4、7、9五个数，从中选出四个数字组成一个四位数（例如1409），把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第5个数的末位数字是几？【例2】有这样的整数，它除以8所得到的商与余数相同，求所有这样的整数。

初等数论第一讲 整数的可除性（1）一. 数论的简单介绍在数学竞赛中，初等数论的问题是考查的热点之一。

初等数论可以说是最古老的数学分支之一，主要研究整数的性质及其相互关系。

数论的发展有很长的历史，古希腊人对数论的发展做出了重要贡献。

初等数论的知识比较简单，但处理问题方面技巧性比较强。

它所涉及的范围有：整数的可除性，同余理论，不定方程，反证法等。

反证法是解决数论问题常用的方法.二. 本讲内容1.整数的基本性质（1）偶数2n ，奇数21n +或21n -.（n 是整数）（2）奇数与偶数的性质奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；奇数⨯奇数=奇数；偶数 ⨯偶数=偶数；奇数 ⨯偶数=偶数.（3）任何一个正整数n 都可以写成2k n m =⋅的形式， 其中k 为非负整数，m 为奇数.2.整除的性质定义：设,a b 是任意两个整数，其中0b ≠，如果存在一个整数q 使得等式a bq =成立，则称b 整除a ，或a 被b 整除，记作b a .整除的性质：(1).|,|,|;(2).,,(1,2,,),|,|;1(3).,,,|,|.(4).|,||||.|,|,;a b b c a c n a b x Z i n a b a b x i i i i i i a b m Z a b am bm a b a b a b b a a b ∈=∑=∈≤=±若则若且则若且则反之，亦成立；若则因此，若则 (5).,|,|,|;|,|(6).|,12|(1).|,|.(7).a b a c b c ab c a bc a c p p a a a a n i n p a i n p p a p a in ⋅≤≤互质，若则若则；为质数，若则至少有一个，使得特别地，若是质数，且则个连续整数的成积一定能被n ！整除.算术基本定理（正整数的唯一分解定理） 若不计因数的次数，每一个大于1的整数a 都可以唯一分解成质因数乘积的形式.即12121212,,.n n nn a p p p p p p αααααα=⋅<<<其中均为质数，，，为自然数定理：质数的个数是无穷的.三.例题精讲1.证明：2.3. 设a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证： 三数中至少有一个能被10整除.3|(1)(21),.n n n n ++！其中是任何正整数21n+若是质数(n>1),证明：n 是2的方幂.333333,,a b ab b c bc c a ca ---4. 4.设n 为自然数，求证： 能被1985整除.5. 5.设p 是大于5的质数，求证：6.设正整数 d 不等于2，5，13.证明：在集合{2,5,13,d}中可以找到两个元素a,b ，使得ab-1不是完全平方数.7.设 是一组数，它们中的每一个都去1或-1，而且 证明： n 必须是4的倍数.3237632855235n n n n A =--+4240|(1)p -12,,,n a a a 123423451230n a a a a a a a a a a a a +++=。

初中,一年级,数学,竞赛,辅导,讲义,初中,初中一年级(上)数学竞赛辅导资料（1）数的整除（一）甲内容提要：如果整数A除以整数B(B≠0)所得的商A/B是整数，那么叫做A被B整除。

0能被所有非零的整数整除．一些数的整除特征除数能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减，其差能被11整除(如143，1859，1287，908270等)7，11，13从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和相减，其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数的2倍③其差能被7整除．如1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）乙例题例1已知两个三位数和的和仍是三位数且能被9整除．求x，y．解：x，y都是0到9的整数，∵能被9整除，∴y＝6．∵328＋＝567，∴x＝3例2己知五位数能被12整除，求X解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋X能被3整除时，x＝2，5，8当末两位能被4整除时，X＝0，4，8∴X＝8例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263．丙练习1. 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859 ③1287④3276⑤10101⑥102962. 若四位数能被3整除，那么a＝_______________．3. 若五位数能被11整除，那么X＝__________．4. 当m＝_________时，能被25整除．5. 当 n＝__________时，能被7整除．6. 能被11整除的最小五位数是________，最大五位数是_________．7. 能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________．8. 8个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________，8__________，9_________，11__________．9. 从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个．10. 能被3整除但不是5的倍数的共______个．11. 由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？12. 己知五位数能被15整除，试求A的值．13. 求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数．14. 在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿（1989年全国初中联赛题）初中一年级(上)数学竞赛辅导资料（2）倍数约数甲内容提要1两个整数A和B（B≠0），如果B能整除A（记作B｜A），那么A叫做B的倍数，B叫做A的约数．例如3｜15，15是3的倍数，3是15的约数．2因为0除以非0的任何数都得0，所以0被非0整数整除．0是任何非0整数的倍数，非0整数都是0的约数．如0是7的倍数，7是0的约数．3整数A（A≠0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0，±A，±2A，……都是A的倍数，例如5的倍数有±5，±10，……．4整数A（A≠0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括±1和±A．例如6的约数是±1，±2，±3，±6．5通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数．6公约数只有1的两个正整数叫做互质数（例如15与28互质）．7在有余数的除法中，被除数＝除数×商数＋余数若用字母表示可记作：A＝BQ＋R，当A，B，Q，R都是整数且B≠0时，A－R能被B整除例如23＝3×7＋2 则23－2能被3整除．乙例题例1写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，2×3，22×3，22×32．解：列表如下正整数正约数个数计正整数正约数个数计正整数正约数个数计21，2231，322×31，2，3，64221，2，4 3321，3，32 322×31，2，3，4，6，126231，2，4，84331，3，32，33422×321，2，3，4，6，9，12，18，36 9241，2，4，8，165341，3，32，33，345其规律是：设A＝ambn (a，b是质数，m，n是正整数)那么合数A的正约数的个是（m＋1）(n＋1)例如求360的正约数的个数解：分解质因数：360＝23×32×5，360的正约数的个数是（3＋1）×（2＋1）×（1＋1）＝24（个）例2用分解质因数的方法求24，90最大公约数和最小公倍数解：∵24＝23×3，90＝2×32×5∴最大公约数是2×3，记作（24，90）＝6最小公倍数是23×32×5＝360，记作[24，90]＝360例3己知32，44除以正整数N有相同的余数2，求N解：∵32－2，44－2都能被N整除，∴N是30，42的公约数∵（30，42）＝6，而6的正约数有1，2，3，6经检验1和2不合题意，∴N＝6，3例4一个数被10余9，被9除余8，被8除余7，求适合条件的最小正整数分析：依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8整除，所以所求的数是10，9，8的最小公倍数减去1．解：∵[10，9，8]＝360，∴所以所求的数是359丙练习21. 12的正约数有_________，16的所有约数是_________________．2. 分解质因数300＝_________，300的正约数的个数是_________．3. 用分解质因数的方法求20和250的最大公约数与最小公倍数．4. 一个三位数能被7，9，11整除，这个三位数是_________．5. 能同时被3，5，11整除的最小四位数是_______最大三位数是________．6. 己知14和23各除以正整数A有相同的余数2，则A＝________．7. 写出能被2整除，且有约数5，又是3的倍数的所有两位数．答_____________．8. 一个长方形的房间长1.35丈，宽1.05丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9. 一条长阶梯，如果每步跨2阶，那么最后剩1阶，如果每步跨3阶，那么最后剩2阶，如果每步跨4阶，那么最后剩3阶，如果每步跨5阶，那么最后剩4阶，如果每步跨6阶，那么最后剩5阶，只有每步跨7阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？初中一年级(上)数学竞赛辅导资料（3）质数合数甲内容提要1 正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于1的正整数，只能被1和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）．合数的定义：一个正整数除了能被1和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数．2 根椐质数定义可知1 质数只有1和本身两个正约数，2 质数中只有一个偶数2如果两个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是2，3任何合数都可以分解为几个质数的积．能写成几个质数的积的正整数就是合数．乙例题例1两个质数的和等于奇数a (a≥5)．求这两个数解：∵两个质数的和等于奇数∴必有一个是2所求的两个质数是2和a－2．例2己知两个整数的积等于质数m，求这两个数解：∵质数m只含两个正约数1和m，又∵（－1）（－m）＝m∴所求的两个整数是1和m或者－1和－m．例3己知三个质数a，b，c它们的积等于30求适合条件的a，b，c的值解：分解质因数：30＝2×3×5适合条件的值共有：应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4个质数a，b，c，d它们的积等于210，即abcd＝2×3×5×7那么适合条件的a，b，c，d值共有24组，试把它写出来．例4试写出4个連续正整数，使它们个个都是合数．解：（本题答案不是唯一的）设N是不大于5的所有质数的积，即N＝2×3×5那么N＋2，N＋3，N＋4，N＋5就是适合条件的四个合数即32，33，34，35就是所求的一组数．本题可推广到n 个．令N等于不大于n＋1的所有质数的积，那么N＋2，N＋3，N＋4，……N＋（n＋1）就是所求的合数．丙练习31. 小于100的质数共___个，它们是__________________________________．2. 己知质数P与奇数Q的和是11，则P＝＿＿，Q＝＿＿．3. 己知两个素数的差是41，那么它们分别是＿＿＿＿＿．4. 如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是＿＿＿．如果两个整数的积等于73，那么它们是＿＿＿＿．如果两个质数的积等于15，则它们是＿＿＿＿＿．5. 两个质数x和y，己知xy＝91，那么x＝__，y＝__，或x＝__，y＝__．6. 三个质数a，b，c它们的积等于1990．那么7. 能整除311＋513的最小质数是＿＿．8. 8，己知两个质数A和B适合等式A＋B＝99，AB＝M．求M及＋的值．9. 试写出6个連续正整数，使它们个个都是合数．10. 具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11. 求适合下列三个条件的最小整数：①大于1 ②没有小于10的质因数③不是质数12. 某质数加上6或减去6都仍是质数，且这三个质数均在30到50之间，那么这个质数是＿＿＿．13. 一个质数加上10或减去14都仍是质数，这个质数是＿＿．。

第1章整除在日常生活中，我们会过到许多有趣而又耐人寻味的问题：某同学到文具店买了七个一角二分钱的本子、五个六分钱的铅笔和三个活页夹子。

售货员收了他三元钱，并找还三角七分钱。

这个同学马上对售货员说：“您的账算错了！”你能知道他为什么这样快就知道“算错了账”吗？排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时，队形都能成为矩形，问最少需要多少人参加团体操的排练？§1.1 十进制整数在小学数学中，我们主要学习的是整数的运算，思考整数是怎样表示的？“逢十进一”是什么意思？我们通常接触到整数都是十进制的整数。

十进制计数法就是采取逢十进一的法则进行计数的方法。

例如，1995就是由1个一千，9个一百，9个十和1个五组成，因此1995这个数就可以写成.那么对于任意一个n+1位的正整数怎样用这种形式表示？为了表示方便，我们经常把用字母表示数字的多位数，在这个多位数上面加一个横线，以避免和乘法混淆，例如，就表示一个五位数。

§1.2 数的整除设有两个整数a，b（b≠0），若有另一整数q，使得，则称a被b 整除；或b能整除a；若a被b整除，也成a是b的倍数；b是a的约数，并记作b|a.若a不能被b整除，则记作.我们曾经学过下述有关整除的判别法则：1、被2或5整除的数的特征是末位数字能被2或5整除；2、被4或25整除的数的特征是末两位数字能被4或25整除；3、被8或125整除的数字的特征是末三位数字能被8或125整除；4、被3或9整除的数的特征是个位数字的和能被3或9整除；5、被11整除的数的特征是其奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除；解题过程中我们常用的性质：1、若，，则；2、若，，则；3、若，则是正整数；4、若a、b互质，且，则；5、若a、b互质，且，，则；6、n个连续整数中，必有一个能被n整除；§1.3~1.4 奇数和偶数把全体整数分成奇数类和偶数类是一种最常用的分类方法；奇数就是通常所述的单数，偶数就是通常所说的双数；一般的，一个整数如果能被2整除就叫做偶数，如果不能被2整除（即被2除余1）就叫做奇数；偶数可以记作2n，奇数可以记作2n-1或2n+1（n为整数）；奇数和偶数有一些十分简单又明显的性质：1、奇数不等于偶数；2、奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，奇数偶数奇数；3、奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意多个偶数的和都是偶数；4、奇数奇数奇数，偶数整数偶数，偶数偶数的倍数；5、两个整数的和与这两个整数的差具有相同的奇偶性；6、奇数的平方为4k+1型的数，偶数的平方为4k型的数（k为整数）；7、任意两个整数的平方和被4除一定不余3；8、任意两个整数的平方差被4除一定不余2；§1.5 质数与合数对于正整数可以依照它们的正约数的个数分为三类：一类是只有一个正约数的数，它就是1；一类是只有两个正约数的数，这两个正约数只能是1和它本身，例如5,7,11，这样的数叫做质数（也叫做素数）；第三类是有两个以上的正约数的数，例如6就有4个正约数：1,2,3,6，这样的数叫做合数。