第3讲 机械能守恒定律及其应用

第3讲机械能守恒定律及其应用学习目标 1.理解重力势能和弹性势能，知道机械能守恒的条件。

2.会判断研究对象在某一过程机械能是否守恒。

3.会用机械能守恒定律分析生产生活中的实际问题。

1.2.3.4.1.思考判断(1)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关。

(√)(2)被举到高处的物体重力势能一定不为零。

(×)(3)发生弹性形变的物体都具有弹性势能。

(√)(4)弹力做正功，弹性势能一定增加。

(×)(5)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。

(×)(6)物体的速度增大时，其机械能可能减小。

(√)(7)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。

(√)2.(多选)我国风洞技术世界领先。

如图1所示，在模拟风洞管中的光滑斜面上，一个小物块受到沿斜面方向的恒定风力作用，沿斜面加速向上运动，则从物块接触弹簧至到达最高点的过程中()图1A.物块的速度先增大后减小B.物块加速度一直减小到零C.弹簧弹性势能先增大后减小D.物块和弹簧组成的系统机械能一直增大答案AD考点一机械能守恒的理解与判断判断机械能守恒的三种方法例1如图2所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上。

现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法中正确的是()图2A.斜劈对小球的弹力不做功B.斜劈与小球组成的系统机械能守恒C.斜劈的机械能守恒D.小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量答案B解析斜劈对小球的弹力与小球位移的夹角大于90°，故弹力做负功，A错误；不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功，系统机械能守恒，小球重力势能的减少量等于斜劈和小球动能的增加量，B正确，D 错误；小球对斜劈的弹力做正功，斜劈的机械能增加，C错误。

跟踪训练1.(2023·江苏苏州月考)如图3所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上，A右端连接一细线，细线绕过光滑的轻质定滑轮与物体B相连。

基础复习课第三讲机械能守恒定律及其应用[小题快练]1．判断题(1)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关．( √ )(2)克服重力做功，物体的重力势能一定增加．( √ )(3)弹力做正功，弹性势能一定增加．( × )(4)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒．( × )(5)物体的速度增大时，其机械能可能减小．( √ )(6)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒．( √ ) 2．关于重力势能，下列说法中正确的是( D )A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功3．如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( D )A．弹簧的弹性势能逐渐减少B．物体的机械能不变C．弹簧的弹性势能先增加后减少D．弹簧的弹性势能先减少后增加4．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( CD )A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒考点一机械能守恒的判断(自主学习)1．对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒．(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零．(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少．2．机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒．(2)利用守恒条件判断．(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒．1－1.[机械能守恒的判断]在如图所示的物理过程示意图中，甲图一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为轻绳一端连着一小球，从右偏上30°角处自由释放；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动，则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是()A．甲图中小球机械能守恒B．乙图中小球A机械能守恒C．丙图中小球机械能守恒D．丁图中小球机械能守恒解析：甲图过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒，A正确；乙图过程中轻杆对A 的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以小球A的机械能不守恒，但两个小球组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，C 错误；丁图中小球和小车组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，这是因为摆动过程中小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，D错误．答案：A1－2.[机械能守恒的判断]把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A位置，如图甲所示．迅速松手后，球升高至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正处于原长(图乙)．忽略弹簧的质量和空气阻力．则小球从A运动到C的过程中，下列说法正确的是()A．经过位置B时小球的加速度为0B．经过位置B时小球的速度最大C．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒D．小球、地球、弹簧所组成系统的机械能先增大后减小答案：C考点二单个物体的机械能守恒(师生共研)1．机械能守恒定律的表达式2．求解单个物体机械能守恒问题的基本思路(1)选取研究对象——物体．(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒．(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能．(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式进行求解．[典例]如图所示，水平传送带的右端与竖直面内的用内壁光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小．传送带的运行速度为v0＝6 m/s，将质量m＝1.0 kg的可看作质点的滑块无初速地放在传送带A端，传送带长度L＝12.0 m，“9”形轨道全高H＝0.8 m，“9”形轨道上半部分圆弧半径为R＝0.2 m，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.3，重力加速度g＝10 m/s2，求：(1)滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间；(2)滑块滑到轨道最高点C时受到轨道的作用力大小；(3)若滑块从“9”形轨道D点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角θ＝45°的斜面上P点，求P、D两点间的竖直高度h(保留两位有效数字)．[审题指导]第一步：抓关键点(1)判断滑块在传送带上的运动时，若滑块与传送带同速时没有到达B 点，则剩余部分将做匀速直线运动．(2)在轨道的C 点，根据F N ＋mg ＝m v 2CR 求滑块受轨道的作用力时，应先求出滑块到C 点的速度v C .(3)滑块由D 点到P 点做平抛运动，故滑块在P 点的速度v P 在水平方向的分速度与在D 点的速度相等，即v D ＝v P sin θ.解析：(1)滑块在传送带运动时，由牛顿运动定律得 μmg ＝ma 得a ＝μg ＝3 m/s 2加速到与传送带共速所需要的时间t 1＝v 0a ＝2 s 前2 s 内的位移x 1＝12at 21＝6 m之后滑块做匀速运动的位移x 2＝L －x 1＝6 m 时间t 2＝x 2v 0＝1 s故t ＝t 1＋t 2＝3 s.(2)滑块由B 到C 运动，由机械能守恒定律得 －mgH ＝12m v 2C－12m v 2在C 点，轨道对滑块的弹力与其重力的合力为其做圆周运动提供向心力，设轨道对滑块的弹力方向竖直向下，由牛顿第二定律得F N ＋mg ＝m v 2CR 解得F N ＝90 N.(3)滑块由B 到D 运动的过程中，由机械能守恒定律得12m v 20＝12m v 2D ＋mg (H －2R ) 滑块由D 到P 运动的过程中，由机械能守恒定律得12m v 2P＝12m v 2D ＋mgh 又v D ＝v P sin 45°由以上三式可解得h ＝1.4 m. 答案：(1)3 s (2)90 N (3)1.4 m [反思总结]应用机械能守恒定律的两点注意事项1．列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同. 2．应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同．2－1.[与平抛运动相结合] (2015·海南卷)如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab 和抛物线bc 组成，圆弧半径Oa 水平，b 点为抛物线顶点．已知h ＝2 m ，s ＝ 2 m ．取重力加速度大小g ＝10 m/s 2.(1)一小环套在轨道上从a 点由静止滑下，当其在bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；(2)若环从b 点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c 点时速度的水平分量的大小． 解析：(1)一小环套在bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到b 点时的速度，使得小环套做平抛运动的轨迹与轨道bc 重合，故有s ＝v b t ，h ＝12gt 2， 从ab 滑落过程中，根据机械能守恒定律可得mgR ＝12m v 2b ，联立三式可得R ＝s 24h ＝0.25 m. (2)环由b 处静止下滑过程中机械能守恒，设环下滑至c 点的速度大小为v ，有mgh ＝12m v 2 环在c 点的速度水平分量为v x ＝v cos θ式中，θ为环在c 点速度的方向与水平方向的夹角，由题意可知，环在c 点的速度方向和以初速度v b 做平抛运动的物体在c 点速度方向相同，而做平抛运动的物体末速度的水平分量为v x ′＝v b ，竖直分量v y ′为v y ′＝2gh 因为cos θ＝v bv 2b ＋v y ′2 联立可得v x ＝2103 m/s.答案：(1)0.25 m (2)2103 m/s2－2.[与圆周运动相结合] (2016·全国卷Ⅱ)轻质弹簧原长为2l ，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l .现将该弹簧水平放置，一端固定在A 点，另一端与物块P 接触但不连接．AB 是长度为5l 的水平轨道，B 端与半径为l 的光滑半圆轨道BCD 相切，半圆的直径BD 竖直，如图所示．物块P 与AB 间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P ，将弹簧压缩至长度l ，然后放开，P 开始沿轨道运动，重力加速度大小为g .(1)若P 的质量为m ，求P 到达B 点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB 上的位置与B 点之间的距离；(2)若P 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P 的质量的取值范围．解析：(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l 时，质量为5m 的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能．由机械能守恒定律，弹簧长度为l 时的弹性势能为 E p ＝5mgl ①设P 的质量为M ，到达B 点时的速度大小为v B ，由能量守恒定律得 E p ＝12M v 2B ＋μMg ·4l ② 联立①②式，取M ＝m 并代入题给数据得 v B ＝6gl ③若P 能沿圆轨道运动到D 点，其到达D 点时的向心力不能小于重力，即P 此时的速度大小v 应满足 m v 2l －mg ≥0④设P 滑到D 点时的速度为v D ，由机械能守恒定律得 12m v 2B ＝12m v 2D ＋mg ·2l ⑤联立③⑤式得 v D ＝2gl ⑥v D 满足④式要求，故P 能运动到D 点，并从D 点以速度v D 水平射出．设P 落回到轨道AB 所需的时间为t ，由运动学公式得2l ＝12gt 2⑦P 落回到AB 上的位置与B 点之间的距离为 s ＝v D t ⑧ 联立⑥⑦⑧式得 s ＝22l ⑨(2)为使P 能滑上圆轨道，它到达B 点时的速度不能小于零．由①②式可知 5mgl >μMg ·4l ⑩要使P 仍能沿圆轨道滑回，P 在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C .由机械能守恒定律有 12M v 2B ≤Mgl ⑪ 联立①②⑩⑪式得 53m ≤M <52m .答案：(1)6gl 22l (2)53m ≤M <52m考点三 多个物体的机械能守恒 (自主学习)1．多物体机械能守恒问题的分析方法(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒． (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系． (3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 的形式． 2．多物体机械能守恒问题的三点注意 (1)正确选取研究对象． (2)合理选取物理过程．(3)正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解．3－1.[弹簧连接] (2015·天津卷)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m 的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L ，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L (未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )A．圆环的机械能守恒B．弹簧弹性势能变化了3mgLC．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变答案：B3－2.[轻杆连接](多选)(2015·全国卷Ⅱ)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则()A．a落地前，轻杆对b一直做正功B．a落地时速度大小为2ghC．a下落过程中，其加速度大小始终不大于gD．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg答案：BD3－3.[轻绳连接](多选)(2018·康杰中学模拟)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)()A．环与重物组成的系统机械能守恒B．小环到达B处时，重物上升的高度也为dC．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于2 2D．小环在B处时的速度为(3－22)gd解析：由于小环和重物只有重力做功，系统机械能守恒，故A项正确；结合几何关系可知，重物上升的高度h＝(2－1)d，故B项错误；将小环在B处的速度分解为沿着绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，其中沿着绳子方向的速度即为重物上升的速度，则v物＝v环cos45°，环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为2∶1 ，故C项错误；小环和重物系统机械能守恒，则mgd－2mgh＝12m v2环＋122m v2物，且v物＝v环cos 45°，解得：v环＝(3－22)gd，故D正确．答案：AD1. (2018·聊城一中检测)如右图所示，半径为R的光滑半圆轨道固定在竖直面内，半圆的圆心为O.将一只小球从半圆轨道左端无初速度释放，恰好能到达右端与圆心O等高的位置．若将该半圆轨道的右半边去掉，换上直径为R的光滑圆轨道，两个轨道在最低点平滑连接．换上的圆轨道所含圆心角如下图所示，依次为180°、120°、90°和60°.仍将小球从原半圆轨道左端无初速度释放，哪种情况下小球能上升到与O点等高的高度( C )解析：由能量守恒定律可知，小球若能上升到与O点等高的高度，则速度为零；图A中到达O点的速度至少为gr，则A错误；B中小球从轨道斜上抛后到达最高点的速度也不为零，则B错误；C图中小球从轨道上竖直上抛后，到达最高点的速度为零，则C正确；D图中小球从轨道斜上抛后到达最高点的速度也不为零，则D错误．2. (多选)(2019·阜阳三中模拟)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示．开始时OA边处于水平位置．由静止释放，则( BC )A．A球的最大速度为2glB．A球的速度最大时，两小球的总重力势能最小C．A球第一次转动到与竖直方向的夹角为45°时，A球的速度为8(2－1)gl3D．A、B两球的最大速度之比v A∶v B＝3∶1解析：由机械能守恒可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小，所以B正确；根据题意知两球的角速度相同，线速度之比为v A∶v B＝ω·2l∶ω·l＝2∶1，故D错误；当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒得：mg·2l cos θ－2mg·l(1－sin θ)＝12m v2A＋12·2m v2B，解得：v2A＝83gl(sin θ＋cos θ)－83gl，由数学知识知，当θ＝45°时，sin θ＋cos θ有最大值，最大值为：v A＝8(2－1)gl3，所以A错误，C正确．3. (2018·海南矿区中学模拟)如图所示，质量m＝50 kg的跳水运动员从距水面高h＝10 m 的跳台上以v0＝5 m/s 的速度斜向上起跳，最终落入水中．若忽略运动员的身高．取g ＝10m /s2，求：(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)；(2)运动员起跳时的动能；(3)运动员入水时的速度大小．解析：(1)取水面为参考平面，人的重力势能是E p＝mgh＝5 000 J；(2)由动能的公式得：E k＝12m v2＝625 J；(3)在整个过程中，只有重力做功，机械能守恒mgh＝12m v2－12m v2，解得v＝15 m/s .答案：(1)5 000 J(2)625 J(3)15 m/s[A组·基础题]1. 如图所示为跳伞爱好者表演高楼跳伞的情形，他们从楼顶跳下后，在距地面一定高度处打开伞包，最终安全着陆，则跳伞者( A )A．机械能一直减小B．机械能一直增大C．动能一直减小D．重力势能一直增大2. 质量均为m，半径均为R的两个完全相同的小球A、B在水平轨道上以某一初速度向右冲上倾角为θ的倾斜轨道，两轨道通过一小段圆弧平滑连接．若两小球运动过程中始终接触，不计摩擦阻力及弯道处的能量损失，在倾斜轨道上运动到最高点时两球机械能的差值为( C )A．0B．mgR sin θC．2mgR sin θD．2mgR3. (2016·全国卷Ⅱ)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点( C )A．P球的速度一定大于Q球的速度B．P球的动能一定小于Q球的动能C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度4．如图所示，在下列不同情形中将光滑小球以相同速率v射出，忽略空气阻力，结果只有一种情形小球不能到达天花板，则该情形是( B )A．A B．BC ．CD ．D5．(多选) 如图所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，O 点为弹簧原长时上端的位置，一个质量为m 的物体从O 点正上方的A 点由静止释放落到弹簧上，物体压缩弹簧到最低点B 后向上运动，不计空气阻力，不计物体与弹簧碰撞时的动能损失，弹簧一直在弹性限度范围内，重力加速度为g ，则以下说法正确的是( CD )A ．物体落到O 点后，立即做减速运动B ．物体从O 点运动到B 点，物体机械能守恒C ．在整个过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒D ．物体在最低点时的加速度大于g6．(多选) (2019·景德镇一中月考)如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a 和b ，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，a 球置于地面上，质量为m 的b 球从水平位置静止释放．当b 球第一次经过最低点时，a 球对地面压力刚好为零．下列结论正确的是( BD )A ．a 球的质量为2mB ．a 球的质量为3mC ．b 球首次摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大D ．b 球首次摆动到最低点的过程中，重力对b 球做功的功率先增大后减小解析：b 球在摆动过程中，a 球不动，b 球做圆周运动，则绳子拉力对b 球不做功，b 球的机械能守恒，则有：m b gL ＝12m b v 2；当b 球摆过的角度为90°时，a 球对地面压力刚好为零，说明此时绳子张力为：T ＝m a g ；b 通过最低点时，根据牛顿运动定律和向心力公式得：m a g －m b g ＝m b v 2L ，解得：m a ＝3m b ，故A 错误、B 正确．在开始时b 球的速度为零，则重力的瞬时功率为零；当到达最低点时，速度方向与重力垂直，则重力的功率也为零，可知b 球首次摆动到最低点的过程中，重力对b 球做功的功率先增大后减小，选项C 错误，D正确．7．(多选) 如图所示，某极限运动爱好者(可视为质点)尝试一种特殊的高空运动．他身系一定长度的弹性轻绳，从距水面高度大于弹性轻绳原长的P点以水平初速度v0跳出．他运动到图中a点时弹性轻绳刚好拉直，此时速度与竖直方向的夹角为θ，轻绳与竖直方向的夹角为β，b为运动过程的最低点(图中未画出)，在他运动的整个过程中未触及水面，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( BD )A．极限运动爱好者从P点到b点的运动过程中机械能守恒B．极限运动爱好者从P点到a点时间的表达式为t＝v0 g tan θC．极限运动爱好者到达a点时，tan θ＝tan βD．弹性轻绳原长的表达式为l＝v20g sin β tan θ[B组·能力题]8．(多选) (2019哈尔滨六中月考)如图所示，在距水平地面高为0.4 m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一光滑的轻质定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P 点的右边，杆上套有一质量m＝ 2 kg的滑块A.半径R＝0.3 m的光滑半圆形细轨道竖直地固定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量m＝ 2 kg的小球B.用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将小球与滑块连接起来．杆和半圆形轨道在同一竖直面内，滑块、小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响，取g＝10m /s2.现给滑块A一个水平向右的恒力F＝60 N，则( ABC )A．把小球B从地面拉到P的正下方时力F做功为24 JB．小球B运动到C处时滑块A的速度大小为0C．小球B被拉到与滑块A速度大小相等时，sin∠OPB＝3 4D．把小球B从地面拉到P的正下方时小球B的机械能增加了6 J解析：设PO＝H.由几何知识得，PB＝H2＋R2＝0.42＋0.32＝0.5 m，PC＝H－R＝0.1 m．F 做的功为W＝F(PB－PC)＝40×(0.5－0.1)＝24 J，A正确；当B球到达C处时，已无沿绳的分速度，所以此时滑块A的速度为零，选项B正确；当绳与轨道相切时滑块A与B球速度相等，由几何知识得：sin ∠OPB＝RH＝34，C正确．由功能关系，可知，把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C处时小球B的机械能增加量为ΔE＝W＝24 J，D错误．9．(多选) (2018·深圳宝安区联考)如图所示，一轻质弹簧固定在光滑杆的下端，弹簧的中心轴线与杆重合，杆与水平面间的夹角始终为60°，质量为m的小球套在杆上，从距离弹簧上端O点2x0的A点静止释放，将弹簧压至最低点B，压缩量为x0，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( CD )A．小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B的过程中，其加速度一直减小B．小球运动过程中最大动能可能为mgx0C．弹簧劲度系数大于3mg 2x0D．弹簧最大弹性势能为332mgx0解析：小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B的过程中，弹簧对小球的弹力逐渐增大，开始时弹簧的弹力小于小球的重力沿杆向下的分力，小球做加速运动，随着弹力的增大，合力减小，加速度减小，后来，弹簧的弹力等于小球的重力沿杆向下的分力，最后，弹簧的弹力大于小球的重力沿杆向下的分力，随着弹力的增大，合力沿杆向上增大，则加速度增大，所以小球的加速度先减小后增大，A错误；小球滑到O点时的动能为E k＝2mgx0 sin 60°＝3mgx0，小球的合力为零时动能最大，此时弹簧处于压缩状态，位置在O点下方，所以小球运动过程中最大动能大于3mgx0，不可能为mgx0，B错误；在速度最大的位置有mg sin 60°＝kx，得k＝3mg2x，因为x＜x0，所以k＞3mg2x0，C正确；对小球从A到B的过程，对系统，由机械能守恒定律得：弹簧最大弹性势能E pm＝3mgx0sin 60°＝332mgx0，D正确．10．(多选) (2019·江西丰城九中段考)如图所示，竖直面内半径为R的光滑半圆形轨道与水平光滑轨道相切于D点．a、b、c三个质量相同的物体由水平部分分别向半环滑去，最后重新落回到水平面上时的落点到切点D的距离依次为AD＜2R，BD＝2R，CD＞2R.设三个物体离开半圆形轨道在空中飞行时间依次为t a、t b、t c，三个物体到达地面的动能分别为E a、E b、E c，则下面判断正确的是( AC )A．E a＜E b B．E b＞E cC．t b＝t c D．t a＝t b解析：物体若从圆环最高点离开半环在空中做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，则有：2R＝12gt2，则得：t＝4Rg，物体恰好到达圆环最高点时，有：mg＝m v2R，则通过圆轨道最高点时最小速度为：v＝gR，所以物体从圆环最高点离开后平抛运动的水平位移最小值为：x＝v t＝2R，由题知：AD＜2R，BD＝2R，CD＞2R，说明b、c通过最高点做平抛运动，a没有到达最高点，则知t b＝t c＝4Rg，t a≠t b＝t c；对于a、b两物块，通过D点时，a的速度比b的小，由机械能守恒可得：E a＜E b.对于b、c两物块，由x＝v t 知，t相同，c的水平位移大，通过圆轨道最高点时的速度大，由机械能守恒定律可知，E c＞E b，故选项A、C正确．11. 如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB 平齐，静止放于倾角为53°的光滑斜面上．一长为L＝9 cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1 kg的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断．之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5 cm.(g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)求：(1)细绳受到的拉力的最大值；(2)D点到水平线AB的高度h；(3)弹簧所获得的最大弹性势能E p.解析：(1)小球由C 到D ，由机械能守恒定律得mgL ＝12m v 21解得v 1＝2gL ①在D 点，由牛顿第二定律得F －mg ＝m v 21L ②由①②解得F ＝30 N由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30 N.(2)由D 到A ，小球做平抛运动有v 2y ＝2gh ③tan 53°＝v y v 1④ 联立解得h ＝16 cm.(3)小球从C 点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧系统的机械能守恒，即E p ＝mg (L ＋h ＋x sin 53°)，代入数据解得E p ＝2.9 J.答案：(1)30 N (2)16 cm (3)2.9 J。

高三一轮复习专用·机械能守恒定律及其应用教学设计第3讲 机械能守恒定律及其应用考纲导读高考对机械能守恒定律的考查重点是：连接体问题，与弹簧有关的问题，与实际情境相结合的问题。

机械能守恒定律是高中物理的重要规律，也是高考命题考查的重点之一。

为了增加试题的综合性，高考命题一般将机械能守恒定律与其它知识相结合在一起，设置新新情境考查。

预计2020年高考将会以新颖的情境对机械能守恒定律进行考查。

教学目标1. 进一步理解机械能守恒的条件及其判定。

2. 能灵活应用机械能守恒定律的三种表达式列方程。

3. 在多个物体组成的系统中，会应用机械能守恒定律解决相关问题。

教学重点1. 机械能守恒定律的条件2. 机械能守恒定律的应用教学难点：机械能守恒定律的应用考点精析考点1 机械能、机械能守恒定律1．重力势能：物体由于被举高而具有的能．2．重力做功与重力势能的关系：重力做功与 路径 无关，只与始末位置的高度差有关．重力对物体做正功，重力势能就 减少 ；重力对物体做负功，重力势能就 增加 ．重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即21()G P P W E E =-- .3．弹性势能：物体由于发生弹性形变而具有的能量．4．弹力做功与弹性势能的关系：弹力做 正功 ，弹性势能减少；弹力做 负功 ，弹性势能增加．弹力对物体做的功等于弹性势能的减少量，即21()P P W E E =--弹 ．5．机械能： 动能 和势能统称为机械能．6．机械能守恒定律(1)内容：在只有 重力 或 弹力 做功的物体系统内，动能与势能相互转化，而总的机械能保持不变．(2)判断机械能是否守恒的方法．①根据力做功判断，系统内只有重力做功或弹力做功，机械能守恒．②根据能的转化判断，只发生系统内势能与动能的转化，机械能守恒．题组1 机械能、机械能守恒定律1．(多选)忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足机械能 守恒的是( )A ．电梯匀速下降B ．物体沿斜面匀速下滑C ．人造卫星绕地球做匀速圆周运动D ．铅球运动员抛出的铅球从抛出到落地前解析：A 、B 选项除了受重力外，还受到了其他力的作用，而且这些力做了负功，机械能将减少，C 、D 选项中的物体都是只受重力，而且重力做了功．答案：CD2．(多选)如图所示，在地面上以速度0v 抛出质量为m 的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上．若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )A．重力对物体做的功为mghB．物体在海平面上的势能为mghC．物体在海平面上的动能为12mv20－mghD．物体在海平面上的机械能为12 mv20解析:重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关，抛出点与海平面的高度差为h，并且重力做正功，所以整个过程重力对物体做功为mgh，故A正确．以地面为零势能面，海平面低于地面h，所以物体在海平面上时的重力势能为－mgh，故B错误．由动能定理得：mgh＝E k2－12mv20，物体在海平面上的动能E k2＝12mv20＋mgh，故C错误．整个过程机械能守恒，即初末状态的机械能相等，以地面为零势能面，抛出时的机械能为12mv20，所以物体在海平面时的机械能也为12mv20，故D正确．2．如图 5－3－1 所示，小球自 a 点由静止自由下落，到 b 点时与弹簧接触，到 c 点时弹簧被压缩到最短，若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由a→b→c 的运动过程中（）A．小球的机械能守恒B．小球和弹簧总机械能守恒C．小球在 b 点时动能最大D ．小球 b→c 的运动过程中加速度先减小后增加答案：BD考点2 机械能守恒定律的应用1．机械能守恒定律的三种表达式(1)从守恒的角度：选取某一平面为零势能面，如果含有弹簧则弹簧处于原长时弹性势能为零，系统末状态的机械能和初状态的机械能相等，即 2211K P K P E E E E +=+.(2)从能量转化的角度：系统的动能和势能发生相互转化时，若系统势能的减少量等于系统动能的增加量，系统机械能守恒，即K P E E ∆=-∆.(3)从能量转移的角度：系统中有 A 、B 两个物体(或更多物体)，若 A 机械能的减少量等于 B 机械能的增加量，系统机械能守恒，即A B E E ∆=-∆.2．利用机械能守恒定律解题的一般思路(1)选取研究对象——物体或系统．(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析判断机械能是否守恒．(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末态时的机械能．(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式(2211KP K P E E E E +=+、K P E E ∆=-∆或A B E E ∆=-∆)进行求解． 题组2 机械能守恒定律的应用3. 例题. 如图 5－3－2 所示，一很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，绳两端各系一小球 a 和 b. a 球质量为 m ，静置于地面；b 球质量为 3m ，用手托住，高度为 h ，此时轻图 5－3－1绳刚好拉紧．从静止开始释放 b 后，求：（1）从b 静止释放，到b 落地的瞬间的过程中，a 和b 组成的系统机械能是否守恒？（2）若以水平地面为参考平面，在b 落地的瞬间，a 的势能增加了多少？b 的势能较少了多少？a ˎb 组成的系统势能变化了多少？（3）在b 落地的瞬间，a 的速度是多少？（4）在b 落地后，a 能继续上升的高度是多少？（5）在整个过程中a 能上升的高度是多少？答案：见解析。

[基础落实练]1．关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法正确的是()A．只有重力和弹力作用时，机械能才守恒B．当有其他外力作用时，只要合力为零，机械能守恒C．当有除重力或系统内弹力以外的其他外力作用时，只要其他外力不做功，机械能守恒D．炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒解析：机械能守恒的条件是“只有重力或系统内弹力做功”而不是“只有重力和弹力作用”，“做功”和“作用”是两个不同的概念，A项错误；物体受其他外力作用且合力为零时，机械能可以不守恒，如拉一物体匀速上升，合力为零，物体的动能不变，重力势能增加，故机械能增加，B项错误；在炮弹爆炸过程中产生的内能转化为机械能，机械能不守恒，D 项错误。

答案：C2．某同学将手中的弹簧笔竖直向下按压在水平桌面上，如图1所示，当他突然松手后弹簧笔将竖直向上弹起，其上升过程中的E k­h图像如图2所示，则下列判断正确的是()A．弹簧原长为h1B．弹簧最大弹性势能大小为E kmC．O到h3之间弹簧的弹力先增加再减小D．h1到h2之间弹簧笔的弹性势能和动能之和减小解析：弹簧笔竖直向上弹起过程，所受重力保持不变，弹簧弹力减小，当二力平衡时，加速度为零，速度达到最大，动能最大，此时弹簧还有一定的形变量，不是原长，所以弹簧最大弹性势能大于E km，故A、B、C错误；运动过程中，对系统来说，只有重力和弹簧弹力做功，所以系统机械能守恒，h1到h2之间弹簧笔的弹性势能和动能之和减小，重力势能增加，故D正确。

答案：D3．(2022·湖北卷)如图所示，质量分别为m和2m的小物块P和Q，用轻质弹簧连接后放在水平地面上，P通过一根水平轻绳连接到墙上。

P的下表面光滑，Q与地面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

用水平拉力将Q 向右缓慢拉开一段距离，撤去拉力后，Q 恰好能保持静止。

弹簧形变始终在弹性限度内，弹簧的劲度系数为k ，重力加速度大小为g 。

第3讲 机械能守恒定律曹新红一、重力势能和弹性势能 1．重力做功的特点(1)重力做功与 无关，只与始、末位置的 有关。

(2)重力做功不引起物体 的变化。

2．重力势能(1)大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的 有关。

(2)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势能 。

二、机械能守恒定律 1．内容在只有 做功的物体系统内，动能和势能可以互相 ，而总的机械能保持 。

2．机械能守恒的条件只有 或 做功。

3．守恒三种表达式(1)E 1＝E 2(E 1、E 2分别表示系统初、末状态时的总机械能)。

(2)ΔE k ＝－ΔE p 或ΔE k 增＝ΔE p 减(表示系统势能的减少量等于系统动能的增加量)。

(3)ΔE A ＝－ΔE B 或ΔE A 增＝ΔE B 减(表示系统只有A 、B 两物体时，A 增加的机械能等于B 减少的机械能)。

题组一：机械能守恒的判断1．[多选](2011·全国新课标)一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离。

假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是()A．运动员到达最低点前重力势能始终减小B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能增加C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关2．[多选]如图5-3-1所示，斜面置于光滑水平地面，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是()A．物体的重力势能减少，动能增加B．斜面的机械能不变C．斜面对物体的作用力垂直于接触面，不对物体做功D．物体和斜面组成的系统机械能守恒题组二：机械能守恒定律的应用3．(2014·渭南模拟)如图5-3-2所示，一根跨过光滑定滑轮的轻绳，两端各有一杂技演员(可视为质点)。

a站在地面上，b从图示的位置由静止开始向下摆动，运动过程中绳始终处于伸直状态。