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高中数学选修2-2知识点总结第一章、导数1．函数的平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，平均变化率 可正，可负，可零。
注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000.3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；6、常见的导数和定积分运算公式:若()g x均可导（可积），则有：f x，().用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数'()f x②令'()f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令'()f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域。
(2) 求函数f(x)的导数'()f x(3)求方程'()f x=0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/()果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤:求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
高中常用函数导数表导数是微积分中非常重要的概念，通过求导可以求得函数在某一点的变化率。
在高中数学中，我们会接触到许多常用的函数，它们的导数有着特定的形式。
了解这些常用函数导数的形式，可以帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。
下面是一份高中常用函数导数表，方便大家参考和记忆。
1. 常数函数：f(x) = C，其中C为常数导数：f'(x) = 0对于常数函数来说，其函数值始终保持不变，因此导数恒为0。
2. 幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数导数：f'(x) = nx^(n-1)幂函数是指以x为底的n次幂的函数，它的导数是通过幂函数的指数降低1，并乘以原幂函数的系数。
3. 指数函数：f(x) = a^x，其中a为正实数且a≠1导数：f'(x) = a^x * ln(a)指数函数的导数是原函数的结果乘以底数a的自然对数值ln(a)。
4. 对数函数：f(x) = logₐ(x)，其中a为正实数且a≠1导数：f'(x) = 1 / (x * ln(a))对数函数的导数是1除以x乘以底数a的自然对数值ln(a)。
5. 三角函数：f(x) = sin(x)，f(x) = cos(x)，f(x) = tan(x)导数：f'(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)，f'(x) = sec²(x)三角函数的导数可以通过基本的三角函数关系式求得，请注意tan(x)的导数是sec²(x)，其中sec(x)表示secant函数。
6. 反三角函数：f(x) = arcsin(x)，f(x) = arccos(x)，f(x) = arctan(x)导数：f'(x) = 1 / √(1 - x²)，f'(x) = -1 / √(1 - x²)，f'(x) = 1 / (1 + x²)反三角函数的导数也可以通过基本的反三角函数关系式求得，请注意arctan(x)的导数是1除以1 + x²。
高二数学选修2-2 几个常用函数的导数
教学目标：
1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x
=的导数公式；
2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x
=
的导数公式及应用 教学难点： 四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x =的导数公式 教学过程：
一．创设情景
我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？
由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．
二．新课讲授
1．函数()y f x c ==的导数
根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x
∆+∆--===∆∆∆ 所以00
lim lim 00x x y y ∆→∆→∆'===
0y '=表示函数y 0．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．
2．函数()y f x x ==的导数
因为()()1y f x x f x x x x x x x
∆+∆-+∆-===∆∆∆ 所以00
lim lim 11x x y y ∆→∆→∆'===
1y '=表示函数y x =图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．
3．函数2()y f x x ==的导数 因为22
()()()y f x x f x x x x x x x
∆+∆-+∆-==∆∆∆ 222
2()2x x x x x x x x
+∆+∆-==+∆∆ 所以00
lim lim (2)2x x y y x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆
2y x '=表示函数2y x =图像（图3.2-3）上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当
0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x
=增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ． 4．函数1()y f x x
==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x
-∆+∆-+∆==∆∆∆ 2()1()x x x x x x x x x x
-+∆==-+∆∆+⋅∆ 所以220011lim lim ()x x
y y x ∆→∆→∆'==-=-∆
（2）推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=
三．课堂练习
1．课本P 13探究1
2．课本P 13探究2
4．求函数y =
的导数
四．回顾总结
五．布置作业。
