14级高数(下)期中试题及答案

2024学年西宁市十四中高二数学11月期中考试卷第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1．已知直线310l y -+=，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π32．已知()2,3,1a = ，()1,2,2b =-- ，则a 在b 上的投影向量为（）A ．2bB ．2b- C ．23bD ．23b- 3．已知直线1l ：360ax y +-=，直线2l ：()2140x a y +--=，则“2a =-”是“12l l ∥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知空间向量()1,,2a n = ，()2,1,2b =- ，若2a b - 与b垂直，则a 等于（）A B C D ．25．已知圆224x y +=与圆2284160x y x y +-++=关于直线l 对称，则直线l 的方程为（）A ．230x y +-=B ．280x y --=C ．250x y --=D ．20x y +=6．已知点()()2,4,0,,P Q m O -为坐标原点，且0OP OQ ⋅=，则PQ = （）A ．36BC ．6D ．7．已知直线:20+-=l x y 与圆22:440M x y x y a +--+=交于,A B 两点，且AB =，则a =（）A ．4B ．4-C ．2D ．2-8．如图，在三棱锥P -ABC 中，90APB ∠=︒，60CPA CPB ∠=∠=︒，2PA PB PC ===，点D ，E ，F 满足PD DB = ，2PE EA = ，AF FC =，则直线CE 与DF 所成的角为（）A ．30°B ．45︒C ．60°D ．90°二、多选题（每小题6分，共18分.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．向量()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- ，若a b ∥，则（）A ．15x =B ．32y =-C ．13a b= D ．12a b= 10．已知圆2221:2100C x y mx y m ++-+=，圆222:450C x y y ++-=，则下列说法正确的是（）A ．若点()1,1在圆1C 的内部，则24m -<<B ．若2m =，则圆12,C C 的公共弦所在的直线方程是41490x y -+=C ．若圆12,C C 外切，则m =D ．过点()3,2作圆2C 的切线l ，则l 的方程是3x =或724270x y -+=11．设a ，b分别是直线l ，m 的方向向量，1n ，2n 分别是平面α，β的一个法向量，则（）A ．若αβ⊥，则12n n ⊥B ．若1a n ⊥ ，2b n ⊥ ，且π,3a b = ，则α与β的夹角为π3C ．若1π,3a n = ，则直线l 与平面α所成的角为π6D ．若12π,,3a nb n ==，且//αβ，则//l m 第II 卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共15分）12．已知()()2,1,31,2,1a b =-=- ，，则a与b 夹角的余弦值为.13．已知圆C ：221x y +=，过圆C 外一点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若120APB ∠=︒，则AB =．14．已知平面α的一个法向量为()2,3,5n =，点()1,2,4A 是平面α上的一点，则点()1,1,5P -到平面α的距离为.四、解答题(共5小题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.（13分）（1）已知空间向量()()2,1,2,1,1,4a b =--=-，求23a b- （2）已知()()2,1,3,1,2,1a b =-=-，若()a ab λ⊥- ，求实数λ的值.16.（15分）已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N(1)求圆A 的方程.(2)当MN =l 的方程．17.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，AB DC ，122AB AD CD ===，2PD =，M 为棱PC 的中点(1)证明：//BM 平面PAD .(2)求平面PDM 和平面DMB 夹角的余弦值.18.（17分）已知一组动直线方程为()()11530k x k y k ++---=.(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P 的坐标.(2)若直线与x 轴正半轴，y 轴正半分别交于点,A B 两点，求AOB ∆面积的最小值.19.（17分）在四棱锥P ABCD -中，PAB 是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，2AB =，AD =PB AD ⊥，E 是棱PD 的中点．(1)求证：PA BE ⊥.(2)求二面角P AE B --的正切2024学年西宁市十四中高二数学11月期中考试卷一、单选题1．已知直线310l y -+=，则直线l 的倾斜角为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π32．已知()2,3,1a =，()1,2,2b =--，则a 在b 上的投影向量为（）A ．2bB ．2b- C ．23bD ．23b - 3．已知直线1l ：360ax y +-=，直线2l ：()2140x a y +--=，则“2a =-”是“12l l ∥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用两直线平行求解a 的值，结合充要关系的定义判断即可.【详解】由12l l ∥可得()61a a =-，解得3a =或2a =-.当3a =时，1l ：3360x y +-=，2l ：2240x y +-=，显然1l，2l 重合，舍去，故12l l ∥时，2a =-.因此“2a =-”是“12l l ∥”的充要条件.故选：C 4．已知空间向量()1,,2a n = ，()2,1,2b =- ，若2a b - 与b垂直，则a 等于（）A B C D ．212B.5．已知圆224x y +=与圆2284160x y x y +-++=关于直线l 对称，则直线l 的方程为（）A ．230x y +-=B ．280x y --=C ．250x y --=D ．20x y +=6．已知点()2,4,0,,P Q m O -为坐标原点，且0OP OQ ⋅=，则PQ =（）A ．36BC ．6D ．7．已知直线:20+-=l x y 与圆22:440M x y x y a +--+=交于,A B 两点，且AB =，则a =（）A ．4B ．4-C ．2D ．2-8．如图，在三棱锥P -ABC 中，90APB ∠=︒，60CPA CPB ∠=∠=︒，2PA PB PC ===，点D ，E ，F 满足PD DB = ，2PE EA = ，AF FC =，则直线CE 与DF 所成的角为（）A ．30°B ．45︒C ．60°D ．90°二、多选题9．向量()()2,1,3,1,2,9a x b y ==- ，若a b ∥，则（）A ．15x =B ．32y =-C ．13a b= D ．12a b= 10．已知圆2221:2100C x y mx y m ++-+=，圆222:450C x y y ++-=，则下列说法正确的是（）A ．若点()1,1在圆1C 的内部，则24m -<<B ．若2m =，则圆12,C C 的公共弦所在的直线方程是41490x y -+=C ．若圆12,C C 外切，则m =D ．过点()3,2作圆2C 的切线l ，则l 的方程是3x =或724270x y -+=11．设a ，b 分别是直线l ，m 的方向向量，1n ，2n 分别是平面α，β的一个法向量，则（）A ．若αβ⊥，则12n n ⊥B ．若1a n ⊥ ，2b n ⊥ ，且π,3a b = ，则α与β的夹角为π3C ．若1π,3a n = ，则直线l 与平面α所成的角为π6D ．若12π,,3a nb n == ，且//αβ，则//l m【答案】AC【分析】利用直线方向向量与平面法向量的位置关系，逐一分析各选项即可得解.三、填空题12．已知()()2,1,31,2,1a b =-=- ，，则a与b 夹角的余弦值为.13．已知圆C ：221x y +=，过圆C 外一点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ，若120APB ∠=︒，则AB =．【答案】1【分析】结合切线长定理可得ABC V 为等边三角形，即可得A .【详解】由圆C ：221x y +=可得圆心坐标为0,0，半径1r =，由PA 、PB 为圆C 切线，故90OAP OBP ∠=∠=︒，14．已知平面α的一个法向量为()2,3,5n =，点()1,2,4A 是平面α上的一点，则点()1,1,5P -到平面α的距离为.四、解答题15．（1）已知空间向量()()2,1,2,1,1,4a b =--=-，求23a b - ；（2）已知()()2,1,3,1,2,1a b =-=-，若()a ab λ⊥- ，求实数λ的值16．已知以点−1,2为圆心的圆与直线1270:l x y ++＝相切，过点()2,0B -的动直线l 与圆A 相交于,M N (1)求圆A 的方程；(2)当MN =l 的方程．【答案】(1)()()221220x y ++-=(2)3460x y -+=或2x =-【分析】(1)由题意知点到直线距离公式可确定圆A 半径r ，带入到圆的标准方程可求得圆的方程；(2)过A 做AQ MN ⊥，由垂径定理可知圆心到直线l ，设出直线l ，可分为斜率存在和斜率不存在两种情17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，AB DC ，122AB AD CD ===，2PD =，M 为棱PC 的中点(1)证明：//BM 平面PAD ；(2)求平面PDM 和平面DMB 夹角的余弦值；在PCD △中，M ，N 分别为因为//AB DC ，12AB DC =可知四边形ABMN 为平行四边形，则取CD 的中点E ，连接BE ，因为AB DC ，12AB DC =，则AB 又因为AD DC ⊥，所以四边形ABED 且2AB AD ==，可知四边形ABED18．已知一组动直线方程为()()11530k x k y k ++---=.(1)求证：直线恒过定点，并求出定点P 的坐标;(2)若直线与x 轴正半轴，y 轴正半分别交于点,A B 两点，求AOB ∆面积的最小值.19．在四棱锥P ABCD -中，PAB 是等边三角形，四边形ABCD 是矩形，2AB =，AD =PB AD ⊥，E 是棱PD 的中点．(1)求证：PA BE ⊥；(2)求二面角P AE B--的正切值．。

注意事项：1．考试时间：2014年4月22日8时至9时30分；2．答题前，务必先在答题卡上正确填涂班级、姓名、准考证号；3．将答案答在答题卡上，在试卷上答题无效．请按题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效；4．其中本卷满分100分，附加题20分，共120分．共4页； 5．本试卷不得使用计算器。

一、选择题：共10小题，每小题3分，满分30分。

1．函数()sin cos f x x x =的最小值是(▲)A ．1 B.－1 C ．12 D ．－122．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且 41016a a =，则6a =(▲)A ．1B ．2C ．4D ．8 3．函数()cos()cos()44f x x x ππ=+--是(▲) A ．周期为π的偶函数 B ．周期为2π的偶函数C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的奇函数4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且244,20S S ==,则该数列的公差d =(▲) A ．2 B.3 C ．6 D ．7 5．已知3(,),sin 25παπα∈=,则tan()4πα-=(▲) A ．7-B ．17- C ．7D ．176．ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比数列, 且2c a =, 则cos B =(▲)A ．34B C D ．147．在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是(▲)A ．(0,]6πB ．[,)6ππC ．(0,]3πD ．[,)3ππ8．已知函数()2cos 2f x x x m +-在[0,]2π上有两个零点,则m 的取值范围是(▲)A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[l,2]9．在ABC ∆中，已知tan tan 1A B ⋅>，则ABC ∆是(▲) A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．最小内角大于45°的三角形 10．在数列{}n a 中，若对任意的*n N ∈均有12n n n a a a ++++为定值，且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S =(▲)A ．132B ．299C ．68D ．99二、填空题：共7小题，每小题4分，满分28分。

2014-2015学年福建省莆田二十四中高一（下）期中数学试卷一、选择题：1．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（）A．B∪C=C B．B=A∩C C．A⊊C D． A=B=C考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由集合A，B，C，求出B与C的并集，A与C的交集，判断A与C的包含关系，以及A，B，C三者之间的关系即可．解答：解：∵A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，∴B∪C={小于90°的角}=C，即B⊂C，B⊂A，则B不一定等于A∩C，A不一定是C的子集，三集合不一定相等，故选A点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握象限角，锐角，以及小于90°的角表示的意义是解本题的关键．2．（3分）（2012秋•马鞍山期末）若将钟表拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（）A． B．﹣C．D．﹣考点：弧度制的应用．专题：计算题．分析：利用分针转一周为60分钟，转过的角度为2π，得到5分针是一周的十二分之一，进而可得答案．解答：解：∵分针转一周为60分钟，转过的角度为2π将分针拨快是逆时针旋转∴钟表拨慢5分钟，则分针所转过的弧度数为故选C．点评：本题考查弧度的定义：一周对的角是2π弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角．3．（3分）（2011•宜宾一模）已知=﹣5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B． 2 C． D．﹣考点：同角三角函数基本关系的运用．分析：已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．解答：解：由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得=﹣5，∴tanα=﹣．故选D．点评：同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．4．（3分）（2014•芦淞区校级学业考试）已知平面向量=（2m+1，3），=（2，m），且和共线，则实数m的值等于（）A．2或﹣B．C．﹣2或D．﹣考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：由题意可得（2m+1，3）=λ（2，m），即2m+1=2λ，且3=λm，解方程求得 m 的值．解答：解：由题意可得（2m+1，3）=λ（2，m）=（2λ，λm），∴2m+1=2λ，3=λm．解得 m=﹣2 或．故选C．点评：本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．5．（3分）（2015春•莆田校级期中）下列各式不能化为的是（）A．+﹣B．（+）+C．（+）+（+）D．﹣++考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的多边形法则即可得出．解答：解：A.=，因此不能化为；B.=，因此能化为；C．（+）+（+）==，因此能化为；D.==，因此能化为．综上可得：只有A不能化为．故选：A．点评：本题考查了向量的多边形法则，属于基础题．6．（3分）（2012•自贡三模）要得到的图象，只需将y=3sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据左加右减的原则进行左右平移即可．解答：解：∵，∴只需将y=3sin2x的图象向左平移个单位故选C．点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数进行平移时的原则是左加右减上加下减．7．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，则+值等于（）A．﹣25 B．﹣20 C．25 D．﹣10考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知的三边关系可以得到三角形是直角三角形，利用数量积公式化简所求即可．解答：解：由已知|AB|=3，|BC|=4，|CA|=5，所以|AB|2+|BC|2=|CA|2，所以AB⊥BC，并且cosA=，cosC=，所以+=0+4×5×（﹣）+5×3×（﹣）=﹣25；故选；A．点评：本题考查了三角形三边对于向量的数量积计算；关键是熟练数量积公式；特别注意：向量的夹角与三角形内角的关系．8．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知=（﹣5，3），=（﹣1，2）且λ与2+互相垂直，则实数λ的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知得到λ与2+坐标，因为它们垂直，得到数量积为0，由此解关于λ的方程即可．解答：解：因为=（﹣5，3），=（﹣1，2），所以λ=（﹣5λ﹣1，3λ+2），2+=（﹣7，7），又λ与2+互相垂直，则（λ）•（2+）=0，所以﹣7（﹣5λ﹣1）+7（3λ+2）=0，解得λ=﹣；故选B．点评：本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及向量垂直的性质运用；属于基础题．9．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，则tanα=（）A．B．﹣C．D．﹣考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程，求出tanα的值．解答：解：∵向量=（3，4），=（sinα，cosα），且，∴3cosα﹣4sinα=0，∴=；即tanα=．故选：A．点评：本题考查了平面向量的坐标运算以及同角的三角函数的运算问题，是基础题目．10．（3分）（2013春•苍山县期末）函数的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x=对称考点：正弦函数的对称性．分析：将题中角：看成一个整体，利用正弦函数y=sinx的对称性解决问题．解答：解：∵正弦函数y=sinx的图象如下：其对称中心必在与x轴的交点处，∴当x=﹣时，函数值为0．∴图象关于点（﹣，0）对称．故选B．点评：本题主要考查正弦函数的图象与性质，其解法是利用正弦曲线的对称性加以解决．11．（3分）（2012•贵州校级模拟）函数是（）A．上是增函数B． [0，π]上是减函数C．[﹣π，0]上是减函数D． [﹣π，π]上是减函数考点：余弦函数的单调性；诱导公式的作用．分析：根据x的范围，确定x+的范围，然后根据正弦函数的单调性确定在相应的区间上的增减性．解答：解：A.在先增后减；B．当x∈[0，π]时，x+，为减函数，正确．C．当x∈[﹣π，0]时，x+，为减增函数，错误．D．当x∈[﹣π，0]时，x+，为减增函数，错误．故选B．点评：本题考查了三角函数的单调性，属于基础题型，应该熟练掌握．12．（3分）（2014春•雅安期末）=（2，1），=（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．B．C．2 D． 10考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由向量在向量方向上的投影的定义，结合平面向量数量积公式，我们易得向量在向量方向上的投影为，将=（2，1），=（3，4）代入即可得到答案．解答：解：∵=（2，1），=（3，4），∴向量在向量方向上的投影为：•cosθ===2故选：C点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中根据向量在向量方向上的投影的定义，并结合平面向量数量积公式将其转化为是解答本题的关键．二、填空题：13．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知平行四边形ABCD的对角线交于O，且=（3，7），=（﹣2，1），则的坐标为（）．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：利用已知条件，列出向量关系，即可求出的坐标．解答：解：平行四边形ABCD的对角线交于O，且=（3，7），=（﹣2，1），可得==（）==（）．的坐标为：（）．故答案为：（）．点评：本题考查向量共线的充要条件的运用，考查计算能力．14．（3分）（2015春•莆田校级期中）已知函数y=Asin（ωx+φ）+B的一部分图象如图所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜，则其解析式为y=2sin（2x+）+2．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：先根据函数的最大值和最小值求得A和B，然后利用图象中﹣求得函数的周期，求得ω，最后根据x=时取最大值，求得φ，即可得解．解答：解：如图根据函数的最大值和最小值得|A|+B=4，|A|﹣B=0，、∵A＞0，∴A=2，B=2，函数的周期为（﹣）×4=π，又∵ω＞0，∴ω=2，当x=时取最大值，即sin（2×+φ）=1，2×+φ=2kπ+，k∈Z，∴φ=2kπ﹣，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=，∴解析式为：y=2sin（2x+）+2．故答案为：y=2sin（2x+）+2．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了学生基础知识的运用和图象观察能力，属于基本知识的考查．15．（3分）（2011春•日照校级期末）函数的最小值是cos．考点：余弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由≤x≤，可得≤x﹣≤，从而根据余弦函数的单调性得到 y=cos （x﹣）的最小值．解答：解：∵≤x≤，∴≤x﹣≤，∴y=cos（x﹣）在区间[，]上单调递减，故函数y的最小值等于cos，故答案为：cos．点评：本题考查余弦函数的定义域、单调性和值域，求出≤x﹣≤，是解题的关键，属于基础题．16．（3分）（2015春•莆田校级期中）下列命题中：（1）如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与、之一的方向相同；（2）如果、均为非零向量，则|+|与||+||一定相等；（3）x=2时，向量=（x，1），=（4，x）共线且方向相同；（4）≠，，则其中假命题是（2）（4）．考点：平面向量数量积的运算；向量的物理背景与概念．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的基本概念和相关运算对四个命题分别分析解答．解答：解：对于（1），如果非零向量与的方向相同或相反，根据向量加法的几何意义，那么的方向必与、之一的方向相同；故正确；对于（2），如果、均为非零向量，根据向量加法的几何意义，那么|+|≤||+||；故错误；对于（3），x=2时，向量=（x，1）=（2，1），=（4，x）=（4，2），所以它们共线且方向相同；故正确；对于（4），≠，，则=0，则或者与垂直；故错误；故答案为：（2）（4）．点评：本题考查了向量的基本概念、共线、数量积等基础知识．三、解答题：共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2015春•莆田校级期中）已知，求sinα﹣cosα的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：综合题．分析：由tanα的值及α的范围，根据正弦、余弦函数的图象得到sinα和cosα都小于0，然后利用同角三角形函数间的基本关系切化弦得到一个关于sinα和cosα的关系式，根据sinα和cosα的平方和等于1得到另一个关系式，两关系式联立得到一个方程组，求出方程组的解即可得到sinα和cosα的值，代入所求的式子中即可求出值．解答：解：∵，∴sinα＜0，cosα＜0，由，解得：，∴．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握同角三角函数间的基本关系是解本题的关键，同时会根据tanα的值及α的范围，判断得到sinα和cosα都小于0．18．（2014春•广丰县期末）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：先根据角α终边上一点P确定tanα的值，进而利用诱导公式对原式进行化简整理后，把tanα的值代入即可．解答：解：∵角α终边上一点P（﹣4，3），∴∴==tanα=点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．要特别留意在三角函数转换过程中三角函数的正负号的判定．19．（2015春•莆田校级期中）已知||=4，||=2，且与夹角为120°求：（1）（）•（+）（2）|2﹣|（3）与+的夹角．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知首先求出向量的数量积，（1）展开用向量的平方和数量积表示，代入数值计算；（2）先求其平方，展开，利用向量的平方和数量积计算数值，然后开方求模；（3）设与+的夹角为θ，利用数量积公式得到cosθ的值，从而求向量的夹角．解答：解：由题意可得||2=16，||2=4，且•=||||cos120°=﹣4，（1））（）•（+）==16﹣8+8=16；（2）|2﹣|2=4=64+16+4=84，所以|2﹣|=2；（3）设与+的夹角为θ，则cosθ==，又0°≤θ≤180°，所以θ=30°，与的夹角为30°．点评：本题考查了平面向量的数量积运算、模的求法向量的夹角求法；关键是熟练掌握数量积公式，灵活运用．20．（12分）（2014春•嘉峪关期末）已知=（1，2），=（﹣3，2），当k为何值时：（1）k+与﹣3垂直；（2）k+与﹣3平行，平行时它们是同向还是反向？考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意可得 k+和﹣3的坐标，由 k+与﹣3垂直可得它们的数量积等于 0，由此解得k的值．（2）由 k+与﹣3平行的性质，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k的值．再根据 k+和﹣3的坐标，可得k+与﹣3方向相反．解答：解：（1）由题意可得 k+=（k﹣3，2k+2），﹣3=（10，﹣4），由 k+与﹣3垂直可得（k﹣3，2k+2）•（10，﹣4）=10（k﹣3）+（2k+2）（﹣4）=0，解得k=19．（2）由 k+与﹣3平行，可得（k﹣3）（﹣4）﹣（2k+2）×10=0，解得k=﹣，此时，k+=﹣+=（﹣，），﹣3=（10，﹣4），显然k+与﹣3方向相反．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量共线、垂直的性质，属于中档题．21．（2015春•莆田校级期中）已知y=a﹣bcos2x（b＞0）的最大值是，最小值是﹣，求函数y=﹣4asin（3bx+）的周期、最大值及取得最大值时x的值的集合．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据三角函数的性质先求出a，b的值，即可得到结论．解答：解：∵b＞0，y=a﹣bcos2x（b＞0）的最大值是，最小值是﹣，∴，得a=，b=1，则函数y=﹣4asin（3bx+）=﹣2sin（3x+），则函数的周期T=，当sin（3x+）=﹣1，即3x+=﹣+2kπ，即x=﹣+，k∈Z时，函数y=﹣2sin（3x+）取得最大值2，此时x的集合为{x|x=﹣+，k∈Z}．点评：本题主要考查三角函数的周期性，最值的性质，根据条件求出a，b的值是解决本题的关键．22．（2012秋•枣强县期末）已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），设M是直线OP上一点，O是坐标原点．（1）求使取最小值时的；（2）对（1）中的点M，求∠AMB的余弦值．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：（1）设M（x，y），我们由M是直线OP上一点，则，求出x与y的关系，进而求出的表达式，进而根据二次函数的性质可得M点的坐标，进而求出答案．（2）根据（1）中答案，代入向量夹角公式，可得答案．解答：解：（1）设M（x，y），则，由题意可知，又．所以x﹣2y=0即x=2y，所以M（2y，y），则，当y=2时，取得最小值，此时M（4，2），即．（2）∵．∴∠AMB的余弦值为点评：本题考查的知识点是平面向量夹角公式，共线向量，向量的夹角公式，是向量的综合应用，难度适中．。

升学助考一网通第 1 页成都市六校协作体高2014级第二学期期中试题数 学（全卷满分：150分 完成时间：120分钟）出题人：程晓刚 审题人：曾学伦 陈华东注意事项:选择题答案用铅笔涂写在机读卡上,每小题选出答案后,用铅笔把对应题目的答案标号涂黑.其它题答在答题卷上.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知3cos 4α=，(,0)2απ∈-，则sin 2α的值为 （A ）38 （B ）38- （C（D）2．数列 ,10,6,3,1的一个通项公式是（A ）)1(2--=n n a n （B ）12-=n a n （C ）2)1(+=n n a n （D ）2)1(-=n n a n 3．已知锐角ABC ∆的面积为4BC =，3CA =，则角C 的大小为（A ） 75° （B ） 60° （C ） 45° （D ） 30° 4．已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ （A ）－2 （B ）－12 （C ）12（D ）2 5．在ABC ∆中, ∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a , b , c .若30,8,5=∠==A b a ,则∠B 的 解的个数是 （A ）0个 （B ）1个 （C ）.2个 （D ）不确定的6．公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数,且 3a 11a =16,则5a = （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 7．在ABC ∆中，若22tan tan a A b B=，则ABC ∆为（A ）直角三角形 （B ）等腰三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）等腰三角形或直角三角形8．若552sin =α，1010)sin(=-αβ，且[,]42ππα∈，]23,[ππβ∈，则αβ+的值是 （A ）74π （B ）94π （C ）54π或74π （D ）54π或94π9. 等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若n n S T =2431n n ++，则n a =n b 时n = （A ）2 （B ）6 （C ）无解 （D ）无数多个 10．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比2q =，等差数列{}n b 的首项13b =，公差3d =，在{}n a 中插入{}n b 中的项后从小到大构成新数列{}n c ，则{}n c 的第100项为（A ）270 （B ）273 （C ）276 （D ）279 11．函数()()()3sin 105sin 70f x x x =+++的最大值是（A ）7 （B ）34 （C ）4 （D ）8 12．对于一个有限数列12(,,,)n p p p p =⋅⋅⋅，p 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为121()n S S S n++⋅⋅⋅+，其中12(1,)k k S p p p k n k N =++⋅⋅⋅+∈≤≤．若一个99项的数列（1299,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为1000，那么100项数列1299(9,,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为（A ）991 （B ）992 （C ）993 （D ）999第II 卷（非选择题 共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一 二 三 四 五全校理工科高等数学（90）（下）期中试卷一、填空题(每小题3分，共27分) 1、211ln1yu x y-=-+的定义域为 )1,1(]1,1[-⨯-； 考点：自然定义域（注意：根式函数的定义域、对数函数的定义域） 2、平行于向量=}{6,7,6-的单位向量是}{6,7,6111-±； 考点：单位向量（注意：方向相同与相反的区别）3、点)1,2,1(到平面22100x y z ++-=的距离为1；考点：点到平面的距离公式4、过点)1,1,2(且垂直于向量23i j k ++的平面方程为732=++z y x ； 考点：平面方程（注意：点法式方程）5、 函数2y x z +=在点(1,1)处沿梯度方向的方向导数为5；考点：方向导数（注意：书上的重要结论——函数在某点处沿梯度方向的方向导数即为在该点梯度的模） 6、 交换积分次序：22212(,)x x xdx f x y dy --⎰⎰=⎰⎰++-21121),(y ydx y x f dy ；考点：交换积分次序（注意：将X D 型区域转化为Y D 型区域） 7、⎰⎰⎰≤++Ω++=1222222)(I z y x dv z y x ：，则I 在球坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰1420sin ρφρθφππd d d ；考点：球面坐标系8、椭球面632222=++z y x 在点)1,1,1(处的切平面方程是632=++z y x ； 考点：空间曲面的切平面方程（注意：空间曲面在某点处的切向量公式）9、曲线22203y z x z ⎧+-=⎨=⎩在xoy 面上的投影曲线的方程为⎩⎨⎧==+-00922z x y 。

√√二、计算题（每小题6分，共48分）1、f 具有二阶连续的偏导数，),(22y x xy f z =，求2zx y∂∂∂。

解：(1)21222122xyf f y xy f y f xz+=⋅+⋅=∂∂； (2)()()2222122121121222222x f xy f xy xf x f xy f y yf yx z⋅+⋅++⋅+⋅+=∂∂∂ 22312221132125222yf x f y x f xy xf yf ++++=。

2014-2015学年黑龙江省哈尔滨四中高二（下）期中数学试卷（理科）一．选择题（共12道小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合M={1，﹣2，3}，N={﹣4，5，6，﹣7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中第一，二象限不同点的个数为（）A．18B．14C．16D．102．（5分）复数的共轭复数是（）A．﹣i B．+i C．3+4i D．3﹣4i3．（5分）下列表述中错误的是（）A．归纳推理是由特殊到一般的推理B．演绎推理是由一般到特殊的推理C．类比推理是由特殊到一般的推理D．类比推理是由特殊到特殊的推理4．（5分）二项式（x3﹣）5的展开式中的常数项为（）A．10B．﹣10C．﹣14D．145．（5分）f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=7，则a的值等于（）A．B．C．D．6．（5分）已知（3x2+k）dx=16，则k=（）A．1B．2C．3D．47．（5分）随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（）A．B．C．D．8．（5分）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）工人工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为，下列判断中正确的是（）A．劳动生产率为1000元时，工资为130元B．劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高80元C．劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高130元D．当工资为250元时，劳动生产率为2000元10．（5分）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（）A．240种B．360种C．480种D．720种11．（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n﹣2B．8n﹣2C．6n+2D．8n+212．（5分）设S（n）=++++…+（n∈N*），当n=2时，S（2）=（）A．B．C．D．二．填空题.（共四小题，每题5分，共20分）13．（5分）若展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为．（用数字作答）14．（5分）曲线y=cosx（0≤x≤与x轴以及直线x=所围成的面积为．15．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤X≤0）=0.4，则P（X＞2）=．16．（5分）在10个球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率是．三、解答题（共70分，写出规范的解题的过程）17．（10分）已知复数z=+（m2﹣2m﹣15）i，m∈R．（1）若复数z是纯虚数，求m的值；（2）若复数z是实数，求m的值．18．（12分）在（2x﹣3y）10的展开式中，求：（1）各项系数的和；（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和．19．（12分）设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a≠0），已知曲线y=f（x）在点（2，f （x））处在直线y=8相切．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．20．（12分）（1）6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的分法？（2）6本不同的书分三份，2份1本，1份4本，有多少种不同的分法？（3）6本不同的书平均分给三位小朋友，有多少种不同的分法？21．（12分）有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件．求：（1）第一次抽到次品的概率；（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．22．（12分）袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球．设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分．求：（1）得分ξ的概率分布（2）得分ξ的数学期望和方差．2014-2015学年黑龙江省哈尔滨四中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12道小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合M={1，﹣2，3}，N={﹣4，5，6，﹣7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中第一，二象限不同点的个数为（）A．18B．14C．16D．10【解答】解：由题意知本题是一个分类和分步的综合问题，M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有1×2个．N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有2×2个．∴所求不同的点的个数是2×2+1×2+2×2+2×2=14（个）．故选：B．2．（5分）复数的共轭复数是（）A．﹣i B．+i C．3+4i D．3﹣4i【解答】解：复数==+i，共轭复数为：﹣i．故选：A．3．（5分）下列表述中错误的是（）A．归纳推理是由特殊到一般的推理B．演绎推理是由一般到特殊的推理C．类比推理是由特殊到一般的推理D．类比推理是由特殊到特殊的推理【解答】解：所谓归纳推理，就是从个别性知识推出一般性结论的推理．类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理．故选：C．4．（5分）二项式（x3﹣）5的展开式中的常数项为（）A．10B．﹣10C．﹣14D．14【解答】解：展开式的通项为T r+1=（﹣1）r C5r x15﹣5r，令15﹣5r=0得r=3，所以展开式中的常数项为﹣C53=﹣10故选：B．5．（5分）f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=7，则a的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）=ax3+3x2+2，若f′（x）=3ax2+6x，f′（﹣1）=7，可得3a﹣6=7，解得a=．故选：C．6．（5分）已知（3x2+k）dx=16，则k=（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：由积分基本定理可得，（3x2+k）dx=（=23+2k=16∴k=4故选：D．7．（5分）随机变量X的概率分布规律为P（X=n）=（n=1，2，3，4），其中a是常数，则P（＜X＜）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵P（X=n）=（n=1，2，3，4），∴+++=1，∴a=，∵P（＜X＜）=P（X=1）+P（X=2）=×+×=．故选：D．8．（5分）若函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x′＜x″＜b，有f′（a）＜f′（x′）＜f′（x″）＜f′（b），也即在a，x'，x“，b处它们的斜率是依次增大的．∴A 满足上述条件，B 存在f′（x′）＞f′（x″），C 对任意的a＜x′＜x″＜b，f′（x′）=f′（x″），D 对任意的x∈[a，b]，f′（x）不满足逐项递增的条件，故选：A．9．（5分）工人工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为，下列判断中正确的是（）A．劳动生产率为1000元时，工资为130元B．劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高80元C．劳动生产率平均提高1000元时，工资平均提高130元D．当工资为250元时，劳动生产率为2000元【解答】解：∵工人工资与劳动生产率变化的回归方程为y=50+80x，∴当自变量由x变化为x+1时，y的变化是50+80（x+1）﹣50﹣80x=80，即当劳动生产率平均提高1千元时，工资平均提高80元，只有B选项是说清楚是平均增长，A和C的增加的工资数不对，D选项颠倒了因果关系．故选：B．10．（5分）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（）A．240种B．360种C．480种D．720种【解答】解：因为6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，甲先安排在除开始与结尾的位置还有个选择，剩余的元素与位置进行全排列有，所以甲只能在中间的4个位置，所以不同的演讲次序有=480种．故选：C．11．（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n﹣2B．8n﹣2C．6n+2D．8n+2【解答】解：∵第一个图中有8根火柴棒组成，第二个图中有8+6个火柴棒组成，第三个图中有8+2×6个火柴组成，以此类推组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）∴第n个图中的火柴棒有6n+2故选：C．12．（5分）设S（n）=++++…+（n∈N*），当n=2时，S（2）=（）A．B．C．D．【解答】解：当n=2时，S（2）=，故选：C．二．填空题.（共四小题，每题5分，共20分）13．（5分）若展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为﹣3．（用数字作答）【解答】解：因为展开式中各项系数之和为32，所以x=1时，2n=32，所以n=5，展开式中含x3的项的系数为=﹣405．故答案为：﹣405．14．（5分）曲线y=cosx（0≤x≤与x轴以及直线x=所围成的面积为3．【解答】解：区域对应的图象如图：则对应的面积为|cosx|dx=3cosxdx=3sinx|=3．故答案为：3．15．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤X≤0）=0.4，则P（X＞2）=0.1．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（0，σ2），且P（﹣2≤X≤0）=0.4，∴P（0≤X≤2）=0.4∴P（X＞2）=0.5﹣0.4=0.1故答案为：0.1．16．（5分）在10个球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球的概率是．【解答】解：先求出“第一次摸到红球”的概率为：设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P=根据条件概率公式，得：=故答案为：三、解答题（共70分，写出规范的解题的过程）17．（10分）已知复数z=+（m2﹣2m﹣15）i，m∈R．（1）若复数z是纯虚数，求m的值；（2）若复数z是实数，求m的值．（1）∵复数z=+（m2﹣2m﹣15）i是纯虚数，∴，【解答】解：解得m=﹣1．（2）∵复数z是实数，∴，解得m=5．18．（12分）在（2x﹣3y）10的展开式中，求：（1）各项系数的和；（2）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和．【解答】解：（2x﹣3y）10的展开式中，（1）当x=1，y=1时，各项系数的和为：（2﹣3）10=1；（2）由二项式定理形式的性质可得奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等为：29．19．（12分）设函数f（x）=x3﹣3ax+b（a≠0），已知曲线y=f（x）在点（2，f （x））处在直线y=8相切．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值点．【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=3x2﹣3a∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处在直线y=8相切∴，∴∴a=4，b=24（Ⅱ）f′（x）=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2）令f′（x）＞0，可得x＜﹣2或x＞2；令f′（x）＜0，可得﹣2＜x＜2∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（2，+∞），单调减区间为（﹣2，2）∴x=﹣2是函数f（x）的极大值点，x=2是函数f（x）的极小值点．20．（12分）（1）6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的分法？（2）6本不同的书分三份，2份1本，1份4本，有多少种不同的分法？（3）6本不同的书平均分给三位小朋友，有多少种不同的分法？【解答】解：（1）6本不同的书平均分成三堆，有C62C42C22÷A33=15种分堆方法；（2）6本不同的书分三份，2份1本，1份4本，有C61C51÷A22=15种分法；（3）6本不同的书平均分给三位小朋友，有C62C42C22=90种分法．21．（12分）有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件．求：（1）第一次抽到次品的概率；（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．【解答】解：（1）设第一次抽到次品为事件A，第二次抽到次品为事件B，则第一次抽到次品的概率P（A）==．（2）第一次和第二次都抽到次品的概率P（AB）==．（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率P（B|A）===．22．（12分）袋中有4只红球，3只黑球，今从袋中随机取出4只球．设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分．求：（1）得分ξ的概率分布（2）得分ξ的数学期望和方差．【解答】解：（1）由题意知直接考虑得分的话，情况较复杂，可以考虑取出的4只球颜色的分布情况：∵红4得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，∴P（ξ=5）==，P（ξ=6）==，P（ξ=7）==，P（ξ=8）==，∴ξ的分布列为：（2）ξ的数学期望Eξ==．ξ的数学期望和方差Dξ=（5﹣）2×+（6﹣）2×+（7﹣）2×+（8﹣）2×=．。

江苏省海门中等专业学校2015~2016学年第二学期期中教学质量检测14级数学试卷说明:本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分，第Ⅰ卷2页，第Ⅱ卷1页。

数学两卷满分为100分，考试时间100分钟。

Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ 卷答案写在答题卡上。

第Ⅰ卷（选择题，共36分）注意事项:每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选择其答案标号,如果答案不涂写在答题卡上,成绩无效。

一、选择题（本大题共12小题,每小题3分，共计36分.每小题只有一个正确答案。

） 1。

sin23°cos22°+cos23°sin22°=……（ ） A 。

23 B 。

22 C 。

o 1sin D 。

212。

已知角α是锐角，==αα2sin ,21sin 则……（ ） A.41-B 。

41C 。

43D 。

233．函数y =5sin （62π-x ）的周期、振幅分别是（ ）。

A ．4π ， 5 B ． 4π， -5 C ．π， 5 D ．π, —54．函数y =1+21sin2x 的最大值是 （ ）。

A ．1B ．21C ．23D ．05.已知函数y =2sin(mx +5π)（m 〉0)的周期为52,则m =( ）。

A ．51B ．5πC ． 5D ．5π6.在△ABC 中，,30,34,4oC b a ===则△ABC 的面积为……( ）A 。

316B 。

38 C.34 D 。

327.平移坐标轴，将坐标原点移至O ' （1，1)，则点（2，3）在新坐标系中的坐标为…（ ）.A 。

（3,4） B. (—1，—2） C 。

(2，3) D 。

（1，2）8。

平移坐标轴,将坐标原点移至O ' （0，1)，则新坐标系中的点(2，1）在原坐标系下的坐标为………（ ）A 。

（2，0）B 。

(-2,2) C. (2，2） D 。

浙江省杭州十四中2013-2014学年高二下学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．若集合}2{x y y M ==, }1{-==x y x N , =⋂P M （ ）A ．[)+∞,1B ．[)+∞,0C ．()+∞,0D ．()+∞,1 【答案】A 【解析】试题分析：求出指数函数xy 2=的值域及函数01≥-=x y 的定义域，分别确定出集合M 和N ，找出两集合解集中的公共部分即可得到两集合的交集．考点：交集及其运算；指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 2．抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为（ ） A ．18- B ．18C ．8D ．8- 【答案】A 【解析】试题分析：首先把抛物线方程转化为标准方程y ax 12=的形式，再根据其准线方程为241=-=ay 即可求之． 考点：抛物线的定义． 3．函数)23(log 21-=x y 的定义域是（ ）A ．[)+∞,1B ．),32(+∞C ．]1,32[D ．]1,32( 【答案】D 【解析】试题分析：函数)23(log 21-=x y 的定义域即0)23(log 21≥-x ，即1230≤-<x ，解出即可.考点：函数的定义域及其求法． 4．下列四个命题：x R ∀∈，250x +>”是全称命题；命题“x R ∀∈，256x x +=”的否定是“0x R ∃∉，使20056x x +≠”；若x y =，则x y =；若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题．其中真命题的序号是（ ）A ．①②B ．①④C ．②④D ．①②③④ 【答案】B 【解析】试题分析：①因为命题中含有全称量词∀，所以①是全称命题，所以①正确．②全称命题的否定是特称命题，所以命题“65,2=+∈∀x x R x ”的否定是“65,0200≠+∈∃x x R x ”，所以②错误．③根据绝对值的意义可知，若x y =，则y x ±=，所以③错误．④根据复合命题的真假关系可知，若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，所以④正确．故真命题是①④．故选B ．考点：复合命题的真假；命题的真假判断与应用．5．设A 、B 两点的坐标分别为)0,1(-、)0,1(，条件甲：点C 满足0>⋅→→BC AC ； 条件乙：点C 的坐标是方程)0(13422≠=+y y x 的解. 则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【解析】试题分析：设),(y x C ，条件甲：10),1(),1(022>+⇔>-⋅+⇔>⋅→→y x y x y x BC AC ．其对应的图形是圆内，而点C 的坐标是方程)0(13422≠=+y y x 的解的点C 所对应的图形是椭圆，观察图形得甲是乙的必要不充分条件即可．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；数量积表示两个向量的夹角．6．已知命题P ：函数)1(log +=x y a 在),0(+∞内单调递减；Q ：曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴没有交点．如果“P 或Q ”是真命题，“P 且Q ”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)25,1(]21,0( B ．),25(]21,0(+∞ C ．)25,1()1,21[ D ．),25()1,21[+∞【答案】A 【解析】试题分析：根据对数函数的单调性与底数的关系，我们可以判断出命题P 为真时，实数a 的取值范围，根据二次不等式恒成立的充要条件，可以判断出命题Q 为真时，实数a 的取值范围，进而根据“P 或Q ”是真命题，“P 且Q ”是假命题，得到命题P 和Q 必然一真一假，分别讨论P 真Q 假时，和P 假Q 真时，实数a 的取值范围，综合讨论结果，即可得到答案．考点：命题的真假判断与应用；对数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式的应用．7．设函数2||1(||1)()1(||1)x x f x xx ->⎧=⎨-≤⎪⎩关于x 的方程()()f x a a R =∈的解的个数不可能是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A 【解析】试题分析：可以先分别画出函数)(x f 与a x g =)(的图象，然后结合图象的特征即可获得解答.考点：根的存在性及根的个数判断．8．已知)2,4(是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程是( )A ．02=-y xB ．042=-+y xC ．0432=++y xD ．082=-+y x【答案】D【解析】试题分析：利用“点差法”即可得出直线l 的斜率，即设直线l 与椭圆相交于两点),(),,(2211y x B y x A ，代入椭圆方程得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1936193622222121y x y x ，两式相减得09))((36))((21212121=+-+-+y y y y x x x x ，由)2,4(为),(),,(2211y x B y x A 两点的中点可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+22422121y y x x 代入上式可求直线l 的斜率，然后利用点斜式即可得出方程．考点：直线与圆锥曲线的关系． 9．函数xxy 24cos =的图象大致是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：由函数的解析式可以看出，函数的零点呈周期性出现，且法自变量趋向于正无穷大时，函数值在x 轴上下震荡，幅度越越小，而当自变量趋向于负无穷大时，函数值在x 轴上下震荡，幅度越越大．A 选项符合题意；B 选项振幅变化规律与函数的性质相悖，不正确；C 选项是一个偶函数的图象，而已知的函数不是一个偶函数故不正确；D 选项最高点离开原点的距离的变化趋势不符合题意，故不对．综上，A 选项符合题意.考点：余弦函数的图象.10．如图，16:22=+Θy x O ，)0,2(-A ，)0,2(B 为两个定点，l 是O Θ的一条切线，若过A ，B 两点的抛物线以直线l 为准线，则该抛物线的焦点的轨迹是( )A ．圆B ．双曲线C ．椭圆D ．抛物线 【答案】C 【解析】Oyx Oyx OyxO yxAB CD试题分析：焦点到A 和B 的距离之和等于A 和B 分别到准线的距离和，而距离之和为A 和B 的中点O 到准线的距离的二倍是定值，结合椭圆的定义得焦点的轨迹方程C 是以A 和B为焦点的椭圆．考点：圆锥曲线的轨迹问题． 11．（1）若函数)2ln(21)(2++-=x b x x f 在),1(+∞-上是减函数，则b 的取值范围是( )A ．),1[+∞-B ．),1(+∞-C ．)1,(--∞D ．]1,(--∞（2）已知函数.,ln 1)(R ∈+-=a xxa x f ．则有)(x f 的极大值为________． 【答案】（1）D ；（2）ae -.【解析】试题分析：（1）先对函数进行求导，根据导函数小于0时即02)('<++-=x bx x f ，在),1(+∞-上恒成立，即)2(+<x x b 在),1(+∞-上恒成立，再由)2(+=x x y 在),1(+∞-上是增函数且1)1(-=-y ，所以1-≤b ；（2）先对函数求导，通过探讨导数的符号得函数的单调性，即可的函数的极大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．二、填空题12．若椭圆2214x y m +=的离心率是12，则m 的值为 . 【答案】3或316【解析】试题分析：分类讨论：①当椭圆的焦点在x 轴时，42=a ，m b =2，椭圆的离心率2124=-=m e ，解得3=m ；②当椭圆的焦点在y 轴时，m a =2，42=b ，椭圆的离心率214=-=m m e ，解得316=m ． 考点：椭圆的简单性质． 13．已知p ：112x ≤≤，q ：()(1)0x a x a --->，若p 是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .【答案】]21,0[ 【解析】试题分析：根据命题p 和q ，利用一元二次方程的解法分别求出命题1:+>a x q 或a x <，p 是q ⌝的充分不必要条件可以推出⇒p q ⌝，从而有21≤a ，11≥+a ，解此不等式即可求出实数a 的取值范围；考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．14．已知函数12(0)()(0,1)3(0)x a x f x a a a x x ⎧≤⎪=>≠⎨⎪->⎩且是R 上的减函数，则a 的取值范围是 . 【答案】]31,0( 【解析】试题分析：当0≤x 时，xa x f =)(为减函数知，10<<a ；当0>x 时，213)(xa x f -=为减函数知，R a ∈；并且要满足当0≤x 时函数xa x f =)(的图象在当0>x 时函数213)(x a x f -=的上方即a a 30≥，解得31≤a .综上易知a 的取值范围为]31,0(. 考点：分段函数；函数的单调性.15．若双曲线22221x y a b-=的渐近线与方程为22(2)3x y -+=的圆相切，则此双曲线的离心率为 ． 【答案】2 【解析】 试题分析：先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a 和b 的关系，进而利用222b a c +=求得a 和c 的关系，则双曲线的离心率可求． 考点：双曲线的简单性质．16．函数32)(2+-=x x x f ，若2)(<-a x f 恒成立的充分条件是21≤≤x ，则实数a 的取值范围是 ．【答案】41<<a 【解析】试题分析：根据充分条件的定义将条件转化为不等式恒成立，即当21≤≤x 时，2)(<-a x f 恒成立，即a x f a +<<+-2)(2恒成立；然后利用二次函数的性质易求其最值为3)(2<<x f ，要使得a x f a +<<+-2)(2，需要满足⎩⎨⎧+<<+-aa 2322，化简求解之即可．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．17．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的直线0=+-m my x 与抛物线交于A 、B 两点，且OAB ∆（O 为坐标原点）的面积为，则46m m += .【答案】2 【解析】试题分析：先根据抛物线的方程求得焦点的坐标，代入直线方程求得m 和p 的关系式，进而把直线与抛物线方程联立消去y ，求得方程的解，进而根据直线方程可分别求得1y 和2y ，OAB ∆的面积可分为OAP ∆与OBP ∆的面积之和，而OAP ∆与OBP ∆若以OP 为公共底，则其高即为A 、B 两点的y 轴坐标的绝对值，进而可表示三角形的面积进而求得p ，则m 的值可得，代入46m m +中，即可求得答案． 考点：椭圆的简单性质．三、解答题18．已知)(x f 是R 上的奇函数，且当0>x 时，22)(2++-=x x x f . (1)求)(x f 的表达式；(2)画出)(x f 的图象，并指出)(x f 的单调区间．【答案】(1) ⎪⎩⎪⎨⎧>++-=<-+=.0,22,0,0,0,22)(22x x x x x x x x f ；（2）由图可知，其增区间为)0,1[-和]1,0(，减区间为]1,(--∞和),1[+∞． 【解析】试题分析：（1）根据)(x f 是定义在R 上的奇函数，先设0<x 时，则0>-x ，结合题意得到2)(2)()(2+-+--=-x x x f ，然后利用函数的奇偶性进行化简，进而得到函数的解析式．（2）先画出当0≥x 时的函数图象，结合奇函数图象关于原点对称可画出0<x 时的函数图象即可.（3）结合函数的图象进行判断.(1) 设0<x 时，则0>-x ，222)(2)()(22+--=+-+--=-∴x x x x x f . 又)(x f 为奇函数，)()(x f x f -=-∴．22)(2-+=∴x x x f .又0)0=f ，⎪⎩⎪⎨⎧>++-=<-+=∴.0,22,0,0,0,22)(22x x x x x x x x f(2)先画出)0)((>=x x f y 的图象，利用奇函数的对称性可得到相应)0)((<=x x f y 的图象，其图象如右图所示．由图可知，其增区间为)0,1[-和]1,0(，减区间为]1,(--∞和),1[+∞． 考点：函数的零点与方程根的关系；奇偶性与单调性的综合. 19．已知函数12||)(2-+-=a x ax x f （a 为实常数）． （1）若1=a ，求函数)(x f 的单调区间；（2）设)(x f 在区间]2,1[上的最小值为)(a g ，求)(a g 的表达式． 【答案】（1）)(x f 的单调递减区间为]21,(--∞ 和]21,0[；（2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤≤-->-=41,362141,411221,23)(a a a a a a a a g .【解析】试题分析：（1）根据绝对值的含义，取绝对值符号写出函数的分段形式； （2）根据二次函数的对称轴方程与区间位置，分类讨论求最小值)(a g 的解析式．（1）1=a ，⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+-=+-=.0,1,0,11||)(222x x x x x x x x x f)(x f 的单调递减区间为]21,(--∞ 和]21,0[；（2）当0=a 时，]2,1[∈x ，1)(--=x x f ，在]2,1[上单调递减， 所以当2=x 时，3)(min -=x f ；当0>a 时，]2,1[∈x ，aa a x a a x ax x f 4112)21(12)(22--+-=-+-=. （ⅰ）当1210<<a ，即21>a 时，此时)(x f 在]2,1[上单调递增，所以1=x 时，23)(min -=a x f ；（ⅱ）当2211≤≤a ，即2141≤≤a 时，当a x 21=时，a a x f 4112)(min --= ； （ⅲ）当221>a ，即410<<a 时，此时)(x f 在]2,1[上单调递减，所以2=x 时，36)(min -=a x f当0<a 时，]2,1[∈x ，aa a x a a x ax x f 4112)21(12)(22--+-=-+-=，此时)(x f 在]2,1[上单调递减，所以2=x 时，36)(min -=a x f .综上：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-≤≤-->-=41,362141,411221,23)(a a a a a a a a g考点：二次函数的性质；函数的图象与图象变化．20．已知线段CD =，CD 的中点为O ，动点A 满足2AC AD a +=（a 为正常数）． （1）建立适当的直角坐标系，求动点A 所在的曲线方程；（2）若2a =，动点B 满足4BC BD +=，且OA OB ⊥，试求AOB ∆面积的最大值和最小值．【答案】（1）222213x y a a +=-；（2）S 的最小值为45，最大值为1. 【解析】试题分析：（1）先以O 为圆心，CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系，以a 2与32的大小关系进行分类讨论，从而即可得到动点A 所在的曲线；（2）当2a =时，其曲线方程为椭圆2214x y +=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， OA 的斜率为k (0)k ≠，则OA 的方程为y kx =，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y 得到关于x 的一元二次方程，再结合涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式），求得△AOB 面积，最后求出面积的最大值即可，从而解决问题． （1）以O 为圆心，CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系.若2AC AD a +=<，即0a <<A所在的曲线不存在；若2AC AD a +==a ，动点A 所在的曲线方程为0(y x =；若2AC AD a +=>a ，动点A 所在的曲线方程为222213x y a a +=-.……4分(2)当2a =时，其曲线方程为椭圆2214x y +=.由条件知,A B 两点均在椭圆2214x y +=上，且OA OB ⊥设11(,)A x y ，22(,)B x y ， OA 的斜率为k (0)k ≠，则OA 的方程为y kx =，OB 的方程为1y x k =-解方程组2214y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得212414x k =+，2212414k y k =+ 同理可求得222244k x k =+，22244y k =+AOB ∆面积2S ==令21(1)k t t +=>则S ==令22991125()49()(1)24g t t t t t =-++=--+>所以254()4g t <≤，即415S ≤<当0k =时，可求得1S =,故415S ≤≤，故S 的最小值为45，最大值为1.考点：直线与圆锥曲线的综合问题.21．无论m 为任何实数，直线m x y l +=:与双曲线)0(12:222>=-b b y x C 恒有公共点. （1）求双曲线C 的离心率e 的取值范围；（2）若直线l 过双曲线C 的右焦点F ，与双曲线交于Q P ,两点，并且满足→→=FQ FP 51，求双曲线C 的方程.【答案】（1）2>e ；（2）172:22=-y x C . 【解析】试题分析：（1）欲求双曲线C 的离心率e 的取值范围，只需找到a ，c 的齐次不等式，根据直线l ：m x y +=与双曲线)0(12:222>=-b by x C 恒有公共点，联立方程后，方程组必有解，0≥∆成立，即可得到含a ，c 的齐次不等式，离心率e 的取值范围可得．（2）先设直线l 的方程，与双曲线方程联立，求出1y ，2y ，代入→→=FQ FP 51，化简，即可求出2b ，代入12222=-b y x 即可． （1）联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=12222by x m x y ，得02)(22222=-+-b m x x b ， 即0)(24)2(2222=+---b m xm x b当22=b 时，0=m ，直线与双曲线无交点，矛盾所以22≠b ．所以2≠e ．因为直线与双曲线恒有交点，0≥∆恒成立即0)2(8)2(81622222≥-+-+b b m b m .所以222m b -≥，所以2≥e ，2>e ．（2）)0,(c F ,直线l ：c x y -=，⎪⎩⎪⎨⎧=--=12222by x c x y ，022)2(222222=-++-b c b y cb y b 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=22222222212221b b c b y y b cb y y因为→→=FQ FP 51，所以2151y y =，整理得，52)2(9222242b c b b b c -=- 因为02>b ，所以222b c =-，51)2(9222=-+b b ，所以72=b 所以双曲线172:22=-y x C . 考点：圆锥曲线的综合；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质． 22．设函数)0()(223>+-+=a m x a ax x x f（1）若1=a 时，函数)(x f 有三个互不相同的零点，求m 的取值范围； （2）若函数)(x f 在]1,1[-内没有极值点，求a 的取值范围；（3）若对任意的]6,3[∈a ，不等式1)(≤x f 在]2,2[-∈x 上恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）)275,1(-；（2）}3{>a a ；（3）}87{-≤m m . 【解析】试题分析：（1）1=a 时，m x x x x f +-+=23)(，)(x f 有三个互不相同的零点，即m x x x =+--23有三个互不相同的实数根，构造函数确定函数的单调性，求函数的极值，从而确定m 的取值范围；（2）要使函数)(x f 在]1,1[-∈x 内没有极值点，只需0)('=x f 在]1,1[-上没有实根即可，即0)('=x f 的两根a x -=或3ax =不在区间]1,1[-上； （3）求导函数确定极值点，利用a 的取值范围，求出)(x f 在]2,2[-∈x 上的最大值，再求满足1)(≤x f 时m 的取值范围．（1）当1=a 时，m x x x x f +-+=23)(.因为)(x f 有三个互不相同的零点，所以0)(23=+-+=m x x x x f ，即m x x x =+--23有三个互不相同的实数根.令x x x x g +--=23)(，则)1)(13()('+--=x x x g .令0)('>x g ，解得311<<-x ；令0)('<x g ，解得1-<x 或31>x . 所以)(x g 在)1,(--∞和),31(+∞上为减函数，在)31,1(-上为增函数.所以1)1()(min -=-=g x g ，275)31()(max ==g x g .所以m 的取值范围是)275,1(-.（2）因为)0()(223>+-+=a m x a ax x x f ，所以22'23)(a ax x x f -+=.因为)(x f 在]1,1[-∈x 内没有极值点，所以方程023)(22'=-+=a ax x x f 在区间]1,1[-上没有实数根，由016)(124222>=-⨯-=∆a a a ，二次函数对称轴03<-=ax ， 当0)('=x f 时，即0))(3(=+-a x a x ，解得a x -=或3a x =，所以⎪⎩⎪⎨⎧>-<-131a a ，或13-<a （3-<a 不合题意，舍去），解得3>a .所以a 的取值范围是}3{>a a ；（3）因为023)(22'=-+=a ax x x f ，所以a x -=或3a x =，且]6,3[∈a 时，]2,1[3∈a，]3,(--∞∈-a .又因为]2,2[-∈x ，所以)('x f 在]3,2[a-上小于0，)(x f 是减函数；)('x f 在]2,3(a上大于0，)(x f 是增函数；所以)}2(),2(m ax {)(max f f x f -=，而0416)}2()2(2<-=--a f f ，所以m a a f x f +++-=-=2max 248)2()(，又因为1)(≤x f 在]2,2[-上恒成立，所以1)(max ≤x f ，即12482≤+++-m a a ，即2249a a m --≤，在]6,3[∈a 上恒成立.因为2249a a --在]6,3[∈a 上是减函数，最小值为-87. 所以87-≤m ，即m 的取值范围是}87{-≤m m .考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．。

北京市第十四中学第二学期高一期中试卷数学word含解析北京市第十四中学2019-2019学年度第二学期高一数学学科期中试题一、选择题：（每小题3分，共42分）1．直线l 经过原点和点(1,1)--，则它的倾斜角是（ ）． A ．π4B ．5π4C ．π4或5π4D ．π4-【答案】A【解析】∵直线过原点(0,0)和(1,1)--， ∴直线的斜率为10110--=--，∴tan 1α=，π4α=，故选A ．2．在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由y x a =+的斜率为1，排除B 、D ；若y ax =递增，则y x a =+与y 轴的交点，在y 轴的正半轴上； 若y ax =递减，则y x a =+与y 轴的交点，在y 轴的负半轴上； 结合图象，只有C 符合，故选C ．3．等差数列{}na 的前n 项和nS ，若12a =，312S =，则6a =（ ）．xyOO yxxyOxyO式（ ）． A ．23n a n =- B ．23n a n =+ C ．1,123,2n n a n n =⎧=⎨-⎩≥ D ．1,123,2n n a n n =⎧=⎨+⎩≥【答案】C【解析】当1n =时，111221a S ==-=+；当2n ≥时，22122(1)2(1)2nnn a S Sn n n n -⎡⎤=-=-----⎣⎦++∴1,123,2n n a n n =⎧=⎨=⎩≥，故选C ．7．直线27x y -=与直线3270x y +-=的交点是（ ）． A ．(3,1)- B ．(1,3)- C ．(3,1)-- D ．(3,1) 【答案】A 【解析】解方程组273270x y x y -=⎧⎨-=⎩+得31x y =⎧⎨=-⎩，所以直线27x y -=和直线3270x y -=+的交点是(3,1)-，故选A ．8．已知非零实数a ，b 满足a b <，则下列不等式中一定成立的是（ ）． A ．a b +> B ．11a b> C ．2ab b <D ．330a b -< 【答案】D【解析】A 选项，当0a <，0b <时，0a b <+，故A 错误；B选项，当0a b<<时，11a b<，故B 错误；C选项，当0a b <<时，2ab b >，故C 错误；D选项，当a b <时，33ab <，∴330a b -<，故D 正确．综上所述，故选D ．9．如果直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（ ）．A ．1B ．13-C ．23-D ．2-【答案】D【解析】∵直线210ax y =++与直线20x y -=+垂直， ∴(1)12a-⋅-=-，解得2a =-，故选D ．10．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤≤≥，则2z x y =+的最大值为（ ）．A ．0B ．1C ．32 D ．2 【答案】D【解析】 作出可行域如图所示： 目标函数z表示斜率为12-的直线1122y x z=-+纵截距的2倍．由图可知，当2z x y =+过点(0,1)取得最大值，max2z x =，故选D ．11．方程2222210xy ax ay a a +++++-=表示的曲线是圆，则a 的取值范围是（ ）． A ．RB ．2(,2),3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】 【解析】若方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示的曲线是圆，则222(2)4(21)0aa a a +-+->，化简得23440a a +-<，解得223a -<<，故选D ．12．在等比数列{}na 中，13a =，1239a a a ++=，则456a a a ++等于（ ）．A ．9B ．72C ．9或72D ．9或72- 【答案】D【解析】∵13a =，1239a a a ++=，设公比为q ，∴21119a a q a q++=即22339q q++=，解得2q =-或1q =，当1q =时，3456123()9a a a a a a q ++=++=， 当2q =时，3456123()72a a a a a a q ++=++=-．∴4569a a a ++=或72-，故选D ．13．已知直线1l 和2l 的夹角平分线为y x =，如果1l 的方程是0(,0)ax by c a b ++=>那么2l 的方程是（ ）．A ．0bx ay c ++=B ．0ax by c -+=C ．0bx ay c +-=D ．0bx ay c -+= 【答案】A【解析】根据题意可得直线1l 与直线2l 关于直线y x =对称，因为直线1l 上任意一点(,)M x y 关于直线y x =的对称点为(,)N y x ，而1l 的方程式0ax by c ++=，故2l 的方程式0ay bx c ++=，即bx ay c ++=．故选A ．14．已知正项等比数列{}na 满足7652a a a =+，若存在两项ma ，na 14m n a a a ，则19m n+的最小值为（ ）．A ．83B ．114C ．145D ．176【答案】B【解析】设等比数列的公比为(0)q q >，则 ∵7652a a q a =+，∴25152a qa q a =+，即220qq --=，∴2q =．∵存在两项ma ，na 14m n a a a =，当1m =，5n =时，19145m n +=； 当2m =，4n =时，19114m n +=； 当4m =，2n =时，19194m n +=； 当5m =，1n =时，19465m n +=．∴19m n+的最小值为114，故选B ．二、填空题：（每小题4分，共28分）．15．直线52100x y --=在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a =__________，b =__________． 【答案】2，5-【解析】令0y =，解得2x =，故2a =， 令0x =，解得5y =-，故5b =-．16．点(1,2)P -到直线30x y +-=的距离为__________． 2【解析】由点到直线的距离公式可知点(1,2)P -到直线30x y +-=的距离2112d =+17．设等比数列{}na 的各项均为正数，若11a =，34a =，则n a =__________．【答案】12n -【解析】∵等比数列{}na 各项均为正数，11a =，34a =，18．不等式(3)(10)1x x x -->-的解集是__________．【答案】(1,3)(10,)+∞【解析】不等式(3)(10)1x x x -->-等价于(3)(10)(1)0x x x --->，用穿根法求得解集为(1,3)(10,)+∞．19．若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__________时，{}na 的前n 项和最大．【答案】8【解析】根据题意得可知，189830a a a a ++=>，710890a aa a +=+<，∴等差数列{}na 中，80a >，90a <，故当8n =时，{}na 的前n 项和最大．20．如果直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且直线不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是__________． 【答案】[0,2]【解析】由题意可知直线l 过圆心(1,2)，且不过第四象限， 由图可知：02k ≤≤． 21．动圆222(42)24410xy m x my m m +-+-+++=的圆心的轨迹方程是__________． 【答案】210x y --=(1)x ≠【解析】将圆的方程化为标准方程得[]222(21)()x m y m m -++-=，则圆心坐标21x m y m=+⎧⎨=⎩，且0m ≠，消去m 可得21x y =+，即210x y --=， 又∵0m ≠，∴1x ≠．故圆心的轨迹方程式210(1)x y x --=≠． 三、解答题：（每小题10分，共30分）．22．已知三角形ABC 的顶点坐标为(1,5)A -、(2,1)B --、(4,3)C ，M 是BC 边上的中点．（Ⅰ）求AB 边所在的直线方程． （Ⅱ）求中线AM 的长．（Ⅲ）求AB 边的高所在直线方程． 【答案】【解析】（1）根据你题意可得直线AB 的斜率1562(1)k --==---，故直线AB 的方程为56(1)y x -=+， 即6110x y -+=．（2）由中点坐标公式可得BC 的中点M 为(1,1)， 故22(11)(51)25AM --+-（3）由（1）可以知道AB 的斜率为6，故AB 边上的高所在直线斜率为16-，故直线方程为13(4)6y x -=--，即6220x y +-=．23．已知在等比数列{}na 中，11a =，且2a 是1a 和31a -的等差中项．（Ⅰ）求数列{}na 的通项公式．（Ⅱ）若数列{}n b 满足*21()n n b n a n =-+∈N ，求{}n b 的前n 项和n S ． 【答案】【解析】（1）设等比数列{}na 的公比为q ，∵2a 是1a 和31a -的等差中项，∴2211q q =+-，解得0q =（舍）或2q =，∴{}nb 的前几项和24．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数2()2()f x x x b x =++∈R 与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C．（Ⅰ）求实数b 的取值范围． （Ⅱ）求圆C 的方程（含有参数b ）．（Ⅲ）问圆C 是否经过定点（其坐标与b 的无关）？请证明你的结论． 【答案】【解析】（1）令0x =，得此函数的图象与y 轴的交点是(0,6)， 令2()20f x x x b =++=，由题意可知：b ≠且440b ∆=->，解得1b <且0b ≠．（2）设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，令0y =得2x Dx F ++=，由二次函数和圆与x 轴的交点相同可知它与220xx b ++=是同一个方程，故2D =,F b =．令0x=得20++=，此方程有一个根为b，代入解得1y Ey F=--；E b∴圆C的方程为222(1)0++-++=．x y x b y b（3）由222(1)0++-+-=，x y x y y bx y x b y b++-++=得222(1)0当1y=时，得220x=-或0x=，+=，解得2x x∴无论b取何值，圆C必过定点(2,1)-或(0,1)．第 11 页。

丰台区2013-2014学年度第二学期期中练习高 三 数 学（理科） 2014.3第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）设集合{|11}A x R x =∈-≤≤,{|(3)0}B x R x x =∈-≤,则A B 等于（A ） {|13}x R x ∈-≤≤ （B ） {|03}x R x ∈≤≤ （C ） {|10}x R x ∈-≤≤ （D ） {|01}x R x ∈≤≤ （2）在极坐标系中，点A （1,π）到直线cos 2=ρθ的距离是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）执行如图所示的程序框图，输出的x 值为 （A ）85 （B ）2912 （C ）53（D ）138（4）已知函数()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(3)(1)f f >，则下列各式中 一定成立的是（A ）(0)(6)f f < （B ）(-3)(-2)f f > （C ）(1)(3)f f -< （D ）(-2)(1)f f > （5） “1m n >>”是 “log 2log 2m n <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大 赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.若甲乙两 人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是 （A ）x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 （B ）x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 （C ）x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛（D ）x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛（7）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如 图所示，那么该几何体的体积是（A ）143 （B ）4 （C ）103（D ）3（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年 年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年 到2999年中“七巧年”共有（A ）24个 （B ）21个 （C ）19个 （D ）18个侧视图俯视图主视图第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。