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《抛物线的简单几何性质》教案课题：8．6抛物线的简单几何性质（一）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p本节分两课时进行教学第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3教学过程：一、复习引入：1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线图形xyOFl xyOFl方程)0(22p px y)0(22p px y)0(22p py x)0(22p py x焦点)0,2(p )0,2(p )2,0(p )2,0(p 准线2p x 2p x 2p y2p yxyO FlxyOF l2．抛物线的标准方程：相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242p p 不同点：(1)图形关于X 轴对称时，X 为一次项，Y 为二次项，方程右端为px 2、左端为2y ；图形关于Y 轴对称时，X 为二次项，Y 为一次项，方程右端为py 2，左端为2x（2）开口方向在X 轴（或Y 轴）正向时，焦点在X 轴（或Y 轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴（或Y 轴）负向时，焦点在X 轴（或Y 轴）负半轴时，方程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质1．范围因为p ＞0，由方程022p px y 可知，这条抛物线上的点M 的坐标(x ，y)满足不等式x ≥0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性以－y 代y ，方程022p px y 不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程022p px y中，当y=0时，x=0，因此抛物线022p px y 的顶点就是坐标原点．4．离心率抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示．由抛物线的定义可知，e=1．对于其它几种形式的方程，列表如下：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率22ppx yxyOFl,0x 轴,2p 2p x1e 022ppx yxyOFl,0x 轴,2p2p x1e22ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）假设抛物线y 2＝2px 存在渐近线y ＝mx ＋n ，A （x ，y ）为抛物线上一点，A 0（x ，y 1）为渐近线上与A 横坐标相同的点如图，则有px y2和y 1＝mx ＋n ．∴pxn mxy y 21xp xn mx 2当m ≠0时，若x →＋∞，则yy 1当m ＝0时，px ny y 21，当x →＋∞，则yy 1这与y ＝mx ＋n 是抛物线y 2＝2px 的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例1已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(M ，求它的标准方程，并用描点法画出图形．分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p ．xyA 0AO解：由题意，可设抛物线方程为px y 22，因为它过点)22,2(M ，所以22)22(2p ，即2p因此，所求的抛物线方程为x y42．将已知方程变形为x y 2，根据x y2计算抛物线在0x的范围内几个点的坐标，得x 0 1 2 3 4 …y22.83.54…描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm ，灯深为40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p 值．解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x 轴垂直于灯口直径．设抛物线的标准方程是px y22(p ＞0)．由已知条件可得点A 的坐标是(40，30)，代入方程，得402302p ，即445p所求的抛物线标准方程为x y 2452．例3 过抛物线px y 22的焦点F 任作一条直线m ，交这抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆和这抛物线的准线相切．分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．证明：如图．设AB 的中点为E ，过A 、E 、B 分别向准线l 引垂线AD ，EH ，BC ，垂足为D 、H 、C ，则｜AF ｜＝｜AD ｜，｜BF ｜＝｜BC ｜∴｜AB ｜＝｜AF ｜＋｜BF ｜＝｜AD ｜＋｜BC ｜＝2｜EH ｜所以EH 是以AB 为直径的圆E 的半径，且EH ⊥l ，因而圆E 和准线l 相切．四、课堂练习：1．过抛物线x y42的焦点作直线交抛物线于11,y x A ，22,y x B 两点，如果621x x ，那么||AB =（ B ）（A ）10（B ）8（C ）6（D ）4xyEOF B ADC H2．已知M 为抛物线x y42上一动点，F 为抛物线的焦点，定点1,3P ，则||||MF MP 的最小值为（ B ）（A ）3 （B ）4（C ）5（D ）63．过抛物线02a axy 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的长分别是p 、q ，则qp11=（ C ）（A ）a2（B ）a21（C ）a4（D ）a44．过抛物线x y42焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是______ (答案：122x y )5.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y2上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标（答案：22,45M , M到y 轴距离的最小值为45）五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、课后作业：1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．（1）顶点在原点，对称轴是x 轴，顶点到焦点的距离等于8．（2）顶点在原点，焦点在y 轴上，且过P （4，2）点．（3）顶点在原点，焦点在y 轴上，其上点P （m ，－3）到焦点距离为5．2．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．4．以椭圆1522yx的右焦点，F 为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？习题答案：1．（1）y 2＝±32x （2）x 2＝8y（3）x 2＝－8y2．90°3．x 2＝±16 y 4．545．520米七、板书设计（略）八、课后记：课题：8．6抛物线的简单几何性质（二）教学目的：1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式；3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点：抛物线的几何性质及其运用教学难点：抛物线几何性质的运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：抛物线的几何性质：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率22ppx yxyOFl,0x 轴,2p 2p x1e 022ppx yxyOFl,0x 轴,2p2p x1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 022ppy x,0y 轴2,0p 2p y1e 注意强调p 的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线二、讲解新课：1.抛物线的焦半径及其应用：定义：抛物线上任意一点M 与抛物线焦点F 的连线段，叫做抛物线的焦半径焦半径公式：抛物线)0(22p px y，022x p p x PF抛物线)0(22p px y，0022x p p x PF抛物线)0(22p py x，0022y p p y PF抛物线)0(22p py x，0022y p p y PF2．直线与抛物线：（1）位置关系：相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点）下面分别就公共点的个数进行讨论：对于)0(22p px y当直线为0y y ，即0k，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点当0k ，设bkxyl :将b kxy l :代入0:22FEy Dx Cy AxC ，消去y ，得到关于x 的二次方程02cbxax （*）若0，相交；0，相切；0，相离综上，得：联立pxyb kx y 22，得关于x 的方程02cbx ax当0a （二次项系数为零），唯一一个公共点（交点）当0a，则若0，两个公共点（交点）0，一个公共点（切点）0，无公共点（相离）（2）相交弦长：弦长公式：21k ad，其中a 和分别是02c bx ax（*）中二次项系数和判别式，k 为直线b kxy l :的斜率当代入消元消掉的是y 时，得到02cby ay ，此时弦长公式相应的变为：211kad（3）焦点弦：定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。
教案设计高中数学《抛物线的简单几何性质》一、教材分析（一）教学内容《抛物线的简单几何性质》是人教版高中数学（必修）第二册上第八章的第6节的内容。
本节课的主要内容是探究抛物线的简单几何性质及应用。
通过对抛物线的简单几何性质进行分析，并利用这些性质来解决简单的几何问题。
（二）教材的地位和作用本节课是在学习了抛物线的定义及其标准方程的基础上，系统地按照抛物线方程来研究抛物线的简单几何性质，该内容是高中数学的重要内容，也是高考的重点与热点内容。
其中，蕴含的数形结合思想也是高中数学的重要思想。
学习本节课的内容能够较好地培养学生抽象概括能力，观察分析能力和探索求知的精神。
（三）课时安排本节内容安排1课时完成教学。
二、教学目标根据新课程标准的理念以及对教材的分析和高中学生的认知规律，本课节的教学目标确定为：知识目标：掌握抛物线的简单几何性质，理解抛物线方程与抛物线曲线间互逆推导的逻辑关系及利用数形结合解决实际问题，初步学习利用方程研究曲线性质的方法。
能力目标：让学生经历知识产生与形成的过程，培养学生观察、分析、逻辑推理、理性思维的能力，以及对研究方法的思想渗透及运用数形结合思想解决问题的能力。
情感目标：通过数与形的辩证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，培养学生认真参与、积极交流的主体意识，锻炼学生善于发现问题的规律和及时解决问题的态度。
三、难重点分析重点：抛物线的简单几何性质。
只有在完全掌握抛物线的简单几何性质的基础上，才能自如地解决相关几何问题。
难点：抛物线的简单几何性质的应用。
要求能灵活地运用抛物线的性质来解决简单的几何问题。
四、教法与学法分析（一）教法分析本节课以启发式教学为主，综合运用演示法、讲授法、讨论法、有指导的发现法及练习法等教学方法。
先通过多媒体动画演示，创设问题情境；在抛物线简单几何性质的教学过程中，通过多媒体演示，有指导的发现问题，然后进行讨论、探究、总结、运用，最后通过练习加以巩固提高。
《抛物线的简单几何性质》公开课教案一、三维目标：1、知识与能力:（1）掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；（2）能根据抛物线的方程对抛物线几何性质进行讨论，2、过程和方法:（1）掌握抛物线的简单几何性质并会在实际问题中简单运用；（2）训练自己用坐标法解题的能力；3、情感态度与价值观:（1）通过本节学习训练自己分析问题，解决问题和归纳总结能力，并认识到事物之间是相互联系的。
（2）培养学生数形结合及方程的思想，了解抛物线在实际问题中的初步应用。
二、教学重难点：1、教学重点：抛物线的几何性质及其运用2、教学难点：抛物线几何性质的运用三、教学过程：（一）、复习引入：1、抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.2、抛物线的图象与表示形式：3、学生探究活动：回顾:探究椭圆、双曲线的几何性质时是从哪几个方面研究的？有哪些性质?抛物线呢?简单几何性质：（1）范围，（2）对称轴，（3）顶点，（4）离心率。
（二）新课讲授：1、建构数学归纳：抛物线的几何性质列表如下：程标轴 轴 轴 轴项系数符号决定开口方向，而且可以迅速算出焦点坐标为 （2p，0）和准线方程为x = 2-p 。
2、（学生活动一）问题2：通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？抛物线标准方程和椭圆、双曲线的标准方程不同的是：确定抛物线只要一个量p ，而确定椭圆和双曲线则需要两个量a,b 。
（1）、抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线（2）、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;（3）、抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线（4）、抛物线的离心率是确定的,为1; 问题3：抛物线标准方程中的p 对抛物线开口有何影响?“P越大,开口越开阔”拓展：（1）通径：过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径，|AB|=2p 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.2p越大，抛物线张口越大.（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。
《抛物线的简单几何性质》第2课时教学设计“抛物线的简单几何性质”在全章占有重要的地位和作用．本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一．对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用．研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论．已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为x （或y ），则x 轴（或y 轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数p ．课时分配本节分两课时进行教学．第一课时内容主要讲抛物线的几何性质、抛物线的画图；第二课时主要内容为焦半径公式．1．灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；2．会用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；3．训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合的思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力．教学重点：抛物线的几何性质，以及直线与抛物线的位置关系． 教学难点：抛物线几何性质的综合运用．复习引入 （多媒体投影）活动设计：以问题形式巩固复习抛物线的定义及几何性质，每个学生独立思考下列问题，必要时，允许合作、讨论、交流．①抛物线mx ＋ny 2＝0（m ·n ≠0）的顶点坐标是（0，0），焦点坐标是（－m 4n，0），准线方程是x ＝m 4n ，离心率是1，通径长|mn|．②若点A （3，2），点F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，则使|MA |＋|MF |取最小值的抛物线上点的坐标是（2，2）．这一节，我们将继续研究抛物线的几何性质的应用． 新课讲解1斜率为1的直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．分析：例1是直线与抛物线相交问题，可通过联立方程组求解交点坐标，然后由两点间距离公式求解距离；若注意到直线恰好过焦点，便可与抛物线定义发生联系，利用抛物线定义将AB 分段转化成点A 、B 到准线的距离，从而达到求解目的．解法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F （1，0）．所以直线AB 的方程为y ＝x －1．①将方程①代入抛物线方程y 2＝4x ，得（x －1）2＝4x ，化简得x 2－6x ＋1＝0． 解之得：x 1＝3＋22，x 2＝3－22．将x 1，x 2的值分别代入方程①中，得y 1＝2＋22，y 2＝2－22． 即A 、B 坐标分别为（3＋22，2＋22）、（3－22，2－22）． ∴|AB |＝422＋422＝8．解法二：如右图，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由抛物线的定义可知，|AF |等于点A 到准线x ＝－1的距离|AA ′|，而|AA ′|＝x 1＋1．同理|BF |＝|BB ′|＝x 2＋1，于是得|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2．由此可以看到，本题在得到方程x 2－6x ＋1＝0后，根据根与系数关系可以直接得到x 1＋x 2＝6，于是可以求出|AB |＝6＋2＝8．点评：法一：直接求两点坐标，计算弦长（运算量一般较大）；法二：设而不求，数形结合，活用定义，运用韦达定理，计算弦长（运算简单）． 焦半径：连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径．焦半径公式：|AF |＝x 1 ＋p2．提出问题：由学生自主完成其他三种形式的标准方程的焦半径公式．焦点弦：通过焦点的直线，与抛物线相交于两点A ，B ，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦焦点弦公式：|AB |＝x 1＋x 2＋p ．提出问题：由学生自主完成其他三种形式的标准方程的焦点弦公式．2过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．分析：可用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线DB 与抛物线对称轴之间的位置关系．只要证明点D 的纵坐标与点B 的纵坐标相等即可．证明：如图，以抛物线的对称轴为x 轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系．设抛物线的方程为：y 2＝2px ①点A 的坐标为（y 202p ，y 0），则直线OA 的方程为y ＝2p y 0x （y 0≠0）②抛物线的准线方程是x ＝－p2③联立②③，可得点D 的纵坐标为：y ＝－p 2y 0④因为点F 的坐标是（p 2，0），所以直线AF 的方程为y ＝2py 0y 20－p 2（x －p2）⑤其中y 20≠p 2．联立①⑤，可得点B 的纵坐标为y ＝－p 2y 0⑥由④⑥可知，DB ∥x 轴、当y 20＝p 2时，结论显然成立，所以，直线DB 平行于抛物线的对称轴．3已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P （－2，1），斜率为k ．k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？解：依题意，设直线l 的方程为y －1＝k （x ＋2）．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k(x ＋2)y 2＝4x （*） 消去x 可得ky 2－4y ＋4（2k ＋1）＝0①当k ＝0时， 直线与抛物线只有一个公共点． 由方程①得y ＝1， 把y ＝1代入y 2＝4x 得x ＝14．此时，直线l 与抛物线只有一个公共点（14，1）．（2）当k ≠0时，方程①的判别式Δ＝－16（2k 2＋k －1）． ①由Δ＝0， 即2k 2＋k －1＝0，解得：k ＝－1， 或k ＝12．所以， 当k ＝－1或k ＝12时，方程①只有一个解， 此时，直线l 与抛物线只有一个公共点．②由Δ＞0， 即2k 2＋k －1<0，解得：－1＜k ＜12．所以， 当－1＜k ＜12，且k ≠0时，方程①有两个解， 此时，直线l 与抛物线有两个公共点．③由Δ＜0， 即2k 2＋k －1>0，解得：k ＜－1， 或k ＞12．所以， 当k ＜－1 或k ＞12时，方程①没有实数解， 此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上，可得当k ＝－1， 或k ＝12，或k ＝0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1＜k ＜12，且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k ＜－1， 或k ＞12时，直线l 与抛物线没有公共点．提出问题：你能通过作图验证一下结论吗？并写出结论． 设直线和抛物线方程联立，消去一个未知数y 得： ax 2＋bx ＋c ＝0． （1）当a ＝0时．直线和抛物线的对称轴平行或重合，为相交关系； （2）当a ≠0时．Δ＞0→方程组两组解→相交； Δ＝0→方程组一组解→相切；Δ＜0→方程组没有解→相离．变式演练：在抛物线y ＝4x 2上求一点，使这点到直线y ＝4x －5的距离最短． 解：设点P （t ，4t 2）到直线y ＝4x －5的距离为d ． ∴d ＝|4t －4t 2－5|17＝4t 2－4t ＋517．当t ＝12时，d 取得最小值，此时P （12，1）为所求的点．达标检测1．若直线y ＝kx ＋1与抛物线y 2＝x 仅有一个公共点，则k 的值为（ ） A ．14 B ．0或14 C ．0或－34 D ．14或－342．在抛物线y ＝x 2上，到直线y ＝3x －1的距离最短的点的坐标是（ ） A ．（1，1） B ．（3，3） C ．（32，34） D ．（12，14） 3．抛物线y 2＝2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点的横坐标是__________．4．抛物线y 2＝2x 中被点A （1，1）平分的弦所在的直线的方程是________________ 5．已知抛物线y 2＝4x 的一条过焦点的弦，被焦点分为长度是m ，n 的两部分，则1m ＋1n ＝____________________答案：1．B 2．C 3.2 4．y ＝x 5.1 课堂小结1．能够灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；2．掌握用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；3．学会应用数形结合的思想、化归思想及方程的思想解决直线与圆锥曲线的关系问题． 布置作业课本习题2.4 A 组第6题，B 组第2题． 补充练习1．已知直线l 过点A （－3p 2，p ）且与抛物线y 2＝2px （p >0）只有一个公共点，则直线l 的条数为__________________．2．过抛物线y 2＝2px （p >0）的焦点的一条直线和抛物线相交于点P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则y 1y 2＝－p 2是直线PQ 过抛物线焦点的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件3．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则| FA →|＋| FB →|＋| FC →|＝______________________．4．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线的方程．答案：1.3 2．C 3．384．解：设抛物线的方程为y 2＝2px ，方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2pxy ＝2x ＋1 ，消去y 得4x 2－（2p －4）x ＋1＝0，x 1＋x 2＝p －22，x 1x 2＝14．|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝5x 1＋x 22－4x 1x 2＝5p －222－4×14＝15． 则p 24－p ＝3，p 2－4p －12＝0，p ＝－2或6． ∴y 2＝－4x ，或y 2＝12x ．本节课基于能使学生灵活运用抛物线的定义及其几何性质解题；会用二次方程根的判别式，根与系数的关系判定直线与抛物线的关系；训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合的思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力的目的而设计. 例1是直线与抛物线相交问题，主要是让学生体会多角度思考问题，寻找多种解决问题的办法．例2则是解析几何中的证明题，同时也是教材中的例题，此题也有多种证明思路，但学生可能想不到，这就要求我们多做引导，向量法、纯几何法都能证明此题，坐标法较容易想到，应作重点讲解．问题是数学的心脏，本节以让学生形成完整的知识方法体系为中心，以问题为载体，先易后难，逐步加深，符合学生的学习规律．。
抛物线的简单几何性质教学设计教学设计：抛物线的简单几何性质一、教学目标：1.理解抛物线的定义和特点；2.掌握抛物线的几何性质；3.能够应用抛物线的性质解决相关问题。
二、教学过程：1.导入（5分钟）：通过向学生展示一些有关抛物线的图片，引起他们对抛物线的兴趣。
然后询问学生对抛物线的认识，并鼓励他们提出自己对抛物线的猜测。
2.概念讲解（15分钟）：2.1抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，它的定义由以下两个要素确定：焦点F和直线l，且F不在l上。
抛物线上的所有点与F的距离等于该点到直线l的距离。
2.2抛物线的特点：2.2.1抛物线的轴：过焦点F垂直于直线l的直线称为抛物线的轴。
2.2.2焦点和直线的关系：抛物线上任意一点P与焦点F之间的距离等于该点到抛物线的轴的距离。
2.2.3抛物线的对称性：抛物线关于抛物线的轴具有对称性。
2.2.4抛物线的顶点：焦点F和抛物线的轴的交点称为抛物线的顶点。
3.性质探究（30分钟）：3.1性质1：焦点到顶点的距离等于顶点到抛物线轴的距离。
教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。
学生可以使用尺子或折纸法等方法进行测量，加深对这个性质的理解。
3.2性质2：顶点到抛物线上任意一点的距离等于该点到抛物线轴的距离。
教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。
学生可以使用尺子或折纸法等方法进行测量，加深对这个性质的理解。
3.3性质3：抛物线的对称性。
教师通过绘图和具体计算等方法，让学生发现并验证这个性质。
学生可以在纸上绘制抛物线，使用尺子或折纸法等方法观察抛物线的对称性。
4.拓展应用（30分钟）：4.1问题1：已知抛物线焦点F为(0,4)，顶点为(0,0)，求抛物线的方程。
教师引导学生分析问题，让学生通过已知条件，利用抛物线的特征来确定未知数，并列出方程。
然后让学生自主计算，并核对答案。
4.2问题2：已知抛物线焦点F为(2,2)，顶点为(0,0)，直线l的方程为y=x+1，求抛物线的方程。
一．课题：抛物线及其标准方程（1）二．教学目标：1.使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．2.要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．3.通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．三．教学重、难点：1. 重点：抛物线的定义和标准方程．(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识)．2. 难点：抛物线的标准方程的推导．(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．)四、教学过程(一)导出课题：我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．请大家思考两个问题：问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．(二)抛物线的定义1．回顾：平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？2．简单实验如图2-29，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A 到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．3．定义：平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(三)抛物线的标准方程设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：方案1：(由第一组同学完成，请一优等生演板．)以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系(图2-30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．化简后得：y2=2px p2(p＞0)．方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板)以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．化简得：y2=2px+p2(p＞0)．方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．)取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．化简后得：y2=2px(p＞0)．比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：由学生讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．(四)四种标准方程的应用例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．方程是x2=-8y．练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：(1)焦点是F(3，0)；答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)焦点到准线的距离是2．(3)y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．由三名学生演板，教师予以订正．这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．(五)小结：本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．五、作业：到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：(1)x2=2y；(2)4x2+3y=0；(3)2y2+5x=0；(4)y2-6x=0．3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)．4．求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．作业答案：3．(1)y2=24x，y2=-2x，(2)x2=-12y(图略)4．分别令x=0，y=0得两个焦点F1(0，-3)，F2(4，0)，从而可得抛物线方程为x2=-12y或y2=16x.一．课题：抛物线及其标准方程（2）二．教学目标：1.会用定义法、直译法、参数法，求与抛物线有关的动点的轨迹方程；2.会判断直线与抛物线的位置关系；3.会求解与抛物线的焦点弦有关的问题.三．教学重、难点：目标1，2，3。
抛物线的简单几何性质教案教案标题：抛物线的简单几何性质教案目标：1. 了解抛物线的定义和基本性质。
2. 掌握抛物线的焦点、准线、顶点等重要概念。
3. 能够应用抛物线的性质解决简单几何问题。
教案步骤：步骤一：引入1. 引导学生回顾直线、圆等几何图形的性质，引出抛物线的概念。
2. 展示一张抛物线的图像，让学生观察并描述其形状和特点。
3. 引导学生思考抛物线的性质和应用领域。
步骤二：抛物线的定义和基本性质1. 讲解抛物线的定义：平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。
2. 介绍抛物线的基本性质：a. 抛物线关于准线对称。
b. 焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到准线的距离。
c. 抛物线的顶点是其最高（或最低）点，对称轴经过顶点。
d. 抛物线开口方向由抛物线的二次项系数的正负决定。
步骤三：抛物线的重要概念1. 介绍抛物线的焦点、准线和顶点的定义和性质。
2. 指导学生通过几何构造方法确定抛物线的焦点、准线和顶点。
步骤四：抛物线的应用1. 给出一些简单的抛物线几何问题，如：已知焦点和准线，求抛物线方程；已知顶点和焦点，求抛物线方程等。
2. 引导学生分析问题，运用抛物线的性质解决问题。
3. 给予学生充分的练习机会，巩固抛物线的性质和应用。
步骤五：小结与拓展1. 对本节课所学内容进行小结，强调抛物线的定义和基本性质。
2. 提供一些拓展问题，让学生进一步思考抛物线的性质和应用。
教学资源：1. PowerPoint或白板等教学工具。
2. 抛物线的图像和实例题目。
教学评估：1. 课堂练习：布置一些练习题，检验学生对抛物线的理解和应用能力。
2. 个人或小组作业：要求学生解答一些抛物线相关的问题，加深对知识的理解。
教学延伸：1. 引导学生进一步探究抛物线的性质和应用，如抛物线的焦半径、离心率等。
2. 引导学生进行实际观察和实验，了解抛物线在现实生活中的应用，如抛物线反射器、喷泉喷水形状等。
备注：该教案适用于中学数学教学，学生年级和学习能力可以根据实际情况进行调整。
抛物线的简单几何性质教学目标1、掌握直线和抛物线的几种位置关系及判断方法2、掌握抛物线的弦，特别是焦点弦的有关问题的处理3、提高学生分析问题解决问题的能力教学重点直线与抛物线的位置关系教学难点教学过程教学内容1、 直线和抛物线的位置关系由方程组的解的情况判断，注意到平行于对称轴的直线与抛物线只有一个交点，但此时直线与抛物线相交。
2、典型例题例1、 已知直线L 过点A （123，-）且与抛物线x y 22=只有一个公共点，求直线L 的方程。
例2、 以原点为顶点，坐标轴为对称轴的抛物线，截直线12+=x y 所得的弦长为15，求抛物线的方程。
例3、 在抛物线24x y =上求一点P ，使得P 点到直线y=4x-5的距离最短，并求出最短距离。
例4、 已知抛物线)022>=p px y （的一条焦点弦被焦点分成长为m ，n 的两段，求证：pn m 211=+ 例5、 已知正方形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线y 2=x 上，C 、D 在直线y=x+4上，求正方形的边长。
1、若直线y=kx+1与抛物线y 2=x 仅有一个公共点，则k 的值为 ( ) A.41 B. 0或41C.0或-43D. 41或-43 2、在抛物线y=x 2上，到直线y=3x-1的距离最短的点的坐标是 （ ）A （1，1）B （3，3）C （4323，）D （4121，）3、抛物线y 2=4x 关于直线x+y=0对称的抛物线方程是 （ ）A ．x 2=4yB ．y 2=-4xC ．y=4x 2D ．x 2=-4y4、动点M 以每秒2长度单位的速度沿直线l ：y=x-2移动，则M 穿过抛物线y 2=4x 的内部需要的时间是 （ ）5、抛物线y 2=2x 中被点A （1，1）平分的弦所在的直线的方程是6、已知抛物线y 2=4x 的一条过焦点的弦，被焦点分为长度是m ，n 的两部分，则nm 11 =例6、 7、若直线l ：y=kx-2交抛物线y 2=8x 于A 、B 两点，且AB 的中点为M （2，y 0），求y 0和弦AB 的长。
