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1.2.2直角三角形（2）本课时学习要点：直角三角形全等的判定本课时学习目标： 【知识与技能】了解直角三角形全等的判定定理（HL ），发展演绎推理能力；【过程与方法】采用动手动脑相结合的方式，进一步学习严密科学的证明方法【情感、态度与价值观】通过推理、论证的训练，养成严谨的科学态度，不懈的探究精神和良好的说本课时学习安排：课前预习：阅读教材18页至20页，并完成以下内容。
1、写出学过的三角形全等的证明方法：2、回忆基本作图的方法（1） 做一条线段等于已知线段（2） 做一个角等于已知角3、判断：如图，具有下列条件的Rt △ABC 与Rt △A ′B ′C ′（其中∠C ＝∠C ′＝90度）是否全等，在（ ）里填写理由；如果不全等，在（ ）里打“×”：（1）AC ＝A ′C ′,∠A ＝A ′ （ ） （2）AC ＝A ′C ′，BC ＝B ′C （ ）（3）AB ＝A ′B ′，∠B ＝∠B ′ （ ）（4）∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′ （ ） （5）AC ＝A ′C ′，AB ＝A ′B ′ （ ）课中学习：活动一：探索直角三角形全等的判定方法阅读课本p18----19页，完成下面问题仿照小明的做法，作出Rt △ABC;作出后同桌间比较所作的直角三角形是否全等已知线段a 、c （a c <）。
画一个Rt △ABC ，使∠C ＝90°，一直角边CB ＝a ，斜边AB＝c 。
作图区：c根据作图得出结论：斜边和一直角边分别对应相等的两个直角三角形推理证明：已知：在△ABC 和△A′B′C′中，∠C ＝∠C′＝90°，AC ＝A′C′，AB ＝A′B′.求证：△ABC ≌△A′B′C′.得出定理：斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边定理”或“HL ”）议一议：如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB ≌△BDA ，还需要什么条件？把它们分别写出来.′ C aα总结归纳：（1）“HL ”公理是仅适用于的特殊方法。
直角三角形一、问题引入：1.直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理；2. 问题1：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一边所对的角是直角呢？请证明你认为正确的结论.问题2：（做一做）你能用三角尺作已知角的平分线吗？不妨动手做一做，并证明你的作法的正确性.二、基础训练:1.（议一议）如图已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来.2. D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E.F，且DE=DF，求证BF=CE [解析]本题解决的关键是利用“HL”证明△BFD≌△CED三、例题展示：1.下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是（）A. 两条直角边对应相等的两个直角三角形.B. 两条锐角边对应相等的两个直角三角形.C. 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形.D. 有一个锐角及这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等.2.下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（）①8，15，17 ②4，5，6 ③7.5，4.8，5 ④ 24，25，7 ⑤ 5，8，10A. ①②④B. ②④⑤C.①③⑤D. ①③④3.下列命题中，假命题是（）A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形.B．三个角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形.C．三边长之比为的三角形是直角三角形.D．三边长之比为的三角形是直角三角形.四、课堂检测:1.下列说法正确的有（）（1）一个锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等.（2）一个锐角及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（3）两个锐角对应等的两个直角三角形全等.（4）有两条边相等的两个直角三角形全等.（5）有斜边和条直角边对应相等的两个直角三角形全等.A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2.下列说法中错误的是（）A. 直角三角形中，任意直角边上的中线小于斜边.B. 等腰三角形斜边上的高等于斜边的一半.C. 直角三角形中每条直角边都小于斜边.D. 等腰直角三角形一边长为1，则它的周长为3.以下列各组为边长，能组成直角三角形的是（）A. 8，15，17B. 4，5，6C. 5，8，10D. 8，39，404.命题：若A＞B，则A2＞B2的逆命题是__________________________.5.AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C｀的位置，则BC`与BC之间的数量关系是____________.6.四边形ABCD中，若AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且AB⊥BC，求四边形ABCD的面积________.。
课题：１。
2.１直角三角形班级 姓名【学习目标】１。
会证明直角三角形的性质定理及判定定理，能运用以上定理解决实际问题。
２.结合例子了解逆命题和逆定理的概念，会识别两个互逆命题和互逆定理.３。
进一步掌握推理证明的方法,发展演绎推理能力．学习重点：会证明直角三角形的性质定理及判定定理,能运用以上定理解决实际问题.学习难点：理解勾股定理及其逆定理的证明方法．【复习引入】1。
在Rt △AB Ｃ中，∠C=９0°,则∠A+∠B ＝°.由此可得出定理: .２.已知:如图1,在△ABC 中,∠A ＋∠B=90°.求证:△A BC 是直角三角形．由此可得出定理： ．【自主学习】1。
还记得勾股定理吗？运用已有的定理我们是可以证明勾股定理的．(见课本P １６“读一读”)勾股定理: ．２。
认真阅读课本P １4—１5的证明过程,理解其证明思路，想一想:由此可以得出什么定理?定理: .【探究学习】１。
与同伴交流,完成课本Ｐ1５-１６的“议一议”和“想一想”，认真理解逆命题和逆定理的概念,完成下列问题:写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:(1)四边形是多边形;（２)两直线平行,内旁内角互补；（3）如果ab ＝０,那么a=0， b ＝0【巩固练习】1．在 。
2．已知的三边长分别为５,13,12,则的面积为( ）A ．30B 。
60 Ｃ。
7８ D 。
不能确定３。
已知：求证：A Ｂ=AC 。
4。
(选做题)课本P18习题１.５第5题。
【课堂小结】说说本节课的收获有哪些?【布置作业】课本习题1．5第1、２题。
ﻬ ===∠=∠∆AB BC B A ABC ，则，中，已知345ABC ∆ABC ∆.12,10,13cm AD BC cm BC cm AB ABC ===∆边上的中线中，在。
初三数学导学稿 （初三年级）一、课前自主思考：阅读数学教科书第23页的内容二、探究活动：（一）师生探究，合作交流 1.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（简称HL ） 你能证明吗？已知：在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′． 求证：Rt △ABC ≌Rt △A′B′C′牛刀小试：判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；(4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等．（二）小组交流，合作解决１.问题：你能用三角尺平分一个已知角吗? 请同学们用手中的三角尺操作完成，并在小组交流，用自己的语言清楚表达自己的想法．2.证明：在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OA 的垂线，过点N 作OB 的垂线，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是么AOB 的平分线．（三）独立思考，解决问题如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB ≌BDA ，还需要什么条件?写出来一个并证明．A 'B'C 'C BANMPOB ADC A O B练一练：如图，在△ABC ≌△A'B'C'中，CD ，C'D'分别分别是高，并且AC ＝A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求证：△ABC ≌△A'B'C'．三、课堂小结：1.通过今天的学习，同学们有何收获？还有那些疑惑？2.你认为老师上课过程中还有那些需要注意或改进的地方？3.预习时候的疑难解决了吗？四、自我检测：1.两个直角三角形全等除运用全等三角形的判定公理及推论外，还有其特殊的判定方法，即对应相等的两个直角三角形全等，简记为 . 2.如图，AB=AC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD ⊥BC ，则图中的全等三角形有 对.F E DCBAECDBAODCB A2题图 3题图 6题图3.如图，AB ⊥AC ，DC ⊥BD ，要使ABC ∆≌DCB ∆，小名添加了一个条件AB=CD ，其全等依据为 ；你还可以添加一个条件 ，其全等依据为 .4.在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C=∠C ′=︒90，下列条件中能判定Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′的个数是（ ）① ∠A=∠A ′,AC=A ′C ′ ② AC=A ′C ′,AB=A ′B ′ ③ AC=A ′C ′,CB=C ′B ′ ④ ∠A=∠A ′,AC=A ′C ′A ．1 B.2 C.3 D.45.给出以下几个命题：①有一边相等的两个等腰三角形全等；②有一边相等的两个直角三角形全等；③有一边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等；④有一边相等的两个等腰直角三角形全等；⑤有两直角边对应相等的两个直角三角形全等.其中正确命题的个数是（ ）A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个6.如图，AC ⊥BD 于点O ，AO=CO ，BO=OD ，AB=BC ，则下列说法不正确的是（ ）A ．与△AOB 全等的三角形共有3个； B.与△ABD 全等的三角形共有1个；C ．AC=BD D.AC 既平分∠DAB 又平分∠DCB.7.已知：∠A=︒90，AB=BD ，ED ⊥BC 于点D ，求证：AE=DE.E D C B A8.如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠A=︒90，∠B 的角平分线交AC 于D 点，过C 点作BD 的垂线交BD 的延长线于E 点，求证：BD=2CE.E D CB A五、课后反思：'C C AD B '''B D A。
课题：1.2直角三角形的性质和判断（Ⅱ）（1）【学习目标】1．认识勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．会简单的应用勾股定理。
【学习要点】勾股定理的内容及证明。
【学习难点】勾股定理的证明【学习过程】一、知识链接（用学过的知识达成以下填空）①含有一个的三角形叫做直角三角形.②已知Rt△ABC中的两条直角边长分别为a、b,则S△ABC＝.③已知梯形上下两底分别为a和b，高为（a＋b），则该梯形的面积为④完整平方公式：（a±b）2＝.⑤在Rt△ABC中，已知∠A＝30°，∠C＝90°，直角边BC＝1，则斜边AB＝..二、自主学习1.在我国古代，人们将直角三角形中_____________叫做勾，______________叫做股，_______叫做弦.（1）能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？结论1：（2）察看右侧两幅图，填表。
A的面积B的面积C的面积C左图A CAB右图 B （3）你是如何获得正方形C的面积的？与伙伴沟通．3.猜想命题：假如直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么。
三、合作研究1.已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证：a2 b2 c2证明：4S+S小正= S大正=△依据的等量关系：D C 由此我们得出：abAcB概括定理：直角三角形两条______假如直角三角形的两条直角边分别为的平方和等于a、b，斜边为__ ___的平方.c，那么_________________2.在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm,BC=10cm,AD⊥BC于点D，你能算出BC边上的高AD的长吗？四、当堂检测1、在Rt△ABC中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a∶b=3∶4，c=10则S Rt△ABC=________。
八年级数学导学案班级：姓名:【学习课题】§1.2直角三角形（2）【学习目标】1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法，能够证明直角三角形全等“HL”判定定理。
【学习重点】直角三角形全等“HL”判定定理。
【学习难点】从图中找出隐含条件。
【学具准备】直尺与圆规一、自主预习、认真准备：1、一般三角形全等判定方法有：。
2、直角三角形的判定：①有一个角是_____的三角形叫做直角三角形。
②有两个角互余的三角形是_____三角形。
③如果三角形两边的平方___等于第三边的______，那么这个三角形是____三角形。
3、阅读教材：第2节《直角三角形》第2课时二、自主探究、合作交流：活动一、尺规做直角三角形（保留作图痕迹，写出作法及作图结果。
）思考：每个同学作出的直角三角形都全等吗？由此你得出了什么？活动二、直角三角形全等的判别。
已知：如图，△ABC和△A’B’C’中∠C=∠C’=90°，且AB=A’B’，BC=B’C’，求证：△ABC≌△A’B’C’证明：Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，AC2=___________, A’C’2=____________2,（勾股定理）又∵AB= ，BC= ，（）∴AC2=______（）∴AC=_______∴△ABC ≌△A’B’C’( )归纳：斜边和一条________对应相等的两个______三角形全等。
（“斜边、直角边”或“”）推理格式：在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°∵ AB=A’B’BC=B’C’∴Rt△ABC ____Rt△A’B’C’(HL)三、应用巩固，形成提升：'C CA DB '''B D A 21E F A B C D1、如图，Rt △ABC 和Rt △DEF ，∠C =∠F =90°。
（1）若∠A =∠D ，BC =EF ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.（2）若∠A =∠D ，AC =DF ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.（3）若∠A =∠D ，AB =DE ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.（4）若AC =DF ，AB =DE ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.（5）若AC =DF ，CB =F E ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.2、如图，∠B =∠E = 90°，AC = DF ，BF = EC 。
1.2.2 直角三角形学习目标1.通过探索判定直角三角形全等的条件，学会利用HL进行判定的方法2.会灵活运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等，并能已知斜边和直角边作直角三角形。
学习重点：灵活运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等。
学习难点：直角三角形全等的应用。
一、自学释疑根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。
二、合作探究探究点一问题1：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？结论：问题2：两边分别相等且其中一组等边的对角是直角的两个三角形全等吗？结论：探究点二已知一条直角边和斜边你能作出一个直角三角形吗？观察你做的直角三角形和同伴交流发现什么？例1.已知：R△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，BC=B′C′，BD、B′D′分别是AC、A′C′边上的中线且BD=B′D′ (如图)．'D A 'B 'C 'DBA例2.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜∠B 和∠F 的大小有什么关系.随堂检测1．如图，点P 是∠BAC 内一点，PE⊥AC 于点E ，PF⊥AB 于点F ，PE ＝PF ，则直接得到△PEA≌△PFA 的理由是()A ．HLB ．ASAC ．AASD ．SAS 2．不能判断两个直角三角形全等的条件是( ) A ．两锐角对应相等的两个直角三角形B ．一锐角和锐角所对的直角边分别对应相等的两个直角三角形C．两条直角边分别对应相等的两个直角三角形D．一条直角边和斜边分别对应相等的两个直角三角形3.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD和CE交于点O，AO的延长线交BC于点F，则图中全等的直角三角形有()A．3对 B．4对 C．5对 D．6对4．如图，点D，A，E在直线l上，AB＝AC，BD⊥l于点D，CE⊥l于点E，且BD＝AE，若BD＝3，CE＝5，则DE＝．5．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)若∠CAE＝3 0°，求∠ACF的度数．参考答案探究点一问题1：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
八年级数学下册 1.2 直角三角形（第2课时）导学案（新版）北师大版【学习目标】课标要求：1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性2、利用“HL’’定理解决实际问题3、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力目标达成：1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性2、利用“HL’’定理解决实际问题学习流程：【课前展示】1、判断两个三角形全等的方法有哪几种？2、已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。
想一想，怎么画？同学们相互交流。
3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。
【创境激趣】我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。
那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”、【自学导航】1、要求学生完成，一位学生的过程如下：已知：在△ABC 中， AB=AC、求证：∠B=∠C、证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，∴∠ADB=∠ADC=90又∵AB=AC，AD=AD，∴△ABD≌△ACD、∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）2 、“HL”定理、由师生共析完成已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90，AB=A′B′，BC=B′C′、求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′证明：在Rt△ABC中，AC=AB2一BC2(勾股定理)、又∵在Rt△ A B C中，A C =AC=AB2一BC2 (勾股定理)、AB=AB，BC=BC，AC=AC、∴Rt△ABC≌Rt△ABC (SSS)、教师用多媒体演示：定理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等、这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示、【合作探究】1、判断下列命题的真假，并说明理由：(1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等； (2)斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等； (3)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等； (4)一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等、对于（1）、（2）、（3）一般可顺利通过，这里教师将讲解的重心放在了问题（4），学生感觉是真命题，一时有无法直接利用已知的定理支持，教师引导学生证明、已知：R△ABC和Rt△AB C，∠C=∠C=90，BC=BC，BD、BD分别是AC、AC边上的中线且BD—HL定理，并用此定理安排了一系列具体的、开放性的问题，不仅进一步掌握了推理证明的方法，而且发展了同学们演绎推理的能力、同学们这一节课的表现，很值得继续发扬广大、【板书设计】1、2直角三角形【教学反思】本节HL定理的证明学生掌握得比较好，定理的应用方面尤其是“议一议”中的该题灵活性较强，给教师和学生发挥的余地较大，该题是一个开放题，结论和方法并不惟一，所以学生积极性非常高，作为教师要充分利用好这个资源，可以达到一题多解，举一反三的效果。
2017八年级数学下册1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第2课时勾股定理的实际应用导学案（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017八年级数学下册1.2 直角三角形的性质和判定（Ⅱ）第2课时勾股定理的实际应用导学案（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时勾股定理的实际应用1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。
2。
在运用勾股定理解决实际问题过程中，感受数学的“转化”思想，体会数学的应用价值.自学指导:阅读教材12页至13页，完成下列问题。
知识探究勾股定理的内容是:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
自学反馈1．在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中,这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（A) A．一定不会 B．可能会C．一定会 D．以上答案都不对2．如图，要制作底边BC的长为44 cm，顶点A到BC的距离与BC长的比为1∶4的等腰三角形木衣架，则腰AB的长至少需要11错误!cm。
(结果保留根号的形式）3．（东营中考)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行10米．4．小军发现学校旗杆上端的绳子垂直到地面还多了1米,他把绳子斜着拉直,使下端刚好触地．此时绳子下端距旗杆底部5 m,那么旗杆的高度为多少m?解：如图，设旗杆的高AB 为x m ，则绳子AC 的长为（x ＋1)m 。
广西北海市八年级数学下册1.2 直角三角形的性质和判定（II）（第2课时）导学案（无答案）（新版）湘教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（广西北海市八年级数学下册1.2 直角三角形的性质和判定（II）（第2课时）导学案（无答案）（新版）湘教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1.2直角三角形的性质和判定（Ⅱ）（2）一、新课引入〈一〉复习旧知1、什么是勾股定理？2、在△ABC中，∠C=90°．⑴已知AC=6，BC=8，求AB的长; ⑵已知AB=17，A C=15，求BC的长。
〈二>导读目标学习目标:1．会用勾股定理解决简单的实际问题;2．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。
重点：勾股定理的应用难点：实际问题向数学问题的转化二、预习导学预习课本P12—P13内容，解答下列问题:一个2。
5m长的梯子AC斜靠在一竖直的墙AB上，这时AB的距离为2。
4m．（1）求梯子的底端C距墙角B多少米？(2)如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端C也外移0.4m吗？(保留2位小数）三、合作探究A，C，CBA勾股定理的实际应用例1。
“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。
问水深，葭长各几何？”意思是:有一个边长为10尺的正方形池塘,一根芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边,它的顶端恰好碰到池边的水面。
问水深与芦苇长各为多少?例2.如图，某公园内有一棵大树，为测量树高,小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1。
