ch6.4 正态总体

2
χ = X + X +L+ X
2 2 1 2 2
2 n
记为
χ ~χ
2
2 n
χ 分布的密度函数为
2
n x − − 1 1 n2 x2 e 2 f (x;n) = 2 Γ(n 2) 0 其中伽玛函数 Γ(x)通过积分
x ≥0 x <0
Γ(x) = ∫ e t dt, x > 0 0 来定义. 来定义 请看演示
第六章第四节 正态总体
统计三大分布
χ 一、 分布
2
χ 分布是由正态分布派生出来的一种分布. 分布是由正态分布派生出来的一种分布.
2
, 定义: 相互独立, 定义 设 X1, X2,L Xn 都服从正态 相互独立
分布N(0,1), 则称随机变量： 则称随机变量： 分布 分布. 所服从的分布为自由度为 n 的 χ 分布
2 n
2 χn 分布的
密度函数的图 形如右图. 形如右图.
对于α∈(0,1)给定 α∈(0,1)给定, χ 分布的分位点 对于α∈(0,1)给定,称满足
2
条件: 条件:
P χ > χ (α) = ∫ 2
2 n 2 n
(
)
∞
χn (α)
f (x)dx =α
2 2 的点χ 分布的上α分位点. 的点χn (α)为χn 分布的上α分位点. 2 χn 分布的
X N(µ, ～
σ
2
n
)
下面讨论估计值,即样本均值与真值µ的偏差. 下面讨论估计值,即样本均值与真值µ的偏差. σ2 σ2 QX N(µ, ) ,∴X − µ N(0 , ) ～ ～
n n
于是根据第二章讲过: 于是根据第二章讲过: σ P X − µ < 3 ≥ 99.7%
n
随着称量次数n的增加, 随着称量次数n的增加,这个偏差界限 3 越来越小. 越来越小 例如σ=0.1时 若取n=10.则 例如σ=0.1时,若取n=10.则: n=10.
上α分位点图 形如右图. 形如右图.
2 分布的上α分位点可以查附表4(P234). χn 分布的上α分位点可以查附表4(P234).
二、t 分布 2 定义: 定义 设X～N(0,1) , Y～ χ, 且X与Y相互独 ～ ～ n 与 相互独 立，则称变量 X T= Yn 所服从的分布为自由度为 n的 t 分布 的 分布. 记为T～ 记为 ～ tn . T的密度函数为： 的密度函数为： 的密度函数为
Lim f (x;n) = 0
x→ ∞
充分大时， 当n充分大时，其图形类似于标准正态分 充分大时 布密度函数的图形. 布密度函数的图形
请看演示 t 分布 不难看到， 充分大时， 不难看到，当n充分大时，t 分布近似 充分大时 N (0,1)分布 但对于较小的 ，t分布与 分布. 分布与N 分布 但对于较小的n， 分布与 (0,1)分布相差很大 (0,1)分布相差很大. 分布相差很大.
两总体样本方差比的分布) 定理 5 (两总体样本方差比的分布 两总体样本方差比的分布
2 2 独立, 且 与 独立 设 ~ N(µ1,σ1 ),Y ~ N(µ2,σ2 )， X与Y独立 X X1, X2,…, Xn1 是取自X的样本 的样本, 是取自 的样本 Y1,Y2,…, Y 2 是 n
取自Y的样本 和 取自 的样本, X Y分别是这两个样本的样本 的样本 均值，S2和 2 分别是这两个样本的样本方差 均值， 1 S2 分别是这两个样本的样本方差, 则有
1 2
1 Y n2 由定义可见， 由定义可见，F = X n ~ Fn ,n 1
2
1
若X~ Fn ,n ， X的概率密度为 的概率密度为
1 2
n +n Γ( ) n1 n1 −1 2 n1 n1 n2 (n2 )( n2 x) 1+ n2 x 2 x ≥ 0 f (x;n1, n2) = Γ( ) Γ( ) 2 2 0 x <0
定理 1 (样本均值的分布 样本均值的分布) 样本均值的分布 设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N(µ,σ ) 的样本， 的样本，则有
2
X ~ N(µ,
σ
2
X −µ ~ N(0,1 ) σ n
n
)
n取不同值时样本均值 X 的分布 取不同值时样本均值
样本方差的分布) 定理 2 (样本方差的分布 样本方差的分布 设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N(µ,σ )
σ
n
01 . 3 . 9 . ≈0 0 5 1 0
01 . 还是σ=0.1时 若取n=100. n=100.则 还是σ=0.1时,若取n=100.则: 3 =0 0 . . 3 1 0 0
例2 在设计导弹发射装置时,重要事情之一 在设计导弹发射装置时,
是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差. 是研究弹着点偏离目标中心的距离的方差. 对于一类导弹发射装置, 对于一类导弹发射装置,弹着点偏离目标 中心的距离服从正态分布N( N(µ ),这里 中心的距离服从正态分布N(µ , σ2),这里 =100米 σ2=100米2. 现在进行了25次发射试验, 25次发射试验 记这25 25次 现在进行了25次发射试验,用S2记这25次 试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方 差. 超过50 的概率. 50米 求:S2超过50米2的概率.
∞
−t x− 1
Γ
χ2 分布
分布的定义，不难得到： 由 χ 分布的定义，不难得到：
2
1. 设 X1, X2,L Xn 都服从正态分布 相互独立, 相互独立 , 2 N(µ,σ ), 则
χ2 =
1
σ
2 n 1
2 (Xi − µ)2 ~ χn 2∑ i=1
2 n2
n
2. 设 X1 ~ χ , X2 ~ χ , 则 X + X ~ χ2
S σ ~ F 1−1,n2 −1 n S σ
2 1 2 2 2 1 2 2
例1 假设某物体的实际重量为µ,但它是 假设某物体的实际重量为µ
未知的.现在用一架天平去称它,共称了n 未知的.现在用一架天平去称它,共称了n次,得 到X1,X2 ,… ,Xn. 假设每次称量过程彼此独立且没有系统 误差, 误差,则可以认为这些测量值都服从正态分布 N(µ 方差σ N(µ,σ2), 方差σ2反映了天平及测量过程的总 精度. 精度. 通常我们用样本均值: 通常我们用样本均值: X去 计 , 估 µ 根据基本定理, 根据基本定理,
P(F > F ,n(α)) = ∫ m
∞ F ,n (α) m
f (x)dx =α
的点F 分布的上α分位点. 的点Fm,n(α)为F分布的上α分位点. 分布的上α F分布的上α分 位点图形如右 图. 分布的上α F分布的上α分 位点可以查附 表5(P237).
四、几个重要的抽样分布定理 当总体为正态分布时 当总体为正态分布时，教材上给出了几 正态分布 个重要的抽样分布定理. 个重要的抽样分布定理 这里我们不加证 明地叙述. 除定理2外 明地叙述 除定理 外，其它几个定理的 证明都可以在教材上找到. 证明都可以在教材上找到
n1 −1 2
n1+n2 2
(
)
X的数学期望为 的数学期望为: 的数学期望为
n 2 E( X) = n −2 2
若n2>2
即它的数学期望并不依赖于第一自由度n 即它的数学期望并不依赖于第一自由度 1. 请看演示 F分布 分布
F分布的分位点 F～Fm,n,对于α∈(0,1)给定,称满足条件: 对于α∈(0,1)给定 称满足条件: α∈(0,1)给定,
2 2
取自Y的样本 和 取自 的样本, X Y分别是这两个样本的样本 的样本 均值, 1 S2分别是这两个样本的样本方差, 均值, S2和 2分别是这两个样本的样本方差 则有
X −Y −(µ1 − µ2 ) (n1 −1 S1 + (n2 −1 S2 1 1 ) 2 ) 2 + n1 + n2 − 2 n1 n2 ~ tn1+n2 −2
P{S > 50} = P χ >12 > 0.975
2 2 24
{
}
本章小结
一、总体，样本，样本的分布 总体，样本， 二、 统计量及其分布 1. 几个常见统计量
样本均值, 样本方差,样本 阶原点矩, 样本k阶中心矩 样本k阶原点矩 样本均值 样本方差 样本 阶原点矩 样本 阶中心矩
2. 统计三大分布
χ
2
分布, 分布,
t 分布 分布,
F分布
3. 抽样分布
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N(µ,σ 2)的样本 则 的样本,
(1) X N(µ, ～
(2) (n−1)S
2
σ
2
n
),
2 n−1
X −µ ~ N(0,1) σ n
2
σ X −µ (3) ~ tn−1 S n
~χ
1 2
相互独立， 且X1, X2相互独立，
n +n2 1
分布的可加性. 这个性质叫 χ 分布的可加性
2
若 X ~χ ,
2 n
则可以求得， E(X)=n, Var(X)=2n 可以求得， 应用中心极限定理可得， 应用中心极限定理可得，若 若 X ~χ 则当n充分大时 充分大时， ，则当 充分大时， X −n 的分布近似正态分布N(0,1). 的分布近似正态分布 2n
t分布的分位点
对于α∈(0,1)给定 称满足条件: α∈(0,1)给定, T～tn,对于α∈(0,1)给定,称满足条件:
P(T > tn(α)) = ∫
∞
tn (α)
f (t)dt =α
的点tn(α)为t分布的上α分位点. t 分布的上α分位点. t分布的上α 分布的上α 分位点图形如 右图. 右图. t分布的上α分位 分布的上α 点可以查附表 3(P232).