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相似三角形●随堂练习1、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似三角形是相似多边形的一种. △ABC 与△DEF 相似，记作△ABC ；假设EFBCDF AC DE AB ===k ,那么k 叫做这两个相似三角形的 . 2、如图，△ADE ∽△ABC ，且∠ADE =∠B ，那么对应角为________，对应边为________.3、如图，DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，那么ABAD=________=________.4、如果△ABC ∽△'''A B C ，BC =3，''B C ，那么△'''A B C 与△ABC 的相似比为( ) A .5∶3B .3∶2C .2∶3D .3∶55、如图,△ABC ∽△ADE ，AE =50 cm,EC =30 cm, BC =70 cm,∠BAC =45°,∠ACB =40°，求:〔1〕∠AED 和∠ADE 的度数；〔2〕DE 的长.BA ED C●拓展提高1、△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为32，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为45，那么△ABC ∽△A 2B 2C 2，其相似比为____________.2、五边形ABCDE∽五边形'''''A B的长分别为50A B C D E，假设对应边AB与''厘米和40厘米，那么五边形'''''A B C D E与五边形ABCDE的相似比是( )A.5:4B.4:5C.5:25D.25:53、△ABC中，AB=15 cm，BC=20 cm，AC=30 cm，另一个与它相似的△'''A B C 的最长边为40 cm，求△'''A B C的其余两边的长.4、在下面的两组图形中，各有两个相似三角形，试确定x，y，m，n的值.5、如图，有一块呈三角形形状的草坪，其中一边的长是20 m，在这个草坪的图纸上，这条边长5 cm，其他两边的长都是cm，求该草坪其他两边的实际长度.6、如图，，∠ACD=∠ECD，∠A+∠ACD=900 ,且2,证明:CD DE DB△ADC∽△CDB参考答案随堂练习1、∽△DEF ，相似比2、∠A 与∠A ∠AED 与∠C AD 与AB ，AE 与AC ，DE 与BC3、AC AE ,BCDE4、解：因为△ABC ∽△'''A B C ，所以△'''A B C 与△ABC 的相似比为'' 1.83.35B C BC == 所以选D5、解：〔1〕因为△ABC ∽△ADE .所以由相似三角形对应角相等，得∠AED =∠ACB =40°. 在△ADE 中，∠AED +∠ADE +∠A =180°即40°+∠ADE +45°=180°,所以∠ADE =180°－40°－45°=95°. 〔2〕因为△ABC ∽△ADE ，所以由相似三角形对应边成比例，得BC DE AC AE =,即70305050DE =+，所以DE =30507050+⨯〔cm 〕. 点评：利用相似三角形的性质可以计算边的长度，还可以求角的度数以及线段成比例等. 拓展提高：1、解：因为△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为32，△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为45，所以11112222255(1),(2),(1)(2).346A B AB AB A B A B A B ==⨯=得 所以△ABC ∽△A 2B 2C 2相似比为652、注意相似比的顺序选B .3、解：因为两个三角形相似，所以对应边成比例，每个三角形中的最长边和最长边是对应边设另外两条边是xcm 、ycm ， 可得30201580,,20.403x cm y cm x y ==∴== 4、〔1〕33223020==48x ,所以x =32.〔2〕n =55，m =80,y a a 1023=，得y=320.5、 草坪的形状与其图纸上相应的形状相似，它们的相似比是2000∶5=400∶1.设其他两边的实际长度都是x cm ，那么14005.3=x .x =3.5×400=1400〔cm 〕=14〔m 〕，所以，草坪其他两边的实际长度都是14 m . 6、证明：∠A+∠ACD=900∴∠ADC=900=∠EDC ∠ACD=∠ECD, DC=CD∴△ADC ≌△EDC (ASA) ∴AD=DE 又2CD DE DB =2CD AD DB ∴= CD DBAD CD∴= ∴△ADC ∽△CDB。
23.3.1 相似三角形知识点 1 相似三角形的有关概念 1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝6 cm ，其对应边A ′B ′＝4 cm ，则相似比为________． 2．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是23，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是( )A. 23B. 32C. 49D. 943．如图23－3－1，Rt △ADC ∽Rt △DBC ，AC ＝3，BC ＝4，试求△ADC 与△DBC 的相似比．图23－3－1知识点 2 对应边、对应角的识别4．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝35°，则与△ABC 相似的三角形三个角的度数分别为( )A ．35°，45°，45°B ．45°，105°，35°C ．45°，35°，110°D ．45°，35°，100°5．已知△ABC 与△DEF 相似，且∠A ＝50°，∠B ＝70°，∠C ＝60°，∠D ＝60°，∠E ＝70°，则( )A ．∠F ＝50°，AB 与DE 是对应边 B ．∠F ＝50°，AB 与EF 是对应边C ．∠F ＝50°，AB 与DF 是对应边D ．AB 与DE ，AC 与DF ，BC 与EF 是三组对应边图23－3－26．如图23－3－2，△AED ∽△ABC ，且∠1＝∠B ＝50°，∠C ＝70°，则∠2＝________°，AD（ ）＝（ ）BC.7．如图23－3－3所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式．(1)△ABC∽△ADE，其中DE∥BC；(2)△OAB∽△OA′B′，其中A′B′∥AB；(3)△ADE∽△ABC，其中∠ADE＝∠B.图23－3－38．如图23－3－4，已知AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，且△ABC∽△DAC.(1)求∠BAD的大小；(2)求CD的长．图23－3－4知识点 3 由平行线判定三角形相似9．如图23－3－5，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有( )A．1对B．2对C．3对D．4对图23－3－510．如图23－3－6，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有( )A．0个 B．1个 C．2个 D．3个图23－3－611．［教材例1变式］如图23－3－7，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.(1)求ADAB的值； (2)求BC 的长．图23－3－712．已知△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为2∶3，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为3∶5，那么△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为________．13．已知△ABC 的三边长分别为2，6，2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和 3.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，则△A ′B ′C ′的第三边长为________．图23－3－814. 如图23－3－8所示，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶DF＝__________．15．如图23－3－9，AB∥GH∥DC，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，DC＝3，求GH的长．图23－3－916．［2016·黄冈］如图23－3－10，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1.连结AI，交FG于点Q，则QI＝________．图23－3－1017．已知边长分别为5，6，7的三角形与一边长为3的三角形相似，求另一个三角形的另外两边的长．1. 322. B3．解：∵Rt △ADC ∽Rt △DBC ，∴AC DC ＝DC BC ，即3DC ＝DC 4， ∴DC 2＝12，则DC ＝2 3， ∴△ADC 与△DBC 的相似比为32 3＝32. 4．D ． 5．B6．70 AC ED 7．解：(1)AD AB ＝AE AC ＝DEBC.(2)AOA ′O ＝BO B ′O ＝AB A ′B ′.(3)AD AB ＝AE AC ＝DEBC.8．解：(1)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠DAC ＝∠B ＝36°，∠BAC ＝∠D ＝117°， ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°. (2)∵△ABC ∽△DAC ， ∴BC AC ＝AC CD.又∵AC ＝4，BC ＝6， ∴CD ＝4×46＝83.9．C [解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ，∴△ADE ∽△EFC ，共3对． 故选C.10．C [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴△AEF ∽△BCF ，△AEF ∽△DEC ， ∴与△AEF 相似的三角形有2个． 11．解：(1)∵AD ＝4，DB ＝8， ∴AB ＝AD ＋DB ＝4＋8＝12，∴AD AB ＝412＝13.(2)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC ＝AD AB. ∵DE ＝3， ∴3BC ＝13， ∴BC ＝9. 12 2∶5 [解析] ∵△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为2∶3，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为3∶5，∴AB ∶A 1B 1＝2∶3，A 1B 1∶A 2B 2＝3∶5.设AB ＝2x ，则A 1B 1＝3x ，A 2B 2＝5x ， ∴AB ∶A 2B 2＝2∶5，∴△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为2∶5.13． 2 14． 2∶515．∵AB ∥GH ∥DC ，∴△CGH ∽△CAB ，△BGH ∽△BDC ， ∴GH AB ＝CH CB ，GH DC ＝BHBC ，∴GH AB ＋GH DC ＝CH CB ＋BHBC＝1.∵AB ＝2，DC ＝3，∴GH 2＋GH 3＝1，∴GH ＝65. 16． 4317．解：因为题目没有具体说明相似三角形的对应边，所以分三种情况讨论． 设另外两条边的长分别为x ，y (x <y )． 根据题意，得 5x ＝6y ＝73或5x ＝63＝7y 或53＝6x ＝7y， 所以x ＝157，y ＝187或x ＝52，y ＝72或x ＝185，y ＝215.故另一个三角形的另外两边的长为157，187或52，72或185，215.。
23.3.3 相似三角形的性质知识点 1 相似三角形对应线段的比等于相似比1．若两个相似三角形对应角的平分线的比为5∶3，则这两个三角形的相似比为( ) A．5∶3 B．3∶5 C．25∶9 D.5∶ 32．［2017·重庆］若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应边上的高的比为( ) A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶93．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是△ABC和△A′B′C′的AC边和A′C′边上的高，且AB＝10，A′B′＝2，BD＝6，求B′D′的长．知识点 2 相似三角形周长的比等于相似比4．若△ABC∽△DEF，且ABDE＝12，所以BC（）＝AC（）＝________，则AB＋BC＋AC（）＋（）＋（）＝________，所以△ABC与△DEF的周长之比为________．5．［2016·乐山］如图23－3－38，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且DE ∥BC.若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝________。
图23－3－386．若两个相似三角形的相似比为2∶5，它们周长的差为9，则较大三角形的周长为________．7．［教材练习第2题变式］已知△ABC∽△A′B′C′，它们的周长分别为60 cm和72 cm，且AB＝15 cm，B′C′＝24 cm，求AC和A′C′的长．知识点 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方8．如果两个相似三角形对应边的比为2∶3，那么这两个相似三角形面积的比是( ) A．2∶3 B.2∶ 3 C．4∶9 D．8∶279．若两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为( )A．1∶2 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶1610．如图23－3－39，D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点，且DE∥BC，则△ADE的面积与四边形BCED的面积比为( )A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶1图23－3－3911. 如图23－3－40所示，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则ADAB＝________．图23－3－4012．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB A ′B ′＝12，AB 边上的中线CD ＝4 cm ，△ABC 的周长为20 cm ，△A ′B ′C ′的面积为64 cm 2，求：(1)A ′B ′边上的中线C ′D ′的长； (2)△A ′B ′C ′的周长； (3)△ABC 的面积． 13．［2017·永州］如图23－3－41，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，若∠ACD ＝∠B ，AD ＝1，AC ＝2，△ACD 的面积为1，则△BCD 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4图23－3－4114．如图23－3－42，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连结AE ，BE ，BD ，且AE ，BD 交于点F ，S △DEF ∶S △BAF ＝4∶25，则DE ∶EC 等于( )A ．2∶3B ．2∶5C ．3∶5D ．3∶2图23－3－4215．如图23－3－43，D 是△ABC 的边BC 上一点，AB ＝4，AD ＝2，∠DAC ＝∠B .如果△ABD 的面积为15，那么△DAC 的面积为( )A ．15B ．10 C. 152 D ．5图23－3－4316．如图23－3－44所示，在△ABC 中，DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，且AE ∶EC ＝2∶1，连结DC ，求S △ADE ∶S △BDC 的值．图23－3－4417．如图23－3－45，AD ，BE 分别是△ABC 的角平分线和中线，A ′D ′，B ′E ′分别是△A ′B ′C ′的角平分线和中线，已知∠BAC ＝∠B ′A ′C ′，AB ·A ′D ′＝A ′B ′·AD .求证：AD ·B ′E ′＝A ′D ′·BE .图23－3－4518．如图23－3－46，矩形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点P.若矩形EFGH 的周长为24，BC＝10，AP＝16，求S△BPC的值．图23－3－461．A 2．A 3．解：由题意知AB A ′B ′＝BD B ′D ′，∴102＝6B ′D ′，解得B ′D ′＝1.2.4．EF DF 12 DE EF DF 12 125．26．157．解：因为△ABC ∽△A ′B ′C ′，所以6072＝AB A ′B ′＝BCB ′C ′.又因为AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，所以56＝15A ′B ′＝BC24，所以A ′B ′＝18(cm)，BC ＝20(cm)，所以AC ＝60－15－20＝25(cm)，A ′C ′＝72－18－24＝30(cm)．8．C 9.A 10.B11. 22[解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵S △ADE ＝S 四边形BCED ， ∴S △ADE S △ABC ＝12， ∴AD AB＝12＝22. 12．解：(1)∵CD C ′D ′＝AB A ′B ′，∴4C ′D ′＝12， ∴C ′D ′＝8(cm)． (2)∵C △ABCC △A ′B ′C ′＝AB A ′B ′，∴12＝20C △A ′B ′C ′，∴C △A ′B ′C ′＝40(cm)．(3)∵S △ABCS △A ′B ′C ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB A ′B ′2，∴14＝S △ABC 64，∴S △ABC ＝16(cm)2.13．C [解析] ∵∠ACD ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴S △ACD S △ABC ＝(AD AC )2＝14. ∵S △ACD ＝1，∴S △ABC ＝4，S △BCD ＝S △ABC －S △ACD ＝3. 故选C.14．A [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴△DEF ∽△BAF .∵S △DEF ∶S △BAF ＝4∶25，∴DE AB ＝25. ∵AB ＝CD ，∴DE ∶EC ＝2∶3. 故选A. 15．D16．因为AE ∶EC ＝2∶1，所以AE ∶AC ＝2∶3，CE ∶AC ＝1∶3. 因为DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，所以S △ADE ∶S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE AC 2＝4∶9. 因为DE ∥BC ，所以BD AB ＝CE AC ＝13.设△ABC 中BA 边上的高为h ，则△BDC 中BD 边上的高也为h ， 所以S △BDC ＝12BD ·h ，S △ABC ＝12AB ·h ，所以S △BDC ∶S △ABC ＝BD ∶AB ＝1∶3， 所以S △ADE ∶S △BDC ＝49S △ABC ∶13S △ABC ＝4∶3.17．[证明：∵∠BAC ＝∠B ′A ′C ′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC 和∠B ′A ′C ′的平分线，BE ，B ′E ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，∴∠BAD ＝∠B ′A ′D ′，AC ＝2AE ，A ′C ′＝2A ′E ′. 又∵AB ·A ′D ′＝A ′B ′·AD ，∴AB A ′B ′＝ADA ′D ′， ∴△BAD ∽△B ′A ′D ′， ∴∠ABC ＝∠A ′B ′C ′. 又∵∠BAC ＝∠B ′A ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴AB A ′B ′＝AC A ′C ′＝2AE 2A ′E ′＝AEA ′E ′， ∴△ABE ∽△A ′B ′E ′， ∴BE B ′E ′＝ABA ′B ′. 又∵AD A ′D ′＝AB A ′B ′，∴AD A ′D ′＝BEB ′E ′，∴AD ·B ′E ′＝A ′D ′·BE . 18．解：设PD ＝x ，则EF ＝x . ∵矩形EFGH 的周长为24， ∴EF ＋EH ＝12， ∴EH ＝12－x . 又∵EH ∥BC ， ∴△AEH ∽△ABC ， ∴EH BC ＝AP AD，即12－x 10＝1616＋x， 解得x 1＝4，x 2＝－8(不合题意，舍去)， ∴x ＝4，即PD ＝4，∴S △BPC ＝12BC ·PD ＝12×10×4＝20.。
23.3.1 相似三角形知识点 1 相似三角形的有关概念 1．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝6 cm ，其对应边A ′B ′＝4 cm ，则相似比为________． 2．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比是23，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是( )A. 23B. 32C. 49D. 943．如图23－3－1，Rt △ADC ∽Rt △DBC ，AC ＝3，BC ＝4，试求△ADC 与△DBC 的相似比．图23－3－1知识点 2 对应边、对应角的识别4．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝35°，则与△ABC 相似的三角形三个角的度数分别为( )A ．35°，45°，45°B ．45°，105°，35°C ．45°，35°，110°D ．45°，35°，100°5．已知△ABC 与△DEF 相似，且∠A ＝50°，∠B ＝70°，∠C ＝60°，∠D ＝60°，∠E ＝70°，则( )A ．∠F ＝50°，AB 与DE 是对应边 B ．∠F ＝50°，AB 与EF 是对应边C ．∠F ＝50°，AB 与DF 是对应边D ．AB 与DE ，AC 与DF ，BC 与EF 是三组对应边图23－3－26．如图23－3－2，△AED ∽△ABC ，且∠1＝∠B ＝50°，∠C ＝70°，则∠2＝________°，AD （ ）＝（ ）BC.7．如图23－3－3所示，根据下列情况写出各组相似三角形的对应边的比例式．(1)△ABC ∽△ADE ，其中DE ∥BC ；(2)△OAB ∽△OA ′B ′，其中A ′B ′∥AB ； (3)△ADE ∽△ABC ，其中∠ADE ＝∠B .图23－3－38．如图23－3－4，已知AC ＝4，BC ＝6，∠B ＝36°，∠D ＝117°，且△ABC ∽△DAC . (1)求∠BAD 的大小； (2)求CD 的长．图23－3－4知识点 3 由平行线判定三角形相似9．如图23－3－5，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形一共有( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对图23－3－510．如图23－3－6，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交DA 的延长线于点E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个图23－3－611．［教材例1变式］如图23－3－7，在△ABC 中，已知DE ∥BC ，AD ＝4，DB ＝8，DE ＝3.(1)求AD AB的值； (2)求BC 的长．图23－3－712．已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2∶3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3∶5，那么△ABC与△A2B2C2的相似比为________．13．已知△ABC的三边长分别为2，6，2，△A′B′C′的两边长分别为1和3.若△ABC∽△A′B′C′，则△A′B′C′的第三边长为________．图23－3－814. 如图23－3－8所示，在▱ABCD中，E是BC上一点，BE∶EC＝2∶3，AE交BD于点F，则BF∶DF＝__________．15．如图23－3－9，AB∥GH∥DC，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，DC＝3，求GH的长．图23－3－916．［2016·黄冈］如图23－3－10，已知△ABC, △DCE, △FEG, △HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1.连结AI，交FG 于点Q，则QI＝________．图23－3－1017．已知边长分别为5，6，7的三角形与一边长为3的三角形相似，求另一个三角形的另外两边的长．1. 322. B3．解：∵Rt △ADC ∽Rt △DBC ， ∴AC DC ＝DC BC ，即3DC ＝DC 4， ∴DC 2＝12，则DC ＝2 3， ∴△ADC 与△DBC 的相似比为32 3＝32. 4．D ． 5．B6．70 AC ED 7．解：(1)AD AB ＝AE AC ＝DEBC.(2)AO A′O ＝BO B′O ＝AB A′B′. (3)AD AB ＝AE AC ＝DEBC.8．解：(1)∵△ABC ∽△DAC ，∴∠DAC ＝∠B ＝36°，∠BAC ＝∠D ＝117°， ∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠DAC ＝153°. (2)∵△ABC ∽△DAC ， ∴BC AC ＝AC CD. 又∵AC ＝4，BC ＝6， ∴CD ＝4×46＝83. 9．C [解析] ∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC . ∵EF ∥AB ，∴△CEF ∽△CAB ，∴△ADE ∽△EFC ，共3对． 故选C.10．C [解析] ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴△AEF ∽△BCF ，△AEF ∽△DEC ， ∴与△AEF 相似的三角形有2个． 11．解：(1)∵AD ＝4，DB ＝8，∴AB ＝AD ＋DB ＝4＋8＝12， ∴AD AB ＝412＝13. (2)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC ＝AD AB . ∵DE ＝3， ∴3BC ＝13， ∴BC ＝9. 12 2∶5 [解析] ∵△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为2∶3，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为3∶5，∴AB ∶A 1B 1＝2∶3，A 1B 1∶A 2B 2＝3∶5.设AB ＝2x ，则A 1B 1＝3x ，A 2B 2＝5x ， ∴AB ∶A 2B 2＝2∶5，∴△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为2∶5.13． 2 14． 2∶515．∵AB ∥GH ∥DC ，∴△CGH ∽△CAB ，△BGH ∽△BDC ， ∴GH AB ＝CH CB ，GH DC ＝BH BC ， ∴GH AB ＋GH DC ＝CH CB ＋BHBC ＝1. ∵AB ＝2，DC ＝3， ∴GH 2＋GH 3＝1，∴GH ＝65. 16． 4317．解：因为题目没有具体说明相似三角形的对应边，所以分三种情况讨论． 设另外两条边的长分别为x ，y (x <y )． 根据题意，得5x ＝6y ＝73或5x ＝63＝7y 或53＝6x ＝7y， 所以x ＝157，y ＝187或x ＝52，y ＝72或x ＝185，y ＝215. 故另一个三角形的另外两边的长为157，187或52，72或185，215.。
1、如图，△PCD是等边三角形，A、C、D、B在同一直线上，且∠APB=120°. 求证：⑴△PAC∽△BPD；⑵ CD2 =AC·BD.2、如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B：1）求证：△ADF∽△DEC；2）若AB=4，33AD,AE=3，求AF的长。
3、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x函数关系式及自变量x值范围，并求出当x为何值时AE取得最小值？（3）在AC上是否存在点E，使得△ADE为等腰三角形？若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由？4、如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于D，CD=4cm,AD=8cm,求AC、BC及BD的长。
5、如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 的中点，F 是AD 上的一点，且AF=14 AD ，EG ⊥CF 于点G ，（1）求证：△AEF ∽△BCE ； （2）试说明：EG 2=CG ·FG.6、已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD>AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合,再展开，折痕EF 交AD 边于E ，交BC 边于F ，分别连结AF 和CE ．（１）求证：四边形AFCE 是菱形；（２）若AE=10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长；（３）在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2＝AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．7、已知如图，P 为平行四边形ABCD 的对角线AC 上一点，过P 的直线与AD 、BC 、CD 的延长线、AB 的延长线分别相交于点E 、F 、G 、H. 8、求证：PGPHPF PE9、8、如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ．（1）求证：PC 2=PE •PF ；（2）若菱形边长为8，PE=2，EF=6，求FB 的长．9、如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F．求证：BD•CF=CD•DF．10、如图：已知在等边三角形ABC中，点D、E分别是AB、BC延长线上的点，且BD=CE，直线CD与AE相交于点F．（1）求证：DC=AE；（2）求证：AD2=DC•DF．11、如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC，CD于点M，F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H．（1）找出与△ABH相似的三角形，并证明；（2）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长．12、如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG，AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）AE=CG；（2）AN•DN=CN•MN．13、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E．求证：（1）△AED∽△CBM；（2）AE•CM=AC•CD．14、如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F．（1）求证：FD2=FB•FC；（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由．15、如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形.求∠1+∠2的度数. 16、如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长PQ是宽PN的2倍，则边长是多少？17、小亮想利用太阳光下的影子测量校园内一棵大树的高，小亮发现因大树靠近学校围墙，大树的影子不全落在地面上，如图所示，经测量，墙上影高CD=1.5m，地面影长BC=10m．若此时1米高的标杆的影长恰好为2m．请你求出这棵大树AB的高度．18、如图，九年级的数学活动课上，小明发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，求电线杆的高度．19、如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D 处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度．20、在矩形ABCD中，AB=12cm，AD=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示运动时间（0≤t≤6），那么当t为何值时，△APQ与△ABD相似？说明理由．21、如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6米，BC=8米，动点P以2米/秒的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1米/秒的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5秒时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，写出t的值。
华东师大版九年级数学上册第23章23.3.3 相似三角形的性质 同步练习题一、选择题1．若△ABC ∽△DEF ，相似比为3∶2，则对应高的比为(A) A ．3∶2B ．3∶5C ．9∶4D ．4∶92．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为1∶2，则△ABC 与△A ′B ′C ′的周长比为(B) A ．2∶1B ．1∶2C ．4∶1D ．1∶43．如果两个相似三角形的相似比是1∶2，那么这两个相似三角形的面积比是(C) A ．2∶1B ．1∶ 2C ．1∶2D ．1∶44．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点．若△ADE 的面积为4，则△ABC 的面积为(D) A ．8B ．12C ．14D ．165．如图，已知△ABC ∽△DEF ，AB ∶DE ＝1∶2，则下列等式一定成立的是(D)A.BC DF ＝12 B.∠A 的度数∠D 的度数＝12C.△ABC 的面积△DEF 的面积＝12D.△ABC 的周长△DEF 的周长＝126．如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则ADAB为(D)A.12B.24C.14D.227．如图，在△ABC 中，D ，E 分别在AB ，AC 上，且DE ∥BC ，AD ＝12DB.若S △ADE ＝3，则S 四边形DBCE＝(C)A ．12B ．15C ．24D ．27二、填空题8．若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝4，A ′B ′＝12，则它们对应边上的高的比为1∶3，若BC 边上的中线AD ＝1.5，则B ′C ′边上的中线A ′D ′＝4.5．9．如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm 和5 cm ，且较小三角形的周长为15 cm ，那么较大三角形的周长为25cm.10．如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比35进行缩小，得到的直角三角形的面积是9．11．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，△BEO 的周长是8，则△BCD 的周长为16．12．如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，DE ∥AC.若S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3，则S△BDE∶S 四边形DECA 的值为1∶15．三、解答题13．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB ＝4 cm ，A ′B ′＝10 cm ，AE 是△ABC 的一条角平分线，AE ＝4.8 cm.求△A ′B ′C ′中对应角平分线A ′E ′的长． 解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′， ∴AE A ′E ′＝AB A ′B ′，即 4.8A ′E ′＝410. ∴A ′E ′＝12 cm.14．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD ＝∠B ，若AC ＝2，AD ＝1. (1)求DB 的长；(2)求△ACD 与△ABC 的面积的比．解：(1)∵∠B ＝∠ACD ， ∠BAC ＝∠CAD ， ∴△ABC ∽△ACD. ∴AB AC ＝AC AD. ∴AB ＝AC2AD ＝4.∴DB ＝AB －AD ＝4－1＝3.(2)∵△ACD 与△ABC 的相似比为AD ∶AC ＝1∶2，∴△ACD 与△ABC 的面积的比为1∶4.15．如图，在▱ABCD 中，E 为线段AB 上一点，且AE ∶EB ＝2∶3，线段DE 与AC 交于点F. (1)求△AEF 和△CDF 的周长比； (2)若S △AEF ＝8 cm 2，求S △CDF .解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD. ∵AE ∶EB ＝2∶3， ∴AE ∶AB ＝2∶5. ∴AE ∶CD ＝2∶5.∵AB ∥CD ，∴△AEF ∽△CDF. ∴△AEF 和△CDF 的周长比为2∶5. (2)∵△AEF ∽△CDF ， ∴S △CDF ∶S △AEF ＝25∶4. ∵S △AEF ＝8 cm 2， ∴S △CDF ＝50 cm 2.16．如图，在△ABC 中，AB ＝14 cm ，AD BD ＝59，DE ∥BC ，CD ⊥AB ，CD ＝12 cm.求△ADE 的周长．解：∵AB ＝14 cm ，AD BD ＝59，∴AD ＝5 cm ，BD ＝9 cm ， AD AB ＝514. ∵CD ⊥AB ，∴CB ＝BD 2＋CD 2＝15 cm ，AC ＝AD 2＋CD 2＝13 cm. ∴△ABC 的周长为42 cm. ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC.∴C △ADEC △ABC＝AD AB ＝514.∴△ADE 的周长为15 cm.17．如图，分别延长▱ABCD 的边CD ，AB 到E ，F ，使DE ＝BF ＝12CD ，连结EF ，分别交AD ，BC于G ，H ，连结CG ，AH.(1)求证：四边形AGCH 为平行四边形； (2)求△DEG 和△CGH 的面积比．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，∠ADC ＝∠ABC ，BC ＝AD ，AG ∥CH. ∴∠E ＝∠F ，∠EDG ＝∠FBH. 又∵DE ＝BF ，∴△DEG ≌△BFH(ASA)． ∴DG ＝BH.∴AD －DG ＝BC －BH ，即AG ＝CH. 又∵AG ∥CH ，∴四边形AGCH 为平行四边形． (2)∵DE ＝12CD ，∴DE ＝13CE ，S △DGES △CGD ＝12.∵DG ∥BC ， ∴△EDG ∽△ECH.∴S △DGES △CHE＝(DE CE )2＝(13)2＝19.∴S △DEGS △CGH ＝16.18．定义：将“三角形角的顶点与该角的外角平分线与该角对边交点之间的连线叫做三角形的外角平分线．”如图中的AD 和A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的外角平分线．我们知道：两个相似三角形对应边上的高、中线和对应角的平分线之比都等于相似比，那么两个相似三角形对应角的外角平分线之比是否等于相似比呢？例如：已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，AD ，A ′D ′分别是△ABC ，△A ′B ′C ′的外角平分线，那么AD A ′D ′＝k 是否成立？如果结论不成立，请说明理由；如果结论成立，请证明．解：AD A ′D ′＝k 成立．证明：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′，∠C ＝∠C ′，AB ∶A ′B ′＝k. ∴∠EAB ＝∠E ′A ′B ′.∵∠ABD ＝∠BAC ＋∠C ，∠A ′B ′D ′＝∠B ′A ′C ′＋∠C ′， ∴∠ABD ＝∠A ′B ′D ′.∵AD ，A ′D ′分别是△ABC ，△A ′B ′C ′的外角平分线， ∴∠BAD ＝12∠BAE ，∠B ′A ′D ′＝12∠B ′A ′E ′.∴∠BAD ＝∠B ′A ′D ′.∴△BAD∽△B′A′D′.∴AD∶A′D′＝AB∶A′B′＝k，即ADA′D′＝k.。
华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是；最小值是．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=x cm（x＞0），四边形BCDP的面积为y cm2．求y关于x的函数关系式．14．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B作BE ∥AD，交⊙O于点E，连接ED（1）求证：ED∥AC；（2）若BD=2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12﹣16S2+4=0，求△ABC的面积．15．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O 于D、C两点．（1）求证：PA•PB=PD•PC；（2）若PA=，AB=，PD=DC+2，求点O到PC的距离．16．已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．（1）求证：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．17．腰长为6的等腰直角△ABC中，D是BC上的一动点（不与BC重合），过点D作AB，AC的垂线，垂足为E，F．（1）证明：△BDE∽△CDF；（2）设BD=x，四边形AEDF的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时y最大？y的最大值是多少？18．已知：Rt△ABC和Rt△DBE，AB=BC，DB=EB，D在AB上，连接AE，AC，如图1，延长CD交AE于K（1）求证：AE=CD，AE⊥CD．（2）类比：如图2所示，将（1）中的Rt△DBE绕点B逆时针旋转一个锐角，问（1）中线段AE，CD之间数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展：在图2中，将“AB=BC，DB=EB”改为“BC=kAB，DB=kEB，k＞1”其它条件均不变，如图3所示，问（1）中线段AE，CD间的数量关系和位置关系怎样？请直接写出线段AE，CD间的数量关系和位置关系．19．已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．（1）求证：AP=PD；（2）若⊙O的半径为5，AF=7，求的值．20．如图，点D为线段AB延长线上一点，△ABC和△BDE分别是以AB，BD为斜边的等腰直角三角形．连接CE并延长，交AD的延长线于F，△ABC的外接圆圆O交CF与点M．若AB=6，BD=2．（1）求CE长度；（2）证明：AC2=CM•CF；（3）求CM长度．21．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．（1）求证：△ABD∽△AHG．（2）若4AB=5AC，且点H是AC的中点，求的值．22．如图，AB是⊙O的直径，C、P是弧AB上两点，AB=13，AC=5，（1）如图（1），若点P是弧AB的中点，求PB的长；（2）如图（2），过点P作PD⊥BC于点E，交AB于点D，若=，求PC的长．23．如图，△ABC为一锐角三角形，BC=12，BC边上的高AD=8．点Q，M在边BC上，P，N分别在边AB，AC上，且PNMQ为矩形．（1）设MN=x，用x表示PN的长度；（2）当MN长度为多少时，矩形PNMQ的面积最大，最大面积是多少？（3）当MN长度为多少时，△APN的面积等于△BPQ与△CMN之和？24．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s 的速度向点C移动，同时动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，设它们的运动时间为t．（1）t为何值时，△CPQ的面积等于△ABC面积的？（2）运动几秒时，△CPQ与△CBA相似？（3）在运动过程中，PQ的长度能否为1cm？试说明理由．25．如图，分别延长平行四边形ABCD的边CD、AB到E、F，使DE=BF=CD，连接EF，分别交AD，BC于G，H，连接CG，AH（1）求证：四边形AGCH为平行四边形；（2）求△DEG和△CGH的面积比．26．如图，△ABC中，D，E分别为BC，AB中点，连接EC，AD，且AD与EC交于点F，延长AD至点G使GD=AD，连结CG．（1）请在图中找出一对全等三角形，并证明．（2）若AB=x，EB：DF=3：2，试用含x的代数式表示线段AG的长．27．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，点E、F是线段AD上的三等分点，连接BE、CE、BF、CF，若，且BC=4a．（1）求四边形ABEC的面积；（2）写出与△CEF相似但不全等的三角形，并证明其中的一对．28．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是．参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC 于点D．求证：PA•CD=PC•BD．29．如图，△ABC中，BC=2AB，点D、E分别是BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，GD与AE交于点H．（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）求证：DH2=HE•HC．30．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB交边BC于点E，EM⊥BD垂足为M，EN⊥CD垂足为N．（1）当AD=CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，以B，M，E为顶点的三角形与以C，E，N为顶点的三角形相似？31．如本题图①，在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB=α．过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．（1）求∠ACD的大小；（2）在线段CD的延长线上取一点F，以FD为角的一边作∠DFE=α，另一边交BD延长线于点E，若FD﹣kAD（如本题图②所示），试求的值（用含k 的代数式表示）．32．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，交BC边于点F，联结BE．（1）求证：AB•AD=BF•ED；（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．33．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4．（1）判断△ABE与△ADB是否相似，并说明理由；（2）求∠C的度数．34．如图，AD是△ABC的高，点Q、M在BC边上，点N在AC边上，点P在AB 边上，AD=60cm，BC=40cm，四边形PQMN是矩形．（1）求证：△APN∽△ABC；（2）若PQ：PN=3：2，求矩形PQMN的长和宽．35．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，矩形DEFG的四个顶点都在△ABC 的边上，已知：AC=8，BC=6．（1）当四边形DEFG为正方形时，求EF的长；（2）△BEF与△FCG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由；（3）△BEF与△ADG能全等吗？若能，请你求出EF的长；若不能，请说明理由．36．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是OC上任意一点，AG⊥BE于点G，交BD于点F．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，判断AF与BE的数量关系；明明发现，AF与BE分别在△AOF和△BOE中，可以通过证明△AOF和△BOE全等，得到AF与BE的数量关系；请回答：AF与BE的数量关系是．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，请参考明明思考问题的方法，求的值．37．如图所示，D是以AB为直径的半圆O上的一点，C是弧AD的中点，点M 在AB上，AD与CM交于点N，CN=AN．（1）求证：CM⊥AB；（2）若AC=；，BD=2，求半圆的直径．38．在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任一点，PE∥AB交AC 于E，PF∥AC交AB于F．用x表示；（1）设BP=x，将S△PEF（2）当P在BC边上什么位置时，S值最大．39．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD，点E在边AB上，且DE⊥CD，DF平分∠EDC，交BC于点F，联结CE、EF．（1）求证：DE=DC；（2）如果BE2=BF•BC，求证：∠BEF=∠CEF．40．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9cm，BC=2cm，点M，N分别从A，B 同时出发，M在AB边上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，N在BC边上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动（当点N运动到点C时，两点同时停止运动）．设运动时间为x秒，△MBN的面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）求△MBN的面积的最大值．41．如图，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AD=3，DC=4，点M在线段AC上运动，ME⊥AD于点E，连结BE并延长交AC于点F，连结BM．设=m （0＜m＜1），△BEM的面积为S．（1）当m=时，求的值．（2）求S关于m（0＜m＜1）的函数解析式并求出S的最大值．（3）设=k，猜想k与m的数量关系并证明．42．以AB为直径作半圆O，AB=10，点C是该半圆上一动点，连接AC、BC，延长BC至点D，使DC=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，在点C运动过程中：（1）如图1，当点E与点O重合时，连接OC，试判断△COB的形状，并证明你的结论；（2）如图2，当DE=8时，求线段EF的长．43．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，D、E分别是AC、AB 的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．根据上面的信息，解答下面的问题：（1）当t为何值时，PQ⊥AB？（2）当点Q在BE之间运动时，设五边形PQBCD的面积为y（cm2），求y与t 之间的函数表达式．44．如图，已知AB是⊙O的直径，点E在线段AB上，CD⊥AB于G，连接DE 交⊙O于F，连接CF交AB延长线于P．求证：OF2=OE•OP．45．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAD=75°，∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC，求AC的长．小明发现，过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，通过构造△ACE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．（1）请回答：∠ACE的度数为，AC的长为．（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，∠CAD=30°，∠ADC=75°，AC与BD交于点E，AE=2，BE=2ED，求AC的长．46．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，CD是斜边AB上的高，点E 为边AC上一点（点E不与点A、C重合），连接DE，作CF⊥DE，CF与边AB、线段DE分别交于点F，G；（1）求线段CD、AD的长；（2）设CE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．47．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，BE、AD相交于点G，EF ∥AD交BC于点F，且BF2=BD•BC，联结FG．（1）求证：FG∥CE；（2）设∠BAD=∠C，求证：四边形AGFE是菱形．48．在▱ABCD中，点E在BC边上，点F在BC边的延长线上，且BE=CF．（1）求证：MA=MF；（2）连接AF，分别交DE、CD于M、N，若∠B=∠AME，求证：ND•ME=AD•MN．49．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，E是CD的中点，BE交AC于F，过点F作FG∥AB，交AE于点G．（1）求证：AG=BF；（2）当AD2=CA•CF时，求证：AB•AD=AG•AC．50．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，∠DEC=∠ABC，且CD2=CE•CA．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若∠FCE=∠DCE，求证：四边形EFCD是菱形．华师大新版九年级上学期《23.3.3 相似三角形的性质》同步练习卷参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．（1）如图1，连结AE．先由DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，【分析】得出∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得出∠AFE+∠ADE=180°，那么A、D、E、F四点共圆，根据圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，根据等角对等边得出AB=BE；（2）如图2，连结AE．由A、D、E、F四点共圆，得出∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得出∠DEF=90°，再证明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，根据两角对应相等的两三角形相似得出△BDE∽△AFE，利用相似三角形对应边成比例得到=．在直角△DEF中，利用勾股定理求出EF==DF，然后将AF=m，DE=kDF代入，计算即可求解．【解答】解：（1）如图1，连结AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠DFE=∠BAE，∴AB=BE；（2）如图2，连结AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB．∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF．在△BDE与△AFE中，，∴△BDE∽△AFE，∴=．在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，∴EF==DF，∴==，∴BD=．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，四点共圆，圆周角定理，勾股定理等知识，有一定难度．连结AE，证明A、D、E、F四点共圆是解题的关键．2．如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD延长线于点G．（1）求证：PB=PD．（2）若DF：FA=1：2①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．【分析】（1）根据菱形的性质得出∠DAP=∠PAB，AD=AB，再利用全等三角形的判定得出△APB≌△APD；（2）①首先证明△DFP≌△BEP，进而得出，，进而得出即，即可得出答案；②由（1）证得△APB≌△APD，得到∠ABP=∠ADP，根据平行线的性质，得到∠G=∠ABP，（Ⅰ）若DG=PG根据△DGP∽△EBP，得DG=a，由勾股定理得到FH=，于是得到结论；（Ⅱ）若DG=DP，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，设AH=x，求得FH=，得到tan∠DAB= =．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC平分∠DAB，∴∠DAP=∠BAP，在△APB和△APD中，，∴△APB≌△APD，∴PB=PD；（2）解：①∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△AFP∽△CBP，∴，∵，∴，∴，由（1）知PB=PD，∴，∴PF=PD．②由（1）证得△APB≌△APD，∴∠ABP=∠ADP，∵GC∥AB，∴∠G=∠ABP，∴∠ADP=∠G，∴∠GDP＞∠G，∴PD≠PG．（Ⅰ），若DG=PG，∵DG∥AB，∴△DGP∽△EBP，∴PB=EB，由（2）知，设PF=2a，则PB=BE=PD=3a，PE=PF=2a，BF=5a，由△DGP∽△EBP，得DG=a，∴AB=AD=2DG=9a，∴AF=6a，如图1，作FH⊥AB于H，设AH=x，则（6a）2﹣x2=（5a）2﹣（9a﹣x）2，解得x=a，∴FH=，∴tan∠DAB=；（Ⅱ）若DG=DP，如图2，设DG=DP=3m，则PB=3m，PE=BE=PF=2m，AB=AD=2DG=6m，AF=4m，BF=5m，∴（4m）2﹣x2=（5m）2﹣（6m﹣x）2，解得x=m，∴FH=，∴tan∠DAB==．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质，菱形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE=3，BD﹣AD=2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．【分析】（1）根据圆周角定理求得AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得结论；（2）先求得∠E=∠C，根据等角对等边求得BD=DC=DE=3，进而求得AD=1，然后根据勾股定理求得AB，即可求得圆的半径；（3）根据题意得到AC=，BC=6，DC=3，然后根据割线定理即可求得EC，进而求得AE．【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC；（2）解：∵AB=AC，∵∠B=∠E，∴∠E=∠C，∴BD=DC=DE=3，∵BD﹣AD=2，∴AD=1，在RT△ABD中，AB==，∴⊙O的半径为；（3）解：∵AB=AC=，BD=DC=3，∴BC=6，∵∠B=∠E，∠C=∠C，∴△EDC∽△BAC，∵AC•EC=DC•BC，∴•EC=3×6，∴EC=，∴AE=EC﹣AC=﹣=．【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用以及割线定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．4．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若=，AE=2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．【分析】（1）易证DE∥BC，由平行线分线段成比例定理列比例式即可求解；（2）分三种情况讨论：①若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线；②若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线；③当CD 为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，DE⊥AC，∴DE∥BC，∴，∵，AE=2，∴EC=6；（2）①如图1，若∠CFG=∠ECD，此时线段CP是△CFG的FG边上的中线．证明：∵∠CFG+∠CGF=90°，∠ECD+∠PCG=90°，又∵∠CFG=∠ECD，∴∠CGF=∠PCG，∴CP=PG，∵∠CFG=∠ECD，∴CP=FP，∴PF=PG=CP，∴线段CP是△CFG的FG边上的中线；②如图2，若∠CFG=∠EDC，此时线段CP为△CFG的FG边上的高线．证明：∵DE⊥AC，∴∠EDC+∠ECD=90°，∵∠CFG=∠EDC，∴∠CFG+∠ECD=90°，∴∠CPF=90°，∴线段CP为△CFG的FG边上的高线．③如图3，当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线．【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键．5．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．（1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，【分析】由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可；②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论；（2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ．【解答】（1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点，∴OC=OD，∴OC′=OD′，在△AOC′和△BOD′中，，∴△AOC′≌△BOD′（SAS），∴AC′=BD′；②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示：∵△AOC′≌△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°，∴∠OBD′+∠BFE=90°，∴∠BEA=90°，∴AC′⊥BD′；（2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示：∵△OCD旋转到△OC′D′，∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，∵CD∥AB，∴，∴，∴，又∠AOC′=∠BOD′，∴△AOC′∽△BOD′，∴∠OAC′=∠OBD′，又∠AFO=∠BFE，∴∠AEB=∠AOB=θ．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C作直线MC使得∠BCM=∠BAC，求点B到直线MC的距离．【分析】利用勾股定理求出BC，过B向MC作垂线，利用三角形相似求BE．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，BC==3，作BE⊥MC，垂足是E，∵∠ACB=∠BEC=90°，∴△ACB∽△BCE，∴，∴，∴BE=，∴点B到直线MC的距离．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理作辅助线构造相似三角形是解题的关键．7．如图所示，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC、BC分别交⊙O于E、D，连接ED、BE．（1）求证：△CDE∽△CAB；（2）求证：DE=BD；（2）如果BC=6，AB=5，求BE的长．【分析】（1）由圆内接四边形的性质得出∠CED=∠CBA，再由公共角相等，即可证出△CDE∽△CAB；（2）由等腰三角形的性质得出∠C=∠CBA，证出∠C=∠CED，得出DE=CD，再由圆周角定理和三线合一性质得出CD=BD，即可得出DE=BD；（3）由割线定理求出CE，由圆周角定理得出∠AEB=∠BEC=90°，根据勾股定理即可求出BE的长．【解答】（1）证明：连接AD，如图所示：∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠CED=∠CBA，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB；（2）证明：∵AB=AC，∴∠C=∠CBA，∴∠C=∠CED，∴DE=CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴CD=BD，∴DE=BD；（3）解：由割线定理得：CE•AC=CD•BC，∵CD=BD=BC=3，AC=AB=5，∴CE===，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°，∴BE===．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定、等腰三角形的性质、圆周角定理、割线定理、勾股定理；本题有一定难度，特别是（2）（3）中，需要运用圆周角定理、割线定理和勾股定理才能得出结果．8．如图1，已知矩形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O分别交AB、CD于点E、F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若AB=3，AD=4，点M在线段BC上运动，连接MO．①当MO⊥AC时，求BM的值；②当BM为多少时，△BMO是等腰三角形？（只写出结论，不要求写过程）【分析】（1）根据矩形的性质易证，OA=OC，AB∥CD，根据AB∥CD，得到∠EAO=∠FCO，满足ASA可证；（2）①先证△MOC∽△ACB，得MC：AC=OC：BC，计算MC，即可求出BM；②若△BMO是等腰三角形，则可能BM=OM，OB=BM，OB=OM，分类讨论即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（AAS）；（2）①解：如图1，∵MO⊥AC，∴∠MOC=90°，∵∠ABC=90°，∴∠MOC=∠ABC，又∵∠MCO=∠MCO，∴△MOC∽△ACB，∴MC：AC=OC：BC，∵AB=3，BC=4，∴AC=5，∴OC=2.5，∴MC：5=2.5：4，∴MC=，∴BM=；②如图2，△BMO是等腰三角形时，有三种情况：（Ⅰ）OB=OM，此时M与C重合，BM=4；（Ⅱ）OB=BM，BM=OB=BD=2.5；（Ⅲ）BM=OM，作MN⊥BD，∴BN=B0=；∵△BMN∽△BDC∴，∴BM===，∴BM=2.5或4或．【点评】本题主要考查了三角形全等的判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，第3小题考查学生思维的全面性，恰当分类讨论是解决问题的关键．9．已知两个以O为顶点且不全等的直角三角形△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．（1）如图1，设∠BOD=α（0°＜α＜60°），点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点．连接FM、EM．请问：随着α的变化，试判断的值是否发生变化？若不变，请求出的值；若变化，请说明理由；（2）如图2，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=1，点P是线段AB上的一个动点，将△COD固定，△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最大值是4；最小值是．【分析】（1）连接AD、BC，由∠AOB=∠COD=90°∠ABO=∠DCO=30°，得到，∠AOD=∠BOC，推出△AOD∽△BOC，求得∠OAD=∠CBO，，证得AD⊥BC由于点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，根据三角形的中位线的性质得到EF∥AD，EF=AD，于是得到MF∥AD，MF=AD，在Rt△EFM中，=；（2）过O作OE⊥AB于E，由已知条件求出当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=4．【解答】解：（1）不变；=，如图1，连接AD、BC交于一点Q，AD交BO于P，∵∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠DCO=30°，∵，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴∠OAD=∠CBO，，∵∠APO=∠BPQ，∴∠BQP=∠AOB=90°，∴AD⊥BC，∵点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，∴EF∥AD，EF=AD，∴MF∥BC，MF=BC，在Rt△EFM中，=；（2）如图2，过O作OE⊥AB于E，∵BO=3，∠ABO=30°，∴AO=，AB=，∴AB•OE=OA•OB，∴OE=，∴当P在点E处时，点P到O点的距离最近为，这时当旋转到OE与OD重合是，NP取最小值为：OP﹣ON=；如图4，当点P在点B处时，且当旋转到OB在DO的延长线时，NP取最大值OB+ON=3+1=4，∴线段PN长度的最小值为，最大值为4．故答案为：4，．【点评】此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定和性质三角形的中位线的判定和性质、三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．10．两个全等的Rt△ABC和Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，M、N分别是BD、CE的中点，连接MN，（1）若AB=ED，且B、A、D 三点在一条直线上（如图1），猜想MN与BD的关系，并加以证明；（2）若AB=AD，sin∠BAC=，且B、A、D 三点不在一条直线上（如图2），求的值．【分析】（1）如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，由∠ABC+∠ADE=180°，得到BC∥DE，得到∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，证出△CBN ≌△EFN，得到BN=FN，EF=CB=AD，于是得到DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，根据三角形的中位线的性质即可得到结论；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，证得△DEF∽△DAB，得到．由sin∠BAC=，得到tan∠BAC=，即DF=BD，得到MN=DF=BD即可得到结论．【解答】解：（1）MN⊥BD，MN=BD；如图1，连接BN并延长，与DE的延长线相交于点F，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴BC∥DE，∴∠CBN=∠EFN，∠BCN=∠FEN，∵CN=EN，在△CBN与△EFN中，，∴△CBN≌△EFN，∴BN=FN，EF=CB=AD，∴DF=DE+EF=AB+BC=AB+AD=BD，又∵BM=MD，∴MN=DF=BD，MN∥DF，∴∠BMN=∠BDE=90°，∴MN⊥BD；（2）过点E做BC的平行线，与BN的延长线相交于点F，连接DF，由（1）可知，△CBN≌△EFN，MN=DF，∴EF=CB=DE，∠BCE=∠CEF，∵∠ABC+∠ADE=180°，∴∠BAD+∠BCE+∠CED=540°﹣180°=360°，∵∠DEF+∠CEF+∠CED=360°，∴∠BAD=∠DEF，∵，∴△DEF∽△DAB，∴．∵sin∠BAC=，∴tan∠BAC=，即DF=BD，∴MN=DF=BD．即．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，梯形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．11．如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，△ABC与△DCE都是等边三角形，其中线段BD交AC于点G，线段AE交CD于点F，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）=．【分析】（1）由三角形ABC与三角形CDE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，一对角相等，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS 即可得证；（2）由（1）得出的三角形全等得到对应角相等，再由一对角相等，且夹边相等，利用ASA得到三角形GCD与三角形FCE全等，利用全等三角形对应边相等得到CG=CF，进而确定出三角形CFG为等边三角形，确定出一对内错角相等，进而得到GF与CE平行，利用平行线等分线段成比例即可得证．【解答】证明：（1）∵△ABC与△CDE都为等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠AEC，在△GCD和△FCE中，，∴△GCD≌△FCE（ASA），∴CG=CF，∴△CFG为等边三角形，∴∠CGF=∠ACB=60°，∴GF∥CE，∴=．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC=90°，【分析】然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；（2）连结DE，如图，∵BE=CE=3，∴BC=6，∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴=，即=，∴BA=9，∴AC=BA=9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．13．如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．（1）求证：AB•AF=CB•CD；（2）已知AB=15cm ，BC=9cm ，P 是射线DE 上的动点．设DP=x cm （x ＞0），四边形BCDP 的面积为y cm 2．求y 关于x 的函数关系式．【分析】（1）先利用等角的余角相等得到∠B=∠DAC ，则可判断Rt △DFA ∽Rt △ACB ，根据相似三角形的性质得AB•AF=BC•AD ，然后利用AD=CD 代换即可得到结论；（2）连结PC ，如图，先在Rt △ACB 中利用勾股定理计算出AC=12，再利用等腰三角形的性质AF=FC=AC=6，接着证明DE ∥BC ，则P 点到BC 的距离等于CF ，然后根据三角形面积公式和y=S △CPD +S △BCP 即可得到y 与x 的函数解析式．【解答】（1）证明：∵∠DAB=∠ACB=90°，∴∠DAC +∠BAC=90°，∠BAC +∠B=90°，∴∠B=∠DAC ，∵DF ⊥AC ，∴∠DFC=90°，∴Rt △DFA ∽Rt △ACB ，∴=，即AB•AF=BC•AD ，而AD=CD ，∴AB•AF=CB•CD ；（2）解：连结PC ，如图，在Rt △ACB 中，∵AB=15，BC=9，∴AC==12，∵DF ⊥AC ，DA=DC ，∴AF=FC=AC=6，∵∠DFC=∠ACB=90°，∴DE ∥BC ，∴P 点到BC 的距离等于CF ，∴y=S △CPD +S △BCP=•x•6+•9•6=3x +27（x ＞0）．【点评】本题考查了相似三角形的判断与性质：在判定两个三角形相似时，合理利用直角的作用．也考查了利用三角形面积公式列函数关系式．把四边形的面积化为两三角形面积的和是求函数关系式的关键．14．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 经过A 、B 、D 三点．过点B 作BE ∥AD ，交⊙O 于点E ，连接ED（1）求证：ED ∥AC ；（2）若BD=2CD ，设△EBD 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，且S 12﹣16S 2+4=0，求△ABC 的面积．【分析】（1）由AD 是△ABC 的角平分线，得到∠BAD=∠DAC ，由于∠E=∠BAD ，等量代换得到∠E=∠DAC ，根据平行线的性质和判定即可得到结果；（2）由BE ∥AD ，得到∠EBD=∠ADC ，由于∠E=∠DAC ，得到△EBD ∽△ADC ，根据相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】（1）证明：∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠BAD=∠DAC ，∵∠E=∠BAD ，。
2022-2023学年华东师大版九年级数学上册《23.3相似三角形》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分32分）1．已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC 与△A'B'C'的周长比是（）A．3：5B．9：25C．5：3D．25：92．如图，已知在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是（）A．0＜CP≤1B．0＜CP≤2C．1≤CP＜8D．2≤CP＜83．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（）A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．＝D．＝4．如图，正方形ABCD中，AB＝2，点N为AD为边上一点，连接BN，作AP⊥BN于点P，点M为AB边上一点，且∠PMA＝∠PCB，连接CM．下列结论正确的个数有（）（1）△P AM∽△PBC（2）PM⊥PC；（3）∠MPB＝∠MCB；（4）若点N为AD中点，则S△PCN＝6（5）AN＝AMA．5个B．4个C．3个D．2个5．如图，平行四边形ABCD中，连接AC，在CD的延长线上取一点E，连接BE，分别交AC和AD于点G和点F，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝6．如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作30°角的直角三角形ABC和30°角的直角三角形ADE，CD与BE，AE分别交于点P，M，连接P A对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③图中有5对相似三角形；④AP⊥CD其中结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．4个D．3个7．如图，有一块直角三角形余料ABC，∠BAC＝90°，G，D分别是AB，AC边上的一点，现从中切出一条矩形纸条DEFG，其中E，F在BC上，若BF＝4.5cm，CE＝2cm，则GF 的长为（）A．3cm B．2cm C．2.5cm D．3.5cm8．如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A．3m B．27m C．（3+）m D．（27+）m二．填空题（共8小题，满分32分）9．已知如图，DE是△ABC的中位线，点P是DE的中点，CP的延长线交AB于点Q，那么S△CPE：S△ABC＝．10．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，那么EH的长为．11．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝．12．如图，△ABC是等边三角形，AB＝，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD＝60°，∠AHC＝90°时，DH＝．13．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，AD＝20，P是AD边上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F，则PE•PF的最大值为．14．矩形ABCD中AE⊥BD于E，AB＝4，∠BAE＝30°，求△DEC的面积是．15．如图，一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2．按图中要求加工成一个正方形桌面，则桌面的边长为m．16．如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是．三．解答题（共9小题，满分56分）17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．18．如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C．（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB＝4，∠BAE＝30°，求AE的长．19．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EF A；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．20．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC．（1）求证：AC＝AD+CE；（2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE 于点Q；（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）21．在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC＝180°，∠AFE ＝∠BDE．（1）如图1，当DE＝DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE＝kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A＝90°，AF＝m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．22．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD＝3，AB＝5，求的值．23．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．（1）求证：△ADF∽△ACG；（2）若，求的值．24．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE ＝40cm，EF＝20cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，求树高AB．25．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．故选：C．2．解：如图所示，过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E，则△PCD∽△BCA 或△BPE∽△BCA，此时0＜PC＜8；如图所示，过P作∠BPF＝∠A交AB于F，则△BPF∽△BAC，此时0≤PC＜8；如图所示，过P作∠CPG＝∠A交AC于G，则△CPG∽△CAB，当点G与点A重合时，CA2＝CP×CB，即42＝CP×8，∴CP＝2，∴此时，0＜CP≤2；综上所述，CP长的取值范围是0＜CP≤2．故选：B．3．解：∵∠A＝∠A，∴添加∠ADE＝∠C，△ADE∽△ACB，故A正确；∴添加∠AED＝∠B，△ADE∽△ACB，故B正确；∴添加，△ADE∽△ACB，故D正确；故选：C．4．解：（1）∵AP⊥BN，∴∠P AM+∠PBA＝90°，∵∠PBA+∠PBC＝90°，∴∠P AM＝∠PBC，∵∠PMA＝∠PCB，∴△P AM∽△PBC，故（1）正确；（2）∵△P AM∽△PBC，∴∠APM＝∠BPC，∴∠CPM＝∠APB＝90°，即PM⊥PC，故（2）正确；（3）∵∠MPC+∠MBC＝90°+90°＝180°，∴B、C、P、M四点共圆，∴∠MPB＝∠MCB，故（3）正确；（4）过点P作EF⊥BC，分别交AD、BC于E、F点，∵N为AD的中点，AB＝2∴AN＝DN＝，BC＝EF＝2，∴BN＝，易证△ANP∽△NBA，得，即，∴PN＝1，∴PB＝5﹣1＝4，∵AD∥BC，∴△PEN∽△PFB，∴，∴PF＝，∴，故（4）错误；（5）易证△P AN∽△P AB，∴，∵△P AM∽△PBC，∴，∴，∵AB＝BC，∴AM＝AN，故（5）正确；故选：B．5．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD，AB∥CD，AD∥BC，∴AB∥CE，∴＝＝，故A正确，∵AF∥BC，AB∥EC，∴＝＝，故B正确，∵AF∥BC，AB∥EC，∴＝＝，∴＝，故C正确，故选：D．6．解：如图，设AC与PB的交点为N，∵∠ABC＝∠AED＝90°，∠BAC＝∠DAE＝30°，∴＝，∠BAE＝30°+∠CAE，∠CAD＝30°+∠CAE，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，故①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴，∴MP•MD＝MA•ME，故②正确；∴，∵∠PMA＝∠EMD，∴△APM∽△DEM，∴∠APM＝∠DEM＝90°，∴AP⊥CD，故④正确；同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，∵△ABC∽△AED，∴图中相似三角形有6对，故③不正确；故选：D．7．解：∵∠BAC＝90°，∴∠AGD+∠ADC＝90°，∵四边形GFDE是矩形，∴∠GDE＝90°，∠GFB＝∠DEC＝90°，GD∥BC，GF＝DE，∴∠ADG+∠EDC＝90°，∠AGD＝∠B，∴∠AGD＝∠EDC，∴∠B＝∠EDC，∴△BFG∽△DEC，∴DE：BF＝CE：GF，∵BF＝4.5cm，CE＝2cm，∴GF：4.5＝2：GF，∴GF＝3cm，故选：A．8．解：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，∴四边形ABED是矩形，∵BE＝9m，AB＝1.5m，∴AD＝BE＝9m，DE＝AB＝1.5m，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，AD＝9m，∴CD＝AD•tan30°＝9×＝3，∴CE＝CD+DE＝3+1.5故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分）9．解：连接AP并延长交BC于点F，∵DE是△ABC的中位线，∴E是AC的中点，∴S△CPE＝S△AEP，∵点P是DE的中点，∴S△AEP＝S△ADP，∴S△CPE：S△ADE＝1：2，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE：BC＝1：2，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：4，∴S△CPE：S△ABC＝1：8．故答案为：1：8．10．解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴＝，设EH＝3x，则有EF＝2x，AM＝AD﹣EF＝2﹣2x，∴＝，解得：x＝，则EH＝．故答案为：．11．解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴＝＝2，∴PQ＝2PR＝2BQ，∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x+3x＝3，∴x＝，∴AP＝5x＝3．故答案为3．12．解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BHD＝∠ABH+∠BAH＝60°，∠BAH+∠CAH＝60°，∴∠ABH＝∠CAH，在△ABE和△CAH中，∴△ABE≌△CAH，∴BE＝AH，AE＝CH，在Rt△AHE中，∠AHE＝∠BHD＝60°，∴sin∠AHE＝，HE＝AH，∴AE＝AH•sin60°＝AH，∴CH＝AH，在Rt△AHC中，AH2+（AH）2＝AC2＝（）2，解得AH＝2，∴BE＝2，HE＝1，AE＝CH＝，∴BH＝BE﹣HE＝2﹣1＝1，在Rt△BFH中，HF＝BH＝，BF＝，∵BF∥CH，∴△CHD∽△BFD，∴＝＝＝2，∴DH＝HF＝×＝．故答案为．13．解：在Rt△ABD中，BD＝＝＝25，∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEA＝∠CDA＝∠PFD＝90°，又∵∠P AE＝∠CAD，∠PDF＝∠BDA，∴△APE∽△ACD，△DPF∽△DBA，∴＝＝，＝＝，设AP＝x，则PD＝20﹣x，∴PE＝x，PF＝（20﹣x）＝12﹣x，∴PE•PF＝x×（12﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣10）2+36，根据二次函数的图象及性质可知，当x＝10时，PE•PF有最大值，最大值为36，故答案为：36．14．解：如图，过点C作CF⊥BD于F．∵矩形ABCD中，AB＝4，AE⊥BD，∠BAE＝30°，∴AB2＝BE×BD，BE＝2，AE＝2，∴ED＝BD﹣BE＝6，∴∠ABE＝∠CDF＝60°，AB＝CD＝4，AEB＝∠CFD＝90°．∴△ABE≌△CDF．∴AE＝CF．∴S△AED＝ED•AE，S△ECD＝ED•CF∴S△AED＝S△CDE，∵AE＝2，DE＝6，∴△ECD的面积是6．故答案为：6．15．解：∵一块直角三角形木板，一条直角边AC的长1.5m，面积为1.5m2，∴另一直角边长为：＝2（m），则斜边长为：＝2.5，设点C到AB的距离为h，则S△ABC＝×2.5h＝1.5，解得：h＝1.2，∵正方形GFDE的边DE∥GF，∴△ACB∽△DCE，＝，即＝，解得：x＝，故答案为：．16．解：如图，作FH⊥PE于H．∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，∴AC＝5，∠ACD＝∠FCH＝45°，∵∠FHC＝90°，CF＝2，∴CH＝HF＝，∵CE＝4AE，∴EC＝4，AE＝，∴EH＝5，在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5）2+（）2＝52，∵∠GEF＝∠GCF＝90°，∴E，G，F，C四点共圆，∴∠EFG＝∠ECG＝45°，∴∠ECF＝∠EFP＝135°，∵∠CEF＝∠FEP，∴△CEF∽△FEP，∴＝，∴EF2＝EC•EP，∴EP＝＝．故答案为．三．解答题（共9小题，满分56分）17．证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE．18．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠C+∠ADE＝180°，∵∠BFE＝∠C，∴∠AFB＝∠EDA，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，∴△ABF∽△EAD；（2）解：∵AB∥CD，BE⊥CD，∴∠ABE＝90°，∵AB＝4，∠BAE＝30°，∴AE＝2BE，由勾股定理可求得AE＝．19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AMB＝∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EF A；（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝＝13，AD＝12，∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5，∵△ABM∽△EF A，∴，即，∴AE＝16.9，∴DE＝AE﹣AD＝4.9．20．（1）证明：∵BD⊥BE，∴∠1+∠2＝180°﹣90°＝90°，∵∠C＝90°，∴∠2+∠E＝180°﹣90°＝90°，∴∠1＝∠E，∵在△ABD和△CEB中，，∴△ABD≌△CEB（AAS），∴AB＝CE，∴AC＝AB+BC＝AD+CE；（2）（i）如图，过点Q作QF⊥BC于F，则△BFQ∽△BCE，∴＝，即＝，∴QF＝BF，∵DP⊥PQ，∴∠APD+∠FPQ＝180°﹣90°＝90°，∵∠APD+∠ADP＝180°﹣90°＝90°，∴∠ADP＝∠FPQ，又∵∠A＝∠PFQ＝90°，∴△ADP∽△FPQ，∴＝，即＝，∴5AP﹣AP2+AP•BF＝3•BF，整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）＝0，∵点P与A，B两点不重合，∴AP≠5，∴AP＝BF，由△ADP∽△FPQ得，＝，∴＝；（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ的中位线MN．由（2）（i）可知，QF＝AP．当点P运动至AC中点时，AP＝4，∴QF＝．∴BF＝QF×＝4．在Rt△BFQ中，根据勾股定理得：BQ＝＝＝．∴MN＝BQ＝．∴线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为．21．解：（1）如图1，连接AE．∵DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE，∵∠ADF+∠DEC＝180°，∴∠ADF＝∠DEB．∵∠AFE＝∠BDE，∴∠AFE+∠ADE＝180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE＝∠DFE＝∠DEF，∠ADF＝∠AEF．∵∠ADF＝∠DEB＝∠AEF，∴∠AEF+∠AED＝∠DEB+∠AED，∴∠AEB＝∠DEF＝∠DFE＝∠BAE，∴AB＝BE；（2）如图2，连接AE．∵∠AFE＝∠BDE，∴∠AFE+∠ADE＝180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF＝∠AEF，∵∠DAF＝90°，∴∠DEF＝90°，∵∠ADF+∠DEC＝180°，∴∠ADF＝∠DEB．∵∠ADF＝∠AEF，∴∠DEB＝∠AEF．在△BDE与△AFE中，，∴△BDE∽△AFE，∴＝．在直角△DEF中，∵∠DEF＝90°，DE＝kDF，∴EF＝＝DF，∴＝＝，∴BD＝．22．（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE＝∠AGC＝90°，∵∠EAF＝∠GAC，∴∠AED＝∠ACB，∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）解：由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴＝，由（1）可知：∠AFE＝∠AGC＝90°，∴∠EAF＝∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，∴＝．23．（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∴∠ADF＝∠C，∵＝，∴△ADF∽△ACG．（2）解：∵△ADF∽△ACG，∴＝，又∵＝，∴＝，∴＝1．24．解：在△DEF和△DBC中，，∴△DEF∽△DBC，∴＝，即＝，解得BC＝4，∵AC＝1.5m，∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5m，即树高5.5m．25．（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD＝90°，∴△BEF∽△CDF；（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．∴＝，即＝，解得：CF＝169．即：CF的长度是169cm．。
