第十一章微分方程

第十一章 微分方程习题详解第十一章 微分方程 习 题 11—11．判断下列方程是几阶微分方程？（1）23d tan 3sin 1;d y y t t t t ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（2）(76)d ()d 0;x y x x y y -++=（3）2()20;x y yy x ''''-+= （4）422()0'''''++=xy y x y ．解 微分方程中所出现的未知函数导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶．所以有：（1）一阶微分方程； （2）一阶微分方程； （3）三阶微分方程； （4）三阶微分方程． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1）2'=xy y ，25=y x ；（2）0''+=y y ，3sin 4cos =-y x x ； （3）20'''-+=y y y ，2e =x y x ；（4）2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y ，ln()=y xy ．解 （1）将10'=y x 代入所给微分方程的左边，得左边210=x 22()5x ==右边，故25=y x 是微分方程2'=xy y 的解．（2）将3cos 4sin '=+y x x ，3sin 4cos ''=-+y x x 代入所给微分方程的左边，得左边(3sin 4cos )(3sin 4cos )0=-++-==x x x x 右边，故3sin 4cos =-y x x 是微分方程0''+=y y 的解．（3）将2e =x y x ，22e e '=+x x y x x ，22e 4e e ''=++x x x y x x 代入微分方程的左边，得左边222(2e 4e e )2(2e e )e 2e 0=++-++=≠x x x x x x x x x x x x （右边），故2e =x y x 不是所给微分方程20'''-+=y y y 的解．（4）对方程ln()=y xy 的两边关于x 求导，得 1''=+y y x y，即 ''=+xyy y xy ．再对x 求导，得2()''''''''++=++yy x y xyy y y xy ，即2()()20'''''-++-=xy x y x y yy y ，故ln()=y xy 是所给微分方程的解．3．确定下列各函数关系式中所含参数，使函数满足所给的初始条件． （1）22-=x y C ， 05==x y ；（2）2120()e ,0==+=x x y C C x y ，01='=x y ．解 （1）将0=x ，5=y 代入微分方程，得220525=-=-C所以，所求函数为2225-=y x ．（2）222212122e 2()e (22)e '=++=++x x x y C C C x C C C x ，将00==x y，01='=x y 分别代入212()e =+x y C C x 和2122(22)e '=++x y C C C x ，得10=C ，21=C ，所以，所求函数为2e =x y x ．4．能否适当地选取常数λ，使函数e λ=x y 成为方程90''-=y y 的解．解 因为e λλ'=x y ，2e λλ''=x y ，所以为使函数e λ=x y 成为方程 90''-=y y 的解，只须满足2e 9e 0λλλ-=x x ，即2(9)e 0λλ-=x ．而e 0λ≠x ，因此必有290λ-=，即3λ=或3λ=-，从而当3λ=，或3λ=-时，函数33e ,e -==x x y y 均为方程90''-=y y 的解．5．消去下列各式中的任意常数12,,C C C ，写出相应的微分方程． （1）2;y Cx C =+ （2）()tan ;y x x C =+ （3）12e e ;x x xy C C -=+ （4）212()y C C x -=．解 注意到，含一个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程．（1）由2=+y Cx C 两边对x 求导，得'=y C ，代入原关系式2y Cx C =+，得所求的微分方程为2()''+=y xy y ．（2）由tan()=+y x x C 两边对x 求导，得2tan()sec ()'=+++y x C x x C ，即 2tan()tan ()'=++++y x C x x x C ．而tan()=+yx C x，故所求的微分方程为 2⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭y y y x x x x ，化简得 22'=++xy y x y ．（3）由12e e -=+x x xy C C 两边对x 求导，得 12e e -'+=-x x y xy C C ，两边再对x 求导，得12e e -''''++=+x x y y xy C C ，可得所求的微分方程为2'''+=xy y xy ．（4）由212()-=y C C x 两边对x 求导，得122()'-⋅=y C y C ，将212()-=y C C x代，并化简得12'=-xy y C ，对上式两边再对x 求导，得22''''+=y xy y ，故第十一章 微分方程习题详解所求的微分方程为20'''+=xy y ．习 题 11—21．求下列微分方程的通解或特解：（1）ln 0;xy y y '-= （2）cos sin d sin cos d 0;x y x x y y += （3）22();y xy y y '''-=+ （4）(1)d ()d 0;x y x y xy y ++-= （5）23yy xy x '=-，01;x y == （6）22sin d (3)cos d 0x y x x y y ++=，16x y=π=． 解 （1）分离变量，得11d d ln =y x y y x，两端积分，得 ln(ln )ln ln =+y x C ，即 ln =y Cx ，所以原方程的通解为 e C x y =．注 该等式中的x 与C 等本应写为||x 与||C 等，去绝对值符号时会出现±号；但这些±号可认为含于最后答案的任意常数C 中去了，这样书写比较简洁些，可避开绝对值与正负号的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面，本书都做这样的处理．（2）原方程分离变量，得cos cos d d sin sin =-y xy x y x，两端积分，得 ln(sin )ln(sin )ln =-+y x C ，即 ln(sin sin )ln ⋅=y x C ，故原方程的通解为 sin sin ⋅=y x C ．（3）原方程可化成 2d (1)2d -+=yx y x ，分离变量，得 212d d 1=-+y x y x ，两端积分，得 12ln(1)-=-+-x C y， 即 12ln(1)=++y x C是原方程的通解．（4）分离变量，得d d 11=+-y x y x y x ，两边积分，得 ln(1)ln(1)ln -+=+-+y y x x C ，即 e (1)(1)y x C y x -=+- 是原方程的通解．（5）分离变量，得2d d 31=-y y x x y ，两端积分，得2211ln(31)ln 62-=+y x C ， 即 211262(31)ex y C -=．由定解条件01==x y，知16(31)-=C ，即162=C ，故所求特解为 21112662(31)2x y e-=，即223312e -=x y ．（6）将方程两边同除以2(3)sin 0+≠x y ，得22cos d d 03sin +=+x yx y x y，两端积分，得 122cos d d 3sin +=+⎰⎰x yx y C x y ，积分后得 2ln(3)ln(sin )ln ++=x y C （其中1ln =C C ），从而有2(3)sin +=x y C ，代入初始条件16=π=x y，得 4sin 26π==C ．因此，所求方程满足初始条件的特解为 2(3)sin 2+=x y ，即 2arcsi 3n2y x =+． 2．一曲线过点0(2,3)M 在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲线的方程． 解 设曲线的方程为()y y x =，过点(,)M x y 的切线与x 轴和y 轴的交点分别为(2,0)A x 及(0,2)B y ，则点(,)M x y 就是该切线AB 的中点．于是有22'=-yy x ，即xy y '=-，且(2)3=y ， 分离变量后，有11d d =-y x y x，积分得 ln ln ln =-y C x ，即 =C y x ．由定解条件23==x y ，有6=C ，故 6=y x为所求的曲线． 3．一粒质量为20克的子弹以速度0200v =（米/秒）打进一块厚度为10厘米的木板，然后穿过木板以速度180v =（米/秒）离开木板．若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方成正比（比例系数为k ），问子弹穿过木板的时间．解 依题意有2d d =-vmkv t，0200==t v ， 即 21d d -=kv t v m，两端积分，得 10.02=+=+k kt C t C v m （其中20克＝0.02千克）， 代入定解条件0200==t v ，得1200=C ，故有200100001=+v kt ．第十一章 微分方程习题详解设子弹穿过木板的时间为T 秒，则2000.1d 100001Tt kt =+⎰200ln(100001)10000=+Tkt k 1ln(100001)50=+kT k， 又已知=t T 时，180==v v 米/秒，于是20080100001=+kT ，从而，0.00015=kT ，为此有 0.1ln(1.51)500.00015=+⨯T，所以0.10.0075ln 2.5=⨯T 0.000750.00080.9162≈=（秒）， 故子弹穿过木板运动持续了0.0008=T （秒）．4．求下列齐次方程的通解或特解：（1）0;xy y '- （2）22()d d 0;x y x xy y +-= （3）332()d 3d 0;x y x xy y +-= （4）(12e )d 2e (1)d 0;x x yyxx y y++-=（5）22d d yx xy y x=-，11;x y == （6）22(3)d 2d 0y x y xy x -+=， 01x y==．解 （1）原方程变形，得'=+y y x ，令=yu x，即=y ux ，有''=+y u xu ，则原方程可进一步化为'+=u xu u分离变量，得1d =u x x ，两端积分得ln(ln ln +=+u x C ，即u Cx ，将=yu x代入上式并整理，得原方程的通解为2y Cx ．（2）原方程变形，得22d d +=y x y x xy，即21d d x xy y x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=． 令=yu x，即=y ux ，有''=+y u xu ，则原方程可进一步化为 21+'+=u u xu u， 即 1d d =u u x x ，两端积分，得 211ln 2=+u x C ，将=yu x代入并整理，得原方程的通解22(2ln )=+y x x C （其中12=C C ）．（3）原方程变形，得332d d 3+=y x y x xy ，即32d 1()d 3()+=y y x x y x ， 令=y ux ，有d d d d =+y uu x x x，则原方程可进一步化为 32d 1d 3++=u u u x x u ， 即 3231d d 12u u x u x=-，两端积分，得311ln(12)ln ln 22--=-u x C ， 即 23(12)-=x u C ，将=yu x代入上式并整理，得原方程的通解为 332-=x y Cx ．（4）显然，原方程是一个齐次方程，又注意到方程的左端可以看成是以xy为变量的函数，故令=x u y ，即=x uy ，有d d d d =+x u u y y y，则原方程可化为 d ()(12e )2e (1)0d +++-=u u uu yu y， 整理并分离变量，得2e 11d d 2e +=-+u uu y u y， 两端积分，得ln(2e )ln ln +=-+u u y C ，第十一章 微分方程习题详解即 2e +=u C u y ．将 =xu y代入并整理，得原方程的通解为 2e +=xy y x C ．（5）原方程可化为2d d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭y y y x x x ． 令=yu x，有d d d d =+y u u x x x ，则原方程可进一步化为2d d +=-uu xu u x， 即 211d d -=u x u x ，两端积分，得 1ln =+x C u ，将=yu x代入，得 ln =+xx C y， 代入初始条件11==x y，得 1ln11=-=C ．因此，所求方程满足初始条件的特解为1ln =+xy x．（6）原方程可写成22d 1320d -+=x x x y y y．令=x u y ，即=x uy ，有d d d d =+x uu y y y，则原方程成为 2d 132()0d -++=uu u u yy， 分离变量，得221d d 1=-u u y u y，两端积分，得 2ln(1)ln ln -=+u y C ，即 21-=u Cy ，代入=xu y并整理，得通解 223-=x y Cy ．由初始条件01==x y，得1=-C ．于是所求特解为322=-y y x ．5．设有连结原点O 和(1,1)A 的一段向上凸的曲线弧OA ，对于OA 上任一点(,)P x y ，曲线弧OP 与直线段OP 所围成图形的面积为2x ，求曲线弧OA 的方程．解 设曲线弧的方程为()=y y x ，依题意有201()d ()2-=⎰xy x x xy x x ，上式两端对x 求导，11()()()222'--=y x y x xy x x ，即得微分方程4'=-yy x， 令=yu x，有d d d d =+y u u x x x ，则微分方程可化为d 4d +=-u u xu x ，即d 4d =-u x x， 积分得4ln =-+u x C ，因=yu x，故有 (4ln )=-+y x x C ．又因曲线过点(1,1)A ，故1=C ．于是得曲线弧的方程是(14ln )=+y x x ．6．化下列方程为齐次方程，并求出通解：（1）(1)d (41)d 0--++-=x y x y x y ； （2）()d (334)d 0+++-=x y x x y y ． 解 （1）原方程可写成d 1d 41-++=+-y x y x y x ， 令10410x y y x --=+-=⎧⎨⎩，解得交点为1=x ，0=y ．作坐标平移变换1=+x X ，=y Y ，有d d d d d(1)d ==+y Y Yx X X， 所以原方程可进一步化为d d 4-=+Y Y XX Y X（※） 这是齐次方程．设=Y u X ，则=Y uX ，d d d d =+Y u u X X X，于是（※）式可化为 1d d 41YY X Y X X-=⋅+， 即第十一章 微分方程习题详解d 1d 41-+=+u u u XX u ， 变量分离，得2411d d 41+=-+u u X u X， 两端积分，得2111ln(41)arctan(2)ln 22++=-+u u X C ， 即 22ln (41)arctan(2)⎡⎤++=⎣⎦X u u C 1(2)=C C ，将1==-Y y u X x 代入，得原方程的通解为 222ln 4(1)arctan1⎡⎤+-+=⎣⎦-yy x C x ． （2）原方程可写成d d 43()+=-+y x yx x y ， 该方程属于d ()d =++yf ax by c x类型，一般可令=++u ax by c ． 令=+u x y ，有d d 1d d =-y u x x，则原方程可化为 d 1d 43-=-u ux u， 即34d 2d 2-=-u u x u ，积分得 32ln 22+-=+u u x C ，将=+u x y 代入上式，得原方程的通解为32ln 2+++-=x y x y C ．习 题 11—31．求下列微分方程的通解：（1）22e -'+=x y xy x ； （2）23'-=xy y x ； （3）d tan 5d yx y x-=； （4）1ln '+=y y x x ； （5）2(6)d 2d 0-+=y x y y x ； （6）d 32d ρρθ+=． 解 （1） ()d ()d e ()e d -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰p x x p x x y q x x C ()222d 2d e e e d e d x x x xx x x x C x x C ---⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰2221e e 2x x C x --=+． （2）原方程可化为3'-=y y x x， 故通解为33d d 3321e e d ---⎡⎤⎛⎫⎰⎰=+=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰x x x x y x x C x C Cx x x ．（3）原方程可化为d cos 5cos d sin sin -=y x x y x x x， 故通解为cos cos d d sin sin 5cos e e d sin ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰x x x x x x x y x C x 25cos sin d sin 5sin x x x C C x x ⎡⎤=+=-⎢⎥⎣⎦⎰． （4）所给方程的通解为()11d d ln ln 1e ed ln d ln -⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰x xx x x x y x C x x C x1(ln )ln ln -=-+=+C xx x x C x x x． （5）方程可化为 2d 6d 2x x y y y -=，即 d 31d 2x x y y y -=-，故通解为 33d d 1e e d 2-⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰y yy y x y y C3211d 2y y C y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰312⎛⎫=+ ⎪⎝⎭y C y ． （6）()3d 3d 33e 2e d e 2e d θθθθρθθ--⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰C C 33322e e e 33C C θθθ--⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．2．求下列微分方程的特解： （1）d tan sec d yy x x x -=，00x y ==； （2）cos d cot 5e d x y y x x +=，24π==-x y ； （3）23d 231d y x y x x -+=，10x y ==．第十一章 微分方程习题详解解 （1）tan d tan d e sec e d -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰x xx x y x x C ()lncos lncos e sec ed -=+⎰x xx x C()1sec cos d cos x x x C x=⋅+⎰cos +=x Cx， 代入初始条件0,0==x y ，得0=C ．故所求特解为 cos =xy x． （2） cot d cot d cos e 5e e d -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰x x x x x y x C ()cos 15esin d sin xx x C x=⋅+⎰()cos 15e sin =-+x C x， 代入初始条件,42π==-x y ，得1C =，故所求特解为cos 15e sin -=xy x， 即 cos sin 5e 1+=x y x ．（3） 332323d d ee d ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰x x x x x x y x C 22113ln 3ln e e d ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰x x xx x C 222211113332e 11e d ee d 2x x x x x x C x C x x --⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎪=+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎪⎝⎭⎰⎰ 2221133311e e e 22x x x x x C Cx -⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，代入初始条件1,0==x y ，得12e=-C ，故所求特解为 21311e 2-⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭x x y ． 3．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(,)x y 处的切线斜率等于2+x y ． 解 设曲线方程为()=y y x ，依题意有2'=+y x y ，即2'-=y y x ．从而有()d de 2e d e2ed --⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰x x xxy x x C x x Ce (2e 2e )22e x x x x x C x C --=--+=--+． 由0=x ，0=y ，得2=C ．故所求曲线的方程为2(e 1)=--x y x ．4．设曲线积分2()d [2()]d +-⎰Lyf x x xf x x y 在右半平面（0>x ）内与路径无关，其中()f x 可导，且(1)1=f ，求()f x ．解 依题意及曲线积分与路径无关的条件，有2[2()][()]0∂-∂-=∂∂xf x x yf x x y，即 2()2()2()0'+--=f x xf x x f x ．记()=y f x ，即得微分方程及初始条件为112'+=y y x，11==x y ． 于是，)11d d22e e d -⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰x xx x y x C x C23⎫=⎪⎭C x 代入初始条件 1,1==x y ，得13=C ，从而有 2()3=f x x5．求下列伯努利方程的通解：（1）2d ;d yx y xy x+= （2）42323;y y x y x '+=（3）4d 11(12);d 33y y x y x +=- （4）3d [(1ln )]d 0-++=x y y xy x x ． 解 （1）方程可以化为21d 11d --+=y y y x x． 令1-=z y ，则2d d d d -=-z y y x x ，即2d d d d -=-y z y x x ．代入方程，得d 11d -+=z z x x，即 d 11d -=-z z x x， 其通解为11d de (e )d ln -⎛⎫⎰⎰=-+=- ⎪⎝⎭⎰x xx x z x C Cx x x ，所以原方程的通解为1ln =-Cx x x y． （2）原方程化为41233d 23d --+=y yy x x x． 令13-=z y ，则43d 1d d 3d -=-z y y x x ，即43d d 3d d -=-y z y x x ．代入方程，得2d 233d -+=z z x x x，即2d 2d 3-=-z z x x x，第十一章 微分方程习题详解其通解为22d d 233e (e )d -⎡⎤⎰⎰=-+⎢⎥⎣⎦⎰x x x xz x x C2433()d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰x x x C273337⎛⎫=- ⎪⎝⎭x C x ．所以原方程的通解为 12733337-=-yCx x ．（3）原方程化为4311(12)33--'+=-y y y x ．令3-=z y ，则43-''=-z y y ，于是原方程化为21z x z '-=-，其通解为d d 21e ()e d e ()e 21d x x x x z x C x x x C --⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣--⎦⎰⎰ e (21)e 21e x x xx C x C -⎡⎤=--+=--+⎣⎦，所以原方程的通解为 321e -=--+x y x C ．（4）原方程化为31(1ln )'-=+y y x y x ，即3211ln --'-=+y y y x x． 令2-=z y ，则32-''=-z y y ，则原方程化为22(1ln )'+=-+z z x x，其通解为 22d de 2(1ln )e d -⎡⎤⎰⎰=-++⎢⎥⎣⎦⎰x xx x z x x C222(1ln )d x x x x C -⎡⎤=-++⎣⎦⎰233221(1ln )d 33x x x x x C x -⎡⎤=-++⋅+⎢⎥⎣⎦⎰23322(1ln )39x x x x C -⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦222(1ln )39x x x Cx -=-+++，所以原方程的通解为 2222(1ln )39--=-+++y x x x Cx ，或写成233242ln 93=--+x x x x C y ．习 题 11—41．求下列全微分方程的通解：（1）21d ()d 0;2xy x x y y ++= （2）3222(36)d (46)d 0;x xy x y x y y +++=（3）e d (e 2)d 0;y y x x y y +-= （4）(cos cos )sin sin 0x y x y y x y '+-+=． 解 （1）易知，=P xy ，21()2=+Q x y ．因为∂∂==∂∂P Q x y x ，所以原给定的方程为全微分方程．而21(,)0d ()d 2x yu x y s x t t =++⎰⎰22221111()2224x y y x y y =+=+，于是，所求方程的通解为221124+=x y y C ． （2）易知，2236=+P x xy ，3246=+Q y x y ．因为12∂∂==∂∂P Qxy y x， 所以原给定的方程为全微分方程．而2320(,)3d (46)d xyu x y s s t x t t =++⎰⎰34223x y x y =++， 于是，所求方程的通解为 34223++=x y x y C ．（3）易知，e y P =，e 2y Q x y =-．因为 e y P Qy x∂∂==∂∂，原方程为全微分方程．将原方程的左端重新组合，得2(e d e d )2d d(e )y y y x x y y y x y +-=-，于是，所求方程的通解为 2e y x y C -=．（4）原方程可化为(cos cos )d (sin sin )d 0x y x y y x y x ++-+=，易知，sin sin P y x y =-+，cos cos Q x y x =+．因为 sin cos P Qx y y x∂∂=-+=∂∂，原方程为全微分方程．方程的左端重新组合，得(cos d sin d )(cos d sin d )0x y y y x x y y x x ++-=， d(sin )d(cos )d(sin cos )0x y y x x y y x +=+=，于是，所求方程的通解为 sin cos x y y x C +=．第十一章 微分方程习题详解2．用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解：（1）2()d d 0;x y x x y =-+ （2）22(3)d (13)d 0y x y x xy y -+-=． 解 （1）用21x 乘方程，便得到了全微分方程 211d d 0⎛⎫+-= ⎪⎝⎭y x y x x ，将方程左端重新组合，得2d d d d 0-⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭y x x y y x x x x ． 于是，通解为 -=yx C x． （2）原方程可化为232d 3d d 3d 0xy x y x y xy y -+-=，即232d d 3(d d )0xy x y y x xy y +-+=，用21y 乘方程，便得到了全微分方程 21d d 3(d d )0+-+=x x y y x x y y ， 221111d d 3d()d 3022x xy x xy y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是，原方程的通解为21132--=x xy C y． 3．用积分因子法解下列一阶线性方程：（1）24ln xy y x '+=； （2）tan y y x x '-=． 解 （1）将原方程写成24ln '+=xy y x x， 此方程两端乘以2d 2eμ⎰==xx x 后变成224ln '+=x y xy x x ，即 2()4ln '=x y x x ，两端积分，得2224ln d 2ln ==-+⎰x y x x x x x x C ，于是，原方程的通解为 22ln 1=-+C y x x ． （2）方程两端乘以tan d e cos μ-⎰==x xx ，则方程变为cos sin cos '-=y x y x x x ，即 (cos )cos '=y x x x ，两端积分，得cos cos d sin cos ==++⎰y x x x x x x x C ，于是，原方程的通解为 tan 1cos =++Cy x x x．习 题 11—51．求下列微分方程的通解： （1）211y x ''=+； （2）e x y x '''=； （3）(5)(4)10y y x -=．解（1）1121d arctan 1'=+=++⎰y x C x C x ， ()212121arctan d arctan ln(1)2y x C x C x x x C x C =++=-+++⎰．（2）11e d e e ''=+=-+⎰x x x y x x C x C ，1212(e e )d e 2e x x x x y x C x C x C x C '=-++=-++⎰， 2112323(e 2e )d e 3e 2x x x x C y x C x C x C x x C x C =-+++=-+++⎰． （作为最后的结果，这里12C 也可以直接写成1C ）． （3）令(4)=z y ，则有d 10d -=z z x x，可知=z Cx ，从而有 44d d =yCx x ， 再逐次积分，即得原方程的通解53212345=++++y C x C x C x C x C ．2．求下列微分方程的通解：（1）;y y x '''=+ （2）0;xy y '''+= （3）310;y y ''-= （4）()3y y y ''''=+． 解 （1）令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为'-=p p x ．利用一阶线性方程的求解公式，得()d d 11e e d eed x x xxp x x C x x C --⎛⎫⎰⎰=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰()11e e e 1e x x x x x C x C --=--+=--+．第十一章 微分方程习题详解即11e x p x C =--+，再积分，得通解21121(1e )d e 2x x y x C x x x C C =--+=--++⎰．（2）令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为0'+=xp p ，分离变量，得d d =-p xp x，积分得 11ln ln ln =+p C x，即 1=C p x，再积分，得通解 112d ln ==+⎰C y x C x C x ．（3）令'=y p ，则d d ''=py py，且原方程化为 3d 10d -=py py， 分离变量，得 31d d =p p y y ，积分得 2121=-+p C y ，故'==y p ， 再分离变量，得d =±x ．由于||sgn()=y y y ，故上式两端积分，sgn()d =±⎰y x，即12sgn(=±+y C x C ，两边平方，得()221121-=+C y C x C ．（4）令'=y p ，则d d ''=p y py ，且原方程化为3d d =+ppp p y，即 2d (1)0d ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦p p p y ． 若0≡p ，则≡y C ．≡y C 是原方程的解，但不是通解． 若0≡p ，由于p 的连续性，必在x 的某区间有0≠p ．于是2d (1)0d -+=pp y，分离变量，得2d d 1=+py p ，积分得 1arctan =-p y C ，即()1tan =-p y C ，亦即 ()1cot d d -=y C y x ．积分得()12ln sin ln -=+y C x C ．即 ()12sin e -=x y C C ，也可写成()21arcsin e =+x y C C ．由于当20=C 时，1=y C ，故前面所得的解≡y C 也包含在这个通解之内．3．求下列初值问题的解：（1）sin ''=+y x x ，(0)1=y ，(0)2'=-y ； （2）2(1)2'''+=x y xy ，(0)1=y ，(0)3'=y ； （3）2e y y ''=，(0)0=y ，(0)0'=y ； （4）()21'''+=y y ，(0)0=y ，(0)0'=y ．解 （1）易知，211cos 2'=-+y x x C ，3121sin 6=-++y x x C x C ．由初值条件(0)2'=-y ，知1201-=-+C ，得11=-C ；由(0)1=y ，知21000=-++C ，得21=C ．故特解为31sin 16=--+y x x x ．（2）令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为2(1)2'+=x p xp ，变量分离，得212d d 1=+x p x p x，两端积分，得 21(1)'==+y p C x ．再两端积分，得 3121()3=++y C x x C ．由初值条件(0)3y '=，有213(10)=+C ，解得，13=C ，由初值条件(0)1y =，有22113(00)3=+⋅+C ，解得，21=C ，故所给初值条件的微分方程的特解为 331=++y x x ．（3）令'=y p ，则d d py py ''=，且原方程化为 2d e d y ppy=，即2d e d y p p y =，第十一章 微分方程习题详解两端积分得22111e 22yp C =+． 代入初始条件(0)0=y ，(0)0y '=，得 112C =-，从而22111e 222y p =-，即22e 1y p =-，亦即 '=y ．分离变量后积分d =±⎰x ，即d -=⎰y x ，得2arcsin(e )-=+y x C ，代入初始条件(0)0y =，得2π=2C ．于是，符合所给初值条件的特解为 e sin -π⎛⎫=⎪2⎝⎭y x ， 即 lncos lnsec =-=y x x ．（4）令'=y p ，则d d py py''=，且原方程化为 2d 1d ppp y+=， 分离变量，得2d d 1pp y p =-，两端积分，得 211ln(1)2--=+p y C ， 代入初始条件(0)0y =，(0)0y '=，得 10=C ．从而，21ln(1)2=--y p ，即'==y p再分离变量，得d =±y x d =±y y x ．两端积分，得2arch(e )=±+y x C ，代入初始条件(0)0=y ，得20=C ，从而有满足所给初始条件的特解为arch(e )=±y x ，即e ch()ch()=±=y x x ，或写成 ln ch()=y x ．4．试求''=y x 的经过点(0,1)M 且在此点与直线112=+y x 相切的积分曲线． 解 由于直线112=+y x 在(0,1)M 处的切线斜率为12，依题设知，所求积分曲线是初值问题''=y x ，01==x y ，012='=x y 的解．由''=y x ，积分得2112'=+y x C ，再积分，得 21216=++y x C x C ，代入初始条件01==x y ，012='=x y ，解得 112=C ，21=C ，于是所求积分曲线的方程为 211162=++y x x ．5．对任意的0>x ，曲线()=y f x 上的点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于1()d xf t t x ⎰， 且()=y f x 存在二阶导数，求()f x 的表达式．解 设曲线的方程为()=y f x ，其中()=y f x 有二阶导数，则在点(,())M x f x 处的切线方程为()()()'-=-Y f x f x X x ，令0=X ，知切线在y 轴上的截距为()()'=-Y f x xf x ，据题意，有1()d ()()'=-⎰x f t t f x xf x x ，即20()()()d '-=⎰x xf x x f x f t t ． 两端求导，得2()()2()()()''''+--=f x xf x xf x x f x f x ，即[]()()0x f x xf x '''+=，已知0>x ，故有()()0f x xf x '''+=，令'=y p ，则'''=y p ，且原方程化为d 0d pp xx+=， 分离变量，得11d d =-p x p x，两端积分，得 1ln ln ln =-p C x ，即1'==C y p x．第十一章 微分方程习题详解再对两端积分，得12ln =+y C x C ，即12()ln =+f x C x C ．习 题 11—61．下列函数组中，在定义的区间内，哪些是线性无关的． （1）e x ，e ;x - （2）23sin x ，21cos ;x - （3）cos2x ，sin 2;x （4）ln x x ，ln x ． 解 （1）因为1e x y =，2e x y -=满足：212e e exx x y y -==≠常数， 所以函数组e x ，e x -是线性无关的．（2）因为213sin y x =，221cos y x =-满足：21223sin 31cos y x y x==-， 所以函数组23sin x ，21cos -x 是线性相关的．（3）因为1cos2y x =，2sin 2y x =满足：12cos2cot 2sin 2y x x y x==≠常数， 所以函数组cos2x ，sin 2x 是线性无关的．（4）因为1ln y x x =，2ln y x =满足：12ln ln y x x x y x==≠常数， 所以函数组ln x x ，ln x 是线性无关的．2．验证1cos y x ω=及2sin y x ω=都是方程20y y ω''+=的解，并写出该方程的通解． 证明 由1cos y x ω=，得1sin y x ωω'=-，21cos y x ωω''=-； 由2sin y x ω=，得1cos y x ωω'=，21sin y x ωω''=-． 可见，2sin 0i y x ωω''+= (1,2)i =，故1cos y x ω=及2sin y x ω=都是方程20y y ω''+=的解．又因为12cot y x y ω=≠常数，故1cos y x ω=与2sin y x ω=线性无关．于是所给方程的通解为 1212cos sin y y y C x C x ωω=+=+．3．验证21e x y =及22e x y x =都是微分方程24(42)0y xy x y '''-+-=的解，并写出该方程的通解．证明 由21e x y =，得212e x y x '=，221(24)e x y x ''=+； 由22e x y x =，得222(12)e x y x '=+，232(64)e x y x x ''=+． 因为2222221114(42)(24)e 42e (42)e 0x x x y xy x y x x x x '''-+-=+-⋅+-=； 22223222224(42)(64)e 4(12)e (42)e 0x x x y xy x y x x x x x x '''-+-=+-⋅++-=， 所以21e x y =及22e x y x =都是方程24(42)0y xy x y '''-+-=的解．又因为21y x y =≠常数，故21e x y =与22e x y x =线性无关，于是所给方程的通解为 21212()e x y y y C C x =+=+．4．若13y =，223y x =+，22e 3x y x =++都是方程()()()y P x y Q x y f x '''++=(()0)f x ≠的特解，当()P x ，()Q x ，()f x 都是连续函数时，求此方程的通解．解 因为221y y x -=，32e x y y -=，所以2x 及e x 都是方程()()()y P x y Q x y f x '''++=对应齐次方程的特解．又因为32221e xy y y y x -=≠-常数，所以21y y -与32y y -线性无关．因此，所给方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的通解为212e 3x y C x C =++．习 题 11—71．求下列微分方程的通解．（1）40;y y '''-= （2）3100;y y y '''--= （3）960;y y y '''++= （4）0;y y ''+=（5）6250;y y y '''-+= （6）(4)5360''+-=y y y ．解 （1）所给方程对应的特征方程为240r r -=，解之，得10r =，24r =，所以原方程的通解为412e x y C C =+．（2）所给方程对应的特征方程为23100r r --=解之，得15r =，22r =-，所以原方程的通解为第十一章 微分方程习题详解5212e e x x y C C -=+．（3）所给方程对应的特征方程为29610r r ++=解之，得 1213r r ==-，所以原方程的通解为1312()ex y C C x -=+．（4）所给方程对应的特征方程为210r +=，解之，得 1i r =，2i r =-，所以原方程的通解为12cos sin y C x C x =+．（5）所给方程对应的特征方程为26250r r -+=，解之，得 134i r =-，234i r =+，所以原方程的通解为312e (cos 4sin 4)x y C x C x =+．（6）所给方程对应的特征方程为425360r r +-=，解之，得 1,22r =±，3,43i r =±，所以原方程的通解为221234e e cos3sin3x x y C C C x C x -=+++．2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）00430,6,10==''''-+===x x y y y y y ； （2）00440,2,0==''''++===x x y y y y y ； （3）00250,2,5=='''+===x x y y y y ； （4）004130,0,3==''''-+===x x y y y y y ．解 （1）所给方程对应的特征方程为2430r r -+=，解之，得 11r =，23r =，所以原方程的通解为312e e x x y C C =+，从而，312e 3e x x y C C '=+，代入初始条件006,10x x y y =='==，得12126,310,C C C C +=⎧⎨+=⎩ 解得124,2,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为34e 2e x x y =+．（2）所给方程对应的特征方程为24410r r ++=，解之，得 1,212r =-，所以原方程的通解为1212()ex y C C x -=+，从而，12211221211e ee 22x x x C C C x y ----'=-， 代入初始条件002,0x x y y =='==，得1122,10,2C C C =⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得，122,1,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为12(2)ex y x -=+．（3）所给方程对应的特征方程为2250r +=，解之，得 1,25i r =±，所以原方程的通解为12cos5sin5y C x C x =+，从而，125sin55cos5y C x C x '=-+，代入初始条件002,5x x y y =='==，得122,55,C C =⎧⎨=⎩ 解得，122,1,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为2cos5sin5y x x =+．（4）所给方程对应的特征方程为24130r r -+=，解之，得 1,223i r =±，所以原方程的通解为212e (cos3sin 3)x y C x C x =+，从而，21221e [(23)cos3(23)sin3]x y C C x C C x '=++-，代入初始条件000,3x x y y =='==，得1120,233,C C C =⎧⎨+=⎩ 解得120,1,C C =⎧⎨=⎩ 故所求特解为2e sin3x y x =．3．设圆柱形浮筒，直径为0.5米，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水第十一章 微分方程习题详解中上下振动的周期为2秒，求浮筒的质量．解 设x 轴的正向铅直向下，原点在水面处．平衡状态下浮筒上一点A 在水平面处，又设在时刻t ，点A 的位置为()x x t =，此时它受到的恢复力的大小为21000||gV g R x ρ=π排水（R 是浮筒的半径），恢复力的方向与位移方向相反，故有21000mx g R x ''=-π，其中m 是浮筒的质量．记221000g R mωπ=，则得微分方程20x x ω''+=．其对应的特征方程为220r ω+=，解得1,2i r ω=±，故12cos sin sin()x C t C t A t ωωωϕ=+=+，A 1sin C Aϕ=． 由于振动周期22T ωπ==，故ω=π，即221000g R m π=π，从中解出浮筒的质量为 21000195gR m =≈π（千克）．习 题 11—81．求下列微分方程的特解*y 的形式（不必求出待定系数）． （1）2331;y y x ''-=+ （2）;y y x '''+= （3）2e ;x y y y '''-+= （4）23e ;x y y y -'''--= （5）32e ;x y y y x '''-+= （6）22(3)e ;x y y x x '''-=+- （7）276e sin ;x y y y x '''++= （8）245e sin ;x y y y x '''-+= （9）2222e cos ;x y y y x x '''-+= （10）22e sin x y y y x x '''-+=．解 （1）2()31f x x =+属于e ()λx m P x 型（其中，2()31m P x x =+，0λ=），对应齐次方程的特征方程为230r -=．易知，0λ=不是特征方程的根，所以特解*y 的形式为*2y Ax Bx C =++ （这里A 、B 和C 为待定系数）．（2）()f x x =属于e ()λx m P x 型（其中，()m P x x =，0λ=），对应齐次方程的特征方程为20r r +=．易知，0λ=是特征方程的一个单根，所以特解*y 的形式为*2()y x Ax B Ax Bx =+=+ （这里A 和B 为待定系数）．（3）()e x f x =属于e ()λx m P x 型（其中，()1m P x =，1λ=），对应齐次方程的特征方程为2210r r -+=，易知，1λ=是特征方程的二重根，所以特解*y 的形式为*2e x y Ax = （其中A 为待定系数）．（4）()e x f x -=属于e ()λx m P x 型（其中，()1m P x =，1λ=-），对应齐次方程的特征方程为2230r r --=，易知，1λ=-是特征方程的一个单根，所以特解*y 的形式为*e x y Ax -= （其中A 为待定系数）．（5）()e x f x x =属于e ()λx m P x 型（其中，()m P x x =，1λ=），对应齐次方程的特征方程为2320r r -+=，易知，1λ=是特征方程的一个单根，所以特解*y 的形式为*2()e ()e x x y x Ax B Ax Bx =+=+ （其中A 和B 为待定系数）．（6）2()(3)e x f x x x =+-是e ()λx m P x 型（其中，2()3m P x x x =+-，1λ=），对应齐次方程的特征方程为220r r -=，易知，1λ=是不是特征方程的根，所以特解*y 的形式为*2()e x y Ax Bx C =++ （其中A 、B 和C 为待定系数）．（7）2()e sin x f x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中2λ=，1ω=，()0l P x =，()1n P x =）．对应齐次方程的特征方程为2760r r ++=，易知，i 2i λω+=+不是特征方程的根，所以应设其特解为*2e (cos sin )x y A x B x =+ （其中A 、B 为待定系数）．（8）2()e sin x f x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中2λ=，1ω=，()0l P x =，()1n P x =）．对应齐次方程的特征方程为2450r r -+=，易知，i 2i λω+=+是特征方程的根，所以应设其特解为*2e [cos sin )]x y x A x B x =+ （其中A 和B 为待定系数）．（9）由2()2e cos xf x x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中2λ=，1ω=，()2l P x x =，()0n P x =），对应齐次方程的特征方程为2220r r -+=，易知，i 2i λω+=+不是特征方程的根，所以应设其特解为*2e [()cos ()sin )]x y Ax B x Cx D x =+++ （其中A 、B 、C 和D 为待定系数）．（10）()e sin x f x x x =属于[]e ()cos ()sin x l n P x x P x x λωω+型（其中1λ=，1ω=，()0l P x =，()n P x x =）．对应齐次方程的特征方程为2220r r -+=，易知，i 1i λω±=±是特征方程的根，所以应设其特解为[]*e ()cos ()sin )x y x Ax B x Cx D x =+++（其中A 、B 、C 和D 为待定系数）．2．求下列各微分方程的通解．（1）22e ;x y y y '''+-= （2）323e ;x y y y x -'''++= （3）369(1)e ;x y y y x '''-+=+ （4）e cos ''+=+x y y x ．解 （1）()2e x f x =是e ()λx m P x 型（其中，()2m P x =，1λ=），对应齐次方程的特征方第十一章 微分方程习题详解程为2210r r +-=，解得 112r =，21r =-，故对应齐次方程的通解为 1212e e x x Y C C -=+．因为1λ=不是特征方程的根，所以特解*y 的形式为*e x y A =，代入原方程得2e e e 2e x x x x A A A +-=．消去e x ，有1A =，即 *e x y =，故原方程的通解为1*212e e e x x x y Y y C C -=+=++．（2）()3e x f x x -=是e ()λx m P x 型（其中，()3m P x x =，1λ=-），对应齐次方程的特征方程为 2320r r ++=，解得 11r =-，22r =-，故对应齐次方程的通解为212e e x x Y C C --=+．因为1λ=-是特征方程的单根，所以特解*y 的形式为*2()e ()e x x y x Ax B Ax Bx --=+=+，代入原方程并消去e x -，得2(2)3Ax A B x ++=．比较系数，得32A =，3B =-，即 *233e 2x y x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故原方程的通解为 *22123e e 3e 2x x x y Y y C C x x ---⎛⎫=+=++- ⎪⎝⎭．（3）3()(1)e x f x x =+是e ()λx m P x 型（其中，()1m P x x =+，3λ=），对应齐次方程的特征方程为 2690r r -+=，解得 1,23r =，故对应齐次方程的通解为312()e x Y C C x =+．因为3λ=是特征方程的二重根，所以特解*y 的形式为*23323()e ()e x x y x Ax B Ax Bx =+=+，代入原方程并消去e x ，得621Ax B x +=+．比较系数，得16A =，12B =，即 *32311e 62x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故原方程的通解为*33231211()e e 62x x y Y y C C x x x ⎛⎫=+=+++ ⎪⎝⎭．（4）原方程对应的齐次方程的特征方程为210r +=，解得1,2i r =±，故对应齐次方程的通解为。

第十一章 微分方程习题 11－ 11．说出下列各微分方程的阶数： 22dy dxx dy dx（2） L d Q R dQ dt QC（1）0 ；y 0 ；2 dt x 2y （3） xy0 ；（4） (x （6） d 6 y)dx 0 ；2 yy)dy (7 x sin 2（5） y 2 y y sin x ； .d解 ：（ 1）一阶；（2）二阶；（ 3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各函数是否为所给微分方程的解： 2y 5 x ;（1） xy2 y , （2）y y 0 , y 3sin x 4cos x;1 ;x2x2y （3） y , y d 2y 1 2xx（4）y e , y C 1 sin x C 2 cos xe . 2 dx2 5x 2解 ：（ 1）∵ 10x ，代入方程得y x 10x 5 x 2是方程的解． ∴ y （ 2）∵ y3cos x 4sin x, y3sin x 4cos x ，代入方程，得yy 3sin x 4cos x 3sin x 4cos x 0∴ y 3sin x 4cos x 是方程的解．1 2 x2 1 2（3）∵ y , y，代入方程，得x2332xxx1是方程的解．x∴ yd 2ydydx 1 2 1 2x x（4）∵ C 1 cos x C 2 sin xe , C 1 sin x C 2 cos x e ，代入方程， 2 dx 1 2 1 2x x x得C 1 sin x C 2 cos x e C 1 sin x C 2 cos x e e1 2x∴ y C 1 sin x C 2 cosx e 是方程的解．3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解： x 2 y 2 （1） x 2 y y 2x y , xy C;2（2） xy x yxyyy 2y0 , y ln( xy).x2y 2 解：（1）在二元方程C 的两边同时对 x 求导，得 xy 2 x y xy2 yy移项后即得 x 2 y y2x y2x2y故二元方程 C 所确定的函数是所给微分方程的解．xy 1 xy 1 xy yy xy （2）在 两边对 x 求导，得 y， 即 yy n (l ) y x( y xy )xy 2xxy32 x y 2 y xy xy xy xy 2xy 1xyxy y2 x y，y23xy x代入微分方程，得32 2xy2xy2 x yyy y xy ( xy x)xy232xy xxxy x xy x故 y ln( xy) 所确定的函数是所给微分方程的解．4．在下列各题中， 确定函数关系式中所含的参数， 使函数满足所给的初始条件： 222（1） xxy yC , y |x1;x（2） yC 1 C 2 x e , y |x 0 , y |x 1;0 0 （3） x C 1 cos t C 2 sin t , x |t 1 , x |t.解：（ 1）∵ y |x 10 ∴ C2 2=020 11 2x2y即xy 1C 1C 1 0x（2） yC 1 C 2 x C 2 e ，由 y |x 1 ，得0 , y |x 0 0 C 2 1x∴ C 1 =1 ， =0 , C 2 y xeC 1 C 21 （3） xt ，由 x |t ，得C 1 sin t C 2 cos 1 , x |t0 0∴ C 1 =1， x cos t sin t=1 , C 2 5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1）曲线在点 ( x, y) 处切线的斜率等于该点横坐标的平方；（2）曲线上点 P( x, y) 处的法线与 x 轴的交点为 Q ，且线段 PQ 被 y 轴平分 . 解 ：（ 1）设曲线的方程为 y y( x) ，则曲线上点 (x, y) 处切线的斜率为 y ，由条 yx 2，此即为所求 曲线的微分方程 .件知 1 y（2）设曲线的方程为 y y(x) ，则曲线上点 P( x, y) 处法线的斜率为 ，由条件知线段 PQ 中点的横坐标为 0，所以 Q 的坐标为 ( x,0) ，则有y x 0 x1 y曲线的微分方程为yy 2x 0 ．即所求 习题 1．求下列微分方程的通解： 11－ 2（2） 3x 2（1） xyy ln y 0;5x 5 y0; 2x y21 y ;2xya( y（3） 1 （4） yy );( x2（5） cos x sin ydx sin x cos ydy 0; （6） ydx 4 x )dy 0.x dy dx dy y ln y1 dx,x解：（1）原方程可写为 y ln 0 ，分离变量，得 y1y ln 1dx x两端积分，得dyyeCx即 ln ln y ln x ln C ln Cx ，亦即 ln y Cx ，故通解为 ydydx 3 2 x x ，两端分离变量并积分， 得 5 3 2x )dx ， 5（ 2）原方程可写为 dy (x 1 2 x 2 1 3x 5故通解为 .y C 21 1 ydy dx（ 3 ） 原 方 程 可 写 为, 两 端 分 离 变 量 并 积 分 ， 得x 21 1 dx ，故通解为 arcsin y arcsin x C .dy221 y1 x2dy dxayx 1dy 2y ax （ 4）原方程可写为, 两端分离变量并积分， 得 dx ，1 a 1 a1 y故通解为C .a ln x a 1 c o s y dysin yc o x sx cos ysin y cos xsin x（ 5）分离变量，得 ， ，两端积分，得 d dy dx sin xln sin yln sin x C 1 ， ln sin x sin y C 1 ，故通解为 sin x sin y C ，其中C 1.Ce 为任意常数 dx 4 x dy y（ 6）分离变量，得，2x 1x 1dy y积分，得，dx 44 x 4y ，l n 故通解为 (x 4) y 4即 Cx ．l nxl n ( 4x) C l n2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： 2 x y, y | （1） （2） cosxsin ydy cosy sin xdx, y | ;ye0; x 0 x 0 4x（3） （4） cos ydx y sin xyln y, y |xe;(1 e )sin ydy 0, y |x ; 04222 （5） xdy （6） (xy +x)dx 2 y dx 0, y |x 1; (x y y)dy 0, y |x 1. 0 2 1 e 2 x 2e ydy e 2 x dx ，即通解为 ey解：（1）分离变量并积分得， C ， 1 2 1 2 1 2y2 x 由条件 0 ，得 1 C ， C ，故满足初始条件的特解 e (e 1) ．y |x 0sin ydy sin xdx ， cos x（2）分离变量并积分得，cos y即ln(cos y)ln(cos x) ln C ， 亦即通解为 cos y C cos x ，1 2由条件 ，得 C cos 0 ， C ，y |x cos44故满足初始条件的特解 cos x 2 cos y 0 ．1y ln csc xdx， （3）分离变量并积分得，dy yln(tan x) 2 ln y C tan x，2 即 ln(ln y ) ln C ，亦即通解为 x ． 2 由条件 e ，得 C tan ，C 41，故满足初始条件的特解 y |ln e ln y tan x2xexx dx ，通解为 (1 )sec （4）分离变量并积分得， C ， tan ydye y 1 ex由条件 y |x ，得 C 2 2 ，故满足初始条件的特解 (1 e )sec y 2 2 ．41dy y2 dx ，通解为 xx 2y （5）分离变量并积分得，C 2由条件 1 ，得 C 4 ，故满足初始条件的特解 4 ．y |x x y 2 y yx x2 2（ 6）分离变量并积分得，2dx ，通解为 2dy(1 x )(1 y ) C1 12 2 由条件 1 ，得 C 2 ，故满足初始条件的特解 2 ．y |x (1 x )(1 y ) 0 3．求下列齐次方程的通解： （2） x dydx （4） (x3y ;y2x2（ 1） xy y0;y ln x （ 3） (x 22y )dx 3 )dx 23 xy dy xydy 0;y 0;x2e y)dx x 2e yy exx yy x（ 5） ;（6） (1 1dy 0.y2dy dxy xy xy，则 y x dydx dux , dx解：（ 1）原方程可写为1 ，令 uux , udux dx1 2u1du dx ， xu2代入原方程，得 1 ，即u u1u2u2积分得 ln( u 1) ln x ln C ，即u 1 Cx ， 2y xy x2y2x2Cx 亦即Cx ，原方程的通解 y．1 dydxdux dxy yln ，令 u y，则 x dydx dux , dx（ 2）原方程可写为y ux , u x x1 u ln u 1dx ， x代入原方程，得 u ln u ，分离变量积分得duu 1y x yxl n ( lun1) xl n C ，l n 亦即ln Cx 1， 原方程的通解 ln Cx 1 ． 即 dy dxy xx yy，则 y x dydx dux ,dx（ 3）原方程可写为，令 uux , u x du dx 1，分离变量积分得 1 dx ， x 2x (2ln x 代入原方程，得 u u uduu y 代入上式得原方程的通解 x 2 u 2 y 即 2ln x C ，，将 u C) ． 2 yx dydx dudxdydx y3 x x（ 4）原方程可写为，令 u，则 y ux , u x , 23 y2 duxdxu3 13u3u1dx ， xy 代入上式，x代入原方程，得 ，分离变量积分得u du231 2u1 ln(1 2C 3 2u ) 3 2u C e 1即ln x C ，亦即 1 ，将 u C ，其中 1 2 x x32 y3得原方程的通解 Cx ．y ，则 xdy dxdu x , 代入原方程，得 dx ydu x dxue （ 5）令 u y ux ,yu u u ，y xux 即 ln Cx ， 将 u代入上式，得原方程的通解 e ln Cx 0 ．ex2eyx xy1 dx dyxy dx dy duy , dy（ 6）原方程可写为，令 ，则 x u y, uu y1 2euu duydy2e (u 1) ，分离变量积分得1 u 2e1dy ，y代入原方程，得 u duuu1 2e2ey xu )u) 即 ln( u 2 ln y ln C ，亦即 C ，将 u代入上式， 得原方程e y( u 2 e xx 2 ye y的通解 C4．求下列线性微分方程的通解：（ 1） dy dx x;2xy e （ 2） xy y 3 x 2;（4） dd （6） ( y2（ 3） yy tan x sin 2 x ;3 2;dy6x) dx（ 5） y ln ydx ( x ln y)dy 0;2 y 0.x 解：（1）原方程是 P( x) 1 ， Q ( x ) e 的一阶非齐次线性方程 . 由通解公式 dxdxxxxxx得原方程的通解为 ．y e ee dx Ceee dx Cex C 1y x . 由 2 ，它 是 P(x)x 1， Q(x)x2的一阶非x （2）原方程可化为 yx 3x 3齐 次 线 性 方 程 通 解1 x公 式 得 原 方 程 的 通 解 为11 2 x1 33 2C xdx xdx x22 y ex 3edx Cx3x 2 dx Cx x 2；（ 3）原方程是 P(x) tan x ， Q(x) sin 2 x 的一阶非齐次线性方程 . 由通解公式得 原方程的通解为sin 2 xdx cos xtan xdxtanxdxdx 2C cos x 2cos x ．y esin 2 x eC cos xC （ 4 ） 原方 程是 P( ) 3 ， Q( ) 2 的 一阶 非 齐次 线性 方程 . 由通 解公 式得C 3C 32 3 C 33d3 d333e 2 e de2e dxe，3即原方程的通解为 ．3 2 Ce dx dyxy ln 1 y1y ln 1 y（ 5）原方程可化为的一阶非齐次线= P( y)， Q( y)，它是 y y性方程 . 由通解公式得11dyyln y 1 ydy yln yC 21 ln y1 yC 2 1ln y 1 2 C22 ， x eedyln ydyln y2y ln y 即原方程的通解为 ．2 x ln Cdx dy 3x= y y ，它是 23 yy 2（ 6）原方程可化为的一阶非齐次线P( y) ， Q( y)性方程 . 由通解公式得33 dy ydy yy 2y 2 1 y31 2323．x eedy C ydy C yCy 5．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：dy dxdy dx dydxy x 2（ 1） ytan x secx, y |x 0; （2） 4x , y |x 2 ;0 1 （ 3） dydx5e cosx , y |（ 4） 2 .y cot x 4; 3 y 8, y | xx2解：（ 1）由公式可得一阶线性微分方程通解为1 cos x1 cos xtanxdxtanxdxy esecx edx Csecx cos xdx Cx Cx cosx由 y |x 0 得C 0 ，故特解为 y .0 （ 2）由公式可得一阶线性微分方程通解为dxxdx1 x1 x C x4x2e dx 4x2x4x3xy eCxdx CC1 .x x 3 由 y 2 得C 1 ，故特解为 y x 1 （ 3） 由公式可得一阶线性微分方程通解为cot xdxcot xdxdx 5e cosxlnsin x5e cos xelnsinxdx y eeCeC1 sin x1sin x5ecosx5ecosxsin xdx CC1 sin x5ecosx5e cosx 由 y4 得 C 1，故特解为 y1 .1 ，即 y sin x x2（ 4）由公式可得一阶线性微分方程通解为8 33dx3dx8 edx 3 x3x3xy eC e8e dx CCe2 3 2 33x由 2 得 C，故特解为 y (4 e ) . y |x 0 6．求下列伯努利方程的通解：（1） dy dx dy （2） dx 2y y (cosx 3 32xy 2x y .sin x);dy dx2y ，得 2 1解： 方程两边同除以 y ycosx sin x1， yy dy dxdz ， 则原方程变为dxdz dx2令 zcosx ，故z sin x dxdxxxxz e(sin x cos x) e dx C esin x e dxcos x e dx Cxxxxxee sin xcos x e dxcos x e dx C Ce sin x1 代入上式，得原方程通解为 y1 y1yCe x sin x Ce x；将 zsin x . dy dxy 3，得 322x3（2）方程两边同除以 y 2xy1 y2dy dx1 dz2 dxdz dx34x 3，故令 z， ，则原方程变为y 4xz4xdx4 xdxdx 2e2 x2 x2dx4x 3) ( 4x 3 ) e z e( e C C1 21 22 x22 x 22x 222e(x)e C Cex1 y21 ．222Ce2 xx2将 z 代入上式，得原方程通解为 y 7．用适合的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程，然后求出通解：（ 1） dydx （2） dydx1 y)2 ;( x 1;x y 2 x y 1（ 3）xy yy(ln x ln y);（4） 2 ．y edy dx du dx a rc ta n dudx2 u 解：（ 1）令 u x y ，则 1 ，从而原方程可化为 1 ，分离duu变量积分得 ，即 x u C . 将 u x y 代入，得原方程的通解 dx 21 为 x arctan(x y) C ，即 y x tan( x C) ．y ，则 dy dx du dxdu dx ， 得 1 ，分离变量积分得 u 原 方 程 的 通 解 为 （ 2）令 u x 1 ，从而原方程可化为12 u2 ， 即 udu dx x C. 将 u x y 代 入 12C （其中 2C 1 ）．( x y)2x Cx du dxx2 dx x uu , dy dx （ 3 ） 令 u xy ， 则 y ， 从 而 原 方 程 可 化 为x x(1 du x dx 亦即 u u x2 u x u ln u ，分离变量积分得 du u ln u ，即 ln x ln C ln(ln u) ， ) x 1 C xe ．C x，将 u xy 代入，得原方程的通解为 y e xdy dx du dx C x . du dx ue （ 4）令 y 1 ，则 u 2 x 2 ，从而原方程可化为 ，分离变y udu ，即 eu量积分得 将 u 1 代入，得原方程的通解为dxe 2 x y y 1 2x ln C x ．8．判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解：（2） ( x 2（ 1） (x cos y cos x)dy (sin y ysin x)dx 0 ； y)dx xdy 0 ；2（ 3） (x2y )dx 2e 2e 0 ； （4） (1 0 ．xydy )d2 d解：（ 1）这里 P( x, y) sin y y sin x , Q(x, y) x cos y cos x ，P yQ x，所以（ 1）是全微分方程．取 0 ，cos y sin xx 00 , y 0x y 根据公式 Q(x , y)dy ，有 u(x, y)P( x, y) dxx 0y 0 xy u(x, y)(sin y y sin x)dx dyx sin y y cos x于是全微分方程的通解为 x sin y y cos x C ．. P yQ xx2（ 2）这里 ，所以（ 2）是全微x ,于是有P( x, y) y, Q( x, y) 1x y 分方程．取 Q( x 0 , y)dy ，有0 ，根据公式 u( x, y)P( x, y)dxx 00 , y 0 x 0y 0x33x y ( x2u(x, y)y)dx 0dyxy3x于是全微分方程的通解为 C ．xy3P yQ xP yQ x2x2y , （ 3）这里 2 y ，，y ，显然P( x, y) Q( x, y) xy,所以（ 3）不是全微分方程．e2 e 2 e 2 e 2 （ 4 ） 0 ． 这 里 P( ，显 然 (1)d 2 d, ) 1 , Q( , ) 2 PQ2，所以（ 4 ）是全微分方程，取0 ，根据公式2e0 ,u( , )P( , )dQ( 0 , )d，有e 2 e 2e 2 u( , )1 d0d 1 0(1 )e2于是全微分方程的通解为．(1) C 9．求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点( x, y) 处的切线斜率等于x2 x y . 9． 1) ．y 2(ex 解： 设曲线的方程为 y y( x) ， 由题意知 y2x y ， y |x 0 ，于是dxdx2x e dx xxxxxy e C e 2 xe dx C e2 x 1 eC Ce 2x 2x由 C 2 ，于是所求 曲线的方程为 y |x 0 ，得 y 2( ex 1)0 10．质量为 lg （克）的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比， 4g cm/s 2，问和质点运动的速度成反比 . 在 t 10s 时，速度等于 50cm/s ，外力为从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？t ，并且 t v 10 ，解 ：已知 F k 10s 时 v50cm/ s ，F 4 g cm / s ，故 4 k 50 t v t v 1 d v ， 故 d t 从 而 k 20 ， 因 此 20 F . 又 由 牛 顿 定 律 F ma ， 即 2 0 1 v 2 2 210t 220tvdv 20tdt ，积 分 得 C ， 即 v 2C ， 再 代 入 初 始 条 件 得20t 2， 因 此 所 求 特 解 为 v 250 ， 当 时2C 250 t 60s 272500 269.3(cm/ s) ．v20 6025011．镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R 成正比 . 由经验材料得知，镭经过 1600 年后，只余原始量 R 0 的一半 . 试求镭的量 R 与时间 t 的函数关系 . d R d t解 ： 设 比 例 系 数0 ， 则 由 题 意 可 得R . 分 离 变 量 积 分 可 得dR R tC dt ，即 ln C 1 ，从而 R e ) ，因为 t 10 时 R R ，Rt C e(C 0 R 0 2R 0 2t1600所以 ，即 .又因为 1600 时 R，所以，t R eR 0 C R R 0 e 0 ln 21600ln 2 1600t0.000433t从而，因此镭的量 R 与时间 t 的函数关系为 ，.R R e R e 0时间以年为单位．12．设有连结点 O(0,0) 和 A(1,1)的一段向上凸的曲线弧 OA ，对于OA 上任一 2x ，求曲线弧 OA 的方程 .OP 与直线段 OP 所围图形的面积为 点 P( x, y) ，曲线弧 解： 曲线弧 OA 的方程为 y y(x) ，由题意得1 xy( x)2xx2y ( x)dx 0y(x)1y( x)21xy (x) 2 dy yx 两边求导得 2x ，即 y4 ， y ，则 y x C . 将u du x , 上式可化为 dx du x dx 令 uux , u 4 ，分离变量积分得dx y代入，得 x4 x ln x Cx . u4ln x y 由于 A(1,1)在曲线上，因此 1 ，代入得 1，从而曲线弧 OA 的方程为y(1) C 4ln x) ， 0 x 1 ；当x 0 时 y 0 . y x(1 13．设有一质量为 m 的质点作直线运动 . 从速度等于零的时刻起，有一个与运动 方向一致、大小与时间成正比（比例系数为 k 1 ）的力作用于它，此外还受一与速 度成正比（比例系数为 k 2 ）的阻力作用 . 求质点运动的速度与时间的函数关系 . k 2 m k 1mdv dt dv dt 解 由牛顿定律知 m k 1t k 2dtmk 2 v ，即v t ，因此 k 2mk 2 t mk 2t te mdt k k dt 11 v ete dt Ce C m mk 2mk 2temk 2e mk k m t tt 1 1k 2eC 2 k 2k 2t mk 2 temk 2 k 1k 2k m k 1 m k m t t 1 k21k 2m由 t 0 时 v 0 得 C，即质点运动，故 v ee 2 2 2 k2k 2tmk 1 k 2 k 1m (1的速度与时间的函数关系为 v t e )． 2 k 2习题 11－ 31. 求下列各微分方程的通解： 2d y 9 4x（1）（2） yx 0;xe ;2 dx2 x 2)y 2（3） (1 （4） y2 xy ;y0.1 yd 2y 94解：（ 1）原方程变形，得x ， 2dx9 2x对所给方程接连积分两次，得 yC ，1 83 83y x C 1 x C 2 ， 这就是所求的通解. （ 2）对所给方程接连积分三次，得xy ( x 1)e C 1 , xy(x 2)eC 1 x C 2 , x 2C 3 .y ( x 3)e C 1xC 2 x 这就是所求的通解 .2xp ，即 dpp2xdx 2(1 x ) p（ 3）令y p (x ), yp ，原方程可化为 ，积分得21 x222ln C 1 ，亦即 p x ) ， y x ) ，所以ln p ln(1 x ) C 1 (1 C 1 (1 1x 3) 32x )dx yC (1 C ( x C 1 12就是原 方程的通解 ． 2 d p d y2p 1 ydp p dy dp p dy 2 p 1 （ 4）令 yp( y) ,则 0 ，即 0 ，，原方程化为 p yy 当 p 0 时，得原方程的一个解为 y C ，它不是通解； dy dxC 1)21)2 当 0 时，约去 p ，分离变量积分，得 ，C ，即 pp p( y ( y 31)2dy ，因此原 方程的从而 ( y Cdx ，积分得 ( y 1)C x C ，其中 C 3C 12 13通解为 C ． ( y 1)C x 12 2．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解： x（1） y e , y |x y |x y |x 0 ;1 1 1 （2） y 3 y , y |x 1 , y |x2 ;0 0 2 y（3） ye0 , y |xy |x0 ;（4） y 3y ． 1 0 , y | 1 , y | 0 x 1 x 1 x xx解：（1） ye +C 1 ， 由 e dx 0 得， C 1 e ，即 y |x yee ，1 xxx，由y y ( e e)dx eex+C 2 得， C 2 0 ，即 |x 0 y e ex ， 1 e 2 e 2x x2x +C 3 ，由 y |x y(eex)dx e得， C 3 ， 0 1 e 2x 2e 2xe故 y 为 原方程的所求特解 ．p dp，得 dy pdpdy（2）令 yp( y) ，那末 ，即 pdp 3 ydy ，y3 y 32 y 23 2y 4，122p积分得 C ，由 y | 2 得 C 0 ，从而 1 , y | y p1 x 0 x 0 132 y 4，即 34 dy 14 y 4又 y3 y >0 ，可知 2 d x ，积分得 2 x C ，y y 2 41 2由 为所求特解．4 ，所以 yx 1 y |x 1 ，得 C 20 dp p dy dp p dy2 y2 y（ 3）令 y p( y) ，那末 ，得 0 ，即 dy ，积分得ye pdp e 1 221 1 22y22 y2 ype C 1 ，由 y y 0 得 C 1，从而 ( y ) e1, y e1 ，x 0 x 02dye 2 yye dy y即dx ，亦即dx ，积分得 arcsin ex C ，由 y 0 ，2 x 0 2 y11 ey得 C 2，所以 e sin( x) cosx ，原方程特解为 lnsec x ．y 22dpp ，原方程变为 dy 3dpy p dy3y dy ，（4） 令y p ,则 1 ，从而 pdp y1 1 2p2( y )积分得 C ，即 C ，由 y 1, y0 得 C 1 ，从而1 1 x 1 x 1122yyy 1 1 y222，积分得1，即 y y ，即d yd x 1 yx C 2 ，( y )1 22yy1 222再由 y 1得C1 ，因此所求特解为 1 y( x 1) ，即1 y (x 1)x 1 x2y22x 2x 亦即2 x ，或 （舍去 ，因为 y 1）． y 2x y2x x 1 x2 3．试求 yx 的经过点 M (0,1) 且在此点与直线 1相切的积分曲线 .y解： 由积分曲线经过点 M (0,1) 知 ， y 1 ，又由积分曲线在点 M (0,1) 与直线 x 0 x2 1.2y1相切知，yx 01 x2 21 212对方程 yx 积分得， yxdx C ，利用条件 ，从而 C 1y，x 01 31 x2 21 2 xx 2即 ，再 积分得， y y 1 ，从而C yC ，利用条件 1 ， 2 x 0 2 63xx 2于是 1 ．y 64．下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？（1） cos x, x 2;（2） x 2 ,5 x 2; （3） e 2x ,3e 2 x ;（ 4） sin 2x,1 ; 22 （6） e x, xe x; （5）cos 2 x ,cos x sin x ; xx（7）ln x,2ln x ; （8） 1 2 e , e (2).1 解：（1）、（ 4）、（ 5）、（6）、（8）线性无关．因为：对于定义在区间 上的两个函数 I y 1 ( x) 与 y 2 (x) ，如果 y 1( x) 与 y 2 ( x) 在 区间 I 上线性相关，则存在两个不全为0 的常数 , k 2 ，使得对于x I 恒有k 1 y 1 (x)y 2 (x)y 2 (x) y 1 (x)y 1 (x) y 2 (x)y 2 ( x) y 1 ( x )或 恒为常数． 因而如果 或 均k 2 y 2 (x ) 0 成立，即 k 1 y 1 (x) 不为常数，则称 y 1 (x) 与 y 2 ( x) 在区间 I 上一定线性无关 .（1）、（ 4）、（5）、（6）、（8）中的两个函数之比均不为常数，所以这五组函 数均线性无关 . 相反地（ 2）（ 3）（7）线性相关． 2x及 6 x都是方程 5．验证 0 的解，并写出该方程的通解 .y e y e y8 y 12 y 122x ， 2x2x ，解： 因为 y e y 2e , y 4e 1 1 12 x2x2 xy 1 8 y 1 12 y 14e16e12e6 x ，6 x6 xy e ，y 26e , y 236e 26 x2 x6xy 2 8 y 2 12 y 236e48e12 e2x和 6 x都是已知方程的解 所以 . y e y e 12 2 x y 1y 2e e4 xe 不为常数，因此 由于 y 与 y 线性无关，所给方程的通解为1 2 6 x2 x6xC 2e .y C 1e 6．验证 sin x 及 y 2cos x 都是方程 y 0 的解，并写出该方程的通解 .y 1 y解： 因为 y 1 sin x ， y 1cosx, y 1sin x ，y 1y 1sin x sin x 0y 2 cos x ， y 2 sin x, y 2cosx ，y 2y 2cos x cos x 0所以 y 1 sin x 何 y 2cos x 都是已知方程的解 .y 1y 2由于 tan x 不为常数，因此 y 与 y 线性无关，所给方程的通解为1 2 C 2 cos x .y C 1 sin x 7．求下列微分方程的通解：（1） y 3 y 10 y 0; （2） y 4 y 0;（3）y 2 y 0; （4） y8 y 16 y 0;d 2x dxdt（5） （6） y 0 ．6 9x 0; 2 y 2 y 2 dt2r解：（ 1）特征方程为 10 0 ，解得 5 ，故方程的通解3r r 2, r 122x5x．y C 1eC 2e r2（ 2 ） 特 征 方 程 为0 ， 特 征 根 为 r 4 ， 故 方 程 的 通 解 为4r0, r 124 xC 1 C 2e ．y 2r （ 3 ） 特 征 方 程 为 0 ， 解 得 r 2i ， 故 方 程 的 通 解2 1 , 2y C 1 cos 2x C 2 sin 2 x ．2r（4）特征方程为 0 ，特征根为 4 ，故方程的通解为8r 16 r r 124xC 2 x)e ．y (C 1 2（ 5 ） 特 征 方 程 为 ， 特 征 根 为 3 ， 故 方 程 的 通 解 为 r6r 9 0 r r 1 23tC 2t )e ．x (C 1 22 24 11 22ri ，故方（6）特征方程为 0 ，特征根为 r 1 2 r 2 1,22 x程的通解为 C 2 sin x) ． y e (C 1 cos x 8．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1） y 6 y 8 y 0, y |x 1, y |x 6;0 0（2） 4 y 4 y y 0, y |x 2, y |x 0; 0 0 （ 3） y 3 y4 y 0, y |x 0, y |x 5; 0 0（4） y1 ．6 y 13 y 0, y |x 3, y |x 0 0r2解：（1）特征方程为0 ，特征根为 4 ，故方程的通解为6r 8 r 2, r 122 x4 xy C 1eC 2 eC 1 C 2 1 C 1C 212代入初始条件 ，解之得，从而 6 ， 得 y |x 1, y |x 0 0 2C 1 4C 26 2xe4x2e ．所求特解为 y24 r （ 2 ）特征方程为 0 ，特征根为 3 ，故方程的通解为4r 1 r 1, r 1 2x3xy C 1eC 2eC 1 C 1 C 2 3C 2610 C 1 C 2 4 ，从而2代入初始条件 ，解之得 y 2, y 0 ，得x 0 x 0y 4e x 2e 3 x ．所求特解为 2r（3） 特征方程为 0 ，特征根为 ，故方程的通解为3r 4 r 11, r 24 x4 xy C 1eC 2 eC 1 C 1 C 24C 2C 1 C 21代入初始条件 ，解之得，y 0, y5 ，得x 0 x 05 1x e 4x从而所求特解为 y e 26 64 11 132r（4）特征方程为 ，0 ，特征根为 r 6r 13 3 2i 1,22 3x(C 故方程的通解为 y e cos 2 x C sin 2 x ) 1 2 C 1 3 C 1 C 234代入初始条件 ，解之得，从1 ， 得y |x 3, y |x 0 03C 1 2C 21 e 3 x(3cos 2 x 而所求特解为 4sin 2x) ．y 9．写出下列各微分方程的待定特解的形式（不用解出） ： 5 y 5e x ;（ 1） 3 y（2） yy y 3;6 y (5 x22 x 1)e 2 x;( x 1)e 3x．（ 3） （4） yy7 y 6 y 9 y 2332 11 53 2 1i ． 22r 解（1）特征方程为 0 ，解得 3r 5 r 1,22 5ex y*ae x．又因为 f (x ) ，1 是特征根，故待定特解的形式为2 （ 2）特征方程为 0 ，特征根为 r 1 ． r r 0, r 1 2*又因为 f (x) 3 ， 0 是特征根，故待定特解的形式为 ax ．y2（ 3）特征方程为 6 0 ，特征根为 r 6 ．r7r 1 r 1 2f (x) (5 x 2 1)e 2 x ，又 因 为 2 不 是 特 征 根 ， 故 待 定 特 解 的 形 式 为2 xy*(ax 2 bx c)e 2x．2（ 4） 特征方程为 0 ，特征根为 ．r 6r 9 r 1r 23 (x13x)e ，又 因 为 3 是 特 征 根 ， 故 待 定 特 解 的 形 式 为f ( x)*2 x 3b)e ．yx (ax 10．求下列各微分方程满足已给初始条件的特解： （1） y sin 2 x 0, y |x 1, |x1;y y （2） y 3 y2 y 5, y |x1, y |x 2;0 x（3） y y 4xe , y |x 0, y |x1;（4） y0 ．4 y5, y |x 1, y |x0 02解 ：（ 1 ） 特征 方 程为 ，解 得 r i ，对 应 齐 次 方 程 的 通 解 为 r1 0 1 ,2 y C 1 cos x C 2 sin x因 f ( x) sin 2 x ，i 2i 不是特征根，所以设原方程的特解为*A cos 2xB sin 2 x ，y( y *)2 B cos 2 x ， ( y *) 4 A cos2 x 4B sin 2 x ，代入原方程得2A sin 2 x 3Acos2 x 3B sin 2x sin 2x 0 ，1 0 ，3 A 0 ,3B 1 ， 3 1sin 2x ．故原方程的通解为 3y *即 A 0, B C sin x 1sin 2x y C cosx 1 232 cos2x ，代入初始条件 y 3又 y C sin x C cosx 1, y1 ，得1 2x x1C 11 3， C 11,C 22 3 1 C 2cosx 1sin x 3 1sin 2x ．3从而所求特解为 y2 （ 2）特征方程为 1 0 ，解得 r 2 ，对应齐次方程的通解为r 1,r 1 2x2 xy C 1eC 2ey*因 f (x) 5 ， 0 不是特征根，所以设原方程的特解为A ，A5 ， y *2 x5 ．故原方程的通解为25代入原方程 ，得 2 A 5 即 2 xey C e C 12 2件x2 x又 ， 代 入 初 始 条 2 ， 得yC 1e2C 2 ey |x1, y |x 00 522 C 1 C 217 2，C 1 5,C 2C 2C 1 27 e 2 x 25 ． 2 5ex从而所求特解为 y 2（3）特征方程为 0 ，解得 r 1 ，对应齐次的通解为r3r 2 1, r 1 2xxy C 1eC 2e4 x e x ，而 f (x )1 是特征方程的单根，故可设原方程的特解为y*x( Ax B)ex代入原方程整理得xx4Ax 2( A B) e4xe*yx 比较系数 ,得A 1,B 1 ，所以 e ．故原方程的通解为 x( x 1)xxxy C 1e C 2 ex( x 1)eC 1 C 1 C 2 C 2 1 1将条件 1 ，y 0, y1 代入 ,得C 1 1 , C 2x 0 x 01xx2(xx ．从而所求特解为 y eex)e2r（4）特征方程为 4r0 ，解得 r 4 ，对应齐次方程的通解为0, r 124xy C 1 C 2ey*因 f (x) 5 ， 0 是特征方程的单根，所以设原方程的特解为Ax ，5 ， y *45 x ．故原方程的通解为4代入原方程 ，得 4A 5 即 A544xy C 1 C 2 ex 5 44x又 ， 代 入 初 始 条 件 ， 得 y4C e y | 1, y | 0 2x 0 x 0 C 1 C 2 1 11, C 165 ， 16 C 5 412 4C 0 211 16 5165 x ．44 xe从而所求特解为 y11．设函数 (x) 连续，且满足xxex( x)t (t )dt x (t )dt ,0 求 ( x) .解： 方程两边同时对 x 求导，得x xx， ( x ) ( x ) ， ( x) e(t )dt e(0) 1 ,(0) 1x从而( x )(x ) e又该方程对应齐次方程的特征方程为r20 ，特征根为 r i ，1 1,2 故齐次方程的通解为(x) C 1 cos x C 2 sin x1 xe 为方程 2*xe 的一个特解， 从而该方程的通解为通过观察易知( x) ( x) 1 ex 2 ( x) C cosx C sin x 1 21 1 C 11 221 2将初始条件 (0) 1, (0) 1代入 ,得 ，C 1C 21 C 2故( x) 1 (cosx e x )sin x 2总习题十一1．单项选择题：（1）下列微分方程中是线性方程的是（）. y2 x（A ） cos( y ) （B ） e x xy 2 y x y e2（C ） y5y 0（ D ） ）. y sin y 8 x（2）下列方程中是一阶微分方程的是（242x( y )5y7x（A ） （ B ） y 5 y2 yy x 0 (4)y （C ）xy yy 0（ D ） 5 y cos x 0（3）微分方程 2 y dy dx 0 的通解是（）.y2y 2 （A ）（B ） x Cx C（C ）y x C （D ）y x C（4）微分方程 0 满足初始条件 y 1 , y 1的特解是（）.yy x 0 x 0 （A ） y cosx（ B ） y sin x（C ）y cos x sin x （D ） y C 1 cosx C 2 sin x（5）下列函数是微分方程 y2 yy 0 的解是（）.x 2 exx 2ex（A ）（ B ） xx（C ） （D ）xexe解：（ 1）（B ） ； （2）（ A ）； （3）（ A ）； （4）（C ）； （ 5）（D ）. 2．填空题： 2( x C)2y（ 1 ） 以 1 （ 其 中 C 为 任 意 常 数 ） 为 通 解 的 微 分 方 程 为221 .y ( y1) x2 x（ 2）以 2 e （其中 C 、 C 为任意常数）为通解的二阶常系数齐次线 y C e C 11 2 性微分方程为 y 3y2 y 0 .exy 的通解为eyex（ 3）微分方程 C .y 2y (x（ 4）方程 yy cot x 2 x sin x 的通解为 C)sin x .xe , y 3 2x（ 5） 设方程 yp(x) yq( x) yf ( x) 的三个特解是 e ，则y 1x , y 2xC ( x e ) 2 x2 x. 此方程的通解为 y C ( x e ) e 1 2 3．求下列微分方程的通解： x y2x ) d y （ 1） (1 （2） y 2 y) xdx (1 0 ；； x（ 3） dydxy 2(ln y dy dx5；（ 4）y xy ；x)2ex （ 5） y y 2 y 0 ； （6）2 y ；yy （ 7） yy sin x ；（8） y2 y 5 y sin 2 x . 1x 解：（ 1）分离变量积分，得 d ，xd y 21 2y1 x2x ) (1 x 2)(1 即ln 1 2y ln(1 ln C ，亦即 2 y) Cx 2)(1 故原方程所求通解为 C .(1 2 y) 1 y x（2） 原方程变形为 y1 ，这是一阶线性方程，其通解为 1x1 C 21 xC 2C2x x2dx dx xy e( 1) e dxxdxx2即原方程通解为 C . 2xydx dy2 xy 2ln yy （3）原方程变形为，这是一阶线性方程，其通解为2y2 ydy dy 2ln y y1y 2 C y2 1 2x eedy C2 y ln ydy C ln y1 .2即原方程通解为 x Cyln y 2dy dxy 5，得 y 54（4）这是 n 5 的伯努利方程 . 方程两端同除以 yx ，令dzdxy 4，便有 4z 4 x ，此方程为一阶非齐次线性方程，其通解为z 4 dx4xdx4x4xz e( 4x) e dx Ce4xe dx C xe4 x1 e 4 x 41 44 x4 xeC Cex1 . 44y 代入，得原方程的通解为 44 x将 yCex z 2（ 5）特征方程为 0 ，解得 ，故方程的通解、 rr 2 r 12, r 2 1 2xxC 2e ．y C 1e1，对应齐次的通解为 222r（6）特征方程为 0 ，解得 r 1, r r 1 12xe 2xy C e C 12 2e x，而 f (x ) 1 不是特征方程的根，故可设原方程的特解为y*Ae xy*ex代入原方程整理得A 1 ，所以xxx故原方程的通解为 e 2e ．y C e C 12 2 （ 7）特征方程为 0 ，解得 ri ，对应齐次方程的通解为r 1 1,2 y C 1 cos x C 2 sin x因 f (x) sin x ， ii 是特征根，所以设原方程的特解为*yx Acosx Bsin x ， ( y *)又 x Asin x B cosxAcosx Bsin x ，( y * )2( Bcos x Asin x) x Acosx Bsin x ，代入原方程，得2(B cosx Asin x) x Acosx Bsin xx Acosx B sin xsin x ，0 ，2 A 1, 2 B 1, B 21x cosx ．故原方程的通解为2y *即 A0 ， 1xcosx 2y C cosx C sin x 1 22（ 8） y2 y 5 y sin 2x 其特征方程为 0 ，特征根为 r1 2i ，r 2r 5 1,2 从而其对应齐次方程的通解为xe (C 1 cos 2 x C 2 sin 2 x) .y又 f (x) sin 2 x ，i2i 不是特征根，所以设原方程的特解为y*A cos 2xB sin 2 x ，( y *)2 B cos 2 x ， ( y *) 4B sin 2 x ，代入原方程得2A sin 2 x 4 A cos2 x A 4B cos2 xB 4 A sin 2x sin 2x ， A B 4B 4 A 0 1 417 117417 117 *，所以 A, B sin 2 x ． ycos 2 x故原方程的通解为4 17 117xy e (C cos2x C sin 2x) cos2xsin 2 x ． 1 24．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：（ 1） (3x 2 +2xy y 2 )dx (x 21 时 y3 .22 x y)dy 0 , x 1；（ 2） y 2 yy cos x , x 0 时 y 0 , yPy Q x解：（1）P (x, y) 3x 2+2xyy 2x 2 ，2 x y ,于是有 , Q( x, y) 2 x 2 y所以方程（ 1）是全微分方程．因为(3x 2+2xy=3 x 2dx+ y 2)dx ( x 22xy)dyx 2 dy d (xy 2) ( y 2dx 2xydx d ( x 2y) 2 x ydy) x 3x 3 x 2y xy2= d d ,x3 x 2 y xy2所以方程（ 1）的通解为 C ，又 x 1 时， C 1y 1 ，从而 3x 2x y 2xy于是原方程的特解为 1．2（ 2）特征方程为 1 0 ，解得 r 1 ，对应齐次方程的通解为r2r r 12xyC 1x C 2 e因 f (x) cos x ，ii 不是特征根，所以设原方程的特解为y*Acos x B sin x ，( y * )B cos x ，( y *) 又 Acosx B sin x ，Asin x 代入原方程，得。

第十一章 微分方程习题11－11．说出下列各微分方程的阶数：（1）20dy dy x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭； （2）220d Q dQ Q L Rdt dt C -+=； （3）220xy y x y '''''++= ； （4）()d (76)0x y y x y dx ++-=；（5）2sin y y y x '''++= ； （6）2d sin .d ρρθθ+= 解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶．2．指出下列各函数是否为所给微分方程的解： （1）22 , 5;xy y y x '==（2）0 , 3sin 4cos ;y y y x x ''+==-（3）221, ;y x y y x''=+=（4）21221 , sin cos .2x x d y y e y C x C x e dx +==++解：（1）∵ 10 y x '=，代入方程得 21025x x x ⋅=⋅∴25y x =是方程的解．（2）∵ 3cos 4sin ,3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+，代入方程，得()()3sin 4cos 3sin 4cos 0y y x x x x ''+=-++-= ∴ 3sin 4cos y x x =-是方程的解．（3）∵ 2312,y y x x '''=-=，代入方程，得 23221x x x≠+ ∴1y x=是方程的解． （4）∵ 21212211cos sin ,sin cos 22x x dy d y C x C x e C x C x e dx dx =-+=--+，代入方程， 得 121sin cos 2x C x C x e ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭121sin cos 2x x C x C x e e ⎛⎫++= ⎪⎝⎭∴121sin cos 2x y C x C x e =++是方程的解．3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解： （1）()2222 , ;x y y x y x xy y C '-=--+= （2）()220 , ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==解：（1）在二元方程22 x xy y C -+=的两边同时对x 求导，得220x y xy yy ''--+=移项后即得 ()22 x y y x y '-=-故二元方程22x xy y C -+=所确定的函数是所给微分方程的解．（2）在 ln()y xy =两边对x 求导，得11 ()y y y xy xy x y '''=+=+， 即 yy xy x'=- ()()()()()232223122 y xy x y y xy xy y yxy xy xyy xy x xy x xy x ''--+-'--+-+-''===---，代入微分方程，得()()3223222()20xy xy xyy y yxy x x y xy x xy xxy x xy x -+--⋅+⋅+⋅-⋅=---- 故 ln()y xy =所确定的函数是所给微分方程的解．4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初始条件： （1）2220 , |1;x x xy y C y =-+==（2）()1200 , |0 , |1;x x x y C C x e y y =='=+== （3）1200cos sin , | 1 , |.t t x C t C t x x ωωω=='=+== 解：（1）∵ 0 |1x y ==∴222 =0011C -+=即 221x xy y -+=（2）()122 x y C C x C e '=++，由00 |0 , |1x x y y =='==，得 11201C C C =⎧⎨+=⎩。

第十一章 微分方程一、内容分析及教学建议微分方程是本门课程的三个组成部分之一，是微积分的具体应用。

实际上微分方程问题， 早在十七世纪末，微积分开始形成时，就已经涉及，可以说是与微积分同时发展起来的。

在二十世纪前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学；而现在，几乎在自然科学、工程技术，甚至于生物、医学、经济学领域的各个部门都会出现，它已成为研究科学技术、解决实际问题不可缺少的有力工具。

（一） 微分方程的概念从实例引入微分方程的主要概念，要着重指出通解中常数个数与阶数的关系，并且要注意：① 通解中所含任意常数的个数不是形式上，而是实质上的；② 微分方程解中并非只有通解和特解，还存在既非通解又非特解的解。

例如：函数221ln ln x c x c y +=是微分方程02='+''y x y x 的解，x c x c c x c x c y ln ln )2(ln ln 21221=+=+=,)2(21c c c +=∴ 此解不是通解，也不是特解。

(二) 一阶微分方程的解法1、一阶微分方程类型较多，教学中应让学生能掌握正确判断方程的类型，按方程所属类型采用适当的方法求解； 如322y x y dx dy -=，改写为221y x ydx dy -=-（关于x 的一阶线性微分方程等）； 2、一阶微分方程中分离变量法是最基本的，要有足够的训练，让学生牢固掌握，必要时让学生复习不定积分的基本内容；3、可通过齐次方程的求解，引入一般的变量代换解法，要求学生了解其思想，对于具体代换，只介绍简单的代换，如y x u +=，xy u =即可；4、关于一阶线性微分方程，一定要交待常数变易法的想法及步骤，导出通解公式后，指出其通解结构，为以后高阶线性微分方程奠定基础；5、对于全微分方程求解，涉及到“曲线积分”内容，通常有三种解法（见“曲线积分”一章注解），关于积分因子，主要取决于微分的熟练，但教学中要求不高；6、关于贝努利方程，注意：ny x Q y x P y )()(=+'，这里n 可放宽到任意实数仍成立。