带电粒子在圆形边界磁场中的运动(五)

⾼考物理带电粒⼦在圆形磁场中的运动带电粒⼦在磁场中的运动是⾼考的⼀个考点，难度相对较⼤。

带电粒⼦在磁场中的运动轨迹⼀般为圆形（还会有螺旋状的，⾼考不做要求），它会涉及各种边界，单边界、双边界、三⾓形边界、正⽅形边界、n边形边界、圆边界。

当圆形轨迹遇上圆形轨道时，就容易让⼈发懵，在这⾥⾟哥就给⼤家总结⼀下轨迹圆与磁场圆的⼏种情况，⼤家看了算是积累⼀下经验，如果在⾼考中遇到可以灵活运⽤。

⼀、磁聚焦、磁发散❶磁聚焦：⼀组平⾏粒⼦垂直射⼊半径为 R的圆形匀强磁场区域，若轨迹半径也为 R，则粒⼦将汇聚于同⼀点。

磁聚焦这种情况很类似与凸透镜对光线的汇聚作⽤。

凸透镜对光线的汇聚❷磁发散：从⼀点进⼊磁场的粒⼦，若圆周运动的半径与磁场半径相同，则⽆论在磁场内的速度⽅向如何，出磁场的⽅向都与该点切线⽅向平⾏。

磁发散此种情况类似于光线通过凸透镜后变成平⾏光。

光线通过透镜后变成平⾏光⼆、怎么进怎么出❶对于单边界，是指带电粒⼦进磁场时速度与边界的夹⾓等于出磁场时速度与边界的夹⾓。

这个相对简单，在此不作赘述。

❷⽽对于圆形边界，是指带电粒⼦进磁场时速度与半径的夹⾓等于出磁场时速度与半径的夹⾓。

我们最熟悉的就是沿半径进必定沿半径出。

上⾯的图⼀就是沿半径进，沿半径出的情况，此时速度与半径的夹⾓为0°，图⼆为⼀般情况可以证明θ₁等于θ₂。

三、在磁场中的运动时间对应弧长，弧长对应弦长。

在磁场中运动的最长时间对应最长弦，当轨迹圆的半径⼤于磁场圆的半径时，最长弦就是磁❶在磁场中运动的最长时间对应最长弦场圆的直径。

在磁场中运动的最短时间就对应最短的弦（可能是点到直线的距离）。

❷在磁场中运动的最短时间就对应最短的弦如下⾯左图沿图⽰轨迹运动，对应最长弦、最长弧长、最⼤圆⼼⾓、最长时间。

右图是从P点进⼊沿倾斜边离开，当从D点离开时时间最短。

四、从⼊射点到离开圆形磁场的最远位置，对应轨迹圆的直径。

如下图：当轨迹圆的半径r⼩于磁场圆的半径R时，从O点射⼊的粒⼦离开圆形磁场时的最远点为A点，OA则对应轨迹圆的半径。

带电粒子在圆形磁场区域的运动规律处理带电粒子在匀强磁场中的圆周运动问题，关键就是综合运用平面几何知识与物理知识。

最重要的是，画出准确、清晰的运动轨迹。

对于带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动，有下面两个规律，可以帮助大家准确、清晰画出带电粒子的圆周运动的轨迹。

规律一：带电粒子沿着半径方向射入圆形边界内的匀强磁场，经过一段匀速圆周运动偏转后，离开磁场时射出圆形区域的速度的反向延长通过边界圆的圆心。

规律二：入射速度方向（不一定指向区域圆圆心）与轨迹圆弧对应的弦的夹角为θ（弦切角），则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为2θ，轨迹圆弧对应的圆心角也为θ2，并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。

以上两个规律，利用几何知识很容易证明，在解题时，可以直接应用，请看下面的两个例子：例1如图1所示，在平面坐标系xoy 内，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y 轴正方向的匀强电场，第I 、Ⅳ象限内存在半径为L的圆形匀强磁场，磁场圆心在M （L ，0）点，磁场方向垂直于坐标平面向外．一带正电粒子从第Ⅲ象限中的Q （一2L ，一L ）点以速度0v 沿x 轴正方向射出，恰好从坐标原点O 进入磁场，从P （2L ，O ）点射出磁场．不计粒子重力，求： （1）电场强度与磁感应强度大小之比 （2）粒子在磁场与电场中运动时间之比 解析：（1）设粒子的质量和所带正电荷分别为m 和q ，粒子在电场中运动，由平抛运动规律得：102t v L =2121at L =，又牛顿运动定律得：ma qE = 粒子到达O 点时沿y +方向分速度为0v at v y ==，1tan 0==v v y α 故045=α，粒子在磁场中的速度为02v v =，应用规律二，圆心角为：0902=α，画出的轨迹如图2所示，由rmv Bqv 2=，由几何关系得L r 2=得：2v B E = （2）在磁场中运动的周期vrT π2=粒子在磁场中运动时间为02241v L T t π==图2图1得412π=t t 例2如图3所示，真空中有一以（r ，O ）为圆心，半径为r 的圆柱形匀强磁场区域，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里，在y ≤一r 的范围内，有方向水平向右的匀强电场，电场强度的大小为E 。

带电粒子在圆形边界磁场中的运动一、基础知识1、圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)2、确定粒子运动的圆心，找出轨迹对应的圆心角，再求运动时间 二、练习1、如图所示，一半径为R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一质量为m ，电荷量为q 的正电荷(重力忽略不计)以速度v 沿正对着圆心O 的方向射入磁场，从磁场中射出时速度方向改变了θ角．磁场的磁感应强度大小为( )A.m vqR tanθ2B.m v qR cotθ2C.m v qR sinθ2D.m v qR cosθ2答案 B解析 粒子轨迹如图，根据几何关系r ＝R cot θ2，再根据q v B ＝m v 2r ，解得B ＝m v qR cotθ2，故B 正确．2、如图所示，半径为r 的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子(不计重力)从A 点以速度v 0垂直于磁场方向射入磁场中，并从B 点射出，若∠AOB ＝120°，则该带电粒子在磁场中运动的时间为( )A.2πr3v0 B.23πr 3v 0C.πr3v 0D.3πr 3v 0答案 D解析 画出带电粒子进、出磁场时速度方向的垂线交于O ′点，O ′点即为粒子做圆周运动轨迹的圆心，如图所示．连接O ′O ，设轨迹半径为R ，由几何关系可知带电粒子在磁场中运动的轨迹半径R ＝r tan 60°＝3r .因为∠AOB ＝120°，故∠AO ′B ＝60°，运动时间t ＝16T ＝16×2πR v 0＝3πr3v 0，D 正确．3、(2012·安徽理综·19)如图所示，圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场，经过Δt 时间从C 点射出磁场，OC 与OB 成60°角．现将带电粒子的速度变为v3，仍从A 点沿原方向射入磁场，不计重力，则粒子在磁场中的运动时间变为( )A.12Δt B ．2ΔtC.13Δt D ．3Δt审题指导 1.粒子做圆周运动的圆心是O 点吗？怎样找？2．要求粒子在磁场中运动的时间，就要先找圆周运动轨迹对应的圆心角，再利用周期公式求解．解析 设带电粒子以速度v 射入磁场做圆周运动，圆心为O 1，半径为r 1，则根据q v B＝m v 2r ，得r 1＝m v qB ，根据几何关系得R r 1＝tan φ12，且φ1＝60°.当带电粒子以13v 的速度射入时，轨道半径r 2＝m ·13v qB ＝m v 3qB ＝13r 1，圆心在O 2，则Rr 2＝tanφ22.即tan φ22＝R r 2＝3R r 1＝3tan φ12＝ 3. 故φ22＝60°，φ2＝120°；带电粒子在磁场中运动的时间t ＝φ360°T ，所以Δt 2Δt 1＝φ2φ1＝21，即Δt 2＝2Δt 1＝2Δt ，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误． 答案 B 技巧点拨找圆心、求半径、确定转过的圆心角的大小是解决这类问题的前提，确定轨道半径和给定的几何量之间的关系是解题的基础，建立运动时间t 和转过的圆心角α之间的关系是解题的关键．4、如图所示是某粒子速度选择器的示意图，在一半径为R ＝10 cm 的圆柱形桶内有B ＝10－4T 的匀强磁场，方向平行于轴线，在圆柱桶某一直径的两端开有小孔，作为入射孔和出射孔．粒子束以不同角度入射，最后有不同速度的粒子束射出．现有一粒子源发射比荷为qm＝2×1011 C/kg 的正粒子，粒子束中速度分布连续．当角θ＝45°时，出射粒子速度v 的大小是( )A.2×106 m/s B ．22×106 m/s C ．22×108 m/sD ．42×106 m/s答案 B解析 由题意知，粒子从入射孔以45°角射入匀强磁场，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．能够从出射孔射出的粒子刚好在磁场中运动14周期，由几何关系知r ＝2R ，又r＝m v qB ，解得v ＝qBrm＝22×106 m/s.5、如图所示装置，圆形磁场区域半径为R 1＝3×10－2m ，其中分布垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B ，与磁场区域同心的圆筒半径为R 2＝23×10－2 m ，其左侧与两平行金属板MN 相邻，相邻处有一小孔，将平行板内部和圆筒内部连通．平行金属板MN 内部紧靠M 板处有一带电粒子处于静止状态，且粒子位于小孔和磁场圆心的连线上，其电荷量为q ＝＋3.2×10－19C ，质量为m ＝6.4×10－27kg.当两金属板间电压为U 1＝225V 时，带电粒子经过电场加速后通过磁场，速度方向偏转了π3.不计重力和一切阻力，求：(1)粒子进入磁场时的速度大小和磁场的磁感应强度的大小B ；(2)如果将两金属板间电压变为U 2＝25 V ，粒子再次由静止加速后通过磁场区域，求两种情况下粒子在圆筒中运动的时间差． 答案 (1)1.5×105 m/s 0.1 T (2)6.7×10－7 s解析 (1)粒子在电场中加速，设获得速度v 1，由动能定理，得qU 1＝12m v 21解得v 1＝1.5×105 m/s粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为r 1，则q v 1B ＝m v 21r 1由如图几何关系可知，粒子在磁场中轨迹对应的圆心角θ1＝60°r 1＝R 1cot θ12代入数据可得B ＝0.1 T (2)粒子在磁场中运动周期为T ＝2πm qBT ＝4π×10－7 s设粒子在磁场中运动的时间为t 1，则t 1＝θ12πT设粒子在圆筒与磁场间区域匀速运动的时间为t 1′，则t 1′＝2(R 2－R 1)v 1当电场电压为U 2＝25 V 时，设粒子加速后获得的速度为v 2，由动能定理得qU 2＝12m v 22解得v 2＝0.5×105 m/s粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为r 2，则q v 2B ＝m v 22r 2解得r 2＝1.0×10－2 m由图中几何关系可知r 2＝R 1cot θ22故θ2＝120°设粒子在磁场中运动的时间为t 2，则t 2＝θ22πT设粒子在圆筒与磁场间区域匀速运动的时间为t 2′，则t 2′＝2(R 2－R 1)v 2两种运动的时间差Δt ＝t 2＋t 2′－(t 1＋t 1′) 代入数据可得Δt ＝23(π＋43)×10－7 s ＝6.7×10－7 s6、 (2012·山西太原市高三模拟试题(二))如图所示，在某空间实验室中，有两个靠在一起的等大的圆柱形区域，分别存在着等大反向的匀强磁场，磁感应强度B ＝0.10 T ，磁场区域半径r ＝23 3 m ，左侧区圆心为O 1，磁场向里，右侧区圆心为O 2，磁场向外，两区域切点为C .今有质量m ＝3.2×10－26kg 、带电荷量q ＝1.6×10－19C 的某种离子，从左侧区边缘的A点以速度v ＝1×106 m/s 正对O 1的方向垂直射入磁场，它将穿越C 点后再从右侧区穿出．求：(1)该离子通过两磁场区域所用的时间；(2)离子离开右侧区域的出射点偏离最初入射方向的侧移距离多大？(侧移距离指在垂直初速度方向上移动的距离)答案 (1)4.19×10－6 s (2)2 m解析 (1)离子在磁场中做匀速圆周运动，在左、右两区域的运动轨迹是对称的，如图所示，设轨迹半径为R ，圆周运动的周期为T 由牛顿第二定律有q v B ＝m v 2R①又T ＝2πRv② 联立①②得：R ＝m vqB③ T ＝2πm qB④ 将已知数据代入③得R ＝2 m⑤由轨迹图知tan θ＝r R ＝33，即θ＝π6则全段轨迹运动时间t ＝2×2θ2πT ＝T3⑥联立④⑥并代入已知数据得t ＝2×3.14×3.2×10－263×1.6×10－19×0.10s ＝4.19×10－6 s (2)在图中过O 2向AO 1作垂线，联立轨迹对称关系知 侧移距离d ＝2r sin 2θ 将已知数据代入得d ＝2×233sin π3 m ＝2 m。

微专题72带电粒子在圆形边界磁场中的运动1．带电粒子进入圆形边界磁场，一般需要将磁场圆圆心与两圆交点(入射点与出射点)连线、将轨迹圆圆心与两交点连线、将轨迹圆与磁场圆圆心连线.2.带电粒子进入圆形边界磁场，轨迹圆半径与磁场圆半径相等时会有磁聚焦现象.3.沿磁场圆半径方向入射的粒子，将沿半径方向出射．1.如图所示，圆心为O、半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.氦核(42He)和质子(11H)先后从A点沿AO的方向射入磁场，均从C点射出磁场，OA 与OC的夹角为106°.氦核(42He)的质量为m、电荷量为q，不计粒子的重力，sin53°＝0.8，下列说法正确的是()A．质子与氦核在磁场中运动的时间相等B．质子在磁场中运动的时间是氦核的2倍C．氦核(42He)的速度大小为4qBR3mD．质子(11H)的速度大小为2qBR3m答案C解析作出质子(11H)和氦核(42He)在磁场中的运动轨迹，如图所示根据题意可知质子(11H)和氦核(42He)在磁场中运动的圆心角相等，运动周期为T＝2πmqB，运动时间为t＝θ2πT，可知质子(11H)和氦核(42He)在磁场中运动的时间之比为t1t2＝12，故A、B错误；对质子(11H)和氦核(42He)，根据几何关系可得tan53°＝rR，又q v B＝mv2r，可得氦核(42He)的速度大小为v 1＝4qBR 3m ，质子(11H)的速度大小为v 2＝8qBR3m，故C 正确，故D 错误．2.(多选)(2023·河北张家口市高三模拟)如图所示，半径为R 的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，AC 是圆的一条直径，D 为圆上一点，∠COD ＝60°.在A 点有一个粒子源，沿与AC 成30°角斜向上垂直磁场的方向射出速率均为v 的各种带正电粒子，所有粒子均从圆弧CD 射出磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用．则从A 点射出的粒子的比荷qm可能是()A.vBR B.3v 2BR C.3v BRD.3v 3BR答案AD解析带电粒子从C 点射出磁场时，轨迹如图所示由几何关系得sin 30°＝Rr 1，解得r 1＝2R ，带电粒子从D 点射出磁场时，轨迹如图所示，由几何关系得AODO 2是菱形，所以粒子的轨迹半径r 2＝R ，所以粒子在磁场中运动的轨迹半径满足r 2≤r ≤r 1，由洛伦兹力提供向心力得q v B ＝m v 2r，解得从A 点射出的粒子的比荷满足v2BR ≤q m ≤vBR，故选A 、D.3.(多选)如图所示，半径为R 、圆心为O 的圆形区域内有方向垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)．两个质量、电荷量都相同的带正电粒子，以不同的速率从a 点先后沿直径ac 和弦ab 方向射入磁场区域，ab 和ac 的夹角为30°，已知沿ac 方向射入的粒子刚好从b 点射出，沿ab 方向射入的粒子刚好从O 点正下方射出，不计粒子重力．则()A ．沿ac 方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为RB ．沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动轨迹半径为(3＋1)RC ．沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1D ．沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的速率的比值为2－33答案BC解析沿ac 方向射入的粒子在磁场中运动方向偏转60°，其轨迹所对的圆心角为60°，如图中轨迹1所示，由几何关系知其轨迹半径为r 1＝Rtan 30°＝3R ，故A 错误；沿ab 方向射入磁场区域的粒子在磁场中运动轨迹如图中轨迹2所示，根据几何关系可知，该粒子的轨迹所对圆心角为30°，则轨迹半径r 2满足r 2sin 45°＝Rsin 15°，又sin 15°＝sin (45°－30°)，解得r 2＝(3＋1)R ，故B 正确；两粒子的质量和电荷量相同，根据T ＝2πmqB，可知在磁场中的运动周期相同，结合两粒子在磁场中的偏转角之比为2∶1，可知沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1，故C 正确；根据q v B ＝m v 2r ，可得v＝qBrm ，则沿ac 方向射入的粒子与沿ab 方向射入的粒子在磁场中运动的速率的比值为3－32，故D 错误．4.如图所示，半径为R 的圆形区域内存在着磁感应强度为B 的匀强磁场，方向垂直于纸面向里，一带负电的粒子(不计重力)沿水平方向以速度v 正对圆心入射，通过磁场区域后速度方向偏转了60°.如果想使粒子通过磁场区域后速度方向的偏转角度最大，在保持原入射速度大小和方向不变的基础上，需将粒子的入射点向上平移的距离d 为()A.12RB.33RC.22R D.32R 答案B解析粒子运动轨迹如图甲所示，根据几何知识可得r ＝Rtan 30°，当粒子的入射点和出射点的连线是磁场圆的直径时，粒子速度偏转的角度最大．由图乙可知sin θ＝R r ，平移距离为d ＝R sin θ，解得d ＝33R ，故B 正确，A 、C 、D 错误．5.(多选)(2023·湖北省联考)如图，坐标原点O 有一粒子源，能向坐标平面第一、二象限内发射大量质量为m 、电荷量为q 的正粒子(不计重力)，所有粒子速度大小相等．圆心在(O ，R )，半径为R 的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B .磁场右侧有一长度为R ，平行于y 轴的光屏，其中心位于(2R ，R )．已知初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则()A ．粒子速度大小为qBR mB ．所有粒子均能垂直射在光屏上C ．能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为2πm 3qBD ．能射在光屏上的粒子初速度方向与x 轴夹角满足45°≤θ≤135°答案AC解析由题意，初速度沿y 轴正向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，有qB v ＝m v 2r，r ＝R ，解得v ＝BqRm ，A 正确；由于所有粒子的速度大小相等，但方向不同，且离开磁场区域的出射点距离原点的竖直高度最大值为2R ，并不会垂直打在光屏上，B 错误；如图甲，打在光屏上端的粒子在磁场中运动时间最长，由几何关系可得，运动时间最长的粒子，对应轨迹的圆心角为23π，甲根据周期公式T ＝2πr v ，可得t ＝2π32πT ＝13T ＝2πm3Bq ，C 正确；粒子初速度方向与x 轴夹角为θ时，若能打在光屏下端，如图乙乙由几何关系可得圆心角为60°，即初速度与x 轴夹角为θ1＝60°，同理，粒子打在光屛上端时(如图甲)，初速度与x 轴夹角为θ2＝120°，D 错误．6.如图所示，第一象限内有一圆形边界匀强磁场(图中未画出)．一质量为m 、电荷量为＋q 的带电粒子，以大小为v 的速度沿＋x 方向自磁场边界上的点P (L ,3L )射入，从点Q (L ,0)射出时速度方向与x 轴负方向成60°角，粒子重力不计．求：(1)磁感应强度的大小和方向；(2)圆形有界磁场的最小面积．答案(1)m v qL方向垂直于纸面向外(2)34πL 2解析(1)由于PQ 平行于y 轴，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在PQ 上，由几何关系可得r ＋rcos 60°＝3L 由牛顿第二定律可得q v B ＝mv 2r联立解得B ＝m v qL由左手定则可得，磁感应强度的方向垂直于纸面向外．(2)设带电粒子从点F 飞出后经过Q 点，则以PF 为直径的圆形有界磁场的面积最小，设圆形磁场的最小半径为R ，由几何关系可得R ＝r sin 60°＝32L 则最小面积为S ＝πR 2＝34πL 2.7.如图所示，圆形区域有一匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里，边界跟y 轴相切于坐标原点O .O 点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v 的某种带正电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的2倍.已知该带电粒子的质量为m 、电荷量为q ，不考虑带电粒子的重力．(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角．答案(1)m vqB(2)60°解析(1)带电粒子进入磁场后，受洛伦兹力作用，由牛顿第二定律得Bq v＝m v2r，则r＝m vBq.(2)粒子的速率均相同，因此粒子轨迹圆的半径均相同，但粒子射入磁场的速度方向不确定，故可以保持圆的大小不变，只改变圆的位置，画出“动态圆”，如图甲所示，通过“动态圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧，对于劣弧而言，弧越长，弧所对应的圆心角越大，偏转角越大，则运动时间越长，如图乙所示，当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场直径时，粒子在磁场空间的偏转角最大，sin φmax2＝Rr＝12，即φmax＝60°.8.如图所示，真空中有两个以O为圆心的同心圆，内圆半径为R，外圆半径未知．内圆有一垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B；内圆与外圆之间的环状区域内的匀强磁场垂直纸面向里，大小也为B.在内圆边界上有一粒子源S，所发出的粒子质量为m，电荷量为＋q，速度大小为v0.内圆边界上无磁场，外圆边界上存在磁场．不计粒子重力，求：(1)若粒子源在纸面内向各个方向发射粒子，为了让粒子约束在外圆内运动，则外圆半径至少为多大？(2)若发出的粒子初速度方向沿半径背离圆心．粒子运动了一段时间再次经过S，则v0应该满足什么条件(写出v0与m、q、B、R之间的关系)?(3)在满足(2)问的条件下，粒子相邻两次经过S 处的时间是多少？答案(1)R ＋2m v 0qB(2)v 0＝qBR m tan πn(n ≥3，且取整数)(3)见解析解析(1)粒子在磁场中运动时由洛伦兹力提供向心力，q v 0B ＝m v 02r解得r ＝m v 0qB当粒子轨迹与外圆内切时外圆半径最小，如图由图中几何关系得，外圆半径R 1＝R ＋2r 故外圆半径至少为R 1＝R ＋2m v 0qB(2)经分析得，带电粒子运动轨迹将内圆均分成n 段圆弧(n ≥3，且取整数)，如图由图中几何关系得θ＝2π2n ＝πn且tan θ＝r R故tan πn ＝m v 0qBR(n ≥3，且取整数)则v 0应满足：v 0＝qBR m tan πn (n ≥3，且取整数)(3)粒子在磁场中做圆周运动的周期为T ＝2πr v 0＝2πmqB 粒子相邻两次经过内圆，在内圆外运动的时间t 1＝2π－ π－2θ 2πT ＝π＋2θ mqB 粒子相邻两次经过内圆，在内圆内运动的时间t 2＝π－2θ2πT ＝ π－2θ m qB 当(2)中n 为奇数时，粒子相邻两次经过S 处的时间t ＝ n －1 2(t 1＋t 2)＋t 1＝ n 2＋2 πmnqB(n ≥3，且取奇数)当(2)中n 为偶数时，粒子相邻两次经过S 处的时间t ＝n 2(t 1＋t 2)＝n πmqB(n ≥3，且取偶数)．。

带电粒子在圆形磁场中的运动规律
带电粒子在圆形磁场中的运动规律是物理学中的一个重要研究内容。

它具有重
要的应用意义，广泛用于航空航天、电子技术等领域，探索带电粒子沿圆形磁场运动规律有助于我们了解磁场物理性质及其应用等方面的研究。

首先，我们要了解：圆形磁场是由旋转电流产生的，其流线和磁线呈放射状排列，并形成环形磁场，其中的每一个电荷的运动轨迹都是圆周运动的。

随着旋转电流的增大，磁场的强度也会随之增大，由此可以看出，当带电粒子运动沿着圆形磁场时，它会受到强大的物理作用力推动，使其具有较大的受控运动轨迹和稳定的圆周运动。

其次，带电粒子在圆形磁场中的运动规律可以按照特定的数学模型进行描述。

根据运动定律，带电粒子在旋转磁场中的运动轨迹可以满足德卡斯特里定律，77
即带电粒子的运动方向按照反比例于它的速度矢量，且与磁场线切线的夹角余弦为常数。

因此，可以推导出带电粒子在旋转磁场中的运动模型，并将其写成椭圆公式：{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1，其中a、b为相应长短轴，可由磁场强度及粒子带电量确定。

最后，在带电粒子在圆形磁场中运动时，会受到粒子电量、磁场强度以及电荷
的质量、初速度等物理参数的影响，导致其运动轨迹较容易受到影响。

此外，为了使粒子的运动轨迹更为稳定，我们可以在外部增加一定的电场，以抵消其圆形磁场中的机械力，并使其运动更加稳定。

总之，带电粒子在圆形磁场中的运动规律受到粒子电量、磁场强度以及来自外
界环境的影响，可以按照特定的数学模型描述，并受到椭圆图形的限制，为我们研究圆形磁场的性质和应用提供较为明确的参考规范。

带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动粒子沿圆形磁场区的半径方向垂直磁场射入，由对称性可知出射线的反向延长线必过磁场圆的圆心。

由几何关系可得：偏向角与两圆半径间的关系：t a n r Rθ=2 偏转时间的关系式：m t T qBθθπ=∙=2 O 、O ′分别为 磁场圆与轨迹圆的圆心;r 、R 分别为 磁场圆与轨迹圆的半径 。

例1、如图所示，在圆心为O ，半径为r 的圆形区域内，有匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里．一个带电粒子以速度v 射入磁场，初速度方向指向圆心O ，它穿过磁场后，速度方向偏转α角，则该带电粒子的荷质比______=mq ．例2、 在以坐标原点O 为圆心、半径为r 的圆形区域内，存在磁感应强度大小为B 、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，如图所示。

一个不计重力的带电粒子从磁场边界与x 轴的交点A 处以速度v 沿-x 方向射入磁场，它恰好从磁场边界与y轴的交点C 处沿＋y 方向飞出。

（1）请判断该粒子带何种电荷，并求出其比荷q/m ；（2）若磁场的方向和所在空间范围不变，而磁感应强度的大小变为B ′，该粒子仍从A 处以相同的速度射入磁场，但飞出磁场时的速度方向相对于入射方向改变了60°角，求：磁感应强度B ′多大？此次粒子在磁场中运动所用时间t 是多少？例3、如图所示,圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,一个带电粒子以速度v 从A 点沿直径AOB 方向射入磁场,经过Δt 时间从C 点射出磁场,OC 与OB 成60°角。

现将带电粒子的速度变为,仍从A 点沿原方向射入磁场,不计重力,则粒子在磁场中的运动时间变为( ) A.Δt B.2Δt C.Δt D.3Δt例4、如图所示，在纸面内半径为R 的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，一点电荷从图中A 点以速度v 0垂直磁场射入，当该电荷离开磁场时，速度方向刚好改变了180°，不计电荷的重力，下列说法正确的是( )A. 该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线通过O 点B. 该点电荷的比荷为q m ＝2v 0BRC. 该点电荷在磁场中的运动时间t ＝πR 3v 0D. 该点电荷带正电1、如图，半径为R 的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面（纸面），磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外，一电荷量为q （q >0）。