组合中的分组和平均分组

浅析排列组合中的“平均分组”问题作者：郑晓华来源：《读写算》2014年第15期在排列组合中，有不少涉及到“平均分给”问题，学生在解题过程中容易重复计算，这类问题．如果通过注意观察、对照、比较，可以提高分析问题和解决问题的能力，涉及平均分组问题可以先组(分组)后排(排序)使复杂问题简单化，同时提高分析问题和解决问题的能力。

一、整体平均问题分组问题例1有6本不同的书(1)平均分给甲、乙、丙三人，有多少种不同的分法。

(2)平均分成三堆有多少种不同的分法。

（2）同解法1共有下面我们对解法（2）进行分析：设有A、B、C、D、E、F六本书。

所以种方法中有重复分堆，应该剔除，事实上AB、CD、EF的所有排列有种，种排列只有一种分堆，所以本题正确解答是：所以就有 =15种方法。

从（2）的解法中知道，若平均分成m组，则m组的所有排列有种，种排列只对应一种分组，所以要除以。

二、部分均匀问题分组问题分组中若n组中有m组均匀，则需除以。

例2把5本不同的书分成3堆，其中2堆各2本，1堆1本，有多种不同的方法。

解：3堆中有2堆都是2本，即有2部分均匀，所以共有： =10种方法三、用先组（分组）后排（排序）的方法解决排列组合问题例3（1）有5本不同的书，借给甲、乙、丙三人其中两人各2本，1人1本，有多少种不同的借法。

（2）有6本不同的书，借给甲、乙、丙三人其中两人各2本，另2人1本，有多少种不同的借法。

解：（1）先分堆，由于有2堆数相同（部分均匀），所以共有：再排序：种方法。

所以共有60种不同的借法。

本题也可以用分类计数原理，分借1本的是甲或乙或丙三类；种不同的方法。

（2）本题用分类计数原理显然比较繁琐，若采用先组的排的方法，就简单得多。

再排序： =1080种方法所以共有1080种方法。

例4把10人分成三组，一组4人，其它两组各3人，其中甲、乙、丙3人必须分别在各组，一组4人，其它两组各3人，其中甲、乙、丙3人必须分别在各组，则有多少种不同的分法。

A B组合问题的解决方案《试题调研》网站免费精品资料下载： http://stdy/ 试题调研，金考卷等天星产品低价直销(批量)，联系人李老师， QQ45589335一、对应思想解组合问题，即所研究的问题对应着某些元素的组合．解决此类问题要注意把握每一具体问题中“对应”的确切含义．例1(1)圆上有10个点,两两连成弦,这些弦在圆内最多可形成_____个交点.(2)平面上有4条水平直线,5条竖直直线,能形成矩形______个.（3）马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以 把其中3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？（4）如图是由12个小正方形组成的43⨯矩形网格，一质点沿网格线从点A 到点B 的不同路径之中 条解析：(1)每一个交点对应着两条相交弦，而两条相交弦又对应着圆上4点，故交点数等于从圆上的10个点中取4点的方法数，为410C 个.(2) 每一个矩形对应着两条水平直线和两条竖直直线，所以形成的矩形数等于2524C C ⋅个.（3）把问题想象成在可以移动的10盏灯中关掉3盏灯后剩下7盏灯，在7盏灯产生的6个空位中选出3个位置安排移走的3盏灯（为熄灭的灯）所对应的方法数，为36C 种；（4）相邻两点算作一步，则从点A 到点B 的最短路径对应着7步，其中横向安排4步、纵向安排3步，所以最短路径对应着7步中安排4步横向走的方法数,有4735C =．附：1、（2004湖北文科）将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不．一致的放入方法种数为（ ）A ．120B ．240C ．360D ．720解析：每一种符合要求的方法对应着10个位置选定7个对号安排和余下3个位置的完全不对号安排，10个位置选定7个的方法数为710C 种，3个位置的完全不对号安排有2种，故总数为7102240C ⨯=种．故选（ B ）． 2、（2001全国，16）圆周上有2n 个等分点（n ＞1），以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 .解析：每一种符合要求的方法对应着选定一条直径的两个端点和在余下的2n-2个点中选择1点，方法数为()()12221n C n n n ⨯-=-种．二、至多至少组合问题:即分类后某元素个数满足至多多少个或至少多少个的要求的组合问题.可分类或用间接法,体会两者是可以相互转化的．此类问题一定要注意避免不完全分组会产生重复造成记数出错．例2、某班有54位同学，正、副班长和学习委员各1名，现选派6名同学参加某课外小组，在下列各种情况中，各有多少种不同的选法？（1）正、副班长和学习委员至少有一人入选（2）正、副班长和学习委员至多有一人入选解析：（1）正、副班长和学习委员至少一人入选可分为只有一人入选、有两人入选和三人都入选三类，方法数为152433351351351C C C C C C ⋅+⋅+⋅，本题也可用间接法：没有任何限制的选法为654C ，而不符合要求即正、副班长和学习委员都不入选的方法数为651C ，所以满足题目要求的选法数为665451C C -；对本题的进一步理解：从54人中选出题目要求的选法可画图理解为如图的分类，由此可见本题既可用直接分类法也可用间接排除法解决，这对至多至少组合问题具有一般性．（2）由以上分类易知正、副班长和学习委员至多有一人入选包含两类:3人均不入选和3人中恰有1人入选，则满足要求的方法数为61551351C C C +.附：1、(2005全国卷Ⅰ)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有 种．解：此题是典型的“至多至少组合问题”，可分类（以选出3人中包含女生的人数分为3类），共有1221346464100C C C C C ⋅+⋅+=种，或用间接法为33106100C C -=种．2、（2005浙江卷）从集合{ P ，Q ，R ，S }与{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任选2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母Q 和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答)．解：此题为“至多至少组合问题”，计算出满足要求的2字母和2数字的组合的总数（采用间接法）为221141039C C C C ⨯-⨯种，故不同排法种数是22114410394()5832C C C C A ⨯-⨯⨯=种．三、分组搭配组合问题:即对某些元素按一定要求分组或按一定要求分配的问题.要掌握平均分组和不平均分组的处理方法；注意对平均分组又分配和不平均分组又分配的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．例3、 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法或分法：(1)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(2)分为三份，每份两本；(3)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(4)分给甲、乙、丙三人，每人两本；⑸分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．解析：(1)此为不平均分组的题目，只须按三个步骤分别选出1本的一份、2本的一份和3本的一份即可，方法总数为332516C C C ⋅⋅种； (2) 此为平均分组的题目，只须先假定三个位置A 、B 、C ，每个位置安排2本书，按三个步骤分别选出2本安排在A 、B 和C ，共有222426C C C ⋅⋅种方法，而此题为平均分组，上述算法已对每一分组在A 、B 、C 三个位置进行了排列，故满足要求的平均分组为33222426A C C C ⋅⋅种；(3) 此为不平均分组又分配的题目，可采用先分组后分配的方法，即第一步分组共有332516C C C ⋅⋅种方法，第二步每一种分法得到的3组分给甲、乙、丙三人的方法都是33A 种，故采用先分组后分配的方法得分配方法共33332516A C C C ⋅⋅⋅种；本题也可采用“边分边给”的方法解决，即先选出1本书并将这本书分配给1人的方法数为1163C C ⋅种，再选出2本书并将这2本书分配给1人的方法数为2152C C ⋅种，第三步选出3本书并将这3本书分配给1人的方法数为3131C C ⋅种，故采用“边分边给”的方法得方法总数为112131635231C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅种；(4)此为平均分组又分配的问题，可采用“先分（分组）后给（分配）”得方法数为2223642333C C C A A ⋅⋅⋅种；若采用“边分（分组）边给（分配）”的方法理解本题可分三步完成：甲分得2本书、乙分得2本书、丙分得2本书，方法数为222642C C C ⋅⋅种； ⑸先分类再结合上述解法得方法数为3346A C ⋅+332516A C C ⋅⋅+2426C C ⋅种． 例4、3名司机和6名售票员分别分配到3辆不同的公交车上,每辆车上1名司机2 名售票员,分配方法共多少种?解析：将问题分两步：对3名司机和6名售票员分为3组，每组1名司机和2名售票员，先假定司机不动，则分组方法为222642C C C ⋅⋅种，再对每一分法分得的3组在3个位置（3辆不同的公交车）进行排列得分配方法共有22236423()C C C A ⋅⋅⋅种；若采用边分边给的方法则分3步完成：第一、二、三辆公交车分别选1名司机2名售票员,分配方法共()()()212121634221C C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅种．附：1、北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为( )（A ）124414128C C C （B ）124414128C A A（C ）12441412833C C C A （D ）12443141283C C C A 解析：本题是典型的分组搭配问题（平均分组），注意对该类问题的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．在解答本题时请仔细体会“边分（分组）边给（分配）”的运用．答案为(A ).2、把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）A ．168B ．96C ．72D ．144解析：本题是典型的分组搭配问题（不平均分组），注意对该类问题的两种处理方法—--“先分（分组）后给（分配）”和“边分（分组）边给（分配）”的把握．本题把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票分为4组的方法数为6种，每一种分组的分配方法均为44A ，故本题的方法数为446A ⨯种．故选（D ）．请仔细体会“先分（分组）后给（分配）”的运用．3、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共顶点的两条棱多代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为 ( )（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0解析：本题是典型的分组搭配问题（平均分组），本题适用“先分（分组）后给（分配）”法，没有公共顶点的两条棱一组的分组有（PA ，BC ）、（PB ，CD ）、（PC ，AD ）、（PD ，AB ）或（PA ，CD ）、（PB ，DA ）、（PC ，AB ）、（PD ，BC ）共2大组，而每大组的4小组在4个位置的分配就是4个元素在4个位置的全排列，所以安全存放的不同方法种数为 44248A ⨯= 种．故选( B)．。

组合知识点及题型归纳总结知识点精讲1.单纯组合问题2.分选问题和选排问题①分选问题，几个集合按要求各选出若干元素并成一组的方法数. ②选排问题，分选后的元素按要求再进行排列的排列数. 3.分组问题和分配问题①分组问题，把一个集合中的元素按要求分成若干组的方法数； ②分配问题，把一个集合中的元素按要求分到几个去处的方法数.题型归纳及思路提示题型1 单纯组合应用问题 思路提示把所给问题归结为从n 个不同元素中取m 个元素，可用分类相加、分布相乘，也可用总数减去对立数. 例12.21 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ （1）只有一名女生当选；（2）两队长当选；（3）至少有一名队长当选；（4）至多有两名女生当选；（5）既要有队长，又要有女生当选.分析 注意理解组合与排列问题的不同——取出的元素有无顺序.解析 （1）1名女生，4名男生，故共有3504815=C C （种）.（2）只需从剩余的11人中选择3人即可，故有165311=C （种）.（3）解法一：（直接法）至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长，故共有8253112241112=+C C C C （种）.解法二：（间接法）采用排除法825511513=-C C （种）.（4）至多两名女生含有3类情形：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故选法为：9665848153825=++C C C C C 种.（5）解法一：（直接法）分两类：①女队长当选，故有412C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名，故44173427243714C C C C C C C +++种. 综上可知，选法有412C +44173427243714C C C C C C C +++=790种.解法二：分两类：①女队长当选，故有412C 种；②男队长当选，故至少需要另外4名女生中的一名.若另外的4人都是男生，则有47C 种方法，故男队长当选，且至少有一名女生（且为非女队长）的方法有()474111C C -⋅种，故共有412C +()47411C C -=790种.变式1 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，10人中甲、乙不能都去，共有（ ）种邀请方法.A.84B.98C.112D.140变式2 在四面体的顶点和各棱中共10个点中选4个点不共面，共有（ ）种不同取法. A.150 B.147 C.141 D.142 变式3 若A x ∈1，就称A 为有伴关系的集合，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=4,3,2,1,21,31,1M ，则M 的非空子集中，具有有伴关系的集合有（ ）个.A.15B.16C.82D.52例12.22 在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点，y 轴正半轴上有3个点，将x 轴上5个点和y 轴上3个点连成15条线段，这些线段在第一象限交点最多有（ ）个.A.30B.35C.20D.15解析 如图12-21所示，在x 轴正半轴上5个点中取两点B A ,，在y 轴正半轴上3个点中取两点D C ,，确定四边形ABCD ，其对角线P BC AD =⋂是第一象限的点，能确定多少个四边形，就可以确定多少个符合第一象限的点，这些点互不重合（这是可以做到的），得这样的点最多有302325=C C 个，故选A.评注 解决与几何有关的组合问题，必须注意几何问题本身的限制条件，解题时可借助图形来帮助. 变式1 AOB ∠的边OA 上有4321,,,A A A A 四个点，OB 边上有4321,,,B B B B ，5B 五个点，共9个点，连接线断j i B A ()51,41≤≤≤≤j i ，若其中两条线段不相交，则称之为和睦线对，则共有和睦线（ ）对.A.30B.60C.120D.160变式2 在坐标平面上有一个质点从原点出发，沿x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳动一个单位，若经5次跳动质点落在()0,3处，则质点共有______种跳法；若经过m 次跳动质点落在()0,n 处，0,1,≥≥≥n m n m 且n m +为偶数，则质点共有______种跳法.题型2 分选问题和选排问题 思路提示两个集合B A ,，()()21,n B card n A card ==.A 选1m ，B 选2m ，共有2211m n m n C C 种方法，选排为选出再排列. 例12.23 6女4男选出4人.（1）女选2，男选2有多少种选法？再安排4个不同工作，有多少方法？（2）至少有一女有多少种选法？（3）至多3男有多少选法？（4）男女都有，有多少种选法？（5）选男甲不选女A,B ，有多少种选法？解析 （1）女选2，男选2有902624=C C 种选法，再安排4个不同工作有2160442624=A C C 种方法.（2）加法：20946143624263416=+++C C C C C C C ；减法：20944410=-C C . （3）减法：20944410=-C C .（4）加法：194143624263416=++C C C C C C ；减法：1944446410=--C C C .（5）从10-3=7人中选3人，3537=C .评注 涉及“至多”、“至少”的问题通常用排除法；变式1 有7名翻译，4人会英语，4人会日语，从中选2名英语翻译和2名日语翻译，共有多少种选法？ 变式2 9名水手，6人会左舵位，6人会右舵位.现选3名右舵手和3名左舵手分坐于6个舵位，共有多少种安排方法？变式3 甲组5男3女，乙组6男2女，两组各选2人，则选出的4人中恰有1女，共有（ ）种取法.A.150B.180C.300D.345 例12.24 （2012浙江理6）若从9,3,2,1，⋯这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ）种.A.60B.63C.65D.66解析 由数字特征可知，9,7,5,3,1共5个奇数，8,6,4,2共四个偶数，取出四个不同的数，和为偶数有以下几类：四个均为奇数，有545=C 种取法；两个奇数，两个偶数，有602524=C C 种取法；四个均为偶数，有144=C 种取法.共有66种不同的取法，故选D.变式1 从7,6,5,4,3,2,1这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成无重复数字的四位数，其中有（ ）个奇数.A.432B.288C.216D.108变式2 由数字6,5,4,3,2,1,0组成的没有重复数字的四位数中，个、十、百3位数字之和为偶数的有______个（用数字回答）.变式3 从10~1这10个数字中任取4个数，其中第二个大的数字是7的取法有（ ）种. A.18 B.20 C.45 D.84例12.25 （2012陕西理8）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，所有可能出现的情形各人输赢局次的不同视为不同情形，则共有（ ）种. A.10 B.15 C.20 D.30 解析 根据题意可分3类：当比赛3场结束时，有332C =2种不同的情形；当比赛4场结束时，有6213=C 种；当比赛5场结束时，有12224=C 种不同情形.故共有201262=++种不同的情形.故选C.变式1 5名乒乓球运动员，有2名老队员和3名新队员，从中选出3人排成3,2,1号参加团体比赛，则其中至少一名老队员，且2,1号至少一名新队员，有______种排法（用数字作答）.变式2 已知集合{}{}{}4,3,1,2,1,5===C B A ，从3个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系的一个点的坐标()z y x ,,，则共可确定（ ）个点的坐标. A.33 B.34 C.35 D.36变式3 用4张分别标有4,3,2,1的红色卡片和4张分别标有4,3,2,1的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出来的4张卡片的数字之和为10，则共有______种排法（用数字作答）.题型3 平均分组和分配问题 思路提示分组定义：把一个非空有限集A 按要求分成若干个互相没有公共元素的非空子集的并集. ①分组三原则：一组一组的分出来（与顺序无关）；②有若干组为含单一元素的集合，不去管他们，分出其他组即可；③由若干（m 个）元素不为1的组，且元素个数相同，把①②的结果除以mm A .分配定义：把一个非空有限集A 的元素按要求分到若干个去处，每个去处分配元素至少为1个. 分配问题共四个类型：逐方向分配即可，共有分配数：m mnn n n n m n n m n m C C C C N ⋯=---321211（额配法） . ②不定方向分配问题：各分配方向名额不确定.先把A 按要求分成若干组（分组问题），再把每组打包成一个元素，在m 个分配方向上排列（组排法）.③信箱问题.3封不同信任意投入4信箱，共有34种投法. ④相同元素的分配问题（不定方程组的个数）——隔板问题.⎪⎩⎪⎨⎧≤∈∈⋯=+⋯++nm N n m N x x x n x x x m m ,,,,,,**2121，共有11--m n C 组不同的解. 例12.26 按以下要求分配6本不同的书，各有几种方法？ （1）平均分配给甲、乙、丙3人，每人2本；（2）平均分成3份，每份2本；（3）分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）甲、乙、丙3人，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（5）分成3份，一份4本，另两份各1本；（6）甲、乙、丙3人，一人得4本，另外两个人每人得1本；（7）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本. 解析 （1）解法一：（分步计数原理）因为要分给甲、乙、丙3人，可分三步完成，先从6本书中选择2本分给甲，其方法有26C 种；再从余下的4本中选2本分给乙，其方法有24C 种，最后的两本分给丙，方法有22C 种.有分步计数原理，故所求的分配方法有26C 24C 22C =90种.解法二：（定序问题全排消序法）把分配给甲、乙、丙的3堆书看成无序排列（分到每个人的两本书是无序的）即定序问题，故考虑使用定序问题全排消序法求解，共有22222266A A A A 种分法.解法三：（先（平均）分组后分配）把6本书平均分成3份，每份2本的方法有33222426A C C C 种，再分配3个人的方法有33A种。

排列组合知识点总结 +典型例题及答案解析一．根根源理1．加法原理：做一件事有n 类方法，那么完成这件事的方法数等于各样方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，那么完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或地址赞同重复使用，求方法数常常用根根源理求解。

二．排列：从n 个不相同元素中，任取m〔 m≤ n 〕个元素，依照必然的序次排成一列，叫做从 n个不相同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A n m .1. 公式： 1. A n m n n 1 n 2 ⋯⋯ n m 1n!n m !2.规定： 0!1(1) n!n ( n 1)!,( n 1) n! (n 1)!(2)n n! [( n 1) 1] n! (n 1) n! n! (n 1)!n! ；(3)n n 1 1n1111(n1)!(n1)!( n1)!(n 1)!n!( n 1)!三．组合：从 n 个不相同元素中任取m〔m≤n〕个元素并组成一组，叫做从n 个不相同的 m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作Cn 。

1. 公式：C n m A n m n n 1 ⋯⋯ n m1n!定： C n01A m m m!m! n m !2.组合数性质： C n m C n n m，C n m C n m 1 C n m1， C n0 C n1⋯⋯ C n n2n①；②；③；④注： C r r C r r1C r r2L C n r1C n r C r r11C r r1C r r2 L C n r1C n r C r r21C r r2L C n r1 C n r C n r11假设C n m1C n m2 m1 =m 2或 m1+m 2n四．办理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事〔审题〕②有序还是无序③分步还是分类。

2．解排列、组合题的根本策略〔1〕两种思路：①直接法；②间接法：对有限制条件的问题，先从整体考虑，再把不吻合条件的全部状况去掉。

二级结论专题13排列组合、二项式定理二级结论1：排列组合中的分组与分配【结论阐述】①“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组，使用分步组合法；②“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组．不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m个组的元素是均匀的，都有A m m种顺序不同的分法只能算一种分法；③对于非均匀编号分组采用分步先组合后排列法，部分均匀编号分组采用分组法；④平均分堆问题倍缩法采用缩倍法、除倍法、倍除法、除序法、去除重复法）；⑤有序分配问题逐分法采用分步法）；⑥全员分配问题采用先组后排法；⑦名额分配问题采用隔板法（或元素相同分配问题隔板法、无差别物品分配问题隔板法）；⑧限制条件分配问题采用分类法．【应用场景】需要根据题意判断出符合题意的分组、分配方式，涉及平均分配、部分平均不定向分配、非平均不定向分配，以及分类、分步计数原理等．【典例指引1】1．某高校从某系的10名优秀毕业生中选派4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？【典例指引2】2．有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？【针对训练】（2022·江苏省苏州）3．现有5个不同的小球，放到标号分别为①②③的三个空盒中，每个盒子至少放一个小球，有（）种不同的放法A．240种B．150种C．360种D．540种4．将20个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为（）A．1615B．1716C．286D．3645．10个相同的小球放在三个编号为1，2，3的盒中，每盒至少1个，有_________种方分法.（2022·重庆巴蜀中学高二）6．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34（2022·山西·芮城）7．有3个完全相同的标号为1的小球和两个标号为2，3的小球，将这5个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，则不同的放法总数为（）A ．45B ．90C ．24D ．150（2022·山西省长治市）8．某社区服务站将5名志愿者分到3个不同的社区参加活动，要求每个社区至少1人，不同的分配方案有（）A ．360种B ．300种C ．90种D ．150种（2022·江苏·昆山）9．（1）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，共有多少种放法；（2）4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有一个盒子空，共有多少种放法；（3）10个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，每个盒子不空，共有多少种放法；（4）4个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子，恰有两个盒子空，共有多少种放法？10．按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;二级结论2：()()(),mn nax by cx dy ax by cz ++++型的系数【结论阐述】一、三项展开式中的特定项（系数）问题的处理方法：（1）通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法求解；（2）将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形；（3）也可以按照推导二项式定理的方法解决问题．二、几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题的处理方法：可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．【应用场景】对于()()(),mn nax by cx dy ax by cz ++++型系数问题，可以采用相应的方法解决问题。

组合中的均匀分组问题的一些教学体会分组问题中基本的平均分组问题是教学中的一个重点和难点。

某些分组问题看似有是无顺序，但是用简单的分组方法却又包含了顺序。

而何时该考虑顺序，何时又不该考虑顺序，对于某些学生来说却是不是那么容易弄清楚的。

下面我就通过下面几个例子谈谈自己在教学中对这些问题的一些体会和做法。

例1 六本不同的书，分为三组，每组两本，有多少种分法？在教学的过程中发现会有学生做如此的分析：由于分组与顺序无关，是组合问题，所以分组数是624222C C C =90(种)这是平均分配的问题，而采用上述做法得出的90种分组实际上重复了6次。

由此可以看出学生对元素的是否有顺序，而何时应该考虑顺序，何时应该不考虑顺序还不太清楚。

为了更直观的说明问题，不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。

90种的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，所以应该除以组数的全排列数33P ，于是分法是62422233C C C P =15(种)。

练习. 从7个参加义务劳动的人中，选出6个人，分成两组，每组都是3人，有多少种不同的分法？例2 六本不同的书，分为三组，一组一本，一组二本，一组三本，有多少种分法？分析：先分组，方法是615233C C C ，那要不要除以33P 呢？学生就会分不清是否要除以33P 。

问题与例1貌似相同，但实际上是不同的。

观察发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C =60(种) 分法。

例2是为了说明均匀分组和不均匀分组之间的区别了联系，加深学生的对均匀分组理解。

例3 六本不同的书，分为三组，一组四本，另外两组各一本，有多少种分法？分析：这题是部分均匀分组问题，只要学生把上面二个问题弄清楚，那这个问题就变得容易了。

排列组合中的分组分配问题一、 提出分组与分配问题，澄清模糊概念n 个不同元素按照某些条件分配给k 个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n 个不同元素按照某些条件分成k 组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。

分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。

二、基本的分组问题理论部分：平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以A(m,m)，即m!，其中m 表示组数。

例如 把abcd 分成平均两组有_____多少种分法？例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？C 4 2 C 22 A 2 2 3ab cd ac bd ad bccdbd bc ad ac ab这两个在分组时只能算一个①每组两本.22264233C C CA②一组一本，一组二本，一组三本.615233CCC③一组四本，另外两组各一本.41162122C C CA=15(种)定向分配④乙两本、丙两本.222642C C C=90(种⑤甲一本、乙两本、丙三本.615233CCC=60(种)⑥甲四本、乙一本、丙一本.411621C C C=30(种不定项分配⑦每人两本.22264233C C CA33A=90(种)⑧一人一本、一人两本、一人三本. 615233CCC33A=360⑨一人四本、一人一本、一人一本.41162122C C CA33A=90⑩6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本。

540本不定向分配题的一般原则：先分组后排列11结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m1，m2，…，mp ，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmmmmn n m n m m mkkC C C CA---⋯。