2013春西南大学《线性代数》第2次作业答案

===================================================================================================1：[论述题]线性代数模拟试题三参考答案：线性代数模拟试题三参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题四参考答案：线性代数模拟试题四参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题五参考答案：线性代数模拟试题五参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题六 一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a = ( ). 2. 设A 是4×3矩阵，R (A ) = 2，若B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020201，则R (AB ) = ( ).3. 设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则数t = ( ).4. 已知向量,121,3012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k βαα与β的内积为2，则数k = ( ).5. 已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为( ).二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵，m ≠n , 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是( ). (A) B T A T (B) A T B T (C) ABA (D) BAB2. 向量组α1，α2，…，αS (s >2)线性无关的充分必要条件是( ). (A) α1，α2，…，αS 均不为零向量(B) α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例 (C) α1，α2，…，αS 中任意s -1个向量线性无关(D) α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s -1个向量线性表示===================================================================================================3. 设3元线性方程组Ax = b ，A 的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1 + η2 = (2,0,4)T ，η1+ η3 =(1，-2，1)T ，则对任意常数k ，方程组Ax = b 的通解为( ).(A) (1,0,2)T + k (1,-2,1)T (B) (1,-2,1)T + k (2,0,4)T (C) (2,0,4)T + k (1,-2,1)T (D) (1,0,2)T + k (1,2,3)T 4. 设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111(B) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111(D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3332221115. 二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4,)=43242322212x x x x x x ++++的秩为( ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)1. 设A 为n 阶方阵，n ≥2，则|-5A |= -5|A |. ( )2. 设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a = 3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为5. ( ) 3. 设A = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321, 则|A *| = -2. ( )4. 设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E - A 为可逆矩阵. ( )5. 设λ = 2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵(A 2)-1必有一个特征值等于41. ( ) 四、(10分) 已知矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210011101，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103， (1) 求A 的逆矩阵A -1. (2) 解矩阵方程AX = B .===================================================================================================五、(10分)设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21302α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=147033α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02114α，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.六、(10分) 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++322023143243214321x x x x x x x x x x x 的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)七、(15分) 用正交变换化二次型f (x 1, x 2, x 3)=2331214x x x x +-为标准形，并写出所用的正交变换.八、(10分) 设a ，b ，c 为任意实数，证明向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112b α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0013c α，线性无关.参考答案：线性代数模拟试题六参考答案 一、填空题1. 0.2. 23.2.4.32. 5. k > 2. 二、单项选择题1(B). 2(D). 3(D). 4(B). 5(C). 三、判断题1. (⨯). 2(⨯). 3(√). 4(⨯). 5(√).===================================================================================================四、Solution (1)由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-100210011110001101100210010011001101211r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→+-++111100122010112001111100011110001101132332111r r r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→-11110012201011200121r ，因此，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1111221121A .(2) 因为B AX =，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==-3222342254100111031111221121B A X .五、Solution 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+-+400027120330130101424271210311301,,,4321214321r r r r αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔+--+-00001000011013011000000001101301100001100110130143324231141312r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→+-0000100001100301131r r , 于是，421,,ααα是极大无关组且2133ααα+=.===================================================================================================六、Solution 将增广矩阵B 化为行最简形得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-322103221011111322100112311111213r r B⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→++000003221021101000003221011111123211r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-00000322102110121r ， 这时，可选43,x x 为自由未知量.令0,043==x x 得特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0032*η.分别令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,0143x x 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021,012121ξξ. 原线性方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00321021012121k k x ，其中21,k k 为任意常数.七、Solution 所给二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=102000201A ，)3)(1(122110200201||λλλλλλλλλλ-+=-----=-----=-E A ，===================================================================================================所以A 的特征值为-1，0，3.当1-=λ时，齐次线性方程组=+x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p . 当0=λ时，齐次线性方程组=-x E A )0(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0102ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102p .当3=λ时，齐次线性方程组=-x E A )3(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210213p .取()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23213y y f +-=.===================================================================================================八、Proof 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-001010100001011100001011111,,341311321c b a c b a c b ar r r r ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔↔↔+-+-+-00010*********0000010001001010000100433241212324r r r r r r r cr r br r ar , 于是321,,ααα的秩为3，所以321,,ααα线性无关.1：[论述题]一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023, B =,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2. 设A 为33⨯矩阵, 且方程组Ax = 0的基础解系含有两个解向量, 则R (A ) = ( ). 3. 已知A 有一个特征值-2, 则B = A 2+ 2E 必有一个特征值( ). 4. 若α=(1, -2, x )与),1,2(y =β正交, 则x y = ( ). 5. 矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 如果方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解，则k = ( ).(A) -2 (B) -1===================================================================================================(C) 1 (D) 22. 设A 为n 阶可逆方阵，下式恒正确的是( ). (A) (2A )-1 = 2A -1 (B) (2A )T = 2A T (C) [(A -1)-1]T = [(A T )-1]T (D) [(A T )T ]-1 = [(A -1)-1]T3. 设β可由向量α1 = (1，0，0)，α2 = (0，0，1)线性表示，则下列向量中β只能是( ). (A) (2，1，1) (B) (-3，0，2) (C) (1，1，0) (D) (0，-1，0)4. 向量组α1 ，α2 …，αs 的秩不为s (s 2≥)的充分必要条件是( ). (A) α1 ，α2 …，αs 全是非零向量 (B) α1 ，α2 …，αs 全是零向量(C) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 (D) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个零向量 5. 与矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是( ).(A) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001(B) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011(C) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001(D) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设A 为三阶方阵且|A | = -2，则|3A T A | = -108. ( )2. 设A 为四阶矩阵，且|A | = 2，则|A *| = 23. ( ) 3. 设A 为m n ⨯矩阵，线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的行向量组线性无关. ( )4. 设A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则E B E A λλ-=-. ( )5. 设二次型,),(23222132,1x x x x x x f +-=则),(32,1x x x f 负定. ( )四、 (10分) 计算四阶行列式1002210002100021的值.===================================================================================================五、(10分) 设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011, B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011,且A , B , X 满足E X B A B E =--T T 1)( . 求X , X .1-六、(10分) 求矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-311111002的特征值和特征向量.七、(15分) 用正交变换化二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=为标准型,并写出所作的变换.八、(10分) 设21,p p 是矩阵A 的不同特征值的特征向量. 证明21p p +不是A 的特征向量.参考答案： 一、填空题1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛241010623. 2. 1. 3. 6. 4. 0.5. 2322312121324x x x x x x x +-++. 二、单项选择题1(B). 2(B) . 3(B) . 4(C) . 5(A) . 三、判断题1.( ⨯). 2(√). 3(⨯). 4(√). (5) (⨯). 四、Solution 按第1列展开，得===================================================================================================210021002)1(2100210021)1(110022100021000211411++-⋅+-⋅= 158)1(21-=⋅-⋅+=.五、Solution 由于E X B A B E =--T T 1)(，即[]E X A B E B =--T1)(，进而()E X A B =-T ，所以()[]1T --=A B X .因为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100020002TA B ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100021000211000200021X . 六、Solution 因为λλλλλλλ----=----=-3111)2(31111102||E A321)2(3111)2(3212)2(12λλλλλλλ-=--=----=+c c , 所以A 的特征值为2.对于2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0与0321=+-x x x 同解，其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,01121ξξ，于是，A 的对应于2的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101121k k ，其中21,k k 不全为0. 七、Solution 所给二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A .===================================================================================================因为λλλλλλλ---=---=-3223)2(32023002||E A )1)(5)(2(3121)5)(2(3525)2(121λλλλλλλλλλ---=---=----=+c c , 所以A 的特征值为1, 2, 5.当1=λ时，齐次线性方程组=-x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212101p . 当2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012p .当5=λ时，齐次线性方程组=-x E A )5(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212103p .===================================================================================================取()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2102121021010,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23222152y y y f ++=. 八、Proof 令21,p p 是A 的对应于不同特征值21,λλ的特征向量，即111p Ap λ=,222p Ap λ=.假设21p p +是A 的对应于λ的特征向量，即)()(2121p p p p A +=+λ. 由于22112121)(p p Ap Ap p p A λλ+=+=+，所以)(212211p p p p +=+λλλ，于是=-+-2211)()(p p λλλλ0. 根据性质4，知021=-=-λλλλ，进而21λλ=，矛盾.。

第二章 矩阵及其运算课后习题答案1．已知线性变换：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=,323,53,22321332123211y y y x y y y x y y y x 求从变量321,,x x x 到变量321,,y y y 的线性变换． 解由已知：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947xx x y x x x y x x x y 2．已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=,54,232,232133212311y y y x y y y x y y x ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=,3,2,3323312211z z y z z y z z y 求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换． 解 由已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z因此有 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x3．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111111A ,,150421321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=B 求.23B A A AB T 及- 解 A AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=22942017222132 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0926508504．计算以下乘积：(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; (2)()⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1233,2,1; (3)()2,1312-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412; (5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321),,(x x x a a a a a a a a a x x x ; (6)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=49635(2)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123321)10()132231(=⨯+⨯+⨯=(3)()21312-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142 (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876(5)()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321x x x a a a a a a a a a x x x()333223113323222112313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a ++++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=(6) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=90003400421025215．设⎪⎭⎫⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫⎝⎛=2101B ，问： (1)BA AB =吗?(2)2222)(B AB A B A ++=+吗?(3)22))((B A B A B A -=-+吗?解 (1)⎪⎭⎫⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B . 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB ⎪⎭⎫⎝⎛=8321BA BA AB ≠∴ (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫⎝⎛=2914148但=++222B AB A ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛43011288611483⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610 故2222)(B AB A B A ++≠+ (3) =-+))((B A B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛10205222⎪⎭⎫⎝⎛9060 而 =-22B A =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛430111483⎪⎭⎫ ⎝⎛7182故 22))((B A B A B A -≠-+6．举反列说明以下命题是错误的: （１）假设02=A ,那么0=A ;（２）假设A A =2,那么0=A 或E A =; （３）假设AY AX =,且0≠A ,那么Y X =. 解 (1) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0010A , 02=A ,但0≠A (2) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0011A , A A =2,但0≠A 且E A ≠ (3) 取⎪⎭⎫⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y . AY AX =且0≠A 但Y X ≠.7．设⎪⎭⎫⎝⎛=101λA ,求k A A A ,,,32 . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛=12011011012λλλA ; ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A 利用数学归纳法证明: ⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k当1=k 时,显然成立,假设k 时成立,那么1+k 时⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1)1(01101101λλλk k A A A k k由数学归纳法原理知:⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k8．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ001001A ,求kA .解 第一观看⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A由此推测 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k kk k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121)2(≥k用数学归纳法证明:当2=k 时,显然成立.假设k 时成立，那么1+k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ由数学归纳法原理知: ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(1219．设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T 也是对称矩阵. 证明 已知：A A T =那么 AB B B A B A B B ABB T T T T TT T T===)()(从而 AB B T 也是对称矩阵.10．设B A ,都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是BA AB =. 证明 由已知：A A T = B B T =充分性：BA AB =⇒A B AB TT=⇒)(AB AB T=即AB 是对称矩阵. 必要性：AB ABT=)(⇒AB A B T T =⇒AB BA =.11．求以下矩阵的逆矩阵：(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221； (2)⎪⎭⎫⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ； (3)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021)0(21≠a a a n解 (1) ⎪⎭⎫⎝⎛=5221A , 1=A ..1 ),1(2 ),1(2 ,522122111=-⨯=-⨯==A A A A⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=*122522122111A A A A A . *-=A A A 11⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225(2) 01≠=A 故1-A 存在θθθθcos sin sin cos 22122111=-===A A A A从而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-θθθθcos sin sin cos 1A(3) 2=A , 故1-A 存在024312111==-=A A A 1613322212-==-=A A A 21432332313-==-=A A A故 *-=A A A 11⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1716213213012(4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n a a a A 0021. 由对角矩阵的性质知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 1001121112．解以下矩阵方程：(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; (2) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311111012112X ;(3) ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解(1) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫⎝⎛-=80232 (2)1111012112234311-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=32538122(3)11110210132141--⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111 (4) 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20143101213．利用逆矩阵解以下线性方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++;353,2522,132321321321x x x x x x x x x (2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--.0523,132,2321321321x x x x x x x x x解 (1) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x(2) 方程组可表示为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----012523312111321x x x故 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x14．设O A k=(k 为正整数), 证明：121)(--++++=-k A A A E A E . 证明 一方面， )()(1A E A E E --=-另一方面，由O A k=有)()()(1122k k k A A A A A A A E E -+--+-+-=-- ))((12A E A A A E k -++++=-故 )()(1A E A E ---))((12A E A A A E k -++++=- 两头同时右乘1)(--A E就有121)(--++++=-k A A A E A E15．设方阵A 知足O E A A =--22,证明A 及E A 2+都可逆,并求1-A 及1)2(-+E A .证明 由O E A A =--22得E A A 22=-两头同时取行列式: 22=-A A即 2=-E A A ,故 0≠A . 因此A 可逆,而22A E A =+0222≠==+A A E A 故E A 2+也可逆.由O E A A =--22E E A A 2)(=-⇒E A E A A A 112)(--=-⇒)(211E A A -=⇒- 又由OE A A =--22E E A A E A 4)2(3)2(-=+-+⇒E E A E A 4)3)(2(-=-+⇒11)2(4)3)(2()2(--+-=-++∴E A E A E A E A)3(41)2(1A E E A -=+∴-16．设A 为3阶矩阵，21=A ，求*13)2(A A --。

2013年春季1答案一、1. (1)6mn -； 2. 、 2 ； 3. 3 ； 4. 1/3 ； 5. 105 ；6.QP . 二、1、D ； 2、B ； 3、A ； 4、C ； 5、D ； 6、D. 三、1、因为0(,1,2,3)ij ij a A i j +==，所以,ij ij A a =-故,T A A *=-有23,0,1A A A A -===-有或，当0,0A A ==有，矛盾 所以1A =-2、2. 设12311,,23ααα到133221,,αααααα+++的过渡矩阵为A ，即()12233112311,,,,23A ααααααααα⎛⎫+++= ⎪⎝⎭因为()1231231111,,,,23213αααααα⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭()()122331123101,,,,110011ααααααααα⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭因此()()1223311231231111,,,,,,23213A A αααααααααααα⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫⎪+++== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭这说明11011110201113A ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭因此111011101101111021102202011301103313A -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭3. 设()1,,s B ββ=，因此()()110,,,,s s AB A A A ββββ===，这说明10s A A ββ===，即1,,s ββ是0Ax =的解，因此可以被0Ax =的基础解系线性表出，因此(){}()1,,s r B n r A ββ=≤-秩，即()()r A r B n +≤4. 因为()1234152515251525152536330991801120112,,,2215012315009900111011051600440000αααα--------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪-----⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎪⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭因此{}1234,,,3αααα=秩，一个极大线性无关组为123,,ααα，化为行简化形式为()123410020101,,,0011000αααα⎛⎫⎪-⎪→ ⎪⎪⎝⎭因此41232αααα=-+四、证明：因为(113221,,,,αααααααα++++-n n n )=(n ααα,,,21 )⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111AB = 因为det(B)=1+n +-1)1(，所以，当n 为奇数，det(B)≠0，,,21αα…,n α线性无关。

第二章向量组的线性相关性§2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题1. 设3 α1−α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,−1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T .2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,则线性组合α1−3α2+α3= (−5,0,2)T .3. 设矩阵A= ，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2−β3= (−2,8,−2)T .二、试确定下列向量组的线性相关性1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0−3k2−k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。

2. α1=(1,−1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,−1)T, α3=(5,−3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。

解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 110 +k2 13−1 +k3 5−3t =0即k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2−4k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0(t−4)k3=0所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。

解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=−k1a1−k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=−k1k1+k2a1−k2k1+k2a2.五、已知向量组α1,α2,⋯,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,⋯,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,⋯,β2n线性相关。

全国2013年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分) 1．设行列式1122a b a b =1，1122a c a c =-2，则111222a b c a b c ++=（ ） A ．-3 B ．-1 C ．1 D ．3 2．设矩阵A =10010021003⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A -1=（ ） A ．001020300⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ B ．100020003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ C ．300020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．003020100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3．设A 为m ×n 矩阵，A 的秩为r ，则（ ） A ．r =m 时，Ax =0必有非零解 B ．r =n 时，Ax =0必有非零解 C ．r<m 时，Ax =0必有非零解D ．r<n 时，Ax =0必有非零解4．设4阶矩阵A 的元素均为3，则r(A )=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．设1为3阶实对称矩阵A 的2重特征值，则A 的属于1的线性无关的特征向量个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A 为2阶矩阵，将A 的第1行加到第2行得到B ，若B =1234⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A =__________．7．设A 为3阶矩阵，且|A |=2，则|2A |=__________．8．若向量组12(2,1,),(4,,4),T T a a ==αα线性无关，则数a 的取值必满足__________． 9．设向量T T (1,0,1),(3,5,1)==αβ，则2-βα=__________． 10．设A =111221223132a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，b =123b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若非齐次线性方程组Ax =b 有解，则增广矩阵A 的行列式A =__________．11．齐次线性方程组x 1+x 2+x 3=0的基础解系中所含解向量的个数为__________． 12．设向量(3,4)T =-α，则α的长度α=__________． 13．已知-2是矩阵A =022x -⎛⎫⎪⎝⎭的特征值，则数x =__________．14．已知矩阵A =122212221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与对角矩阵D =10001000a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则数a =__________．15．已知二次型222123123(,,)f x x x x x tx =++正定，则实数t 的取值范围是__________． 三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分） 16．计算行列式D =222222a b c a ab b ac b c c c a b------. 17．已知向量11(1,2,),(1,,),23k ==αβ且3,T T ==A βααβ，求（1）数k 的值； （2）A 10.18．已知矩阵A =123231340⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，B =101200-⎛⎫ ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使得XA =B .19．求向量组1234(1,0,2,0),(1,1,2,0),(3,4,4,1),(6,14,6,3)T T T T ==---=--=--αααα的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.20．已知齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系为12231,001ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求r(A )及该齐次线性方程组.21．设向量组123(1,1,1,1),(1,1,0,0),(1,1,2,0)T T T =--==-ααα.求一个非零向量4α，使得4α与123,,ααα均正交.22．用配方法化二次型22123121323(,,)2248f x x x x x x x x x =--+为标准形，并写出所用的可逆性变换.四、证明题（本题7分）23．设A 是m ×n 矩阵，证明齐次线性方程组Ax =0与A T Ax =0同解.全国2013年10月线性代数(经管类)试题答案课程代码：04184一、单项选择题(本大题共5小题，每小题1分，共5分)1-5 BBDAC二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．1222⎛⎫ ⎪⎝⎭7．16 8．2a = 9．T(1,5,1)- 10．0 11．2 12．5 13．-4 14．5 15．(0,)+∞三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16．解：311111122002200a b c b b a c b a b c a b c a b c c c c a b a b c++--=++---=++-----原式=（）（）（）. 17．解：（1）因为1113, 3.3k k =++==T 则βα（2）A 1011231099991122333211(()332(1,,)321331⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T T T )= αβ αβαβαβ 18.解：（A T ，B T ）= 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 234 0 00-1-2 -2 -40-1-2 -2 -43 10 -1 00 -5-9 -4 -60 0 1 6 14⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1 2 0 -17 -40 1 0 0 3 8 0-1 0 10 24010 -10 -240 0 1 6 140 01 6 14⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则T 3 8 X -10 -24 6 14⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故 3 -10 6X 8 -24 14⎛⎫= ⎪⎝⎭19．解：1234 1 -1 -3 -6 1 -1 -3 -6 1 -1 -3 -6 0 -1 4 14 0 -1 4 14 0 1 -4 -14 (,,,) 2 -2 -4 -6 0 0 2 60 0 1 30 0 1 3 0 0 1 3 ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪αααα=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0 0 0 0 ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1 -1 0 3 1 0 0 1 0 1 0 -2 0 1 0 -2 0 0 1 30 0 1 30 0 0 00 0 0 0⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向量组的秩为3，一个极大线性无关组为123,,ααα，且412323α=α-α+α. 20．解：易知n =3，且()2,n r A -=则r(A )=1又自由未知量为23,x x ，则0Ax =同解方程组为12323x x x =-+，即123230x x x +-=为所求方程组. 21．解：设41234(,,,)x x x x α=，由于4α与123,,ααα均正交，则123412123002 0x x x x x x x x x --+=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，系数矩阵 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 0 0 0 2 1 -11 -1 2 00 0 3 -1A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2133111122331113331 -1 0 1 0 0 1 -1 -1 10 1 -0 1 0 -0 1 0 -0 0 1 -0 0 1 -0 0 1 -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭同解方程组为1143124431343,x x x x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩为自由未知量一个基础解系为T (1,1,1,3)-，即T 4(1,1,1,3)=-α.22．解：配方法得22212313233(,,)2()2(2)6f x x x x x x x x =---+，令113223332y x x y x x y x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即可逆线性变换为1122331 0 -10 1 -20 0 1y x y x y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故标准行为222123123(,,)226f y y y y y y =-+.四、证明题（本题7分）23．证明：22212120,0,0.0()0,,()0,0(1,2,),0000.T T T T T T T T n n i T A A A A Ax A A A A A A A a a a A A a a a a i n A Ax Ax A Ax =======+++======设则即是的解若，则令（,,,）则=故即=，是的解.综上可知，和同解ξξξηηηηηηηηηη。

1. 241110331032350382A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，110020130350011361B C --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2410204222323032011091A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2.由32A X B -=可得()341231010283211153312111125211222234221171157115222X A B ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=---=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦.3. 由22422243a b a b c d c d +--⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭可得，24222423a b a b c d c d +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩ 解方程组可得0,2,1,2a b c d ====. 4.设()ijm nA a ⨯=，当kA O =时，由零矩阵定义，有0ij ka =,则0k =或0ij a =，即0k =或A O =.5．（1）()()()323122382031237243181141142184011437813203515112581051137402++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-+-+--+=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ .（2）()()()1311113213804220142232701371021310-+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=+-+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. （3）()()()()()13121110132101312111013210321023222120264203332313039630-⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ .（4）()()()()1132211322151⎡⎤⎢⎥=++-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. （5）()()()()210112113121121111120101321101-⎡⎤⎢⎥-=-+--+-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()325=--.（6）()()111211222211121122221212111a a b x x xy a a b y a x a y b a x a y b b x b y c y b b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()111211222212a x a y b x a x a y b y b x b y c =++++++++()2212111222222c b x b y a x a xy a y =+++++.6．21010101121A λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3210101021131A A A λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，我们猜测101nA n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，下面用归纳法证明：当1n =时成立；假设当1n -时成立，则()()110101010111111nn A A A n n n λλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此101n A n λ⎛⎫=⎪⎝⎭.7．（1）设cos sin sin cos A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭， 则2cos 2sin 2sin 2cos 2A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，3cos3sin3sin3cos3A θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此，我们猜测cos sin sin cos nn n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，下面用归纳法证明：当1n =时成立；假设当1n -时成立，则()()()()1cos 1sin 1cos sin sin 1cos 1sin cos n n n n A A A n n θθθθθθθθ----⎛⎫-⎛⎫==⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()()cos 1cos sin 1sin cos 1sin sin 1cos sin 1cos cos 1sin sin 1sin cos 1cos n n n n n n n n θθθθθθθθθθθθθθθ-------⎛⎫=⎪-+---+-⎝⎭cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，因此cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭.（2）设142032043A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则2100010001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以2100010001k A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，21142032043k A +⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 即()()()()()()122111012111022121n nn nnn n A ⎡⎤----⎢⎥⎢⎥=-+--+-⎢⎥----⎢⎥⎣⎦.（3）设1111111111111111A ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦，则 241111111140001111111104004111111110040111111110004A E ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎢⎥------ ⎪⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥------ ⎪⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 所以244k k A E ==，2111111111411111111k k A +---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦. （4）1112233111121311112233112233212223313233()()()()T T T T T T T T n Tnn n T n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ----===++⎡⎤⎢⎥=++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦8, （1）设矩阵11122122x x B x x ⎛⎫=⎪⎝⎭与矩阵A 可交换， 则112112222122x x x x AB x x ++⎛⎫=⎪⎝⎭，111112212122x x x BA x x x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，由AB BA =得210x =，1122x x =.（2）设矩阵111213212223313233x x x B x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵A 可交换， 则212223313233000x x x AB x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111221223132000x x BA x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 由AB BA =得2131320x x x ===，112233x x x ==，1223x x =9. 设矩阵111213212223313233x x x B x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵A 可交换，则111213212223313233ax ax ax AB bx bx bx cx cx cx ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111213212223313233ax bx cx BA ax bx cx ax bx cx ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 由AB BA =得2131321213230x x x x x x ======，即与A 可交换的矩阵必为对角距阵. 10. 因为A T=A , 所以(P TAP)T=P T(P TA)T=P T A TP =P TAP ，从而P TAP 是对称矩阵. 11. 证明充分性: 因为A T=A , B T=B , 且AB =BA , 所以 (AB)T=(BA)T=A T B T=AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T=AB , 所以AB =(AB)T=B T A T=BA.12.（1）因为AB BA =，所以()222222A B A AB BA B A AB B +=+++=++，得证.（2）因为AB BA =，所以右边2222A AB BA B A B =-+-=-=左边，得证. （3）因为AB BA =， 所以()()()()()()()()()()()()()1p p pAB AB AB AB AB AB AB A BA BA BA BA BA BA B -==()()()()()()()()()()1222p p A AB AB AB AB AB AB B A BA BA BA BA B --==()()()()()()()()()23223311p p p p p pA AB AB AB AB B A AB AB AB AB B A AB B A B ----===== ；如果AB BA ≠，则上述等式不成立. 13, 1001A -⎛⎫=⎪-⎝⎭14, 充分性：因为2B E =， 所以()()()22111222442A B E B E B E B A =++=+=+=； 必要性：因为2A A =， 所以()()()22111222442A B E B E B B E =++=+=+， 整理得2B E =.15, 因为A 是反对称矩阵，B 是对称矩阵， 所以TA A =-，TB B =， （1）()()()22TT T AA A A A A ==--=，即2A 是对称矩阵.（2）()()()()()TTTT T T TAB BA AB BA B A A B B A A B AB BA -=-=-=---=-，即AB BA -是对称矩阵.（3）充分性：因为AB BA =，所以()()TT TAB B A B A BA AB ==-=-=-，即A 是反对称矩阵；必要性：因为A 是反对称矩阵，所以()()TT TAB B A B A BA AB ==-=-=-，即AB BA =. 16,设111211112222121121111121n n n n n n n n n n nnn nnn a a a a a a a a A a a a a a a a a --------⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 则2A 主对角线上的元素分别为22221112111n n a a a a -++++ ，22221222212n n a a a a -++++ ，…，2222121n n n n nn a a a a -++++ ，又因为2A O =，所以222211121110n n a a a a -++++= ，222212222120n n a a a a -++++= ，…，22221210n n n n nn a a a a -++++= ，解得11121222320n n nn a a a a a a a ========== ， 即A O =.17.设111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，则112111222212m m T nn mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 222111212222122222212n Tn m m mn a a a a a a AA a a a ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦因为TAA O =，则222111210n a a a +++= ，222212220n a a a +++= ，…，222120m m mn a a a +++= ， 所以1112121222120n n m m mn a a a a a a a a a ======+==+++= ，即A O =. 18，（1）2111111141132222232323872341A A --------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）321411141110325432548723872301A A A E ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭91128554024303221316141015046036-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 19，因为()21fλλλ=-+，所以()21551222310014391331100100531371331200110612f A A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20，11A d =，12A c =-，21A b =-，22A a =，所以d b A c a *-⎛⎫= ⎪-⎝⎭.若0ad bc -≠，则0A ad bc =-≠，所以矩阵A 可逆，11d b ad bc ad bc A A ca A ad bcad bc -*⎛⎫-⎪--==⎪ ⎪-⎪--⎝⎭. 21，11A d =，12A c =-，21A b =-，22A a =， 所以d b A c a *-⎛⎫=⎪-⎝⎭.若0ad bc -≠，则0A ad bc =-≠，所以矩阵A 可逆，11d b ad bc ad bc A A ca A ad bcad bc -*⎛⎫-⎪--==⎪ ⎪-⎪--⎝⎭. 22.（1）200A =-≠，所以矩阵A 可逆，又112A =-，123A =-，216A =-，221A =，所以113261110103131202020A A A -*⎛⎫ ⎪--⎛⎫=== ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭. （2）10A =≠，所以矩阵A 可逆，又11cos A θ=，12sin A θ=-，21sin A θ=，22cos A θ=，所以1cos sin 1sin cos A A A θθθθ-*⎛⎫== ⎪-⎝⎭. （3）10A =≠，所以矩阵A 可逆，又111A =，120A =，130A =，212A =-，221A =，230A =，317A =，322A =-，331A =，所以11271012001A A A -*-⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭. （4）()()()()2123134141000100010001000112000100020011002213000100130201011214000102141001r r r A E r r r r r r ⎛⎫⎛⎫+-→ ⎪ ⎪- ⎪⎪=+-→ ⎪⎪- ⎪⎪+-→-⎝⎭⎝⎭ ()()32323424100010001000100020130201001302010020011000060312020214100100543021r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-→-- ⎪ ⎪↔ ⎪ ⎪---+-→ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()343100010000130201010014010100543021r r r ⎛⎫⎪- ⎪+-→ ⎪--- ⎪--⎝⎭()()232434100010001110001000010000223010122313111001401010010052630024352615110001824124r r r r r r ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪-⎪⎪+→--- ⎪ ⎪→ ⎪----- ⎪+-→ ⎪⎪--⎝⎭⎪-- ⎪⎝⎭所以，距阵A 可逆，且1100011002211102631511824124A -⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. （5）因为0A =， 所以1A -不存在.（6）50A =≠，所以矩阵A 可逆，又113A =，122A =，131A =-，213A =-，223A =，231A =，311A =-，324A =-，332A =，所以13315551234555112555A A A-*⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. （7）2312223341000100110000100010010100(,)001000100100100001001010001a a a a r ar a a a A E r ar a a r ar -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以，距阵A 可逆，且11110110010001a a A a --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦22，（1）1100500510121012271003403453753712333023023X -⎛⎫⎪⎛⎫⎪---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎪⎝⎭；（2）1100001100001001100a a a a Xb b b bc c c c -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭； （3）111111211000111112100001110120000011000210000100012X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11000211000110012100001000120000011000210000100012-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1110011100011000001100012--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（4）由XP PB =得：111001001002100002102110012111001010010021000021020021101411611X PBP --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦511111111111111151()()()()()()()()()X PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PB P P B P P B P P B P P BP PB P----------------====5B B =，故55100200611X XB X XBX ⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎣⎦23，100110111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故：11210010(2)(2)110120111112100100200110120120011112112A E A A E ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦24，1311110,211A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 由1111*111,,3A A A A A A A ----====－，得*1113A A A A --==，*1**1211211()111,()1119154154A A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦25，1*11210121001210121,0012001200010001A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而*A 中的所有元素即为A 中所有元素的代数余子式，即A 所有元素的代数余子式为0. 26，由题意得：*1()*E A A kA AA kE A E kE -=-+=--=--，即 13k A =--=- 27，（1）.因为2AX B X =+， 所以()2A E X B -=，又因为()111013112111110112211A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则()13112135242110012201211103311X A E B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由题意得：11()()()()AXA BXB AXB BXA EA B X A B E X A B A B --+--=⇒--=⇒=-- 故：11111111125011011012001001001X ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3）由12*0,2n A A AA A ->==⇒=1*1002211002210022A A A A-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⇒=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦由111111133()31263()332231122ABA BA E ABA BA E A E BA E B A E A -------=+⇒-=⇒-=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⇒=-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦28，因为A ，B ，C 都是非奇异矩阵，所以1A -，1B -，1C -存在，又111111ABC C B A C B A ABC E ------==， 则由推论知ABC 可逆，且()1111ABC C B A ----=29，111111AB BA B ABBB BAB B A AB ------=⇔=⇔=，111111AB BA A ABA A BAA BA A B ------=⇔=⇔=， ()()111111AB BA AB BA B A A B ------=⇔=⇔=，综上可得11111111AB BA ABB A A B BA A B B A --------=⇔=⇔=⇔=.30，（1）不成立，A B =-时不成立.（2）成立，A ，B 可逆，0A ≠，0B ≠，0AB A B =≠，则AB 可逆. （3）成立，AB 可逆，0AB A B =≠，0A ≠，0B ≠，则A ，B 可逆. 31，()2200A A E A A E A E A E A -+=⇒-=⇒-=⇒≠， 即A 为非奇异矩阵. 32，因为B 可逆，所以0B ≠，20B B B =≠，又22A AB B O ++=，则22A AB B +=-，()()22210nA AB A A B A A B B B +=+=+=-=-≠，即0A ≠，0A B +≠， 由推论知A 和A B +都可逆. 33，证明：假设*A 可逆，则1*00n A AA -=≠⇒≠，即A 可逆，1A -存在，再由2211A A A A AA A E --=⇒=⇒=与题设A E ≠矛盾，故假设不成立即*A 不可逆，证毕。

线性代数第1次作业本次作业是本门课程本学期的第1次作业，注释如下：一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 下列矩阵中，不是初等矩阵。

(A) (001010100)(B) (100000010)(C) (100020001)(D) (10001−2001)正确答案：B解答参考：初等矩阵一定是可逆的。

2. 设 A为m×n 矩阵，则。

(A) 若m<n，则Ax=b有无穷多个解；(B) 若m<n，则Ax=0有非零解，且基础解系含有n−m个解向量；(C) 若A有n阶子式不为零，则Ax=b有唯一解；(D) 若A有n阶子式不为零，则Ax=0仅有零解。

正确答案：D解答参考：A错误，因为 m<n ，不能保证 R(A)=R(A|b) ；B错误， Ax=0 的基础解系含有 n−R( A ) 个解向量；C错误，因为有可能 R(A)=n<R(A|b)=n+1 , Ax=b 无解；D正确，因为R(A)=n。

3. A、B为 n阶方阵,且A、B等价,| A |=0 ，则R(B) 。

(A) 小于n(B) 等于n(C) 小于等于n(D) 大于等于n正确答案：A解答参考：4. 若A为5阶方阵且|A|=2，则|－2A|= 。

(A) 4(B) －4(C) －64(D) 64正确答案：C解答参考：5. 线性方程组 { a11 x 1 + a12 x 2 +⋯+a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +⋯+ a 2n x n = b 2 ⋯⋯⋯⋯ a m1 x 1 + a m2 x 2 +⋯+ a mn x n = b m 的系数矩阵为 A,增广矩阵为 A ¯ ,则它有无穷多个解的充要条件为。

(A) R(A)=R(A¯)<n(B) R(A)=R(A¯)<m(C) R(A)<R(A¯)<m(D) R(A)=R(A¯)=m正确答案：A解答参考：6. 一个 n维向量组α 1 , α 2 ,⋯, αs (s>1) 线性相关的充要条件是(A) 有两个向量的对应坐标成比例(B) 含有零向量(C) 有一个向量是其余向量的线性组合(D) 每一个向量都是其余向量的线性组合正确答案：C解答参考：7. 设3阶矩阵 A的特征值为 1 , −1 , 2 ，则下列矩阵中可逆矩阵是(A) E−A(B) E+A(C) 2E−A(D) 2E+A正确答案：D解答参考：8. 设α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 Ax=0 的基础解系的是(A) α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3(B) α1+α2,α2+α3,α3−α1(C) α1+α2,α2+α3,α3+α1(D) α1−α2,0,α2−α3正确答案：C解答参考：三、判断题(判断正误，共6道小题)9.如果行列式有两行元素完全相同，则行列式为零。

0044 20201单项选择题1、....2、矩阵A与B相似,则下列说法不正确的是（）.style="text-indent:32px">A与B有相同的特征值... A = B..R(A) = R(B)3、....4、....5、....6、.必有r个列向量线性无关.任意r个列向量都构成最大线性无关组.任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出.任意r个列向量线性无关7、.0.1..0或1..8、.2.4..19、. C. 必有一列向量可有其余列向量线性表示.必有两列元素对应成比例.任一列向量是其余列向量的线性组合.必有一列元素全为010、. D. A有n个互异特征值.A是实对称阵.A有n个线性无关的特征向量.A的特征向量两两正交判断题11、. A.√. B.×12、. A.√. B.×13、. A.√. B.×14、. A.√. B.×15、. A.√. B.×16、. A.√. B.×17、. A.√. B.×18、. A.√. B.×19、. A.√. B.×20、设A、B为两个不可逆的同阶方阵，则|A|=|B| （）. A.√. B.×21、转置运算不改变方阵的行列式、秩和特征值. ( ) . A.√. B.×22、. A.√. B.×23、. A.√. B.×24、. A.√. B.×主观题25、参考答案：26、参考答案：27、设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3，则|A + E| = ( ).参考答案：2428、参考答案：29、参考答案：30、参考答案：31、参考答案：k>132、参考答案：333、参考答案：34、参考答案：35、参考答案：36、参考答案：237、参考答案：38、设线性方程组A x =0，A是4×5阶矩阵，如果R(A)=3，则其解空间的维数为( ).参考答案：239、参考答案：40、参考答案：41、参考答案：42、参考答案：43、参考答案：44、参考答案：45、参考答案：46、参考答案：47、参考答案：48、2.参考答案：49、参考答案：50、参考答案：51、参考答案：52、1.参考答案：53、参考答案：54、参考答案：55、参考答案：56、参考答案：57、参考答案：58、参考答案：59、参考答案：60、参考答案：。