2015版中考大一轮复习数学初中(课件)第22课 特殊三角形

第22课
特殊三角形
基础知识
自主学习
要点梳理
1．等腰三角形： (1)性质： 两腰 相等， 两底角 相等，底边上的高线、中线、 顶角的角平分线“三线合一”； (2)判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰 三角形． 2．等边三角形： (1)性质： 三边 相等，三内角都等于 60° ； (2)判定：三边相等、三内角相等或有一个角是60°的等腰三 角形是等边三角形．
解析
连接 AD.∵AC＝AB＝13，D 为 BC 中点， ∴AD⊥BC. 1 在 Rt△ABD 中，BD＝ BC＝5， 2 ∴AD＝ 132－52＝12. 1 1 又∵S△ABD＝ BD· AD＝ AB· DE， 2 2 AD· BD 5×12 60 ∴DE＝ AB ＝ ＝ . 13 13
答案
C
5．(2011· 鸡西)如图，在Rt△ABC中，AB＝CB，BO⊥AC，把
△ABC折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点E重合，展开后， 折痕AD交BO于点F，连结DE、EF.下列结论：
①tan∠ADB＝2；
②图中有4对全等三角形； ③若将△DEF沿EF折叠，
则点D不一定落在AC上；
④BD＝BF； ⑤S四边形DFOE＝S△AOF，
上述结论中正确的个数是(
A．1个 答案 C B．2个
2．直角三角形的特殊性
直角三角形是重要的基本图形之一，它的特征和识别应用非
常广泛，把勾股定理运用到实际生活中解决实际问题，常常渗透 着数形结合、方程思想．
在利用勾股定理时，一定要看清题中所给的条件是不是直角
三角形，所给的边是直角边还是斜边，如果题目无法确定是直角 边还是斜边，则需要分类讨论．勾股定理的逆定理是把数转化为
3．直角三角形：在△ABC中，∠C＝90°.
(1)性质：边与边的关系：(勾股定理)a2＋b2＝
(2)角与角的关系：∠A＋∠B＝ 90° ；
c2 ；
(3)边与角的关系： 若∠A＝30°，则a＝c，b＝c；
若a＝c，则∠A＝30°；
若∠A＝45°，则a＝b＝c； 若a＝c，则∠A＝45°；
斜边上的中线m＝c＝R.其中R为三角形外接圆的半径．
)
C． 3 个 D． 4 个
解析
沿 AD 折叠，有△ABD≌△AED，
BD＝ED，∠AED＝∠ABD＝90° . 若设 BD＝ED＝a，则 CD＝ 2a， AB＝BC＝a＋ 2a， AB a＋ 2a 所以 tan∠ADB＝BD＝ a ＝1＋ 2， 结论①错误； 图中有△ABO≌△CBO，△ABD≌△AED， △ABF≌△AEF，△BDF≌△EDF
(4)判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形 的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三 角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么 这个三角形是直角三角形．
[难点正本 疑点清源] 1．等腰三角形的特殊性 “等边对等角”是今后我们证明角相等的又一个重要依 据．“等 角对等边”可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证 明 两条线段相等的重要依据． 等边三角形是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角 形，等边三角形拥有等腰三角形的所有性质，但不分顶角、底角、 腰、底边．因为等边三角形任何一个角都为60°，任何一条边都 可看做腰或底边． 解答等腰三角形的有关问题时，常作辅助线，构造出“三线 合 一”的基本图形．在添加辅助线时，要根据具体情况而定，表达 辅
形，是通过计算判定一个三角形是否为直角三角形．
实际问题可根据实际情况转化为直角三角形去解，图中无直 角时，可通过添加辅助线来构造直角三角形．若图形中有特殊 角，如30°、45°、60°的角，在作辅助线时，要注意保留其完 整性，以便应用特殊三角形的性质．
基础自测
1．(2011· 济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm， 那么此三角形的周长是( A．15 cm C．17 cm 答案 解析 D 这个三角形的周长是5＋5＋6＝16或6＋6＋5＝17. ) B．16 cm D．16 cm或17 cm
2 1 2 1 2 2 2 S△AOF＝ · a＝ a ＋ a ， 2 2 a＋a 2 4 4
S 四边形 DFOE＝S△AOF； 结论②④⑤来自确.题型分类题型一
深度剖析
等腰三角形有关边角的讨论
【例 1】 (1)方程x2－9x＋18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个 三角形的周长为( ) A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定 答案 C 解析 解方程x2－9x＋18＝0，得x1＝3，x2＝6，周长为3＋6＋6＝15，应 选C. (2)如果等腰三角形的一个内角是80°，那么顶角是________度． 答案 80或20 解析 顶角是80°，或当底角是80°时，顶角是180°－2×80°＝20°. 探究提高 在等腰三角形中，如果没有明确底边和腰，某一边可以是底， 也可以是腰．同样，某一角可以是底角也可以是顶角，必须仔细分类讨 论．
和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为( )
A．2
B． 4
C．3
D．4
答案
解析
B
在Rt△ABD中，∠ABD＝45°，可得AD＝BD，易证
△BDF≌△ADC，所以DF＝CD＝4.
4．(2011· 凉山)如图，在△ABC 中，AB＝AC＝13，BC＝10， 点 D 为 BC 的中点，DE⊥AB，垂足为点 E，则 DE 等于 ( ) 10 A. 13 15 B. 13 60 C. 13 75 D. 13
共 4 对全等三角形； 画 DG∥AB 交于 AC 于 G，△DEG 是等腰直角三角形， △DEF 沿 EF 折叠，点 D 一定落在 AC 上，结论③错误； AD 平分∠BAC，∠BAD＝22.5° ，∠BDA＝67.5° ， ∠BFD＝22.5° ＋45° ＝67.5° ，BF＝BD； S 四边形 DFOE＝S△DEF＋△OEF 1 1 2 2 1 ＝ a· a· sin45° ＋ a· a· sin45° ＝ a2＋ a2， 2 2 2 4 4
2．(2011· 铜仁)下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是( A．等腰三角形两底角相等
)
B．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互 相重合 C．等腰三角形是中心对称图形 D．等腰三角形是轴对称图形 答案 解析 C 等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．
3．(2011· 芜湖)如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°， F是高AD