高等工程数学- 三、《高等工程数学》(博)

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： 第一章习题（P26） 1．略2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]T a 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T 4．试证：在R 2×2中，矩阵111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦线性无关。

证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。

余略。

5．已知R 4中的两组基：和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。

解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2056133611211013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ 向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。

摘要高等工程数学是工程类硕士研究生的一门重要的数学基础课程，在研究生数学素养的训练、创新能力的提高方面具有重要作用。

内容包含矩阵论、数值计算方法和数理统计三部分，其主要内容有：先行空间与线性变换、内积空间、矩阵的标准型、数理统计的基本概念与抽样分布、参数估计、假设检验、回归分析与方差分析。

关键词：线性空间、假设检验、方差分析一、线性空间的综述简单的说，线性空间是这样一种集合，其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素，任意元素与任意数（可以是实数也可以是复数，也可以是任意给定域中的元素）相乘后得到此集合内的另一元素。

线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。

1.1 数域的概念设P是一个非空数集，且至少含有非零的数，若P中任意两个数的和、差、积、商（除分母为零外）仍属于该集合，则称P是一个数域。

容易验证有理数集合Q、实数集合R与复数集合C都是数域，分别称为有理数域、实数域与复数域。

1.2 线性空间定义设V是一个非空集合，P是一个数域，如果:(1)在集合V上定义一个二维运算（通常称为加法），即对V中任意两个元素x,y经过这个运算后得到的结果，仍是集合V中唯一确定的元素，该元素称为x 与y的和记作x+y.(2)在数域P与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于P任意数λ与V中任意元素x，经过这一运算后所得到的结果，仍是V中唯一确定的元素，称为唯一确定的元素，称为λ与x的数量乘积，记作λ x。

如果加法和数量乘法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间。

1.3线性空间的运算(1)对任意x,y∈V，x+y=y+x;(2)对任意x,y,z∈V，(x+y)+z=x+(y+z);(3)V中存在一个零元素，记作θ，对任意x∈V，都有x+θ=x;(4)对任意x∈V,都有y∈V，使得x+y=θ,元素y称为x的负元素，记作－x;(5)对任意x∈V,都有1x=x;对任何λ，μ∈P，x,y∈V。

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第三章）（此习题答案仅供学员作业时参考。

因时间匆忙，有错之处敬请指正，谢谢！） （联系地址：yangwq@ ）P501． 自己验证范数的三个条件2． 自己验证范数的三个条件3． （1）122222212111121()||||(||)||||||||||||||||(||1),||||||(11)||n n n n nk k i j k k k i j k n k k T nx x x x C x x x x x x x Cauchy Schwartz x x x I I x x I R x ==≠===∈==+∙≥=-=∙=<>≤∙==∈∑∑∑∑∑设，，...，，则有－－(*)另由不等式，有－－(**)其中，，...，1所以由(*)和(**)式有：212||||||||x x ≤≤(（2）121111211111()||||max ||||||||()||max ||||||||max ||||||||||||||||n n nk k k n k n i k k nn i k k n i x x x x C x x x x x x x x x x x x n x n x x x n x ∞≤≤=≤≤∞≤≤=∞∞=∈==≤=≤=≤=≤≤∑∑ 设，，...，，则有－－(*)另外对，，...，的任一分量有所以有：－－(**)所以由(*)和(**)式有：（3）12211212()||||max ||||||()||max ||||||||||||n n k k n n i k k nx x x x C x x x x x x x x x x x x ∞≤≤≤≤∞=∈==≤==≤=≤=设，，...，，则有－－(*)因对，，...，的任一分量有 所以有：－－(**)所以由(*)和(**)式有：2||||||||x x ∞∞≤≤4． 已知1321i A i -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦试求第12|||| ||||||||A A A A ρ∞，，，（）解：12222||||max{2||||max{3121365531215511655||176650(16)(1)5511||||413||(1)162421(H H A A i i i A A i i i i I A A i A iI A i λλλλλλλλλλλλλρ∞====+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦----==-+-=---+-=-+--==-+-=-----因所以)1A ==+5． 证明：(1)211H U U U II U =因是酉矩阵，所以＝而单位矩阵的特征值为，所以(2) 222222)))))H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H U U U IUA UA A U UA A AUA A AU AU U A AU U A A UA A AU AU AU A U AU U AU U A UU AU U A A UA A U AU U AU U AUA =========因是酉矩阵，所以＝（）（所以（）（（）即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值即（）（（）即矩阵与（）（相似，所以有相同的特征值即6． ||||=1||||=1111-1||||=max||||=max||||=11||||=||||||||||||||||||||e e I Ie e I A A A A A A ---=≤∴≥7． (1)证明：假设I －A 不可逆，则|I-A|=0，即1是A 的特征值，所以 ()1()()1A A A A A A ρρρ≥≤<又因为对的任一范数，都有所以由题设知矛盾，所以I －A 可逆(2) 由||||||||||||||||1||||||||||||||||||||11||||1||||1||||I A I A I I A I A A II A I I A AI A I I A A I I A A I A A I A I A A A I A A --⇒--⇒-+-∴-=+-≤+-≤+-∴---≤<-≤- -1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1()()=()-()=()=()()()()()()()由得() 得证明：1||||0.9 ()<1lim k k A A A O ρ→∞=∴∴=（2）2||(2)() ()=2||1|lim 2k k c c I B cc c c B c c c c B O λλλλλρλ→∞---=--=-+∴--∴<= 当|时，9．(1) 解： 21334(4)(1)22()41A A λλλλλλρ--=--=-+--∴=>故发散(2) 因为收敛半径为：R=5，所以收敛10．解： 1210.10.80.60.30.90.534140.90771300.511773490111425371773311311702835377k k A A A A λλ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦==-⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦∑设的特征值为，，所以(1) 222sin 2cos(2)sin 2sin()sin cos()sin cos 2sin(2)cos 2cos()cos sin()cos t tt At t t t e te e e e te e t t t t At t t t t t t t t At t t t t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(2) 222sin 2cos(2)sin 2sin()sin cos()sin cos 2sin(2)cos 2cos()cos sin()cos tt t At t t t e te e e e te e t t t t At t t t t t t t t At t t t t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦12． 解： A 的特征值为：－1，1，22221166110221102211sin 2(2sin 2sin )(sin 22sin )33sin()00sin 0sin 021cos 2(cos 2cos )(co 33cos()t t t t t t t At t t t t t t t t ee e e e e e e e e e e e e e e tt t t t At t t t t t At ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=（4-3-）（2-3+）（）（）（）（）s 2cos )0cos 000cos t t t t ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦13．解： A 的特征值为：1，1，42ln 1110240.5 1.50.50.50.5 2.5A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦-ln4-2ln4+6ln4-1-ln4+33。

高等工程数学Ⅲ智慧树知到课后章节答案2023年下南京理工大学南京理工大学第一章测试1.有界区域上的弦振动方程定解问题可以用傅里叶积分变换法求解。

（）A:对 B:错答案:错2.二维热传导方程的古典显格式稳定性条件是（）A: B: C:其余都不对 D:答案:3.关于边值问题和变分问题，下列说法不正确的是（）。

A:所有选项都不对 B:Ritz形式和Galerkin形式的变分问题的解均称为相应边值问题的广义解 C:Ritz形式的变分问题比Galerkin形式的变分问题适用范围更广 D:Ritz形式的变分问题要求对称，而Galerkin形式的变分问题无此要求，因此两种变分形式之间无联系答案:所有选项都不对;Ritz形式的变分问题比Galerkin形式的变分问题适用范围更广;Ritz形式的变分问题要求对称，而Galerkin形式的变分问题无此要求，因此两种变分形式之间无联系4.无界区域上的弦振动方程定解问题可以用傅里叶积分变换法求解。

（）A:错 B:对答案:对5.二维热传导方程的Crank-Nicolson格式是无条件稳定的。

（）A:错 B:对答案:对6.考虑有界弦振动方程定解问题：其对应的本征值和本征函数分别是（）：A:B: C:D:答案:7.一维抛物型方程的Du-Fort-Frankel格式如下：，其截断误差为（）A: B: C: D:答案:8.一维对流方程的蛙跳格式的截断误差为。

（）A: B: C:答案:9.关于偏微分方程求解的有限元方法，下列说法正确的是（）。

A:有限元方法通常选取分片连续的多项式函数空间作为近似函数空间 B:对于第二、三类边界条件的定解问题，采用有限元方法无需处理边界 C:二维情形，有限元方法在区域剖分时，只能选择三角形单元或者矩形单元 D:有限元方法是基于Ritz-Galerkin方法提出的，通常选取传统幂函数作为近似函数空间的基底答案:有限元方法通常选取分片连续的多项式函数空间作为近似函数空间;对于第二、三类边界条件的定解问题，采用有限元方法无需处理边界10.一维对流方程的隐式迎风格式是（）A: B: C:D:答案:第二章测试1.在一元线性回归模型中，是的无偏估计。

短暂又充实的学习时光结束了，这学期我学习了《高等工程数学》这门课程，这门课程是一门研究生重要的数学基础课，涵盖了矩阵论、数值分析、数理统计等内容。

要求以掌握和应用高等工程数学问题的数学方法为主导，使工学硕士研究生掌握一定的数学理论基础知识，能为今后的进一步学习和解决生活、工作中遇到的实际工程数学问题打下坚实的基础。

通过学习这门课程，我的学习总结与体会如下：1.矩阵论。

一个方阵化为对角形的条件十分苛刻，对于n阶矩阵A，其可对角化的充要条件是有n个线性无关特征向量。

具体来说，就是要求A有n个互异的特征值。

显然不是每一个矩阵都可以化为对角形，但是在实数范围内，任意矩阵却可以化为一个分块对角形，而这个分块对角形就是所谓的Jordan标准型。

矩阵化Jordan型的方法总结如下：对λ矩阵经过一系列三类初等行(列)变换，先观察矩阵的特点，使得左上角的元素次数逐渐降低，最终降低到可以整除矩阵内的其他所有元素。

然后得到λ矩阵的不变因子，求出Smith标准型，再求出初等因子，最后通过定义组合出Jordan型矩阵。

这个地方我在计算的时候，老是化出来的矩阵不对，我的错误主要在于：三类初等变换的运用。

在第二类初等变换中所乘的项必须为非0常数，且不可使用多项式。

在第三类初等变换中只能使用多项式，不能使用分式。

在经过大量题目的训练后，我再也不会犯这种概念不清的错误了，解题正确率也上去了。

由此可见，理解数学概念十分重要。

2.误差分析。

在很多情况下，对于实际问题的描述，我们往往得不到最为精确的函数表达，我们只有通过对所描述的问题进行抽象、简化，得到它的近似模型，通过近似模型来反应真实的函数关系。

在这个过程中，就会产生误差，而由误差带来的影响，有时会很严重。

运用计算机进行数值计算的时候，需要注意以下几个原则：1.避免两相近的数相减。

2.避免大数“吃”小数的现象。

3.避免接近零的数做除数。

4.注意计算步骤的简化，减小运算次数。

其中1、3条准则在实际应用时十分重要。

外国原版高等数学教材推荐高等数学是大学数学的一门重要课程，它涵盖了微积分、线性代数、概率论等多个领域。

为了帮助学生更好地学习高等数学，选择一本合适的教材是至关重要的。

当今市场上有许多国内编写的高等数学教材，但是在这里，我想向大家推荐一些外国原版的高等数学教材，希望能够给广大学习者提供更广阔的视野和更深入的学习体验。

1. Thomas' Calculus（托马斯微积分）《Thomas' Calculus》是由美国数学家乔治·托马斯教授编写的一套经典高等数学教材。

这套教材系统全面地介绍了微积分的基础理论和应用，内容丰富、结构清晰。

它用简洁明了的语言和大量的例子和习题，帮助学生理解和掌握微积分的基本概念和方法。

同时，该教材还引入了各种应用领域的实际问题，鼓励学生将数学应用于实际生活中，提高问题解决能力。

2. Linear Algebra and Its Applications（线性代数及其应用）《Linear Algebra and Its Applications》是由美国数学家大卫·莱伊（David Lay）教授编写的一本线性代数教材。

线性代数是高等数学中的重要分支，它是研究向量空间和线性映射的代数学科。

这本教材详细讲解了线性代数的基本概念、定理和计算方法，并通过大量的例题和习题，帮助学生理解和掌握线性代数的理论和应用。

此外，教材还介绍了线性代数在其他学科领域中的应用，拓宽了学生的知识面。

3. Probability and Statistics for Engineering and the Sciences（工程与科学中的概率与统计）《Probability and Statistics for Engineering and the Sciences》是由美国数学家Jay L. Devore教授编写的一本概率论与数理统计教材。

概率论和数理统计是高等数学中涉及的领域之一。

课程编号：A080007课程名称：高等工程数学英文名称：Advanced Engineering Mathematics开课单位：理学院开课学期：秋课内学时：32 教学方式：讲授适用专业及层次：工科各专业硕士考核方式：考试预修课程：线性代数、高等数学一、教学目标与要求λ矩阵与矩本课程较全面、系统地介绍矩阵的基本理论、方法和某些应用，基本内容有-阵的Jordan标准形、初等矩阵与矩阵的因子分解、Hermite矩阵与正定矩阵、向量与矩阵的范数、矩阵函数与矩阵值函数、广义逆矩阵与线性方程组的解，算子范数等概念。

通过本课程基本概念和基本定理的阐述和论证，培养研究生的抽象思维与逻辑推理能力，提高研究生的数学素养。

在重视数学论证的同时，强调数学概念的物理、力学等实际背景，培养研究生应用数学知识解决实际工程技术问题的能力。

通过本课程的学习，要求研究生掌握矩阵的基本理论和方法，为学习后继课程、开展科学研究打好基础。

二、课程内容与学时分配第一章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形（8学时）1．1 一元多项式1．2 λ-矩阵及其在相抵下的标准形1．3 λ-矩阵的行列式因子和初等因子1．4 矩阵相似的条件1．5 矩阵的Jordan标准形1．6 Cayley-Hamilton定理与最小多项式第二章矩阵的因子分解（5学时）2．1 初等矩阵2．2 满秩分解2．3 三角分解2．4 QR分解2．5 Schur 分解与正规矩阵2．6 奇异值分解及其推广第三章Hermite矩阵与正定矩阵（6学时）3．1 Hermite矩阵与Hermite二次型3．2 Hermite正定（非负定）矩阵3．3 矩阵不等式3．4 Hermite矩阵的特征值* 第四章范数与极限（6学时）4．1 向量范数4．2 矩阵范数4．3 矩阵序列与矩阵级数第五章矩阵函数与矩阵值函数（2学时）5．1 矩阵函数5．2 矩阵值函数5．3 矩阵值函数在微分方程组中的应用第六章广义逆矩阵（5学时）6．1 广义逆矩阵的概念6．2 广义逆矩阵A-与线性方程组的解A-与相容方程组的极小范数解6．3 极小范数广义逆mA-与矛盾方程组的最小二乘解6．4 最小二乘广义逆l6．5 广义逆矩阵A+与线性方程组的极小最小二乘解三、教材戴华，矩阵论，科学出版社，2001主要参考书1．北京大学，高等代数，高等教育出版社，第二版，19882．Lancaster P. and Tismenetsky M. The Theory of Matrices with Applications，Academic Press, 1985.3．史荣昌，矩阵分析，北京理工大学出版社，19964．罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版社，19925．张明淳，工程矩阵理论，东南大学出版社，19956．程云鹏，矩阵论，西北工业大学出版社，1999大纲撰写负责人：杨秀绘杨熙授课教师：杨秀绘杨熙。

高等工程数学第三版课程设计简介高等工程数学是一门非常重要的典型数学课程，在工程学科中起到了举足轻重的作用。

高等工程数学包括微积分、线性代数等数学内容，是后续工程学科的基础。

本文档旨在介绍高等工程数学第三版的课程设计，在此过程中，将针对一些经典的数学问题，进行一些深度探讨，以期通过实践来加深对于高等工程数学的理解和巩固。

课程设计1. 极限和连续性1.1 用极限的定义证明函数在某一点不连续极限是高等工程数学中的重要概念，学生通过学习极限理论，能够更深入地理解函数的性质。

本问题思路：构造一个函数f(x)，使它在某一点不连续，用极限的定义证明这一点不连续。

1.2 利用拉格朗日中值定理求极限拉格朗日中值定理是一种非常实用的数学方法，可以帮助我们在不知道具体数值的情况下，计算出很多极限和函数值。

本问题思路：给定一个函数f(x)，要求计算limx→0f(x)，用拉格朗日中值定理求解。

2. 函数与导数2.1 求平面曲线的切线方程函数的导数是高等工程数学中的重要概念之一，它能够通过研究函数的变化率，揭示函数的许多特性。

本问题思路：给定一个函数曲线，要求求出某一点处的切线方程。

2.2 求函数的最值及其所在点函数的最大值和最小值是在很多问题中经常需要计算的量，例如在优化问题中，我们需要找到某个函数的最优值。

本问题思路：给定一个函数f(x)，要求求出它的最大值和最小值及其所在点。

3. 多元函数与二重积分3.1 三维空间曲面积分曲面积分是一种非常实用的数学工具，它可以帮助我们计算某个空间图形的面积。

本问题思路：给定一个空间曲面，求解其面积。

3.2 二元函数网格化及重心计算网格化是将连续的曲面离散化的过程，重心是一个几何中常见的概念，在众多应用中被广泛使用。

本问题思路：给定一个二元函数f(x,y),将它离散化成n*m个网格，求解网格的重心。

结论本文档讨论了高等工程数学第三版的课程设计，介绍了几个常见的数学问题以及对应的求解思路。

《高等工程数学》试题解答 （工程硕士及进修生用 2003.1）考生注意：1、可不抄题,答案必须写在统一配发的专用答题纸上； 2、本试题可能用到的常数：5752961 64199509750950 . ,. ,....===u u u . 一、填空题 (每空3分,共30分)。

(1) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=010100001H ；(2) 1)(Cond 2=U ；(3) 7 3 , ；(4) )1 1 (~)()(221221,F X X X X -+；(5) X 2ˆ=θ； (6) 664≥n ；(7) e A SS SS SS +=.二、(10分)[解] 记)(21A A diag A ,=，则21A A ,的特征多项式为2)1()()(21-==λλλA A f f ， ∵ O I A ≠21 -，O I A ≠22 -，∴ 2)1()()(21-==λλλA A m m ， 取)( )(21λλA A m m ,的最小公倍式，得 2)1()(-=λλA m ，故A 的Jordan 标准形为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 111111 , diag . 三、(10分)[解一] 记⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=πππ021 A ,其特征值为πλ-=1 (二重根),记 则令 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=-⇒⎩⎨⎧'='=t t a t t t a t t a t a a g f g f 1 0 1 101 1 1 1 c o s sin cos cos sin )()()()(πππππππλλλλ ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==t t t t t A f g A g g A g At sin 00cos sin 000sin )()()()()(sin 2 11πππππππ[解二] ∵ J A 2 2001200022ππ∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--= ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==t t t t t t t t t t J t At sin 00cos 2sin 000sin )2(2sin 00)2(2cos 2)2(2sin 00022sin )2sin(sin πππππππππππ 四、(10分)[解] 对A 进行行初等变换故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==--21 12 121 1 211 121)(11 R L L , 从而A 有Doolittle 分解：五、(10分)[证] 将ω扩充为nV 的一个标准正交基 B } {n ααω,,,2 =则∴ T B =-==} {} {n n T T T ααααωω,,,,,,22 B P 其中} 1 1 1 {,,, -=diagP 为对称和正交矩阵，故T 是对称变换和正交变换。