第七章 矢量与空间解析几何本章主要知识点● 矢量运算 ● 平面 ● 直线方程● 主要的几个立体图形及方法一、矢量运算着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。
1．矢量的内积（1）cos a b a b θ⋅⋅⋅ ，其中θ为,a b的夹角（2）若{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==，332211b a b a b a ++=⋅ 且a = （3）0=⋅⇔⊥b a b a (b a ,为非零矢量)例7.1．{}{}3,0,1,2,1,1-==，求a b ⋅。
解：()5320111=⨯+⨯+-⨯=⋅b a 。
例7.2．如果{}{}3,,2,,2,1a b λλ=-=-，且b a ⊥，求λ。
解：0=⋅ 得：3220λλ++= 得：25λ=-。
2．矢量的叉积a b ⨯如图所示，如果不平行于，则⨯同时垂直与又垂直于，或者等价地，⨯=垂直于由,确定的一平面。
它在后面研究平面与直线中起相当重要的作用。
如果{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==那么321321b b b a a a k j ib a =⨯， 利用第一行代数余子式展开计算。
若,非零，//2121210c c b b a a ==⇔=⨯⇔ 例7.3．{}{}3,2,1,1,1,1=-=，求⨯解：{}3,2,5325211131113211321111--=+--=-+--=-=⨯k j i kjik j i例7.4．如果{}1,,1,a λ= {}2,3,2b = ，//a b 求λ解：11232λ==，解得：32λ=。
3．单位向量0aa a= 为矢量a 的方向上的单位矢量。
aba b ⨯图示7.14．矢量b 在a 上的投影()aproj b()2aa b proj b a a⋅=二、平面方程1．平面方程的基本形式（点法式）平面π过点()0,000,z y x M ，法矢量为{}C B A ,,=那么平面方程为()()()000000n MM A x x B y y C z z ⋅=⇔-+-+-=（1）点法式有两个基本要素：点0M 和法向量n 。
高等数学教材向量高等数学教材——向量一、向量的概念及基本性质在高等数学中，向量是一种具有大小和方向的几何量。
它是由起点和终点确定的有向线段，通常用有字母上方带箭头表示，如⃗AB。
1. 向量的定义向量的定义是：若平面上两个点A和B确定了有向线段⃗AB，则称⃗AB为向量。
向量既有大小也有方向，是一个有序数对。
2. 向量的基本性质（1）向量的模长向量的模长代表向量的大小，用两点之间的距离表示。
若有向线段⃗AB，则向量⃗AB的模长记作|⃗AB|或AB，表示点A和点B之间的距离。
（2）向量的方向角向量的方向角是与x轴正向所成的角度，一般用α或θ表示。
方向角的范围在0到360度之间，且相同向量的方向角可以有多个。
（3）向量的相等对于两个向量⃗AB和⃗CD，若所夹角度相同且模长相等，即|⃗AB|=|⃗CD|且⃗⃗AB=⃗⃗CD，则称两个向量相等。
二、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数乘。
1. 向量的加法向量的加法是将两个向量的起点连接起来，然后连接两个终点，构成一个新的向量。
向量的加法满足平行四边形法则，即⃗⃗ABD=⃗⃗CAB，⃗AD=⃗AB+⃗BD。
2. 向量的减法向量的减法是将减去的向量的起点与被减去的向量的终点连接起来，构成一个新的向量。
向量的减法可以转化为向量的加法，即⃗AB-⃗⃗CD=⃗AB+(-⃗CD)。
3. 向量的数乘向量的数乘是将向量的模长与标量做乘法，得到一个新的向量，方向与原向量相同（若标量为正）或相反（若标量为负）。
即k⃗AB=(|k|)⃗AB。
三、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积向量的数量积是将两个向量的模长与夹角进行乘法运算，得到一个标量。
向量的数量积的计算公式为：⃗AB·⃗CD=|⃗AB||⃗CD|cos⃗⃗A B⃗CD。
2. 向量的向量积向量的向量积是用来求两个向量所确定的平行四边形的面积，也是一个向量。
向量的向量积的计算公式为：⃗AB×⃗CD=|⃗AB||⃗CD|sin⃗⃗A B⃗CDn，其中n为垂直于⃗AB和⃗CD所在平面的单位法向量。
(一) 矢量基本概念定 义 既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。
表示法定 义 有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度）AB ，a。
特殊的向量零矢量：长度为0的向量。
零向量的方向是不确定的。
单位矢量：长度为1的矢量。
向量之间的关系两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。
反矢量：长度相同，方向相反的矢量。
共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。
共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。
关于向量之间的关系，有下面结论：零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）； 共线矢量必共面； 两矢量必共面；三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。
(二) 矢量的運算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法则）设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA，b AB 得一折线OAB ，从折线的端点O 到另一端点B 的矢量c OB，叫做两矢量a 与b 的和，记做b a c 。
矢量的和（平行四边形法则）如图示，有b a c。
一般地：矢量的加法还满足多边形法则：n n n A A A A OA OA 1211...运算规律：1） 1） 交换律：a b b a； 2） 2） 结合律：)()(c b a c b a。
矢量的差若a c b，则称c 为矢量a与b的差，并记作b a c。
由定义，得矢量减法的几何作图法：矢量加法的性质（1）)(b a b a（2）||||||b a b a（3）||||||（4） ||||||2121a a a a a n ||n a（二）矢量的数乘定义（数量乘矢量）实数 与矢量的乘积 是一个矢量， （1） （1） 其模为||||||a a ；（2） （2） 其方向由下列规则决定：当0 时， 与方向相同；当0 时， 与方向相反；当0 或0 时，是零向量，方向不定。
定义如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称0a为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。
由定义，0|| ||0a数量乘法的运算规律 1）结合律：)()(2）第一分配律：a a a )(3）第二分配律：b a b a )(由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。
