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高等数学上下册完整版教材高等数学是大学数学的一门基础课程，旨在培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
下面是《高等数学上下册完整版教材》的内容概述：第一章导数与微分1.1 导数的定义与几何意义1.2 基本求导法则1.3 函数的微分1.4 高阶导数与高阶微分1.5 隐函数与参数方程的导数1.6 微分中值定理与导数的应用第二章不定积分2.1 定积分的概念2.2 不定积分与不定积分的性质2.3 基本不定积分法2.4 特殊函数的不定积分2.5 不定积分的应用第三章定积分3.1 定积分的定义与几何意义3.2 定积分的性质3.3 定积分的计算方法3.4 牛顿-莱布尼茨公式3.5 定积分的应用第四章微分方程4.1 微分方程的概念与分类4.2 一阶微分方程4.3 高阶线性微分方程4.4 变量可分离的方程4.5 齐次线性微分方程4.6 非齐次线性微分方程4.7 常系数线性齐次微分方程4.8 微分方程的应用第五章多元函数的微分学5.1 多元函数的极限5.2 多元函数的偏导数5.3 多元复合函数的偏导数5.4 隐函数与参数方程的偏导数5.5 高阶偏导数5.6 多元函数的全微分5.7 多元函数的极值与最值第六章重积分与曲线积分6.1 二重积分的概念与性质6.2 二重积分的计算方法6.3 极坐标下的二重积分6.4 三重积分的概念与性质6.5 三重积分的计算方法6.6 曲线积分的概念与性质6.7 曲线积分的计算方法6.8 曲线积分在物理学中的应用第七章曲面积分与格林公式7.1 曲面积分的概念与性质7.2 曲面积分的计算方法7.3 散度与无源场7.4 格林公式的推广与应用第八章空间解析几何与向量代数8.1 空间直角坐标系与向量8.2 空间曲线与曲面8.3 向量的运算与坐标表示8.4 点、直线与平面的方程8.5 空间向量的夹角与投影8.6 空间点、直线与平面的位置关系8.7 空间曲线与曲面的位置关系第九章广义与特殊函数9.1 广义积分的概念9.2 常数项一般项相消法9.3 幂函数、指数函数与对数函数9.4 三角函数与反三角函数9.5 常见特殊函数第十章数项级数10.1 级数概念与性质10.2 收敛级数的判定方法10.3 常见级数的和10.4 绝对收敛与条件收敛10.5 幂级数与泰勒展开10.6 常见函数的泰勒展开第十一章函数级数11.1 函数列与函数项级数11.2 函数列极限与函数项级数的一致收敛11.3 函数列极限的性质11.4 一致收敛级数的和函数的性质11.5 函数项级数的逐项积分与逐项求导11.6 Fourier级数以上是《高等数学上下册完整版教材》的内容概述。
高等数学完整全套教学课件一、教学内容1. 极限与连续数列极限的定义及性质函数极限的定义及性质无穷小、无穷大的概念极限的运算法则函数在一点处的连续性定义函数在区间上的连续性2. 导数与微分导数的定义及几何意义基本导数公式高阶导数微分的定义及运算法则隐函数、参数方程函数求导3. 微分中值定理与导数的应用罗尔定理、拉格朗日中值定理柯西中值定理洛必达法则泰勒公式函数的单调性、凹凸性、极值和最值二、教学目标1. 掌握极限、导数、微分等基本概念及其性质、运算法则。
2. 能够运用微分中值定理解决实际问题，分析函数的性质。
3. 培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学建模能力。
三、教学难点与重点1. 教学难点：极限、导数、微分等概念的理解；微分中值定理的应用。
2. 教学重点：极限、导数、微分的基本性质和运算法则；函数的单调性、凹凸性、极值和最值的求解。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：教材、笔记本、文具。
五、教学过程1. 实践情景引入通过实际案例，如物体的运动轨迹、温度变化等，引出极限、导数、微分等概念。
2. 例题讲解选取具有代表性的例题，详细讲解极限、导数、微分的基本性质和运算法则。
结合图形，解释函数的单调性、凹凸性、极值和最值的概念。
3. 随堂练习布置与例题难度相当的练习题，让学生巩固所学知识。
对学生进行个别辅导，解答疑问。
4. 课堂小结六、板书设计1. 极限、导数、微分的基本概念及性质。
2. 极限、导数、微分的运算法则。
3. 微分中值定理及其应用。
4. 函数的单调性、凹凸性、极值和最值。
七、作业设计1. 作业题目求下列函数的极限、导数、微分。
判断下列函数的单调性、凹凸性，并求极值、最值。
2. 答案详细的解答过程和答案。
八、课后反思及拓展延伸2. 拓展延伸：引导学生研究更高级的微积分概念，如泰勒级数、场论等。
鼓励学生参加数学竞赛、数学建模等活动，提高数学素养。
重点和难点解析1. 教学内容的布局与组织2. 教学目标的设定3. 教学难点与重点的识别4. 教学过程的实践情景引入5. 例题讲解的深度和广度6. 板书设计的清晰度与逻辑性7. 作业设计的针对性与答案的详细性8. 课后反思与拓展延伸的实际效果详细补充和说明：一、教学内容的布局与组织教学内容应遵循由浅入深、循序渐进的原则。
第一篇函数的极限与连续第一章函数的极限与连续（18课时）第1节集合与函数（2课时）1.1集合 1.2函数的概念 1.3反函数 1.4复合函数 1.5初等函数1.6数学建模与函数模型第2节极限的概念（4课时）2.1 数列的极限 2.2数列极限的性质 2.3函数的极限 2.4无穷大与无穷小第3节极限的运算（5课时）3.1 极限的四则运算法则 3.2 两个重要极限 3.3 无穷小的比较第4节函数的连续性（4课时）4.1 函数连续的概念 4.2 函数的间断点 4.3 初等函数的连续性 4.4 闭区间上连续函数的性质第5节极限与连续的应用（2课时）5.1 经济应用 5.2 工程应用第6节 Mathematica软件应用（1课时）第二篇一元函数微积分第二章导数与微分（15课时）第1节导数的概念（2课时）1.1 导数的概念 1.2 左导数与右导数 1.3 函数可导性与连续性的关系第2节导数的运算（6课时）2.1 函数的导数的基本公式与运算法则 2.2 反函数的导数 2.3 复合函数的导数 2.4 高阶导数 2.5 隐函数的导数第3节由参数方程所确定的函数的导数（2课时）3.1 由参数方程所确定的函数的导数 3.2 由极坐标方程所确定的函数的导数第4节函数的微分（2课时）4.1 微分的概念 4.2 微分公式与微分运算法则 4.3 微分在近似计算中的应用第5节导数与微分的应用（2课时）5.1 经济上的应用 5.2 工程上的应用第6节 Mathematica软件应用（1课时）第三章微分中值定理与导数的应用（17课时）第1节微分中值定理（2课时）1.1 罗尔定理 1.2 拉格朗日中值定理 1.3 柯西中值定理第2节洛必达法则（2课时）2.1 0型不定式 2.2∞∞型不定式 2.3 其它不定式第3节泰勒公式（2课时）3.1 泰勒定理 3.2 迈克劳林公式第4节函数的单调性与极值（2课时）4.1 函数的单调性 4.2 函数的极值及其判别法 4.3 函数的最值第5节曲线的凹凸性与函数图形（4课时）5.1 曲线的凹凸性与拐点 5.2 渐进线 5.3 函数图形的描述第6节曲率（2课时）6.1 弧微分 6.2 曲率及其计算公式 6.3 曲率圆与曲率半径第7节最优化问题（2课时）7.1 经济上的应用 7.2 工程上的应用第8节 Mathematica软件应用（1课时）第四章不定积分（11课时）第1节不定积分的概念与性质（2课时）1.1 不定积分的概念 1.2 基本积分公式 1.3 不定积分的性质第2节积分法（6课时）2.1 换元积分法 2.2 分部积分法第3节有理函数的积分（2课时）3.1 有理函数的积分 3.2 三角函数有理式的积分第4节 Mathematica软件应用（1课时）第五章定积分及其应用（17课时）第1节定积分的概念与性质（2课时）1.1 定积分问题举例 1.2 定积分的概念 1.3 定积分的性质第2节 微积分基本定理（2课时）2.1 积分上限函数 2.2 牛顿—莱布尼兹公式第3节 定积分的计算（4课时）3.1 定积分的换元积分法 3.2 定积分的分部积分法 3.3 定积分的近似计算第4节 反常积分（2课时）4.1 无穷限的反常积分 4.2 无界函数的反常积分第5节 定积分的应用（6课时）5.1 定积分在几何上的应用 5.2 定积分在经济上的应用 5.3 定积分在工程上的应用 5.4 定积分在物理上的应用第6节 Mathematica 软件应用（1课时）第三篇 常微分方程第六章 常微分方程（18课时）第1节 微分方程的概念（2课时）1.1 引例 1.2 微分方程的基本概念第2节 可分离变量微分方程（2课时）2.1 可分离变量微分方程 2.2 齐次方程第3节 一阶线性微分方程（4课时）3.1 一阶线性齐次微分方程 3.2 一阶线性非齐次微分方程 3.3贝努利方程第4节 可降阶的高阶微分方程（3课时）4.1)()(x f y n =型微分方程 4.2),(y x f y '=''型微分方程 4.3),(y y f y '=''型微分方程第5节 二阶线性微分方程（4课时）5.1二阶线性微分方程解的结构 5.2常系数齐次线性微分方程 5.3常系数非齐次线性微分方程第6节 微分方程应用（2课时）5.1经济应用 5.2工程应用第7节 Mathematica 软件应用（1课时）第四篇无穷级数第七章无穷级数（17课时）第1节常数项级数的概念与性质（2课时）1.1常数项级数的概念 1.2收敛级数的基本性质第2节常数项级数的收敛法则（4课时）2.1正项级数及其收敛法则 2.2交错级数及其收敛法则 2.3绝对收敛与条件收敛第3节幂级数（2课时）3.1函数项级数的概念 3.2幂级数及其收敛性 3.3幂级数的运算第4节函数展开成幂级数（2课时）4.1函数展开成幂级数 4.2幂级数的展开式的应用第5节傅里叶级数（4课时）5.1三角级数、三角函数系的正交性 5.2函数展开成傅里叶级数 5.3正弦级数和余弦级数 5.4周期为2l的周期函数的傅里叶级数第6节级数的应用（2课时）6.1 在经济上的应用 6.2 在工程上的应用第7节 Mathematica软件应用（1课时）第五篇向量代数与空间解析几何第八章向量代数与空间解析几何（17课时）第一节空间直角坐标系（1课时）1.1空间直角坐标系 1.2空间中两点之间的距离第二节空间向量的代数运算（4课时）2.1 空间向量的概念 2.2 向量的线性运算 2.3 向量的坐标表示 2.4 两向量的数量积 2.5两向量的向量积第三节空间中的平面与直线方程（4课时）3.1平面及其方程 3.2空间中的直线及其方程第四节空间曲面及其方程（3课时）4.1曲面方程的概念 4.2 球面 4.3柱面 4.4 旋转曲面 4.5 二次曲面第五节空间曲线及其方程（2课时）5.1空间曲线的一般方程 5.2空间曲线的参数方程 5.3 空间曲线在坐标面上的投影第六节空间曲线和曲面的应用及举例（2课时）6.1空间曲线的应用 6.2曲面的应用第七节Mathematica软件的应用（1课时）7.1向量的运算 7.2绘制空间曲面和曲线第六篇多元微积分学第九章多元函数微分学及其应用（20课时）第1节多元函数的基本概念（3课时）1.1 平面点集 1.2 多元函数的概念 1.3 多元函数的极限 1.4 多元函数的连续性第2节多元函数的偏导数（7课时）2.1 偏导数的概念 2.2 复合函数的偏导数 2.3 隐函数的偏导数 2.4 高阶偏导数第3节全微分与方向导数（4课时）3.1 全微分的概念 3.2 二元函数可微、偏导数存在及连续之间的关系（一阶全微分形式的的不变性） 3.3方向导数和梯度第4节多元函数微分学的应用（5课时）4.1多元函数微分学的几何应用 4.2多元函数极值及其求法 4.3多元函数微分学在经济上的应用 4.4多元函数微分学在工程上的应用第5节 Mathematica软件应用（1课时）5.1绘制多元函数的作图 5.2求多元函数的偏导数和全微分 5.3求多元函数的极值第十章重积分（12课时）第1节二重积分的概念和性质（2课时）1.1 曲顶柱体的体积 1.2 二重积分的概念 1.3 二重积分的几何意义1.4 二重积分的性质第2节二重积分的计算（3课时）2.1 直角坐标系下二重积分的计算 2.2 极坐标系下二重积分的计算第3节三重积分及其计算（2课时）3.1 三重积分的概念 3.2 三重积分的计算第4节重积分的应用（2课时）4.1重积分在几何上的的应用 4.2重积分在经济上的的应用4.3重积分在工程上的的应用第5节 Mathematica软件应用（1课时）5.1 计算重积分 5.2 计算空间立体图形的体积第十一章曲线积分和曲面积分（14课时）第1节曲线积分（4课时）1.1 对弧长的曲线积分 1.2 对坐标的曲线积分 1.3 两类曲线积分之间的联系第2节格林公式（2课时）2.1 格林公式 2.2曲线积分与路径无关性 2.3 二元函数的全微分求积第3节曲面积分（4课时）2.1 对面积的曲面积分 2.2对坐标的曲面积分 2.3 两类曲面积分之间的联系第4节高斯公式和斯托克斯公式（3课时）3.1 高斯公式 3.2 斯托克斯公式第5节 Mathematica软件应用（1课时）（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
【最新整理，下载后即可编辑】目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (3)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (4)5、复合函数 (5)6、初等函数 (5)7、双曲函数及反双曲函数 (6)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (10)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N。
⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
高等数学2013版教材高等数学是大学数学中的一门基础课程，对于理工科等相关专业的学生来说，具有非常重要的地位。
2013版高等数学教材是教师们教授这门课程时经常使用的教材之一。
本文将对该教材的主要特点、内容结构和教学应用进行介绍。
1. 教材特点2013版高等数学教材具有以下几个特点：（1）全面系统：该教材包含了高等数学的各个分支，如微积分、数学分析、线性代数等，内容涵盖了大部分高等数学的基础知识点。
（2）逻辑严谨：教材在结构上符合逻辑顺序，先后介绍了数列、函数、极限、导数、积分等概念，并且各个章节之间有着紧密的联系，层层递进。
（3）理论与实际结合：教材在讲解数学理论的同时，也应用了大量的实例和问题，帮助学生将理论与实际问题相结合，培养解决实际问题的能力。
（4）简洁明了：教材通过清晰的语言和简洁的表述，将复杂的数学概念和原理转化为易于理解的形式，方便学生掌握和理解。
2. 内容结构2013版高等数学教材共分为多个章节，每个章节侧重介绍不同的知识点。
以下是教材的主要内容结构：（1）数列与极限：包括数列的概念、极限的定义和性质等。
（2）函数与极限：介绍函数的概念、极限的计算方法和性质等。
（3）导数与微分：包括导数的定义、求导法则、高阶导数及其应用等。
（4）积分与定积分：介绍定积分的概念、计算方法、积分中值定理等。
（5）微分方程：讲解微分方程的基本概念、常微分方程的解法以及应用等。
（6）多元函数微分法：介绍多元函数偏导数、全微分、方向导数等基本概念。
（7）多元函数积分学：讲解多元函数的二重积分、曲线积分和曲面积分等。
（8）级数与幂级数：包括级数的概念、常见级数求和公式和幂级数的性质等。
3. 教学应用2013版高等数学教材在教学中有着广泛的应用价值。
它可以作为高等院校和普通高中的教材，也可以作为自学的参考书。
教师们可以根据教材的章节和内容结构，进行有针对性的教学安排。
例如，在讲解导数时，可以通过具体的实例引导学生理解导数的概念和计算方法；在教授微分方程时，可以结合实际问题引导学生掌握解微分方程的基本方法。
《高等数学》第十四次习题答疑 2013.6.6P.201 习题11-25、一力场由横轴正方向的恒力F所构成。
试求当一质量为m 的质点沿圆周222x y R+=按逆时针方向移过位于第一象限的那段弧长时场力所做的功。
【解】恒力F所做的功为 1110x y LLLF F d r F d x F d y F d x←→←→⋅=+=⎰⎰⎰注意到：2221co s ,sin sin ,co s ::02x y Rx R y R d x R d d y R d L θθθθθθθπ+=∴==→=-=→故11220(sin )(co s )L L F d r F d x F R d R F R Fππθθθ⋅==⋅-=--=-⎰⎰⎰P.214 习题11-36、验证下列(,)(,)P x y dx Q x y dy +在整个xO y 平面内是某一函数(,)u x y 的全微分，并求这样的一个(,)u x y （1）(2)(2)x y dx x y dy+++；（2）22xydx x dy+；（3）4sinsin 3cos 3cos 3cos 2x y xdx y xdy-； （4）2232(38)(812)yx y xy dx x x y ye dy++++；（5）22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy++-。
【解】判据：?P Q yx∂∂=∂∂（1）(2)(2)x y dx x y dy+++(2)2;(2)2P Q P x y x y yyxxy∂∂∂∂∂=+==+==∂∂∂∂∂因此，(2)(2)x y dx x y dy+++是某个(,)u x y 的全微分。
求(,)u x y ： 注意到：(,)u u d u x y d x d y P d x Q d yxy∂∂=+=+∂∂，故有,u u P Q xy∂∂==∂∂今2......(1.1);2......(1.2)u u x y x y xy∂∂=+=+∂∂（1.1）式两边对x 积分，得2(,)(2)2()......(1.3)2xu x y x y d x xy g y =+=++⎰（1.3）式两边对求y 偏导数，得2'()......(1.4)u x g y y∂=+∂ 比较（1.4）式与（1.2）式，得21'()()......(1.5)2g y y g y y d yy C =→==+⎰将（1.5）式代入（1.3）式，得221(,)()2......(1.6)2u x y x y xy C =+++（2）22xydx x dy+；2(2)2;()2P Q P x y x x x yyx xy∂∂∂∂∂=====∂∂∂∂∂因此，22xydx x dy+为某个(,)u x y 的全微分。
求(,)u x y ： 今22......(2.1);......(2.2)u u P xy Q x xy∂∂====∂∂（2.1）式两边对x 积分，得2(,)2()......(2.3)u x y x y d xx y g y ==+⎰（2.3）式两边对求y 偏导数，得2'()......(2.4)u x g y y∂=+∂ 比较（2.4）式与（2.2）式，得'()0()......g y g y C =→= 将（2.5）式代入（2.3）式，得 2(,)......(2.6)u x y x C =+（3）4sinsin 3cos 3cos 3cos 2x y xdx y xdy-(4sin sin 3cos )12sin cos cos 36sin 2cos 3;(3cos 3cos 2)6sin 2cos 3Px y x x x y x y y y Q P y x x y xxy∂∂===∂∂∂∂∂=-==∂∂∂因此，4sinsin 3cos 3cos 3cos 2x y xdx y xdy-是某个(,)u x y 的全微分。
求(,)u x y ： 今2sin 2sin 3......(3.1);3co s 2co s 3......(3.2)u u P x y Q x y xy∂∂====-∂∂（3.1）式两边对x 积分，得(,)(2s i n 2s i n 3)c o s 2s i n 3(u x y x y d x x y g y==-⋅+⎰（3.3）式两边对求y 偏导数，得3c o s 2c o s 3'()......(3.4)u x y gy y∂=-+∂ 比较（3.4）式与（3.2）式，得'()0()......g y g y C =→= 将（3.5）式代入（3.3）式，得(,)c o s 2s i n 3....u x y x y C=-⋅+ （4）2232(38)(812)yx y xy dx x x y ye dy++++222322(38)316;(812)316yP x y xy x xy y y Q P x x y ye x xy xxy∂∂=+=+∂∂∂∂∂=++=+=∂∂∂因此，2232(38)(812)yx y xy dx x x y ye dy++++是某个(,)u x y 的全微分。
求(,)u x y ：今223238......(4.1);812......(4.2)yu u P x y xy Q x x y ye xy∂∂==+==++∂∂（4.1）式两边对x 积分，得22322(,)(38)4()......(4.3)u x y x yx y d xx y x yg y =+=++⎰（4.3）式两边对求y 偏导数，得328'()......(4.4)u x x y g y y∂=++∂比较（4.4）式与（4.2）式，得'()12()12121212.()12(1).....(4.5)yyyyyyg y y eg y y e d y y d ey ee d y g y ey C =→===-=→=-+⎰⎰⎰ 将（4.5）式代入（4.3）式，得 322(,)412(1)......(4.6)yu x y x y xy e y C =++-+ （5）22(2coscos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy++-22(2cos cos )2sin 2cos ;(2sin sin )2cos 2sin P x y y x x y y x y y Q P y x x y y x x y xxy∂∂=+=-+∂∂∂∂∂=-=-=∂∂∂因此，22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy++-是某个(,)u x y 的全微分。
求(,)u x y ： 今222co s co s ......(5.1);2sin sin ......(5.2)u u P x y y x Q y x x y xy∂∂==+==-∂∂（5.1）式两边对x 积分，得222(,)(2c o sc o s )c o ss i n ()......(5.3)u x y x y y x d xx y y x gy =+=++⎰（5.3）式两边对求y 偏导数，得2s i n 2s i n '().......(5.4)u x y y x gy y∂=-++∂ 比较（5.4）式与（5.2）式，得'()0().....(g y g y C =→=将（5.5）式代入（5.3）式，得22(,)cos sin ......(5.6)u x y x y y x C =++P.219 习题11-42、按对面积的曲面积分的定义证明公式12(,,)(,,)(,,)f x y z d S f x y z d S f x y z d S ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中∑是由1∑和2∑组成的。
【证明】由对面积的曲面积分的定义可知m a x {}1(,,)l i m (,,)i ni i i i S i f x y z d Sf Sξης∆→=∑=∆∑⎰⎰我们分割∑成1∑和2∑时，使得它们的公共边界线仅一条（见图示） 于是有 1212()()()(,,)(,,)(,,)i i i i iii ii iiif S f S fS ξηςξηςξης∑+∑∑∑∆=∆+∆∑∑∑ 当m ax {i S λ=∆的直径}0→时，上式两端取极限，得12(,,)(,,)(,,)f x y z d S f x y z d S f x y z d S∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰命题证毕。
P.255 习题12-13、根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的敛散性： （3）2sin ()sin ()......sin () (66)6n πππ++++【解】利用三角函数积化和差的公式：1s i n s i n [c o s ()c o s ()]2αβαβαβ=--+ 将级数的通项改造一下：12[c o s ()c o s ()]2s i n ()261261212sin ()sin ()662sin ()2sin ()12122121co s()co s()1212,(1,2,......)2sin ()12n n n n n u n n n ππππππππππππ⋅--+==⋅==-+-==则级数前n 项之部分和n s 为12......13352121[(co s co s)(co sco s)......(co sco s)]1212121212122sin ()12121[co s co s]12122sin ()12n n n s u u u n n n s ππππππππππ=+++=-+=-+-++-=+→=-当项数n→∞时，21co s12n π+在[1,1]-+之间来回地振荡，因此极限不存在，也就所以考察级数的极限不存在，即级数发散。
P.268 习题12-24、判定下列级数的敛散性： （2）4444123............1!2!3!!nn +++++【解】用比值审敛法判定4444144(1)1111limlim/lim()lim(1)(1)!!1111limlim (1)01011n n n n n nn n u n nn u n n n nn nn n+→∞→∞→∞→∞→∞→∞++==⋅=⋅+=+++=⋅+=⋅=<+表明：考察级数收敛（4）12sin ()3nnn π∞=∑【解】用比较审敛法判定将考察级数与已知敛散性的级数12()3n n ∞=∑作比较：0312s i n ()s i n ()s i n ()s i n ()3333l i ml i m l i m l i m 21()()()()3333n nn n nnn n n n n n nππππππππππ→∞→∞→∞→←→===⋅=表明：考察级数与12()3nn ∞=∑的敛散性相同，而12()3n n ∞=∑为首项123a =，公比23q=2(1)3q =<的收敛的等比级数，因此考察级数也收敛。
