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2019-2020学年度最新高三理科数学二轮复习：专题二第三讲平面向量-含解析第三讲 平面向量高考导航平面向量的基本定理及基本运算，即向量的有关概念，加、减法的几何意义，线性表示以及坐标运算等．2．平面向量的数量积的基本运算及其应用，这也是历年高考命题的热点．3．向量的工具性作用，在三角函数、不等式、解析几何解答题中用来描述题目的条件和结论.1．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( )A ．－8B ．－6C ．6D ．8[解析] 由题可得a ＋b ＝(4，m －2)，又(a ＋b )⊥b ，∴4×3－2×(m －2)＝0，∴m ＝8.故选D.[答案] D2．(2015·山东卷)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 2 [解析] ∵BD →＝BC →＋BA →，且CD →＝BA →，∴BD →·CD →＝(BC →＋BA →)·BA →＝BC →·BA →＋BA →2＝|BC →||BA →|cos60°＋|BA →|2＝12a 2＋a 2＝32a 2.故选D. [答案] D3．(2017·福建龙岩二模)已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC →⊥AB →，则实数m n 的值为( ) A.16 B .14C ．6D ．4[解析] 由题意知OA →·OB →＝3×2×cos60°＝3.又∵OC →＝mOA →＋nOB →，OC →⊥AB →，∴OC →·AB →＝(mOA →＋nOB →)·(OB →－OA →)＝nOB →2＋(m －n )OA →·OB →－mOA →2＝0，又∵|OA →|＝3，|OB →|＝2，OA →·OB →＝3，∴4n ＋3(m－n )－9m ＝n －6m ＝0，∴m n ＝16.故选A.[答案] A4．(2016·天津卷)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58B.18C.14 D .118[解析] 解法一：∵BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →， ∴BC →·AF →＝(AC →－AB →)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12AB →＋34AC → ＝12×1×1×12－12＋34－34×1×1×12＝14－12＋34－38＝18，选B. 解法二：以BC 为x 轴，E 为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，易知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，E (0,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，34.又DE →＝2EF →，设F (x ，y )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－34＝2(x ，y )， ∴x ＝18，y ＝－38，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－38， ∴AF →·BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－583·(1,0)＝18＋0＝18. [答案] B5．(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．[解析] ∵(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)＝3e 21＋3λe 1·e 2－e 1·e 2－λe 22＝3－λ，|3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝2， |e 1＋λe 2|＝(e 1＋λe 2)2＝e 21＋2λe 1·e 2＋λ2e 22＝1＋λ2， ∴3－λ＝2×1＋λ2×cos60°＝1＋λ2，解得λ＝33.[答案] 33考点一 平面向量的概念及线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[对点训练]1．(2017·唐山模拟)在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( )A.12AB →＋12AD →B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD →D.12AB →＋34AD →[解析] 因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋AD →＋12AB →＝34AB →＋12AD →，故选B. [答案] B2．(2017·河北三市联考)已知e 1，e 2是不共线向量，a ＝me 1＋2e 2，b ＝ne 1－e 2，且mn ≠0，若a ∥b ，则m n 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 [解析]∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即me 1＋2e 2＝λ(ne 1－e 2)，则⎩⎨⎧λn ＝m ，－λ＝2，故m n ＝－2.[答案] C3．(2017·河南郑州质检)已知P 为△ABC 所在平面内一点，D 为AB 的中点，若2PD →＋PC →＝(λ＋1)PA →＋PB →，且△PBA 与△PBC 的面积相等，则实数λ的值为________．[解析] ∵D 为AB 的中点，∴2PD →＝PA →＋PB →，又∵2PD →＋PC →＝(λ＋1)PA →＋PB →.∴PA →＋PB →＋PC →＝(λ＋1)PA →＋PB →∴PC →＝λPA →，又△PBA 与△PBC 的面积相等，∴P 为AC 的中点，∴λ＝－1.[答案] －14．(2017·盐城一模)在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R)，则AD 的长为________．[解析]因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，经计算得AN ＝AM ＝3，AD ＝3 3. [答案] 3 3平面向量线性运算的2种技巧(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b ≠0时，a ∥b ⇔存在唯一实数λ，使得a ＝λb )来判断．考点二 平面向量的数量积1．平面向量的数量积有两种运算形式(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为向量a ，b 的夹角)．(2)坐标运算：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.2．投影向量a 在向量b 方向上的投影为a ·b |b |＝|a |cos θ(θ为向量a ，b 的夹角)．[对点训练]1．(2017·重庆适应性测试)已知非零向量a ，b 的夹角为π3，且|b |＝1，|b －2a |＝1，则|a |＝( )A.12B ．1 C. 2 D ．2 [解析] 依题意得(b －2a )2＝1，即b 2＋4a 2－4a ·b ＝1,1＋4|a |2－2|a |＝1,4|a |2－2|a |＝0(|a |≠0)，因此|a |＝12，选A. [答案] A2．(2017·西安地区高三八校联考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD →在BA →方向上的投影是( )A ．－3 5B ．－322C ．3 5 D.322[解析] 依题意得，BA →＝(－2，－1)，CD →＝(5,5)，BA →·CD →＝(－2，－1)·(5,5)＝－15，|BA →|＝5，因此向量CD →在BA →方向上的投影是BA →·CD →|BA →|＝－155＝－35，选A. [答案] A3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，(a ＋b )·(a －2b )＝0，则|b |的取值范围为( )A ．[1,2]B ．[2,4]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 [解析] 由题意知b ≠0，设向量a ，b 的夹角为θ，因为(a ＋b )·(a －2b )＝a 2－a ·b －2b 2＝0，又|a |＝1，所以1－|b |cos θ－2|b |2＝0，所以|b |cos θ＝1－2|b |2，因为－1≤cos θ≤1，所以－|b |≤1－2|b |2≤|b |，所以12≤|b |≤1，所以|b |的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. [答案] D4．在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝2 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝________.[解析] 因为在△ABC 中，BC →＝23BD →，所以AC →·AD →＝(AB →＋BC →)·AD →＝(AB →＋23BD →)·AD →，又BD →＝AD →－AB →，所以AC →·AD →＝[(1－23)AB →＋2 3 AD →]·AD →＝(1－23)AB →·AD →＋23AD →·AD →＝(1－23)AB →·AD →＋23AD →2，因为AD ⊥AB ，所以AD →·AB →＝0，所以AC →·AD→＝(1－23)×0＋23×1＝2 3.[答案] 2 3平面向量数量积的两种运算方法(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化．(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．考点三 平面向量的综合应用平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数、解三角形、解析几何等交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．角度1：平面向量与解三角形[解析] 根据题意，由OC →＝2OA →＋OB →，可得OC →－OB →＝BC →＝2OA →，则|BC →|＝2|OA →|＝4，由AB →＝OB →－OA →，可得|AB →|2＝|OB →－OA →|2＝OB →2－2OA →·OB →＋OA →2＝4，故|AB →|＝2，由AC →＝OC →－OA →＝(2OA →＋OB →)－OA →＝OA →＋OB →，得|AC →|2＝|OA →＋OB →|2＝OA →2＋2OA →·OB →＋OB →2＝12，可得|AC →|＝2 3.在△ABC 中，由|BC →|＝4，|AB →|＝2，|AC →|＝23，可得|BC →|2＝|AB →|2＋|AC →|2，则△ABC 为直角三角形．故选C.[答案] C[解析]解法一：设BC 的中点为D ，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD →，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →)＝2(PE →2－EA →2)．而AE →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34， 当P 与E 重合时，PE →2有最小值0，故此时PA →·(PB →＋PC →)取最小值，最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32. 解法二：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)，设P (x ，y )，取BC 的中点D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，32－y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(x ＋1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫y －32＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎪⎫y －342－34. 因此，当x ＝－14，y ＝34时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32，故选B. [答案] B解决平面向量综合问题的两种方法(1)基向量法：根据平面向量的基本定理，选好基向量，再把题目所给向量用基向量表示出来，最后翻译题目所给向量关系．(2)坐标法：在解决平面几何问题时，可通过建立平面直角坐标系将问题坐标化，然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题，这样可以避免繁杂的逻辑推理，同时加强了数形结合思想在解题中的应用．[对点训练]1．[角度1](2017·广州模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，m ＝(a ＋b ，sin C )，若m ∥n ，则角B 的大小为( )A.π6B.5π6C.π3D.2π3[解析] 若m ∥n ，则(a ＋b )(sin B －sin A )－(3a ＋c )sin C ＝0，由正弦定理可得(a ＋b )(b －a )－c (3a ＋c )＝0，化为a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝5π6.故选B. [答案] B2．[角度2](2015·湖南卷)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 解法一：因为A ，B ，C 均在单位圆上，AC 为直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，|PA →＋PB →＋PC →|＝|2PO →＋PB →|≤2|PO →|＋|PB →|，又|PB →|≤|PO →|＋1＝3，所以|PA →＋PB →＋P C →|≤4＋3＝7，故其最大值为7，选B.解法二：因为A ，B ，C 均在单位圆上，AC 为直径，不妨设A (cos x ，sin x )，B (cos(x ＋α)，sin(x ＋α))(α≠k π，k ∈Z)，C (－cos x ，－sin x )，PA →＋PB →＋PC →＝(cos(x ＋α)－6，sin(x ＋α))，|PA →＋PB →＋PC →|＝[cos (x ＋α)－6]2＋sin 2(x ＋α)＝37－12cos (x ＋α)≤7，故选B.[答案] B热点课题9坐标法在平面向量中的应用[感悟体验]1．(2017·福州二模)在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足|MN →|＝2，则BM →·BN →的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ [解析]不妨设点M 靠近点A ，点N 靠近点C ，以等腰直角三角形ABC 的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B (0,0)，A (0,2)，C (2,0)，线段AC 的方程为x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)．设M (a,2－a )，N (a ＋1,1－a )(由题意可知0<a <1)，∴BM→＝(a,2－a )，BN →＝(a ＋1,1－a )，∴BM →·BN →＝a (a ＋1)＋(2－a )(1－a )＝2a 2－2a ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋32，∵0<a <1，∴由二次函数的知识可得BM →·BN →∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2. [答案] C2．(2017·河南开封质检)已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R.若BQ →·CP →＝－32，则λ的值为________．[解析]如图，以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设A (0,0)，B (2,0)，C (1，3)，则AB →＝(2,0)，AC →＝(1，3)，∴P (2λ，0)，Q (1－λ，3(1－λ))．∵BQ →·CP →＝－32，∴(－1－λ，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－32，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝12.1 [答案]2。
平面向量（四）平面向量的数量积平面向量的应用一、平面向量数量积1.已知两个非零向量a、b，我们把|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b的数量积或内积，记作a·b（中间的·为点乘，作数量积运算时·不可以省略）。
那么a·b=|a||b|cosθ|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.2.我们规定：零向量与任意向量的数量积为0.3. 数量积a·b的几何意义是：a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.即平面向量的数量积是一个数量.二、平面向量数量积的一些性质（以下a、b、c都是非零向量）1. a⊥b=0⟺a·b=0；2.|a·b|≤|a||b|；3.a·a（常常记作a²）=|a|2或|a|=√a·a；4.要注意的几点性质：（1）a·b=b·a（交换律）（2）（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；一般地，a(b·c)=（a·b）c不成立.因为b·c是一个数量，a(b·c)表示一个和a共线的向量；同理（a·b）c也表示一个和c共线的向量，但是，a和c 不一定共线，所以，一般情况下，a (b·c)≠（a·b）c.（3）a·(b+c)=a·b+a·c.（分配律）（4）a·b=a·c不能推出b=c.(分配率不适用)三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【以下a、b都是非零向量，其中a=（x1，y1）b=（x2，y2）】1．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.a·b=x1x2+y1y22. a⊥b=0⟺a·b=0⟺x1x2+y1y2=03. a∥b=0⟺x1y2-x2y1=04. a=（x1，y1），则|a|=√x12+y125. cosθ=a·b|a||b|=x1x2+y1y2√x1+y1·√x2+y2（θ是a与b的夹角）四、基础练习1.已知向量a=（1，-1），b=（2，x）.若a·b=1，则x=（）A.-1B.-12C. 12D.12.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，则向量a与b的夹角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°3.已知a，b为单位向量，其夹角为60°，则（2a-b）·b=（）A.-1B.0C.1D.24.设向量a，b满足|a+b|=√10，|a-b|=√6，则a·b=（）A.1B.2C.3D.55.已知向量a，b满足|b|=2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影长为___________.6.已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）= -6，且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为________.平面向量（四）平面向量的数量积平面向量的应用基础练习参考答案1.D2.C3.B4.A5.16.60°五、平面向量在平面几何中的应用 【以下a 、b 都是非零向量，其中a=（x 1，y 1）b=（x 2，y 2）】1.线平行、点共线、相似问题：a ∥b =0⟺a=λb ⟺x 1y 2-x 2y 1=02.垂直问题：a ⊥b =0⟺a·b=0⟺x 1x 2+y 1y 2=03.夹角问题：cosθ=a·b |a||b|=x 1x 2+y 1y 2√x 1+y 1·√x 2+y 2（θ是a 与b 的夹角）4．线段长度问题：a=（x 1，y 1），则|a |=√x 12+y 12；若A =（x 1，y 1）B =（x 2，y 2），|AB|=|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2. 六、拓展已知点O,N,P 在△ABC 所在平面内，且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ | =|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则O ，N ，P 三点依次是△ABC 的（ ） A.外心、内心、垂心 B.外心、垂心、内心 C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心 答案：C三角形的五心：1.外心 （1）三角形三边的垂直平分线的交点，称为三角形外心。
第三讲平面向量[考情分析]平面向量的命题近几年较稳定，一般是单独命题考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，难度较低，有时也与三角函数、解析几何综合命题，难度中等.1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )A．a⊥b B．|a|＝|b|C．a∥b D．|a|>|b|解析：依题意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，选A.答案：A2．(2015·高考全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )A．－1 B．0C．1 D．2解析：法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b ＝4－3＝1.法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.答案：C3．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.答案：－64．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________. 解析：因为a＋b＝(m－1,3)，a＋b与a垂直，所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，解得m＝7.答案：7平面向量的概念及线性运算[方法结论]1．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量． 2．利用平面向量基本定理实现了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线的向量e 1，e 2的线性组合λ1e 1＋λ2e 2，常用方法有两种：一是直接利用三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理来破解；二是利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．[题组突破]1．如图，在△OAB 中，点B 关于点A 的对称点为C ，D 在线段OB 上，且OD ＝2DB ，DC 和OA 相交于点E .若OE →＝λOA →，则λ＝( ) A.34 B.35 C.45D.12解析：通解：设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意得DC →＝OC →－OD →＝OA →＋AC →－23OB →＝OA →＋BA →－23OB →＝2a －53b .因为OE →＝λOA →＝λa ，设DE →＝μDC →＝2μa －53μb ，又OE →＝OD →＋DE →，所以λa ＝23b ＋2μa －53μb ＝2μa＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－53μb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2μ23－53μ＝0，所以λ＝45.优解：由题意知，AB ＝AC ，OD ＝2DB ，过点A 作AF ∥OB 交CD 于点F (图略)，则AF BD ＝AC BC ＝12， 即AF ＝12BD ＝14OD ，故AE ＝14OE ，则OE ＝45OA ，又OE →＝λOA →，故λ＝45.答案：C2．如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC →＝λAM →＋μBN →，则λ＋μ＝( ) A ．2 B.83 C.65D.85解析：法一：以AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，则AM →＝(1，12)，BN →＝(－12，1)，AC →＝(1,1)，∵AC →＝λAM →＋μBN →＝(λ－12μ，λ2＋μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝112λ＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65μ＝25，∴λ＋μ＝85，故选D.法二：由AM →＝AB →＋12AD →，BN →＝－12AB →＋AD →，得AC →＝λAM →＋μBN →＝(λ－μ2)AB →＋(λ2＋μ)AD →，又AC →＝AB →＋AD →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65μ＝25，∴λ＋μ＝85，故选D.答案：D3．已知平面向量a ＝(2,1)，c ＝(1，－1)．若向量b 满足(a －b )∥c ，(a ＋c )⊥b ，则b ＝( ) A ．(2,1) B ．(1,2) C ．(3,0)D ．(0,3)解析：通解：设b ＝(x ，y )，则a －b ＝(2－x,1－y )，a ＋c ＝(3,0)，由(a －b )∥c 可得， －(2－x )－(1－y )＝0，即x ＋y －3＝0.由(a ＋c )⊥b 可得，3x ＝0，则x ＝0，y ＝3，选D. 优解：因为a ＋c ＝(3,0)，且(a ＋c )⊥b ，逐个验证选项可知，选D. 答案：D [误区警示]在运用向量共线定理时，向量a 与b 共线存在实数λ保持a ＝λb 成立的前提条件是b ≠0.平面向量的数量积[方法结论]1．平面向量的数量积的运算的两种形式(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化． 2．夹角公式cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 3．模|a |＝a 2＝x 2＋y 2.4．向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0.[题组突破]1．(2017·洛阳模拟)已知向量a ＝(1,0)，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°.若c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则c 在d 方向上的投影为( ) A.55B ．－55C ．1D ．－1解析：依题意得|a |＝1，a ·b ＝1×2×cos 45°＝1，|d |＝a －b2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1，c ·d ＝a 2－b 2＝－1，因此c 在d 方向上的投影等于c ·d|d |＝－1，选D.答案：D2．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝( ) A ．1 B.116C.14D ．－12解析：通解：因为△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，所以OC →＝12OA →＋12OB →，所以OP →＝12OC →＝14(OA →＋OB →)，则AP →＝OP →－OA →＝14OB →－34OA →，所以AP →·OP →＝14(OB →－3OA →)·14(OA →＋OB →)＝116(OB →2－3OA →2)＝116.优解：以O 为原点，OB →的方向为x 轴正方向，OA →的方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略)，则A (0,1)，B (2,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，所以OP →＝12OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34，故AP →·OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14＝116. 答案：B3．(2016·珠海摸底)已知|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |，则向量a 与b 的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°解析：通解：设a 与b 的夹角为θ，由已知可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2)，即4a ·b ＝a 2＋b 2，因为|a |＝|b |，所以a ·b ＝12a 2，所以cos θ＝a ·b |a |·|b |＝12，θ＝60°，选C.优解：由|a |＝|b |，且|a ＋b |＝3|a －b |可构造边长为|a |＝|b |＝1的菱形，如图，则|a ＋b |与|a －b |分别表示两条对角线的长，且|a ＋b |＝3，|a －b |＝1，故a 与b 的夹角为60°，选C. 答案：C4．已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (0，－3)，C (－3,0)，动点P 满足|CP →|＝1，则|OA →＋OB →＋OP →|的最小值是________．解析：通解：由|CP →|＝1得点P (x ，y )的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝1，又OA →＝(1,0)，OB →＝(0，－3)，OP →＝(x ，y )，故OA →＋OB →＋OP →＝(1＋x ，y －3)，|OA →＋OB →＋OP →|的几何意义是点M (－1，3)与圆(x＋3)2＋y 2＝1上的点之间的距离．|MC →|＝－3＋12＋－32＝7，由数形结合(图略)可知|OA →＋OB →＋OP →|的最小值即为点M (－1，3)到圆(x ＋3)2＋y 2＝1上的点的最短距离，故|OA →＋OB →＋OP →|的最小值为7－1.优解：动点P 的轨迹为以C 为圆心的单位圆，设P (cos θ－3，sin θ)(θ∈[0,2π))， 则|OA →＋OB →＋OP →|＝1＋cos θ－32＋sin θ－32＝8－4cos θ＋23sin θ＝8－27sin θ＋φ，其中tan φ＝233，所以|OA →＋OB →＋OP →|的最小值为8－27＝7－1.答案：7－1 [误区警示]1．在解决平面向量的数量积问题中的注意点(1)两个向量的夹角的定义；(2)两个向量的夹角的范围；(3)平面向量的数量积的几何意义；(4)向量的数量积的运算及其性质等． 2．向量的数量积运算需要注意的问题a ·b ＝0时得不到a ＝0或b ＝0，根据平面向量数量积的性质有|a |2＝a 2，但|a ·b |≤|a |·|b |.平面向量与其他知识的交汇问题平面向量具有代数形式与几何形式的“双重型”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．交汇点一 平面向量与三角、解三角形的交汇[典例1] (2016·青岛二中模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(sin C ，sin A )，且m ∥n . (1)若cos A ＝12，b ＋c ＝6，求△ABC 的面积；(2)求a bsin B 的取值范围．解析：因为m ∥n ，所以sin 2A ＝sinB sinC ，结合正弦定理可得a 2＝bc .(1)因为cos A ＝12，所以b 2＋c 2－a 22bc ＝12，即b ＋c 2－3bc 2bc ＝12，解得bc ＝9.从而△ABC 的面积S △ABC ＝12bc sin A ＝12×9×32＝934，故△ABC 的面积为934.(2)因为a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－bc 2bc ≥2bc －bc 2bc ＝12(当且仅当b ＝c 时，取等号)．因为0<A <π，所以角A 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.由正弦定理，知0<absin B ＝sin A ≤32，所以a b sin B 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，32. [类题通法]破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化，即可破解平面向量与“三角”相交汇题．[演练冲关]1．(2016·开封模拟)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos θ与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ的值等于( )A ．－22B ．0C ．－12D ．－1解析：∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，cos θ与b ＝(－1,2cos θ)垂直，∴a ·b ＝0，即－12＋2cos 2 θ＝0，则cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2cos 2θ－12－12＝－12.故选C.答案：C2．已知向量a ＝(1，3sin ωx )，b ＝(cos 2ωx －1，cos ωx )(ω>0)，设函数f (x )＝a ·b 的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的单调区间．解析：(1)由题意知，f (x )＝a ·b ＝cos 2ωx －1＋3sin ωx ·cos ωx ＝12cos 2ωx ＋32sin 2ωx－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6－12， 因为函数f (x )的最小正周期为π，所以2π2ω＝π，解得ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3时，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，3π2， 所以当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π2，即x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，2π3时，函数f (x )单调递减．交汇点二 平面向量与“简单线性规划”相交汇[典例2] 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≤1，x ≥0，若向量OA →＝(1,2)，OB →＝(x ，y )，则z ＝OA →·OB →的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.32D ．2解析：原不等式组所表示的可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)，因为向量OA →＝(1,2)，OB →＝(x ，y )，所以z ＝OA →·OB →＝x ＋2y .当目标函数z ＝x ＋2y 过点(0,1)时，z ＝x ＋2y 取得最大值z max ＝0＋2×1＝2.故选D. 答案：D [类题通法]解决平面向量与“简单线性规划”相交汇题的常用方法是“转化法和数形结合法”，即先利用平面向量数量积的坐标表示，把平面向量问题转化为求线性目标函数问题；再借用图形，判断可行域；最后通过平移目标函数图象，求其最值．[演练冲关]3．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，若向量OM →＝(x ，－1)，ON →＝(2，y )，则OM →·ON→的最小值等于( ) A ．－52B ．－2C ．－32D ．2解析：约束条件所表示的可行域为如图所示的阴影部分(包括边界)，因为向量OM →＝(x ，－1)，ON →＝(2，y )，所以z ＝OM →·ON →＝2x －y .当z ＝2x －y 过点A (－1，12)时，z ＝2x －y 取得最小值，且z min ＝2×(－1)－12＝－52.故选A.答案：A交汇点三 平面向量与“充分必要条件”相交汇[典例3] (2015·高考北京卷)设a ，b 是非零向量．“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设向量a ，b 的夹角为θ，则a ·b ＝|a |·|b |cos θ.若a ·b ＝|a ||b |，则cos θ＝1，因为θ∈[0，π]，所以θ＝0，所以a ∥b ，即“a ·b ＝|a ||b |”⇒“a ∥b ”；若a ∥b ，则θ＝0或θ＝π，所以a ·b ＝|a ||b |或a ·b ＝－|a ||b |，所以“a ·b ＝|a ||b |”⇐/ “a ∥b ”，故“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件．故选A. 答案：A [类题通法]平面向量与“充分必要条件”相交汇问题的破解方法：“以小推大法”，即准确理解充分条件、必要条件及充要条件的含义，利用平面向量的有关概念、公式、定理(有时要利用数形结合思想)等，判断小范围和大范围之间的关系．[演练冲关]4．已知直线m ，n 的方向向量分别为a ，b ，则“m ∥n ”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：m ∥n ⇒a ∥b ；反之，当a ∥b 时，直线m ，n 可能重合，所以“m ∥n ”是“a ∥b ”的充分不必要条件．故选A. 答案：A交汇点四 平面向量与解析几何相交汇[典例4] (2017·大庆质检)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF →2＝F 1P →·PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∴∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12，∴2mn ＝4，∴S △F 1PF 2＝12mn ＝1，故选D.答案：D [类题通法]破解平面向量与“解析几何”相交汇问题的常用方法有两种：一是“转化法”，即把平面向量问题转化为解析几何问题，利用平面向量的数量积、共线、垂直等的坐标表示进行转化，再利用解析几何的相关知识给予破解；二是“特值法”，若是选择题，常可用取特殊值的方法来快速破解．[演练冲关]5．(2017·广州模拟)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 满足AF →＝2FB →，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________．解析：设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，∵AF →＝2FB →，∴1－x A ＝2(x B －1)，又x A x B ＝1，∴x A ＝2，x B ＝12，弦AB 的中点到抛物线准线的距离为x A ＋x B 2＋1＝2＋122＋1＝94.答案：94。
限时规范训练二 平面向量、复数运算限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选C.a ＋i 2－i ＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．若复数z 满足(1＋2i)z ＝(1－i)，则|z |＝( ) A.25 B.35 C.105D.10解析：选C.z ＝1－i 1＋2i ＝－1－3i 5⇒|z |＝105.3．已知复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z 2的共轭复数是( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．1－3iD ．－1－3i 解析：选B.2z －z 2＝21＋i －(1＋i)2＝－＋－－2i ＝1－i －2i ＝1－3i ，其共轭复数是1＋3i ，故选B.4．若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1解析：选C.∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2i ＋2－2＝－3i 3＝－i.5．已知复数z ＝11－i ，则z －|z |对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B.∵复数z ＝11－i＝1＋i －＋＝12＋12i ，∴z －|z |＝12＋12i －⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1－22＋12i ，对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12所在的象限为第二象限．故选B.6．若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12B.2－1C ．1D.2＋12解析：选A.由z (1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i1－i＝2＋＋－＋＝2－12＋2＋12i ，z 的实部为2－12，故选A. 7．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B.由MA →＋MB →＋MC →＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，所以AB →＋AC →＝3AM →，故m ＝3，故选B. 8．已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(x ，y －1)且a ∥b ，若x ，y 均为正数，则3x ＋2y的最小值是( )A ．24B ．8 C.83D.53解析：选B.∵a ∥b ，∴－2x －3(y －1)＝0，即2x ＋3y ＝3， ∴3x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋2y ×13(2x ＋3y )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋9y x ＋4x y ＋6≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋29y x·4x y ＝8，当且仅当2x ＝3y＝32时，等号成立． ∴3x ＋2y的最小值是8.故选B.9．在平行四边形ABCD 中，AC ＝5，BD ＝4，则AB →·BC →＝( ) A.414B ．－414C.94D ．－94解析：选C.因为BD →2＝(AD →－AB →)2＝AD →2＋AB →2－2AD →·AB →，AC →2＝(AD →＋AB →)2＝AD →2＋AB →2＋2AD →·AB →，所以AC →2－BD →2＝4AD →·AB →，∴AD →·AB →＝AB →·BC →＝94.10．在△ABC 中，已知向量AB →＝(2,2)，|AC →|＝2，AB →·AC →＝－4，则△ABC 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．2D ．3解析：选C.∵AB →＝(2,2)，∴|AB →|＝22＋22＝2 2. ∵AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|cos A ＝22×2cos A ＝－4， ∴cos A ＝－22，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝22， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|sin A ＝2.故选C.11．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1,2AO →＝AB →＋AC →且|OA →|＝|AB →|，则向量BA →在BC →方向上的投影为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32解析：选A.由2AO →＝AB →＋AC →可知O 是BC 的中点，即BC 为△ABC 外接圆的直径，所以|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，由题意知|OA →|＝|AB →|＝1，故△OAB 为等边三角形，所以∠ABC ＝60°.所以向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos∠ABC ＝1×cos 60°＝12.故选A.12．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM →·AN →的最大值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．9解析：选D.由平面向量的数量积的几何意义知，AM →·AN →等于AM →与AN →在AM →方向上的投影之积，所以(AM →·AN →)max ＝AM →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB →＋AD →·(AB →＋AD →)＝12AB 2→＋AD 2→＋32AB →·AD →＝9. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知复数z ＝3＋i －32，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i －32＝3＋i－2－23i ＝3＋i －＋3＝3＋－3－＋3－3＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋14i ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34－14i ＝316＋116＝14. 答案：1414．已知向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，且对一切实数x ，|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立，则a ，b 夹角的大小为________．解析：|a ＋x b |≥|a ＋b |恒成立⇒a 2＋2x a ·b ＋x 2b 2≥a 2＋2a·b ＋b 2恒成立⇒x 2＋2a ·b x －1－2a ·b ≥0恒成立，∴Δ＝4(a·b )2－4(－1－2a·b )≤0⇒(a·b ＋1)2≤0，∴a·b ＝－1，∴cos〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，故a 与b 的夹角的大小为2π3.答案：23π15．已知在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝6，BC ＝7，其外接圆的圆心为O ，则AO →·BC →＝________.解析：如图，取BC 的中点M ，连OM ，AM ，则AO →＝AM →＋MO →， ∴AO →·BC →＝(AM →＋MO →)·BC →.∵O 为△ABC 的外心，∴OM ⊥BC ，即OM →·BC →＝0，∴AO →·BC →＝AM →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC 2→－AB 2→)＝12(62－42)＝12×20＝10.答案：1016．已知非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |，〈c －a ，c －b 〉＝2π3，则|c ||a |的最大值为________．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b . ∵非零向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|a －b |， ∴△OAB 是等边三角形． 设OC →＝c ，则AC →＝c －a ，BC →＝c －b .∵〈c －a ，c －b 〉＝2π3，∴点C 在△ABC 的外接圆上，∴当OC 为△ABC 的外接圆的直径时，|c ||a |取得最大值，为1cos 30°＝233.答案：233。
