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第9章矩阵位移法9.1 概述前面介绍的力法、位移法和渐近法都是传统的解算超静定结构的方法，它们是建立在手算基础上的。
随着基本未知量数目的增加，其计算工作极为冗繁和困难。
而计算机的问世及其广泛应用，为结构计算提供了有效工具。
矩阵位移法就是以计算机为运算工具的一种新的结构分析方法，它完全可以代替人来完成大型复杂结构的计算问题。
矩阵位移法是以位移法为理论基础，结构分析的全部过程中运用了线性代数中的矩阵理论。
引入矩阵运算的目的就是使计算过程程序化，便于把结构分析的过程用算法语言编成计算程序，实现计算机自动化处理。
目前，应用矩阵位移法编制的结构分析软件，已在结构设计中得到了广泛的应用。
矩阵位移法又称为杆件有限元法。
它的主要解题思路是：首先将结构离散成为有限个独立的单元，进行单元分析，建立单元杆端力与单元杆端位移之间的关系式——单元刚度方程；然后利用结构的变形连续条件和平衡条件将各单元组合成整体，建立结点力与结点位移之间的关系式——结构刚度方程，这一过程称为整体分析；最后求得结构的位移和内力。
矩阵位移法就是在一分一合，先拆后搭的过程中，把复杂结构计算问题转化为简单的单元分析和集合问题。
本章主要讨论杆系结构的单元刚度矩阵及其在单元局部坐标系与结构整体坐标系间的变换、结构刚度矩阵的形成、荷载及边界条件处理等内容。
9.2 单元分析9.2.1 结构离散化结构离散化是指把结构分离成有限个独立杆件(单元)，由单元的组合体代替原结构(图9.1)。
一般单元为等截面直杆，杆系结构中每根杆件可以作为一个或几个单元。
单元的联接点称为结点。
对于等截面直杆所组成的杆系结构，只要确定了一个结构的所有结点，则它的各个单元也就随之确定了。
根据杆件联接的方式，可以将构造结点，如转折点、汇交点、支承点和截面的突变点取为结点。
在有些情况下，非构造点，如集中力作用点，也可作为结点处理。
离散化的结构用数字进行描述，即对各结点和单元进行编号。
通常用①,②,…表示单元编号，用1,2,…表示结点编号。
矩阵位移法的实施步骤1. 简介矩阵位移法（Matrix Displacement Method）是一种用于结构分析和设计的数学方法。
它通过将结构系统建模为节点和单元的组合，将结构的变形和力学特性表示为节点位移的线性组合，从而求解结构的静力和动力响应。
2. 基本原理矩阵位移法的基本原理是基于以下假设： - 结构系统可以通过节点和单元进行离散建模。
- 结构的位移可以通过节点位移的线性组合来表示。
- 结构的刚度可以通过节点位移与节点力的关系来表示。
- 结构的整体刚度矩阵可以通过单元刚度矩阵的组合来求解。
3. 实施步骤矩阵位移法的实施步骤包括以下几个主要的步骤：3.1 节点和单元的建立在矩阵位移法中，首先需要建立结构的节点和单元。
节点可以看作是结构的关键点，在节点上定义位移和力的参数。
单元则是连接节点的元素，用于描述结构的形状和材料特性。
3.2 建立结构的位移向量在建立节点和单元之后，需要将结构的位移表示为一个向量。
一个结构系统可以有多个自由度，每个自由度对应一个节点的位移。
3.3 求解节点力通过结构的位移向量和节点的刚度矩阵，可以求解结构的节点力。
节点力表示结构在该节点处受到的外部力或约束力。
3.4 组装单元刚度矩阵单元刚度矩阵描述了单个单元的刚度特性，它与单元的几何形状和材料特性有关。
根据单元的类型和数目，将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵。
3.5 求解整体刚度矩阵通过将各个单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵，可以得到结构的整体刚度矩阵。
整体刚度矩阵反映了结构系统的整体刚度特性。
3.6 求解节点位移通过结构的整体刚度矩阵和节点力，可以求解结构的节点位移。
节点位移是通过使用整体刚度矩阵的逆矩阵与节点力相乘得到的。
3.7 求解单元内力根据结构的节点位移和单元的刚度矩阵，可以计算出各个单元的内力。
单元的内力表示了单元内部材料受力的情况。
3.8 结果分析和验证最后，根据求解得到的节点位移和单元内力，可以对结构的静力和动力响应进行分析和验证。
