19.2.1正比例函数(第2课时)教案(新版)新人教版

正比例函数（2）教学设计教材分析函数是中学教学中非常重要的内容，是学生第一次学习数形式结合，正比例函数是一次函数特例，也是初中数学中的一种简单最基本的函数，努力上好正比例函数才能为后面学习一次函数打下基础，为此在教学中通过问题串，引导学生观察探索，让学生在学习过程中感悟函数思想，从而激发学生学习函数的信心和兴趣学情分析正比例数是学生第第一次涉及到一个具体的函数的学习和研究，也是初中数学中的一种简单最基本的函数，为后面学习一次函数打下基础，根据学生基础和知识层次制定不同的要求，提倡同伴间互相合作，充分遵循学生的认知规律，教学中注意由易到难、循序渐进，让每个学生获得成功的喜悦。

教学目标（一）知识与技能（二）能作正比例函数的图象，能掌握、运用正比例函数的性质；过程与方法：通过作正比例函数图象的过程，发展学生的观察、概括、归纳的能力，感知数形结合的数学思想；（三）情感态度与价值观：通过描点作图题培养学生认真的学习习惯。

教学重点正比例函数的图象特征和性质。

教学难点正比例函数的图象特征和性质的概括和归纳。

一、温故而知新问题1 昨天我们初步学习了正比例函数，你能判断下列函数中哪些是正比例函数吗？写出两个具体的正比例函数解析式吗？什么叫正比例函数？（学生随便写出两个正比例函数解析式，如y=2x、y=-2x等。

回顾正比例函数概念，开放性地先让学生写出几个简单的正比例函数解析式，既是为了帮助学生回顾正比例函数的概念，也是为了后面研究函数性质提供画图象的具体函数。

）问题2 函数都有哪几种表示方法？（教师引导学生说出表格法和图像法。

为激发学生学习本节课的兴趣做好铺垫。

）问题3 针对函数y=kx（k≠0），大家还想研究什么？应该怎样研究？（教师引导学生自然合理地提出要研究的问题——研究函数图象，研究步骤：列表、描点、连线。

通过回顾，引导学生自然合理地提出正比例函数图象的研究任务和研究方法。

）二、合作交流，学习新课活动一：预习书本87页，回答以下问题：1、什么是函数图像？2、自学画图步骤，并在同一个直角坐标系上画出y=2x和y=-2x的图像并比较两个函数图像的相同点与不同点例1让我们从具体的正比例函数y=2x和y=_的图象研究开始，画图象怎样画？议一议： 1 ) 满足关系式y=-2x的x,y所对应的点(x,y)是否都在它的图象上?( 2 ) 正比例函数y=-2x的图象上的点(x,y)都满足它的关系式吗?( 3 ) 正比例函数y=kx的图象有什么特点?学生讨论归纳，教师总结：相同点：正比例函数y=kx的图象是一条直线.它的图象也称为直线y=kx.不同点：不同点：函数y=2x的图象经过第一、三象限，从左向右呈上升状态；函数y=－2x的图象经过第二、四象限，从左向右呈下降状态。

正比例函数图象和性质中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。

（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。

3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。

4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。

（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。

三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。

（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！A书法文字发展简史：①古文字系统甲古文——钟鼎文——篆书早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。

人教版八年级下册数学第19章一次函数19.2一次函数19.2.1正比例函数课时2正比例函数的图像和性质教案【教学目标】知识与技能目标1.能够画出正比例函数的图象.2.根据正比例函数的解析式y=kx(k是常数,k≠0)和图象探索并理解其性质.3.根据两点确定一条直线,可以利用两点(两点法)画正比例函数的图象．过程与方法目标在用描点法画正比例函数图象过程中发现正比例函数性质．情感、态度与价值观目标学生在探究合作中交流,体验知识的形成过程,感知数形结合思想．【教学重点】正比例函数图象的画法和性质的理解.【教学难点】利用正比例函数图象与性质灵活解题.【教学准备】教师准备教学中出示的例题；学生准备坐标纸、学习用具.【教学过程设计】一、情境导入导入一:当今网络已经越来越普及,可以用电脑上网,手机上网等,我们班级有位同学经常上网,他的打字速度非常快,达到每分钟可以输入两百个汉字,真是高手!如果他输入的汉字个数用y(单位:百个)来表示,那么y与输入时间x(单位:分钟)的函数关系式是什么?这个函数是我们前面学习的正比例函数吗?用描点法,你能画出这个函数的图象吗?[设计意图]以学生身边感兴趣的问题导入新课,能更好地激发学生学习的积极性.导入二:1.在下列函数中,哪些是正比例函数?并指出正比例系数分别是多少?①y=x,②y=3x2,③y=2x,④y=2x-4,⑤y=,⑥y=-x ,⑦y=-2x.2.画函数图象需要经历哪些步骤?3.你能依据这些步骤画出以上正比例函数的图象吗?[设计意图]通过设计一组正比例函数,引导学生利用上一节知识,即函数的图象的画法来画正比例函数的图象,体会数形结合思想的应用.二、新知构建1.画正比例函数的图象[过渡语]你能用描点法画正比例函数的图象吗?思路一画出下列正比例函数的图象,并进行比较,寻找两个函数图象的相同点与不同点,考虑两个函数的变化规律.(1)y=2x;(2)y=-2x.学生通过列表、描点、连线,在坐标纸上画出所给函数的图象.教师根据学生画出的图象进行有针对性的讲解.解:(1)列表:函数y=2x中自变量x可以是任意实数.列表表示几组对应值:x-3 -2 -1 0 1 2 3y-6 -4 -2 0 2 4 6描点,连线,画出图象,如图所示:(2)列表:y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数,列表表示几组对应值:x-3 -2 -1 0 1 2 3y 6 4 2 0 -2 -4 -6描点,连线,画出图象,如图所示.练习:在同一坐标系中,画出下列函数的图象,并对它们进行比较.(1)y=x;(2)y=-x.[设计意图]利用描点法正确地画出两个函数图象,让学生体会数形结合思想.思路二1.正比例函数的图象问题画出下列正比例函数的图象:①y=2x;②y=-2x;③y=x;④y=-x.学生通过列表、描点、连线,在坐标纸上画出所给函数的图象,并观察规律.教师引导学生画图,注意函数图象的三个关键步骤:列表、描点、连线,边巡视边指出学生画图中出现的问题,最后展示正确图象(如图所示),让学生进行对比修改.[设计意图]通过活动,了解正比例函数图象特点及函数变化规律,让学生自己动手、动口、动脑,经历发现规律的整个过程,从而提高各方面能力及学习兴趣.2.正比例函数的性质思路一提问:观察上面的图象,发现函数图象有什么特点?师生共同归纳函数y=2x和y=-2x的图象特点.两个函数图象的共同点:都是经过原点的直线.不同点:函数y=2x的图象从左向右呈上升状态,经过第一、三象限,即随着x的增大y也增大.函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态,经过第二、四象限,即随x 增大y反而减小.学生根据自己所画的图象,以小组形式类似地归纳y=x和y=-x的图象特点:比较两个函数图象可以看出:两个函数图象都是经过原点的直线.函数y=x的图象从左向右上升,经过第一、三象限,即随x的增大y也增大;函数y=-x的图象从左向右下降,经过第二、四象限,即随x的增大y反而减小.总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律:正比例函数y=kx.(1)图象:正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条经过原点的直线.(2)性质:当k>0时,图象经过第一、三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,图象经过第二、四象限,y随x的增大而减小.提问:画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么?正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点的一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数图象时我们只需描点(0,0),点(1,k),两点连线即可.说明:正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.[设计意图]利用描点法正确地画出两个函数图象,在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程,并能准确地表达出,从而加深对规律的理解与认识.思路二问题:观察所画的四个函数图象,填写你发现的规律:①四个函数图象都是经过的直线.②函数y= 2x的图象经过第象限,从左向右(呈什么趋势),即y 随x的增大而;③函数y=-2x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而;④函数y=x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而;⑤函数y=-x的图象经过第象限,从左向右,即y随x的增大而.学生观察图象并回答,教师纠正学生回答中不正确的地方,并适当点拨讲解:①原点;②一、三;上升;增大;③二、四;下降;减小;④一、三;上升;增大;⑤二、四;下降;减小.师生共同归纳总结:正比例函数y=kx(k≠0)的性质:(1)图象是经过原点的一条直线.(2)当k>0时,图象经过第一、三象限,从左向右上升,y随x的增大而增大(递增).(3)当k<0时,图象经过第二、四象限,从左向右下降,y随x的增大而减小(递减).思考:画正比例函数的图象时,怎样画最简单?为什么?正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是经过原点的一条直线,由于两点确定一条直线,因此画正比例函数图象时我们只需描点(0,0),点(1,k),两点连线即可.说明:正是由于正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是一条直线,我们可以称它为直线y=kx.[设计意图]引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述.[知识拓展](1)正比例函数y=kx可以说成y与x成正比例,要求函数关系式,只需通过x,y的一组对应值求出k,从而确定关系式.(2)正比例函数的图象是过原点的直线,当k>0时,直线从左到右呈上升趋势,经过第一、三象限;当k<0时,直线从左到右呈下降趋势,经过第二、四象限.画正比例函数的图象时,只需要选取除原点外的一点,再过原点和选取点画直线即可,选取的点一般为点(1,k).(3)正比例函数的性质可以逆用.如当正比例函数y=kx(k≠0)中y随x的增大而增大时,k>0,反之,k<0;若正比例函数的图象过第一、三象限,则k>0等.3.例题讲解例1(补充)(1)已知一个正比例函数的图象经过点(-1,3),则这个正比例函数的表达式是.(2)函数y=5x-b2+9的图象经过原点,则b=.(3)直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,则k的取值范围是.〔解析〕(1)设正比例函数的解析式为y=kx,把点(-1,3)代入解析式求出k的值即可;(2)把原点坐标(0,0)代入函数解析式列方程进行求解;(3)根据正比例函数性质列不等式进行求解.解:(1)设正比例函数的解析式为y=kx,∵正比例函数的图象经过点(-1,3),∴-k=3,∴k=-3,∴这个正比例函数的表达式是y=-3x.(2)∵函数y=5x-b2+9的图象经过原点(0,0),∴-b2+9=0,∴b2=9,∴b=±3.(3)∵直线y=(2k-3)x经过第二、四象限,∴2k-3<0,∴k<.故k的取值范围是k<.[设计意图]通过设计一组填空题,让学生根据正比例函数的解析式和性质列方程或不等式求字母的取值或取值范围.例2(补充)已知点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上.(1)求k的值;(2)若点(-1,m)在函数y=kx的图象上,试求出m的值;(3)若A,y1,B(-2,y2),C(1,y3)都在此函数图象上,试比较y1,y2,y3的大小关系.〔解析〕(1) 把点(2,-4)代入y=kx中列方程进行求解;(2)把点(-1,m)代入(1)中函数解析式列方程进行求解;(3)根据正比例函数性质进行求解.解:(1)∵点(2,-4)在正比例函数y=kx的图象上,∴2k=-4, ∴k=-2.(2)由k=-2可得y=-2x,∵点(-1,m)在函数y=-2x的图象上,∴m=-2×(-1)=2.(3)y=-2x,∵k=-2<0,∴y随x的增大而减小,∵A,y1,B(-2,y2),C(1,y3)都在函数y=-2x的图象上,-2<<1,∴y3<y1<y2.[设计意图]通过设计正比例函数的简单应用,让学生根据正比例函数的解析式和性质进行求解,及时复习正比例函数的性质.例3(教材例1)画出下列正比例函数的图象:(1)y=2x, y=x;(2)y=-1.5x, y=-4x.〔解析〕根据正比例函数的图象是一条直线,两点确定一条直线来作图.解:(1)列表,得:x0 1y=2x0 2y=x0描点,连线,即为函数y=2x, y=x的图象(如下图).(2)列表,得:x0 1y=-1.5x0 -1.5y=-4x0 -4描点,连线,即为函数y=-1.5x, y=-4x的图象(如下图).[设计意图]通过设计正比例函数图象的简单画图,让学生知道利用两点确定一条直线来作图,体验数形结合思想的应用.三、教学小结师生一起总结正比例函数的图象和性质:(1)正比例函数的图象是经过坐标原点的一条直线.(2)作y=kx的图象时,应先选取两点,通常选点(0,0)与点(1,k);然后在坐标平面内描点(0,0)与点(1,k);最后过点(0,0)与点(1,k)画一条直线.(3)当k>0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即:随着x的增大y也增大;当k<0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即:随着x的增大y反而减小..【板书设计】19.2一次函数19.2.1正比例函数课时2正比例函数的图像和性质1.画正比例函数的图象2.正比例函数的性质3.例题讲解例1 例2 例3【课堂检测】1.下列函数解析式中,不是正比例函数的是()A.xy=-2B.y+8x=0C.3x=4yD.y=-x解析:根据正比例函数的定义:一般地,两个变量x,y之间的解析式可以表示成形如y=kx(k为常数,且k≠0)的形式,那么y就叫做x的正比例函数.不是正比例函数的是A.故选A.2.函数y=(1-k)x中,如果y随着x增大而减小,那么常数k的取值范围是()A.k<1B.k>1C.k≤1D.k≥1解析:∵函数y=(1-k)x中,y随着x的增大而减小,∴1-k<0,解得k>1.故选B.3.我国是一个严重缺水的国家,大家应倍加珍惜水资源,节约用水.据测试,拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.05 mL.小红同学在洗手后,没有把水龙头拧紧,当小红离开x h后水龙头滴了y mL水.则y关于x的函数解析式为.解析：因为水龙头每秒会滴下2滴水,每滴水约0.05 mL,所以当小红离开x h后水龙头的滴水量y=3600×2×0.05x=360x.故填y=360x.4.直线y=x经过(0,),(,2),且过第象限,y随x的增大而.解析:由y=x可知当y=2时,x=3,故直线y=x经过(0,0),(3,2).由k=>0可知直线y=x 过第一、三象限,y随x的增大而增大.答案:03一、三增大5.已知函数y=(k+3)x|k|-4是正比例函数,且y随x的增大而减小,那么k=. 解析:∵函数y=(k+3)x|k|-4是正比例函数,且y随x的增大而减小,∴∴k=-5.故填-5.6.已知某种小汽车的耗油量是每100 km耗油15升.所使用的93汽油今日涨价到5元/升.(1)写出汽车行驶途中所耗油费y(元)与行程x(km)之间的函数关系式;(2)在平面直角坐标系内描出大致的函数图象;(3)计算娄底到长沙220 km所需油费是多少?解:(1)y=5×x=0.75x.(2)列表,得:x0 1y=0.75x0 0.75描点,连线,得到函数y=0.75x的图象(如下图).(3)当x=220时,y=0.75×220=165(元).【教学反思】成功之处：在本节课通过实际问题的引入,激发学生的学习兴趣,再通过设计一组问题,让学生观察、对比、归纳出正比例函数定义,通过例题来巩固新知识,利用一组由浅入深、由易到难的题,逐题递进,落实本节课的教学重点.在教学形式上采用学生口述、互评等多种方法,激发学生思维,营造良好的课堂气氛.不足之处：由于课堂的容量较大,学生思考问题的时间显得相对不足,学困生就显得很吃力.再教设计：教学设计时可以进行分层设计,一组基础题让学困生完成,另一组难的让基础好的学生完成.．人教版八年级下册数学第19章平行四边形19.2一次函数19.2.1正比例函数课时2正比例函数的图像和性质学案【学习目标】1．理解正比例函数的图象的特点，会利用两点（法）画正比例函数的图象．2．掌握正比例函数的性质．3．能结合正比例函数的图象和性质解答有关问题．【学习重点】正比例函数的图象和性质．【学习难点】利用正比例函数的图象和性质解答有关问题．【自主学习】一、知识链接1.已知正比例函数y=3x，当x=0时，y= ；当x=1时，y= .2.画函数图象的步骤有：、、.二、新知预习1.画出下列正比例函数的图象：（1）y=2x，13y x=；（2）y=-1.5x，y=-4x.2.函数y=2x，13y x=的图象的共同特点是__________________________；函数y=2x，13y x=的图象的共同特点是____________________________.3.自主归纳：(1)函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象是一条经过的；（2）k＞0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第象限；k<0时，函数y=kx (k是常数，k≠0)的图象经过第象限；（3）k＞0时，函数值y随自变量x 的增大而；k<0时，函数值y随自变量x 的增大而.三、自学自测1.函数y=－3x的图象是经过点（0，__）和（1，___）的一条______，图象经过第___、____象限，从左到右呈_____趋势，即y随x的增大而______.2.在平面直角坐标系中，正比例函数y =kx（k＜0）的图象的大致位置只可能是（）．四、我在自学过程中产生的疑惑【构建新知】一、新知梳理知识点1：正比例函数的图象问题1：正比例函数的图象什么？画正比例函数的图象只需要确定几个点？【典例探究】例1用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：（1）-3y x=；（2）3.2 y x =方法总结:画正比例函数图象时我们只需描点(0，0)和点(1，k)，连线即可. 例2已知正比例函数y=(k+1)x.（1）若函数图象经过第一、三象限，则k的取值范围是________. （2）若函数图象经过点（2，4），则k_____.知识点2：正比例函数的性质问题2：在函数y=x，y=3x，12y x=-和-4y x=中，随着x的增大，y的值分别如何变化?要点归纳：在正比例函数y=kx中：当k>0时，y的值随着x值的增大而________;当k<0时，y的值随着x值的增大而________.例3已知正比例函数y=mx的图象经过点（m，4），且y的值随着x值的增大三、归纳总结正比例函数y=kx(k≠0)图象正比例函数的图象是一条过原点的直线.k>0 k<0图象是自左向右上升的，经过第一、三象限图象是自左向右下降的，经过第二、四象限|k|越大，图象越陡（即越靠近y轴）性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小【学习检测】1.下列图象哪个可能是函数y=-x的图象（）2.正比例函数y=2x的图象所过的象限是()A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限A(解析:∵正比例函数y=2x中,k=2>0,∴正比例函数y=2x的图象经过第一、三象限.)3.对于正比例函数y =（k-2）x，当x 增大时，y 随x 的增大而增大，则k的取值范围（）A．k＜2B．k≤2 C．k＞2D．k≥24.已知正比例函数y=(k-1)的图象经过第二、四象限,则k的值是()A.±3B.±2C.2D.-2D(解析:由正比例函数y=(k-1)的图象经过第二、四象限,可得故k=-2.)5.正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m等于()A.2B.-2C.4D.-4B(解析:∵正比例函数y =mx 的图象经过点A (m ,4),∴m 2=4,∴m =±2.又∵y 的值随x 值的增大而减小,∴m <0,∴m =-2.故选B .)6.函数y=-7x 的图象经过第_________象限，经过点_______与点_______，y 随x 的增大而_______.7.已知正比例函数y =kx (k ≠0),点(2,-3)在函数图象上,则y 随x 的增大而 .(填增大或减小)减小(解析:∵点(2,-3)在正比例函数y =kx (k ≠0)的图象上,∴2k =-3,解得k =-,∴正比例函数解析式是y =-x ,∵k =-<0,∴y 随x 的增大而减小.)8.点(x 1,y 1)与点(x 2,y 2)是正比例函数y =x 的图象上两点,且x 1<x 2,则y 1 y 2.(填“>”“=”或“<”号)<(解析:由k =>0可知y 随x 的增大而增大,故当x 1<x 2时,y 1<y 2.故填<.) 9.已知正比例函数y=(2m+4)x.（1）当m_______，函数图象经过第一、三象限； （2）当m_______，y 随x 的增大而减小； （3）当m_______，函数图象经过点（2，10）.10.如图分别是函数x k y 1=，x k y 2=，x k y 3=，x k y 4=的图象. （1）k 1 k 2，k 3 k 4(填“>”或“<”或“=”)； （2）用不等号将k 1， k2， k 3， k 4及0依次连接起来．11.已知函数y =(|a |-3)x 2+2ax +a +3是关于x 的正比例函数,求正比例函数的解析式,并画出函数图象.解:∵函数y =(|a |-3)x 2+2ax +a +3是关于x 的正比例函数,∴|a |-3=0,∴a =±3,当a =3时,y=6x+6(舍);当a=-3时,y=-6x.∴正比例函数的解析式为y=-6x.列表,得:x0 -1y0 6描点,连线即可得到函数y=-6x的图象,如图所示.12.已知y与x成正比例,且当x=-2时y=-4.(1)写出y与x的函数关系式;(2)用两点法画出函数图象;(3)设点(a,-2)在这个函数图象上,求a的值;(4)如果x的取值范围是0≤x≤5,求y的取值范围.解:(1)设y与x的函数关系式为y=kx,∵当x=-2时y=-4,∴-2k=-4,∴k=2,∴y与x的函数关系式为y=2x.(2)列表,得:x0 1y=2x0 2描点,连线得到函数y=2x的图象,如图所示.(3)∵点(a,-2)在这个函数图象上,∴2a=-2,∴a=-1.(4)如果x的取值范围是0≤x≤5,那么y的取值范围为0≤y≤10.13.正比例函数y=2x的图象如图所示,点A的坐标为(2,0),函数y=2x的图象上是否存在一点P,使△OAP的面积为4,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,请说明理由.解:存在.理由如下:因为点A的坐标为(2,0),所以OA=2,设点P的坐标为(n,m),因为△OAP的面积为4,所以×OA×|m|=4,即×2×|m|=4,所以m=±4,当m=4时,把x=n, y=m=4代入y=2x,得4=2n,所以n=2,此时点P的坐标为(2,4),当m=-4时,把x=n, y=m=-4代入y=2x,得-4=2n,所以n=-2,此时点P的坐标为(-2,-4).综上所述,点P的坐标为(2,4)或(-2,-4).。

19.2.1正比例函数的图象和性质教学设计一、教学内容分析《正比例函数的图象和性质》是人教版数学八年级下册第十九章第二节第二课时. 本节内容既是对前面所学函数基本概念知识的应用，又是为以后学习一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质作铺垫，具有承上启下的重要作用.函数的思想是一种重要的数学思想，体现了运动变化、数形结合等数学思想，作为一名数学教师，我们要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想方法，因此，本节课在教学中，力图让学生感知正比例函数图象的发展变化，学会观察、归纳的数学方法，体会数形结合的思想.二、教学目标（一）知识与能力1、进一步巩固正比例函数的概念，会画正比例函数的图象，进一步熟悉函数图象作图步骤.2、能根据正比例函数图象观察、发现归纳出它的性质，并会简单运用.（二）过程与方法1、通过实例函数图象画法的学习，发现并总结正比例函数图象的常用画法.2、通过观察、探究、分析、引导学生发现正比例函数的性质.3、培养学生善于观察问题发现结论，了解数形结合及由一般到特殊的数学思想.（三）情感态度及价值观通过对正比例函数图象的探究，体现数学的直观形象美，积极参与探究活动，注意多和同伴交流看法，激发学生兴趣，增强学生对数学学习的好奇心和求知欲.三、学情分析八年级的学生处于思维活泼阶段，学生的接受能力、思维能力、自我控制能力都有较大变化和提高，具备一定的自学能力.本节课安排在八年级下学期，学生对运动变化现象中的变量已经有了一定的认知能力，在此基础上认识函数，进而讨论简单的正比例函数的图象及其性质更是水到渠成的事，学生第一次结合实例经历列表、描点、连线等活动，理解函数的整体直观形象，为学生探索正比例函数的性质提供了思维活动空间，使学生更牢固地掌握正比例函数的性质.四、教学重点、难点教学重点：理解和掌握正比例函数的图象和性质．教学难点：在画图过程中观察、归纳正比例函数的性质，并学会灵活应用其性质.五、教法与学法教法：根据这节课内容特点、学生认知规律，本节课我采用激趣法、讨论法、多媒体辅助法以及巡回指导法，希望学生能真正的参与活动，在活动中得到认识和体验，产生践行的愿望.学法：在指导学生的学习方法和培养学生的学习能力方面主要采取:分析归纳、自主探究、练习以及合作交流的数学学习方法.六、教具三角板、多媒体课件、多媒体平台七、教学过程（一）单元导入明确目标1.呈现整章知识树，让学生明确本节课所学内容在全章中的地位，从整体上把握本节内容；2.出示学习目标，让学生在目标的指引下进行有针对性的学习.（二）新知导学合作探究复习旧知1、一般地，形如 ________(k是常数， )的函数，叫做正比例函数(其中k叫做 ).2、画函数图象的步骤：（1） ____ ___ （2） ____ _ __ （3）___ ____学生回答后，教师提出让学生拿出预习作业：“用描点法画函数的图象”作业出来展示.由自荐小组的作业放在多媒体平台上展示并请全班同学一起订正，接着全班同学通过展示答案订正自己的答案.新知导学，合作探究自学指导：在同一个平面直角坐标系中．．．．．．．．．．．．画出下列函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点和不同点，思考两个函数的变化规律.（1）y =2x（2）12y x（3）y =-1.5x（3）y =-3x解：1、列表2、描点3、连线学生校对完预习作业，教师引导学生通过自己的预习作业来完成导学案中的问题.问题一：观察上面图象，你发现正比例函数的图象有什么特点？ 相同点：函数y =2x 、12y x =、y =-1.5x 和y =-3x 的图象都是一条经过 的 . 不同点：（1）函数y =2x 和函数12y x =的图象经过第____ ____象限，从左向右呈__ ___趋势，即随着x 的增大，y 也___ __；（2）函数y =-1.5x 和函数y =-3x 的图象经过第____ ____象限，从左向右呈__ ___趋势，即随着x 的增大 y _ ____.通过小组讨论完成导学案中的问题一，然后小组自荐回答讨论所得答案.接着教师引导学生来共同讨论正比例函数图象的不同点是由什么决定的，可以举出具体的例子，要求学生能够结合所画的图象来说明.最后经过师生的热烈讨论得出课本的归纳：正比例函数的图象和性质特点，由学生画书朗读记忆.最后落实到导学案的填空记忆.归纳：正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图象和性质：（1）图象：正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图象是一条经过_______的 ，我们称它为直线 .（2）性质：当_________时，图象经过第___________象限，从左向右 ，y 随x 的增大而_________；当_________时，图象经过第_______ ___象限，从左向右 ，y 随x 的增大而_________.投影答案校对后，教师再引导学生把文字的性质结合函数图象来记忆，板书.接着让学生利用以上所得做应用练习.（三）巩固练习，拓展提升1、函数y =-2.5x 的图象经过第 象限，经过点（0， ）与点（1， ），y 随着x 的增大而 ；函数45y x =的图象经过第 象限，经过点（0， ）与点（1， ），y 随着x 的增大而 .2、在平面直角坐标系中，正比例函数y =kx （k ＜0）图象的大致位置只可能是（ ）．3、对于正比例函数y =kx ，当x 增大时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围 （ ）．A ．k ＜0B ．k ≤0C ．k ＞0D ．k ≥04、正比例函数y =(m -1)x 的图象经过第一、三象限，则m 的取值范围是（ ）.A. m =1B. m ＞1C. m ＜1D. m ≥15、正比例函数y =(3-k )x ，如果随着x 的增大y 反而减小，则k 的取值范围是 .6、(2014菏泽中考)关于函数x y 31=，下列结论中，正确的是（ ）. A.函数图象经过点（1，3） B.函数图象经过第二、第四象限C.y 随x 的增大而增大D.不论x 为何值，总有y ＞0投影自荐学生的答案，全班集体校对订正，统计练习结果，由对的学生给错的学生讲解解题思路和方法.7、(2015梅州中考题变式)（1）若点A (-2， y 1），点B （1，y 2）是正比例函数23y x =图象上的两点，则y 1 y 2（填＞，＝或＜）；（2）若点P (x 1， y 1），点Q （x 2，y 2）是正比例函数23y x =图象上的两点，且x 1＞x 2，则y 1 y 2（填＞，＝或＜）；（3）若点P (x 1， y 1），点Q （x 2，y 2）是正比例函数23y x =-图象上的两点，且x 1＞x 2，则y 1 y 2 （填＞，＝或＜）；（4）若点P (x 1， y 1），点Q （x 2，y 2）是正比例函数y kx =-（k ＞0）图象上的两点，且x 1＞x 2，则y 1 y 2（填＞，＝或＜）.通过链接中考题型、变式练习，巩固所学知识，提高解决问题的能力.本环节还注重学生对于解题策略与解题方法的理解与掌握，对学生的思维度有进一步地提升，体现了导学案设计的“层次性”. 完成课堂练习后，教师总结说：结合函数图象来解答给我们带来了很多的便利，但是，我们在课前预习画正比例函数的图象时，是很费时间和精力的，接着提问：通过本节课的学习，有同学有更简单的方法来画正比例函数的图象吗？问题二：画正比例函数的图象时，怎样画最．简单？为什么？ 引导学生作答后归纳出画正比例函数图象最简单的方法是“两点法”，并说明原因.（四）课堂小结，回归目标正比例函数的图象和性质：师生通过板书一起回顾本节课所学，并再次有意识地引导学生通过数形结合记忆正比例函数的图象和性质.（五）达标检测 当堂反馈1、(2分)下列函数中，y 的值随x 的增大而减小的有________ ；y 的值随x 的增大而增大的有________．2、（4分）函数y =－6x 的图象在第 象限，经过点（0， ）与点(1, ), y 随x 的增大而 .3、（1分）如果函数y =(m －2)x 的图象经过第一、三象限,那么m 的取值范围是 .4、（1分）已知正比例函数y=kx (k ≠0)的图象经过第二，第四象限，那么( ) .A.k ＞0B.k ＜0C.k ＞2D.k ＜-25、（2分）正比例函数y =(8-2a )x ，如果随着x 的增大y 反而减小，则a 的取值范围为 .学生独立完成，投影答案校对，统计的分情况.当堂解决出现问题.（六）作业布置1、完成《新课程》对应的19.2.1正比例函数的图象和性质相应内容2、思考导学案的选做题八、教学反思本课不是直接了当地进行介绍、灌输，而是通过各个活动，把学生带入主动探索的活动中来，引导学生动手画图、观察、分析、归纳，尽可能得使学生更投入地参与到本节课的学习中来.设置问题和练习，更多地由学生通过探究合作来解决.再结合实例，有意识地深刻学生数形结合的理解记忆函数图象和性质的方法，使学生收到了事半功倍的效果.上过课后我发现以下问题需要注意和改进：（1） 学生在学习了函数图象的描点法和正比例函数的定义的基础上学习本节课，大部分学生可以很快接受，但有少部分学生理解比较吃力，究其原因，发现是前面内容掌握不牢，理解不透造成的.所以我认为在本节课前有必要对前置内容加以深化.（2)数形结合是本节课主要想渗透的数学思想方法，尤其是在学习函数的图象和性质的环节是很有帮助的，但中下层生基本还停留在只听其词不懂其意的阶段，还需要在以后的课堂上继续渗透，继续加深学生对其的理解.（3）本节课教师相对还是不敢放手让学生自主地来探索归纳，主导学生思维的力度有点过.x y 2)1(-=3(2)5y x =x y -=)3(xy 5)4(=。

人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数教案一. 教材分析人教版数学八年级下册19.2.1节讲述了正比例函数的概念、性质及其在实际问题中的应用。

本节内容是学生学习函数的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

教材通过具体的例子引入正比例函数，使学生能够直观地理解概念，并通过大量的练习题让学生熟练掌握正比例函数的性质和运用。

二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了代数基础知识，对变量、常量、方程等概念有了一定的理解。

但正比例函数作为一种特殊的函数，学生可能对其概念和性质认识不足，需要通过本节课的学习来进一步掌握。

此外，学生可能对于实际问题中如何运用正比例函数解决有一定困难，需要通过实例分析和练习来提高。

三. 教学目标1.了解正比例函数的概念，掌握正比例函数的性质。

2.能够运用正比例函数解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

四. 教学重难点1.正比例函数的概念和性质。

2.正比例函数在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、练习法、小组讨论法等教学方法。

通过具体的例子引入正比例函数，让学生在实际问题中感受正比例函数的应用，通过练习题让学生巩固所学知识，通过小组讨论培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。

六. 教学准备1.准备相关的例子和练习题，用于课堂讲解和练习。

2.准备多媒体教学设备，用于展示例子和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入正比例函数的概念，如“一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶1小时后，行驶的路程是多少？”让学生思考并回答，引出正比例函数的概念。

2.呈现（10分钟）讲解正比例函数的定义和性质，通过多媒体展示相关的图片和实例，让学生直观地理解正比例函数的概念。

同时，给出正比例函数的一般形式y=kx（k为常数，k≠0），并讲解其性质。

3.操练（10分钟）让学生进行一些有关正比例函数的练习题，巩固所学知识。

19.2.1 正比例函数第2课时教学目标：探究正比例函数图象的特征，会正确画出正比例函数图象；理解正比例函数的性质．学生经历“画图——观察——归纳——说理”的探究过程，培养了学生动手操作能力、促进了学生由感性向理性思维的发展，提高学生的逻辑思维能力．教学重点：1、正比例函数图象的特征和画法；2、正比例函数的性质．教学难点：正比例函数图象是直线的分析说明．教学过程：（一）引入：上节课我们学习了形如(0)y kx k =≠的函数叫正比例函数，(0)y kx k =≠是函数的解析式，为了更深入、全面地认识正比例函数，我们这节课就来研究它的图象和性质．（二）画正比例函数图象：老师列举了两个具体的正比例函数，请你用描点法画出这两个函数的图象：y x =、2y x =-（学生在学案纸上画出图象），学生展示，师生总结（回顾）用描点法画函数图象的步骤和注意事项．（三）观察归纳：观察y x =、2y x =- 的图象，你能描述它们的图象特征吗？如何说明你的发现？ （正比例函数图象是一条经过原点的直线）（四）说明道理：通过具体的y x =、2y x =-两个例子说明正比例函数图象是一条直线，学生先独立思考，再课堂展示：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上1、y x =——用角平分线的判定定理；“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”说明所描点都在一、三象限的角平分线上（也可用三角形全等证明）．2、2y x =-——证明任意三点共线（可三角形全等证明角相等；可用勾股定理求出三条线段的长度） N Rt △ABM 中，AB =Rt △BON 中，BO =Rt △AOP 中，AO =∵AB +BO =AO∴点A 、B 、O 三点共线552（五）师生感受正比例函数图象得出过程：画——观——归——证．（六）简单方法画正比例函数(0)y kx k =≠图象：确定两点（0,0）、（1，k ）．简单方法画13y x =和 1.5y x =-的图象． （七）观察并归纳：从以上四个正比例函数图象中，你发现了什么规律？学生思考并阐述发现：正比例函数图象和性质(八) 思考： 在正比例函数y kx =中，若k <0，怎样说明随着x 的增大y 反而减小？ 引导学生从“数”、“形”两个角度解释，充分体现“数形结合”的思想．（九）正比例函数图象性质应用点(1,)A a 、点(3,)B b 在直线2y x =-上，试比较a 、b 的大小．方法1：计算a 、b 值；方法2：画图象，数形结合方法3：利用正比例函数增减性比较a 、b 大小（十）课堂小结（十一）作业：1、课本89页练习2、课本98页复习巩固1、2题。

教学过程三、课堂练习四、课堂小结正比例函数的图象特征：1、 (k是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线.2、当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限。

思考：你能用最简单的方法画出下列函数的图象吗？(1)3y x=-活动二、探究正比例函数的性质1、在函数 , , 和中，随着x的增大,y的值分别是如何变化的?2、我们还可以借助函数图象分析此问题观察图象可以发现：①当k>0时，从左向右逐渐上升, 即y的值随x的增大而增大；②当k<0时，从左向右逐渐下降，即y的值随x的增大而减小。

课堂练习见PPT通过本节课的学习，你所学到的正比例函数的图象是什么样的？它具有哪些特征？它又具有哪些性质呢？板书设计19.2.1正比例函数的图象与性质一、图象：经过原点的一条直线.当k>0时，经过第一、三象限；当k<0时，经过第二、四象限.二、性质：当k>0时，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，y的值随x值的增大而减小.作业布置1、用两点法画出下列函数的图象2、课本第98页，第1、2题。

课题19.2.1正比例函数的图象与性质课型新授课时第2课时核心素养1.会画正比例函数的图象 .2.根据正比例函数的图象探究图象的特征与性质.3.利用正比例函数的性质解答有关的问题.教学重点难点重点：正比例函数的图象与性质难点：探究正比例函数的性质及其性质的应用教学准备课件、三角尺教学方法合作探究教学过程教学程序师生活动一、复习回顾二、探究新知1、用描点法画函数图象有哪几个步骤？①列表②描点③连线2、正比例函数的定义是什么？一般地，形如式（ k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k是比例系数。

活动一、探究正比例函数的图象特征1、画出下列正比例函数的图象观察函数图象，它是一条经过的直线，并且经过了象限。

2、画出下列正比例函数的图象观察函数图象，它是一条经过的直线，并且经过了象限。

人教版数学八年级下册《19.2.1 正比例函数》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册《19.2.1 正比例函数》是学生在学习了初中数学基础知识后，进一步深入研究函数的性质和应用。

本节内容主要包括正比例函数的定义、图象和性质，以及正比例函数在实际生活中的应用。

通过本节的学习，使学生能够理解正比例函数的概念，掌握正比例函数的图象和性质，并能运用正比例函数解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了初中数学的基本知识，对函数有一定的了解。

但学生对正比例函数的概念和性质的认识还不够深入，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。

同时，学生对于正比例函数在实际生活中的应用还不够熟悉，需要通过实例来引导学生理解和运用。

三. 教学目标1.理解正比例函数的概念，掌握正比例函数的图象和性质。

2.能够运用正比例函数解决实际问题，提高学生的应用能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

四. 教学重难点1.正比例函数的概念和性质。

2.正比例函数在实际生活中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究正比例函数的性质和应用。

2.利用数形结合法，通过图象来直观展示正比例函数的性质。

3.采用实例教学法，让学生通过实际问题来理解和运用正比例函数。

六. 教学准备1.教学PPT，包括正比例函数的定义、图象和性质等内容。

2.实例题库，用于巩固和拓展学生的知识。

3.板书设计，包括正比例函数的定义、图象和性质等重要内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入正比例函数的概念，例如：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶3小时后，行驶的路程是多少？引导学生思考速度、时间和路程之间的关系，从而引出正比例函数的概念。

2.呈现（10分钟）利用PPT呈现正比例函数的定义、图象和性质。

引导学生通过观察图象来理解正比例函数的性质，如过原点、斜率为正等。

同时，给出正比例函数的数学表达式y=kx（k为常数，k≠0）。

19.2.1 正比例函数(第2课时)一、内容和内容解析1．内容正比例函数的图象及性质．2．内容解析本节课是在学习了正比例函数的概念后，研究其图象及性质．描点法是画陌生函数图象的通法，在用描点法画函数图象过程中，体现着函数的解析式法、列表法与图象法的联系．在确认正比例函数图象为一条直线后，可以根据两点确定一条直线而得到的简单画法——两点法．因为正比例函数经过(0，0)和(1，k)，所以可以经过这两点画直线得到正比例函数的图象，当然也可以经过原点和图象上的任意一点画直线得到正比例函数图象，这恰好与由一对对应值确定一个正比例函数的事实相吻合．正比例函数的图象及性质主要研究的是图象的形状、位置与增减性．在正比例函数的图象及其性质研究中，蕴涵了数形结合思想、分类讨论思想和观察、表征、归纳等数学认知活动．因此，本课的教学重点是用数形结合的思想方法，通过画图观察，概括正比例函数的图象特征及性质．二、目标和目标解析1．目标(1)会画正比例函数的图象．(2)能根据正比例函数的图象和表达式y＝k x(k≠0)理解k＞0和k＜0时，函数的图象特征与增减性．(3)通过观察图象、归纳总结概括出正比例函数性质的活动，发展数学感知、数学表征、数学概括能力，体会数形结合的思想，发展几何直观．2．目标解析(1)面对一个陌生的初等函数，画图观察和归纳是认识函数性质的基本方法．在观察了用描点法画出的正比例函数图象后，发现它是一条直线，再根据两点确定一条直线获得正比例函数图象的两点法画图，两点法画正比例函数的图象是适合于正比例函数的简单画法．要求学生能熟练应用两点法画出一个具体的正比例函数的图象．(2)结合图象理解正比例函数图象在k＞0和k＜0时的图象特征与性质，具体表现为：①针对具体的正比例函数，能画出(并想象出)图象，正确理解函数图象所经过的象限与增减性；②k的符号变化是导致函数图象(直线)所经过的象限与增减性变化的唯一因素．(3)体会数形结合思想，要求学生感受到“以形表示数，以数解释形”，这种用坐标法建立数和形联系是数形结合的重要方法；发展数学感知能力，要求学生能通过图象的直观观察发现其特征；发展数学表征能力，要求学生会用图象描述关系，用变量解释图形特征；发展数学概括能力，要求学生能在教师的引导下自己概括出正比例函数的图象性质．三、教学问题诊断分析学生通过函数的概念、函数的表示法的学习，初步体会了函数研究方法，通过函数图象的学习，知道了用描点法可以直观地表示一个函数，从而进一步探究变量的变化规律和变化趋势．正比例函数图象的位置与增减性都只受到一个系数k的影响．把图象特征解析为变量之间的对应关系和变化情况，需要观察图象，以图象上的点的运动为切入点，以对图象上点的坐标之间的对应关系和变化规律解释为中介，最终解释为变量的对应关系和变化情况，而研究正比例函数的变化过程和变化情况，需要两次概括，第一次概括是在k为具体数值时，随着自变量的值的增大，函数值如何变化；第二次概括是当k的正负号变化时，对应函数的增减性如何变化．这两次概括过程需要较强的数学概括能力，学生会遇到较大困难．综上所述，本课的难点是：对函数图象及其变化的变量意义的解释．四、教学支持条件分析为了让学生更直观地理解正比例函数的图象及性质与系数k的关系，可以利用几何画板制作动画，展示当k固定时，函数值是怎样随着自变量的增大而变化的；当k的值变化时，是怎样影响函数的增减性的，帮助学生理解比例系数k与函数图象性质之间的关系．五、教学过程设计(一)回顾旧知，提出问题问题1上节课，我们学习了正比例函数，那么什么是正比例函数？你能写两个具体的正比例函数吗？师生活动：学生写出两个正比例函数解析式(同桌互相检验)，教师也在黑板上写，如y＝2x，y＝13x，让学生判断．设计意图：回顾正比例函数概念,并为画正比例函数的图象提供具体函数(最好与教科书中的函数不同)．问题2正比例函数有怎样的性质呢？我们可以通过画函数图象更直观地来得出函数所具有的性质呢？师生活动：教师引导学生说出画函数图象的方法(描点法)．设计意图：引导学生回顾画函数图象的一般方法(描点法)．(二)合作交流，探究性质1．画图观察，研究正比例函数图象形状．问题3让我们从具体正比例函数y＝2x的性质研究开始，先要画函数的图象，怎样画？师生活动：在学生说出画图象的步骤(列表、描点、连线)后，先让学生独立画图，最后教师在黑板上画图．设计意图：让学生复习描点法画函数图象的步骤、方法．问题4对所画的函数图象，你有哪些直观的感觉，请说说．师生活动：学生作答，教师给予评价，引导．设计意图：给出一个开放性问题，为引出函数图象特征与性质作铺垫．问题5用描点法画出正比例函数y＝13x的图象，它的图象与y＝2x的图象有什么相同点？设计意图：增加相似性样例，进行样例类比，为归纳k＞0时的图象性质作铺垫．追问1：对一般正比例函数y＝kx，当k＞0时，它的图象形状是什么？位置怎样？师生活动：教师用几何画板动态演示k＞0时正比例函数的图象形状位置(如图1)．教师引导学生说出这些直线都经过原点和第一、三第象限．设计意图：探究得出正比例函数图象在k＞0时是一条直线，感受从“特殊”到“一般”的思考过程，体验数形结合的思想．图1追问2：在k＞0的情况下，图象是左低右高还是左高右低？对应地，当自变量的值增大时，对应的函数值是随着增大还是减小？师生活动：教师利用几何何画板动态演示，如图1，当k ＞0时，图象上一点从左往右移动时，对应的x 在不断地增大，y 也不断地增大，进而可引导学生得出结论当k ＞0时，函数y ＝kx 的图象是经过第一、第三象限的一条直线，从左往右上升，即y 随x 的增大而增大．设计意图：通过动画演示，帮助学生理解当k ＞0时函数的增减性．问题6 当k ＜0时，正比例函数y ＝kx 的图象特征及性质又怎样呢？请各小组画出函数y ＝－3x 和y ＝－1.5x 的图象，进行小组合作研究．师生活动：教师引导学生通过画图象，再用几何画板动态演示k ＜0时正比例函数的图象形状位置，让学生独立研究正比例函数y ＝kx (k ＜0)的图象和性质．设计意图：引导学生类比k ＞0的情况，独立研究当k ＜0时正比例函数y ＝kx 的图象和性质．问题7 我们知道，正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线，我们也知道，两点确定一条直线．现在，我们有画正比例函数图象的简便画法了吗？师生活动：教师引导学生思考得到，过原点和(1，k )画直线即可，也可以过原点和另外一点画直线．设计意图：总结用两点法画正比例函数的图象，让学生理解这种简便画法的合理性．(三)初步应用，巩固知识1．用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：(1)y ＝32x ；(2)y ＝－3x ．2．在平面直角坐标系中，正比例函数y ＝kx (k ＜0)的图象的大致位置只可能是( )．A ．B ．C ．D ． 3．对于正比例函数y ＝kx ，当x 增大时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是( )．A ．k ＜0B ．k ≤0C ．k ＞0D ．k ≥师生活动：学生独立完成练习并进行相互交流评价．设计意图：及时巩固正比例函数的图象和性质．(四)综合应用，深化理解四个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象如图2．图2(1)比较k1，k2的大小；(2)比较k3，k4的大小；(3)比较k1，k2，k3，k4的大小．设计意图：帮助学生理解k值的变化对正比例函数图象性质的影响．(四)回顾总结，分享收获教师提出下列问题帮助学生回顾课堂收获，通过相互交流分享观点；1．本节课，我们研究了什么，得到了哪些成果？2．正比例函数的图象及性质怎样？3．我们是怎样进行研究的？4．正比例函数研究过程中，你感受最深的是什么？师生活动：教师在学生交流的基础上概括：研究正比例函数，通过“画图象，看图象，想性质”的步骤成功地发现了正比例函数的性质．在探究性质的过程中，“以形表示数，以数解释形”的思想得到成功运用，这种探究函数性质的步骤和数形结合的思想，在今后其它函数的学习中仍然很有用．设计意图：让学生在回顾课堂经历的基础上，从知识、方法等角度总结自己的收获，并通过交流互相分享、互相启发．教师通过概括性引导提升学生对正比例函数性质的认识，概括研究函数的一般方法．(五)布置作业1．教科书第98页第2题；2．用简便方法在同一坐标系中分别画出y＝4x和y＝－2x的图象，并分别指出，当自变量x增大时，对应的函数值y是增大还是减小；3．函数y＝4x，当自变量扩大为原来的10倍时，对应的函数值怎样变化？六、目标检测1．正比例函数y＝12x的图象是经过原点、第、象限的一条直线，从左向右，y随x增大而．设计意图：考查正比例函数的图象及性质．2．画出函数y＝－5x的图象，指出当x增大时，y怎样变化？设计意图：考查正比例函数的图象及性质．3．在函数y＝(k＋1)x中，y随着自变量x的增大而增大，那么k的取值范围为．设计意图：考查正比例函数增减性与比例系数的关系．4．已知直线经过原点与点(5，3)，求该直线的解析式．设计意图：考查待定系数法求正比例函数的解析式．5．若k＜0，利用正比例函数的性质说明：当k a＞k b时，k a＜k b．设计意图：考查正比例函数增减性的应用．参考答案：1．一，三，上升，增大．2．略．3．k＞－1．4．y＝35x．5．构造函数y＝k x，当k＜0时，y随着自变量x的增大而减小．。

八年级数学（下）导学练案 总第 课时学习反思课题：19.2.1正比例函数（1）编写：湖北省郧县城关一中 熊勇【学习目标】1.经历从实际问题抽象得出正比例函数的过程,正确理解正比例函数的概念；2.会根据已知条件求正比例函数的解析式.【前置学习】一、基础回顾：写出下列每个问题中的两个变量之间的函数关系式：1.京沪高铁列车的平均速度为300km/h ，列车的行程y(km)随时间t(h)的变化而变化；2.圆的周长 随半径的大小变化而变化；l r 3.铁的密度为7.8，铁块的质量（单位：）随它的体积V （单位：）的3/cm g m g 2cm 大小变化而变化；4．每个练习本的厚度为0.5，一些练习本摞在一起的总厚度（单位：）随这cm h cm 些练习本的本数的变化而变化；n 5.冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃，物体的温度（单位：℃）随冷冻时间T t （单位：分）的变化而变化.解:1. ；2. ；3. ；4. ；5. .二、自主探究请认真学习课本至页“练习”以前的内容后，思考：86P 87P 1.观察上面五个函数的解析式，他们有什么共同特点？2.这五个函数解析式用一个一般形式如何表达呢？归纳：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中k 叫做 . 3.下列函数：① ② ③ ④ ⑤ ⑥中，x y -=3x y =x y 8=23+=x y x y 2=2x y =属于正比例函数的是 .三.疑难摘要.【学习探究】一、合作交流、解决困惑（一）小组交流:通过自学你学会了什么？还有什么问题不明白？在小组内讨论并解决疑难.（二）班级展示与教师点拔：展示一：1.正比例函数的一般形式是什么？比例系数k 必须满足什么条件？自变量的指数是几？2.若y =5x是正比例函数，则m = ；若是关于x 的正比例函数，则3m-2(4)y m x =-m.3.已知当m = 时，y 是x 的正比例函数. 82)3(--=m x m y八年级数学（上）导学练案总第 课时学习反思展示二：（教师结合学生情况自主生成）二、应用新知,解决问题例题 已知y 与x 成正比例，且x =2时，y =-6.（1）求出y 与x 之间的函数解析式；（2）若点在这个函数的图象上，求a 的值.)2,(-a三、巩固新知,当堂训练课本P 87练习 第1、2题.四、反思小结本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？【自我检测】 1.一列火车以120km/h 的速度匀速前进，那么它行驶的路程s （km ）随行驶时间t （h ）变化的函数解析式为 ；此函数是 函数.2.下列函数关系中,属于正比例函数关系的是（ ）(A)圆的面积s 与它的半径r ； (B)面积一定时，长方形的长y 与宽x .(C)路程是常数s 时，行驶的速度v 与时间t.(D)三角形的底边是常数a 时，它的面积s 与这条边上的高h3.若函数是正比例函数，则常数a 的值为（ ）ax a y )1(-=（A ）0 （B ）±1 （C ）1 （D ）-14.已知y 与x 成正比例，且x =3时，y =-6.（1）写出y 与x 之间的函数解析式； （2）当y =-2时，求x 的值；（3）若点P （-6,m +4）在该函数图象上，求m 的值.【应用拓展】5. 已知y -2与x +1成正比例，当x ＝8时，y ＝6，写出y 与x 之间的函数关系式，并分别求出x ＝4和x ＝-3时y 的值.八年级数学（下）导学练案 总第 课时学习反思课题：19.2.1正比例函数（2）编写：湖北省郧县城关一中 熊勇【学习目标】１．会画正比例函数图象，能结合图象说出正比例函数性质；２．渗透数形结合的思想，培养学生多途经解决问题的思维方法.【前置学习】一、基础回顾：1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些不是？为什么？① ② ③ ④ ⑤ x y 2=23x y =x y 4-= 1.5y x =-13-=x y2.用描点法画函数图象的步骤是. 二、自主学习请自学课本P 87“例1”至P 89“练习”以前的内容后，解答下列问题：1.用描点法画出下列正比例函数的图象（1） （2）x y 2= 1.5y x =-2.观察图象回答：正比例函数y =2x 与y =-1.5x 的图象是什么图形？是否经过原点？分别经过哪些象限？自左向右上升还是下降？2．对照课本P 88页中的图象，说一说函数与y =-4x 的图象各有什么特征？ 13y x =3．总结规律：（1）正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过 的 ；我们称它为直线y=kx .（2）当0时，直线y=kx 经过第 象限，从左向右 ，y 随x 增大而 ；k ＜当0时，直线y=kx 经过第 象限，从左向右 ，y 随x 增大而 .k ＜四、 疑难摘要【学习探究】一、合作交流、解决困惑（一）小组交流:通过自学你学会了什么？还有什么问题不明白？在小组内讨论并解决疑难.（二）班级展示与教师点拔：展示一： 1.说一说正比例函数的图象特征及其性质.八年级数学（上）导学练案 总第 课时学习反思 2.点（0,0）、（1，k ）、（2，2k ）、（3，3k ）是否都在正比例函数y=kx 的图象上？既然正比例函数的图象是一条直线，画正比例函数图象时，怎样画最简单？展示二：（教师结合学生情况自主生成）二、应用新知,解决问题1.直线经过第 象限，y 随x 增大而 ；5y x =直线经过第象限，y 随x 增大而 . x a y )1(2+-=2.若直线经过二、四象限，则k 的取值范围是 . x k y )32(-=3.若直线经过一、三象限，则m = . 32)1(-+=mx m y 三、巩固新知,当堂训练课本P 89练习.四、反思小结 本节课你学到了什么知识和方法？还有什么困惑？（小组交流，互助解决）【自我检测】1.画函数的图象，你认为过 与 两点画直线最简单.0.6y x =-2.若函数y ＝k x 的图象经过点（2，－3），则k = ，y 随x 的增大而 .3.关于函数,下列说法正确的是( )x y 3-=(A) 图象必经过点（0，0）和（-1，-3） (B) 图象经过一、三象限(C) y 随x 的增大而减小 (D) 不论x 为何值，总有0<y 4.已知点P 1（-2，y 1）、P 2（1，y 2）是正比例函数()图象上的两点，则y 1ax y -=0<a 与y 2的大小关系是 .5.已知关于x 的正比例函数的图象经过第二、四象限，则m = .4)92(--=m x m y 6.一个函数的图象是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，-3a ）与 点（a ，-6），求这个函数的解析式.【应用拓展】7.已知y 与x 成正比例，且当x ＝-2时y ＝-4（1）写出y 与x 的函数关系式； （2）用两点法画出函数图象；（3）如果x 的取值范围是0≤x ≤5，利用图象求y 的取值范围.。

2021年八年级数学下册19.2.1正比例函数第2课时教案新版新人教版【教材分析】教学目标知识技能1.会用描点法画正比例函数图象；2.能结合图象理解正比例函数图象性质过程方法学生通过探究实际问题中函数关系归纳得出正比例函数的概念，再通过动手操作画图象观察概括出正比例函数图象的性质。

学生在探究合作中交流，体验知识的形成过程。

情感态度通过教师的主导作用，提高学生的合作学习效率，让学生体会合作学习的好处。

重点掌握正比例函数图象的性质．难点正比例函数图象与性质环节导学问题师生活动二次备课情境引入复习回顾：1.正比例函数的概念2. 画函数图象的一般步骤有哪些？教师提出问题，学生复习回顾,1.一般地，形如y= kx（K≠0）的函数，叫正比例函数，其中K叫做比例系数.2.（1）列表（2）描点（3）连线学生回答后：教师引导：现在我们已经知道正比例函数的定义及画图象的步骤，那么正比例函数的图象有什么特征呢,它有哪些性质呢？自主探究例1：画出下列正比例函数的图象，（1）y=2x （2）y=-2x解：（1）函数y=2x中x可取任意实数，列表如下：（2）描点、连线：教师动手操作示范，边画边讲述作图的步骤：（1）•列表表示几组对应值；（2）描点；（3）连线．画出y=2x图象后，让学生画y=-2x图象，•并且引导学生进行比较【学生活动】先观看教师的操作，然后独立地画出y=-2x的图合作交流自主探究合作交流（2）（1）函数y=-2x中x可取任意实数，列表如下：（2）描点、连线：观察上述正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点.归纳：两个图象的共同点：都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；•经过第二、四象限．【思考】知道正比例函数是一条直线,那么象．解：（1）列表描点连线解：（2）列表描点连线画正比例函数图像有无简便方法?经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象．画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）．因为两点可以确定一条直线．例2、在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．；解：列表描点、连线从两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线．函数y=x•的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=-x•的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小．归纳正比例函数图象特征：正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．•教师出示例2，引导学生尝试用两点法画函数图象，点拨列表时，取值尽量使得计算简便。

19.2.1正比例函数（2）一、教材分析《正比例函数的图象和性质》是人教版数学八年级下册第十九章第二节第二课时. 本节内容既是对前面所学函数基本概念知识的应用，又是为以后学习一次函数、二次函数、反比例函数的图象和性质作铺垫，具有承上启下的重要作用.二、教学目标知识与技能目标：会画正比例函数的图象，能根据图象观察归纳出正比例函数的性质；并能熟练运用正比例函数的性质解决简单的数学问题.过程与方法目标：经历用描点法画正比例函数的图象、结合图象归纳正比例函数图象性质的探究过程，逐步培养学生的观察能力，归纳总结能力，领悟数形结合的数学思想.情感态度与价值观目标：通过作图，培养学生认真、细心、严谨的学习态度和主动探究的学习习惯，发展学生的合作交流意识。

三、教学重点、难点教学重点：探索并掌握正比例函数图象及性质教学难点：发现并总结正比例函数图象及性质.四、教学方法本节课采用探究法与讲授法相结合五、教学过程 （一）复习引入 1.什么是正比例函数？2.画函数图像的一般步骤是什么？（二）新知导学、合作探究1.在同一个平面直角坐标系中．．．．．．．．．．．．画出下列正函数的图象. （1）y =2x （2）12y x = （3）y =-1.5x （4）y =-3x 解：1、列表2、描点3、连线y =-3x …2.观察上面图象，你发现正比例函数的图象有什么特点？相同点：函数y =2x 、12y x = 、y =-1.5x 和y =-3x 的图象都是经过 的 .不同点：（1）函数y =2x 和函数12y x =的图象经过第_______象限，从左向右呈_____趋势，即随x 的增大，y 也_____；（2）函数y =-1.5x 和函数y =-3x 的图象经过第________象限，从左向右呈_____趋势，即随x 的增大 y _____. 追问：为什么满足解析式y=2x 的点（x,y ）都落在第一、三象限？ 为什么满足解析式y=-3x 的点（x,y ）都落在第二、四象限？ 正比例函数的图象经过第一、三象限或是第二、四象限与什么有关？3.正比例函数的图象和性质：（1）图象：正比例函数 y = kx （k 是常数， k ≠0 ）的图象是一条经过_______的 ，我们称它为直线 . （2）性质：①当_______时，图象经过第_________象限，从左向右 ，随着x 的增大y_________.②当_______时，图象经过第_________象限，从左向右 ，随着x 的增大y_________.4.画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？用你认为最简单的方法画出下列函数的图像：（1）x y 23= （2）y=-3x （三）巩固训练1.函数y=-5x 的图象是一条经过原点的________，经过第_________象限，图象从左往右______，即y 随x 的增大而_______. 点A(-1,a)和点B （b ，10）在这条的直线上，则a=____,b=_____2.函数x y 76=的图象是一条经过原点的________，经过第_________象限，图象从左往右______，即y 随x 的增大而_______； 抢答1. 正比例函数 y=5x 的图象经过（ ）A. 第一、二象限B. 第二、三象限C. 第一、三象限D. 第二、四象限 2. 关于函数 x y 53-=下列说法正确的是（ ） A. 图象必经过点（3，-5 ） B. 图象经过第一、三象限 C. y 随x 的增大而减小 D. 不论x 取何值，总有y<03. 下列函数图象有可能是y= -8x 的是( )4. 已知A （5，y 1 ），B(2, y 2)都在直线y=-3x 上，则y 1与y 2的关系是（ ）A 、 y 1≥y 2B 、 y 1>y 2C 、y 1≤y 2D 、 y 1<y 2变式：已知A （x 1，y 1 ），B(x 2, y 2)都在直线y=-3x 上，其中x 1<x 2则y1与y2的关系是（ ） A 、 y 1≥y 2 B 、 y 1>y 2 C 、y 1≤y 2 D 、 y 1<y 25 （1）若点A (-2， y 1），点B （1，y 2）是正比例函数x y 32=图象上的两点，则y 1 y 2（填＞，＝或＜）；（2）若点P (x 1， y 1），点Q （x 2，y 2）是正比例函数x y 32=图象上的两点，且x 1＞x 2，则y 1 y 2（填＞，＝或＜）；（3）若点P (x 1， y 1），点Q （x 2，y 2）是正比例函数x y 32-=图象上的两点，且x 1＞x 2，则y 1 y 2（填＞，＝或＜）；（4）若点P (x 1， y 1），点Q （x 2，y 2）是正比例函数 y=-kx （k ＞0）图象上的两点，且x 1＞x 2，则y 1 y 2（填＞，＝或＜）. 6.正比例函数y=(3-k) x,如果随着x 的增大y 反而减小，则k 的取值范围是 ______. （四）课堂小结本节课你有哪些收获？学到了哪些方法？ （五）布置作业1、教材98页习题19.2第1、2题2、在水管放水的过程中，放水的时间x （分）与流出的水量y （立方米）是两个变量，已知水管每分钟流出的水量是0.2立方米，放水的过程持续10分钟.（1）写出y 与x 之间的函数解析式，并指出函数的自变量取值范围；（2）再画出函数的图像（六）课外延伸1.在同一直角坐标系中画出函数y=x，y=2x，y=3x的图象，并比较它们的异同点。