第四讲：套利定价理论

2.CAPM中单因素模型无法全面解释对现实中资产收益率决定的影响因 素。研究说明：
Rosenberg and Marashe（1977）的研究发现，如果将红利、 交易量和企业规模加入计量模型，则β系数会更有说服力。 Bash（1977）研究发现，低市盈率股票的期望收益率高于 资本资产定价模型的估计； Banz(1981)的实证研究表明，股票收益率存在“规模效 应”，即小公司股票有较高的超常收益率； Kleim（1983）发现股票收益呈季节性变动，即存在季节效 应。
n
xi Ri = 0
意味着在市场达到均衡时不存 在套利机会，零投资、零风险 组合的收益为零。
（三）精确因子模型
精确因子模型是指资产的收益仅依赖于因子风险因 素，而不考虑资产特质风险的套利定价模型。 1.精确单因子模型 不考虑特质风险，所有资产的收益仅依赖于唯一一 种因素的定价模型。在此假设下，资产的收益生成 函数为：
N →+∞
1 1 1 % % % % ( , ,) var( ) var(ε ε ε ε Cov = = ∑ 1 1) i ∑ i 2 2 ∑ N N i N i i % 0 ∴ lim var(ε p) =
非系统风险可以通 过持有广泛的证券组 合而不是单独一种证 券来分散掉。 对于证券组合而言， 证券特有的风险无关 紧要。单个证券的误 差项之间是互不相关 的；也就是说，它们 的相关系数为零。在 这些情况下，只有因 素风险，即系统性风 险是重要的。在非系 统风险可以通过多元 化避免的情况下，它 们代表了不可避免的 风险。
三、套利定价理论分析与解释 • 因素模型（facto model)推理 • APT理论基础 • 套利定价过程 • Roll -Ross模型 • Roll -Ross模型的应用
1、因素模型（factor model)推理：市场模型：第一个因素模型
• 取自变量为市场收益率、因变 %+% % r =+ R i i i M i 量为单个股票的收益率，进行 现行回归，得到： 2 % ) + var( % var( = R i i M i) • 特定股票的回归截距α、回归斜 率β与残差项ε。
一、CAPM的局限性
（一）相关假设条件的局限性 1.市场无摩擦假设和卖空无限制假设与现实不符； 2.投资者同质预期与信息对称的假设意味着信息是 无成本的，与现实不符； 3.投资者为风险厌恶的假设过于严格；
（二）CAPM的实证检验问题 1. 市场组合的识别和计算问题 CAPM刻画了资本市场达到均衡时资产收益的决定方。 所有的CAPM（包括修正的CAPM）的共同特点是：均衡 资产的收益率取决于市场资产组合的期望收益率。 理论上，市场资产组合定义为所有资产的加权组合， 每一种资产的权数等于该资产总市场价值占所有资产总价 值的比重。 实际上，市场资产涵盖的范围非常广泛，因此，在 CAPM的实际运用中要识别一个真正的市场组合几乎是不 可能的。 一些经济学家采用一个容量较大的平均数（如标准普 尔工业指数）作为市场资产组合的替代，对CAPM进行了 检验，得出的结果却与现实相悖。
结论：上述两方面的局限性都削弱了CAPM对现实 经济的解释能力。
（三）关于CAPM检验的罗尔批评（Roll’s Critique） Roll（1977）对CAPM提出了如下批评意见： 1.除非真实市场投资组合的确切组成部分能够预先知道，并 且在所有实证研究中均可使用，否则资本资产定价模型是 不可检验的，即使在理论上亦是如此。 2.对于CAPM唯一合适的检验形式应当是：检验包括所有风险 资产在内的市场资产组合是否具有均值-方差效率。 3.如果检验是基于某种作为市场资产组合代表的股票指数， 那么如果该指数具有均值-方差效率，则任何单个风险资 产都会落在证券市场线上，而这是由于恒等变形引起的， 没有实际意义。既然资本资产定价模型的原理是直接从建 立该模型的均值方差有效假设中导出，资本资产定价模型 实际上只不过是同义重复 而已
其中， f k 是影响资产收益的随机变量（因素），反映了资产所 包含的由K个风险因子所描述的风险，同时，这些因 素对所有资产而言都是共同的。它们反映了系统风险， （二）多因素模型的假设条件 因此，称为因子风险（Factor risk）。 bik 系数描述的是资产i对因素k的敏感度（或称之为资产 i • 1.资本市场必须是完全竞争和无摩擦的，资本市场为完 所包含的第k个因子风险的大小），称为资产i对因素 全竞争市场，且处于均衡状态。 的因素载荷系数（Factor Loading）。 ε i是残差项，描述的是与因子风险无关的剩余风险。反映 • 2. 资本市场上任意资产的收益与一系列影响因素线性相 了资产的非系统风险。 关，每个证券的期望收益率是通过（线性）k 因素模型求
得的，即有收益生成函数如下：
K
Ri = α i + ∑ bik f k + ε i
k =1
对于上述生成函数，模型假定： （1）任意两种资产的随机误差项相互独立，即
0, i ≠ j C ov(ε i , ε= j)
（2）随机误差项和因子风险的期望值为零。即
E= = [ fk ] E [ε i ] 0
导论：“ Roll 的评论”
• 在1977 年， Roll 在一篇文章中驳斥了资本资产定价模型， 这篇文章中的内容被后人称作“Roll 的评论”。 – Roll 称：除非真实市场投资组合的确切组成部分能够预 先知道，并且在所有实证研究中均可使用，否则资本资 产定价模型是不可检验的，即使在理论上亦是如此。 –Roll 明确指出:既然资本资产定价模型的原理是直接从建 立该模型的均值方差有效假设中导出，资本资产定价模 型实际上只不过是同义重复 而已。 • Roll 和Ross 在1980年推导套利定价模型。
（3）随机误差项与各项风险因子相互独立，即 E[ fl f k ] = E[ε i f k ] = 0, ∀l ≠ k （4）各风险资产的特质风险的方差是有界的，即
E[ε = ]
2 i
σ
2 i
<σ2
−
（5）APT通常假设经济中存在的风险资产数量n比因素 K要大得多。
• 3.投资者对每个证券的期望收益率的求解过程有着相同的 预期 。即对 预期完全相同。
Ri = α i + bi f , i = 1,L , n
根据无套利原理，该情形下的套利定价公式为：
µi = E ( Ri ) = R f + bi λ , i = 1,L , n λ= µi − R f
bi
即 λ为个体承受单位因素风险应得的超额收益补偿，称 为因素风险溢价（factor risk premium）
数量。
xi为资产组合包含的资产i的
∑x =0
i =1 n i
n
∑xb
i =1 n
i ik
=0 =0
第一式表明，在市场均衡条件 下，投资者持有该资产组合投 入的资金为零； 第二式表示该组合的系统风险 零； 第三式表示资产组合的非系统 风险为零。在投资者逐的假设 下，可推导出：
∑xε
i =1
i i
∑
i =1
α i , bik , f k • 4.共有因素(f1- fk) 反映了资产所面临的全部系统风险， 各个误差量(εk)之间是不相关的。因为它意味着随着投 资组合内资产数量增多，其中的误差量将最终消失。
• 5.系统因素的个数k 要远小于资产的个数n 。投资者为逐
利者，偏好财富多多益善。
6. 资本市场中有充分 多的资产，能够形 成资产组合满足：
现代投资理论〔２〕
（ Arbitrage Pricing Theory ）
• 主要内容 – 一、CAPM的局限性 – 二、套利定价理论介绍 – 三、套利定价理论分析与解释 • 因素模型（facto model)推理 • APT理论基础 • 套利定价过程 • Roll -Ross模型 • Roll -Ross模型的应用 – CAPM与APT关系 – 套利定价理论的经验检验
• 理解因素风险与公司特定风险。 • 类比：抛硬币。 • 公司特定风险分散的量化。（大数定理）
% % = = xi r Qr ∑ p i ,( xi
i =1
N
1 ), N
ε% p =
1 ε% ∑ i, N i % % % Cov(ε i , ε j ) = δ ij var(ε 1 ),
ε% ∴ var( = p)
4.如果检验是基于某种无效率的指数，则风险资产收益的 任何情形都有可能出现，它取决于无效指数的选择。该结 论断言，即便市场组合是均值-方差效率的，CAPM也是成 立的，但使用前述方法得到SML，也不能够证明单一风险 资产均衡收益同β风险、市场组合之间存在某种有意义的 关系。
结论：罗尔认为，由于技术上的原因和原理上的 模糊，CAPM是无法检验的。Roll 和Ross 在1980 年推导套利定价模型。
(n) z ∑ i =0 i =1 (n) lim E[ RA ] = +∞ n →∞ (n) lim Var[ RA ]=0 n →∞
n
则称 A( n ) 是一个极限套利组合（系列）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
如果存在极限套利机会，则表明个体可以再 不花费正的投资成本，仅承担可以忽略的风险的 情况下，获得高额的收益，显然，在经济达到均 衡状态时，极限套利是不存在的。 下面利用极限套利的定义来证明当资产组合 中的资产种类无限增加时，组合中各资产的特质 风险将趋近于零，从而得到在考虑特质风险条件 下的多因素线性定价公式。
i =1
（四）特质风险与极限套利
在精确因子模型中，我们未考虑特质风险。因此， 在存在特质风险的情况下，上述线性的套利定价 公式是否适用？如果每种资产都有自己的特质风 险，则无法构造无风险套利组合。但是，在多种 资产上的分散投资具有降低特质风险的功能。 从直觉上，如果经济中存在的资产种类足够多， 对这些资产作适当的分散投资，所得的资产组合 可将各项资产的特质风险降至接近于零的水平。