七年级数学下册第九章《三角形》9.1三角形的边坏狐狸和三角形素材(新版)冀教版

七年级数学下册第九章《三角形》素材：三大几何作图问题三大几何作图问题是：倍立方、化圆为方和三等分任意角．由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题变得难以解决并富有理论魁力，刺激了许多学者投身研究．早期对化圆为方作出贡献的有安纳萨戈拉斯（Anaxagoras，约500B.C.～428B.C.），希波克拉底（Hippocrates of chios，前5世纪下半叶）、安蒂丰（Antiphon，约480B.C.～411B.C.）和希比亚斯（Hippias of Elis，400B.C.左右）等人；从事倍立方问题研究的学者也很多，欧托基奥斯（Eutocius，约480～？）曾记载了柏拉图、埃拉托塞尼（Eratosthenes，约276B.C.～195B.C.）、阿波罗尼奥斯（Apollonius，约262B.C.～190B.C.）和帕波斯（Pappus，约300～350）等人共12种作图方法：尼科米迪斯（Nicomedes，约250B.C.左右）、帕波斯等人则给出了三等分角的方法．当然所有这些研究都无法严格遵守尺规作图的限制，但它们却引出了大量的新发现（如圆锥曲线、许多三、四次曲线和某些超越曲线等），对整个希腊几何产生巨大影响．三大作图问题自智人学派提出之时起，历经二千余年，最终被证明不可能只用直尺、圆规求解（1837年旺策尔「P.L.Wantze1」首先证明了倍立方和三等分任意角不可能只用尺规作图；1882年林德曼［C.L.F.Lindemann］证明了π的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能）．关于三大几何作图问题的起源和古代探讨，在智人学派之后一些希腊学者的著述中留有记载，这些分散片断的记载，成为了解早期希腊数学的珍贵资料．以下选录部分内容，各节作者与出处将随文注明．倍立方A．赛翁论倍立方问题的可能起源于埃拉托塞尼在其题为《柏拉图》的著作中写道：当先知得到神的谕示向提洛岛的人们宣布，为了止息瘟疫，他们必须建造一个祭坛，体积是现有那个祭坛的两倍时，工匠们试图弄清怎样才能造成一个立体，使其体积为另一个立体的两倍，为此他们陷入深深的困惑之中，于是他们就这个问题去请教柏拉图．柏拉图告诉他们，先知发布这个谕示，并不是因为他想得到一个体积加倍的祭坛，而是因为他希望通过派给他们这项工作，来责罚希腊人对于数学的忽视和对几何学的轻视．B．普罗克洛斯论希波克拉底对这一问题的简化．“简化”是将一个问题或定理转化成另一个已知的或已构造出的问题或定理，使得原命题清晰明了．例如，为解决倍立方问题，几何学家们转而探究另一问题，即依赖于找到两个比例中项．从那以后，他们致力于如何找到两条已知线段间连比例中的两个中项的探索．据说最先有效地简化这些困难作图的是希俄斯的希波克拉底民他还化月牙形为方，并作出许多几何学上的其他发现．说到作图，如果曾经有过这方面的天才的话，这个人就是希波克拉底．历史上传说，古代的一位悲剧诗人描述了弥诺斯为格劳科斯修坟，当弥诺斯发现坟墓的每一边都是一百尺时，他说：“你们设计显然这是一个错误．因为如果边长加倍，表面积变成原来的四倍，体积变成八倍．当今的几何学家们也在探索将已知立方体的体积加倍而不改变其形状的途径．这个问题以二倍立方体著称，即已知一个立方体，他们想办法将其变为两倍”．当长期以来所有的探索都徒劳无功时，希俄斯的希波克拉底最先发现，如果能找到一个方法，作出已知的两条线段间连比例中的两个比例中项，其中长线段是短线段的两倍，立方体就变成两倍．这样他的难点被分解成另一个不太复杂的问题．“后来传说，某些提洛岛的人为遵循先知的谕示，想办法将一个祭坛加倍，他们陷入了同样的困境．于是他们派代表去请求学园中柏拉图学派的几何学家帮他们找到解法．这些几何学家们积极地着手解决这个问题，求两条已知线段间顺个比例中项．据说塔林敦的阿尔希塔斯应用半圆柱体得到一种解法，而欧多克索斯用了所谓的“曲线”所有解决这一问题的人在寻找演绎的证明方面是成功的，但除门奈赫莫斯①（尽管他只是很勉强地做到），他们都不能用行之有效的方法证明这个作图小现在我发现了一种简单方法，通过应用一种器具，不仅能得到两线段问的两个比例中项，而且能得到所需要的许多比例中项．应用这一发现，我们能够将任何表面是平行四边形的已知立体化成立方体，或者将其从一种形状变成另一种形状，而且也可以作出一个与已知立体形状相同，但体积大一些的立体，也就是保持相似性．……化圆为方A．安蒂丰化圆为方安蒂丰画了一个圆，并作一个能够内接于它的多边形．我们假设这个内接图形是正方形．然后他将正方形的每边分成两部分，从分点向圆周作垂线，显然这些垂线平分圆周上的相应弧段．接着他从垂线与圆周的交点向正方形边的端点连线，于是得到四个以线段（即正方形的边）为底的三角形，整个内接的图形现在成为八边形．他以同样的方法重复这一过程，得到的内接图形为十六边形．他一再地重复这一过程，随着圆面积的逐渐穷竭，一个多边形将内接于圆，由于其边极微小，将与圆重合．正如我们从《原本》中所知，既然通常我们能够作出一个等于任何已知多边形的正方形，那么注意到与圆重合的多边形与圆相等，事实上我们就作出了等于一个圆的正方形．B．布里松化圆为方他作一个正方形外切于圆，作另一个正方形内接于圆，在这两个正方形之间作第三个正方形．然后他说这两个正方形（即内接和外切正方形）之间的圆及中间的正方形都小于外部的正方形且大于内部的正方形，他认为分别比相同的量大和小的两个量相等．因此他说圆被化成正方形．三等分角帕波斯论三等分一个角的方法当早期的几何学家们用平面方法探究上述关于角的问题时他们无法解决它，因为这个问题从性质来看是一个立体问题，由于他们还不熟悉圆锥曲线，因此陷于困惑．但是他们后来借助于圆锥曲线用以下描述的斜伸法将角三等分．用斜伸法解已知一个直角平行四边形ABΓΔ，延长BΓ，使之满足作出AE，使得线段EZ等于已知线段．假设已经作出这些，并作ΔH，HZ平行于EZ，EΔ．由于ZE已知且等于ΔH，所以ΔH 也已知.Δ已知，所以H位于在适当位置给定的圆周上．由于BΓ，ΓΔ包含的矩形已知且等于BZ，EΔ包含的矩形已知，即BZ，ZH包含的矩形已知，故H位于一双曲线上．但它也位于在适当位置给定的圆周上，所以H已知．证明了这一点后，用下述方法三等分已知直线角．首先设ABΓ是一个锐角，从直线AB上任一点作垂线AΓ，并作平行四边形ΓZ，延长ZA至E，由于Γz是一个直角的平行四边形，在EA，AΓ间作线段EΔ，使之趋于B且等于AB的两倍——上面已经证明这是可能的，我认为EBΓ是已知角ABΓ的三分之一．因为设EΔ被H平分，连接AH，则三条线段ΔH，HA，HE相等，所以ΔE是AH的两倍．但它也是AB的两倍，所以BA等于AH，角ABΔ等于角AHΔ．由于AHΔ等于AEΔ，即ΓBΔ的两倍，所以ABΔ等于ΔBΓ的两倍．如果我们平分角ABΔ，那么就三等分了角ABΓ．用圆锥曲线的直接解法这种立体轨迹提供了另一种三分已知弧的方法，不必用到斜线．设过A，Γ的直线在适当的位置给定，从已知点A，Γ作折线ABΓ，使得角AΓB是角ΓAB的2倍，我认为B位于一双曲线上．因为设BΔ垂直于AΓ并且截取ΔE等于ΓΔ，当连接BE时，它将与AE相等．设EZ等于ΔE，所以ΓZ=3ΓΔ.现在置ΓH等于AF/3，所以点H将给定，剩下部分AZ等于3*HΔ.由于BE*BE-EZ*EZ＝BΔ*BΔ，且BE*BE一EZ*EZ=ΔA*AZ，所以ΔA*AZ=BΔ*BΔ，即3*A Δ*ΔH=BΔ*BΔ，所以B位于以AH为横轴，AH为共轭轴的双曲线上．显然Γ点在圆锥曲线顶点H截取的线段ΓH是横轴AH的二分之一．综合也是清晰的．因为要求分割AΓ使得AH是HΓ的2倍，就要过H以AH为轴画共轭轴为AH的双曲线，并且证明它将使我们作出上面提到的具有2倍之比的角度．如果A，Γ两点是弧的端点，那么以这种方法画的双曲线截得已知圆上的一段弧的三分之一就易于理解了．。

三角形的丰富性质我们都知道，任意三角形除了一般教科书中给出的一些性质外，还有以下重要性质：一是“欧拉线”，即经过三角形的垂心、质心和外心三心的直线，且质心在外心和垂心的三等分点上．但欧拉线未揭示出三角形内心、旁心的性质．二是“九点圆”，即经过三角形三边中点、三角形三个高足和垂心到三顶点联线中点的圆．九点圆与三角形的三个旁切圆相切，圆心也在欧拉线上，且圆心到三角形垂心、外心距离相等．九点圆又称“费尔巴哈圆”、“欧拉圆”．经过研究，我们又发现任意三角形具有以下一系列重要性质：一是任意三角形有三条“九点线”，九点线是指从三角形的一个顶点，引两个底角的内、外角平分线垂线得到的四个垂足、该顶点两邻边中点、经过该顶点的角平分线中点、高线中点、中线中点，此九点共线．九点线经过三角形的一条中位线，因而平行于三角形的一边．二是第二个九点圆，第二个九点圆是指三角形的三个顶点、三角形三个旁心构成的三角形（以下简称“旁心三角形”）的三边中点、三角形内心与三个旁心联线中点，此九点共圆．又因为三角形三顶点与其旁心三角形的三个高足重合，因而第二个九点圆又可称为“十二点圆”．第二个九点圆具有类似第一个九点圆的全部性质，且与三角形的外接圆重合，圆心在三角形的外心上，第二个九点圆半径与第一个九点圆半径之比为2:1．三是一条“九心线”，三角形的内心、外心，由三角形的三边中点构成的三角形（以下简称“中点三角形”）垂心，旁心三角形的垂心、质心、外心，旁心三角形的中点三角形的垂心、质心、外心，此九心共线．九心线与欧拉线相交于三角形的外心．四是一些线段和的不等关系：1．三角形的周长与其旁心三角形的周长之比小于或等于1/2，当且仅当三角形是正三角形时等号成立，此时旁心三角形也是正三角形．2．三角形三条内角平分线之和与其旁心三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2，当且仅当三角形是正三角形时等号成立，此时旁心三角形也是正三角形．3．三角形三条中线之和与其旁心三角形的三条中线之和之比小于或等于1/2，当且仅当三角形是正三角形时等号成立，此时旁心三角形也是正三角形．4．三角形三条高线之和与其旁心三角形的三条高线之和之比小于或等于1/2，当且仅当三角形是正三角形时等号成立，此时旁心三角形也是正三角形．5．三角形三条内角平分线与三角形对边交点构成的三角形（以下简称“分角三角形”）的周长与原三角形周长之比小于或等于1/2，当且仅当原三角形是正三角形时等号成立，此时分角三角形也是正三角形．6．分角三角形的三条内角平分线之和与原三角形三条内角平分线之和之比小于或等于1/2，当且仅当原三角形是正三角形时等号成立，此时分角三角形也是正三角形．7．分角三角形的三条中线之和与原三角形中线之和之比小于或等于1/2，当且仅当原三角形是正三角形时等号成立，此时分角三角形也是正三角形．8．分角三角形的三条高线之和与原三角形高线之和之比小于或等于1/2，当且仅当原三角形是正三角形时等号成立，此时分角三角形也是正三角形．五是两个面积不等关系：1．三角形的面积与其旁心三角形的面积之比小于或等于1/4，当且仅当三角形是正三角形时等号成立，此时旁心三角形也是正三角形* ．2．分角三角形的面积与原三角形面积之比小于或等于1/4，当且仅当原三角形是正三角形时等号成立，此时分角三角形也是正三角形．六是两个夹角范围，由于尚未给出严格的证明，故作为猜想提出：1．三角形的九心线与欧拉线夹角θ1满足关系式0°≤θ1<30°2．三角形欧拉线与其分角三角形欧拉线夹角θ2满足关系式0°≤θ2<30°已经得出的结论是：当三角形为等腰三角形时，θ1、θ2均为0°；θ1、θ2取接近30°值时，三角形不可能是等腰三角形或直角三角形．一个典型的实例是当三角形的三边为34、2493、2509时，θ1=29.658°．七是其它一些性质：1．三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合．2．中点三角形的欧拉线与原三角形的欧拉线重合，且两质心重合，中点三角形的垂心与原三角形的外心重合，两条欧拉线上的垂心、质心、外心排列方向相反．3．两个九点圆到三角形的垂心距离之比为1:2．4．三角形的第一九点圆半径与其三个垂足构成的三角形（以下简称“垂足三角形”）的第一九点圆半径之比为2:1．5．三角形内接于它的旁心三角形*．6．三角形的一个顶点与对应的一个旁心的连线平分三角形的一个内角，且垂直与旁心三角形的一边，从而有三角形的内心与其旁心三角形的垂心重合*．作为特殊三角形的等腰三角形，它的九心线与欧拉线重合，并且是等腰三角形的对称轴，该线经过与三角形有关的无数“颗”心．例如：它经过三角形本身的垂心、质心、外心、内心和一个旁心等“五心”，经过三角形的旁心三角形的五心，旁心三角形的旁心三角形的五心……，三角形的中点三角形的五心，中点三角形的中点三角形的五心……，三角形的分角三角形的五心，分角三角形的分角三角形的五心……，三角形的垂足三角形的五心，垂足三角形的垂足三角形的五心……，以及各三角形的复合三角形的一些心，等等．。

三角形的边
红领巾
流动红旗
三角形 : 由不在同一直线上的三条线 段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角 形。
三角形的表示：如图中的三角形
ABC，记作：“ABC”，读作：
“三角形ABC” A
B
C
三角形有三条边、
三个顶点、三个内 角
顶点
c
A 内角 边
b
如图：在ABC中 B
a
C
三条边是：AB、BC、AC
三个顶点是 : A、B、C
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动 对身体不好哦~
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油!奥利给~
同类项
（一）双基讲练
讲解点1 : 同类项的概念
精讲 :所含字母相同 , 并且相同字母的指数也 分别相同的项叫做同类项
三个内角是 ：A 、 B、C
注 : 三条边也可以用小写字母a,b,c表示
一起探究 :
1、用长是2cm、3cm、5cm的线段能组成三角形 吗 ？用长2cm、3cm、4cm的线段呢 ？ 2、三角形的两边之和与第三边有怎样的大小关 系？ 3、请将你的猜想写成命题的形式并対猜想说理。
结论 :
三角形任意两边之和大于第三边
（三）易错题精讲
【典例]假设(m1)a|m|b2与 2a2b 是同类项 , 那么 错解：m=∵ (。m 1)a|m|b2与 2ab2是同类项，
∴|m|=1,即m=±1
正解：同上，求得m=±1，而当m=-1时，m+1=0，
此时 (m 1)a|m|b2 0 是一个常数，它与 2ab2
不是同类项，故只能取m=1。 评析 : 此题产生错误的原因是求出m的值后 , 没有检 验相应的系数是否为0 , 故多出一个解。注意 : 如果一 个单项式的系数为0 , 那么此单项式变为0 , 也就是变 为常数 , 不能与后一个单项式构成同类项。特别要注 意 , 当一个单项式的系数含有字母时 , 求出字母的取 值后 , 一定检验一下它的系数是否为0。假设系数为0 , 那么字母的取值无意义 , 必须舍去 , 只能取系数不为0 的那个值。

七年级数学下册第九章《三角形》素材：
三角形编家谱
三角形接到上级通知，要交一份家谱．回到家后，他把全家老小喊到一块，说：“为了管好咱们这一大家子，不给村里添麻烦，今天我们重新梳理门户，编制一个家谱．我觉得这可以有两种分法，一种是按角分类，你们可以分为兄弟三家：老大是钝角三角形，即有一个角是钝角；老二是直角三角形，即有一个角是直角；老小是锐角三角形，三个角都是锐角．另一种是按边分类．”
三角形刚画完，等边三角形就嚷开了：“老头子偏心眼，钝角三角形、直角三角形、锐角三角形平起平坐，三分天下，我为什么要比等腰三角形晚一辈，是不是别人都送礼了？”
“糊涂！这辈份是能随便改的吗？有两条腰相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的才叫等边三角形，你比等腰三角形多了一个条件，你是一个特殊的等腰三角形．”老头子气得吹胡子瞪眼．“其实也没什么奇怪的，按角分的话，等边三角形三个角都是60°，只能算是锐角三角形．我就不同了，三种都可能是．”等腰三角形说完之后摇身一变．
三角形最后强调：“稳定性是我们三角形家族的最大特点，今后，我们一定要保持团结稳定的大好局面．”
1。

2 0 12义务教育教科书数学七年级下册《三角形的边》♦教材分析本课教学三角形的边，它是初等数学的基础知识，也是进一步学习几何知识的基础，是学生体会数学价值观，增强审美意识的重要题材，所以学会三角形的边是致关重要的。

♦教学目标【知识与能力目标】知道三角形的边，角及三角形的表示法；在具体的情境屮认识三角形，并探索出三角形的三边关系，解决一些生活屮的实际问题。

【过程与方法目标】经历摆三角形，画三角形、测量三角形的三边长度的过程，培养学生自主、合作、探索的学习方式，并锻炼其发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。

【情感态度价值观目标】联系学生的生活环境，创设情景，使学生通过观察，操作、交流、归纳，获得必需的数学知识，让学生体会用数学思想方法解决生活中的实际问题意义，激发学生的学习兴趣。

♦教学重难点【教学重点】三角形三边关系的探究和归纳;【教学难点】三角形三边关系的应用；♦课前准备多媒体课件♦教学过程（一）情境引入（出示课件第2・4页）提出问题问题：1.从古埃及的金字塔到现代的飞机，从宏伟的建筑物到微小的分子结构，都有什么样的形象？2.在我们的生活屮有没有这样的形彖呢？试举例。

（二）讲授新课1.三角形的相关概念（1）互动探究问题1：观察下面三角形的形成过程，说一说什么叫三角形？定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫作三角形。

问题2：三角形小有儿条线段？有儿个角？有三条线段，三个角边：线段/刃，BC,刃叫作三角形的边。

顶点：点儿B, Q叫作三角形的顶点，角：Z/l, z〃，zc叫做三角形的内角，简称三角形的角。

以点弭，B，C为顶点的三角形记作△肋G读作“三角形ABC。

(2)知识要点%1三角形应满足以下两个条件：乩位置关系：不在同一直线上；b.联接方式：首尾顺次%1表示方法：三角形用符号“△”表示；记作“△ABC”，读作“三角形ABC\除此AABC还可记作厶BCA,△CAB, △ ACB 等。

本节课的收获
1、三角形定义及用符号、字母表示三角形
2、三角形的三边关系: 三角形的任何两边的和大于第三边
两边之差第三边两边之和 3、性质的作用
（1）判断三条已知线段能否组成三角形. （2）已知三角形的两边,求第三边的取值范围.
4、本节课主要运用了数形结合思想、分类
讨论思想.
课后作业
1、巩固三角形相关定义及性质； 2、课本第102页第1 ～ 4题； 3、练习册第71、72页.
A、1 B、2 C、3 D、4
5、（１）一个等腰三角形的一边是 ２cm，另一边是９cm，则这个三角 形的周长是 20cm .
（２）一个等腰三角形的一边是５ cm，另一边是７cm，则这个三角形 的周长是 17cm或19cm .
拓展练习
1.已知等腰三角形的周长为56，且其中 两边的比为2:3，求等腰三角形的边长。
解：设等腰三角形的两边分别为2x、3x，则
此题分两种情况讨论：
① 如果腰长为2x ，则: 2x+2x+3x =56 解得，x =8，∴2x =16，3x =24 ② 如果腰长为3x ，则: 3x+3x+2x =56 解得，x =7，∴2x =14，3x =21
答：等腰三角形的三边长分别为16、16、24
等腰三角形的周长＝8＋8＋6＝22 ∴第三条边长为3
a＋b____c; b＋c____a; c＋a____b 等腰三角形的周长＝8＋8＋6＝22
②如果腰长为6，则：
等腰三角形的周长＝8＋6＋6＝20
答：等腰三角形的周长为20或22．
解：（2）此题分两种情况讨论： ① 如果腰长为11，则: 等腰三角形的周长＝11＋11＋5＝27 ② 如果腰长为5，则: 因为5＋5<11，出现两边之和 小于第三 边的情况，所以不能围成腰长为5的等腰 三角形． 答：等腰三角形的周长为27．

冀教版七年级下
第九章 三角形
9.1 三角形的边
提示：点击 进入习题
1 线段；顺次相接 2C
3 见习题 >；>；>；>；大于；小
4于
5C
6C 7B 8C 习题
11 D 12 见习题 13 见习题 14 见习题 15 见习题
16 见习题 17 D 18 见习题
答案显示
(1)4 根火柴棒能搭成三角形吗？
解：4根火柴棒不能搭成三角形．
(2)8 根、12 根火柴棒能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们
的示意图．
解：8根火柴棒能搭成一种三角形，示意图如图①所示． 12根火柴棒能搭成三种不同形状的三角形，即：(4，4，4)，(5，5，2)，(3，4， 5)，示意图如图②所示．
解：根据三角形的三边关系，得a＋c>b，a－b<c. ∴a－b＋c>0，a－b－c<0. ∴原式＝a－b＋c－(a－b－c)＝2c.
16．在平面内，分别用 3 根、5 根、6 根火柴棒首尾顺次相接， 能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下：
火柴棒根数 3
5
6
示意图
形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形
13．已知△ABC 的三边长分别为 a，b，c.
(1)若 a，b，c 满足(a－b)2＋(b－c)2＝0，试判断△ABC 的形状；
解：∵(a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴a－b＝0，b－c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形．
(2)若 a＝5，b＝2，且 c 为整数，求△ABC 的周长的最大值及最
(2)如果最长的木条折去了 40 cm，你能通过截木条的方法，帮助 小明钉成一个三角形架吗？
解：100－40＝60(cm)，设将长 90 cm 的木条截去 y cm 可以钉成 三角形架， 则 60－20<90－y<60＋20，解得 10<y<50. 因此，将 90 cm 长的木条截去一段，使其截去长度在 10 cm～50 cm 之间(不包括 10 cm 和 50 cm)，就能钉成三角形架．

等边三角形
斜三角形
三角形
等腰三角形
等腰三角形 等边三角形
判断：
1.有两边相等的三角形叫做等腰三角 形. ( ) 2.只有两边相等的三角形叫做等腰三 角形. ( ) 3.等边三角形是等腰三角形.( )
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9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21 .5.321. 5.3Monday, May 03, 2021
解：因为 6+4>2,6+2>4, 所以符合“三角形任意两边之和 大于 第三边”. 所以以长为2，4，6的三条线段能否构 成三角形.
已知:三角形的两条边分别为6和9， 求第三边的取值范围？
等腰三角形：两条边相等的三角形 等边三角形：三条边相等的三角形， （又叫正三角形）
等腰三角形
三角形按边分类：
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10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。09: 07:2109 :07:210 9:075/ 3/2021 9:07:21 AM
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11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。21. 5.309:0 7:2109: 07May-213-Ma y-21
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12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。09:07: 2109:0 7:2109: 07Monday, May 03, 2021
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15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021 年5月上 午9时7 分21.5. 309:07 May 3, 2021
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16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021 年5月3 日星期 一9时7 分21秒0 9:07:21 3 May 2021

三、概念剖析
(三)三角形的分类
我们把两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两条边叫做腰； 把三边都相等的三角形叫等边三角形； 三边互不相等的三角形叫做不等边三角形.
顶角 底边
腰 底角
等腰三角形
等边三角形
等边三角形是底边 和腰相等的特殊等 腰三角形
不等边三角形
典型例题
例3.用一个长为24cm的铁丝围成一个等腰三角形.如果腰比底边长6cm， 则等腰三角形各边的长是多少？ 解：设底边长为xcm，则腰长为6+x cm,
边
内角
∠A,∠B,∠C叫做三角形的内角.
B
C
A
c
b
B
a
△ABC的三边也可以用a，b，c表示；顶点A的 对边BC用a表示，顶点B的对边AC用b表示，顶点C的 对边AB用c表示. C
典型例题
例1：如图在三角形ABC中，D是BC边上的一点，连接AD.根据以上条件回
答下列问题：
(1)图中有几个三角形，用符号表示这几个三角形
x+6+x+6+x=24 3x=12 x=4 x+6=10
答：三边长分别为4cm、10cm、10cm.
【当堂检测】
4.一个等腰三角形的三边长都是整数，且周长为15.求这个三角形的三边长.
解：设等腰三角形的底为a，腰长为b，a+2b=15
由三角形三边关系可得：2b＞a ,a＞b-b=0
7.5＞a＞0
B
C
上面三个式子也可以表示为AB＞BC-AC，AC＞AB-BC，AB＞AC-BC.
结论：三角形任意两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边.
典型例题
例2.若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长. 解：设第三边的长为x， 根据三角形任意两边之和大于第三边得： x＜2+7，即x＜9 x+2>7，即x>5 所以x的值大于5小于9， 又因为它是奇数，所以x只能取7. 答：第三边的长为7.

三角形的边
红领巾
流动红旗
三角形 : 由不在同一直线上的三条线
段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角
形。
三角形的表示：如图中的三角形
ABC，记作：“ ABC”，读作：
“三角形ABC”
A
B
C
三角形有三条边、
三个顶点、三个内 顶点 c
角
如图：在
ABC中
B
A
内角
边
b
a
C
三条边是：AB、BC、AC
三个顶点是 : A、B、C
4
4
-6
6
(2)
= 0.2=30;
-0.2
9
9
1
(3)- = 72 = 8.
-72
解析: (1)
2
16
7. 若一个数的 是- ,则这个数是 -8
5
5
16
2
16
.
5
解析:这个数为- 5 ÷ 5=- 5 × 2=-8.
8.计算:(1)(-32)÷(-8);
1
1
(2)23 ÷ -1 6 .
解: (1)(-32)÷(-8)=+(32÷8)=4.
＝|m－1|－
的解，
5
2
4
3
x－16
x m
1
解：(1)解方程
＝－6，得 x＝4，∴ ＋ ＝x－4 的解为 x＝ ，∴
2
2 3

93
得 m＝－ .
8
16．已知关于 x 的方程
x＋a ax－3
y
－
＝1 的解为 x＝1，求关于 y 的方程
4
6
的解．
x＋a ax－3
解：∵方程

三角形三边关系的应用“三角形中任意两边之和大于第三边”及“三角形任意两边之差小于第三边”这两个结论在某些问题中是必备知识，同学们一定要力求熟练掌握，现举例说明．1．判定三角形是否存在当线段A.B.c同时满足：a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b时，可以构成三角形．也可简化为：如果三条线段a≤b≤c，只要满足a+b＞c便可构成三角形．例1 等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形底边的长．解：如图1所示，设这个三角形腰长2xcm，底边长ycm，则∵8+8＜17，故不能构成三角形，∴这个三角形的底边长5cm．注：在求三角形边长时，一定要注意构成三角形的条件．例2 ABCD的边长 AB=5cm，那么它的两条对角线AC.BD的长可能是 [ ]A． 4cm和6cm B．3cm和7cm．C．4cm和8cm D．2cm和12cm．(第九届“希望杯”初二培训)解：如图2，ABCD中，对角线AC 、对于选择A.B 都有OA+OB=AB，故不正确，对于 D有 AO+ AB= OB故也不正确，所以只能选C．2．确定某条边的取值范围三角形中一边的长小于其它两边之和而大于它们的差．例3 一个三角形的周长为偶数，其中两条边的长分别是4和1997，则满足条件的三角形的个数是_______．解：∵4+1997+c是偶数，∴ c为奇数．又∵ 1993＜c＜2001，∴ c只能取1995、1997、1999．故满足条件的三角形有3个．3．化简例4 若A. B. c为三角形的三条边长，则-(a+b+c)+｜a-b-c｜-｜b-c-a｜+｜c-b-a｜= [ ]．(A)2(a-b-c) (B)2(b-a-c)．(C)2(c-a-b) (D)2(a+ b+ c)．(第六届“希望杯”初二试题)解：由三角形三边关系，有a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，即a-b-c＜0，b-c-a＜0，c-b-a＜0，∴原式=- a- b- c+ b+ c- a-(a+ c- b)+ a+b- c= 2(b- a- c)．∴选(B)．4．证明不等式例5 设三角形两条高线的长分别是12和20，证明第三条高线的长小于30．证明：设△ABC的边长为a，b，c，对应高为h1=12，h2=20，h3，三角形面积为S，则∵a-b＜c．5．其它例6 用长度相等的100根火柴，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形各边所用火柴的根数．(97太原市初中数竞)解设三角形各边需火柴杆的根数为x、y、3x．则由①得y=100-4x，分别代入②、③、④．解得∵ x为正整数，∴ x=15，16，∴满足条件的三角形有两组，需用火柴的根数分别是15，40，45或16，36，48．例7 △ABC的一边为5．另外两边的长是方程2x2-12x+m=0的两根，那么，m的取值范围是______． (97年四川初中数竞)解设△ABC中．三边为A.B.c．a≤b．c=5．。

B
C
二 三角形的三边关系
在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香 肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？ C
A
B
议一议
路线1：从A到C再到B路线走；
C
路线2：沿线段AB走.
请问：路线1、路线2哪
条路程较短，你能说出 A
你的根据吗？ 解：路线2较短. 根据“两点之间线段最短”.
当堂练习
1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ （ 1） 3， 4， 8 （ 2） 2， 5， 6 （3） 5，6，10 （ 4） 3， 5， 8 （ 不能 ） （ 能 ） （能 ） （ 不能 ）
2.五条线段的长分别为1cm,2cm,3cm,4cm,5cm,以
3 其中三条线为边长可以构成________ 个三角形. 3.如果等腰三角形的一边长是5cm,另一边长是8cm, 18cm或21cm 则这个等腰三角形的周长为______________. 4.如果等腰三角形的一边长是4cm,另一边长是
x+2x+2x=18.
解得 x=3.6.
所以三边长分别为3.6cm、7.2cm、7.2cm.
(2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边， 所以需要分情况讨论. ①若底边长为4cm，设腰长为xcm,则有 4+2x=18.
解得
x=7.
x=10.
②若腰长为4cm,设底边长为xcm，则有 2×4+x=18. 解得 因为4+4＜10，不符合三角形两边的和大于第三边， 所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形.
例3 如图，D是△ABC 的边AC上一点，AD=BD，

基础巩固练
7．【中考·湖北随州】如图，在平行线 l1，l2 之间放置一块直角三 角尺，三角尺的锐角顶点 A，B 分别在直线 l1，l2 上，若∠1 ＝65°，则∠2 的度数是( A ) A．25° B．35° C．45° D．65°
基础巩固练
8．【中考·湖北孝感】如图，直线 AD∥BC，若∠1＝42°，∠BAC ＝78°，则∠2 的度数为( C ) A．42° B．50° C．60° D．68°
结论说明：∠E＝12(∠A＋∠C)． 解：∵∠A＋∠ABE＝∠E＋∠ADE，∠E＋∠EBC＝ ∠C＋∠EDC， ∠ABE＝∠EBC，∠ADE＝∠EDC， ∴∠A－∠E＝∠E－∠C， ∴∠E＝12(∠A＋∠C)．
精彩一题
17．如图，在△ABC 中，∠B＞∠C，AD 是 BC 边上的高，AE 平分∠BAC.
基础巩固练
5．三角形内角和定理是求三角形有关角的主要依据，它往往与 角平分线及平行线等知识综合解决角的问题，有时也会用来 解决涉及三角形内角和的实际问题．
基础巩固练
6．【河北石家庄裕华区一模】如图，将△ABC 沿 DE，EF 翻折， 顶点 A，B 均落在点 O 处，且 EA 与 EB 重合于线段 EO，若 ∠DOF＝142°，则∠C 的度数为( A ) A．38° B．39° C．42° D．48°
综合创新练 (2)小明在(1)的解题过程中发现∠1＋∠2＝2∠C，小明的这个发
现对任意的三角形都成立吗？请说明理由． 解：都成立．理由如下： 由题意可知：2∠CNM＋∠1＝180°，2∠CMN＋∠2＝180°， ∴2(∠CNM＋∠CMN)＋∠1＋∠2＝360°. ∵∠C＋∠CNM＋∠CMN＝180°， ∴∠CNM＋∠CMN＝180°－∠C， ∴2(180°－∠C)＝360°－(∠1＋∠2)，∴∠1＋∠2＝2∠C.

七年级数学下册第九章《三角形》素材：由一道习题想到的如果三角形三个角的比是：（1）1∶2∶3；（2）3∶4∶5；（3）5∶6∶7，求各个角的度数（见九四制初中几何第一册第160页）。

解（1）设三个角分别为x，2x，3x，由三角形的内角和定理得x+2x+3x=180°。

解这个方程，得：x=30°。

因此三个角分别是x=30°，2x=60°，3x=90°。

（（2），（3）解法略）对于给定的三个角的任意一个比，都能求出这个三角形的三个角。

换句话说，这三个角都对应一个三角形，如（2）中是三个角分别为45°，60°，75°的三角形。

但是，如果上题中换成三条线段的比，它们能构成三角形吗？为此，我们得出了以下结论：1．三条线段的长是三个连续整数（最小的大于或等于2），这三条线段一定能构成三角形。

例如，三条线长分别是（1），2，3，4；（2） 5，4，3；（3）6，5，7等，都能构成三角形。

如（1）中，2+3＞4，符合三角形三边的关系定理（在2+4＞3中，有4＞3；3+4中有3＞2，4＞2，它们的和定大于第三数，因而只要较小两数的和大于最大的数就能断定它们可能构成三角形，下面的证明也是这样做的）。

现证明如下：设最小的线段为x，则另两条线段分别是x+1与x+2，由三角形三边的关系定理，得x+（x+1）＞x+2。

解这个不等式，得x＞1。

由于x为整数，故x≥2。

因此，三条线段的长是三个连续的整数（最小的大于或等于2），这三条线段一定能构成三角形。

2．三条线段的比是三个连续整数（最小的大于或等于2），这三条线段一定能构成三角形。

三条线段分别是3，4，5，它们的比3∶4∶5是三个连续整数。

如果三条线段分别是12，10，14，它们的比是12∶10∶14=（6×2）∶（5×2）∶（7×2）=6∶5∶7，再如12∶10．5∶9=（8×1．5）∶（7×1．5）∶（6×1．5）=8∶7∶6，比是三个连续的整数。

方法技巧练
16 如图，P是△ABC内部的一点． (1)度量AB，AC，PB，PC的长，根据度量结果比较 AB＋AC与PB＋PC的大小； 解：度量结果略． AB＋AC>PB＋PC.
方法技巧练
(2)改变点P的位置，上述结论还成立吗？ 解：成立．
(3)你能说明上述结论为什么成立吗？ 如图，延长BP交AC于点D.

认知基础练
10 【原创题】一个三角形的三边长之比是2：2：1，周长 是10，此三角形按边分是( A ) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．以上都不对
认知基础练
11 如图，已知AB＝AC，AD＝BD＝DE＝CE＝AE，则图 中共有____4____个等腰三角形，有____1____个等边三 角形．
3 4 5… 9 13 17 …
方法技巧练
(2)第n个图形中有__(4_n_－__3_)_个三角形(用含n的式子表示)．
方法技巧练
【点拨】 分析图形，知第2个图形在第1个图形的基础上增加了
4个三角形，第3个图形在第2个图形的基础上又增加了4个 三角形，以此类推，每操作一次，增加4个三角形，因此 第4个图形比第3个图形多4个三角形，即9＋4＝13(个)； 第 5 个 图 形 比 第 4 个 图 形 多 4 个 三 角 形 ， 即 13 ＋ 4 ＝ 17(个)．第n个图形比第1个图形多4(n－1)个三角形，即第 n个图形中有4(n－1)＋1＝4n－3(个)三角形．
冀教版 七年级下
9.1
第9章 三角形
三角形的边
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1 B 5 B 9 B 13
2 C 6 C 10 A 14
3 D 7 C 11 4；1 15