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初一华杯赛试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 都不是答案：C3. 计算下列表达式的结果是偶数的是：A. 3 + 5B. 4 × 6C. 7 - 3D. 2 × 3答案：B4. 一个数的平方等于它本身，这个数可能是：A. 0B. 1C. 0或1D. 都不是答案：C5. 下列哪个数是质数？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的相反数是-8，这个数是________。
答案：87. 如果一个数的立方等于-27，那么这个数是________。
答案：-38. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。
答案：169. 一个数的绝对值是10，这个数可能是________或________。
答案：10 或 -1010. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是________。
答案：2三、解答题（每题5分，共20分）11. 计算下列表达式的值：(3x - 2) / (x + 1)，当x = 3时。
答案：将x = 3代入表达式，得到(3×3 - 2) / (3 + 1) = (9 - 2) / 4 = 7 / 4。
12. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长和宽的和是20厘米，求长和宽各是多少？答案：设宽为x，则长为2x。
根据题意，x + 2x = 20，解得x = 20 / 3，所以宽为20 / 3厘米，长为40 / 3厘米。
13. 一个数的平方加上这个数的两倍等于21，求这个数。
答案：设这个数为x，根据题意，x^2 + 2x = 21。
解这个一元二次方程，得到x = 3 或 x = -7。
14. 一个班级有40名学生，其中1/4的学生是男生，求班级中女生的人数。
答案：班级中有1/4 × 40 = 10名男生，所以女生的人数为40 - 10 = 30名。
初一华杯赛考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 地球是圆的B. 地球是方的C. 地球是三角形的D. 地球是多边形的答案：A2. 以下哪个历史事件标志着中国封建社会的结束？A. 辛亥革命B. 五四运动C. 抗日战争D. 长征答案：A3. 光年是指什么？A. 时间单位B. 距离单位C. 速度单位D. 重量单位答案：B4. 世界上最大的洋是哪一个？A. 太平洋B. 大西洋C. 印度洋D. 北冰洋5. 人体最大的器官是什么？A. 心脏B. 肝脏C. 皮肤D. 肺答案：C6. 以下哪个是化学元素的符号？A. HB. OC. CD. A答案：A7. 以下哪个国家是联合国安全理事会的常任理事国？A. 德国B. 印度C. 巴西D. 中国答案：D8. 以下哪个是数学中的基本运算？A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法答案：A9. 以下哪个是物理中的基本概念？B. 重力C. 速度D. 能量答案：A10. 以下哪个是生物学中的基本单位？A. 原子B. 分子C. 细胞D. 组织答案：C二、填空题（每题2分，共20分）1. 地球的自转周期是______小时。
答案：242. 世界上最大的沙漠是______。
答案：撒哈拉沙漠3. 光在真空中的传播速度是______千米/秒。
答案：299,7924. 人体正常体温的范围是______摄氏度。
答案：36.5-37.55. 化学元素周期表中，最轻的元素是______。
答案：氢6. 牛顿第一定律也被称为______定律。
答案：惯性7. 国际标准时间（UTC）是以哪个时区为基准的？答案：格林尼治时间8. 人体中含量最多的金属元素是______。
答案：钙9. 光合作用的主要场所是______。
答案：叶绿体10. 世界上最长的河流是______。
答案：尼罗河三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述牛顿三大定律的内容。
答案：牛顿第一定律（惯性定律）指出，物体会保持静止或匀速直线运动状态，除非受到外力作用。
初一数学华杯赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？A. 4B. ±4C. 16D. ±83. 一个长方形的长是宽的两倍，如果宽是5厘米，那么长是多少厘米？A. 5B. 10C. 15D. 204. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 都不是5. 一个数加上8等于这个数的两倍，这个数是多少？A. 8B. 4C. 0D. 166. 以下哪个分数是最接近0的？A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/57. 一个圆的半径是3厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 28.26B. 18.84C. 9.42D. 3.148. 一个数的立方是-27，这个数是多少？A. -3B. 3C. -27D. 279. 以下哪个算式的结果是一个整数？A. 3 × 4 + 2B. 4 ÷ 2 - 1C. 5 × 3 - 2D. 6 ÷ 3 + 110. 一个数的平方根等于它本身，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 4二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方等于25，这个数是_________。
12. 如果一个数的绝对值是3，那么这个数可能是_________。
13. 一个数的立方等于-8，这个数是_________。
14. 一个数的倒数是1/4，这个数是_________。
15. 一个数的平方根是2，这个数是_________。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 一个班级有40名学生，其中1/4的学生喜欢数学，1/5的学生喜欢英语。
请问喜欢数学和喜欢英语的学生总数是多少？17. 一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，求这个三角形的面积。
18. 一个数的平方加上8倍的这个数等于64，求这个数。
华杯赛试题及答案初一一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 如果一个数的平方等于81，那么这个数是多少？A. 9B. -9C. 9 或 -9D. 81答案：C3. 一个长方体的长、宽、高分别是3cm、4cm和5cm，其体积是多少立方厘米？A. 12B. 60C. 120D. 240答案：B4. 一个数的绝对值是5，这个数可以是？A. 5B. -5C. 5 或 -5D. 都不是答案：C5. 以下哪个表达式的结果不是整数？A. 4 + 3B. 7 - 2C. 5 × 3D. 6 ÷ 2答案：D二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的相反数是-7，这个数是_________。
答案：77. 如果一个角是直角的一半，那么这个角的度数是_________。
答案：45°8. 一个数的平方根是4，这个数是_________。
答案：169. 一个数的立方是27，这个数是_________。
答案：310. 一个数的1/4加上2等于5，这个数是_________。
答案：12三、解答题（每题7分，共21分）11. 一个圆的半径是5厘米，求这个圆的周长和面积。
答案：周长= 2πr = 2 × 3.14 × 5 = 31.4厘米面积= πr² = 3.14 × 5² = 78.5平方厘米12. 一个班级有40名学生，其中1/5的学生是男生，求女生的人数。
答案：男生人数= 40 × 1/5 = 8人女生人数 = 40 - 8 = 32人13. 一个数列的前三项是2, 4, 6，如果这个数列是等差数列，求第10项的值。
答案：等差数列的公差 = 4 - 2 = 2第10项 = 2 + (10 - 1) × 2 = 2 + 9 × 2 = 20结束语本试题旨在考察初一学生对数学基础知识的掌握情况，希望同学们在解答过程中能够体会到数学的乐趣，不断提高自己的解题能力。
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛——模拟试卷一、 填空题（每小题10分，共80分）1. 计算：=+⨯++⨯+⨯125.0201131407725.040223201114 。
【分析】： 2。
2. 四位数中，数码0出现_ ____次。
【分析】一个数中出现3个0的有1000，2000，……, 9000.共9个。
一个数中出现2个0的有993243⨯⨯=个；只出现1个0的有39992187⨯⨯⨯=个。
因此 ，四位数中，数码0出现21872243392700+⨯+⨯=次。
3. 如图,每个正六边形的面积是1,则图中虚线围成的五边形的面积是_______.【分析】：整个图形的面积减去外面的8个小块的面积.整个图形一共有10个小正六边形.我们把外面8个小块编号为1,2,3,4,5,6,7,8.如图.1号和6号正好是小六边形的一半,面积都是0.5.2号和3号刚好可以凑成一个六边形,所以,面积是1.同样,7号和8好凑成一个六边形,面积是1.4号和5号是两个一样的小三角形,而正六边形可以分成6个这样的小三角形,所以,4号和5号的面积都是1/6.所求面积是: 10-0.5×2-1-1-1/6×2=6+2/3=6.7.4. “12345678910111213…484950”是一个位数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字（顺序不变）组成一个首位不为0的多位数，则这个多位数最大为______，最小为___ ___。
【分析】：根据题意，由于共有941291+⨯=个数字，最后划去80个数字，还剩下11个数字，99997484950；10000123440。
，为得到最小值，留下小的数字。
5. 所有适合不等式187＜5n ＜720的自然数n 之和为 。
【分析】：根据题意，n 可以是2到14中的任意自然数，于是：2＋3＋…＋14 = 104。
6. 请从2、3、5、7、9中选出4个不同的数字组成一个四位完全平方数，那么这个平方数是 。
惠州市华杯赛测试题一（初一）1.已知:如图,△ABC 中,D,E,F,G 均为BC 边上的点,且BD=CG,DE=GF=12BD, EF=3DE. 若S △ABC =1,则图中所有三角形的面积之和为_________.G F D E CBA解:如题图所示的所有三角形均以A 为一个顶点,一个底边在BC 上,因此所有三角形都具有相等的高,于是可将计算所有三角形面积之和的问题转化为计算BC 上所有线段长度之和的问题.因为所有线段长之和是BC 的n 倍, 则图中所有三角形面积之和就是S ΔABC 的n 倍. 设DE=FG=x,则BD=CG=2x,EF=3x,BC=9x.图中共有1+2+3+4+5=15个三角形,则它们在线段BC 上的底边之和为[BC+(BD+DC)+(BE+EC)+(BF+FC)+(BG+GC)]+[DG+(DE+EG)+(DF+FG)]+EF =9x ×5+5x ×3+3x=63x由此可知BC 上所有线段之和63x 是BC=9x 的7倍,所以图中所有三角形面积之和等于S ΔABC 的7倍.已知S ΔABC =1,故图中所有三角形的面积之和为7.2、已知都是整数，且 。
解:0或13.1121231234124849233444555550505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭= .解：设s=1121231234124849233444555550505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,又s=1213214321494812334445555505050⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 相加得 2s=1+2+3+4+ (49)又 2s=49+48+47+…+2+1,相加得 4s=50×49=2450,故 s=612.54．将(1＋2x －x 2)2展开，所得多项式的系数和是__________．解：45． 有依次排列的3个数：3，9，8. 对任相邻的两个数, 都用右边的数减去左边的数, 所得之差写在这两个数之间, 可产生一个新数串: 3, 6, 9, -1, 8 , 这称为第一次操作; 做第二次同样的操作后可产生一个新数串: 3, 3, 6, 3, 9,-10, -1, 9，8.继续依次操作下去,问: 从数串3, 9 ,8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少？ 解： 520为方便起见，我们设依次排列的n 个数组成的数串为:n a a a a ,,,,321依题设操作方法可得新增的数为：1342312,,,-----n n a a a a a a a a .∴新增数之和为:11342312)()()()(a a a a a a a a a a n n n -=-++-+-+-- ① 原数串为3个数: 3, 9, 8.第1次操作后所得数串为:3, 6, 9, -1, 8.根据①可知, 新增2项之和为:385)1(6-==-+第2次操作后所得数串为：3，3，6，3，9，-10，-1，9，8根据(1)可知,新增4项之和为:3859)10(33-==+-++按这个规律下去,第100次操作后所得新数串所有数的和为:.520)38(100)893(=-⨯+++6. 不含有数字0的三位数我们称为“无0三位数”. 一个“无0三位数”与组成它的各位数字之积的比记为m (如三位数432，4324321843224m ===⨯⨯)， 那么（1）m 的最大值是多少？（2）m 的最小值是多少？解：（1）111记“无0三位数”为abc ，依题意，其中a ，b ，c 均不为0.因为10010100101100101111.abc a b c m abc abc bc ac ab++===++≤++= 验算可知，1111111111111==⨯⨯，111可以达到，所以m 的最大值为111. （2）3727因为1001010010110010137.99999927abc a b c m abc abc bc ac ab ++===++≥++=⨯⨯⨯ 验算可知，9993799927=⨯⨯，3727可以达到，所以m 的最小值3727.7.已知一组两两不等的四位数,它们的最大公约数是42, 最小公倍数是90090.问这组四位数最多能有多少个?它们的和是多少?解：①设这组四位数共n 个,分别为a 1=42x 1, a 2=42x 2, a 3=42x 3,…, a n =42x n ,其中的每个 a i =42x i 是四位数,所以1000≤42x i <10000,100010000232394242i x <≤<<. ②由题设知90090=[a 1,a 2,…,a n ]=[42x 1, 42x 2,…, 42x n ]=42[x 1, x 2,…, x n ]所以 [x 1, x 2,…, x n ]=9009042=2145=3×5×11×13,其中23<x i <239. (*) 可知x i 是由3,5,11,13每个至多用一次组合成的在23和239之间的自然数,并且两两不同.其中两个质因数组合且满足(*)式者,只有33,39,55,65,143, 三个质因数组合且满足(*)式者,有165和195,一个质因数以及多于三个质因数的积,都不能满足(*)式.因此最多产生7个两两不同的四位数.a 1=42×33=1386, a 2=42×39=1638,a 3=42×55=2310, a 4=42×65=2730,a 5=42×143=6006, a 6=42×165=6930,a 7=42×195=8190.它们的和等于42×(33+39+55+65+143+165+195)=42×695=29190.答:这组两两不同的四位数最多是7个,它们的和是29190.8、能否在图4中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和？如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由。
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛初一组一试试题解答一、填空题（共3题，每题10分）1. 计算)]5(31[)41(2)32(|231|)1()2(22343-⨯-+-⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷---⨯-= 解： 3432228594(2)(1)|123|()8122832781146472()[13(5)]4⎡⎤-⨯---÷---⨯-÷--⎢⎥⎣⎦==+-⨯-+-⨯- 6459431.4784--==-⨯ 2. 正方形ABCD 的面积等于625平方厘米.如图，DE 与CF 相交于G.已知125ADE CDG S S ∆∆==平方厘米.△BFG 的面积是 平方厘米.答：△BFG 的面积是50平方厘米.解：由于正方形ABCD 的面积等于625平方厘米.所以，边长25AB =厘米.由于125ADE S ∆=平方厘米，所以AE =10厘米.连接CE , 则1162531222CDE S ∆=⨯=（平方厘米）. 而已知125CDG S ∆=（平方厘米）， 则1252,312.55CDG CDE S DG DE S ∆∆===连接AG . 由221255055ADG ADE S S ∆∆==⨯=（平方厘米） 但16252ADGCBG S S ∆∆+=⨯，而16252BFG CBG S S ∆∆+=⨯，比较可得 50BFG ADG S S ∆∆==（平方厘米）.3. 用长度分别为50,,2,1 的木条去摆三角形，每个三角形的三条边的长度分别为c b a ,,，c b a <<，问),,(c b a 最多有多少种不同的取法？答案：9500.解：利用三条边可以构成三角形的条件：任意的两个边的和大于第三边. 边长为1的木条不能与其它长度的木条构成三角形.三角形的最小边长为2时，边长为2的木条只能与差值为1的两个木条构成三角形，故有47对.三角形的最小边长为3时，边长为3的木条只能与差值为1，2的两个木条构成三角形，故有46+45对.三角形的最小边长为4时，边长为3的木条只能与差值为1，2，3的两个木条构成三角形，故有45+44+43对.......三角形的最小边长为k （)25≤k 时，边长k 为的木条只能与差值为1，2，3，⋯，1-k 的两个木条构成三角形，故有(49)(491)(4922)k k k -+--++-+ 对.三角形的最小边长为k （)25>k 时，边长k 为的木条只能与差值为1，2，3，⋯，1-k 的两个木条构成三角形，故有1)149()49(++--+- k k 对. 故总数为(47461)(45441)(43421)(212k k +++++++++++++-+-+++ (321)1++++ 47244523(21)53321k k =⨯+⨯++-⨯++⨯+⨯+()22224231(24231)9500.=+++-+++=二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 用)(n S 表示自然数n 的数字和，如1)1(=S ，6)123(=S ，10)1234(=S 等等，求自然数n ，使得2011)(=+n S n .答: 1991.解1： 2011)(=+n S n ，20111900<<∴n 则可设y x n ++=101900或y x n ++=102000，其中90,90≤≤≤≤y x ，且y x ,为整数.若y x n ++=101900，则201191101900=++++++y x y x ，即101211=+y x ⎩⎨⎧==∴19y x 1991=n 若y x n ++=102000，则20112102000=+++++y x y x ，即9211=+y x 没有符合条件的整数解.因此，n =1991.解2：因为()(mod9),n S n ≡要使2011)(=+n S n ，只须()2011(mod9),n S n +≡ 即220114(mod9)2(mod9).n n ≡≡⇒≡已知在2011n ≤时()S n 最大为38，所以19832011,n ≤≤其中被9除余2的有1991，2000，2009.其中只有1991满足1991+20=2011，所以1991.n =5. 两个21位自然数m 和n ，每个都由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6和三个7组成，使得nm k =是自然数，问k 能取哪几个自然数？说明你的理由.答：1.解：显然777666555444333222111 1.777666555444333222111k == 假设存在这样的m 和n ，使得数m n 是一个大于1的自然数，则可设m k n=，故m kn =. 两边分别除以9，用数被9除的性质知m 和n 被9除的余数均等于3(1234567)⨯++++++被9除的余数，即84被9除的余数，为3. 因此3与3k 模9同余. 由7776665554443332221117111222333444555666777m k n =≤<， 及m 和n 不同（即1k ≠）推得4k =，即4m n =. 考虑数n 最低位的数字7，当把n 乘以4时，这个数字7的下一位（如果有）最多为6，因此乘以4最多进两位，这说明m 中对应位的数字为8（下面不进位,7×4=28）或9（下面进一位）或0（下面进两位），这与m 由三个1、三个2、三个3、三个4、三个5、三个6和三个7组成相矛盾！即不存在满足条件的m 和n .使得数m n是一个大于1的自然数. 所以，只有 1.k =6. 使得关于未知数x 的方程k x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡32无解的自然数 k 由小到大排成一行,其前2011个k 的值之和等于多少？解. k0 1 2 3 x 1 2 3 4 23x x ⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0 1 2 3 设5,0,1,2,3k m r r =+=；令6,x m p p =+待定. 325232323x x p p p p m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 从上表可知，=,0,1,2,3,23p p r r ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦是有解的. 因此，5,0,1,2,3,(1)k m r r =+=都有解.下面考虑 5 1.k m =-显然，665.23m m m ⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而对于01,q <<66323121115 2.232323m q m q q q q q m m m m m --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-+-=-+-+-+-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦上式对于任意01q <<的q 成立. 所以当51k m =-时，方程无正有理数解.因此，前2011个k 的值之和=20112012(511)(521)(520111)5201110113319.2⨯⨯-+⨯-++⨯-=⨯-=初一组二试试题解答图3 一、填空题（共3题，每题10分）1. 一水池有一进水口，若干同样大小的排水口.如果同时打开进水口和5个排水口，连续30个小时可以将水排尽；如果同时打开进水口和6个排水口，连续20小时可以将水排尽.如果同时打开进水口和15个排水口，几小时可以将水排尽？答：5小时.解：设一水池水为z 立方米，进水口每小时过水y 立方米，一个排水口每小时排水x 立方米.于是 3053020620x y z x y z ⨯=+⎧⎨⨯=+⎩由此此得 2305230232063203x y z xy z ⨯⨯=⨯+⎧⎨⨯⨯=⨯+⎩ 两式两边分别相减得 60x z = ∴ 160x z =；同样可得 120y z =. 设同时打开一进水口和15个排水口，t 小时可以将水排尽. 则1115,6020t z t z z ⨯=⨯+ 即 11 1.420t t =+ 所以 1155t t =⇒=（小时）. 2. 图中，四边形ABCD 是一个长方形，EF //AB ，GH //AD , EF 和GH 相交于点O , 三角形OBD 的面积是m ，求长方形OFCH 的面积和长方形AGOE 的面积差.答：2.m解：从图中可见，1.2BODC BOD ABCD BODA BOD S S S S S ∆∆-==+ 即 22.BODC BODA BOD S S S m ∆-==即 ()()2O F C H B O F D O H A G O E B O G D O ES S S S S S m ∆∆∆∆++-++= 但 ,,BOF BOG DOH DOE S S S S ∆∆∆∆== 因此得2.OFCH AGOE S S m -=3. 自然数a ，b 互质，如果a a b =⎥⎦⎤⎢⎣⎡，n b a b 101⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧，n 是10进制数b 的位数，则a b = .其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡a b 表示不超过a b 的最大整数，⎭⎬⎫⎩⎨⎧a b 表示a b 的小数部分.答：.25 解：设符合题意的最简分数为b a ，a 、b 均为正整数且互质.可知b >a ，根据题意即，则110n b a b a+⨯=，整理成正整数方程为210()n b a -=ab . 从方程中可知2a a b ≤<.因为a 与b 互质，所以b - a 2与ab 也互质.因为若 b -a 2与ab 有公因子p ，那么p 能整除a (或能整除b )，也能整除b -a 2，从而p 也能整除b (或也能整除a )，这样，与题意最简分数(分子与分母互质的分数)矛盾.因此，互质的a 与b 的积只能是10n 与1的乘积或5n 与2n 的乘积两种可能.若10n b =，1a =，这时21b a -≠； 若ab =10n =)(52n⨯，b =5n ,2n a =, 这时b -a =1得25(2)1n n -=,即()2521n n -=. 因此，n 只能是1时才成立，即a =2，b =5. 最简分数为.25 二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）4. 将正整数1，2，3，… ，8分别放置于正方体的8个顶点，每个顶点与相邻3个顶点上的数之和称为该顶点的“众数”.对每一种填法，都可以得到最大“众数”的与最小“众数”的差，那么这个差至少等于多少.答：2解：首先考虑这样的8个众数能否全相等，如果能，因为它们的和等于144，即 1444364)8_321(=⨯=⨯+++，所以每个都等于18，那么最大与最小的众数之差就是0.如果不能全相等，为了求得最小可能值，如果有一个是19，那么 相应地得有一个是17，（总和须等于144）所以这个最小的可能值就不能小于21719=-.这样我们只要先证明8个众数不能全相等，然后找出一种布法，其最大与最小众数之差等于2，就可以断定所求的这个最小值是2.设顶点的编号为1，2，3，4，5，6，7，8，如图，记在顶点i 的数为,18,i x i ≤≤.这样，顶点1的众数为1234x x x x +++；顶点5的众数为1568x x x x +++. 若此二顶点的众数相等，则864286515421x x x x x x x x x x x x +=+⇒+++=+++同样地，顶点2的众数为1236x x x x +++，顶点4的众数为1348x x x x +++，若此二顶点的众数相等，则846284316321x x x x x x x x x x x x +=+⇒+++=+++由上面得到的二式相加得 2822,x x =即 28,x x =这是不可能的. 这就证明了8个众数不能全相等.构造一个摆放方式的图例（见右图），最大数和最小数的差等于2，故最小差值等于2.5. 已知三角形边长都是整数，周长不超过28，三个边长两两之差的平方和等于14. 问这样的三角形共有多少个？（三条边长分别对应相等的三角形只算1个）答：12个.解：设三角形三条边长分别为a,b,c ，由已知等式可得：()()()22214a b b c a c -+-+-=. ①令a b m,b c n -=-=，则a c m n -=+，其中m,n 均为自然数.于是，等式①变为 227m n mn ++=. ② 由于m,n 均为自然数，判断易知，2()3737.m n mn mn -+=⇒≤因此，使得等式②成立的m ，n 只有两组：21m n =⎧⎨=⎩ 和 12m n =⎧⎨=⎩. （1）当m ＝2，n ＝1时，b =c +1,a =c +3.又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即13c c c ++>+，解得2c >.又因为三角形的周长不超过28，即3428a b c c ++=+≤，解得8c ≤.因此28c <≤，所以c 可以取值3，4，5，6，7，8，对应可得到6个符合条件的三角形.（2）当12m ,n ==时，23b c ,a c =+=+.a,b,c 又为三角形的三边长，所以b c a +>，即23c c c ++>+.解得1c >.又因为三角形的周长不超过28，即()()3228a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤，因此17c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形，且和（1）中得到的三角形不同.综合可知：符合条件且周长不超过28的三角形的个数为6612+=个.6. 求最小自然数k , 使得对于任意正整数n , k 个奇数2n +1, 2n +3, ……, 2n +2k -1中至少有一个数, 不能被3, 5, 7, 11中的任何一个整除.解. 试验可知，我们有6个奇数: 115,117,119,121,123,125,它们中每一个都可以被3,5,7,11中的一个或几个数整除.所以,k>6.对于任意的正整数 n , 当 k >6时, 取前7 个数:2n +1, 2n +3, ….., 2n +13 (1)由于2个能被3整除的奇数之差,不小于6; 2个能被5整除的奇数之差,不小于10; 2个能被7整除的奇数之差,不小于14; 2个能被11整除的奇数之差,不小于22. 因此,(1)中能被3整除的数最多有3个,且只能是2n +1, 2n +7, 2n +13.(1)中能被5整除的数最多有2个,且只能是2n +1,2n +11或者2n +3，2n +13;(1)中能被7整除的数最多有1个;(1)中能被11整除的数最多有1个.下面证明(1)中能被3 或5 整除的数的个数不超过4.若能被3整除的数只有2个，显然能能被3 或5 整除的数的个数不超过4. 若能被3整除的数有3个，不管什么情况，能被3整除的数和能被5整除的数，必有一个重合. 能被3整除和能被5整除的数一共不能超过4个.除了能被3 或5 整除的数外，还余下3个.但能被7或11整除的数最多只有2个，因此，必有一个数不能含有质因子3，5，7，11.即这个数不能被3, 5, 7, 11中的任何一个整除.答.k的最小值是7。
华杯赛初一试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是正确的？A. 2 + 3 = 5B. 3 + 4 = 7C. 5 - 2 = 2D. 4 × 3 = 12答案：A2. 如果一个数的平方等于其本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都是答案：D二、填空题3. 一个数的立方是其本身，这个数可以是______。
答案：0 或 1 或 -14. 若a和b互为相反数，且a + b = 0，则a和b的值分别是______。
答案：a和b互为相反数，即a=-b三、解答题5. 计算下列表达式的值：(1) 2^3 - 3^2(2) (-2)^2 + 4 × (-3)答案：(1) 2^3 - 3^2 = 8 - 9 = -1(2) (-2)^2 + 4 × (-3) = 4 - 12 = -86. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，如果长方体的体积是底面积的两倍，求a、b、c之间的关系。
答案：根据题意，长方体的体积是V = abc，底面积是S = ab。
由题意知，V = 2S，即abc = 2ab，因此c = 2。
四、应用题7. 一个班级有50名学生，其中35名学生参加了数学竞赛，25名学生参加了物理竞赛，有10名学生两项竞赛都参加了。
请问：(1) 有多少名学生至少参加了一项竞赛？(3) 有多少名学生没有参加任何竞赛？答案：(1) 至少参加一项竞赛的学生数 = 参加数学竞赛的学生数 + 参加物理竞赛的学生数 - 两项都参加的学生数 = 35 + 25 - 10 = 50(2) 没有参加任何竞赛的学生数 = 总学生数 - 至少参加一项竞赛的学生数 = 50 - 50 = 0五、证明题8. 证明：对于任意的正整数n，n^3 - n 总是能被6整除。
答案：设n为任意正整数，我们有n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n + 1)(n - 1)。
由于连续的三个整数中至少有一个是2的倍数，至少有一个是3的倍数，所以n(n + 1)(n - 1)能被2和3整除，即能被6整除。
华杯赛决赛试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是正确的？A. 地球是平的B. 地球是圆的C. 地球是三角形的D. 地球是正方形的答案：B2. 以下哪个数字是最小的质数？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A3. 以下哪个选项是正确的？A. 2 + 2 = 5B. 3 - 1 = 1C. 4 * 2 = 6D. 5 / 2 = 2答案：C二、填空题1. 请写出圆的面积公式：__________。
答案：πr²2. 请写出勾股定理的公式：__________。
答案：a² + b² = c²3. 请写出牛顿第二定律的公式：__________。
答案：F = ma三、解答题1. 已知一个直角三角形，两条直角边的长度分别为3和4，求斜边的长度。
答案：斜边长度为5，因为根据勾股定理，3² + 4² = 5²。
2. 一个数列的前三项为2, 4, 6，每一项都是前一项加上2，求第10项的值。
答案：第10项的值为20，因为每一项都是前一项加上2，所以第10项的计算方式为2 + (10-1)*2 = 20。
3. 一个水池，打开水龙头后，每分钟流入水池的水量是固定的，如果单独打开一个水龙头，需要1小时才能将水池填满，如果同时打开两个水龙头，需要40分钟才能将水池填满。
请问，如果同时打开三个水龙头，需要多少时间才能将水池填满？答案：需要24分钟。
设水池的容量为C，单个水龙头每分钟的进水量为x，则有C = 60x。
两个水龙头同时打开时，每分钟的进水量为2x，所以C = 40 * 2x。
由此可得，x = C / 60。
三个水龙头同时打开时，每分钟的进水量为3x，所以需要的时间t = C / (3x) = 60 / 3 = 20分钟。
华杯赛试题及答案初中一、选择题1. 下列哪个选项是正确的数学表达式？A. \(2x + 3 = 7\) 的解是 \(x = 2\)B. \(2x + 3 = 7\) 的解是 \(x = 1\)C. \(2x + 3 = 7\) 的解是 \(x = 0\)D. \(2x + 3 = 7\) 的解是 \(x = -1\)答案：B2. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少？A. 15厘米B. 30厘米C. 31.4厘米D. 62.8厘米答案：D二、填空题3. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，两腰长为5厘米，那么这个三角形的周长是______厘米。
答案：164. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。
答案：16三、解答题5. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
答案：斜边的长度为5厘米，根据勾股定理，\(\sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)厘米。
6. 某工厂生产一批产品，如果每天生产50件，需要20天完成。
现在要求提前5天完成，那么每天需要生产多少件？答案：每天需要生产75件。
设每天生产x件，则有\(20 \times 50 = (20 - 5) \times x\)，解得\(x = 75\)。
四、证明题7. 证明：等腰三角形的两个底角相等。
答案：设等腰三角形为ABC，AB=AC，设∠B=∠C=x。
由于三角形内角和为180°，所以∠A+2x=180°，解得∠A=180°-2x。
因此，∠B=∠C=x，证明了等腰三角形的两个底角相等。
五、应用题8. 某书店购进一批图书，每本定价为20元。
书店决定进行促销活动，每本图书打8折出售，如果卖出100本，书店可以获得多少利润？答案：书店可以获得200元利润。
每本书的售价为20元×0.8=16元，每本书的利润为16元-20元=-4元，卖出100本的总利润为100×(-4)=-400元，但由于是打折促销，所以实际利润为100×(20-16)=400元。
华杯赛试题及答案初一一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 2的平方是4B. 3的平方是9C. 4的平方是16D. 5的平方是25答案：D2. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25B. 50C. 100D. 200答案：B3. 以下哪个数是质数？A. 8B. 9C. 11D. 12答案：C4. 一个数的3倍加上5等于23，那么这个数是多少？A. 6B. 5C. 4D. 3答案：A5. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B6. 一个数的一半减去2等于3，那么这个数是多少？A. 8B. 7C. 6D. 5答案：A7. 一个数乘以3再加上4等于19，那么这个数是多少？A. 5B. 4C. 3D. 2答案：A8. 一个数的2倍减去3等于9，那么这个数是多少？A. 6B. 5C. 4D. 3答案：A9. 一个数除以2再加上3等于7，那么这个数是多少？A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B10. 一个数的4倍等于16，那么这个数是多少？A. 4B. 3C. 2D. 1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的平方是36，那么这个数是______。
答案：6或-62. 一个数的立方是27，那么这个数是______。
答案：33. 一个数的5倍是25，那么这个数是______。
答案：54. 一个数的7倍减去14等于0，那么这个数是______。
答案：25. 一个数的3倍加上6等于15，那么这个数是______。
答案：3三、解答题（每题10分，共50分）1. 一个数的4倍加上另一个数的2倍等于30，如果这个数是6，求另一个数。
答案：设另一个数为x，则4*6 + 2*x = 30，解得x = 3。
2. 一个数的3倍减去另一个数的2倍等于10，如果这个数是8，求另一个数。
答案：设另一个数为y，则3*8 - 2*y = 10，解得y = 7。
第十六届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题（深圳赛区初一组）一、 填空 (每题10分, 共80分)1．111111(1)(1)(1)(1)(1)(1) .223320112011-+-+-+=2．不同的正整数a,b,c,d,满足(7-a)(7-b)(7-c)(8-d)=77,则a+b+c+d = .3.若x ＜0，则113|||3|x x +--的最小值= .4。
将下列算式写成五位有效数字的小数，其中小数点后3位数是 ， ， ..51504948.012345678.05.一次数学测验，满分100分. 全组平均75分，去掉最高5名的分数，其余学生平均70分；去掉最低5 名的分数，其余 学生平均80 分. 那么,全组最多有 人.6．早8：00，航船从上游的A 港出发，往返于A,B 之间2次以 上，第二天早上4：00，航船在距A 港8千米处，向B 港驶 去.若A,B 之间的航程为20千米，航船的静水速度是水流速度 的5倍.则航船的静水速度最小值是每小时 千米.7. 给定一列数:1,4,7,……,1+3（k —1）,…... ，这一列数的前1000个数中有 个数的个位数是5.密 封 线 内 请 勿 答 题8．一个三位数是3的倍数, 除以17的余数等于它的各位数字之 和，若它的个位数是5, 那么所有满足条件的三位数的和 = ..二、简答题（每小题 10 分，满分40分. 要求写出简要过程）9. n 是自然数,小于n 且与n 互质的所有自然数的和等于54， 求n 的值.10. 右图中，平行四边形ABCD 的面积等于1, F 是BC 上一点，AC 与DF 交于E ，已 知三角形CEF 的面积140.求.BF FC 的值11. 在每个内角都小于1800的n边形的内部,取m个点.将n边形分成若干个不重叠三角形，使得n边形的每个顶点和内部取定的m个内点恰好是这些三角形的顶点，问：一共有多少个三角形？是正奇数是正整数，且满足方程求的最小值.+=+12. ,2011(1)32,n k n n k n三. 解答题（每小题15 分，满分30分. 要求写出详细过程）13. 如右图.正方形ABCD是扇形POQ的内接正方形,BOC是直角等腰三角形. OEFG也是正方形,F是BC的中点.若正方形OEFG的面积等于1，求扇形POQ的面积.( 3.1π=)14. 蚂蚁从立方体的一个顶点出发,沿着立方体的棱爬行,爬过的棱不再爬. 爬回出发点后,就停止爬行. 如果蚂蚁可爬行的最大路程是40厘米,那么立方体的体积是多少立方厘米？第十六届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛 深圳赛区决赛试题和解答（深圳赛区初一组）一.填空题（每小题 10 分，满分80分.）1．111111(1)(1)(1)(1)(1)(1) .223320112011-+-+-+= 2010111111. =(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)223320112011111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2320112320111220111342011123201123201120121006 =. 40222011--+-+-+=---+++-+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=解原式2．不同的正整数a,b,c,d,满足(7-a)(7-b)(7-c)(8-d)=77,那么a+b+c+d = ..77711(1)17(11).-1,1,7,-11(7),(7),(7),(8),87, 1.(7)(7)(7)(8)21()711117432. 33.33.a b c d d d a b c d a b c a b c a b c d a b c d =⨯=-⨯⨯⨯------==-+-+-+-=-+++=-+-+=-∴++=+++=+++解首先将以各种方式分配给只可能得到的值是3.若x ＜0，则113|||3|x x +--的最小值= .211111162..3|||3|3|||(3)|3||3||93x x x x x x x +=+=+=≥-----+-+-解4。
华杯赛决赛试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是正确的？A. 2 + 3 = 5B. 3 + 4 = 7C. 5 - 2 = 2D. 4 - 3 = 2答案：A2. 如果一个数的平方根是正数，那么这个数是：A. 负数B. 零C. 正数D. 任意实数答案：C二、填空题1. 圆的周长公式是 ________ 。
答案：2πr2. 一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，斜边长为________ 。
答案：5三、简答题1. 请解释什么是质数，并给出一个质数的例子。
答案：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数。
例如，2是一个质数，因为它只能被1和2整除。
2. 什么是勾股定理，并给出一个应用的例子。
答案：勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
例如，如果一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，根据勾股定理，斜边的长度应该是√(3² + 4²) = 5。
四、计算题1. 计算下列表达式的值：(3 + 4) × (8 - 2) ÷ 2答案：352. 一个数的平方是36，求这个数的值。
答案：±6五、证明题1. 证明：对于任意正整数n，n² - 1总是能被8整除。
答案：对于任意正整数n，可以表示为n = 8k + r，其中k是整数，r是0到7之间的整数。
那么n² - 1 = (8k + r)² - 1 = 64k² +16kr + r² - 1 = 8(8k² + 2kr) + (r² - 1)。
由于r² - 1是8的倍数或者-1，所以n² - 1能被8整除。
2. 证明：在一个直角三角形中，如果斜边是直角边的两倍，那么这个三角形是等腰直角三角形。
答案：设直角三角形的直角边长分别为a和b，斜边为c。
根据题意，c = 2a。
华杯赛初中试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的？A. 2 + 2 = 3B. 2 + 2 = 4C. 2 + 2 = 5D. 2 + 2 = 6答案：B2. 一个长方形的长是10厘米，宽是5厘米，它的面积是多少平方厘米？A. 25B. 30C. 50D. 60答案：C3. 一个数的3倍加上5等于20，这个数是多少？A. 5B. 4C. 3D. 2答案：A4. 一个圆的直径是14厘米，它的半径是多少厘米？A. 7B. 14C. 28D. 21答案：A5. 一个班级有40名学生，其中女生占60%，那么女生有多少人？A. 24B. 26C. 28D. 30答案：A6. 一个数的一半加上4等于9，这个数是多少？A. 5B. 10C. 8D. 6答案：B7. 一个三角形的底边长是8厘米，高是6厘米，它的面积是多少平方厘米？A. 24B. 48C. 32D. 16答案：A8. 一个数的4倍减去8等于12，这个数是多少？A. 6B. 4C. 5D. 3答案：A9. 一个数的3倍是45，那么这个数是多少？A. 15B. 20C. 30D. 45答案：A10. 一个数的2倍加上3等于11，这个数是多少？A. 4B. 3C. 2D. 1答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数的5倍是25，这个数是______。
答案：52. 一个数的6倍减去12等于18，这个数是______。
答案：63. 一个长方形的长是15厘米，宽是10厘米，它的周长是______厘米。
答案：504. 一个数的4倍加上8等于32，这个数是______。
答案：65. 一个数的3倍是27，那么这个数是______。
答案：9三、解答题（每题10分，共50分）1. 一个数的7倍加上14等于56，求这个数。
答案：(56 - 14) / 7 = 42. 一个班级有50名学生，其中男生占40%，求男生有多少人。
答案：50 * 40% = 203. 一个圆的周长是31.4厘米，求这个圆的半径。
