下载文档原格式
2000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第一试）一．已知m,n为整数，方程2(180x n m+-++=有两个不相等的实数根,方程2(370x n m+-+-=有两个相等的实数根.求n的最小值，并说明理由。
二．已知M、N分别在正方形ABCD的边DA、AB上，且MN=AN，过A作BM的垂线，垂足为P。
求证：∠APN=∠BNC三．设N是正整数，如果存在大于1的正整数k，使得N-2)1(-kk是k的正整数倍，则N 称为一个“千禧数”，试确定在1，2，3，…，2000中“千禧数”的个数并说明理由。
2000我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷（第二试）一．给定四个命题：（1）sin15°与sin75°的平方和为1；（2）函数 y=x2-8x+6的最小值为–10；（3）=（4）若= x=10.其中错误的是。
二．如图，△ABC中，AD和BE相交于F，已知△AFB的面积=12平方厘米，△BFD的面积=9平方厘米，△AFE的面积=6平方厘米，那么，四边形CDEF的面积等于平方厘米。
三．在△ABC中，BC=2，△ABC的面积为1，若∠B是锐角，则∠C的度数是。
四．某自来水公司水费计算办法如下：每户每月用水不超过5吨的，每吨收费0。
85元；超过5吨的，超出部分每吨收取较高的的定额费用。
已知今年7月份张家用水量与李家用水量之比为2：3，其中张家当月水费是14.60元，李家当月水费是22.65元，那么，超出5吨部分的收费标准是每吨元。
五．满足方程11x2+2xy+9y2+8x-12y+6=0的实数根对（x,y）的个数是。
六．函数y=x2-3|x|+7的图象与函数y= x2-3x+| x2-3x |+6的图象的交点个数是 . 七．已知抛物线y= x2+(k+1)x+1与x轴的两个交点A,B不全在原点左侧，抛物线的顶点为C ，要使△ABC 恰为等边三角形，那么k 的值为 .八．如图，已知AB 是圆O 的直径，PQ 是圆O 的弦，PQ 与AB 不平行， R 是PQ 的中点。
教育部数学竞赛试题及答案试题一：代数部分1. 计算下列表达式的值：\( (x^2 - 3x + 2) / (x - 1) \)，当\( x = 2 \)。
2. 解方程：\( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)。
3. 证明：对于任意实数 \( a \) 和 \( b \)，\( (a + b)^2 \leq2(a^2 + b^2) \)。
试题二：几何部分1. 已知三角形ABC中，角A为30度，角B为45度，求角C的度数。
2. 圆O的半径为5，点P在圆上，OP=3，求点P到圆心O的切线长度。
3. 证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
试题三：概率统计部分1. 抛掷一枚均匀硬币两次，求至少出现一次正面的概率。
2. 从1到10的整数中随机选择一个数，求这个数是奇数的概率。
3. 一个班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。
随机选择5名学生，求至少有3名男生的概率。
试题四：数论部分1. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( n^5 - n \) 总是能被30整除。
2. 求所有小于100的正整数，它们既是完全平方数，又是完全立方数。
3. 证明：不存在两个连续的完全平方数，它们的和是一个完全立方数。
答案：试题一：1. 将 \( x = 2 \) 代入表达式，得到 \( (2^2 - 3*2 + 2) / (2 -1) = 0 \)。
2. 解方程 \( 2x^2 + 5x - 3 = 0 \)，使用公式 \( x = \frac{-b\pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)，得到 \( x = \frac{-5 \pm\sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{-5 \pm 7}{4} \)，即 \( x = -2 \)或 \( x = \frac{1}{2} \)。
3. 证明：\( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \)，而 \( 2(a^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2 \)，显然 \( 2ab \leq 2a^2 + 2b^2 \)，所以 \( (a + b)^2 \leq 2(a^2 + b^2) \)。
对一道数学竞赛试题思考以下是2019年第26届“希望杯”全国数学邀请赛高二初试题，笔者仔细研读，根据已知条件、目标函数形式上特点，从不同视角给出了解法，以达到发散思维，训练思维目.题目若正数a，b满足2a+b=1，则a2-2a+b2-b最小值是 .视角1 换元法解法1 设2-2a=x，2-b=y，由a，b是正数知，x，y>1，易知a=2-x2，b=2-y，将上式代入2a+b=1，整理得x+y=3，即x3+y3=1.将a=2-x2，b=2-y代入a2-2a+b2-b得a2-2a+b2-b=1x+2y-32，1x+2y-32=（1x+2y）?x3+y3-32=y3x+2x3y-12≥2y3x2x3y-12=223-12.当且仅当y3x=2x3y，即22-2a=2-b时等号成立，所以最小值为223-12.评析换元法是高中数学解题中一种重要方法，换元方法多种多样，千差万别，目是将复杂问题简单化，将抽象问题形象化、分式问题整式化，无理问题有理化，这需要我们具备较强观察能力、逻辑思维能力、联想能力，本题中通过巧妙换元，将其适当化简，并利用均值不等式求得其最值.视角2 几何观点解法2 由2a+b=1知，a=1-b2，b=1-2a，所以a2-2a+b2-b=14?b-1a-1+12?ba+12，由a，b>0，2a+b=1，知a∈（0，12），b∈（0，1），易知b-1a-1∈（0，2），ba+12∈（0，2）.令x=b-1a-1，y=ba+12，x，y∈（0，2），解得a=1-12yy-x+1，b=32y-12xyy-x+1，由2a+b=1，知23x+23y+xy=43，解得y=169x+23-23，x∈（0，2），对y求导数得y′=169（x+23）2，其原函数图象如图1所示，图1 图2此时a2-2a+b2-b=14x+12y，为此，本题转化为目标函数是Z=14x+12y线性规划问题，由线性规划知识知，当目标函数与函数y=169x+23-23图象相切时（如图2），目标函数有最小值.设切点为P（x0，y0），则切线斜率为y′=169（x+23）2x=x0，因目标函数Z=14x+12y斜率为-12，所以y′=-169（x0+23）2=-12，解得x0=423-23，y0=223-23，即Z=14x+12y与曲线在点P（423-23，223-23）相切，所以Z=14x+12y有最小值Zmin=223-12.解法3 令x=a2-2a，y=b2-b，则a=2x1+2x，b=2y1+y，则4x1+2x+2y1+y=1，以下同解法2.图3评析运用线性规划知识解决最值问题形象直观，同时也很好地体现了数形结合思想，本解法中：如图3，设A（1，1），B（-05，0），P点在线段2a+b=1上，a，b>0上，因此，目标函数14b-1a-1+12ba+12转化为求14kAP+12kBP最小值，如果直接求，较为困难，因此，需要将问题适当转化，即换元.本解法对于求解线性规划中目标函数为pk1+qk2（其中p，q为给定实数，k1，k2为斜率）这一类新题型提供了很好思路，即换元，从而将目标函数转化为直线，问题便迎刃而解.视角3 函数思想解法4 由b=1-2a，a∈（0，12），知a2-2a+b2-b=2-5a+6a22+2a-4a2，令g（a）=2-5a+6a22+2a-4a2，则g′（a）=-2（7-20a+4a2）2+2a-4a22.当a∈（0，5-322）时，g′（a）<0，此时，g（a）单调递减，当a∈（5-322，12）时，g′（a）>0，此时，g（a）单调递增.所以gmin（5-322）=223-12.即a2-2a+b2-b最小值为223-12.评析利用函数单调性求最值是处理最值问题常用方法，简单易于操作，本题中采用代入消元法将目标函数由二元化为一元，从而将问题转化为一元函数求最值.视角4 方程思想解法5 令a2-2a+b2-b=t，显然t>0，则2a+2b-3ab=t（2-2a）（2-b），将b=1-2a，a∈（0，12）代入上式得6+4ta2-（5+2t）a+2-2t=0，此式可以看成关于a一元二次方程，则该方程有实根，从而Δ=（2-2t）=36t2+36t-23≥0，解得t≥223-12，所以a2-2a+b2-b最小值为223-12. （5+2t）2-4（6+4t）评析函数与方程思想是高中数学重要思想方法，对于2次整式，或者一次分式求最值运用判别式法简单易于操作，应该要求每个学生必须掌握.视角5 “1”代替解法6 由2a+b=1，知2-2a+2-b=3，显然2-2a3+2-b3=1，所以12-2a+22-b=（12-2a+22-b）（2-2a3+2-b3）=1+2（2-2a）3（2-b）+（2-b）3（2-2a）≥1+223.所以a2-2a+b2-b=-32+12-2a+22-b≥223-12.评析“1”在中学数学中有着重要应用，sin2x+cos2x=1主要是方便对式子变形，而其他等于1整式或分式主要是为使用均值不等式创造条件.本题充分利用结论（x+y）（px+qy）≥p+q+2pq来求得其最值. 视角6 从高观点角度剖析解法7 （拉格朗日数乘法）构造拉格朗日函数L（a，b，λ）=a2-2a+b2-b-λ（2a+b-1），令La=12（1-a）2-2λ=0;Lb=2（2-b）2-λ=0;Lλ=-（2a+b-1）=0;联立上述三个方程解得a=5-322，b=32-4，λ=127-182.从而得a2-2a+b2-b=223-12，所以a2-2a+b2-b最小值为223-12.评析拉格朗日数乘法实际上是借助于求多元函数极值点求函数最值，通常用来求限制条件下最值问题，操作简单，也是通式通法，在竞赛解题中经常用到.视角7 数列观点解法8 由2a+b=1=2?12知，b，12，2a成等差数列，设其公差为d，则b=12-d，2a=12+d，a=14+d2，所以a2-2a+b2-b=12×1+2d3-2d+1-2d3+2d，整理得a2-2a+b2-b=-12+13×3+2d3-2d+23×3-2d3+2d≥223-12.所以a2-2a+b2-b最小值为223-12.视角8 三角换元解法9 令2a=sinθ，b=cosθ，θ∈0，π2，代入a2-2a+b2-b，整理得a2-2a+b2-b=1-cos2θ2+2cos2θ+cos2θ2-cos2θ=-12+23×2-cos2θ2+2cos2θ+13×2+2cos2θ2-cos2θ≥223-12.所以a2-2a+b2-b最小值为223-12.评析因为三角函数公式多，思路广以及三角函数本身单调性、有界性，从而为求解函数最值带来便利.本题通过三角换元，将二元问题一元化，进而利用均值不等式求解，同时本题也可以充分利用0≤cos2θ≤1，运用函数单调性求解.视角9 方程组思想解法10 由2a+b=1知，a=1-b2，b=1-2a，所以a2-2a=12×1-b2-2a.设1-b=X（2-2a）+Y（2-b），则1-b=2X+2Y-X2a-（Y-1）b-b，由2a+b=1知X=Y-1，2X+2Y-X=1.解得X=-13，Y=23，所以1-b=-13（2-2a）+23（2-b），进而12×1-b2-2a=-16+13×2-b2-2a.同理可得1-2a2-b=-13+23×2-2a2-b，所以a2-2a+b2-b=-12+13×2-b2-2a+23×2-2a2-b≥223-12.视角10 柯西不等式|m|?|n|≥|m?n|解法11 设m=（12-2a，22-b），n=（2-2a，2-b），由柯西不等式知1+2≤312-2a+22-b，由此可得12-2a+22-b≥3+223.所以a2-2a+b2-b=-32+12-2a+22-b≥223-12.追本溯源笔者发现，若将a2-2a+b2-b变形得-32+12-2a+22-b，则该题是第23届“希望杯”全国数学邀请赛高一初试题一道变式题，原题是：若正数a，b满足a+b=2，则1a+1+1b+1最小值是 .由此，两道题就异曲同工了.同时，解法2对于求解线性规划中目标函数为pk1+qk2（其中p，q为给定实数，k1，k2为斜率）这一类新题型提供了很好思路，即换元.数学解题历程是一项富有挑战性过程，因为艰辛，所以难忘.一题多解，不仅可以丰富学生解题视野，增强处理数学问题能力，同时也可以进一步构建学生已有知识体系.以上解法涉及函数、向量、三角函数、不等式、直线与双曲线、方程组等诸多知识，用到了构造、换元等重要方法，渗透了数形结合、函数与方程等核心思想.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、生命对某些人来说是美丽的，这些人的一生都为某个目标而奋斗。
高中生数学竞赛解题心得第1章竞赛数学概述 (3)1.1 竞赛数学简介 (3)1.2 竞赛数学与高中数学的关系 (3)第二章基础知识回顾 (4)2.1 代数基础知识 (4)2.1.1 多项式运算 (4)2.1.2 方程与不等式 (4)2.1.3 函数与图像 (4)2.2 几何基础知识 (4)2.2.1 平面几何 (5)2.2.2 空间几何 (5)2.2.3 解析几何 (5)2.3 概率统计基础知识 (5)2.3.1 随机事件与概率 (5)2.3.2 随机变量与分布 (5)2.3.3 统计与估计 (5)第三章常见题型解析 (5)3.1 函数与方程 (5)3.1.1 函数的性质与图像 (6)3.1.2 方程的求解与方程组 (6)3.1.3 函数与方程的综合应用 (6)3.2 数列 (6)3.2.1 等差数列与等比数列 (6)3.2.2 数列的递推关系 (6)3.2.3 数列的综合应用 (6)3.3 平面几何与立体几何 (6)3.3.1 平面几何的基本性质与定理 (6)3.3.2 空间几何的基本性质与定理 (6)3.3.3 几何图形的面积与体积 (7)3.4 概率统计问题 (7)3.4.1 随机事件的概率 (7)3.4.2 随机变量的分布与期望 (7)3.4.3 统计量与假设检验 (7)第四章解题策略与方法 (7)4.1 转化与化归 (7)4.2 构造法 (7)4.3 数学归纳法 (7)4.4 反证法 (8)第五章逻辑思维能力训练 (8)5.1 分析与综合 (8)5.2 抽象与具体 (8)5.3 归纳与演绎 (8)第6章时间管理与心态调整 (9)6.1 时间分配策略 (9)6.1.1 制定详细的学习计划 (9)6.1.2 合理安排学习与休息时间 (9)6.1.3 抓住碎片时间 (9)6.2 应对压力的方法 (9)6.2.1 增强心理素质 (9)6.2.2 保持积极心态 (9)6.2.3 与他人交流 (9)6.3 保持良好心态 (9)6.3.1 培养兴趣爱好 (9)6.3.2 保持乐观情绪 (9)6.3.3 关注身心健康 (10)第7章经典竞赛题目解析 (10)7.1 高考数学竞赛真题 (10)7.1.1 题目概述 (10)7.1.2 题目解析 (10)7.2 国际数学竞赛真题 (10)7.2.1 题目概述 (10)7.2.2 题目解析 (10)7.3 国内数学竞赛真题 (11)7.3.1 题目概述 (11)7.3.2 题目解析 (11)第8章历年竞赛趋势分析 (12)8.1 命题规律 (12)8.2 难度分布 (13)8.3 热点问题 (13)第9章名师指导与经验分享 (14)9.1 名师解题技巧 (14)9.1.1 分析题目关键词 (14)9.1.2 构建数学模型 (14)9.1.3 灵活运用数学公式与定理 (14)9.1.4 培养逻辑思维能力 (14)9.1.5 学会反思与总结 (14)9.2 学长学姐经验谈 (14)9.2.1 做好时间管理 (14)9.2.2 参加模拟赛 (14)9.2.3 深入研究历年真题 (14)9.2.4 学会与他人交流与合作 (15)9.3 家长辅导建议 (15)9.3.1 关注孩子的兴趣和需求 (15)9.3.2 创造良好的学习环境 (15)9.3.3 鼓励孩子参加课外活动 (15)9.3.4 培养孩子的自主学习能力 (15)第十章自我提升与展望 (15)10.1 制定学习计划 (15)10.1.1 明确目标 (15)10.1.2 分析自身情况 (15)10.1.3 合理分配时间 (16)10.1.4 定期评估与调整 (16)10.2 不断提高自己 (16)10.2.1 深入学习基础知识 (16)10.2.2 学习解题方法和技巧 (16)10.2.3 做好笔记和归纳 (16)10.2.4 参加模拟竞赛 (16)10.3 未来发展展望 (16)10.3.1 深化数学研究 (16)10.3.2 参加国内外竞赛 (16)10.3.3 拓展学术视野 (17)10.3.4 培养跨学科能力 (17)第1章竞赛数学概述1.1 竞赛数学简介竞赛数学，作为一种特殊的教育形式，旨在发掘和培养学生在数学领域的潜力与创新能力。
数学竞赛试题精选精解及答案【试题一】题目：已知函数 \(f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\)，其中 \(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\) 均为实数，且 \(a \neq 0\)。
若 \(f(1) = 8\)，\(f(2) = 27\)，求 \(f(-1)\) 的值。
【精解】首先，根据给定条件，我们可以建立以下方程组：\[\begin{align*}a +b +c +d &= 8, \\8a + 4b + 2c + d &= 27.\end{align*}\]接下来，我们可以从第一个方程中解出 \(d\)：\[ d = 8 - a - b - c. \]将 \(d\) 的表达式代入第二个方程，得到：\[ 8a + 4b + 2c + (8 - a - b - c) = 27, \]简化后得到：\[ 7a + 3b + c = 19. \]现在我们有两个方程：\[\begin{align*}a +b +c + (8 - a - b - c) &= 8, \\7a + 3b + c &= 19.\end{align*}\]将第一个方程简化为：\[ 8 = 8, \]这是一个恒等式，说明我们的方程组是正确的。
现在我们需要找到 \(f(-1)\) 的值，根据函数表达式：\[ f(-1) = -a + b - c + d. \]将 \(d\) 的表达式代入，得到：\[ f(-1) = -a + b - c + (8 - a - b - c) = 8 - 2a - 2b - 2c. \]由于我们没有足够的信息来解出具体的 \(a\)，\(b\)，\(c\) 的值，我们无法直接计算 \(f(-1)\)。
但是，我们可以通过观察发现，\(f(1)\) 和 \(f(2)\) 的值与 \(f(-1)\) 有相似的形式，我们可以推测 \(f(-1)\) 的值可能与 \(f(1)\) 和 \(f(2)\) 的值有关。
一道代数竞赛题的不同解法与反思本文以《一道代数竞赛题的不同解法与反思》为标题，通过详细分析一道代数竞赛题，探讨不同解决方法及其优劣，以及如何从中吸取教训的相关讨论，主要分为三部分。
第一部分，针对一道有关数学竞赛的代数题，具体问题是：已知椭圆C：x^2+2y^2=3，点P(2,1)在椭圆C上，求椭圆C上任意一点A 到点P的距离。
本文介绍了三种解决方案，即利用正弦定理、勾股定理与几何思维法等。
首先，利用正弦定理，引入新的坐标系Ω，将点P的坐标表示为（a,b），设A(x,y)为椭圆C上任意一点，则点P到点A的距离d为：d=√((x-2)^2+(y-1)^2)。
其次，利用勾股定理，可以将点P（2,1）的坐标改为A(-2,3)，那么点A到点P的距离d就变为：d=√((x+2)^2+(y-3)^2)。
最后，利用几何思维法，可以将此问题等价于求两个灭点（-2，3）和（2，1）之间的距离，即d=√((4)^2 + (-2)^2)，它们之间的距离d就可以得出。
第二部分，讨论了上述三种解决方案的优劣以及如何从中吸取教训。
首先，利用正弦定理最简便，但需要引进新的坐标系Ω，易出错，而勾股定理的坐标变换也较为复杂，易搞混。
此外，几何思维法迅速而有效，且不容易出错，因此本文最终推荐使用几何思维来解决类似的问题。
第三部分，总结本文主要讨论内容，即针对一道有关数学竞赛的代数题，探讨不同解决方法及其优劣，以及如何从中吸取教训。
本文介绍了三种解决方案，即利用正弦定理、勾股定理与几何思维法等，从中可以看出，几何思维法具有快速、有效、不容易出错的优势，有助于解决类似的问题，因此本文推荐同学们从中汲取经验教训，培养几何思维能力。
综上所述，本文通过详细分析一道代数竞赛题，探讨不同解决方法及其优劣，以及如何从中吸取教训的相关讨论，从而提高数学解题能力，有助于学习者取得更好的发展。
数学竞赛初赛试题及答案详解试题一：代数基础题题目：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是实数，且满足\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，求证：\( a^4 + b^4 + c^4 \leq 1 \)。
解答：首先，我们可以利用平方和不等式，即对于任意实数\( x \)和\( y \)，有\( (x+y)^2 \geq 4xy \)。
将\( x = a^2 \)和\( y = b^2 \)代入，得到：\[ (a^2 + b^2)^2 \geq 4a^2b^2 \]\[ 1 - c^2 \geq 4a^2b^2 \]\[ 1 \geq c^2 + 4a^2b^2 \]由于\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，我们可以得出：\[ a^4 + b^4 \leq 1 - c^2 \]类似地，我们可以证明：\[ a^4 + c^4 \leq 1 - b^2 \]\[ b^4 + c^4 \leq 1 - a^2 \]将这三个不等式相加，我们得到：\[ 2(a^4 + b^4 + c^4) \leq 3 - (a^2 + b^2 + c^2) \]\[ 2(a^4 + b^4 + c^4) \leq 2 \]\[ a^4 + b^4 + c^4 \leq 1 \]证明完毕。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C是直角，若AB=5，AC=3，求BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
设BC的长度为\( x \)，则有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ 5^2 = 3^2 + x^2 \]\[ 25 = 9 + x^2 \]\[ x^2 = 16 \]\[ x = 4 \]所以，BC的长度为4。
试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少放一个球，有多少种不同的放法？解答：首先，我们需要将5个球分成3组，每组至少一个球。
一道数学竞赛试题的解法探索及启示一、的提出笔看在分析2010年全国初中数学联合竟赛试题时.对第一大题第4小禽产生了极大的兴趣。
厚题如下：若方程。
. 3x-l=0(l)的两个根也是方程x\ax4bxM=0(2)的根，则ib-2c 的值为(,)(A)・13 (B)-9 (C)6 (D)0为什么笔者会对这道试题特别感兴趣？我们一起从解决这一试题的思路形成过程及解答过程中寻求答案。
二、何题的分析及解决该题纶出的参冬答案中解答如下：设m是方程x2-3x-l=O的一个根，则m2-3m-l=O，所以mJ3m+lo由鹿意.m也是方程x4>ax2fbx>cxO得根，所以m4fam2+ bin代=0,把代人上式，得(3m+l)A・mJbmM=0，整理AVTT-2~将x>x2分别代入方程联立方程组并化简得：(952^-264 VTT+88a+24a VTT+24b+8b VIT+】6c=0 (3)'952-264\/TT*88a-24aV1T4-24b-8bx/1T♦l^O (4)(3*)得：3a+b=-33 (5)(3 片(4)得：lla・3b+2c=-l 19 (6)(5)x4-(6)得：wb-2g-13反思一：该思路清嘶、明了 .但在具体运算中.计算过程比较繁琐,且技巧性比较强•则有下面的分析：思路分析二：若方程(1)的两个根也是方程(2)的根.则多项式x^ax^bx+c可分解为/・3x-l与另一个因式乘积的形式，可设x%ax24-bx-H：=(x2-3x-1 Xx2^mx+n) (7)其中・mji为待定的系IL为了得到a+b-2c的值，可以有两种解法.解必二：由多顼式恒等定理知道，两个多项式恒等，对应次项的系数对应相等，即由x4+ax2+bx-H5=x4-Hm-3)x3+(n-3in-1) x2-(m+3n)x-n,得m-3=0n-3m-l=am+3n=-bic=f典I a+b-2c—13解法三：(7)式既然是怛等式，那么该式对所有实数均成立，令x=(»=l得：n=-c-3(m+n+ l)=a+b+c+11 +a-b+c=4( 1 -m+n)*l<#a+b-2c=-13反思二：由思路分析二可知，x%ax、bwc能被F・3x・l 整除，设其商式F+mx+n,姻余式为O0此时，问题转换为求X、ax24bx*c 除以x^-Sx-l 的商©解法四：由长除法mx4 4-0-jr1?-女-1* -3.？X 4 >3X4(0 410X^30J G X-t-far +c3? -X -*(a^lO)j^ +(64 3)x(o ♦ 10湿 T。
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编1、集合部分2019A 2、若实数集合{}1,2,3,x 的最大元素与最小元素之差等于该集合的所有元素之和，则x 的值为 ．◆答案：32-★解析：假如0x ≥，则最大、最小元素之差不超过{}max 3,x ，而所有元素之和大于{}max 3,x ，不符合条件．故0x <，即x 为最小元素．于是36x x -=+，解得32x =-。
2019B1. 若实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x 的值为 ．◆答案：3-★解析：条件等价于1,2,3,x 中除最大数以外的另三个数之和为0 ．显然0<，从而120x ++=，得3x =-．2018A1、设集合{}99,,3,2,1 =A ，集合{}A x x B ∈=|2，集合{}A x x C ∈=2|，则集合C B 的元素个数为 ◆答案：24★解析：由条件知，{}48,,6,4,2 =C B ，故C B 的元素个数为24。
2018B1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 ◆答案： 31 ★解析:易知{}16,2,0,4=B ，所以{}16,8,4,2,1,0=B A ，元素之和为31.2018B 三、（本题满分50分）设集合{}n A ,,2,1 =，Y X ,均为A 的非空子集（允许Y X =）．X中的最大元与Y 中的最小元分别记为Y X min ,max ．求满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目。
★解析:先计算满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目.对给定的X m max =，集合X 是集合{}1,,2,1-m 的任意一个子集与{}m 的并，故共有12-m 种取法.又Y m min ≤，故Y 是{}n m m m ,,2,1, ++的任意一个非空子集，共有121--+m n 种取法.因此，满足Y X min max ≤的有序集合对),(Y X 的数目是：()[]()12122122111111+⋅-=-=-∑∑∑=-==-+-n nm m n m nnm mn m n由于有序集合对),(Y X 有()()()2121212-=--n n n 个，于是满足Y X min max >的有序集合对),(Y X 的数目是()()124122122+-=-+⋅--n n n n n n n2017B 二、（本题满分40分）给定正整数m ，证明：存在正整数k ，使得可将正整数集+N 分拆为k 个互不相交的子集k A A A ,,,21 ，每个子集i A 中均不存在4个数d c b a ,,,（可以相同），满足m cd ab =-．★证明：取1k m =+，令{(mod 1),}i A x x i m x N +=≡+∈，1,2,,1i m =+设,,,i a b c d A ∈，则0(mod 1)ab cd i i i i m -≡∙-∙=+，故1m ab cd +-，而1m m +，所以在i A 中不存在4个数,,,a b c d ，满足ab cd m -=2017B 四、（本题满分50分）。
数学竞赛试卷试题及答案试题一：代数问题1. 解方程：\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)2. 证明：对于任意实数 \( a \) 和 \( b \)，\( (a+b)^2 \leq2(a^2 + b^2) \)试题二：几何问题1. 在直角三角形ABC中，角C为直角，已知AB=5，AC=3，求BC的长度。
2. 证明：圆的内接四边形的对角和为180度。
试题三：数列问题1. 给定数列：\( a_n = 2n - 1 \)，求前10项的和。
2. 证明：数列 \( b_n = n^2 \) 是一个严格递增数列。
试题四：组合问题1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，求有多少种不同的放法。
2. 证明：对于任意正整数 \( n \)，\( n^3 - n \) 总是能被6整除。
试题五：概率问题1. 抛掷一枚均匀硬币两次，求至少出现一次正面的概率。
2. 证明：如果一个事件的概率为 \( p \)，则其补事件的概率为\( 1-p \)。
答案：试题一：1. 解：\( (x-2)(x-3) = 0 \)，所以 \( x = 2 \) 或 \( x = 3 \)。
2. 证明：\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)，由于 \( 2ab \leqa^2 + b^2 \)，所以 \( (a+b)^2 \leq 2(a^2 + b^2) \)。
试题二：1. 解：根据勾股定理，\( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 \)。
2. 证明：设圆内接四边形为ABCD，连接对角线AC和BD，由于圆周角定理，\( \angle{AOC} + \angle{BOC} = 180^\circ \)，同理\( \angle{AOD} + \angle{BOD} = 180^\circ \)，所以\( \angle{AOC} + \angle{AOD} + \angle{BOD} + \angle{BOC} = 360^\circ \)。
