初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)一元一次方程及汇总

初中数学竞赛辅导讲义---方程与函数方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将已知与未知联系起来，建立方程或方程组，然后运用方程的知识使问题得以解决的方法；函数描述了自然界中量与量之间的依存关系，函数思想的实质是剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究问题．转化为函数关系去解决．方程与函数联系密切，我们可以用方程思想解决函数问题，也可以用函数思想讨论方程问题，在确定函数解析式中的待定系数、函数图象与坐标轴的交点、函数图象的交点等问题时，常将问题转化为解方程或方程组；而在讨论方程、方程组的解的个数、解的分布情况等问题时，借助函数图象能获得直观简捷的解答．【例题求解】【例1】 若关于的方程mx x =-1有解，则实数m 的取值范围 ．思路点拨 可以利用绝对值知识讨论，也可以用函数思想探讨：作函数x y -=1，mx y =函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m 的取值范围．【例2】设关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不相等的实数根1x ，2x ，且1x <1<2x ，那么a 取值范围是( )A ．5272<<-aB ．52>a C ．72-<a D ．0112<<-a思路点拨 因根的表达式复杂，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与x 轴的交点满足1x <1<2x 的a 的值，注意判别式的隐含制约．【例3】 已知抛物线0)21(22=+-+=a x a x y (0≠a )与x 轴交于两点A(1x ，0)，B(2x ，0)( 1x ≠2x )．(1)求a 的取值范围，并证明A 、B 两点都在原点O 的左侧；(2)若抛物线与y 轴交于点C ，且OA+OB ＝OC 一2，求a 的值．思路点拨 1x 、2x 是方程0)21(22=+-+a x a x 的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点．【例4】 抛物线)1(2)45(2212+++-=m x m x y 与y 轴的正半轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，并且点B 在A 的右边，△ABC 的面积是△OAC 面积的3倍．(1)求这条抛物线的解析式；(2)判断△OBC 与△OCA 是否相似，并说明理由．思路点拨 综合运用判别式、根与系数关系等知识，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键．对于(1)，建立关于m 的等式，求出m 的值；对于(2)依m 的值分类讨论．【例5】 已知抛物线q px x y ++=2上有一点M(，0y )位于x 轴下方．(1)求证：此抛物线与轴交于两点；(2)设此抛物线与x 轴的交点为A(1x ，0)，B(，0)，且1x <2x ，求证：1x <0x <2x ．思路点拨 对于(1)，即要证042>-q p ；对于(2)，即要证0))((2010<--x x x x ．注：(1)抛物线与x 轴交点问题常转化为二次方程根的个数、根的符号特征、根的关系来探讨，需综合运用判别式、韦达定理等知识．(2)对较复杂的二次方程实根分布问题，常转化为用函数的观点来讨论，基本步骤是：在直角坐标系中作出对应函数图象，由确定函数图象大致位置的约束条件建立不等式组．(3) 一个关于二次函数图象的命题：已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象与x 轴交于A （1x ，0），B(，0)两点，顶点为C ．①△ABC 是直角三角形的充要条件是：△=442=-ac b ．②△ABC 是等边三角形的充要条件是：△=1242=-ac b学历训练1．已知关于x 的函数1)1(2)6(2++-++=m x m x m y 的图象与x 轴有交点，则m 的取值范围是 ．2．已知抛物线23)1(2----=k x k x y 与x 轴交于A (α，0)，B(β，0)两点，且1722=+βα，则=k ．3．已知二次函数y=kx 2+(2k －1)x —1与x 轴交点的横坐标为x 1、x 2(x 1<x 2)，则对于下列结论：①当x=－2时，y=l ；②当x>x 2，时，y>O ；③方程kx 2+l(2k －1)x —l=O 有两个不相等的实数根x 1、x 2；④x 1<－l ，x 2>－l ；⑤x 2－x 1=k k 241+，其中所有正确的结论是 (只需填写序号) ．4．设函数)5(4)1(2+-+-=k x k x y 的图象如图所示，它与x 轴交于A 、B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1：4，则k ＝( )．A ．8B ．一4C ．1lD ．一4或115．已知：二次函数y ＝x 2+bx+c 与x 轴相交于A(x 1,0)、B(x 2，0)两点，其顶点坐标为P(－2b ，4b -4c 2)，AB ＝｜x 1－x 2|，若S △APB ＝1，则b 与c 的关系式是 ( ) A ．b 2－4c+1= 0 B ．b 2－4c －1=0C ．b 2－4c+4=0D ．b 2－4c －4=06．已知方程1+=ax x 有一个负根而且没有正根，那么a 的取值范围是( )A ．a >-1B ．a ＝1C ．a ≥1D ．非上述答案7．已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图，二次函数y=ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系？（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b=－4，AB=43，求a 、c 的值．8．已知：抛物线c bx ax y ++=2过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为21，与x 轴分别交于B(x 1,0)、C(x 2，0)两点(其中且1x <2x )，且132221=+x x ．(1)求此抛物线的解析式及顶点E 的坐标；(2)设此抛物线与y 轴交于D 点，点M 是抛物线上的点，若△MBO 的面积为△DOC 面积的32倍，求点M 的坐标． 9．已知抛物线m mx x y 223212--=交x 轴于A （1x ，0）、B （2x ，0），交y 轴于C 点，且1x ＜0＜2x ，()1122+=+CO OB AO .（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点P ，使∠APB 为锐角，若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.10．设m 是整数，且方程0232=-+mx x 的两根都大于59-而小于73，则= .11．函数732+-=x x y 的图象与函数63322+-+-=x x x x y 的图象的交点个数是 ．12．已知a 、b 为抛物线2))((----=d c x c x y 与x 轴交点的横坐标，b a <，则b c c a -+-的值为 ．13．是否存在这样的实数k ，使得二次方程0)23()12(2=+--+k x k x 有两个实数根，且两根都在2与4之间?如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试述理由．14．设抛物线452)12(2++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点． (1)求a 的值；(2)求61832-+a a 的值．15．已知以x 为自变量的二次函数23842---=n nx x y ，该二次函数图象与x 轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于x 的方程0)4)(1(2)67(2=++++-n n x n x 的一整数根，求n 的值．16．已知二次函数的图象开口向上且不过原点O ，顶点坐标为(1，一2)，与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，且满足关系式OB OA OC ⋅=2．(1)求二次函数的解析式；(2)求△ABC 的面积．17．设p 是实数，二次函数p px x y --=22的图象与x 轴有两个不同的交点A （1x ，0）、B （2x ，0）．(1)求证：032221>++p x px ；(2)若A 、B 两点之间的距离不超过32-p ，求P 的最大值．(参考答案。

第四章 一元一次方程章前导学本章的重点是一元一次方程及其解法和运用一元一次方程来解决实际问题.我们依据本章的重点安排了五个提高的内容：1.利用一元一次方程和一元一次方程的解的概念求方程中字母的值以及如何求解含有字母系数的方程.2.根据方程的特点，利用整体法、巧去括号、裂项等方法灵活求解方程和如何求解含绝对值的方程.3.运用一元一次方程来解决行程、销售和分档的实际问题.4.运用一元一次方程来解决钟面和数轴上的问题.5.根据实际问题的具体情况，通过间接设未知数或设辅助未知数来解决实际问题.专题15 含字母的一元一次方程知识解读1.根据方程及方程的解的概念求方程中字母的值使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解.因此将方程的解代人方程中，方程的左右两边能够相等。

2.根据整数解求方程中字母的值 一元一次方程的解为整数，即当解为b x a =时，整数b 能被整数a 整除。

3.字母系数方程解的情况方程ax b =的解有三种情况：当0a ≠时，b x a=；当0,0a b ==时，即00x =，方程有任意解；当0,0a b =≠时，即0x b =，方程无解.培优学案典例示范1. 根据方程及方程的解的概念求方程中字母的值例1 若3223kkx k -+=是关于x 的一元一次方程，求这个方程的解. 【提示】由题意可知312k -=，且0k ≠.【技巧点评】跟踪训练1若方程（m2－1）x2－mx+8=x是关于x的一元一次方程，则代数式m2008－1m-的值为_________.例2（1）若方程121112102x xx+--=-与方程2x+62a x-=a－2的解相同，求233a a-的值；（2）关于x的方程与132m x+=4的解是2311346x m x---=的解的5倍，求m的值.【提示】（1）先求出方程121112102x xx+--=-的解，再根据题意将这个解代入后一个方程，求出a；（2）先将两个方程中的m看成已知数，求出两个方程的解（用含m的式子表示），再根据题意列出关于m的方程来求出m.【技巧点评】跟踪训练2（1）已知关于x的方程323a x bx--=的解是x=2，其中a≠0且b≠0，求代数式a bb a-的值；（2）若方程3（x一k）=2（x+1）与62k xk-=的解互为相反数，求k的值.2.根据整数解求方程中字母的值例3 若关于x的方程9x－17=kx的解为正整数，求整数k的值.【提示】先解方程，把x的值用k的代数式表示，再利用整除性求出整数k的值. 【技巧点评】跟踪训练3已知关于x的方程31223x mx-+=有整数解，求满足条件的所有整数m.3.字母系数方程解的情况例4解方程11x x m n m n mn--+-=.【提示】先将方程化成ax=b的形式，再分类讨论方程解的情况.【技巧点评】跟踪训练4问当a，b满足什么条件时，方程2x+5－a=1－b；（1）有唯一解；（2）有无数个解；（3）无解.培优训练直击中考1.★（湖南永州）x＝1是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值是（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．12.★（2017·湖北孝感）方程3123x x+-=的解是________．3.★（2017·黑龙江）已知关于x的方程3x－a=号x－1的解是非负数，那么a的取值范围是________．4.★已知关于x 的方程23x m m x -=+与12x +=3x －2的解互为倒数，求m 的值.5.★已知关于y 的方程4y +2n =3y +2和方程3y +2n =6y －1的解相同，求n 的值.6.★★当整数m 取什么数时，关于x 的方程15142323mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭的解是正整数？7.★★已知关于x 的方程a （2x －1）=3x －2无解，试求a 的值.挑战竞赛1.（江苏省竞赛试题）已知a 是任意有理数，在下面各题中结论正确的个数是（ ） ①方程ax ＝0的解是x ＝1；②方程ax ＝a 的解是x ＝1；③方程ax ＝1的解是x 1a=；④方程|a |x ＝a 的解是x ＝±1．A ．0B ．1C ．2D ．3 2.★太（希望杯试题）当b ＝1时，关于x 的方程a （3x ﹣2）+b （2x ﹣3）＝8x ﹣7有无数多个解，则a 等于（ ）A ．2B ．﹣2C ．23-D ．不存在 3.★★若k 为整数，则使得方程（k ﹣1999）x ＝2001﹣2000x 的解也是整数的k 的值有（ ） A ．4个 B ．8个 C ．12个 D ．16个4.★★★（希望杯试题）已知p，q都是质数，并且以x为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式40p+101g+4的值.5.★★★（山东省竞赛试题）如果a，b为定值，关于x的方程程2236ka x x bk+-=+无，当k取14以外的任何值时，它的解总是1，求a，b的值.。

初一奥数数学竞赛第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要旳内容．最简朴旳方程是一元一次方程，它是深入学习代数方程旳基础，诸多方程都可以通过变形化为一元一次方程来处理．本讲重要简介某些解一元一次方程旳基本措施和技巧．用等号连结两个代数式旳式子叫等式．假如给等式中旳文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一种等式与否是恒等式是要通过证明来确定旳．假如给等式中旳文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他旳值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立旳未知数旳值叫作方程旳解．方程旳解旳集合，叫作方程旳解集．解方程就是求出方程旳解集．只具有一种未知数(又称为一元)，且另一方面数是1旳方程叫作一元一次方程．任何一种一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)旳形式，这是一元一次方程旳原则形式(最简形式)．解一元一次方程旳一般环节：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数旳系数，得出方程旳解．一元一次方程ax=b旳解由a，b旳取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多种解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐层去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分派律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相似旳解，试求a旳值．分析本题解题思绪是从方程①中求出x旳值，代入方程②，求出a旳值．解由方程①可求得3x-5x=-6，因此x=3．由已知，x=3也是方程②旳解，根据方程解旳定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)旳解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a旳解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，因此a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解有关x旳方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不一样实数值旳常数，因此需要讨论m，n取不一样值时，方程解旳状况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整顿得m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程旳解为一切实数．阐明具有字母系数旳方程，一定要注意字母旳取值范围．解此类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多种解三种状况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中旳括号去掉后产生x2项，但整顿化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一种一元一次方程．解将原方程整顿化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即(a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多种解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是有关x旳一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m旳值．解由于(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是有关x旳一元一次方程，因此m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式旳值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．因此所求代数式旳值为1991．例7 已知有关x旳方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a旳值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即(2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，因此例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k旳解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程旳解是零；反之，若方程ax=b旳解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程旳解是正数；反之，若方程ax=b旳解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程旳解是负数；反之，若方程ax=b旳解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整顿方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程旳解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式旳左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．由于k2≥0，因此只要k＞5或k＜2时上式不小于零，因此当k ＜2或k＞5时，原方程旳解是正数，因此k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解由于abc=1，因此原方程可变形为化简整顿为化简整顿为阐明像这种带有附加条件旳方程，求解时恰当地运用附加条件可使方程旳求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．由于a＞0，b＞0，c＞0，因此ab+bc+ac≠0，因此x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程旳解．解法2将原方程右边旳3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其他两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为因此即x-(a+b+c)=0．因此x=a+b+c为原方程旳解．阐明注意观测，巧妙变形，是产生简朴优美解法所不可缺乏旳基本功之一．例11设n为自然数，[x]表达不超过x旳最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，因此n与(n+1)…，n[x]都是整数，因此x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，因此原方程化为合并同类项得故有因此x=n(n+1)为原方程旳解．例12已知有关x旳方程且a为某些自然数时，方程旳解为自然数，试求自然数a 旳最小值．解由原方程可解得a最小，因此x应取x=160．因此因此满足题设旳自然数a旳最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列有关x旳方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，有关x旳方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不不小于1旳解．。

第八章 二次方程与方程组第一节 一元二次方程【赛题精选】§1、一元一次方程的解法主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。

例1、利用直接开平方法解下列关于x 的方程。

（1）0)1(9)2(22=+--x x （2）)0(0)22()(22>=+-+a a x a x（3）)21(2142222nx n x n x x ++=++例2、利用因式分解法解下列关于x 的方程。

（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452=+-x x(3)02_23()12(2=++-+x x (4)0)()(22222=-++-q p pq x q p x（5）x m x m x x m )1()1()1(2222-=--+-例3、用配方法解下列关于x 的方程。

（1）)0(02≠=++a c bx ax （2）03)12()1(2=-+-+-m x m x m（3）01333223=-+++x x x§2、根的判别式、根与系数的关系韦达定理：若)0(02≠=++a c bx ax 的两个根为1x 、2x ，那么1x 、2x 与a 、b 、c的关系为：两根之和a b x x -=+21；两根之积ac x x =21。

例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222=+++--a a x a x a （1）、02)2()1(222=+++--b b b x b （2）（其中a 、b 均为正整数）有一个公共根。

求ab ab b a b a --++的值。

例5、已知方程02=++c bx x 与02=++b cx x 各有两个根1x 、2x 及'1x 、'2x ，且1x 2x ＞0，'1x '2x ＞0。

求证：（1）1x ＜0，2x ＜0，'1x ＜0，'2x ＜0；（2）b-1≤c ≤b+1；（3）求b 、c 所有可能的值。

七年级奥数一元一次方程应用题七年级奥数一元一次方程应用题导语：国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入学考试。

下面就由小编为大家带来七年级奥数一元一次方程应用题，大家一起去看看怎么做吧！1.列一元一次方程解应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意.(2)找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系.(3)设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程.(4)解方程：解所列的方程，求出未知数的值.(5)检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是否符合实际，检验后写出答案.2.和差倍分问题增长量=原有量×增长率现在量=原有量+增长量3.等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变.①圆柱体的体积公式 V=底面积×高=S·h= r2h②长方体的体积 V=长×宽×高=abc4.数字问题一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c.十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a.然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.5.市场经济问题(1)商品利润=商品售价-商品成本价 (2)商品利润率= ×100%(3)商品销售额=商品销售价×商品销售量(4)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量(5)商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售.6.行程问题：路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间(1)相遇问题：快行距+慢行距=原距(2)追及问题：快行距-慢行距=原距(3)航行问题：顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.7.工程问题：工作量=工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和=总工作量=18.储蓄问题1.利润= ×100% 利息=本金×利率×期数1.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作?2.兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍?3.将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的.长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高(精确到0.1毫米，≈3.14).4.有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长.5.有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5，•这种三色冰淇淋中咖啡色、红色和白色配料分别是多少克?。

第一章 代数式基础知识第一节 用字母表示数1、什么是代数式？用运算符号将数或者表示数的字母连接起来的式子，叫代数式。

单独一个数或字母也叫代数式。

代数式总能表达一个意思。

2、什么是单项式？任意个字母和数字的积的形式的代数式。

一个单独的数或字母也叫单项式。

单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

任何一个非零数的零次方等于“1”。

单项式分母中不含字母(单项式是整式，而不是分式）。

3、什么是多项式？若干个单项式的和组成的式子叫做多项式。

多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。

不含字母的项叫做常数项。

4、循环小数化为分数纯循环小数：小数中除了循环节外没有其它小数。

如3.0 、82.0 、283.0 等。

混循环小数：小数中除了循环节外还有其它小数。

如1032.0 、1032.5 等。

例、纯循环小数化为分数。

（1）3.0（2）82.0 （3）283.0 解：3.33.010 =⨯（1） 82.2882.0100 =⨯ 283.382283.01000 =⨯ 3.03.0 = （2） 82.082.0 =283.0283.0 = （1）－（2）得：（1）－（2）得：（1）－（2）得：33.0)110(=⨯- 2882.0)1100(=⨯- 382283.0)11000(=⨯- 9311033.0=-=∴992811002882.0=-=999382283.0= 例、混循环小数化为分数。

将（1）1032.0 、（2）1032.5 化为分数。

解：（1）设x =1032.0 ， 那么：103.210 =x ；103.230110000 ＝x ； 2230199901010000-==-x x x 99902299=x 。

∴ 999022991032.0=解：（2）设x =1032.0 ，则1032.5 ＝5＋x +=51032.0 那么：103.210 =x ；103.230110000 ＝x ； 2230199901010000-==-x x x 99902299=x∴ 9990229951032.5= 。

《初中数学奥林匹克全国竞赛基础基础教程及应试指导》，第一章习题8，思路开阔后，开发出3种解法。

原题：X^8+X^7+1分析：这题根据1，猜测利用x^3+1后提公因式x^2+x+1, 策略上不会让你提出x-1或x+1这么无脑的方式。

此外，它不是轮换对称，代行系数法次数太高，系数和也不为0. 所以线索只有这个1和x^8可变成（x^4）^2,提示用x^3+1或配方。

根据以上分析和猜想，我有几个解法解法1：佛山无影脚，根据猜测配方，弄出个x^2+x+1标准解法，原题=x^2x^6+x*x^6+x^6-x^6+1=x^6(x^2+x+1)-((x^3)^2-1)=x^6(x^2+x+1)-(x^3+1) (x^3-1)而x^3+1=(x-1)(x^2+x+1)得解解法2：丢个炸弹x^3, 引发一连串的炸裂= X^8+X^7+x^3-x^3-1再看前三项：=x^3(x^5+x^4+1)没路了吗？no,继续拨洋葱x^5+x^4+1= x^5+x^4+x^3-x^3+1=x^3(x^2+x+1)-(x^3-1)分解出来公因式(x^2+x+1)解法3：猥琐打法直接做多项式除法，（X^8+X^7+1）/（x^2+x+1）直接配方x^8呢？=( X^4)^2+2x^4+1+X^7-2x^4=（x^4+1）^2+x^4(x^3-2)对于x^4+1,无论x取任何值，都是无法为0，所以不能分解。

后面也没法办。

或= ( X^4)^2-2x^4+1+X^7+2x^4=（x^4-1）^2+X^7+2x^4 =[(x^2+1)(x+1)(x-1)]^2 +X^7+2x^4 也没法搞了。

第十一章相似形与面积问题第一节相似三角形【知识点拨】1、相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；（3）三边对应成比例，两个三角形相似；（4）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似。

2、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（2）相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、对应周长的比都等于相似比；（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。

3、涉及的问题及解题思路：证线段成比例、线段相等、线段的和差倍分、角相等；证平行、计算线段长；求三角形的面积。

解题时，要注意抓住题设、结论的特点，设法将问题设法与证两个三角形相似联系。

【赛题精选】例1、已知正方形ABCD的边长是5厘米，EF＝FG，FD＝DG。

求△ECG的面积。

（2003年河北省竞赛题）【说明】在相似形中，计算线段长的主要方法是由线段成比例定理（如平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质等）列出含待求线段的比例式，再设法求出待求线段的长。

154例2、已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN交于AC于P、Q两点。

求AP：PQ：QC的值。

（2001年河北省竞赛题）【说明】解线段a：b：c的问题，可根据相关的性质将a、b、c用同一条线段表示出来，再求几条线段的比。

若a、b、c正好可组成一条线段，常用这条线段表示这三条线段。

例3、正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，F是边AB上一点，且AE＝2EC，FB＝2AF。

求∠EDF的度数（2002年河南省竞赛题）例4、如图，四边形ABCD中，AC与BD交于点O，直线l∥BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。

求证：PM·PN＝PR·PS。

（1999年山东竞赛题）【说明】证明线段成比例的方法有：证两个三角形相似、等线代换法、等比代换法。

奥林匹克数学的解题方法（上篇）有固定求解模式的问题不属于奥林匹克数学，通常的情况是，在一般思维规律的指导下，灵活运用数学基础知识去进行探索与尝试、选择与组合。

这当中，经常使用一些方法和原理（如探索法，构造法，反证法，数学归纳法，以及抽屉原理，极端原理，容斥原理……），同时，也积累了一批生气勃勃、饶有趣味的奥林匹克技巧。

在2-1曾经说过：“竞赛的技巧不是低层次的一招一式或妙手偶得的雕虫小技，它既是使用数学技巧的技巧，又是创造数学技巧的技巧，更确切点说，这是一种数学创造力，一种高思维层次，高智力水平的艺术，一种独立于史诗、音乐、绘画的数学美。

”奥林匹克技巧是竞赛数学中一个生动而又活跃的组成部分。

2-7-1 构造它的基本形式是：以已知条件为原料、以所求结论为方向，构造出一种新的数学形式，使得问题在这种形式下简捷解决。

常见的有构造图形，构造方程，构造恒等式，构造函数，构造反例，构造抽屉，构造算法等。

例2-127 一位棋手参加11周（77天）的集训，每天至少下一盘棋，每周至多下12盘棋，证明这棋手必在连续几天内恰好下了21盘棋。

证明：用n a 表示这位棋手在第1天至第n 天（包括第n 天在内）所下的总盘数（1,2,77n =…），依题意 127711211132a a a ≤<<≤⨯=…考虑154个数：12771277,,,21,21,21a a a a a a +++…,又由772113221153154a +≤+=<，即154个数中，每一个取值是从1到153的自然数，因而必有两个数取值相等，由于i j ≠时，i i a a ≠ 2121i j a a +≠+故只能是,21(771)i j a a i j +≥>≥满足 21i j a a =+ 这表明，从1i +天到j 天共下了21盘棋。

这个题目构造了一个抽屉原理的解题程序，并具体构造了154个“苹果”与153个“抽屉”，其困难、同时也是精妙之处就在于想到用抽屉原理。

初中数学竞赛一元一次方程的解法一元一次方程的解法一元一次方程是最简单的方程，是进一步学习方程、不等式和函数的基础，以后所学的许多方程都是通过变形后转化为一元一次方程来求解的。

一、含有参变量的一次方程含有参变量的方程求解时要进行讨论，最终可归结为方程ax=b.(1)当a ≠0时，方程有唯一解x=b a(2)当a=0, b=0时，解为一切实数。

（3）当a=0, b ≠0时，方程无解。

例1.解关于x 的方程（mx-n ）(m+n)=0例2.已知a, b, c 为正数，解方程3x a b x b c x c a c a b------++=. 解略（提示:解法一：方程两边同乘以abc 。

解法二：方程左边每一项减去1）例3. m 为怎样的值时，关于x 的方程5x-2=mx-4-x 的解在2和10之间。

解略（提示：把方程化为ax=b 形式，根据条件得到不等式组，解不等式组得m 的取值范围）例4.已知关于x, y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0. 当a 每取一个值就有一个方程，而这些方程有一个公共解，请求出这个公共解，并证明对a取任何值它都能使方程成立。

二、含绝对值的一次方程此类方程是指未知数在绝对值号内的方程。

解这类方程的关键是去掉绝对值符号化为整式方程求解。

去掉绝对值符号必须依据绝对值的定义或性质，将全体实数分段讨论，在不同范围内解方程。

例5求方程∣x+3︱-∣x-1∣=x+1注：分段解题时，从小到大排列，分点x+3=0,x=-3;x-1=0,x=1称为零点，两个零点把实数轴分为三段讨论，这种方法称为零点分段法。

例6已知关于x 的方程a x =--12有三个整数解，求a 的范围。

三、含有高斯函数符号的一元方程高斯函数[x]表示不超过x 的最大整数，如[2]=2,[3.1]=3, [5.9]=5,[-2.6]=-3,解含高斯函符号方程的基本方法是：利用定义去掉方括号符号，转化为普通方程求解。

奥林匹克数学竞赛答题技巧方法奥林匹克数学竞赛答题技巧方法奥林匹克数学竞赛答题技巧(一)1、对照法如何正确地理解和运用数学概念?小学数学常用的方法就是对照法。

根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。

这个方法的思维意义就在于，训练学生对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识。

例1：三个连续自然数的和是18，则这三个自然数从小到大分别是多少?对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道：三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。

例2：判断题：能被2除尽的数一定是偶数。

这里要对照“除尽”和“偶数”这两个数学概念。

只有这两个概念全理解了，才能做出正确判断。

2、公式法运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。

它体现的是由一般到特殊的演绎思维。

公式法简便、有效，也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法。

但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。

例3：计算59&times;37+12&times;59+5959&times;37+12&times;59+59=59&times;(37+12+1)…………运用乘法分配律=59&times;50…………运用加法计算法则=(60-1)&times;50…………运用数的组成规则=60&times;50-1&times;50…………运用乘法分配律=3000-50…………运用乘法计算法则=2950…………运用减法计算法则3、比较法通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法。

比较法要注意：(1)找相同点必找相异点，找相异点必找相同点，不可或缺，也就是说，比较要完整。

(2)找联系与区别，这是比较的实质。

(3)必须在同一种关系下(同一种标准)进行比较，这是“比较”的基本条件。

初中数学奥林匹克竞赛教程初中数学竞赛大纲（修订稿）数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。

目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。

本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。

《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。

”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。

同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。

《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。

除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。

这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。

1、实数十进制整数及表示方法。

整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。

素数和合数，最大公约数与最小公倍数。

奇数和偶数，奇偶性分析。

带余除法和利用余数分类。

完全平方数。

因数分解的表示法，约数个数的计算。

有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。

2、代数式综合除法、余式定理。

拆项、添项、配方、待定系数法。

部分分式。

对称式和轮换对称式。

3、恒等式与恒等变形恒等式，恒等变形。

整式、分式、根式的恒等变形。

恒等式的证明。

4、方程和不等式含字母系数的一元一次、二次方程的解法。

一元二次方程根的分布。

含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。

初中数学奥数解题技巧方法归纳奥数的解题技巧倒推法从题目所述的最后结果出发，利用条件一步一步向前倒推，直到题目中问题得到解决。

正难那么反有些数学问题假如你从条件正面出发考虑有困难，那么你可以改变考虑的方向，从结果或问题的反面出发来考虑问题，使问题得到解决。

直观画图法解奥数题时，假如能合理的.、科学的、巧妙的借助点、线、面、图、表将奥数问题直观形象的展示出来，将抽象的数量关系形象化，可使同学们容易搞清数量关系，沟通“”与“未知”的联络，抓住问题的本质，迅速解题。

枚举法奥数题中常常出现一些数量关系非常特殊的题目，用普通的方法很难列式解答，有时根本列不出相应的算式来。

我们可以用枚举法，根据题目的要求，一一列举根本符合要求的数据，然后从中挑选出符合要求的答案。

巧妙转化在解奥数题时，经常要提醒自己，遇到的新问题能否转化成旧问题解决，化新为旧，透过外表，抓住问题的本质，将问题转化成自己熟悉的问题去解答。

转化的类型有条件转化、问题转化、关系转化、图形转化等。

整体把握有些奥数题，假如从细节上考虑，很繁杂，也没有必要，假如能从整体上把握，宏观上考虑，通过研究问题的整体形式、整体构造、部分与整体的内在联络，“只见森林，不见树木”，来求得问题的解决。

初中奥数常用的解题方法【配方法】所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。

其中，用的最多的是配成完全平方式。

配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

【因式分解法】因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

因式分解是恒等变形的根底，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。