§1.2 充分条件与必需条件第一课时 充分条件与必需条件填一填1.充分条件与必需条件命题真假 “若 p ，则 q ”是真命题“若 p ，则 q ”是假命题推出关系p? qpq 条件关系p 是 q 的充分条件 p 不是 q 的充分条件 q 是 p 的必需条件q 不是 p 的必需条件2.从会合的角度判断充分条件、必需条件和充要条件从会合的看法看，设会合A ＝{ x|x 知足条件 p} ，B ＝{ x|x 知足条件 q} ， 若 A? B ，则 p 是 q 的充分条件或 q 是 p 的必需条件； 若 A? B ，则 p 是 q 的必需条件或 q 是 p 的充分条件 .判一判1.x ＝ 1 是 (x － 1)(x － 2)＝ 0 的充分条件． (√ ) 分析： x ＝ 1? (x －1)(x － 2)＝0，故正确．π2．α＝ 是 sin α＝1的必需条件． (× )6 21 ππ1分析： sin α＝2 α＝ 6，所以 α＝6不是 sin α＝ 2的必需条件．故错误． 3．x 4 ＝y 4? x 3 ＝y 3 .(× )分析： 当 x ， y 互为相反数时，有 x 4 ＝ y 4，但 x 3≠ y 3，所以 x 4＝ y 4 x 3＝ y 3，故错误．4．两直线平行 ? 同位角相等． (√ )分析： 由平行线的性质定理知正确． cc5. ＝ ? a ＝ b.(×)分析： 当 c ＝ 0 时，对随意的非零实数a ，b ，都有 ac ＝ b c建立，故a ＝b 不必定建立，所以 c ac＝ ba ＝b ，故错误．6．x>6? x>1.( √ )分析： 大于 6 的数必定大于 1，即 x>6? x>1，故正确． 7．x ＞ 1 是 x ＞2 的充分条件． (× ) 分析：，因为 x ＞ 1x ＞ 2.所以 “ x ＞ 1”不是 “ x ＞ 2” 的充分条件．故错误．8．x ＋ y ＞ 2 是 x ＞ 1， y ＞ 1 的必需条件． (√ )分析： 因为 x ＞ 1， y ＞ 1? x ＋ y ＞ 2.故正确 .想想1.充分条件与必需条件怎样理解？提示：充分条件：说条件是充分的，也就是说条件是充分的，条件是足够的，条件是足以保证结论建立的．“ 有之必建立，无之未必不建立”．必需条件：必需就是一定，必不行少．“ 有之未必建立，无之必不建立”．充分条件与必需条件不是独一的，如 x＞ 1， x＞ 2 等都是 x＞ 0 的充分条件．2．充分条件与必需条件怎样判断？提示：①分清条件 p 和结论 q：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“ p? q”及“ q? p”的真假；③下结论：依据定义下结论．思虑感悟：练一练1．设 p： x<3， q：－ 1<x<3 ，则 p 是 q 建立的 ()A ．充要条件B．充分不用要条件C．必需不充分条件D．既不充分也不用要条件分析：因为 (－ 1,3)是 (－∞， 3)的真子集，所以p 是 q 建立的必需不充分条件．答案： C2．设φ∈ R，则“φ＝ 0”是“ f(x) ＝cos(x＋φ)(x∈R )为偶函数”的 ()A ．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充分必需条件 D ．既不充分也不用要条件分析：φ＝0 时，函数f(x)＝ cos(x＋φ)＝ cos x 是偶函数，而f(x)＝ cos(x＋φ)是偶函数时，φ＝π＋ kπ(k∈ Z)．故“ φ＝ 0”是“函数 f(x)＝ cos(x＋φ)为偶函数”的充分不用要条件．答案： A3．“ x>2 且 y>3”是“ x＋y>5”的 ________条件．分析： x>2 且 y>3 时，x＋ y>5 建立，反之不必定，如 x＝ 0，y＝ 6.所以“ x>2 且 y>3”是“ x＋y>5 ”的充分不用要条件．答案：充分不用要4．“xy＝1”是“lg x＋lg y＝0”的________条件．分析： lg x＋ lg y＝ lg(xy) ＝0，∴ xy＝ 1 且 x>0，y>0.所以“ lg x＋ lg y＝ 0”建立， xy＝1 必建立，反之不然．所以“ xy＝ 1”是“ lg x＋ lg y＝ 0”的必需不充分条件．答案：必需不充分知识点一 充分条件、必需条件的判断1.已知直线 a ， b ， c ，“ a ∥ b ”的充分条件是 ()A ． a ⊥ c ， b ⊥ cB ． a ∩ b ＝ ?C ． a ∥ c ，b ∥ cD ． a ∥ c ， b ⊥ c分析： 因为 a ∥ c ， b ∥ c? a ∥ b ，其他选项都推不出 a ∥ b.答案： C2．设 a ， b 是非零向量，“ a ·b ＝ |a||b|”是“ a ∥ b ”的 ()A ．充分条件但不是必需条件B ．必需条件但不是充分条件C ．既是充分条件，也是必需条件D ．既不是充分条件，也不是必需条件分析：若 a ·b ＝ |a||b|，则 a 与 b 同向，所以 a ∥ b ；若 a ∥ b ，则 a 与 b 同向或反向， 所以 a ·b＝ ±|a||b|，推不出 a ·b ＝ |a||b|，应选 A.答案： A3．以下各小题中， p 是 q 的充分条件的是 ()①p ： m ＜－ 2， q ： y ＝ x 2＋ mx ＋ m ＋ 3 有两个不一样的零点；② p ： f －x ＝ 1， q ： y ＝ f(x)是偶函数；f x③ p ： cos α＝ cos β， q ：tan α＝tan β.A ．①B ．③C ．②③D ．①②分析： 对于 ① ，函数 y ＝x 2＋ mx ＋m ＋ 3 有两个不一样零点，即＝ m 2－ 4(m ＋ 3)＞ 0 解得 mπ＞ 6 或 m ＜－ 2，所以 p 是 q 的充分条件； 对于 ② ，p 是 q 的充分条件； 对于 ③ ，当 α＝ β＝ 2时，p 建立，但 q 不建立，所以 p 不是 q 的充分条件，应选 D.答案： D4．用“充分条件”和“必需条件”填空．(1)“△ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′”是“△ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′”的 ________．(2)设甲： ax 2＋2ax ＋ 1>0 的解集是实数集 R ，乙： 0<a<1，则乙是甲的 ________．分析： (1)△ ABC ≌△ A ′ B ′ C ′? △ ABC ∽△ A ′ B ′ C ′ ， △ABC ∽△ A ′ B ′C ′△ ABC ≌△ A ′B ′ C ′ .a>0 ，(2)ax 2＋ 2ax ＋ 1>0 的解集是实数集 R ，则 a ＝ 0 或所以 0≤a<1，所以乙＝ 4a 2－ 4a<0 ，是甲的充分条件．答案： (1) 充分条件 (2) 充分条件知识点二 充分条件、必需条件的应用25.函数 f(x)＝ a －2x ＋ 1为奇函数的必需条件是 ________．分析： 因为 f(x) ＝a －2 的定义域为 R ，且为奇函数，则必有f(0)＝ 0，即 a － 2 ＝ 0，2x ＋ 120＋ 1解得 a ＝1.答案： a ＝ 16．已知 P ＝ { x|a － 4<x<a ＋ 4} ， Q ＝ { x|1<x<3} ，“ x ∈P ”是“ x ∈ Q ”的必需条件，则实数 a 的取值范围是 ________．分析： 因为 “ x ∈ P ”是 “ x ∈ Q ” 的必需条件，所以 Q? P ，a － 4≤1，a ≤5， 所以即所以－ 1≤ a ≤ 5.a ＋ 4≥3，a ≥－ 1，答案： [ － 1,5]7．已知 p ：x ≤ 2， q ： x ≤a.(1)若 p 是 q 的充分条件，则 a 的取值范围是 ________； (2)若 p 是 q 的必需条件，则 a 的取值范围是 ________． 分析： 记 P ＝ { x|x ≤ 2} ， Q ＝ { x|x ≤ a} ， (1)由 p 是 q 的充分条件，得P? Q ，得 a ≥ 2，所以实数 a 的取值范围是 [2，＋ ∞ )． (2)由 p 是 q 的必需条件，得P? Q ，得 a ≤ 2，所以实数 a 的取值范围是 (－ ∞ ， 2]．答案： (1)[2 ，＋∞ ) (2)(－∞， 2]8．能否存在实数 p ，使 4x ＋p<0 是 x 2－ x －2>0 的充分条件？假如存在，求出p 的取值范围；不然，说明原因．分析： 由 x 2－ x － 2>0，解得 x>2 或 x<－1，令 A ＝ { x|x>2 或 x<－ 1} ，p由 4x ＋ p<0 ，得 B ＝ x x<－ 4当 B? A 时，即－ p≤ － 1，即 p ≥ 4，4 此时 x<－ p≤ －1? x 2－ x － 2>0，4∴当 p ≥ 4 时， 4x ＋ p<0 是 x 2－ x － 2>0 的充分条件．基础达标一、选择题1．小明说“烦躁成绩差”，他这句话的意思是：“不烦躁”是“成绩好”的()A ．充分条件B ．必需条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件分析： 由 “ 烦躁成绩差 ” 可知， “ 烦躁 ” 是 “ 成绩差 ” 的充分条件，所以由互为逆否命题的真假可知， “ 不烦躁 ” 是 “ 成绩好 ” 的必需条件．答案： B2．设 a ， b 是两条直线， α， β是两个平面，则 a ⊥ b 的一个充分条件是 ()A ． a ⊥ α， b ∥ β， α⊥ βB ． a ⊥α，b ⊥ β， α∥ βC ． a? α， b ⊥β， α∥ βD ． a? α，b ∥ β， α⊥ β分析： 由 b ⊥β， α∥ β得 b ⊥ α，又 a? α，所以可得b⊥ a，故 a⊥ b 的一个充分条件是 a? α， b⊥ β，α∥ β，应选C. 答案： C3．已知平面向量m＝ (1， x－1) ，n＝ (x＋ 1,3)，则“ x＝ 2”是“ m∥ n”的 ()A ．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件分析：若“m∥ n”，则 x2－1＝ 3， x＝±2.若“ x＝ 2”，则 m＝ (1,1) ， n＝ (3,3)，则 m∥ n .所以“ x＝ 2”是“ m∥ n ”的充分不用要条件．应选 A.答案： A4．“ a≥ 2”是“函数f(x)＝ x2－ 2ax＋ 3 在区间 [1,2] 上单一”的 ()A ．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件分析：要使函数 f(x)＝ x2－ 2ax＋ 3 在区间 [1,2] 上单一，则有对称轴 x＝a 知足 a≥2 或 a≤ 1，所以“ a≥ 2”是“函数 f(x) ＝ x2－ 2ax＋ 3 在区间 [1,2] 上单一”的充分不用要条件，应选A.答案： A5．设 x∈ R，则“ 2－ x≥ 0”是“ |x－ 1|≤ 1”的 ()A ．充分而不用要条件B．必需而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件分析：由 2－x≥ 0，可得 x≤ 2，由|x－ 1|≤ 1，可得－ 1≤ x－ 1≤ 1，即 0≤ x≤ 2，因为 { x|0≤ x≤2}{ x|x≤ 2} ，所以“ 2－ x≥ 0”是“ |x－ 1|≤1”的必需而不充分条件，应选B.答案： B6．“函数f(x)＝ cos x＋ m－ 1 有零点”是“ 0≤ m≤ 1”的 ()A ．充分不用要条件B．必需不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件分析：令 f(x)＝ 0 得 cos x＝－ m＋ 1，若函数有零点，则－1≤－ m＋ 1≤ 1，解得 0≤m≤ 2，所以“函数 f(x)＝cos x＋ m－ 1 有零点”是“ 0≤m≤1”的必需不充分条件．答案： Bm1() 7．一次函数 y＝－n x＋n的图象同时经过第一、二、四象限的必需不充分条件是A ． m>0， n>0B ．mn<0C． m<0， n<0 D ．mn>0－mm1n<0，分析：一次函数 y＝－得 m>0 ，n x＋的图象同时经过第一、二、四象限，即1nn>0，n>0.由题意可得， m>0， n>0 能够推出选项条件，而反之不建立，所以选 D.答案： D二、填空题1 a>1b”的 ________条件． (用“充分”，“必需”填空)8．“ 0<a<b”是“33分析：当 0<a<b 时，1a 1 b3>3建立，11所以是充分条件；当 3 a> 3 b时， 有 a<b ，不可以推出 0< a<b ，所以不是必需条件． 答案： 充分9．平面向量 a ，b 都是非零向量， a ·b>0 是 a 与 b 夹角为锐角的 __________条件． (用“充分”，“必需”填空分析： 若 a 与 )b 夹角为锐角，则a ·b>0 ，反之，当a ·b>0时，假如a ， b方向同样，则a与 b 夹角为零，不是锐角．答案： 必需10．“ m ＝－ 1”是“直线 mx ＋ (2m － 1)y ＋2＝ 0 与直线 3x ＋ my ＋ 3＝ 0 垂直”的 ________条件． (用“充分”，“必需”填空 )分析： m ＝－ 1，两直线分别为 x ＋ 3y －2＝ 0 和 3x － y ＋ 3＝ 0，明显垂直， 所认为充分条件． 答案： 充分11．设 p ： 1≤ x ≤1；q ：(x － a)(x － a －1) ≤0，若 p 是 q 的充分不用要条件，则实数a 的取2值范围是 ________．分析： ∵ q ：a ≤ x ≤ a ＋1， p 是 q 的充分不用要条件，11a<2，a ≤2，1∴或解得 0≤ a ≤ 2. a ＋ 1≥ 1a ＋ 1>1，答案：10， 212．已知“－ 1<k<m ”是“方程 x 2＋ y 2＋ kx ＋ 3y ＋ k 2＝ 0 表示圆”的充分条件，则实数m的取值范围是 ________．分析： 当方程 x 2＋ y 2＋ kx ＋ 3y ＋ k 2＝ 0 表示圆时， k 2＋ 3－4k 2>0，解得－ 1<k<1， 所以－ 1< m ≤ 1，即实数 m 的取值范围是 (－ 1,1] ． 答案： (－ 1,1] 三、解答题π13．已知函数 f(x)＝ 2sin 2 4＋ x － 3cos 2x －1， x ∈ R.π π设 p ： x ∈ ，， q ： |f(x) －m|<3，若 p 是 q 的充分条件，务实数m 的取值范围．4 2 π分析： ∵ f(x)＝2sin 2 4＋ x － 3cos 2x － 1 π＝ 1－ cos 2＋ 2x － 3cos 2x － 1＝ s in2x － 3cos 2xπ＝2sin 2x －3π π∴若 p 建立，即 x ∈ 4，2 时，π π 2π2x －3∈ 6， 3 ， f( x)∈ [1,2]由|f(x)－ m|<3? m － 3<f(x)<m ＋ 3.m －3<1∵p 是 q 的充分条件， ∴，m ＋3>2解得－ 1< m<4即 m 的取值范围是 ( －1,4)．14．已知会合 A ＝ yy ＝ x 2－3x ＋ 1， x ∈ 3， 2 ，B ＝{ x|x ＋ m 2≥ 1} ，p ：x ∈ A ，q ：x ∈ B ，2 4而且 p 是 q 的充分条件，务实数 m 的取值范围．分析： 因为二次函数 y ＝x 2－ 3x ＋ 1 的图象张口向上，图象的对称轴为直线x ＝3，243 3故函数 y ＝ x 2－ 2x ＋ 1 在 4，2 上单一递加，当 x ＝ 3时，函数 y ＝ x 2－ 3x ＋1 取最小值，即 y min ＝ 32－ 3× 3＋ 1＝ 7 ，4 24 2 4 16 3 y max ＝ 22 3 当 x ＝ 2 时，函数 y ＝ x 2－ x ＋1 取最大值，即 － × 2＋ 1＝2，2 23 3 7 所以 A ＝ y y ＝x 2－2x ＋ 1， x ∈ 4， 2 ＝ 16， 2 ， 因为 p 是 q 的充分条件，所以A? B ，7又 B ＝ { x|x ＋ m 2≥ 1} ＝ { x|x ≥ 1－ m 2 } ，所以 1－ m 2≤16，3 3解得 m ≤ － 4或 m ≥ 4，故实数 m 的取值范围是－∞，－ 3 ∪ 3，＋∞ .4 4能力提高15.已知 p ：－ x 2 ＋6x ＋ 16≥0， q ： x 2－ 4x ＋4－ m 2≤0(m>0) ．(1)若(2)若 p 为真命题，务实数 x 的取值范围； p 是 q 建立的充分不用要条件，务实数m 的取值范围．分析： (1) 由－ x 2＋ 6x ＋ 16≥ 0，解得－ 2≤ x ≤8.所以当 p 为真命题时，实数x 的取值范围为－ 2≤ x ≤8.(2)若 q 为真，可由 x 2 －4x ＋ 4－ m 2≤ 0(m>0)，解得 2－ m ≤ x ≤ 2＋ m(m>0)．若 p 是 q 建立的充分不用要条件，则[ － 2,8] [2－ m,2＋ m] ，m>0所以 2－ m ≤－ 2(两等号不一样时建立 )，得 m ≥ 6.2＋ m ≥8所以实数 m 的取值范围是 m ≥ 6.16．已知 p ：对于 x 的不等式 3－m<x<3＋ m，q ：x(x － 3)<0，若 p 是 q 的充分不用要条件，务实数 m 的取值范围． 223－m3＋m分析： 记 A ＝ x，2 <x< 2B ＝ { x|x(x － 3)<0} ＝ { x|0<x<3} ， 若 p 是 q 的充分不用要条件，则A B.注意到 B ＝ { x|0<x<3} ≠ ?，分两种状况议论：3－ m 3＋ mB ，切合题意；(1)若 A ＝ ?，即 ≥ 2 ，求得 m ≤0，此时 A2(2)若 A ≠ ?，即 m>0，3－ m2>0 ，要使 A B ，应有3＋ m解得 0<m<3.2<3 ，m>0，综上可得，实数 m 的取值范围是 (－ ∞ ，3)．。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测：选修1（1第一章1.2充分条件）-第一章常见逻辑术语1.2充分必要条件A级基础巩固1，选择题1。
”α = π 16 “是()a .充分和不必要条件b .必要和不充分条件c .充分和必要条件d .充分和不必要条件分析:从cos 2α = 12，α = kπ π 6 (k ∈z)可以得到，所以选择a .答案:a2。
(天津卷2016)集x>0。
Y∈R，则“x>y”是“x>|y|”(a .充分和必要条件b .充分和不必要条件c .必要和不充分条件d .既不充分也不必要条件分析:当x = 1时，y =-2，x>y，但x > | y |不成立；如果x>|y|，因为|y|≥y，所以x>y。
所以x > y是x>|y|的一个必要且不充分的条件。
答案是:c3.x2 B- 2c-2≤x≤2d . 1 分析:x2 答案:c4。
(2016山东卷)已知直线a和b分别位于两个不同的平面α和β。
那么“直线a和直线b的交点”就是“平面α和平面β的交点”的()a。
充分和不必要条件b .必要和不充分条件c .充分和必要条件d。
既不充分也不必要的条件分析:a？α，b？β，如果A和B相交，A和B有公共点，所以α和β有公共点，α和β相交可以得到。
相反，如果α和β相交，那么a，B的位置关系可以是平行的，相交的或非平面的。
因此，“直线A与直线B相交”是“平面α与平面β相交”的一个充分和不必要的条件。
因此，选择A答案:A5。
函数F (x) = X2+MX+1的像关于直线x = 1对称的充要条件是()a . m = 2 c . m =-1b . m =-2d . m = 1分析:当m =-2，f (x) = x2-2x+1时，其像关于直线X = 1对称，反之亦然。
所以函数f (x) = x2+Mx+1关于直线x = 1对称的充要条件是m =-2. 答案:b2，填入问题6。
