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第三章-弹塑性断裂力学讲课稿

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弹塑性力学(应变状态理论)讲稿

弹塑性力学(应变状态理论)讲稿

当体积不变时：
ij e ij
应变偏张量
三、应变参量及计算公式
1. 主切应变

2
x y
2 x y 2

x y
2
cos 2
xy
2
sin 2
sin 2
xy
2
cos 2
1 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 3 ( 1 2 )
1 2 3
2. 八面体切应变 与三个应变主轴方向具有相同倾角平面上的应变
m ax 1 3
1 8 (1 2 3 ) m 3 2 2 2 2 8 1 2 2 3 3 1
du u d x dt x x dv v d y dt y y dw w d z dt z z
d xy d yz d zx
u v dt dt y x v w dt dt z z w u dt dt x z
zx
u w z x
4. 应变张量与应变参量
一、应变张量
引入符号：
xy
yz
zx
1 1 v u xy x y 2 2 1 1 w v yz y z 2 2 1 1 u w zx 2 2 z x
v
dy B y
P


A B
u x x v y y
xy
v u x y
v v dy y
u u dy y
三维状态下的几何方程
x
y
几 何 方 程

工程断裂力学课件3弹塑性断裂力学(EPFM)简要

工程断裂力学课件3弹塑性断裂力学(EPFM)简要

第三章弹塑性断裂力学（EPFM）简要§3-1 Dugdale方法（D－M模型）§3-2 裂纹尖端张开位移CTOD（COD）定义及准则§3-3 COD 与K1的一致性§3-4 COD准则的应用34COD§3-5 J 积分的定义及守恒性§3-5-1 J 积分的定义§3-5-2 J 积分的守恒性§3-6 线弹性条件下J 与K的关系§3-7 在弹塑性条件下J 与CTOD的关系常见的定义有以下几种：（1）弹塑性交界线与裂纹表面的交界点处的张开位移看作CTOD。

对D－M模型描述的裂纹，经Paris等人的工作，Well 在1965年用大量试验得出，可以用裂纹尖端的CTOD （）作为表征裂纹δ弹塑性应力应变场的单一参数，当此参数值达到材料的临界值，材料就会发生开裂。

即为开裂准则。

使用这一准则必须解决两个问题：（1）使用小试样能方便准确地测量出材料稳定（与外载荷裂纹尺寸及裂纹几何的关系（即cδδ=的开裂参数；（2）建立裂纹尖端的与外载荷、裂纹尺寸及裂纹几何的关系（即的表达式）。

c δδ(,,)f p a Y δ=试验表明用TPB 、CT 等小试样可以实现，试验证明开裂点的是材料常数，但失稳扩展点的不是常数！换句话说，CTOD 只是开裂判据，不是破坏判据！c δc δδGB/T 2358-1994对的测试方法做了详尽的说明，本课不讲实验测试（大家要c c δ用时，严格按标准的要求技术细节做即可，不用讲了就忘了）。

CTOD 方法在中低强度钢压力容器和管道，即焊接结构等方面在工程上有广泛应用它的优点是方法简单直观易测缺点是定义不明确理论依据不足用。

它的优点是方法简单、直观，易测，缺点是定义不明确，理论依据不足。

§3-5 J 积分的定义及守恒性3-5JJ 积分是J.R .Rice在1968年提出的，并由此建立了弹塑性断裂力学的另一个方法。

弹塑性力学课件第三章

弹塑性力学课件第三章

zx C61x C62 y C63z C64 xy C65 yz C66 zx
C ij
ijkl kl
Cijkl Cijlk
2021/1/10
4
第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——具有一个弹性对称面的线
性弹性体
x
y
C11
C12 C22
C13 C23
C14 C24
2021/1/10
10
第三章 本构关系
一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
x
1 E
x
( y
z ) ,
xy
1 G
xy
y
1 E
y
( x
z ) ,
yz
1 G
yz
z
1 E
z
( x
y ) ,
zx
1 G
zx
ij 1Eij Ekkij
2021/1/10
11
第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——各向同性弹性体
0 x
0
y
z xy
C33 0 0
对
C44 0
0 z
0
xy
yz
zx
称
C55
0 C66
yz zx
2021/1/10
6
第三章 本构关系 一、线性弹性体的本构方程——正交各向异性弹性体
x y z xy
1 Ex
xy
1 Ey
对
xz
yz
弹塑性力学课件第三章
第三章 本构关系
本章学习要点：
掌握各项同性材料的广义Hooke定律 掌握弹性应变能密度函数的概念及计算 理解初始屈服、后继屈服以及加卸载的概 念 掌握几个常用的屈服条件 理解弹塑性材料的增量和全量本构关系的 基本概念

弹塑性断裂力学讲解

弹塑性断裂力学讲解

cos2

2
1
3sin
2

2

r
/
K
2 I
2π
2 s

1.0 平面应力
0.5 平面应变
2)平面应变状态下[ 3 (1 2) ]
r

K
2 I
2π
2 s
cos2

2
(1
2
)2

3 sin2

2
3)裂纹延长线上
0.5
1.0
r
/
COD准则和J积分准则均为弹塑性裂纹起裂准则，从1970s起着力建立裂纹稳定扩 展准则。
最早将断裂力学应用于研究混凝土的是Kaplan,他在1960年首先开展了断裂韧度 的研究，从此混凝土断裂力学就逐步展开。
5 断裂力学的分类
断裂力学根据裂纹尖端塑性区域的范围，分为两大类： （1）线弹性断裂力学---当裂纹尖端塑性区的尺寸远小于裂纹长度，可根据线弹性理 论来分析裂纹扩展行为。 （2）弹塑性断裂力学---当裂纹尖端塑性区尺寸不限于小范围屈服，而是呈现适量的 塑性，以弹塑性理论来处理。


ys
s
平面应力


ys

s 1 2
平面应变
r
/
K
2 I
2π
2 s

1.0 平面应力
0.5 平面应变
0.5
1.0
r
/

K
2 I
2π
2 s

r0’
r0
5)厚板 马鞍形塑性区。外为平面应力，中间平面应 变，由于裂尖钝化效应导致平面应变的塑性 约束降低，实际区域要大于上述解。

清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学PPT课件

清华大学断裂力学讲义第三章-线弹性断裂力学PPT课件

III型裂纹的复变函数表示方法 为了统一
应力场 位移场
32 i 31 ZIII
u3 Im ZIII
III型中心裂纹承受远场均匀剪切

lim
r0
2
r

22 12
r,0
r,
0


32

r
,
0


KI,II,III与G之间的关系?
George Rankine Irwin
G.R. Irwin. Analysis of stresses and strains near the end of a crack traversing a plate. Journal3of Applied Mechanics 24, 361-364 (1957).
a
0 i2

x1,
0
ui
a

x1,

dx1
wtip a
5
如果不是固定位移载荷加载（如固定力），是何结论？
可由能量平衡来理解
F
裂纹扩展
Gda dU Fd
逐渐放松保持力过程
wtip da dU Fd
F
这种假设裂纹闭合张开的虚拟过程的分析仍然适用。
x2
x2
σ
x1
首先假设固定位移加载
针对III型裂纹
x2
A
B
σ
x1
a
x2
u
u
x1
a
KIII

lim
x1 0
2 x1 32 x1, 0
32 x1, 0
KIII
2 x1
u3 u3+ a x1, u3- a x1, =2u3+ a x1, =

弹塑性断裂力学讲义(ABAQUS)

弹塑性断裂力学讲义(ABAQUS)
from
SMA c 2000 MIT
This relationship can be used to infer an equivalent
KIc value
Fatigue and Fracture
9
J
Derivation
Integral
Continued
Consider two different paths around the crack tip:
SMA c 2000 MIT
0 0
n
Fatigue and Fracture
12
ntinued
HRR eld
With these assumptions, the crack tip elds (HRR eld) can be
derived. (Ref: J.W. Hutchinson, JMPS, 1968 and J.R. Rice and
SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture
8
J
Derivation
Integral
Continued
For the special case of a linear elastic solid,
,dUM J G, da
K 2 ,1 , 2 E
d PE da
JIc measurements in high toughness, ductile solids in which valid KIc testing will require unreasonably large test specimens.
SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture

第三章-弹塑性断裂力学PPT课件

第三章-弹塑性断裂力学PPT课件

（20）
对弹塑性情况， δ可由弹性的δe和塑性的δp两部分
组成，即：
.
27
e P
（21）
式中， δe为对应于载荷P的裂纹尖端弹性张开位移，
（1）D-B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹线两边 延伸呈尖劈带状；塑性区的材料为理想塑性状态，整 个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围；塑性
区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力σs 。
.
9
于是，可以认为模型在远场均匀拉应力σ作用下
裂纹长度从2a延长到2c，塑性区尺寸R=c-a，当以带 状塑性区尖端点c为“裂尖”点时，原裂纹（2a）的 端点的张开量就是裂纹尖端张开位移。
按等效原则，令非贯穿裂纹的等于无限大板中心穿透裂纹
的，则等效穿透裂纹长度为：. a*= α2 a
（17）
22
（c）材料加工硬化修正
考虑材料的加工硬化修正，可用流变应力σf代替 屈服点，对于σs =200~400MPa的低碳钢，一般取：
σf =0.5（ σs + σb）
(18)
式中σb为材料的抗拉强度。
δ与应变e、裂纹几何和材料性能之间的关系，即引入 应变这一物理量。
由含中心穿透裂纹的宽板拉伸试验，可绘出无量 钢COD即/2esa 与标称应变 e / e s 之间的关系曲线 。
.
16
其中es是相应于材料屈服点σs的屈服应变，a是裂 纹尺寸，标称应变e是指一标长下的平均应变，通常 两个标点取在通过裂纹中心而与裂纹垂直的线上。
R
a
sec
2
s
1
若将 s e c 按级数展开，则 2 s
12 54 sec2s 122s242s
2
当

断裂力学 弹塑性断裂力学

断裂力学 弹塑性断裂力学

和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围。塑性区与弹性区 交界面上作用有均匀分布的屈服应力 s .
假想：挖去塑性区 在弹性区与塑性区的界面上加上均 匀拉应力 s 线弹性问题 裂纹尖端的应力强度因子
K Ic K I(1) K I( 2) c 2 s a c

c arccos
又
K I2 1 GI ' ' ( K IP K IF ) 2 E E
虚力Ｆ在裂纹尖端产生的应力强度因子
外力Ｐ在裂纹尖端产生的应力强度因子
10
U 0 1 U 2 lim lim[ ( K K ) ]da IP IF F F F E ' F 0 F 0 0 U K 2 lim( 0 ) lim ( K IP K IF ) IF da F F F 0 F 0 0 E '
4 K I ry v E 2 1 KI 2 ry ( ) 2 s
4 K I2 4GI 2v E s s
—小范围屈服时的COD计算公式
5
§4.2
D－B带状塑性区模型的COD
D－B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹尖端两端延 伸呈尖劈带状。塑性区的材料为理想塑性状态，整个裂纹
弹塑性断裂力学
1
线弹性断裂力学 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸 弹塑性断裂力学 大范围屈服:端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸，
如：中低强度钢制成的构件． 全面屈服：材料处于全面屈服阶段，如：压力容器的 接管部位.
2
弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定 量描述裂纹尖端区域弹塑性应力，应变场强度的参量．以

弹塑性力学讲稿课件

弹塑性力学讲稿课件
详细描述
金属材料的弹塑性分析主要关注金属在受力过程中发生的弹性变形和塑性变形。通过弹塑性分析，可以预测金属 在复杂应力状态下的行为，为金属材料的加工、设计和应用提供理论依据。
混凝土结构的弹塑性分析
总结词
混凝土结构在受到压力时会产生弹性变形和塑性变形，弹塑性分析是研究混凝土结构在受力过程中应 力和变形的变化规律。
总结词
复杂结构与系统的弹塑性行为研究是推动工程应用的重 要基础。
详细描述
在实际工程中，许多结构和系统的弹塑性行为非常复杂 ，如大型桥梁、高层建筑、航空航天器等，需要从整体 和局部多个角度进行研究，以揭示其力学行为和稳定性 规律，为工程安全和优化设计提供科学依据。
THANKS
感谢观看
VS
详细描述
复合材料的弹塑性分析主要关注复合材料 的组成材料和复合方式对弹塑性性能的影 响。通过弹塑性分析，可以预测复合材料 在不同环境下的力学性能，为复合材料的 应用和发展提供理论依据。
工程结构的弹塑性分析
总结词
工程结构在受到外力作用时会产生变形，弹 塑性分析是研究工程结构在外力作用下的应 力和应变的变化规律。
03
弹塑性力学的分析方法
有限元法
有限元法是一种将连续体离散化 为有限个小的单元体的集合，并 对每个单元体进行受力分析的方
法。
有限元法通过将复杂的结构或系 统简化为有限个简单的单元，使
得计算变得简单且精度较高。
有限元法广泛应用于各种工程领 域，如结构分析、热传导、流体
动力学等。
有限差分法
01
有限差分法是一种将偏微分方程 转化为差分方程的方法，通过离 散化空间和时间变量来求解问题 。
其他常见的弹塑性力学分析方法还包括有限体积法、无网格 法等。

弹塑性力学讲义 第三章应变分析

弹塑性力学讲义 第三章应变分析


2 11 ( 23 31 12 ) x2 x3 x1 x1 x2 x3
2 22 ( 31 12 23 ) x3x1 x2 x2 x3 x1 2 33 ( 12 23 31 ) x1x2 x3 x3 x1 x2
在 xk 坐标系中，已知变形体内任一点应变张量 kl 和转动张量kl，则 在新笛卡尔坐标系 x’i 中此点应变张量’ij 和’ij 均可以通过二阶张量的坐标 转换式求出它们。
' Q ij 即：
' ij Q
i 'k
Q
j 'l
j 'l kl
kl
i 'k
Q
Qi 'k ei' ek Qki'
+
12= (u1 ,2 -u2 ,1 ) /2 12=(u1 ,2 +u2 ,1 ) /2 11=u1 ,1
11，12= 21，22 纯变形
2.3 转动张量的对偶矢量
12= -21
纯转动

由纯刚体转动可见，12= -21，正好相当于一个沿 x3 轴方向的转动矢 量 3e3 ，方向为 e3 ，其大小 3 ：
Ⅱ＝ 1 2 2 3 3 1
Ⅲ 1 2 3
当1 2 3 时（三个主应变不相等） ，三个主方向相互垂直。
第5节
变形协调条件（相容条件）
在本章第二节中我们讨论了一点的应变张量，它包含了一点的变形信 息，应变张量与位移微分关系称为几何方程（共六个） 。如果已知变形体的 位移状态 u ，则由这六个方程直接求出应变张量，但反之由六个独立的任 意
3 (12 21 ) (e12312 e213 21 )

弹塑性断裂力学讲义(ABAQUS)

弹塑性断裂力学讲义(ABAQUS)

�; n
� SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture 13
CTOD
� The variation in crack tip opening displacement t or (CTOD) for
different material response is depicted below:
Elastic-Plastic Fracture Mechanics
Professor S. Suresh
Elastic Plastic Fracture
Previously, we have analyzed problems in which the plastic zone was small compared to the specimen dimensions (small scale yielding). In today’s lecture we present techniques for analyzing situations in which there can be large scale yielding, and determine expressions for the stress components inside the
� � � � �E hardening exponent, 0 reference yield strain 0 .
n � 1 For linear elastic material
, for perfectly plastic response
n � 1.
� SMA c 2000 MIT
Fatigue and Fracture 12
J
�

《弹塑性断裂力学》课件

《弹塑性断裂力学》课件

断裂判据
03
应力强度因子、能量释放率。
03
弹塑性断裂力学分析方法
线弹性断裂力学分析方法
适用于裂纹张开位移较小 的裂纹扩展
裂纹扩展时，裂纹尖端应 力场不变
裂纹尖端附近应力场呈奇 异性
裂纹扩展时，裂纹尖端应 力场呈奇异性
弹塑性断裂力学分析方法
适用于裂纹张开位移较大的 裂纹扩展
裂纹尖端附近应力场呈奇异 性
复合材料的断裂分析
01
复合材料的断裂分析是弹塑性断裂力学在工程中的另一个重要应用。
02
复合材料由多种材料组成，其断裂行为较为复杂，需要考虑不同材料 之间的界面效应和应力传递机制。
03
复合材料的断裂分析主要应用于航空航天、汽车、船舶、建筑等领域 的结构强度和寿命评估。
04
复合材料的断裂分析方法包括实验测试、数值模拟和理论分析等，其 中数值模拟方法包括有限元分析和离散元分析等。
高分子材料的断裂分析
高分子材料的断裂分析是另一 个重要的应用领域。
高分子材料具有粘弹性和韧性 ，其断裂行为较为复杂，需要 考虑高分子链的取向、结晶度
、温度等因素。
高分子材料的断裂分析主要应 用于塑料、橡胶、纤维等材料 的强度和耐久性评估。
高分子材料的断裂分析方法主 要包括实验测试和数值模拟， 其中数值模拟方法包括有限元 分析和分子动力学模拟等。
和规律，为复合材料的设计和应用提供理论支持。
高分子材料的冲击断裂分析
总结词
高分子材料在冲击作用下会发生断裂，其断 裂行为受到分子链结构、温度、应变速率等 因素的影响。
详细描述
高分子材料的冲击断裂分析主要研究高分子 材料在受到冲击作用时的断裂行为和机理。 高分子材料在冲击作用下会发生断裂，其断 裂行为受到分子链结构、温度、应变速率等 因素的影响。通过实验和数值模拟，可以深 入了解高分子材料冲击断裂行为的机理和规 律，为高分子材料的设计和应用提供理论支

弹塑性力学讲稿

弹塑性力学讲稿
与其它工程力学（理论力学、材料力学、结构 力学）的区别：研究方法、对象、结果的差异。弹 塑性力学的研究对象是整体（而不是分离体）变形 体内部的应力、应变分布规律（而不是危险端面）。
第一章 绪 论 (Introduction)
1.2 几个基本概念
➢ 弹性(elasticity)：卸载后变形可以恢复特性，可逆性 ➢ 塑性(plasticity)：物体产生永久变形的能力，不可逆性 ➢ 屈服(yielding)：开始产生塑性变形的临界状态 ➢ 损伤(damage)：材料内部缺陷产生及发展的过程 ➢ 断裂(fracture)：宏观裂纹产生、扩展到变形体破断的过程
五、考核方式 闭卷考试
目 录 (contents)
教学大纲 开场白 第一章 绪论……………………………………………………………………..1 第二章 应力分析………………………………………………………………..3 第三章 应变分析……………………………………………………………….10 第四章 物理方程与边界条件………………………………………………….14 例题讲解…………………………………………………………………………….17 第五章 弹性力学的基本原理………………………………………………….24 第六章 弹性力学基本求解方法……………………………………………….26 第七章 塑性力学基础………………………………………………………….49 第八章 断裂力学基础………………………………………………………….54
教学大纲
二、本课程的基本要求
1．要求掌握弹性和塑性变形的力学特点； 2．要求掌握弹性力学的5组基本方程、2组基本原理和2种基本
求解方法； 3．要求掌握应力函数概念、设计思路及求解过程，并对位错的
应力场、厚壁筒、孔边应力集中、残余应力的机械测定原理 等实例形成较深刻的印象； 4．要求掌握塑性条件的两个基本准则（Tresca准则和Mises准 则）和塑性增量与全量理论的基本概念及表达方法； 5．要求掌握金属断裂的基本类型及力学特点。

3 弹塑性断裂力学

3 弹塑性断裂力学

无关。
JJ学积特分性(W：或d反应x2映力了T应i 裂变ux纹1场i d尖强s)端度的；(i某同 1种时, 2力在) 分个析难过以 (W程直d中接x2有严可密Ti 能分ux避析1i d开的s)裂区纹域(i尖。 1端, 2这)
Γ
1、J 积分的回路积分定义及其守恒性
Rice给出的J 积分定义 ： J n
1.93 球形容器裂纹
4、COD判据的工程应用
COD判据主要用于塑性较好的中、低强度钢，特别是 压力容器和管道。 使用Dugdale模型公式时，需进行一些修正： ②、等效贯穿裂纹换算
对压力容器上的表面裂纹或深埋裂纹，要换算为等效 贯穿裂纹。按K因子进行等效换算，
KI Y a (Y 2a) a
n α
dx2 ds
J
(Wdx2
Ti
ui x1
ds)
(i 1, 2)
dx1
Γ——围绕裂纹尖端的一条任意反
x2
T2
u2
11 12
T
u
时针回路。起始于裂纹下表面，终 于裂纹的上表面；
T1
u1
ds ——回路上的弧元；
W ——回路Γ上点的应变能密度；
B
22
x1
Ti ——回路上一点处斜面上的应力
A
E
沿xi方向的分量；
考虑加工硬化： f
1 2
s
b
[例] ，圆筒压力容器，内压力为8.33MPa，外径 D 200mm
壁厚 t 6mm 。材料屈服强度 s 558MPa ，弹性模量
E 2.06105MPa ，临界COD值 c 0.06mm 。若安全系数
n 2 。焊缝处有表面裂纹，长20mm，深5mm。
试校核该容器是否安全。

疲劳与断裂力学弹塑性断裂力学基础PPT课件

疲劳与断裂力学弹塑性断裂力学基础PPT课件

由
8s E
a
ln[sec(2和s )]
ln[sec(2s
)]
22 8s2
故在小范围屈服时，平面应力的CTOD成为：
2 a
K
2 1
s E s E
在发生断裂的临界状态下，K1=K1c，=c。故上式给出了平面应力情况下， 小范围屈服时c与材料断裂韧性K1c的换算关系。
写为一般式：
K
2 1
s E
一j积分与能量释放率的关系线弹性平面应变条件下应变能密度为122211ijij又i型裂纹尖端的应力分量第三节第三节jj积分与其它参数的关系积分与其它参数的关系2112wrwdxsincos2111sincos2212coscossinsincossinsincossinsindsrd二j积分和cod的关系1小范围屈服条件下的j和cod关系在平面应力条件下irwin提出小范围屈服的cod计算公式2dugdale塑性区模型导出的j和cod关系dugdale模型为一个弹性化的模型塑性区为广大弹性区所包围满足积分守恒的条件
，此板的总势能为 。
引起的。ΠI
Π ΠII ΠI
a
( Ua0 a a
是缺口长度不同造成的势能差别率。这就是 J 的形变功定义。
可以看到：
1）J的定义对材料的应力-应变关系没有任何要求，所以J积分适用于弹性体（线弹 性体和非线性弹性体）和塑性体的单调加载（无卸载）情况。
周边，可能只有弹性应力和应变），简单地求得 J。
第25页/共58页
二、弹塑性裂纹尖端的应力场
与靠近裂纹尖端处行为相关的奇异场解是断裂力学发展中的核心问题。1968 年 Rice 提出 J 积分概念后，Hutchinson、Rice 等人，导出了弹塑性材料裂尖应 力应变场的表达式，即 HRR 理论，使断裂力学从线弹性发展到了弹塑性。
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4）D-B带状塑性区模型的COD
Dugdale通过拉伸试验，提出裂纹尖端塑性区呈 现尖劈带状特征的假设，从而得到一个类似于 Barrenblett的模型。该模型称为D-B模型，这是一个对 小范屈服和大范围屈服都适用的模型，可以用来处理 含中心穿透裂纹的无限大薄板在均匀拉伸应力作用下 的弹塑性断裂问题。
3）弹塑性断裂力学的提出 （1）解决如何通过小试样在全面屈服条件下断裂韧度 的测试去确定中、低强度重型构件的平面应变断裂韧 度KIC。
因为用线弹性断裂力学方法测定中、低强度钢的 断而裂且韧还度 由于KIC大，锻不件仅不需同用部大位型的试K件IC差和别大很吨大位，的用试大验试机， 样位所的测KIC得值的。KIC只是一个平均值，得不出各个具体部
R
a
sec
2
s
1
若将 s e c 按级数展开，则 2 s
12 54 sec2s 122s242sLL
2
当
/
s 较小时，
sec
2s
1 1 22s
（6）
代入式（6），得R的近似表达式为：
R
a
2
2
s
2
（7）
考虑到无限大平板有中心穿透裂纹时， a KI，有：
R8KsI
2
但是由于裂纹尖端的钝化，很难确切地指出原 裂纹尖端的位置，因而亦难确定裂纹尖端的张开位移。
目前，有人用2AB作为理解纹张开位移（从变形 后的裂纹顶端测量）；有人用2CD作为裂纹张开位移 （在D点测量，D为线弹性的直线与非线性的曲线的 交点）；有人用2EF作为裂纹张开位移（从裂纹尖端 作450线与裂纹面相交处F的分离的大小）。
3）Irwin小范围屈服条件下的COD
在讨论小范围屈服的塑性区修正时，曾引入有效 裂纹长度a a ry 的概念，这意味着为考虑塑性区的影 响假想地把原裂纹O移至O’，O O ry 。这样一来当以 假想的有效裂纹尖端点作为“裂尖”时，原裂纹点O 发生了张开位移，这个位移就是张开位移，简称为
COD，简写为δ 。
（1）D-B模型假设：裂纹尖端的塑性区沿裂纹线两边 延伸呈尖劈带状；塑性区的材料为理想塑性状态，整 个裂纹和塑性区周围仍为广大的弹性区所包围；塑性
区与弹性区交界面上作用有均匀分布的屈服应力σs 。
于是，可以认为模型在远场均匀拉应力σ作用下
裂纹长度从2a延长到2c，塑性区尺寸R=c-a，当以带 状塑性区尖端点c为“裂尖”点时，原裂纹（2a）的 端点的张开量就是裂纹尖端张开位移。
第三章 弹塑性断裂力学
第一节 弹塑性断裂力学概述 第二节 COD理论 第三节 J积分理论
第一节 弹塑性断裂力学概述
1）线弹性断裂力学的适用范围 （1）脆性材料，如玻璃、陶瓷、岩石，及高强度钢 等材料。 （2）小范围屈服的金属材料，可用小范围屈服的塑 性修正断裂准则来计算。
2）实际中的问题 （1）大范围屈服：对中、低强度构件，其塑性区尺 寸超过了裂纹尺寸。（低温、厚截面和高应变速率 下除外） （2）全面屈服：焊接件等由于局部应力和残余应力 的作用，使局部地区的应力超过屈服应力。
（2）在大范围屈服条件下，确定出能定量描述裂纹尖 端区域弹塑性应力、应变场强度的参量，以便既能用 理论建立起这些参量与裂纹几何特征、外加载荷之间 的关系，又易于通过实验来测定它们，并最后建立便 于工程应用的断裂准则。
第二节 COD理论
1）COD定义
1961年Wells提出COD理论。COD是英文（Crack Opening Displaement）的缩写，其意是“裂纹张开位 移”。指裂纹体受载后，裂纹尖端垂直于裂纹方向上 产生的张开量，就称主裂纹（尖端）张开位移，通常 用δ表示。
（2）带状塑性区的大小R
假想地把塑性区挖去，在弹性区与塑性区界面上
加上均匀拉应力σs ，于是得到如图2b所示的裂纹长度 为2c，在远场应力σ和界面应力σs作用下的线弹性问
题。
此时裂纹尖端点c的应力
成：一是由远场均匀拉应力σ产生的
K
，1 另一个是由
I
塑性区部位的“裂纹表面”所作用的均匀应力σs所产
裂纹张开位移的定义
2）COD判据
Wells认为；当裂纹张开位移δ达到材料的临界值δC 时，裂纹即发生失稳扩展，这就是弹塑性断裂的COD 准则，表示为：
δ =δC
（1）
件尺δC寸是改材变料的弹材塑料性常断数裂。的韧性指标，是一个不随试
对于COD准则，要解决三个方面的问题：（a） 找出裂纹尖端张开位移δ与裂纹几何尺寸、外加载荷 之间的关系式，即δ的计算公式。（2）实验测定材料 的应裂用纹。张开位移的临界值δC 。（3）COD准则的工程
生的
： K
2
I
KI1 c
KI2
2s
ccos1ac
从而有： K I C K I 1 K I 2 c 2s cc o s 1 a c （4）
由于c点是塑性区的端点，应无奇性，故其K
C I
=0，
于是代入式（4）得
ca/cos agsec
2s
2s
（5）
由于塑性区尺寸R=c-a ，将式（5）代入并化简得
由平面应力条件下的位移公式并代入k3/1 推演得：
VKI E
2 rsin221cos22
（2）
当以O’点为裂尖时，O点处(即 沿y方向的张开位移则为：
， r
ry
1 2
KI s
)2 ，
2V
r ry
1 2
KI s
2
4
K
2 I
E s
4GI
s
（3）
此即为Irwin提出的小范围屈服下的COD计算公式。 式中σs为材料的屈服极限，GI为裂纹扩展能量释放率。
0.39KsI
2
（8）
将式（8）与Irwin小范围屈服下平面应力的塑性
区尺寸比较 R1 KsI
2
0.318 KsI
2，可见
D-B模型
的塑性区尺寸稍大一些。
（3）δ的计算公式
经计算可得：
8sa E
lnsec
2s
（9）
由式（9）可见，D-B模型不适用于全面屈服（即 σ= σs ）的情况。有限元计算表明，对小范围屈服或 大范围屈服，当σ/σs ≤0.6时，按式（9）所作的预测是 令人满意的。
D-B模型是一个无限大板含中心穿透裂纹的平面 应力模型。由于它消除了裂纹尖端点的奇异性，实质 上是一个线弹性化的模型。因此，当塑性区较小时， COD参量δ与线弹性参量K之间存在一致性。由式 （9），将函数展开为幂级数得：