2015学年吉林省实验中学高一下学期期末数学试卷及参考答案(理科)

2014-2015学年吉林省实验中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共计60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点2．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA．①②B．②③C．③④D．①④3．（5分）若等差数列{a n}的前三项和S3=9且a1=1，则a2等于（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a1=，a4=﹣1，则{a n}的公比q为（）A．2 B．﹣ C．﹣2 D．5．（5分）在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）A．B=45°或135°B．B=135°C．B=45°D．以上答案都不对6．（5分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则下列不等式中正确的是（）A．ab＞ab2＞a B．a＜ab＜ab2C．ab＞a＞ab2D．a＞ab＞ab27．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣AB﹣C的平面角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．（5分）等差数列{a n}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为S n（n∈N*）．有下列命题①若S3=S11，则必有S14=0；②若S3=S11，则必有S7是S n中最大的项；③若S7＞S8，则必有S8＞S9；④若S7＞S8，则必有S6＞S9其中正确的命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．（5分）如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：（1）SG⊥平面EFG；（2）SD⊥平面EFG；（3）GF⊥平面SEF；（4）EF⊥平面GSD；（5）GD⊥平面SEF．正确的是（）A．（1）和（3）B．（2）和（5）C．（1）和（4）D．（2）和（4）12．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是．14．（5分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．15．（5分）已知△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，AB=10，点P是平面ABC 外一点，若PA=PB=PC，且PO⊥平面ABC，O为垂足，则OC=．16．（5分）已知数列{a n}，{b n}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1+b1=5，a1，b1∈N*，设，则数列{c n}的前10项和等于．三、解答题：（本题共6小题，共计70分）17．（10分）在△ABC中，A=120°，b=1，S△ABC=（1）求a、c的大小；（2）求sin（B+）的值．18．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a，f（x）＜0的解集为{x|﹣1＜x＜t}（Ⅰ）求a，t的值；（Ⅱc为何值时，（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0的解集为R．19．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，这个几何体的体积为．（1）求棱A1A的长；（2）求经过A1，C1，B，D四点的球的表面积．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=AD，F为PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PDC；（2）求直线AC与平面PCD所成角的大小．21．（12分）已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n项和为f（n）﹣c．数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n=+（n≥2）．项和S n满足S n﹣S n﹣1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，问T n＞的最小正整数n是多少？22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．2014-2015学年吉林省实验中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共计60分）1．（5分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不在同一条直线上的三个交点【解答】解：A．不共线的三点确定一个平面，故A不正确，B．四边形有时是指空间四边形，故B不正确，C．梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，D．两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选：C．2．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βA．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n，是直线和平面垂直的判定，正确；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ，推出α∥γ，满足直线和平面垂直的判定，正确；③若m∥α，n∥α，则m∥n，两条直线可能相交，也可能异面，不正确．④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β中m与n可能相交或异面．④考虑长方体的顶点，α与β可以相交．不正确．故选：A．3．（5分）若等差数列{a n}的前三项和S3=9且a1=1，则a2等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵S3=9且a1=1，∴S3=3a1+3d=3+3d=9，解得d=2．∴a2=a1+d=3．故选：A．4．（5分）已知数列{a n}是等比数列，且a1=，a4=﹣1，则{a n}的公比q为（）A．2 B．﹣ C．﹣2 D．【解答】由，故选：C．5．（5分）在△ABC中，A=60°，a=4，b=4，则B等于（）A．B=45°或135°B．B=135°C．B=45°D．以上答案都不对【解答】解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理=得：sinB===，∵b＜a，∴B＜A，则B=45°．故选：C．6．（5分）已知a＜0，﹣1＜b＜0，则下列不等式中正确的是（）A．ab＞ab2＞a B．a＜ab＜ab2C．ab＞a＞ab2D．a＞ab＞ab2【解答】解：首先，ab﹣ab2=ab（1﹣b），∵a＜0，﹣1＜b＜0，∴ab＞0，1﹣b＞0，∴ab（1﹣b）＞0，∴ab＞ab2，其次，ab2﹣a=a（b2﹣1），∵﹣1＜b＜0，∴b2＜1，∴b2﹣1＜0，又∵a＜0，∴a（b2﹣1）＞0，∴ab2﹣a＞0，∴ab2＞a，综上两个方面，ab＞ab2，ab2＞a，∴ab＞ab2＞a，故选：A．7．（5分）若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形【解答】解：∵角A、B、C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，∴根据正弦定理，整理得a：b：c=5：12：13设a=5x，b=12x，c=13x，满足（5x）2+（12x）2=（13x）2因此，△ABC是直角三角形故选：B．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选：A．9．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣AB﹣C的平面角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），∴，，设面ABC1的法向量为，∵，∴，∴，∵面ABC的法向量，设二面角C1﹣AB﹣C的平面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴θ=45°，故选：B．10．（5分）等差数列{a n}中，首项a1＞0，公差d≠0，前n项和为S n（n∈N*）．有下列命题①若S3=S11，则必有S14=0；②若S 3=S11，则必有S7是S n中最大的项；③若S7＞S8，则必有S8＞S9；④若S7＞S8，则必有S6＞S9其中正确的命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①若S3=S11，则a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+a11=0，即4（a7+a8）=0，即a7+a8=a1+a14=0，则S14==0，故①正确，；②∵S3=S11，∴3×a1+d=11×a1+d，即8a1=﹣52d，则a1=﹣d，则d＜0∴a n=a1+（n﹣1）d=﹣d+（n﹣1）d=d（n﹣）令a n=d（n﹣）≥0，则n﹣≤0可解得n≤，∴等差数列{a n}的前7项均为正数，从第8项开始为负值，∴使得S n最大的正整数n为7；故②正确，③若S7＞S8，则d＜0，且a8＜0，则必有a9＜0，即S8＞S9成立，故③正确，④若S7＞S8，则d＜0，且a8＜0，即a7+a8+a9=3a8＜0，即S6＞S9成立，故④正确，故选：D．11．（5分）如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：（1）SG⊥平面EFG；（2）SD⊥平面EFG；（3）GF⊥平面SEF；（4）EF⊥平面GSD；（5）GD⊥平面SEF．正确的是（）A．（1）和（3）B．（2）和（5）C．（1）和（4）D．（2）和（4）【解答】解：（1）∵在折叠过程中，始终有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG．因此正确．（4）由等腰三角形的对称性质可得：SD⊥EF，GD⊥EF，SD∩GD=D，可得EF⊥平面GSD，因此正确．（2）（3）（5）都不正确．故选：C．12．（5分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中由三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选：D．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共计20分）13．（5分）如果log3m+log3n=4，那么m+n的最小值是18．【解答】解：∵log3m+log3n=4，∴，得mn=34．∵m＞0，n＞0，∴==18，当且仅当m=n=9时取等号．故答案为18．14．（5分）若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．15．（5分）已知△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，AB=10，点P是平面ABC 外一点，若PA=PB=PC，且PO⊥平面ABC，O为垂足，则OC=5．【解答】解：∵PA=PB=PC，且PO⊥平面ABC，∴O是△ABC的外心∵△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°∴O是AB的中点∴AB=10，∴OC=5故答案为：5．16．（5分）已知数列{a n}，{b n}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1，b1，且a1+b1=5，a1，b1∈N*，设，则数列{c n}的前10项和等于85．【解答】解：∵a1+b1=5，a1，b1∈N*，∴a1，b1有1和4，2和3，3和2，4和1四种可能，当a 1，b1为1和4的时，c1==4，前10项和为4+5+…+12+13=85；当a 1，b1为2和3的时，c1==4，前10项和为4+5+…+12+13=85；当a 1，b1为4和1的时，c1==4，前10项和为4+5+…+12+13=85；当a 1，b1为3和2的时，c1==4，前10项和为4+5+…+12+13=85；故数列{c n}的前10项和等于85，故答案为85．三、解答题：（本题共6小题，共计70分）17．（10分）在△ABC中，A=120°，b=1，S△ABC=（1）求a、c的大小；（2）求sin（B+）的值．===，解得c=4．【解答】解：（1）∵S△ABC∴a2=b2+c2﹣2bccosA=12+42﹣2×1×4×cos120°=21．∴a=．（2）由正弦定理可得：，∴sinB==，∵B为锐角，∴cosB==，∴=+cosBsin==．18．（12分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a，f（x）＜0的解集为{x|﹣1＜x＜t}（Ⅰ）求a，t的值；（Ⅱc为何值时，（c+a）x2+2（c+a）x﹣1＜0的解集为R．【解答】解（1）∵x2﹣2x+a＜0的解集为{x|﹣1＜x＜t}．∴﹣1+t=2，﹣1×t=a，解得t=3，a=﹣3．（2）由（1）可知：a=﹣3，代入得（c﹣3）x2+2（c﹣3）x﹣1＜0，因为其解集为R，∴，或c=3．解得2＜c≤3．故当2＜c≤3满足条件．19．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，这个几何体的体积为．（1）求棱A1A的长；（2）求经过A1，C1，B，D四点的球的表面积．【解答】解：（1）设A1A=h，∵几何体ABCD﹣A1C1D1的体积为，∴VABCD﹣A1C1D1=VABCD﹣A1B1C1D1﹣VB﹣A1B1C1=，即S ABCD×h﹣×S△A1B1C1×h=，即2×2×h﹣××2×2×h=，解得h=4．∴A1A的长为4．（2）如图，连接D1B，设D1B的中点为O，连OA1，OC1，OD．∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，∴A1D1⊥平面A1AB．∵A1B⊂平面A1AB，∴A1D1⊥A1B．∴OA1=D1B．同理OD=OC1=D1B．∴OA1=OD=OC1=OB．∴经过A1，C1，B，D四点的球的球心为点O．∵D1B2=A1D12+A1A2+AB2=22+42+22=24．=4π×（OD1）2=4π×（）2=π×D1B2=24π．∴S球故经过A1，C1，B，D四点的球的表面积为24π．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=AD，F为PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PDC；（2）求直线AC与平面PCD所成角的大小．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵正方形ABCD中，CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF，∵PA=AD，FP=FD∴AF⊥PD又∵CD∩PD=D∴AF⊥平面PDC…（6分）（2）连接CF由（1）可知CF是AF在平面PCD内的射影∴∠ACF是AF与平面PCD所成的角∵AF⊥平面PDC∴AF⊥FC在△ACF中，∴AF与平面PCD所成的角为30°．…..（12分）21．（12分）已知点（1，）是函数f（x）=a x（a＞0），且a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n项和为f（n）﹣c．数列{b n}（b n＞0）的首项为c，且前n=+（n≥2）．项和S n满足S n﹣S n﹣1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}前n项和为T n，问T n＞的最小正整数n是多少？【解答】解：（1）由已知f（1）=a=，∴f（x）=，等比数列{a n}的前n 项和为f（n）﹣c=c，∴a1=f（1）=﹣c，a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=﹣，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=﹣数列{a n}是等比数列，应有=q，解得c=1，q=．∴首项a1=f（1）=﹣c=∴等比数列{a n}的通项公式为=．∵S n﹣S n==（n≥2）﹣1又b n＞0，＞0，∴=1；∴数列{}构成一个首项为1，公差为1的等差数列，∴=1+（n﹣1）×1=n∴S n=n2当n=1时，b1=S1=1，当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1又n=1时也适合上式，∴{b n}的通项公式b n=2n﹣1．（2）==∴==由，得，，故满足的最小正整数为112．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AB=2CD=8．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（Ⅲ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD=4，，AB=8，∴AD2+BD2=AB2．∴AD⊥BD．（2分）又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面PAD．又BD⊂平面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD．（4分）（Ⅱ）当M点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，PA∥平面MBD．（5分）证明如下：连接AC，交BD于点N，连接MN．∵AB∥DC，所以四边形ABCD是梯形．∵AB=2CD，∴CN：NA=1：2．又∵CM：MP=1：2，∴CN：NA=CM：MP，∴PA∥MN．（7分）∵MN⊂平面MBD，∴PA∥平面MBD．（9分）（Ⅲ）过P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．（11分）又∵△PAD是边长为4的等边三角形，∴．（12分）在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高．∴梯形ABCD的面积．（14分）故．（15分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

2015—2016学年吉林省实验中学高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知全集U=｛1，2，3，4，5，6,7｝，A=｛2，4，5｝，B=｛1，3，5，7}，则A∩（∁U B）=（）A．｛5} B．{2，4｝C．｛2，4，5,6｝D．{1，2，3,4，5，7｝2．函数的定义域为( ）A．B．(1，+∞）C．D．3．若幂函数f（x）=x m+1在（0，+∞）单调递增，则实数m的取值范围是（)A．（0,+∞） B．(﹣∞,0） C．（﹣1,+∞)D．（﹣∞，﹣1)4．函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为( ）A．(﹣2,﹣1) B．（﹣1，0) C．(0,1) D．（1，2）5．若α是第三象限的角，则α是（）A．第一、三象限角B．第一、二象限角C．第二、三象限角D．第二、四象限角6．若角α的终边过点,则sinα=（）A．B．C．D．7．将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位后，得到函数f(x）的图象，则函数f（x)的解析式为( ) A．B．C．D．8．函数f(x）=sin(ωx+)（ω＞0）相邻两个对称中心的距离为，以下哪个区间是函数f（x）的单调减区间（）A．[﹣，0］B．［0，］C．［，] D．［，]9．已知,，，为非零向量,且+=，﹣=，则下列说法正确的个数为( ）（1）若｜｜=｜|，则•=0；(2）若•=0，则||=｜｜；（3）若｜｜=|｜,则•=0；（4）若•=0，则||=|｜A．1 B．2 C．3 D．410．已知函数f(x）=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0，｜φ|＜）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．f(x)的图象关于直线对称B．f(x）的图象关于点对称C．将函数的图象向左平移个单位得到函数f（x）的图象D．若方程f（x）=m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是11．已知sin（α+）+sinα=﹣，则=（）A．B． C．D．12．定义在R上的函数f（x)满足f（x+2）=f(x），当x ∈[3，5]时,f（x)=2﹣|x﹣4｜，则（)A．B．f(sin1）＞f（cos1)C．D．f（sin2）＞f（cos2)二、填空题：（本大题共4小题,每小题5分．) 13．已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点，则= ．14．已知扇形的面积是4，扇形的圆心角的弧度数是2,则扇形的弧长是．15．已知α,，,，则sinα=．16．已知函数,若存在实数x1，x2，x3,x4,满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3)=f （x4）,则的取值范围是．三、解答题：(本大题共6小题，其中17小题10分，18～22小题每小题10分；解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）17．已知向量=（4，3），=（﹣1，2）．（1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量﹣λ与2+平行，求λ的值．18．证明恒等式：+（sin2α﹣cos2α）=2sin （2α﹣）．19．已知函数，x∈R．（Ⅰ）列表并画出函数f(x)在上的简图；（Ⅱ）若，，求α．20．已知tan(+α）=（Ⅰ)求tanα的值；（Ⅱ）求的值．21．已知函数f（x)=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．(1）求f(x）的最小正周期及对称中心;（2）若x∈[﹣，］，求f（x）的最大值和最小值．22．设函数f（x）=（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；(2)若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2)+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围；（3）若函数f（x）的图象过点(1，)，是否存在正数m，且m≠1使函数g（x）=log m[a2x+a﹣2x﹣mf（x）］在[1，log23]上的最大值为0,若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．2015-2016学年吉林省实验中学高一(上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知全集U={1，2，3,4，5，6，7},A=｛2，4，5｝，B={1,3，5，7}，则A∩（∁U B）=（）A．｛5} B．｛2，4｝C．｛2，4，5，6} D．{1，2，3，4，5，7｝【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U及集合B，找出不属于B的元素，确定出B的补集，找出A和B补集的公共元素,即可确定出所求的集合．【解答】解：∵全集U={1，2,3，4，5,6，7｝，B={1，3，5，7}，∴C U B=｛2，4,6｝，又A={2，4，5}，则A∩（C U B）={2，4}．故选B2．函数的定义域为（）A．B．（1，+∞) C．D．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，即，即x＞且x≠1，则函数的定义域为，故选：C．3．若幂函数f（x）=x m+1在（0，+∞)单调递增，则实数m的取值范围是（）A．（0,+∞)B．（﹣∞，0) C．（﹣1,+∞）D．（﹣∞，﹣1）【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的单调性即可得出．【解答】解：∵幂函数f（x）=x m+1在(0，+∞）上是增函数,∴m+1＞0，解得m＞﹣1，实数m的取值范围是:(﹣1，+∞）．故选：C．4．函数f（x）=2x+x的零点所在的区间为（）A．（﹣2，﹣1) B．(﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】将选项中区间的两端点值分别代入f（x）中验证,若函数的两个值异号，由零点存在定理即可判断零点必在此区间．【解答】解:当x=0时,f（0）=20+0=1＞0,当x=﹣1时，f（﹣1)=＜0，由于f（0)•f（﹣1)＜0,且f（x）的图象在[﹣1，0］上连续，根据零点存在性定理，f（x）在（﹣1，0）上必有零点，故答案为B．5．若α是第三象限的角，则α是( )A．第一、三象限角B．第一、二象限角C．第二、三象限角D．第二、四象限角【考点】象限角、轴线角．【分析】写出角的范围，然后求解角2α的终边所在位置即可．【解答】解:α是第三象限角，∴k•360°+180°＜α＜k•360°+270°，k∈Z．k•180°+90°＜α＜k•180°+135°，k∈Z．2α的终边的位置是第一、二象限，y的正半轴．故答案为：第二、四象限．故选：D．6．若角α的终边过点，则sinα=（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】先利用诱导公式，确定角α的终边过点P（﹣1，﹣1），再求出sinsα．【解答】解：∵cos120°=﹣cos60°=﹣,sin225°=sin=﹣sin45°=﹣,∴角α的终边过点P（﹣1,﹣1),∴sinα=﹣．故选:D7．将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位后,得到函数f(x）的图象，则函数f（x）的解析式为（)A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的平移变化规律即可求解．【解答】解:由题意:将函数y=sinx每个点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变可得：sin2x；再将所得图象向左平移个单位后可得:sin2（x)=sin（2x+）=f （x）．故选：A．8．函数f(x）=sin(ωx+)（ω＞0)相邻两个对称中心的距离为，以下哪个区间是函数f（x）的单调减区间（)A．[﹣,0］ B．［0，］C．［，］D．[，]【考点】正弦函数的对称性．【分析】由周期求得ω,再根据正弦函数的减区间求得函数f（x）的单调减区间．【解答】解：根据f（x)=sin（ωx+）（ω＞0）相邻两个对称中心的距离为，可得==，∴ω=2,f(x）=sin（2x+)．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z,故选:C．9．已知，，,为非零向量，且+=,﹣=，则下列说法正确的个数为（）（1）若｜｜=｜|，则•=0;（2）若•=0,则||=｜|；（3）若||=|｜，则•=0；(4)若•=0,则｜｜=｜|A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算．【分析】利用已知条件判断以，为邻边的四边形的形状，然后判断选项的正误．【解答】解：，，，为非零向量,且+=，﹣=, (1）若||=|｜,可知以,为邻边的四边形的形状是菱形,则•=0；正确．（2）若•=0，可得：(+）（﹣）=0，即，则｜｜=|｜；正确．（3)若||=||，可知以,为邻边的四边形的形状是矩形，则•=0;正确．（4）若•=0,可知以，为邻边的四边形的形状是矩形，则｜|=|｜,正确．故选：D．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ)(A＞0，ω＞0,｜φ｜＜）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的图象关于点对称C．将函数的图象向左平移个单位得到函数f(x）的图象D．若方程f(x）=m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式,再结合正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：由函数的图象可得A=2，=﹣，求得ω=2．在根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，∴函数f（x）=2sin(2x+）．当时,f（x)=0,不是最值，故A不成立．当x=﹣时，f（x）=0=﹣2，不等于零，故B不成立．将函数=2sin(2x﹣）的图象向左平移个单位得到函数y=sin［2（x+)﹣］=sin（2x+)的图象，故C不成立．当x∈[﹣,0］时，2x+∈［﹣，]．∵sin（﹣)=sin（﹣）=﹣,sin(﹣）=﹣1，故方程f（x)=m在上有两个不相等的实数根时，则m的取值范围是，故D成立；故选：D．11．已知sin(α+）+sinα=﹣，则=( ) A．B． C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．【分析】已知等式左边第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后求出sinα+cosα的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简,变形后将sinα+cosα的值代入计算即可求出值．【解答】解:∵sin（α+）+sinα=sinα+cosα+sinα=sinα+cosα=（sinα+cosα）=﹣，∴sinα+cosα=﹣，∴cos（α+）=﹣cosα﹣sinα=﹣(sinα+cosα）=﹣（﹣）=．故选B12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[3，5]时,f（x）=2﹣｜x﹣4|，则（）A．B．f（sin1)＞f（cos1)C．D．f（sin2）＞f(cos2)【考点】函数的周期性；函数单调性的性质．【分析】利用函数的周期性及x∈[3,5］时的表达式f （x）=2﹣｜x﹣4｜,可求得x∈［﹣1，1］时的表达式，从而可判断逐个选项的正误．【解答】解：∵f（x+2)=f（x），∴函数f（x)是周期为2的周期函数，又当x∈［3，5]时,f（x）=2﹣｜x﹣4|，∴当﹣1≤x≤1时，x+4∈[3,5］,∴f（x）=f(x+4）=2﹣|x｜,∴，排除A，f（sin1)=2﹣sin1＜2﹣cos1=f（cos1）排除B,，C正确,f（sin2）=2﹣sin2＜2﹣（﹣cos2）=f（cos2)排除D．故选:C．二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分．）13．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则= 2 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）•（）,再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（)•(）=（）•（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为2．14．已知扇形的面积是4,扇形的圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长是 4 ．【考点】弧长公式．【分析】利用弧长公式、扇形的面积计算公式即可得出．【解答】解:设扇形的半径为r，则=4,解得r=2．∴扇形的弧长=2×2=4．故答案为：4．15．已知α，,，，则sinα=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由α与β的范围得出α+β的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α﹣β）,sinβ的值，将所求式子中的角β变形为（α﹣β）+β,利用两角和与差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入计算，即可求出值．【解答】解：∵α，，，，∴cos（α﹣β)=，sinβ=，∴sinα=sin[（α﹣β）+β]=sin（α﹣β)cosβ+cos（α﹣β）sinβ=×+×=,故答案为：．16．已知函数，若存在实数x1,x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f(x3)=f(x4），则的取值范围是(9,21）．【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10，由此可得的取值范围．【解答】解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2）,∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0,∴x1x2=1，∵f（x3）=f(x4），∴x3+x4=12,2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣（x3+x4)+1=x3x4﹣11，∵2＜x3＜x4＜10∴的取值范围是（9,21)．故答案为：（9，21)三、解答题：(本大题共6小题，其中17小题10分，18～22小题每小题10分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知向量=（4，3)，=（﹣1，2)．(1）求与的夹角的余弦值；（2）若向量﹣λ与2+平行，求λ的值．【考点】平面向量数量积的运算;平行向量与共线向量；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）直接利用向量的数量积求与的夹角的余弦值；（2）表示出向量﹣λ，2+,利用两者平行的充要条件，露垂芳草，即可求λ的值．【解答】（本小题满分12分)解:（1)∵向量=（4，3），=（﹣1，2）．∴=﹣4+6=2，==5，==…∴cos===．…(2）∵向量=（4，3），=(﹣1,2）．向量﹣λ=（4+λ,3﹣2λ），2+=（7,8)…∵向量﹣λ与2+平行，∴，…解得：λ=．…18．证明恒等式：+（sin2α﹣cos2α）=2sin(2α﹣）．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角函数的恒等变换化简要证等式的左边，直到他和右边相等，从而证得结论．【解答】证明：∵左边==2sin（2α﹣）=右边,所以等式成立．19．已知函数,x∈R．（Ⅰ）列表并画出函数f（x）在上的简图；（Ⅱ）若，，求α．【考点】五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】(Ⅰ）列表，描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图；（Ⅱ）由已知可得，从而可求,或，（k∈Z），结合范围，即可得解α的值．【解答】（本题满分为12分）解:(Ⅰ）由“五点作图法”列表如下：x0π2π3sin（）030﹣30…图象如下：…（Ⅱ）由，得,所以，或，(k∈Z）即，或,…又因为,所以k取0，得或．…20．已知tan（+α）=（Ⅰ）求tanα的值;（Ⅱ）求的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；运用诱导公式化简求值．【分析】（Ⅰ）依题意,利用两角和的正切公式可求得tanα=；（Ⅱ)利用诱导公式将原式化为，再弦化切即可．【解答】解：（Ⅰ）∵tan（+α)===，解得tanα=；（Ⅱ)原式====﹣．21．已知函数f（x)=﹣2sin2x+2sinxcosx+1．(1）求f(x)的最小正周期及对称中心；(2)若x∈［﹣，］，求f(x）的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域；三角函数的最值．【分析】（1）先通过两角和公式对函数解析式进行化简，得f（x）=2sin(2x+），根据正弦函数的周期性和对称性可的f（x）的最小正周期及对称中心．(2)根据正弦函数的单调性及x的取值范围进而求得函数的最值．【解答】解：（1)∴f(x)的最小正周期为，令，则，∴f（x)的对称中心为；（2）∵∴∴∴﹣1≤f（x）≤2∴当时，f（x）的最小值为﹣1；当时，f（x）的最大值为2．22．设函数f（x）=（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；（2）若f（1）＞0,求使不等式f（kx﹣x2）+f(x﹣1)＜0对一切x∈R恒成立的实数k的取值范围;（3）若函数f（x）的图象过点（1,），是否存在正数m，且m≠1使函数g（x）=log m[a2x+a﹣2x﹣mf（x)］在[1，log23]上的最大值为0，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1)由奇函数的性质可知f(0）=0，得出t=2；(2）由f（1）＞0得又a＞0,求出a＞1,判断函数的单调性f（x）=a x﹣a﹣x为R上的增函数，不等式整理为x2﹣（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立,利用判别式法求解即可;(3）把点代入求出a=2，假设存在正数m，构造函数设t=2x﹣2﹣x则（2x﹣2﹣x)2﹣m（2x﹣2﹣x)+2=t2﹣mt+2,对底数m进行分类讨论，判断m的值．【解答】(1）f（x）是定义域为R的奇函数∴f（0）=0，∴t=2;（2）由（1）得f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1)＞0得又a＞0∴a＞1，由f（kx﹣x2)+f（x﹣1）＜0得f（kx﹣x2）＜﹣f（x﹣1），∵f（x)为奇函数，∴f(kx﹣x2）＜f（1﹣x），∵a＞1∴f（x）=a x﹣a﹣x为R上的增函数,∴kx﹣x2＜1﹣x对一切x∈R恒成立，即x2﹣（k+1)x+1＞0对一切x∈R恒成立故△=（k+1）2﹣4＜0解得﹣3＜k＜1(3)函数f（x）的图象过点（1,)，∴a=2，假设存在正数m，且m≠1符合题意，由a=2得==设t=2x﹣2﹣x则（2x﹣2﹣x)2﹣m（2x﹣2﹣x）+2=t2﹣mt+2,∵x∈[1，log23]，∴记h（t）=t2﹣mt+2，∵函数在[1，log23］上的最大值为0，∴（ⅰ）若0＜m＜1时，则函数h（t）=t2﹣mt+2在有最小值为1由于对称轴∴，不合题意（ⅱ)若m＞1时,则函数h（t)=t2﹣mt+2＞0在上恒成立，且最大值为1，最小值大于0①又此时,故g（x）在[1，log23］无意义所以②无解,综上所述：故不存在正数m,使函数在［1，log23]上的最大值为0．2016年11月5日。

2014-2015学年吉林省实验中学高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题（每题5分，共60分） 1．若集合A={x||x|≤1，x∈R}，集合B={x|x≤0，x∈R}，则A∩B=（ ） A． {x|﹣1≤x≤0，x∈R} B． {x|x≤0，x∈R} C． {x|0≤x≤1，x∈R} D． {x|x≤1，x∈R} 2．下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（ ） A．B． C． y=x2+x+1 D． 3．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ） A． 2，2 B． 2，2 C． 4，2 D． 2，4 4．已知实数a，b，则“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 5．运行如图所示的程序框图．若输入x=4，则输出y的值为（ ） A． 49 B． 25 C． 13 D． 7 6．长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ） A．B． C． 5 D． 6 7．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的面积，则的最小值（ ） A．B． C． 2 D． 4 8．在△ABC中，（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，则sinA=（ ） A．B． C． D． 9．定义在R上的函数f（x）是偶函数，且f（1﹣x）=f（1+x），若x∈时，f（x）=x2，则f（﹣3）的值为（ ） A．﹣1 B． 3 C． 1 D．﹣3 10．△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3+4+5=，则△AOB的面积=（ ） A．B． C． 1 D． 11．已知A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为（ ） A．ω=2，φ=B．ω=2，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ=12．已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（ ） A． 1 B． 2 C． 0 D． 0或2 二、填空题（每题5分，共20分） 13．已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a2+a8）的值为 ． 14．为了“城市品位、方便出行、促进发展”，南昌市拟修建穿江隧道，市某部门问卷调查了n个市民，其中赞成修建穿江隧道的市民占80%，在赞成修建穿江隧道的市民中又按年龄分组，得样本频率分布直方图如图，其中年龄在，b∈，求方程没有实根的概率． 18．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0． （1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程； （2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标． 19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点． （Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE； （Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC； （Ⅲ）（理科）当二面角E﹣BD﹣C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由． 20．数列{an}满足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N×） （Ⅰ）设Cn=log5（an+3），求证{Cn}是等比数列； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）设，数列{bn}的前n项的和为Tn，求证：． 21．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=． （1）求h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间； （2）求证：f2（x）≤xg（x）． 选考题（本小题满分10分）（请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑）选修4-1：几何证明选讲 22．如图△ABC内接于⊙O，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D． （Ⅰ）求证：AC2=AP?AD； （Ⅱ）若∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长． 选修4-4：坐标与参数方程 23．（2014?大武口区校级一模）已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）． （Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值． 选修4-5：不等式选讲 24．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a． （Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）； （Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围． 201-2015学年吉林省实验中学高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每题5分，共60分） 1．若集合A={x||x|≤1，x∈R}，集合B={x|x≤0，x∈R}，则A∩B=（ ） A． {x|﹣1≤x≤0，x∈R} B． {x|x≤0，x∈R} C． {x|0≤x≤1，x∈R} D． {x|x≤1，x∈R} 考点：交集及其运算． 专题：计算题． 分析：先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B 即可． 解答：解：∵A={x||x|≤1，x∈R}={x|﹣1≤x≤1} ∴A∩B={x|﹣1≤x≤1}∩{x|x≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤0} 故选A． 点评：本题主要考查了绝对值不等式，以及交集及其运算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题． 2．下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（ ） A．B． C． y=x2+x+1 D． 考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域． 专题：函数的性质及应用． 分析：选项A可以化为一个指数函数，值域即可求得；选项B含有根式，且根号内部的值不回答语1，断定值域不符合要求； 选项C配方后可求值域；选项D的指数不会是0，所以之于众不含1． 解答：解：==，此函数为指数函数，定义域为R，所以值域为（0，+∞）； 不会大于1，所以其值域不是（0，+∞）； ，所以其值域不是中，所以≠1， 所以的值域不是（0，+∞）． 故选A． 点评：本题考查了指数函数的定义、定义域、解析式和值域，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题． 3．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（ ） A． 2，2 B． 2，2 C． 4，2 D． 2，4 考点：由三视图求面积、体积． 专题：计算题． 分析：由题目左视图不难推知正三棱柱的高和底面边长． 解答：解：由左视图得2为正三棱柱的高，而为底面三角形的高，所以底面三角形的边长为4， 故选D． 点评：本题考查三视图、三棱柱的知识；考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力．基础题． 4．已知实数a，b，则“2a＞2b”是“log2a＞log2b”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑． 分析：分别解出2a＞2b，log2a＞log2b中a，b的关系，然后根据a，b的范围，确定充分条件，还是必要条件． 解答：解：2a＞2b?a＞b， 当a＜0或b＜0时，不能得到log2a＞log2b， 反之由log2a＞log2b即：a＞b＞0可得2a＞2b成立． 故选：B． 点评：本题考查对数函数的单调性与特殊点，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题． 5．运行如图所示的程序框图．若输入x=4，则输出y的值为（ ） A． 49 B． 25 C． 13 D． 7 考点：程序框图． 专题：算法和程序框图． 分析：根据程序框图进行模拟计算即可． 解答：解：若输入x=4，则y=2×4﹣1=8﹣1=7，|4﹣7|=3＞8不成立， 则x=7，y=2×7﹣1=14﹣1=13，|7﹣13|=6＞8不成立， 则x=13，y=2×13﹣1=26﹣1=25，|13﹣25|=12＞8成立， 输出y=25， 故选：B 点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟是解决程序框图的基本方法． 6．长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ） A．B． C． 5 D． 6 考点：棱柱的结构特征． 专题：计算题；压轴题． 分析：设出长方体的长、宽、高，表示出长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，然后整理可得对角线的长度． 解答：解：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知， 4（a+b+c）=24…①， 2ab+2bc+2ac=11…②， 由①的平方减去②可得a2+b2+c2=25， 这个长方体的一条对角线长为：5， 故选C． 点评：本题考查长方体的有关知识，是基础题． 7．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的面积，则的最小值（ ） A．B． C． 2 D． 4 考点：直线与圆的位置关系；基本不等式． 专题：计算题；直线与圆． 分析：根据题意，直线2ax﹣by+2=0经过已知圆的圆心，可得a+b=1，由此代换得：=（a+b）（）=2+（+），再结合基本不等式求最值，可得的最小值． 解答：解：∵直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）恰好平分圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的面积， ∴圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1 因此，=（a+b）（）=2+（+） ∵a＞0，b＞0， ∴+≥2=2，当且仅当a=b时等号成立 由此可得的最小值为2+2=4 故答案为：D 点评：本题给出直线平分圆面积，求与之有关的一个最小值．着重考查了利用基本不等式求最值和直线与圆位置关系等知识，属于中档题． 8．在△ABC中，（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，则sinA=（ ） A．B． C． D． 考点：余弦定理的应用． 专题：解三角形． 分析：通过（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc化简整理得b2﹣bc+c2=a2，结合余弦定理求得cosA，进而求得A，求解即可． 解答：解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc ∴=3bc ∴（b+c）2﹣a2=3bc b2+2bc+c2﹣a2=3bc b2﹣bc+c2=a2 根据余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA ∴b2﹣bc+c2=a2=b2+c2﹣2bccosA bc=2bccosA cosA=∴A=60° ∴sinA=． 故选：A． 点评：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用．要熟练记忆余弦定理的公式及其变形公式． 9．定义在R上的函数f（x）是偶函数，且f（1﹣x）=f（1+x），若x∈时，f（x）=x2，则f（﹣3）的值为（ ） A．﹣1 B． 3 C． 1 D．﹣3 考点：奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值． 专题：计算题． 分析：由函数为偶函数可得f（﹣x）=f（x），结合f（1﹣x）=f（1+x）可得f（x+2）=f（x），即函数的周期为2，代入求解即可． 解答：解：∵函数f（x）是偶函数 ∴f（﹣x）=f（x） 由f（1﹣x）=f（1+x）?f（2﹣x）=f（x） f（x）=f（2+x） ∵x∈时，f（x）=x2f（﹣3）=f（3）=f（1）=1 故选 C 点评：本题综合考查了函数的奇偶性性及函数周期性，在运用函数的对称性及奇偶性时，要注意两个容易混淆的表达式①：f（a+x）=f（a﹣x）?f（2a﹣x）=f（x）?函数f（x）关于x=a对称，②f（x+a）=f（x﹣a）?函数f（x）的周期T=2a． 10．△ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3+4+5=，则△AOB的面积=（ ） A．B． C． 1 D． 考点：向量的线性运算性质及几何意义． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析：根据平面向量的线性运算与数量积运算法则，得出⊥， 结合题意，求出直角三角形△AOB的面积即可． 解答：解：∵3+4+5=，∴3+4=﹣5； ∴（3+4）2=（﹣5）2； 由||=||=||=1， ∴9+16+24?=25， ∴?=0， ∴⊥； ∴△AOB的面积为S△AOB=×1×1=． 故选：D． 点评：本题考查了平面向量的线性运算与数量积的应用问题，是基础题目． 11．已知A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为（ ） A．ω=2，φ=B．ω=2，φ=C．ω=，φ=D．ω=，φ=考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题：计算题；三角函数的图像与性质． 分析：通过函数的图象，结合已知条件求出函数的周期，推出ω，利用A的坐标求出?的值即可． 解答：解：因为A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+?）（ω＞0，0＜?＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示， ，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E 对称， 在x轴上的投影为， 所以T=4×（）=π，所以ω=2，因为， 所以0=sin（﹣+?），0＜?＜，?=． 故选B． 点评：本题考查三角函数的解析式的求法，正确利用函数的图象与性质是解题的关键，考查计算能力． 12．已知y=f（x）为R上的可导函数，当x≠0时，，则关于x的函数的零点个数为（ ） A． 1 B． 2 C． 0 D． 0或2 考点：根的存在性及根的个数判断． 专题：函数的性质及应用． 分析：由题意可得，x≠0，因而 g（x）的零点跟 xg（x）的非零零点是完全一样的．当x＞0时，利用导数的 知识可得xg（x）在（0，+∞）上是递增函数，xg（x）＞1恒成立，可得xg（x）在（0，+∞）上无零点． 同理可得xg（x）在（﹣∞，0）上也无零点，从而得出结论． 解答：解：由于函数，可得x≠0，因而g（x）的零点跟xg（x）的非零零点是完全一样的， 故我们考虑 xg（x）=xf（x）+1 的零点． 由于当x≠0时，， ①当x＞0时，（x?g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+ ）＞0， 所以，在（0，+∞）上，函数x?g（x）单调递增函数． 又∵=1，∴在（0，+∞）上，函数 x?g（x）=xf（x）+1＞1恒成立， 因此，在（0，+∞）上，函数 x?g（x）=xf（x）+1 没有零点． ②当x＜0时，由于（x?g（x））′=（xf（x））′=xf′（x）+f（x）=x（ f′（x）+ ）＜0， 故函数 x?g（x）在（﹣∞，0）上是递减函数，函数 x?g（x）=xf（x）+1＞1恒成立， 故函数 x?g（x）在（﹣∞，0）上无零点． 综上可得，函在R上的零点个数为0， 故选C． 点评：本题考查了根的存在性及根的个数判断，导数与函数的单调性的关系，体现了分类讨论、转化的思想， 属于中档题． 二、填空题（每题5分，共20分） 13．已知{an}为等差数列，若a1+a5+a9=8π，则cos（a2+a8）的值为　﹣　． 考点：等差数列的性质． 专题：等差数列与等比数列． 分析：设等差数列的公差为d，利用{an}为等差数列，a1+a5+a9=8π，可得3a1+12d=8π，从而可求a2+a8，进而可求cos（a2+a8）的值． 解答：解：设等差数列的公差为d， ∵{an}为等差数列，a1+a5+a9=8π， ∴3a1+12d=8π， ∴a2+a8=2a1+8d=2（a1+4d）=2?=， ∴cos（a2+a8）=cos=cos=﹣． 故答案为：﹣． 点评：本题考查等差数列的通项，考查特殊角的三角函数值，考查学生的计算能力，属于中档题． 14．为了“城市品位、方便出行、促进发展”，南昌市拟修建穿江隧道，市某部门问卷调查了n个市民，其中赞成修建穿江隧道的市民占80%，在赞成修建穿江隧道的市民中又按年龄分组，得样本频率分布直方图如图，其中年龄在，∴=﹣（sinθ﹣2）2+2≤1 ∴2t≥1，t 故答案为 点评：本题考查函数单调性的性质，本题是一个恒成立的问题，通过函数的单调性将其转化为三角不等式恒成立的问题，再分离常数，通过求三角函数的最值得到参数t的取值范围．本题考查了转化化归的思想，解题的关键是将恒等式进行正确转化，且能根据所得的形式判断应该求出三角形函数的最值以得到参数满足的不等式，求参数，本题思维量较大，难度不小．易因为转化时不等价出错． 三.解答题 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0 （1）若a，b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率． （2）若a∈，b∈，求方程没有实根的概率． 考点：等可能事件的概率． 专题：计算题． 分析：（1）本题是一个古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件，基本事件（a，b）的总数有36个满足条件的事件是二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根，根据实根分布得到关系式，得到概率． （2）本题是一个几何概型，试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16}，做出两者的面积，得到概率． 解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型 用（a，b）表示一枚骰子投掷两次所得到的点数的事件 依题意知，基本事件（a，b）的总数有36个 二次方程x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+16=0有两正根， 等价于 即 “方程有两个正根”的事件为A，则事件A包含的基本事件为（6，1）、 （6，2）、（6，3）、（5，3）共4个 ∴所求的概率为 （2）由题意知本题是一个几何概型， 试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}， 其面积为S（Ω）=16 满足条件的事件为：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a﹣2）2+b2＜16} 其面积为 ∴所求的概率P（B）=点评：本题考查古典概型和几何概型，几何概型和古典概型是高中必修中学习的，高考时常以选择和填空出现，有时文科会考这种类型的解答题目． 18．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0． （1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线方程； （2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M且有|PM|=|PO|（O为原点），求使|PM|取得最小值时点P的坐标． 考点：直线与圆相交的性质． 专题：综合题；直线与圆． 分析：（1）分类讨论，利用待定系数法给出切线方程，然后再利用圆心到切线的距离等于半径列方程求系数即可； （2）可先利用PM（PM可用P点到圆心的距离与半径来表示）=PO，求出P点的轨迹（求出后是一条直线），然后再将求PM的最小值转化为求直线上的点到原点的距离PO之最小值． 解答：解：（ 1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2． ①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y=kx，由直线与圆相切得=，即k=2±， 从而切线方程为y=（2±）x．…（3分） ②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x+y﹣a=0， 由直线与圆相切得x+y+1=0，或x+y﹣3=0．∴所求切线的方程为y=（2±）x x+y+1=0或x+y﹣3=0．…（6分） （2）由|PO|=|PM|得，x12+y12=（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2?2x1﹣4y1+3=0..…（8分） 即点P在直线l：2x﹣4y+3=0上，|PM|取最小值时即 |OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x+y=0．…（10分） 解方程组得P点坐标为（﹣，）．…（12分） 点评：本题重点考查了直线与圆的位置关系，切线长问题一般会考虑到点到圆心距、切线长、半径满足勾股定理列方程；弦长问题一般会利用垂径定理求解． 19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点． （Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE； （Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC； （Ⅲ）（理科）当二面角E﹣BD﹣C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由． 考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题． 专题：计算题；证明题． 分析：（I）做出辅助线，连接OE，由条件可得SA∥OE．根据因为SA?平面BDE，OE?平面BDE，得到SA∥平面BDE． （II）建立坐标系，写出要用的点的坐标，写出要用的向量的坐标，设出平面的法向量，根据法向量与平面上的向量垂直，写出一个法向量，根据两个法向量垂直证明两个平面垂直． （III）本题是一个一个二面角为条件，写出点的位置，做法同求两个平面的夹角一样，设出求出法向量，根据两个向量的夹角得到点要满足的条件，求出点的位置． 解答：解：（Ⅰ）证明：连接OE，由条件可得SA∥OE． 因为SA?平面BDE，OE?平面BDE，所以SA∥平面BDE． （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知SO⊥面ABCD，AC⊥BD．建立如图所示的空间直角坐标系． 设四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2， 则O（0，0，0），S（0，0，），A（，0，0）， B（0，，0），C（﹣，0，0），D（0，﹣，0）． 所以=（﹣20，0），=（0，，0）． 设CE=a（0＜a＜2），由已知可求得∠ECO=45°． 所以E（﹣+a，0，a），=（﹣+，﹣，）． 设平面BDE法向量为n=（x，y，z），则即 令z=1，得n=（，0，1）．易知=（0，，0）是平面SAC的法向量． 因为n?=（，0，1）?（0，﹣，0）=0，所以n⊥，所以平面BDE⊥平面SAC．（8分） （Ⅲ）设CE=a（0＜a＜2），由（Ⅱ）可知，平面BDE法向量为n=（，0，1）．因为SO⊥底面ABCD， 所以=（0，0，）是平面BDC的一个法向量．由已知二面角E﹣BD﹣C的大小为45°． 所以|cos（，n）|=cos45°=，所以，解得a=1． 所以点E是SC的中点． 点评：本题考查用空间向量解决线线角和面面角，本题解题的关键是建立坐标系，把立体几何的理论推导变化成数字的运算问题，这样可以降低题目的难度，同学们只要细心都可以做对． 20．数列{an}满足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N×） （Ⅰ）设Cn=log5（an+3），求证{Cn}是等比数列； （Ⅱ）求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）设，数列{bn}的前n项的和为Tn，求证：． 考点：数列的求和；等比关系的确定；数列递推式． 专题：综合题；压轴题；转化思想． 分析：（I）由已知可得，an+1+3=（an+3）2，利用构造法令Cn=log5（an+3），则可得，从而可证数列{cn}为等比数列 （II）由（I）可先求数列cn，代入cn=log5（an+3）可求an （III）把（II）中的结果代入整理可得，，则代入Tn=b1+b2+…+bn相消可证 解答：解：（Ⅰ）由an+1=an2+6an+6得an+1+3=（an+3）2， ∴=2，即cn+1=2cn ∴{cn}是以2为公比的等比数列． （Ⅱ）又c1=log55=1， ∴cn=2n﹣1，即=2n﹣1， ∴an+3=故an=﹣3 （Ⅲ）∵bn=﹣=﹣，∴Tn=﹣=﹣﹣． 又0＜=． ∴﹣≤Tn＜﹣ 点评：本题考查了利用定义证明等比数列：数列{an}为等比数列?；利用构造法求数列的通项公式及数列的求和公式，属于对基本知识的综合考查．试题难度不大． 21．已知函数f（x）=ln（x+1），g（x）=． （1）求h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间； （2）求证：f2（x）≤xg（x）． 考点：利用导数研究函数的单调性． 专题：导数的综合应用． 分析：（1）先求出函数h（x）的导数，解根据导函数的不等式，从而求出函数的单调区间； （2）作差，得到函数F（x）=ln2（x+1）﹣，通过讨论F（x）的单调性，从而证出结论． 解答：解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=ln（x+1）﹣，x＞﹣1， h′（x）=， 令h′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜0，则h（x）在（﹣1，0）上单调递减； 令h′（x）＞0，解得：x＞0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增． 故增区间为（0，+∞），减区间为（﹣1，0）； （2）f2（x）﹣xg（x）=ln2（x+1）﹣， 令 F（x）=ln2（x+1）﹣， F′（x）=， 令G（x）=2（x+1）ln（x+1）﹣（x2+2x）， 则G′（x）=2ln（x+1）﹣2x， 令H（x）=2ln（x+1）﹣2x，则H′（x）=， 当﹣1＜x＜0时，H′（x）＞0，则H（x）在（﹣1，0）上单调递增； 当x＞0时，H′（x）＜0，则H（x）在（0，+∞）上单调递减， 故H（x）≤H（0）=0，即G′（x）≤0，则G（x）在（﹣1，+∞）上单调递减； 当﹣1＜x＜0时，G（x）＞G（0）=0，即F′（x）＞0，则F（x）在（﹣1，0）上单调递增； 当x＞0时，G（x）＜G（0）=0即F′（x）＜0，则F（x）在（0，+∞）上单调递减； 故F（x）≤F（0）=0，即f2（x）≤xg（x）． 点评：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，不等式的证明，是一道中档题． 选考题（本小题满分10分）（请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡把所选题目的题号涂黑）选修4-1：几何证明选讲 22．如图△ABC内接于⊙O，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于点P，交BC的延长线于点D． （Ⅰ）求证：AC2=AP?AD； （Ⅱ）若∠ABC=60°，⊙O的半径为1，且P为弧AC的中点，求AD的长． 考点：与圆有关的比例线段． 专题：计算题；证明题；选作题． 分析：（I）根据三角形中两条边相等，得到对应的两个底角相等，证明两个三角形相似，相似三角形对应边成比例，得到比例式，通过等量代换得到要求的等式． （II）根据有一个顶角是60°的等腰三角形是等边三角形，得到∠BAC=60°，从而得到∠BAP=90°，即BP是圆的直径，在直角三角形中利用勾股定理得到结果． 解答：（I）证明：连接BP， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB又∠ACB=∠APB， ∴∠ABC=∠APB， ∴△ABP∽△ABD ∴即AB2=AP?AD， ∵AB=AC， ∴AC2=AP?AD （II）∵∠ABC=60°，AB=AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵P为为弧AC的中点， ∴∠ABP=∠PAC=30°， ∴∠BAP=90°， ∴BP是圆的直径， ∴BP=2， ∴AP=BP=1， 在直角三角形PAB中，AB2=BP2﹣AP2=3， ∴AD=点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查三角形相似和全等的判断和性质的应用，本题是一个综合题目，解题时注意题目所给的条件比较繁琐，不要用错条件． 选修4-4：坐标与参数方程 23．（2014?大武口区校级一模）已知直线的极坐标方程为，圆M的参数方程为（其中θ为参数）． （Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求圆M上的点到直线的距离的最小值． 考点：圆的参数方程；直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程． 专题：计算题；压轴题． 分析：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，利用和角的正弦函数，即可求得该直线的直角坐标方程； （Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4，求出圆心M（0，﹣2）到直线x+y﹣1=0的距离，即可得到圆M上的点到直线的距离的最小值． 解答：解：（Ⅰ）以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．（1分） ∵∴，∴ρsinθ+ρcosθ=1．（2分） ∴该直线的直角坐标方程为：x+y﹣1=0．（3分） （Ⅱ）圆M的普通方程为：x2+（y+2）2=4（4分） 圆心M（0，﹣2）到直线x+y﹣1=0的距离．（5分） 所以圆M上的点到直线的距离的最小值为．（7分） 点评：本题考查极坐标方程与直角坐标方程，参数方程与普通方程的互化，考查点线距离公式的运用，属于基础题． 选修4-5：不等式选讲 24．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a． （Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）； （Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围． 考点：带绝对值的函数；函数的最值及其几何意义；函数恒成立问题． 专题：计算题． 分析：（Ⅰ）当a=0时，不等式即|x+1|≥2|x|，平方可得x2+2x+1≥4x2，由此求得不等式的解集． （Ⅱ）由题意可得|x+1|﹣2|x|≥a恒成立，求出h（x）的最大值为1，可得1≥a，由此求得实数a的取值范围． 解答：解：（Ⅰ）当a=0时，不等式即|x+1|≥2|x|，平方可得x2+2x+1≥4x2，解得﹣≤x≤1， 故不等式的解集为． （Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，即|x+1|﹣2|x|≥a． 设h（x）=|x+1|﹣2|x|=． 故当x≥0时，h（x）≤1．当﹣1≤x＜0时，﹣2≤h（x）＜1．当x＜﹣1时，h（x）＜﹣2． 综上可得h（x）的最大值为1． 由题意可得1≥a，故实数a的取值范围为（﹣∞，1]． 点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，求函数的最小值，函数的恒成立问题，属于中档题．。

吉林省东北师大附中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题：（每小题4分，共48分）1．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a b2＜a2b C．D．2．在等比数列{a n}中，已知a1a3a11=8，那么a2a8等于（）A．4B．6C．12 D．163．直线l1：mx+（1﹣m）y=3；l2：（m﹣1）x+（2m+3）y=2互相垂直，则m的值为（）A．﹣3 B．1C．0或D．1或﹣34．不等式＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或0＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0或x＞3} C．{x|x＜﹣2或x＞0} D．{x|x＜0或x＞3}5．点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，则直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定6．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn7．当点M（x，y）在如图所示的三角形ABC内（含边界）运动时，目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为（1，2），则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，1）8．已知等差数列前n项和为S n．且S13＜0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项9．若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交与P，Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则k的值为（）A．或B．C．或D．10．下列函数中，y的最小值为4的是（）A．B．C．D．y=e x+4e﹣x11．过直线x+y=0上一点P作圆（x+1）2+（y﹣5）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=﹣x对称时，∠APB=（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A．B．3C．2D．二、填空题：（每小题4分，共16分）13．不等式组表示的平面区域的面积等于．14．点（x，y）在直线x+3y﹣2=0上移动时，z=2x+8y的最小值为．15．等比数列{a n}的前n项和是S n，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20的值是．16．直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是．三、解答题：（共56分）17．已知等差数列{a n}中a2=9，a5=21．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{log2b n}的前n项和S n．18．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？19．已知关于x的一元二次不等式（a+1）x2+ax+a＞b（x2+x+1）对任意实数x都成立，试比较实数a，b的大小．20．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．21．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0）、B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，设圆M是△ABC的外接圆，若DE是圆M的任意一条直径，试探究是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．四．附加题22．以数列{a n}的任意相邻两项为坐标的点P n（a n，a n+1）（n∈N*）都在一次函数y=2x+k的图象上，数列{b n}满足．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S6=T4，S5=﹣9，求k的值．吉林省东北师大附中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一、选择题：（每小题4分，共48分）1．设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（）A．a2＜b2B．a b2＜a2b C．D．考点：一元二次不等式的应用；不等关系与不等式．专题：综合题．分析：由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项解答：解：A选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立；B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，故选C．点评：本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．2．在等比数列{a n}中，已知a1a3a11=8，那么a2a8等于（）A．4B．6C．12 D．16考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：根据等比数列的通项公式化简a1a3a11=8后，得到关于第5项的方程，求出方程的解即可得到第5项的值，然后根据等比数列的性质得到a2a8等于第5项的平方，把第5项的值代入即可求出所求式子的值．解答：解：a1•a3•a11=a13•q12=（a1q4）3=a53=8，∴a5=2，则a2•a8=a52=4．故选：A点评：此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握等比数列的性质，是一道综合题．3．直线l1：mx+（1﹣m）y=3；l2：（m﹣1）x+（2m+3）y=2互相垂直，则m的值为（）A．﹣3 B．1C．0或D．1或﹣3考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题；直线与圆．分析：根据两条直线垂直的条件，结合题意建立关于m的方程，解之即可得到实数m的值．解答：解：∵直线l1：mx+（1﹣m）y=3；l2：（m﹣1）x+（2m+3）y=2互相垂直，∴m（m﹣1）+（1﹣m）（2m+3）=0，解之得m=﹣3或1故选：D点评：本题给出两条直线互相垂直，求实数m的值．着重考查了直线的方程和直线的位置关系等知识，属于基础题．4．不等式＜0的解集为（）A．{x|x＜﹣2或0＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0或x＞3} C．{x|x＜﹣2或x＞0} D．{x|x＜0或x＞3}考点：其他不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：将“不等式＜0”转化为：“x（x+2）（x+3）＜0”，用穿根法求解．解答：解：依题意：原不等式转化为：x（x+2）（x+3）＜0解得：x＜﹣2或0＜x＜3故选A点评：本题主要考查分式不等式的解法，一般是转化为整式不等式，再用穿根法求解．5．点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，则直线与圆的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定考点：点与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由已知得x02+y02＞R2，从而圆心（0，0）到直线x0x+y0y=R2的距离d＜R，由此推导出直线x0x+y0y=R2与圆相交．解答：解：∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=R2外，∴x02+y02＞R2，∴圆心（0，0）到直线x0x+y0y=R2的距离：d=＜R，∴直线x0x+y0y=R2与圆相交．故选：B．点评：本题考查直线与圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题．6．在数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+ln（1+），则a n=（）A．2+lnn B．2+（n﹣1）lnn C．2+nlnn D．1+n+lnn考点：数列的概念及简单表示法．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：把递推式整理，先整理对数的真数，通分变成，用迭代法整理出结果，约分后选出正确选项．解答：解：∵，，…∴=故选：A．点评：数列的通项a n或前n项和S n中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n﹣1等，这种办法通常称迭代或递推．解答本题需了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项．7．当点M（x，y）在如图所示的三角形ABC内（含边界）运动时，目标函数z=kx+y取得最大值的一个最优解为（1，2），则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．[﹣1，1]C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，1）考点：简单线性规划的应用．专题：计算题．分析：先根据约束条件的可行域，再利用几何意义求最值，z=kx+y表示直线在y轴上的截距，﹣k表示直线的斜率，只需求出k的取值范围时，直线z=kx+y在y轴上的截距取得最大值的一个最优解为（1，2）即可．解答：解：由可行域可知，直线AC的斜率=，直线BC的斜率=，当直线z=kx+y的斜率介于AC与BC之间时，C（1，2）是该目标函数z=kx+y的最优解，所以k∈[﹣1，1]，故选B．点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法反求参数的范围，属于基础题．8．已知等差数列前n项和为S n．且S13＜0，S12＞0，则此数列中绝对值最小的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项考点：等差数列的前n项和；数列的应用．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a6+a7＞0，a7＜0，进而得出|a6|﹣|a7|=a6+a7＞0，可得答案．解答：解：∵S13===13a7＜0，S12===6（a6+a7）＞0∴a6+a7＞0，a7＜0，∴|a6|﹣|a7|=a6+a7＞0，∴|a6|＞|a7|∴数列{a n}中绝对值最小的项是a7故选C．点评：本题考查等差数列的前n项和以及等差数列的性质，解题的关键是求出a6+a7＞0，a7＜0，属中档题．9．若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交与P，Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则k的值为（）A．或B．C．或D．考点：直线与圆相交的性质．专题：综合题；直线与圆．分析：根据直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且∠POQ=120°（其中O为原点），求出圆心到直线的距离；再根据点到直线的距离公式即可求出k的值．解答：解：因为直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于P、Q两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，所以∠POQ=120°（其中O为原点），如图可得∠OPE=30°；OE=OPsin30°=，即圆心O（0，0）到直线y=kx+1的距离d==，所以k=．故选：A．点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查计算能力，求出圆心（0，0）到直线的距离是解题的关键．10．下列函数中，y的最小值为4的是（）A．B．C．D．y=e x+4e﹣x考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由基本不等式求最值的规则，逐个选项验证可得．解答：解：选项A错误，因为x可能为负数；选项B错误，化简可得y=2（+）由基本不等式可得取等号的条件为=即x2=﹣1，显然没有实数满足x2=﹣1；选项C错误，由基本不等式可得取等号的条件为sinx=2，但由三角函数的值域可知sinx≤1；选项D，由基本不等式可得当e x=2即x=ln2时，y取最小值4．故选：D．点评：本题考查基本不等式求最值，涉及基本不等式取等号的条件，属基础题．11．过直线x+y=0上一点P作圆（x+1）2+（y﹣5）2=2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y=﹣x对称时，∠APB=（）A．30°B．45°C．60°D．90°考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：判断圆心与直线的关系，在直线上求出特殊点，利用切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，求出∠APB的值．解答：解：显然圆心C（﹣1，5）不在直线y=﹣x上．由对称性可知，只有直线y=﹣x上的特殊点，这个点与圆心连线垂直于直线y=﹣x，从这点做切线才能关于直线y=﹣x对称．所以该点与圆心连线所在的直线方程为：y﹣5=x+1即y=6+x，与y=﹣x联立，可求出该点坐标为（﹣3，3），所以该点到圆心的距离为=2，由切线长、半径以及该点与圆心连线构成直角三角形，又知圆的半径为．所以两切线夹角的一半的正弦值为=，所以夹角∠APB=60°故选C．点评：本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切的关系的应用，考查计算能力，常考题型．12．若a，b，c＞0且a2+2ab+2ac+4bc=12，则a+b+c的最小值是（）A．B．3C．2D．考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：压轴题．分析：因为a+b+c的平方与已知等式有关，现将（a+b+c）2用已知等式表示，根据一个数的平方大于等于0得不等式，然后解不等式得范围．解答：解：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=（a2+2ab+2ac+4bc）+b2+c2﹣2bc=12+（b ﹣c）2≥12，当且仅当b=c时取等号，∴a+b+c≥故选项为A点评：若要求的代数式能用已知条件表示，得不等式，通过解不等式求代数式的范围．二、填空题：（每小题4分，共16分）13．不等式组表示的平面区域的面积等于25．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：计算题．分析：画出约束条件表示的可行域，求出交点坐标，然后求出三角形面积，即可求解解答：解：作出不等式组所表示的平面区域，如图所示的三角形ABC由由题意可得A（﹣2，2），B（3，7），C（3，﹣3）∴BC=10，A到直线BC的距离d=5∴S△ABC==25故答案为：25点评：本题考查二元一次不等式（组）与平面区域，考查学生作图能力，计算能力，是基础题．14．点（x，y）在直线x+3y﹣2=0上移动时，z=2x+8y的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式．分析：根据基本不等式的性质进行计算即可．解答：解：∵x+3y﹣2=0，∴x+3y=2，∴z=2x+23y≥2=2=2=4，当且仅当x=3y，即x=1，y=时，“=”成立，故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质，应用性质是注意满足条件；一正二定三相等，本题是一道基础题．15．等比数列{a n}的前n项和是S n，若S30=13S10，S10+S30=140，则S20的值是40．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：首先根据题意求出S10=10，S30=130，再根据S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也是等比数列，得到S20=40，或者S20=﹣30，然后利用等比数列的求和公式得到答案．解答：解：因为S30=13S10，S10+S30=140，所以S10=10，S30=130．∵数列{a n}为等比数列，∴S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也是等比数列，即S10，S20﹣S10，S30﹣S20也是等比数列，所以S20=40，或者S20=﹣30，因为S20=S10（1+q10），所以S20=40．故答案为40．点评：本题主要考查了等比数列的性质和数列的求和．解题的关键是利用了等比数列中S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也是等比数列的性质．16．直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围是﹣3＜b≤3或．考点：函数的零点．专题：计算题．分析：先整理C的方程可知曲线C的图象为半圆，要满足仅有一个公共点，有两种情况，一种是与半圆相切，根据原点到直线的距离为半径3求得b，一种是与半圆相交但只有一个交点，根据图象可分别求得b的上限和下限，最后综合可求得b的范围．解答：解：依题意可知曲线C的方程可整理成y2+x2=9（x≥0）要使直线l与曲线c仅有一个公共点，有两种情况：如下图：（1）直线与半圆相切，原点到直线的距离为3，切于A点，d==3，因为b＜0，可得b=﹣3，满足题意；（2）直线过半圆的下顶点（0，﹣3）和过半圆的上顶点（3，0）之间的直线都满足，y=x+b过点（0，﹣3），可得b=﹣3，有两个交点，y=x+b过点（0，3），可得b=3，有一个交点，∴﹣3＜b＜3，此时直线y=x+b与曲线恰有一个公共点；综上：﹣3＜b≤3或；故答案为：﹣3＜b≤3或；点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查了学生对数形结合思想，分类讨论思想，转化和化归的思想的综合运用，是一道好题；三、解答题：（共56分）17．已知等差数列{a n}中a2=9，a5=21．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若，求数列{log2b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用a5﹣a2=3d计算可得公差，进而可得结论；（2）通过对数的性质化简可知数列是以4为首项、4为公差的等差数列，进而计算可得结论．解答：解：（1）∵a2=9，a5=21，∴a5﹣a2=3d，∴d=4，∴a n=a2+（n﹣2）•d=4n+1；（2）∵a n=4n+1，∴，∴log2==4n，∴数列是以4为首项、4为公差的等差数列，∴．点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，涉及对数的性质等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．18．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则依题意可知ab=9000，代入广告的面积中，根据基本不等式的性质求得广告面积的最小值．根据等号成立的条件确定广告的高和宽．解答：解：设矩形栏目的高为acm，宽为bcm，则ab=9000．①广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0．广告的面积S=（a+20）（2b+25）=2ab+40b+25a+500=18500+25a+40b≥18500+2=18500+2．当且仅当25a=40b时等号成立，此时b=，代入①式得a=120，从而b=75．即当a=120，b=75时，S取得最小值24500．故广告的高为140cm，宽为175cm时，可使广告的面积最小．点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式在解决生活问题中常被用到，也是2015届高考应用题中热点，平时应用注意这方面的训练．19．已知关于x的一元二次不等式（a+1）x2+ax+a＞b（x2+x+1）对任意实数x都成立，试比较实数a，b的大小．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把不等式化为关于x的一元二次不等式，由不等式恒成立列出条件，求出a、b的大小关系．解答：解：不等式（a+1）x2+ax+a＞b（x2+x+1）可变形为（a﹣b+1）x2+（a﹣b）x+a﹣b＞0，…又不等式对任意的实数x都成立，则，…即，解得a﹣b＞0；所以a＞b．…点评：本题考查了一元二次不等式的恒成立问题，是基础题目．20．已知平面区域恰好被面积最小的圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求圆C的方程．（2）若斜率为1的直线l与圆C交于不同两点A，B满足CA⊥CB，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程；圆的标准方程．专题：计算题．分析：（1）根据题意可知平面区域表示的是三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，进而可推断出覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，进而求得圆心和半径，则圆的方程可得．（2）设直线l的方程是：y=x+b．根据CA⊥CB，可知圆心C到直线l的距离，进而求得b，则直线方程可得．解答：解：（1）由题意知此平面区域表示的是以O（0，0），P（4，0），Q（0，2）构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是（2，1），半径是，所以圆C的方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）设直线l的方程是：y=x+b．因为，所以圆心C到直线l的距离是，即=解得：b=﹣1．所以直线l的方程是：y=x﹣1．点评：本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了数形结合的思想，转化和化归的思想．21．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0）、B（0，），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，设圆M是△ABC的外接圆，若DE是圆M的任意一条直径，试探究是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．考点：圆方程的综合应用；平面向量数量积的运算．专题：综合题；直线与圆．分析：先求出圆M的方程，再设过圆心M的任意一直线为x=my+1与圆的方程联立，利用向量的数量积公式，即可得出结论．解答：解：由题意，△AOB∽△BOC，∴=，∴|CO|=4 …∴C（4，0），AC中点为M（1，0），半径为3∴圆M的方程（△ABC的外接圆）为（x﹣1）2+y2=32…设过圆心M的任意一直线为x=my+1，…∴∴（m2+1）y2=9…设直线x=my+1与圆（x﹣1）2+y2=9的两个交点为D（x1，y1），E（x2，y2）则=（x1+1，y1），=（x2+1，y2），∴•=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（my1+2）（my2+2）+y1y2=（m2+1）y1y2+4…由（m2+1）y2=9，得代入上式•=﹣9+4=﹣5…当ED为横轴时，D（﹣2，0），E（4，0），=（﹣1，0），=（5，0）∴•=﹣5…点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四．附加题22．以数列{a n}的任意相邻两项为坐标的点P n（a n，a n+1）（n∈N*）都在一次函数y=2x+k的图象上，数列{b n}满足．（1）求证：数列{b n}是等比数列；（2）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S6=T4，S5=﹣9，求k的值．考点：数列的求和；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）通过将点代入y=2x+k可知a n+1=2a n+k，利用b n+1=a n+2﹣a n+1计算即得结论；（2）通过b n=（a1+k）•2n﹣1=a n+1﹣a n可知a2﹣a1=（k+a1）•20、a3﹣a2=（k+a1）•21、…、a n﹣a n﹣1=（k+a1）•2n﹣2，累加整理得b n﹣a n=k，计算即得结论．解答：（1）证明：∵点都在一次函数y=2x+k图象上，∴a n+1=2a n+k，∴b n+1=a n+2﹣a n+1=（2a n+1+k）﹣（2a n+k）=2（a n+1﹣a n）=2b n，∴=2，故{b n}是以b1=a2﹣a1=2a1+k﹣a1=k+a1为首项、2为公比的等比数列；（2）解：∵b n=（a1+k）•2n﹣1=a n+1﹣a n，∴a2﹣a1=（k+a1）•20，a3﹣a2=（k+a1）•21，…a n﹣a n﹣1=（k+a1）•2n﹣2，累加得：a n﹣a1=（k+a1）•=（k+a1）•（2n﹣1﹣1），整理得：a n=（a1+k）•2n﹣1﹣k，∴b n﹣a n=[（a1+k）•2n﹣1]﹣[（a1+k）•2n﹣1﹣k]=k，又S6=T4，即a1+a2+…+a6=b1+b2+b3+b4，∴a5+a6=4k，即，∴，∴，又S5=﹣9，∴，∴k=8．点评：本题考查等比数列的判定以及数列的求和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。

吉林省实验中学2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知全集为U=R，M={x|x2﹣x＞0}，N={x|＜0}，则有（）A．M∪N=R B．M∩N=∅C．∁U N=M D．∁U N⊆N2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4 B．C．4 D．3．（5分）“等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α，β，γ成等差数列”的（）条件．A．充分而不必要B．必要而不充分C．充分必要D．既不充分又不必要（5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）对任意x都有，则4．等于（）A．2或0 B．﹣2或2 C．0 D．﹣2或05．（5分）若当x∈R时，函数f（x）=a|x|始终满足0＜|f（x）|≤1，则函数y=log a||的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）已知f（x）是周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=lgx设a=f（），b=f（），c=f（），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b7．（5分）一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为（）A．a3B．C．D．8．（5分）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（）•（）=0，则||的最大值是（）A．1 B．2 C．D．9．（5分）若f（x）=x2+2f（x）dx，则f（x）dx=（）A．﹣1 B．﹣C．D．110．（5分）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定11．（5分）设f（x）=x3+bx2+cx，又m是一个常数．已知当m＜0或m＞4时，f（x）﹣m=0只有一个实根；当0＜m＜4时，f（x）﹣m=0有三个相异实根，现给出下列命题：（1）f（x）﹣4=0和f'（x）=0有一个相同的实根；（2）f（x）=0和f'（x）=0有一个相同的实根；（3）f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根；（4）f（x）+5=0的任一实根小于f（x）﹣2=0的任一实根．其中错误命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．112．（5分）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为F1F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1•e2的取值范围是（）A．（0，）B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）顶点在原点，经过圆C：x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）已知直线x+y=a与圆x2+y2=4交于A、B两点，O是坐标原点，向量、满足，则实数a的．16．（5分）已知函数f（x）=2ae x（a＞0，e为自然对数的底数）的图象与直线x=0的交点为M，函数g（x）=ln（a＞0）的图象与直线y=0的交点为N，|MN|恰好是点M到函数g（x）=ln （a＞0）图象上的最小值，则实数a的值是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（普通班学生做）在△ABC中，tanA=，tanB=．（1）求角C的大小；（2）若△ABC最大边的边长为，求最小边的边长及△ABC的面积．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=，a n=﹣2S n•S n﹣1（n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）求S n和a n．19．（12分）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．20．（12分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且经过点M．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存过点P（2，1）的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，求a的取值范围．请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连接MC，MB，OT．（Ⅰ）求证：DT•DM=DO•DC；（Ⅱ）若∠DOT=60°，试求∠BMC的大小．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线l经过点，倾斜角，圆C的极坐标方程为（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．选修4-5：不等式选讲24．对于任意的实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a﹣b|≥M•|a|恒成立，记实数M的最大值是m．（1）求m的值；（2）解不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤m．吉林省实验中学2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

吉林省实验中学2015---2016学年度下学期高一年级物理学科期末考试试题说明：1．本试卷满分100分，考试时间90分钟；2．将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡。

第Ⅰ卷（客观题60分）一．单项选择题（本大题共14个小题，在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题意的，选对的得3分，错选的得0分，共42分）1. 一个人乘电梯从1楼到18楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则电梯支持力对人做功情况是 A. 始终做正功B. 加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功C. 加速时做正功，匀速和减速时做负功D. 加速和匀速时做正功，减速时做负功2. 一质量为m 的物体静止在光滑的水平面上，从某一时刻开始受到恒定的水平力F 作用，物体运动了一段时间t ，该段时间内力F 做的功和t 时刻力F 的功率分别为 A. F 2t 22m ，F 2t 2m B. F 2t 2m ，F 2t m C. F 2t 22m ，F 2t m D. F 2t 2m ，F 2t 2m3. 某车以相同的功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的k 1和k 2倍，最大速率分别为v 1和v 2，则A. v 2＝k 1v 1B. v 2＝k 1k 2v 1C. v 2＝k 2k 1v 1 D. v 2＝k 2v 14. 汽车在平直公路上以速度v 0匀速行驶，发动机功率为P ，快进入闹市区时，司机减小了油门，使汽车的功率立即减小为P2，并保持此功率继续在平直公路上行驶。

设汽车行驶时所受的阻力恒定，则能正确反映从减小油门开始汽车的速度随时间变化的图象是5. 如图所示，质量为m 的小球（可视为质点），从离桌面H 高处由静止下落，桌面离地高度为h ，当地重力加速度数值为g 。

若以桌面为参考平面，小球落地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化量分别是 A. 0，mg (H +h )B. mgh ，－mg (H ＋h )C. －mgh ，mg (H －h )D. －mgh ，－mg (H ＋h )6. 如图所示，将质量为m 的小球以速度v 0由地面竖直向上抛出。

吉林省实验中学2016---2017学年度下学期高一年级数学学科期末考试试题一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝（A ） 5 （B ）10 （C ）2 5（D ）10（2）已知等差数列1,,a b ，等比数列3,2,5a b ++，则该等差数列的公差为（A ）3或3- （B ）3或1- （C ）3 （D ）3- （3）在10到2 000之间，形如2n(n ∈N *)的各数之和为（A ）1 008 （B ）2 040 （C ）2 032 （D ）2 016 （4）与向量a ＝(－5,12)方向相反的单位向量是（A ）(5，－12) （B ）(－513，1213)（C ）(12，－32)（D ）(513，－1213)（5）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（A ）8π3 （B ）82π3 （C ）82π （D ）32π3（6）已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆)，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是（A ）288＋36π （B ）60π （C ）288＋72π（D ）288＋18π（7）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（8）若直线l 1：kx －y －3＝0和l 2：x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k 等于 （A ）－3 （B ）－2 （C ）－12 或－1 （D ）12 或1（9）如图所示，正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则PA与BE 所成的角为（A ）π6 （B ）π4 （C ）π3 （D ）π2（10）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3，△ABC 的面积S △ABC ＝3，则△ABC 的周长为（A ）6 （B ）5 （C ）4（D ）4＋2 3（11）已知正项数列{}n a 中，()2221211111,2,22,n n n n n n a a a a a n b a a -++===+≥=+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，则40S 的值是 （A ）113（B ）103 （C ）10 （D ）11（12）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1棱长为1，点P 在线段BD 1上，当∠APC 最大时，三棱锥P－ABC 的体积为（A ）124 （B ）118 （C ）19（D ）112二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

吉林省实验中学2014—2015学年度下学期期末考试高一数学文试题一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共计60分） 1.下列说法正确的是A.三点确定一个平面B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形D.平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2．设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是( )①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ； ②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 3. 若等差数列}{n a 的前3项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ）A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知数列}{n a 是等比数列，且811=a ，14-=a ，则数列}{n a 的公比q 为（ ） A. 2 B. 21- C. -2 D. 215. 在ABC ∆中，︒=60A ，34=a ，24=b ，则B 等于（ ）A. ︒45或︒135B. ︒135C. ︒45D. 以上答案都不对6. 已知01,0<<-<b a ，则下列不等式中正确的是（ ）A. 2ab ab a >>B. 2ab ab a << C. 2ab a ab >> D. a ab ab >>27. 若ABC ∆的三个内角满足13:12:5sin :sin :sin =C B A ，则ABC ∆（ ）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形 8.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A. 283π-B. 83π- C. 82π- D. 23π9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1－AB －C 的平面角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 10.等差数列{}n a 中，首项01>a ，公差0≠d ，前n 项和为n S ()*∈Nn .有下列命题①若113S S =，则必有014=S ； ②若113S S =，则必有7S 是n S 中最大的项；③若87S S >，则必有98S S >； ④若87S S >，则必有96S S >； 其中正确的命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11．如图，在正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体，使G 1，G 2，G 3三点重合于点G ，这样，下列五个结论：(1)SG ⊥平面EFG ；(2)SD ⊥平面EFG ；(3)GF ⊥平面SEF ；(4)EF ⊥平面GSD ；(5)GD ⊥平面SEF .正确的是( )A ．(1)和(3)B ．(2)和(5)C ．(1)和(4)D ．(2)和(4)12．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误的 是( )A ．BD ∥平面CB 1D 1 B ．AC 1⊥BDC ．AC 1⊥平面CB 1D 1D ．异面直线AD 与CB 1所成的角为60°二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共计20分） 13. 如果33log log 4m n +=，那么n m +的最小值是 .14.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 .15．已知△ABC 为直角三角形，且090=∠ACB ，AB=10，点P 是平面ABC 外一点，若PA=PB=PC ，且P Ｏ⊥平面ABC ，Ｏ为垂足，则ＯＣ=__________________．16. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且,511=+b a 1a 、*∈N b 1。

吉林省实验中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．直线的倾斜角为A. B。

C。

D。

【答案】D【解析】本题考查直线的倾斜角与斜率。

解答本题时要注意根据直线的方程确定直线的斜率再得到倾斜角.由题可得，，所以，故选D。

2．过点，且与直线垂直的直线方程为A。

B. C。

D.【答案】A【解析】本题主要考查直线的方程.解答本题时要注意利用垂直直线的方程表示，采用待定系数法求解方程。

由题可得，设所求直线方程为，其过点,代入得，.所以所求直线方程为。

故选A。

3．如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后,其中两个完全一样的是A.(1)(2）B.(2）(3)C.(3）（4）D.(1）(4)【答案】B【解析】本题主要考查旋转体的概念及其性质。

让其中一个正方形不动，其余各面沿这个正方形的各边折起,进行想象后判断。

在图（2）(3）中，⑤不动，把图形折起，则②⑤为对面,①④为对面,③⑥为对面，故图（2)（3）完全一样，而（1)（4)则不同。

4．已知三条直线两两垂直，下列说法正确的是A。

这三条直线必共点B。

这三条直线不可能在同一平面内C.其中必有两条直线异面 D。

其中必有两条直线共面【答案】B【解析】本题考查空间直线的位置关系.本题可以采用排除法.空间中两两垂直的三条直线可以有一个公共点，也可以三条直线两两异面，也可以三条直线共面.结合上述情况可知，本题选B。

5．若某几何体的三视图如图所示,此几何体的体积为A.144B.112 C。

114 D.122【答案】A【解析】本题考查空间几何体的三视图、体积。

解答本题时要注意能够根据给出的三视图确定几何体的结构特点，然后求解体积。

由题可得,该几何体是一个棱台与长方体的组合体。

所以其体积为。

故选A.6．由曲线与所围成较小扇形的面积是A. B. C. D。

【答案】C【解析】本题考查直线与圆的位置关系。

解答本题时要注意根据给出的曲线与圆的位置情况,确定扇形的情况,然后计算其面积。

吉林省实验中学2014—2015学年度下学期期末考试高一数学理试题一、选择题．（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填涂在答题卡上）1.已知数列{}n a 的通项公式为234(*)n a n n n N =--∈，则4a 等于（ ） A.1B.2C.0D.32.在ABC ∆中，设BC ,a AC b == u u u r r u u u r r，且2,3,3a b a b ==⋅= r r r r ，则∠C 的大小为（ ）A ．30。

B ．60。

C ．120。

D ．150。

3．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的 ( )．A ．2倍B ．4．已知a ，b 为非零实数且a<b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．ab 2>a 2bC ．1ab 2<1a 2bD ．b a <ab5对于直线m ，n 和平面α，β，γ，有如下四个命题： (1)若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α (2)若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α (3)若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ,(4)若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥β 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是( )A ．203B ．163C ．8－π6D ．8－π37.在数列{}n a 中，已知11a 1,21n n a a +==+则其通项公式为n a ＝( )A ． 21n -B ．-121n - C ．2n －1D ．2(n －1)8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，∠B ＝6π，∠C ＝4π，则△ABC 的面积为( )A ． C ．9.如图，在长方体1111ABCD A B C D - 中，AB=BC=2，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的余弦值为（ ）A．10等差数列{}n a 中，公差0d ≠，，12221413,,,,,,,n k k k a a a a a a a a =L L 若成等比数列，，则n k = ( ) A ．nd B ．23+nC ．13+nD ．n 311正数y x y x y x y x ++=++则满足,log log )3(log ,222的取值范围是 （ ） A ．]6,0( B ．),6[+∞ C ．),71[+∞+ D ．]71,0(+12．在正三棱柱111C B A ABC -中，AB ＝1，若二面角1C AB C --的大小为60°，则点C 到平面AB C 1的距离为 ( )A. 1B.12 C. D ．34 二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应的横线上．） 13已知数列{}n a 的前n 项和n n S 23+=，则数列{}n a 的通项公式为 14一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 成60°角；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD ，其中正确的是15. 要制作一个容积为43m ，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_________(单位：元)．16. 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点12,P P 分别是线段AB ，1BD(不包括端点)上的动点，且线段12PP 平行平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是三、解答题．（本大题共6小题，满分70分.解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.（本题10分）已知不等式20x bx c ++>的解集为{}21x x x ><或。

2014-2015学年吉林省吉林市实验中学高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）下列命题中，正确的是（）A．||=||⇒=B．||＞||⇒＞C．||=||⇒∥D．||=0⇒=2．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58B．88C．143D．1763．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0C．3D．5．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a，b，c 成等差数列，且c=a，则cosB=（）A．B．C．D．6．（5分）一船向正北方向航行，看见它的正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上．船继续航行半小时后，看见这两个灯塔恰好与它在一条直线上．船继续航行半个小时后，看见这两个灯塔中，一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．5 海里C．10海里D．10海里7．（5分）在等比数列{a n}中，a9+a10=a（a≠0），a19+a20=b，则a99+a100等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a1=f（x+1），a2=0，a3=f（x﹣1），其中f（x）=log2x，则a4=（）A．﹣log2（3+2）B．﹣log2（+1）C．log2（3+2）D．log2（+1）9．（5分）已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1=1且前n项的和S n满足=（）（n∈N*，且n≥2），则aA．638B．639C．640D．64110．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC 上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．11．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且数列{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．（5分）已知向量，满足||=3，且•=﹣12，则向量在向量方向上的投影．14．（5分）已知△ABC中，∠ABC=45°，AB=，BC=3，则sin∠BAC=．15．（5分）若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|﹣|=|+﹣2 |，则△ABC的形状为．16．（5分）已知数列{a n}满足：++…+=（32n﹣1），n∈N*．若b n=log3，则++…+=．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（Ⅰ）若等差数列{a n}满足：a1=20，a n=54，前n项和S n=999，求公差d及项数n；（Ⅱ）若等比数列{a n}满足：a1=﹣1，a4=64，求公比q及前n项和S n．18．（12分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若•=•=1．（Ⅰ）求证：A=B；（Ⅱ）求边长c的值；（Ⅲ）若|+|=，求△ABC的面积．20．（12分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．21．（12分）设公比大于零的等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S4=5S2，数列{b n}的前n项和为T n，满足b1=1，，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设C n=（S n+1）（nb n﹣λ），若数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．22．（12分）已知f（x）=log m x（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2），…，f（a n）（n∈N+）是首项为4，公差为2的等差数列．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若b n=a n f（a n），记数列{b n}的前n项和为S n，当时，求S n；（3）若c n=a n lga n，问是否存在实数m，使得{c n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m的取值范围．2014-2015学年吉林省吉林市实验中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1．（5分）下列命题中，正确的是（）A．||=||⇒=B．||＞||⇒＞C．||=||⇒∥D．||=0⇒=【解答】解：对于A，||=||时，与不一定相等，因为它们的方向不一定相同，∴A错误；对于B，向量、既有方向，又有大小，∴与不能比较大小，B错误；对于C，||=||时，与不一定平行，因为它们的方向不一定相同或相反，∴C错误；对于D，||=0时，=，因为零向量的模长等于0，∴D正确．故选：D．2．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=（）A．58B．88C．143D．176【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，∴a1+a11=a4+a8=16，∴S11==88，故选：B．3．（5分）在下列向量组中，可以把向量=（3，2）表示出来的是（）A．=（0，0），=（1，2）B．=（﹣1，2），=（5，﹣2）C．=（3，5），=（6，10）D．=（2，﹣3），=（﹣2，3）【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3=﹣λ+5μ，2=2λ﹣2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能．选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C不能．选项D：（3，2）=λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3=2λ﹣2μ，2=﹣3λ+3μ，无解，故选项D不能．故选：B．4．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1）且（2﹣3）⊥，则实数k=（）A．﹣B．0C．3D．【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1）∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵（2﹣3）⊥，∴（2﹣3）•=0'∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得，k=3．故选：C．5．（5分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a，b，c 成等差数列，且c=a，则cosB=（）A．B．C．D．【解答】解：若a，b，c成等差数列，则a+c=2b，由c=a，可得b=a，由余弦定理可得，cosB===．故选：C．6．（5分）一船向正北方向航行，看见它的正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上．船继续航行半小时后，看见这两个灯塔恰好与它在一条直线上．船继续航行半个小时后，看见这两个灯塔中，一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时（）A．5海里B．5 海里C．10海里D．10海里【解答】解：如图，依题意有∠BAC=60°，∠BAD=75°，所以∠CAD=∠CDA=15°，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是=10（海里/小时）．故选：D．7．（5分）在等比数列{a n}中，a9+a10=a（a≠0），a19+a20=b，则a99+a100等于（）A．B．C．D．【解答】解：由等比数列的性质可得a9+a10，a19+a20，a29+a30，a39+a40，…成等比数列，公比为=，∴a99+a100=（a9+a10）=a×=，故选：A．8．（5分）已知数列{a n}是等差数列，a1=f（x+1），a2=0，a3=f（x﹣1），其中f（x）=log2x，则a4=（）A．﹣log2（3+2）B．﹣log2（+1）C．log2（3+2）D．log2（+1）【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，所以a1+a3=2a2，即f（x+1）+f（x﹣1）=0，又f（x）=log2x，所以log2（x+1）+log2（x﹣1）=0，整理得x2﹣1=1，解得x1=，或x2=﹣．当x1=时，a1=f（x+1）=f（+1）=log2（+1），d=a2﹣a1=0﹣log2（+1）=log2（﹣1），∴a4=log2（+1）+（4﹣1）×log2（﹣1）=log2（+1）•=﹣log2（3+2）故选：A．9．（5分）已知每项均大于零的数列{a n}中，首项a1=1且前n项的和S n满足=（）（n∈N*，且n≥2），则aA．638B．639C．640D．641【解答】解：∵，∴=2（n∈N*，且n≥2），∵a 1=1，∴=1∴{}是以1为首项，2为公差的等差数列∴=1+2（n﹣1）=2n﹣1∴S n=4n2﹣4n+1．∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（4n2﹣4n+1）﹣[4（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=8n﹣8．∴a81=8×81﹣8=640故选：C．10．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=++ +=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故选：C．11．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且数列{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）【解答】解：根据题意，a n=f（n）=，要使{a n}是递增数列，必有：，解得，4＜a＜8．故选：C．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）13．（5分）已知向量，满足||=3，且•=﹣12，则向量在向量方向上的投影﹣4．【解答】解：由已知=﹣4；故答案为：﹣4．14．（5分）已知△ABC中，∠ABC=45°，AB=，BC=3，则sin∠BAC=．【解答】解：∵∠ABC=45°，AB=，BC=3，∴由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣2×=5，可得AC=，∴由正弦定理可得：sin∠BAC===．故答案为：．15．（5分）若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|﹣|=|+﹣2 |，则△ABC的形状为直角三角形．【解答】解：∵，，∴，即||=∵，∴，由此可得以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形，∴∠BAC=90°，得△ABC的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形．16．（5分）已知数列{a n}满足：++…+=（32n﹣1），n∈N*．若b n=log3，则++…+=．【解答】解：当n=1时，=3，当n≥2，n∈N*时，++…+=（32n﹣1）①，++…+=（32n﹣2﹣1）②；①﹣②得，=（32n﹣1﹣（32n﹣2﹣1））=32n﹣1，=3也成立，故=32n﹣1，故=31﹣2n，故b n=log3=log331﹣2n=1﹣2n，故==（﹣）；故++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．故答案为：．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（Ⅰ）若等差数列{a n}满足：a1=20，a n=54，前n项和S n=999，求公差d及项数n；（Ⅱ）若等比数列{a n}满足：a1=﹣1，a4=64，求公比q及前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）S n=•n=999，即37n=999，解得，n=27；由a n=a1+（n﹣1）d=54，即20+（27﹣1）d=54，解得，d=；（Ⅱ）a4=a1•q3=64，即﹣1•q3=64，解得，q=﹣4；故S n==．18．（12分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．【解答】解：（1）设，∵||=2，且∥，∴，…（3分）解得或，…（5分）故或．…（6分）（2）∵，∴，即，…（8分）∴，整理得，…（10分）∴，…（12分）又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…（14分）19．（12分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若•=•=1．（Ⅰ）求证：A=B；（Ⅱ）求边长c的值；（Ⅲ）若|+|=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵•=•．∴bccosA=accosB，即bcosA=acosB由正弦定理得sinBcosA=sinAcosB∴sin（A﹣B）=0∵﹣π＜A﹣B＜π∴A﹣B=0，∴A=B（Ⅱ）∵•=1，∴bccosA=1由余弦定理得bc•=1，即b2+c2﹣a2=2∵由（Ⅰ）得a=b，∴c2=2，∴c=（Ⅲ）∵|+|=，∴||2+||2+2|•|=6即c2+b2+2=6∴c2+b2=4∵c2=2∴b2=2，b=∴△ABC为正三角形∴S=×（）2=△ABC20．（12分）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵a、b、c成等差，且公差为2，∴a=c﹣4、b=c﹣2．又∵，，∴，∴，恒等变形得c2﹣9c+14=0，解得c=7，或c=2．又∵c＞4，∴c=7．…（6分）（Ⅱ）在△ABC中，由正弦定理可得，∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|===，…（10分）又∵，∴，∴当，即时，f（θ）取得最大值．…（12分）21．（12分）设公比大于零的等比数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S4=5S2，数列{b n}的前n项和为T n，满足b1=1，，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）设C n=（S n+1）（nb n﹣λ），若数列{C n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．【解答】（本题满分14分）解：（Ⅰ）由S4=5S2，q＞0，得…（3分）又T n=T n﹣1+b n，（n＞1），则得所以，当n=1时也满足．…（7分）（Ⅱ）因为，所以，使数列{C n}是单调递减数列，则对n∈N*都成立，…（10分）即，…（12分），当n=1或2时，，所以．…（14分）22．（12分）已知f（x）=log m x（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2），…，f（a n）（n∈N+）是首项为4，公差为2的等差数列．（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）若b n=a n f（a n），记数列{b n}的前n项和为S n，当时，求S n；（3）若c n=a n lga n，问是否存在实数m，使得{c n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题意f（a n）=4+2（n﹣1）=2n+2，即log m a n=2n+2，∴a n=m2n+2∴∵m＞0且m≠1，∴m2为非零常数，∴数列{a n}是以m4为首项，m2为公比的等比数列（2）由题意b n=a n f（a n）=m2n+2log m m2n+2=（2n+2）•m2n+2，当∴S n=2•23+3•24+4•25+…+（n+1）•2n+2①①式乘以2，得2S n=2•24+3•25+4•26+…+n•2n+2+（n+1）•2n+3②②﹣①并整理，得S n=﹣2•23﹣24﹣25﹣26﹣…﹣2n+2+（n+1）•2n+3=﹣23﹣[23+24+25+…+2n+2]+（n+1）•2n+3==﹣23+23（1﹣2n）+（n+1）•2n+3=2n+3•n（3）由题意c n=a n lga n=（2n+2）•m2n+2lgm，要使c n﹣1＜c n对一切n≥2成立，即nlgm＜（n+1）•m2•lgm对一切n≥2成立，①当m＞1时，n＜（n+1）m2对n≥2成立；②当0＜m＜1时，n＞（n+1）m2∴对一切n≥2成立，只需，解得，考虑到0＜m＜1，∴0＜m＜．综上，当0＜m＜或m＞1时，数列{c n}中每一项恒小于它后面的项。

吉林省实验中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）（1）直线10x +=的倾斜角为（ ） （A ）30︒ （B ）60︒（C ）120︒（D ）150︒【答案】D考点：1、直线的方程；2、直线的倾斜角与斜率.（2）过点()1,2，且与直线220x y ++=垂直的直线方程为（ ） （A ）20x y -= （B ）230x y -+= （C ）240x y +-= （D ）250x y +-=【答案】A 【解析】试题分析：因为220x y ++=的斜率为12-， 所以过点()1,2，且与直线220x y ++=垂直的直线的斜率为2，因此过点()1,2，且与直线220x y ++=垂直的直线的方程为()221,y x -=- 既是20x y -=,故选A.考点：1、直线垂直的性质；2、点斜式求直线方程.（3）如下图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（ ）（A）（1）（2）（B）（2）（3）（C）（3）（4）（D）（1）（4）【答案】B【解析】试题分析：结合四个展开图，将他们复原为几何体，如下各图，不难看出完全相同的一组是：（3）（4），都是②⑤，①④，③⑥相对，而且顺序相同，故选B.考点：1、几何体的直观图；2、几何体的平面展开图.（4）已知三条直线两两垂直，下列说法正确的是（）（A）这三条直线必共点（B）这三条直线不可能在同一平面内（C）其中必有两条直线异面（D）其中必有两条直线共面【答案】B【解析】试题分析：三直线垂直，想到空间直角坐标系的3条轴，立即排除C；将x轴沿着y轴移动，可排除A；将x 轴沿着y轴移动,再把x轴沿着z轴方向移动可得三直线两两异面，排除D；对于B：若在同一平面内，则同垂直于一条直线的两直线平行，与已知矛盾，故必不在同一直线，所以正确，故选B.考点：空间直线的位置关系.（5）若某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为（ ） （A ）144 （B ）112 （C ）114（D ）122【答案】A考点：1、几何体的三视图；2、几何体的体积.【方法点睛】本题主要考查三视图及空间几何体的体积，属于中档题. 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：（1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解；(3)求以三视图为背景的几何体的体积时应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.（6）由曲线1y x =-与()2214x y -+=所围成较小扇形的面积是（ ） （A ）4π（B ）34π （C ）π（D ）32π 【答案】C【解析】试题分析：在坐标系中画出曲线，一个是半径为2的圆，一个是一条折线，围成较小的面积是圆的面积的四分之一，面积为2124ππ⨯⨯=，故选C.考点：1、曲线与方程；2、圆的面积公式.（7）空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AC 、BD 中点，若2CD AB =，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的 角为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°【答案】A 【解析】试题分析：设4CD =，取AD 的中点G ，连接,GE GF ，则GE CD ，且12GE CD =2=，则FEG ∠即为EF 与CD 所成的角，GF AB ，且112GF AB ==又,,30EF AB EF GF FEG ⊥∴⊥∴∠=︒，故选A.考点：1、异面直线所成的角；2、中位线的性质.（8）已知()2,1A -，()1,2B ，点C 为直线13y x =上的动点，则AC BC +的最小值为（ ）（A ）（B ） （C ） （D ）【答案】C考点：1、中点坐标公式；2、两直线垂直的性质及几何法求最值.（9）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方 程是（ ）（A ）(x －3)2＋(y －1)2＝1 （B ）(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 （C ）(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 （D ）(x －2)2＋(y －1)2＝1【答案】D 【解析】试题分析：设圆心坐标为()(),0,0a b a b >>由圆与直线430x y -=相切，可得圆心到直线的距离4315a bd r -===,化简得435a b -=,又圆与x 轴相切可得1b r ==，解得1b =或1b =-（舍去），把1b =代入435a b -=得435a -=或435a -=-，解得2a =或2a 1=-，∴圆心坐标为()2,1，则标准方程为22()(21)1x y －＋－＝，故选D.考点：1、待定系数法求圆的方程；2、点到直线距离公式. （10）若正实数a ，b 满足1a b +=，则（ ） （A ）11a b+有最大值4 （B ）ab 有最小值14（C （D ）22a b +【答案】C考点：基本不等式求最值.（11）在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =， 13AA =，则该球体积V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π（C ）6π （D ）323π 【答案】B 【解析】 试题分析：,6,8,10AB BC AB BC AC ⊥==∴=，故三角形ABC 的内切圆半径681022r +-==，又由13AA =得直三棱柱111-ABC A B C 的内切球半径为32，此时V 的最大值3439322ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选B.考点：1、三角形的内切圆；2、多面体的内切球及球的体积公式.【方法点晴】本题主要考查三角形的内切圆、多面体的内切球及球的体积公式，属于难题. 多面体内切球问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都与球相切，切点与球心连线都与面垂直；②多面体的体积等于以球心为顶点，以多面体各面为底面、高为球半径的棱锥体积的和.（12）已知圆C ：2268240x y x y +--+=和两点(),0A m -，(),0B m ()0m >，若圆C 上存在点P ， 使得0AP BP ⋅=，则m 的最大值与最小值之差为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】B 【解析】试题分析：圆C 的方程化为()()22341x y -+-=，可设()3cos ,4sin P θθ++，()3cos ,4sin PA m θθ+++，()3cos ,4sin PB m θθ+-+,由0PA PB -=得，()()()223cos 4sin 266sin 8sin 26+m θθθθφ=+++=++=+，21636,46m m ≤≤≤≤，m 的最大值与最小值的差为642-=，故选B.考点：1、平面向量的数量积公式；2、圆的参数方程的应用及三角函数求最值.【方法点晴】本题主要考查平面向量的数量积公式、圆的参数方程的应用及三角函数求最值，属于难题.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成2sin sin y a x b x c =++的形式利用配方法求最值；②形如sin sin a x by c x d+=+的可化为sin ()x y φ=的形式利用三角函数有界性求最值；③sin cos y a x b x=+型，可化为)y x φ=+求最值 .本题是利用方法③的思路解答的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）（13）直线1l ：310ax y ++=，2l ：()2110x a y +++=，若12∥l l ，则a = ． 【答案】3-考点：两直线平行的性质.（14）若变量x ，y 满足约束条件20,0≤≥≥x y x y ⎪-⎨⎪⎩，则2x ＋y 的最大值为 ．【答案】7 【解析】试题分析：420,0x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩≤①≤②≥≥，≤≤①+②2x 6,x 3 ③，①+③得2347x x y x y ++=+≤+=，即2x y +的最大值为7，故答案为7. 考点：不等式的性质.（15）已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2214x y a -+-=相交于A ，B 两点，且ABC ∆为 等边三角形，则实数a = ．【答案】4考点：1、等边三角形的性质；2、点到直线距离公式.【思路点睛】本题主要考查等边三角形的性质、点到直线距离公式.属于中档题.要求实数a 的值，就需要列出关于a 的方程，首先，根据ABC ∆为正三角形且一个顶点为圆心，另外两个顶点在圆周上可知正三角形的边长为圆()()2214x y a -+-=的半径2，进而可得三角形顶点C 到底边AB2= ，然后根据()1,a 到直线20ax y +-=即可列出关于a 的方程. （16）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3B π=，b =，则2ac +的最大值为 ．【答案】【解析】试题分析：有正弦定理得22sin R B===，222sin 2sin a c R A R C ∴+=⨯++ 222sin sin 3A A π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5sin A A =()A φ=+≤,所以2a c +的最大值为，故答案为考点：1、三角形内角和定理；2、正弦定理以两角和正弦公式.【方法点睛】本题主要考查三角形内角和定理、正弦定理以两角和正弦公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，本题就是根据这种思路利用正弦定理将2a c +化成三角函数后，再根据三角函数有界性求最值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）（本小题10分）已知ABC ∆的顶点()5,1A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为250x y --=，AC 边上的高BH 所在直线方 程为250x y --=．求： （1）顶点C 的坐标； （2）直线BC 的方程．【答案】（1）()4,3；（2）6590x y --=.试题解析：（1）由题意，得直线AC 的方程为2110x y +-=； 解方程组2502110x y x y --=⎧⎨+-=⎩，得点C 的坐标为()4,3．（2）设()00,B x y ，则0051,22x y M ++⎛⎫⎪⎝⎭．于是有005125022x y ++⋅--=，即00210x y --=． 解方程组0000250210x y x y --=⎧⎨--=⎩，得点B 的坐标为()1,3--．于是直线BC 的方程为6590x y --=．考点：1、直线垂直的性质；2、直线交点的求法及直线方程的应用. （18）（本小题12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin cos b A B =． （1）求角B 的大小；（2）若3b =，sin 2sin C A =，求a ，c 的值． 【答案】（1）3B π=；（2）a c ==.（2）由sin C ＝2sin A 及sin sin Ca c=A ，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以ac＝考点：1、正弦定理的应用；2、余弦定理的应用. （19）（本小题12分）如图所示在圆锥PO中，已知PO ，⊙O 的直径2AB =，C 是AB 上的点（点C 不与AB 重合），D 为AC 中点．（1）证明：平面POD ⊥平面PAC ；（2）求圆锥PO 的表面积．【答案】（1）证明见解析；（2）(1S π=.（2）解：∵PO =112r OB AB ===，∴母线l PB ===∴表面积(2111S r rl πππππ=+=⨯+⨯=+．考点：1、直线和平面垂直的判定定理；2、平面和平面的判定定理及圆锥的表面积. （20）（本小题12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，ACD ∆与ACB ∆是边长为2的等边三角形，2BE =，BE 和平面ABC 所成的角为60︒，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上．（1）求证：∥DE 平面ABC ； （2）求二面角E BC A --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2.试题解析：（1）证明：由题意知， ACD ∆与ACB ∆是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ， 连接,BO DO ，则BO AC ⊥，DO AC ⊥又因为平面ACD ⊥平面ABC ，所以DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么//EF DO ，所以点F 落在BO 上，所以60EBF ∠=︒，2BE =所以EF =ACD ∆是边长为2的等边三角形所以DO =…………4分所以四边形DEFO 是平行四边形，所以//DE FO ，DE ⊄面ABC ，FO ⊂面ABC所以//DE 平面ABC …………6分考点：1、线面平行的判定定理；2、线面垂直的判定定理及二面角的求法.（21）（本小题12分）已知曲线C 的方程为：222240ax ay a x y +--=，其中：0a ≠且a 为常数．（1）判断曲线C 的形状，并说明理由；（2）设曲线C 分别与x 轴，y 轴交于点A ，B （A ，B 不同于坐标原点O ），试判断AOB ∆的面积S 是否为定 值？并证明你的判断；（3）设直线l ：24y x =-+与曲线C 交于不同的两点M ，N ，且OM ON =（O 为坐标原点），求曲线C 的 方程．【答案】（1）曲线C 是以点2,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭为半径的圆；（2）定值为4；（3）22420x y x y +--=.【解析】试题解析：（1）将曲线C 的方程化为x 2＋y 2－2ax －4a y ＝0⇒(x －a )2＋(y －2a )2＝a 2＋24a，可知曲线C 是以点(a ，2a) （2）△AOB 的面积S 为定值．证明如下：在曲线C 的方程中令y ＝0，得ax (x －2a )＝0，得点A (2a ，0)，在曲线C 方程中令x ＝0，得y (ay －4)＝0，得点B (0，4a)， ∴S ＝12|OA |·|OB | ＝12·|2a |·|4a |＝4(定值)． （3）∵圆C 过坐标原点，且|OM |＝|ON |，∴OC ⊥MN ，∴22a ＝12， ∴a ＝±2，当a ＝－2时，圆心坐标为(－2，－1)，圆心到直线l ：y ＝－2x ＋4的距离d直线l 与圆C 相离，不合题意舍去， a ＝2时符合题意．这时曲线C 的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.考点：1、圆的方程及定制问题；2、轨迹方程的求法.【方法点睛】本题主要考查圆的方程和性质、动点的轨迹方程及曲线交点坐标，属于难题.求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.本题（3）是利用方法③解答的.（22）（本小题12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n n S na a c =+-（c 是常数，*N n ∈），26a =． （1）求c 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设122n n n a b +-=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若22n T m >-对*N n ∈恒成立，求最大正整数m 的值． 【答案】（1）22n a n =+；（2）2.试题解析：（1）解:因为12n n n S na a c =+- 所以当1n =时，11112S a a c =+-，解得12a c = 当2n =时，222S a a c =+-即1222a a a a c +=+-，解得23a c =，所以36c =解得2c =则14a =，数列{}n a 的公差212d a a =-=所以1(1)22n a a n d n =+-=+．（2）因为112222222n n n n n a n n b ++-+-=== 所以231232222n n n T =++++ ① 2341112322222n n n T +=++++ ② －②得2341111111111222222222n n n n n n n T ++=+++++-=--， 所以222n n n T +=-因为1112121(2)(2)0222n n n n n n n n T T +++++++-=---=> 所以数列{}n T 单调递增，1T 最小，最小值为12所以1222m ⨯>- 所以3m <故正整数m 的最大值为2.考点：1、等差数列的通项公式；2、“错位相减法”求数列前n 项和.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.。

2015-2016学年吉林省实验中学高一(下)期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分,满分60分) 1．直线的倾斜角的大小是( ）A．30°B．60°C．120°D．150°2．过点(1，2），且与直线x+2y+2=0垂直的直线方程为（）A．2x﹣y=0 B．x﹣2y+3=0 C．2x+y﹣4=0D．x+2y﹣5=03．如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后,其中两个完全一样的是( ）A．(1）（2）B．(2）（3）C．（3）（4） D．（1)(4）4．已知三条直线两两垂直,下列说法正确的是( ) A．这三条直线必共点B．这三条直线不可能在同一平面内C．其中必有两条直线异面D．其中必有两条直线共面5．若某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为（）A．144 B．112 C．114 D．1226．由曲线y=｜x﹣1｜与（x﹣1）2+y2=4所围成较小扇形的面积是( ）A．B．C．π D．7．四面体ABCD中，E、F分别为AC、BD中点,若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知A(﹣2，1）,B（1,2）,点C为直线y=x上的动点，则｜AC｜+|BC｜的最小值为（) A．B．C．D．9．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x ﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( ) A．(x﹣2)2+(y﹣1）2=1 B．（x﹣2)2+（y+1）2=1 C．（x+2)2+(y﹣1）2=1 D．（x﹣3）2+（y﹣1）2=1 10．若正实数a，b满足a+b=1,则（)A．有最大值4 B．ab有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值11．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是( ）A．4πB．C．6πD．12．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+24=0和两点A（﹣m,0），B（m,0）（m＞0）,若圆C上存在点P，使得，则m的最大值与最小值之差为( ）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分．）13．直线l1：ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1)y+1=0，若l1∥l2，则a= ．14．设变量x，y满足约束条件，则其目标函数z=2x+y的最大值为．15．已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a= ．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若∠B=60°,b=，则2a+c的最大值是．三、解答题:（本大题共6小题，其中17小题10分，18~22小题每小题10分；解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC的顶点A（5,1）,AB边上的中线CM 所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1)顶点C的坐标;（2）直线BC的方程．18．在△ABC中,内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小;（2）若b=3,sinC=2sinA,分别求a和c的值．19．如图所示在圆锥PO中,已知PO=，⊙O的直径AB=2,C是上的点（点C不与AB重合），D为AC 中点．（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）求圆锥PO的表面积．20．在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．21．已知曲线C的方程为:ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0（a≠0，a为常数）．（1)判断曲线C的形状；（2）设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B（A、B 不同于原点O），试判断△AOB的面积S是否为定值?并证明你的判断；（3）设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM|=｜ON|，求曲线C的方程．22．设等差数列｛a n}的前n项和为S n，且S n=na n+a n ﹣c(c是常数,n∈N＊），a2=6．（Ⅰ）求c的值及数列｛a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n｝的前n项和为T n，若2T n ＞m﹣2对n∈N*恒成立，求最大正整数m的值．2015—2016学年吉林省实验中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．直线的倾斜角的大小是( ）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】设出直线的倾斜角，求出斜率，就是倾斜角的正切值，然后求出倾斜角．【解答】解：设直线的倾斜角为α,由题意直线的斜率为，即tanα=所以α=150°故选D．2．过点(1，2)，且与直线x+2y+2=0垂直的直线方程为( ）A．2x﹣y=0 B．x﹣2y+3=0 C．2x+y﹣4=0D．x+2y﹣5=0【考点】直线的点斜式方程．【分析】与直线x+2y+2=0垂直的直线方程的斜率k=2,由此能求出过点P（1,2）与直线x+2y+2=0垂直的直线方程．【解答】解：∵与直线x+2y+2=0垂直的直线方程的斜率k=2,∴过点P（1，2）与直线x+2y+2=0垂直的直线方程为：y﹣2=2(x﹣1），整理，得2x﹣y=0．故选：A3．如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（）A．(1)（2) B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）【考点】棱柱的结构特征;表面展开图．【分析】分别判断出还原成正方体后，相对面的标号，可得答案．【解答】解：（1）图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；(2）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面;（3)图还原后,①④对面，②⑤对面，③⑥对面;（4）图还原后，①⑥对面，②⑤对面,③④对面;综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是（2）（3），故选:B4．已知三条直线两两垂直，下列说法正确的是（）A．这三条直线必共点B．这三条直线不可能在同一平面内C．其中必有两条直线异面D．其中必有两条直线共面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】在A中，两两垂直的三条直线有可能不共点；在B中,设假设三条直线共面,由定理：同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行,得到假设不成立;在C中，正方体中交于同一点的三条直线两两垂直；在D中，可以存在两两异面的三条直线两两垂直．【解答】解：由三条直线两两垂直，得：在A中，两两垂直的三条直线有可能不共点，故A错误；在B中,设三条直线为a、b、c．假设三条直线共面，因为a⊥b，a⊥c 由定理:同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行，所以b∥c与已知不符，所以假设不成立．故这三条直线不可能在同一平面内，故B正确;在C中,正方体中交于同一点的三条直线两两垂直，不存在两条直线异面，故C错误；在D中，可以存在两两异面的三条直线两两垂直,故D 错误．故选：B．5．若某几何体的三视图如图所示，此几何体的体积为（)A．144 B．112 C．114 D．122【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正四棱柱与正四棱台的组合体,结合图中数据即可求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得;该几何体是上部为正四棱柱,下部为正四棱台的组合体，所以上部四棱柱的体积为V四棱柱=42×2=32；下部四棱台的体积为V四棱台=×（82+42+8×4）×3=112；所以该几何体的体积为V=V四棱柱+V四棱台=32+112=144．故选:A．6．由曲线y=|x﹣1|与（x﹣1）2+y2=4所围成较小扇形的面积是（）A．B．C．π D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据所给的方程可以看出两个图形一个是半径为2的圆一个是一条折线,围成较小的面积是圆的面积的四分之一,得到结果．【解答】解:（x﹣1)2+y2=4的圆心坐标为（1，0）,半径为2，由曲线y=|x﹣1｜与(x﹣1）2+y2=4所围成较小扇形的面积是圆的面积的四分之一，∴面积是=π．故选:C．7．四面体ABCD中,E、F分别为AC、BD中点，若CD=2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AD的中点G,连接EG、FG,由三角形中位线定理得EG∥CD，从而得到∠GEF是EF与CD所成的角，由此能求出EF与CD所成的角的大小．【解答】解：设CD=2AB=2，取AD的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别为AC、BD中点，∴EG∥CD，且EG=，FG∥AB,且FG==．∵EF⊥AB,FG∥AB，∴EF⊥FG．∵EG∥CD,∴∠GEF是EF与CD所成的角，在Rt△EFG中,∵EG=1，GF=,EF⊥FG，∴∠GEF=30°，即EF与CD所成的角为30°．故选：A．8．已知A(﹣2，1），B(1，2)，点C为直线y=x上的动点，则|AC|+｜BC|的最小值为( ）A．B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意可得A、B两点在直线y=x上的同侧,求得A关于直线的对称点M的坐标，故当点C为直线BM和直线y=x的交点时，｜AC|+|BC｜的最小值为｜BM｜．【解答】解：由题意A、B两点在直线y=x的同侧．设A关于直线y=x的对称点M的坐标为（a，b），则,解得a=﹣1，b=﹣2∴A关于直线的对称点M的坐标为（﹣1，﹣2）,故当点C为直线BM和直线y=x的交点时，|AC｜+|BC｜的最小值为|BM｜==2，故选：C．9．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x ﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A．(x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x﹣2）2+（y+1）2=1 C．（x+2)2+(y﹣1）2=1 D．（x﹣3）2+（y﹣1）2=1【考点】圆的标准方程．【分析】要求圆的标准方程，半径已知,只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x ﹣3y=0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即｜b｜等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b 的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：设圆心坐标为(a,b）（a＞0，b＞0），由圆与直线4x﹣3y=0相切，可得圆心到直线的距离d==r=1，化简得：|4a﹣3b|=5①，又圆与x轴相切，可得｜b|=r=1，解得b=1或b=﹣1（舍去）,把b=1代入①得：4a﹣3=5或4a﹣3=﹣5,解得a=2或a=﹣(舍去），∴圆心坐标为(2，1），则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．故选：A10．若正实数a，b满足a+b=1，则（）A．有最大值4 B．ab有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值【考点】基本不等式．【分析】由于==2+≥4,故A不正确．由基本不等式可得a+b=1≥2，可得ab≤,故B不正确．由于=1+2≤2，故≤,故C 正确．由a2+b2=(a+b)2﹣2ab≥1﹣=，故D不正确．【解答】解:∵正实数a，b满足a+b=1，∴==2+≥2+2=4，故有最小值4，故A不正确．由基本不等式可得a+b=1≥2,∴ab≤,故ab有最大值，故B不正确．由于=a+b+2=1+2≤2，∴≤，故有最大值为,故C正确．∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab=1﹣2ab≥1﹣=，故a2+b2有最小值,故D不正确．故选：C．11．在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8,AA1=3,则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8,∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2,又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选:B12．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+24=0和两点A（﹣m，0），B（m，0)（m＞0），若圆C上存在点P，使得,则m的最大值与最小值之差为（)A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】圆C：(x﹣3）2+(y﹣4)2=1的圆心C（3，4），半径r=1,设P（a,b)在圆C上,运用向量的加减和数量积运算可得，m2=a2+b2=｜OP|2,m的最值即为|OP|的最值，由圆上一点与圆外一点的距离的最值性质,即最值为d±r，即可得到所求差．【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C （3，4)，半径r=1，设P（a，b)在圆C上，则=(a+m,b），=（a﹣m,b），由•=0,可得（a+m)（a﹣m）+b2=0，即m2=a2+b2=｜OP|2，m的最大值即为|OP｜的最大值，等于|OC｜+r=5+1=6．m的最小值即为|OP｜的最小值，等于｜OC｜﹣r=5﹣1=4．则m的最大值与最小值之差为6﹣4=2．故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．) 13．直线l1:ax+3y+1=0，l2：2x+（a+1）y+1=0，若l1∥l2，则a= 2 ．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由两直线平行斜率相等解出等式，解方程求的a的值．【解答】解：∵直线l1：ax+3y+1=0与直线l2：2x+（a+1)y+1=0平行,∴a≠﹣1,且=，解得a=2或a=﹣3，当a=2时，两直线平行，故舍去，则a=﹣3；故答案为：﹣3．14．设变量x,y满足约束条件，则其目标函数z=2x+y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的四边形0CAB及其内部，再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=3且y=1时，z=2x+y取得最大值7．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的四边形0CAB及其内部,其中A（3，1)，B(0，4），C（2,0)，0（0，0)设z=F（x，y）=2x+y，将直线l:z=2x+y进行平移，当l经过点A时,目标函数z达到最大值∴z最大值=F（2，1)=2×3+1=7故答案为:715．已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣1）2+（y﹣a)2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a= 4±．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆心C（1，a），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=,即d=，平方得a2﹣8a+1=0，解得a=4±，故答案为：4±16．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别是a，b，c,若∠B=60°，b=，则2a+c的最大值是．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得得a=2sinA，c=2sinC，化为2a+c=5sinA+cosA，即可得出．【解答】解：由==2，得a=2sinA，c=2sinC，∴2a+c=4sinA+2sinC=4sinA+2sin=5sinA+cosA=sin( A+φ),其中φ=arctan．∴2a+c的最大值是2．故答案为:2．三、解答题：（本大题共6小题,其中17小题10分，18～22小题每小题10分;解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤．）17．已知△ABC的顶点A（5，1)，AB边上的中线CM 所在直线方程为2x﹣y﹣5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：（1）顶点C的坐标；（2）直线BC的方程．【考点】直线的一般式方程．【分析】(1）设C（m，n），利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出．【解答】解：（1）设C（m,n），∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．∴，解得．∴C（4,3）．(2）设B（a，b)，则，解得．∴B（﹣1，﹣3)．∴k BC==∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．18．在△ABC中，内角A，B,C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小;（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1)由bsinA=a•cosB，由正弦定理可得:sinBsinA=sinAcosB，化简整理即可得出．(2）由sinC=2sinA，可得c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，代入计算即可得出．【解答】解：（1)∵bsinA=a•cosB,由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0,∴sinB=cosB,B∈(0，π)，可知:cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2)∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=,∴．19．如图所示在圆锥PO中,已知PO=，⊙O的直径AB=2，C是上的点（点C不与AB重合），D为AC 中点．（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）求圆锥PO的表面积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）;平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ)根据△AOC是等腰直角三角形证出中线OD⊥AC，再结合PD⊥AC证出AC⊥POD，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面POD⊥平面PAC；（Ⅱ）求出母线,即可求圆锥PO的表面积．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA=PD，D是AC中点,∴PD⊥AC．…又∵OA=OC，D是AC中点，∴OD⊥AC．…又∵PD、OD⊂平面POD，且PD∩OD=D，∴AC⊥平面POD．…∴平面POD⊥平面PAC．…（Ⅱ）解:∵，底面半径，∴母线∴表面积．…20．在如图所示的空间几何体中,平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形,BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E 在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ)取AC中点O,连接BO，DO,由题设条件推导出DO⊥平面ABC,作EF⊥平面ABC,由已知条件推导出∠EBF=60°,由此能证明DE∥平面ABC．（Ⅱ）法一：作FG⊥BC，垂足为G,连接EG，能推导出∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．法二：以OA为x轴，以OB为y轴，以OD为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，△ABC,△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC,…又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意,点F落在BO上，∵BE和平面ABC所成的角为60°，∴∠EBF=60°，∵BE=2，∴，…∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE∥OF，∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC．…(Ⅱ)解法一：作FG⊥BC,垂足为G，连接EG，∵EF⊥平面ABC,∴EF⊥BC,又EF∩FG=F，∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…Rt△EFG中，,，．∴．即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，B（0，，0)，C（﹣1，0,0），E（0,，），∴=（﹣1,﹣，0）,=(0，﹣1,），平面ABC的一个法向量为设平面BCE的一个法向量为则,∴，∴．…所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…21．已知曲线C的方程为：ax2+ay2﹣2a2x﹣4y=0(a≠0,a 为常数）．（1）判断曲线C的形状;（2)设曲线C分别与x轴、y轴交于点A、B(A、B不同于原点O）,试判断△AOB的面积S是否为定值？并证明你的判断；（3)设直线l：y=﹣2x+4与曲线C交于不同的两点M、N，且|OM｜=｜ON|,求曲线C的方程．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】(1）把方程化为圆的标准方程,可得结论；(2）求出A，B的坐标，即可得出△AOB的面积S为定值；（3)由圆C过坐标原点,且|OM｜=|ON|,可得圆心(a，）在MN的垂直平分线上，从而求出a，再判断a=﹣2不合题意即可．【解答】解:(1）将曲线C的方程化为﹣﹣可知曲线C是以点（a，）为圆心,以为半径的圆．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）△AOB的面积S为定值．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣证明如下：在曲线C的方程中令y=0得ax（x﹣2a）=0，得点A （2a，0），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣在曲线C的方程中令x=0得y（ay﹣4）=0，得点B（0，），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴S=|OA｜|OB｜=|2a||｜=4(为定值）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3)∵圆C过坐标原点，且|OM|=|ON｜，∴圆心（a,）在MN的垂直平分线上，∴=，∴a=±2,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a=﹣2时,圆心坐标为（﹣2，﹣1)，圆的半径为,圆心到直线l：y=﹣2x+4的距离d==＞，直线l与圆C相离,不合题意舍去,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴a=2，这时曲线C的方程为x2+y2﹣4x﹣2y=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣22．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S n=na n+a n ﹣c（c是常数，n∈N＊），a2=6．(Ⅰ)求c的值及数列{a n｝的通项公式；(Ⅱ）设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,若2T n＞m ﹣2对n∈N＊恒成立，求最大正整数m的值．【考点】数列的求和;数列递推式．【分析】（I）利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵,当n=1时，,解得a1=2c，当n=2时,S2=a2+a2﹣c，即a1+a2=a2+a2﹣c，解得a2=3c，∴3c=6,解得c=2．则a1=4，数列{a n}的公差d=a2﹣a1=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2n+2．（Ⅱ)∵，∴①②①﹣②得，∴,∵，∴数列{T n｝单调递增，T1最小，最小值为,∴，∴m＜3，故正整数m的最大值为2．2016年9月5日。