运动学矢量法一般解题方法(修改稿)

总结矢量力学部分的常见考点及解题技巧矢量力学是力学中的重要分支之一，它研究力的叠加、力矩、物体的平衡以及刚体运动等内容。

在学习矢量力学部分时，我们常常会遇到一些考点和解题技巧。

本文将对矢量力学部分的常见考点进行总结，并分享一些解题技巧。

一、力的叠加在矢量力学中，我们经常会遇到多个力同时作用于一个物体的情况。

这时，我们需要将这些力进行合成，得到它们的合力。

在计算合力的过程中，可以选择使用几何法、代数法或三角法。

几何法适用于若干个力作用方向相对简单的情况，通过画图即可求得合力；代数法适用于若干个力作用方向不规则的情况，可以通过将力向量分解为平行分量和垂直分量，再对平行分量和垂直分量进行合力计算；三角法适用于若干个力作用方向相对固定的情况，可以通过将力按照矢量加法的规律进行合力计算。

二、力矩力矩是矢量力学中的重要概念，它描述了力对物体产生的转动效果。

在计算力矩时，我们需要考虑力的大小、力的作用点到转轴的距离以及力的方向。

力矩的计算公式为力矩=力×力臂，其中力臂是指力的作用点到转轴的距离。

在解题过程中，我们需要注意力和力臂之间的正负关系，以及力矩是否平衡等问题。

三、物体的平衡物体的平衡是矢量力学中的重要内容之一。

在判断一个物体是否处于平衡状态时，我们需要分析作用于物体上的各个力对物体的影响。

物体处于平衡状态时，合力为零，合力矩也为零。

根据这个原理，我们可以利用平衡条件来解决物体平衡的问题。

常见的物体平衡问题包括悬挂、支撑和浮力等情况，通过分析力的叠加和力矩的平衡关系，可以解决这些问题。

四、刚体运动刚体运动是矢量力学中较为复杂的内容之一。

在刚体运动问题中，我们需要考虑刚体的转动和平动情况。

刚体的平动是指整体进行平移运动，而刚体的转动是指刚体绕一个轴进行旋转运动。

在解决刚体运动问题时，我们可以利用牛顿第二定律和力矩平衡条件，结合运动学公式来求解。

通过分析刚体各点的位移、角位移和角速度等参数，可以解决刚体运动的问题。

论力学--运动学运动学研究点和刚体运动的几何规律，即运动方程、轨迹、速度、加速度或角速度、角加速度等运动特征量。

第六章 点的运动学点的运动学是研究一般物体运动的基础，又具体独立的应用意义。

描述点的运动有矢径法、直角坐标法、自然法三种方法。

§6.1 矢量法一．矢量法表示点的运动方程设动点M 在空间作曲线运动，在参考坐标系上任取 某确定的点O 为坐标原点，则动点的位置可用原点至动 点的矢径r 表示。

当动点M 运动时，矢径r 的大小和方 向一般也随时间而改变，并且是时间的单值连续函数， 即)(t r r =上式称为用矢量表示的点的运动方程。

动点M 在运动过程中，其矢径r 的末端在空间 描绘出的曲线，称为动点M 的运动轨迹。

也称为矢径r 的矢端曲线。

二．矢量法表示点的速度)()(t t t r r r -+=∆∆平均速度tt t t t ∆∆∆∆)()(r r r υ-+== 瞬时速度dtd t t t rr υυ===→→∆∆∆∆00limlim 三．矢量法表示点的加速度 )()(t t t υυυ-+=∆∆ 平均加速度tt t t t ∆∆∆∆)()(υυυa -+==瞬时加速度2200lim lim dt d dt d t t t rυυa a ====→→∆∆∆∆结论：动点的速度等于它的矢径r 对时间的一阶导数，其加速度等于动点的速度对时间的一阶导数，也等于动点的矢径r 对时间的二阶导数。

§6.2 直角坐标法一．直角坐标表示动点的运动方程由于k j i r z y x ++=，当动点在轨迹上运动时，r 随时间而变化，则动点M 的坐标值x ，y 和z 随时间 而变化。

即⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(321t f z t f y t f x消去方程中的参数t ，则得到动点运动的轨迹。

二．直角坐标表示动点的运动速度由于动点M 的矢径可表示为 k j i r z y x ++=，所以动点M 的速度可表示为 k j i r υdtdzdt dy dt dx dt d ++==将动点M 的速度写成投影形式，即k j i υz y x υυυ++=比较以上两式，可得dt dx x =υ，dt dy y =υ，dtdz z =υ 三．直角坐标表示动点运动的加速度动点M 的速度可表示为k j i r υdtdz dt dy dt dx dt d ++==，其加速度可表示为 k j i υa 222222dtzd dt y d dt x d dt d ++==将动点M 的加速度写成投影形式，即k j i a z y x a a a ++=比较以上两式，可得 22dt x d a x =，22dt y d a y =，22dt z d a z =结论：动点的速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的一阶导数，动点的加速度在各坐标轴上的投影等于各对应的坐标对时间的二阶导数。

v2

n
加速度a的大小：
a
aτ + a n
2
2
dv 2 v 2 2 ( ) ( ) dt
加速度和主法线所夹的锐角的正切：
tan
aτ an
4、直角坐标于自然坐标之间的关系：
ds 2 dx 2 dy 2 dz 2 v ( ) ( ) ( ) ( ) dt dt dt dt
2
2
九、刚体的基本运动
1、刚体的平动
（1）刚体平动的定义 刚体运动时，若其上任一直线始终保持与它的初始
位置平行，则称刚体作平行移动，简称为平动或移动 。 (2) 平动刚体的运动特点
刚体平动时，其上各点的轨迹形状相同；同一瞬时，
各点的速度相同，加速度也相同。
刚体平动判别：P169题三图，P176题五图，题七图
点加的速度
i + y j + z k vx
a vx i + v y j + vz k xi + yj + zk
ax v x x ay v y y az v z z
3、自然法
用自然法描述的运动方程：
s பைடு நூலகம் f (t )
a 2 a x a y a z a an
1
2
2
2
2
2


a 2 a v2
2
5、匀速、匀变速公式
（1）
aτ＝常数，
v v0 aτ t
（ 2）v=常数，
1 2 s s0 v0t aτ t 2 2 v 2 v0 2a ( s s0 )
平面运动。

c
速度多边形的用途 由两点的速度求构件上任意点的速度 C A 例如，求BC中间点E的速度VE 时，bc上 中间点e为E点的影像，连接pe就是VE a p ω E B
e b
c
2、同一构件上两点加速度之间的关系 设已知角速度ω ，A点加速度,求B点的加速度 A B两点间加速度之间的关系有： A
BA
C ω B aB
2 2 2
方向：顺时针
+ω +ω +ω
4 4 4
＝ μ aa’b’ ＝ μ a a’c’ ＝ μ a b’c’ A p’ ω α aA C
B
aB
得：a’b’/ lAB＝b’c’/ lBC＝ a’ c’/ lCA
∴△a’b’c’∽△ABC
p’a’b’c’－加速度多边形（或速度 图解）， p’－极点 加速度多边形的特性： ①联接p’点和任一点的向量代表该 点在机构图中同名点的绝对加速 度，指向为p’→该点。
VB B
2
VB B
2
1
1
VB
2
2
B（B1，B2）
vB2 vB1 vB2B1
VB
1
1
A
ω1
VB B
2
VB B
2
1
1
VB
：
aB2 aB1 a k B2B1 a r B2B1
2
2
B（B1，B2）
VB
aB1 a n B1 a t B1
等速
1
1
A
ω1
④极点p’代表机构中所有加速度为零的点。 用途：根据相似性原理由两点的加速度求任 意点的加速度。 例如，求BC中间点E的加速度aE 时，b’c’上中间

运动学概念及矢量法解题一般方法（132492629群主）运动学是定律描述物体运动状态和过程的数学理论。

学生在学习运动学知识时，一定要掌握一般解题方法；在掌握一般解题方法后，再学习一些技巧；而不要反过来，否则，技巧越多，需要记忆的越多，最后负担过重，弄巧成拙。

下面，我讲讲运动学解题的基本方法。

一、基本概念1、矢量位移、速度、加速度，都是矢量，因为它们都有大小和方向。

2、位置矢量由坐标原点向位置点作有向线段，如右图，O A 、OB都是位置点A 、B 的位置矢量。

位置矢量有大小，有方向。

如O A，大小就是OA 的长度，方向就是由O 指向A 。

3、位移一段时间内质点位置矢量的变化量，就是位移。

如右图中，AB就是位移矢量。

位移是矢量，既有大小，又有方向。

大小，就是起点至终点的（直线）距离；方向，就是起点朝着终点的指向。

位移，就是一条起点指向终点的线段。

【点睛】位移只与两点有关：起点，终点。

前面说过，位移是有方向的。

通常，方向要事前进行设定。

如上图，向右的方向（数轴方向）被设定为正方向。

左图Δx = x 2 – x 1 ＞ 0，表示物体位移方向与数轴方向一致；右图Δx = x B – x A ＜ 0，表示物体位移方向与数轴方向相反。

4、速度速度是矢量，既有大小，又有方向。

从公式可以看出，速度的方向，就是位移方向。

5、加速度加速度是矢量，既有大小，又有方向。

加速度方向，和速度的改变Δv 方向一致。

右图，位移（数轴）方向为右向，速度的方向也是右向；上图的汽车加速度为右向，即a ＞0；下图的汽车加速度为左向，即a ＜0。

二、学会看懂图像（匀速、匀变速直线运动）1、位移时间图像都告诉你什么？①（横轴）时间： 甲的起始时刻0s ，结束时刻25s；乙的起始时刻10s ，结束时刻25s 。

②（纵轴）位置： 甲的初始位置矢量20m ，结束位置矢量40m ；乙的位置矢量0m ，结束位置40m 。

③ 位移：甲的位移20m ，乙的位移40m 。

矢量之间的运算要遵循特殊的法则。

矢量加法一般可用平行四边形法则。

由平行四边形法则可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等。

矢量减法是矢量加法的逆运算，一个矢量减去另一个矢量，等于加上那个矢量的负矢量。

A-B=A+（-B）。

矢量的乘法。

矢量和标量的乘积仍为矢量。

矢量和矢量的乘积，可以构成新的标量，矢量间这样的乘积叫标积；也可构成新的矢量，矢量间这样的乘积叫矢积。

例如，物理学中，功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。

W=F·S，P=F·v，物理学中，力矩、洛仑兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。

M=r×F，F=qv×B。

高中物理力学中矢量和分解矢量题的解题技巧高中物理力学中，矢量和分解矢量题是考试中常见的题型。

解答这类题目需要掌握一定的解题技巧，下面我将为大家介绍一些方法和注意事项。

首先，我们来看一个例子。

假设有一个物体沿着直线运动，速度大小为10 m/s，方向向右。

现在我们需要求这个速度矢量在水平和竖直方向上的分量。

解答这类题目的关键在于理解矢量的概念和运算规则。

矢量有大小和方向两个要素，我们可以用箭头表示，箭头的长度代表矢量的大小，箭头的方向代表矢量的方向。

在这个例子中，速度矢量的大小为10 m/s，方向向右。

为了求解速度矢量在水平和竖直方向上的分量，我们可以利用三角函数的概念。

根据三角函数的定义，我们知道正弦函数的定义是：sinθ = 对边/斜边，余弦函数的定义是：cosθ = 邻边/斜边，其中θ是夹角。

在这个例子中，我们可以将速度矢量的大小和方向分别与水平和竖直方向上的分量联系起来。

速度矢量的水平分量就是速度大小乘以cosθ，竖直分量就是速度大小乘以sinθ。

根据题目中给出的信息，速度大小为10 m/s，方向向右。

我们可以将速度矢量与水平方向的夹角定义为θ，那么θ的值就是0度。

此时，cos0度 = 1，sin0度 = 0。

因此，速度矢量在水平方向上的分量为10 m/s，竖直方向上的分量为0 m/s。

通过这个例子，我们可以看出，解答矢量和分解矢量题的关键在于将矢量的大小和方向与分量联系起来，并利用三角函数的概念进行计算。

在解答过程中，需要注意以下几点：首先，要明确题目中给出的矢量的大小和方向。

有时候题目中可能给出的是物体的速度矢量，有时候可能给出的是物体的位移矢量。

在解答题目时，要根据题目中给出的信息确定矢量的类型，并正确理解矢量的大小和方向。

其次，要明确矢量的分量方向。

在解答题目时，要根据题目中给出的信息确定矢量的分量方向。

有时候题目中可能给出的是矢量的分量方向，有时候可能需要我们自己确定分量方向。

在确定分量方向时，要根据题目所描述的具体情境进行判断。

运动学中矢量的分量式问题运动学中矢量的分量式问题本文讨论运动学中与矢量的分量式相关的问题，包括以下问题和解释：1. 什么是矢量的分量式？•矢量的分量式是将一个矢量表示为其在坐标轴上的分量之和。

2. 如何计算矢量的分量？•通过确定矢量在每个坐标轴上的分量，使用合适的坐标系和单位向量，可以计算矢量的分量。

3. 如何表示一个矢量的分量式？•一个矢量可以用分量式表示为：–矢量A = Axi + Ayj + Azk其中，Ax, Ay,和 Az 分别是矢量在 x、y 和 z 坐标轴上的分量，i、j 和 k 是单位向量。

4. 如何计算矢量的分量？•为了计算矢量在每个坐标轴上的分量，可以使用以下公式：–Ax = A · i–Ay = A · j–Az = A · k其中，· 表示点乘运算符，i、j 和 k 是单位向量。

5. 如何使用分量式解决运动学问题？•分量式可以帮助我们在解决运动学问题时简化复杂的矢量运算。

通过将矢量表示为其在每个坐标轴上的分量之和，我们可以将复杂的问题转化为更简单的分量计算问题。

具体步骤如下：1.将已知的所有矢量都表示为其分量式。

2.将矢量的运算转化为对应分量的运算。

3.根据问题的要求，对分量进行计算和求解。

4.将分量的结果组合起来，得到最终的矢量结果。

6. 举例说明矢量的分量式问题•问题：一个物体以20 m/s的速度斜向上方运动，与水平方向夹角为30°。

求物体在水平方向和垂直方向的分速度。

•分析与解答：–已知：物体的速度大小为20 m/s，与水平方向夹角为30°。

–求解：物体在水平方向和垂直方向的分速度。

1.将物体的速度表示为矢量A：• A = 20 m/s2.将矢量A表示为分量式：• A = Axi + Ayj3.根据已知夹角30°，确定矢量A在水平方向的分量Ax和垂直方向的分量Ay：•Ax = A · cos(30°)•Ay = A · sin(30°)4.替换已知数值，计算分量：•Ax = 20 m/s · cos(30°) ≈ m/s•Ay = 20 m/s · sin(30°) ≈ 10 m/s5.得出结论：•物体在水平方向的分速度为 m/s•物体在垂直方向的分速度为 10 m/s以上是关于运动学中矢量的分量式问题的相关问题和解释。

a p
e b
c
2、同一构件上两点加速度之间的关系 设已知角速度ω，A点加速度,求B点的加速度 A B两点间加速度之间的关系有： A ω aA C B aB
aB =anB+
大小： √ 方向： √
a tB ＝ a A +
? √ √ √
anBA+
ω2lAB
atBA
? p’
B→A ⊥BA a’
选加速度比例尺μa m/s2/mm， 在任意点p’作图使aA＝μap’a’ 求得：aB＝μap’b’ atBA＝μa nba’ b’ 方向: nba’ → b’ aBA＝μab’ a’ 方向: a’ →b’
2 1
B 有a k 3
2 1 B 3 有 ak
B2 3 有ak
1
三、机构运动分析中应注意的若干问题
例 题
3.进行凸轮等高副机构的运动分析时，可采用高副低代方法， 对相应的低副机构作运动分析，二者具有相同的运动特性
⊥AB
//导路 ？
vB 3 ω3 = lBD
？
ω1l AB
c
速度向量图
A 1 2 C P
bLeabharlann ω1B (B1B2B3)vB1 = vB2 = ω1l AB
3
vC = vB + vCB
D 4 E
vCB ω2 = lBC
⊥CE ⊥AB ？ ω1l AB
//导路 ？
加速度向量图
aB3 = aB2 + a
A
a
r
B3B2
B→D ω 2 3 l BD
⊥BD ？
A 1 2
B→A
ω 2 1l1
⊥导路（指左） 2vB3B2ω3

第一章测试1.二力平衡公理适用于A:变形体B:流体C: 刚体和变形体D:刚体答案:D2.作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中任何两个力的作用线相交于一点P，则其余的一个力的作用线必定A:不通过P.B:交于同一点，且三个力的作用线共面C:交于同一点D:不一定交于同一点答案:B3.作用与反作用力公理适用于A:刚体和变形体B:仅变形体C:仅刚体D:仅流体答案:A4.作用于刚体上的平衡力系，如果作用到变形体上，则变形体A:平衡B:不一定平衡C:不平衡答案:A5.作用于变形体上的平衡力系如果作用到刚体上，则刚体A:不一定平衡B:平衡C:不平衡答案:B6.严格来说，只要通过所画的受力图采用以后的理论能得到正确的结果，所画的受力图就是正确的，只是有的会引入过多未知力，导致后续计算需要多列方程。

A:对B:错答案:A7.应用二力平衡公理和3力汇交定理目的是在解题的第一步就尽量减少未知量的数目，便于计算。

A:错B:对答案:B8.若一个物体共有3个点受到平面力，其其中2个力汇交与一点，则画受力图时将第3个约束反力必然通过该交点。

A:错B:对答案:B9.画受力图时，根据约束特点，都是平行力，图中所有未知平行力的指向可以都假设与已知主动力的指向相同。

A:错B:对答案:B10.在画局部某个构件的受力图时，约束和力可以同时出现。

A:对B:错答案:B第二章测试1.平面力偶系能只能列2个独立方程。

A:对B:错答案:B2.力偶的矩与矩心选取有关A:错B:对答案:A3.平面力偶系可以列3个独立方程。

A:对B:错答案:B4.构成力偶的2个力，大小一定相同，方向相反，且两个力间的距离不等于0。

A:对B:错答案:A5.力偶在力投影方程中一定不会出现.A:对B:错答案:A6.力对任何矩心的力矩大小一定相等，转向一定相同。

A:对B:错答案:B7.车辆的方向盘是基于力的概念而设计为圆盘形。

A:错B:对答案:A8.平面汇交力系能只能列2个独立方程。

§2 矢量图解法矢量图解法的步骤是：（1）先定适当的比例尺，用某一带箭头的线段代表一个矢量的大小和方向，作出矢量图。

（2）按“平行四边形法则”或按“多边形法则“对矢量进行相加或相减。

（见矢量运算部分）（3）依据选定的比例尺，从图中直接量出合矢量的大小并确定其方向。

例4－6作用于一点上的三个力同在一平面内，其大小F 1＝FeBr2＝10N ，F 3＝15N ，它们与x 轴的夹角分别为300、600、及－450（图4－10所示）。

求合力F 的大小和方向。

解：以水平方向为x 轴，选取比例线段，作力矢量多边形OABC （图4－11）。

按比例量得F ＝24.5N ，F 与x 轴的正向的夹角为α＝9010/。

例4－7 水流向东，速率为2km/h ，汽船以8km/h 的航速在向东偏北600的方向航行。

一位旅客在甲板上散步，速度为1km/h ，面向正西北。

求旅客对岸的速度。

解：依据速度合成规律，有：V V V V 人对岸人对船船对水水对岸＝＋＋令X 轴的正向向东，Y 轴的正向指北，选取比例线段，作速度矢量多边形OABC （图4－12）从速度矢量多边形中量出OC 的长度和角度θ得：09.2km/h,=55V θ人对岸＝所以，旅客对岸的速率是9.2km/h ，方向向东偏北550。

例4－8某人以4km/h 的速率向正东方向前进时，感觉风从正北方向吹来，若将速率增一倍，则感觉风从东北方向吹来。

求风速和风向。

解：依题意作速度矢量图（图4－13所示），由图可得：/)V km h =，风向F 1F 2 F 3－450300 300 xo 图 4-10C图4－11V 东从西北吹来。

（作图原理请读者自行分析）V V V 风对人风对地人对地＝＋， 同理：///V V V 风对人风对地人对地＝＋例4－9某人上抛出一球，1秒后仍斜向上升，飞行方向与水平方向成450角，速度为20m/s 。

(g=10m/s 2) 求：（1）3秒末球的速度的大小和方向；（2）抛出时球的速度大小和方向。

理论力学万能解题法（未完手稿，内部资料，仅供华中科技大学2009级学生参考）郑慧明编华中科技大学理论力学教研室序言理论力学是工科机械、能源、动力、交通、土木、航空航天、力学等专业的一门重要基础课程，一方面可解决实际问题，此外，培养学生对物理世界客观规律内在联系的理解，有助于培育出新的思想和理论，并为后续专业课程打基础。

但其解题方法众多，不易掌握。

有时为了了解系统的更多信息，取质点为研究对象，其计算复杂。

有时仅需要了解系统整体某方面信息，丢失部分信息使问题计算简单，有时又将局部和整体分析方法结合在一起，用不太复杂的方法获得我们关心的信息。

解题方法众多的根本原因是，静力学所有定理都是由5大公理得到，动力学三大定理都是由公理和牛顿第2定理得到。

因为这些定理起源有很多相同之处，故往往可用来求解同一个问题，导致方法众多。

正是因为方法众多，但因为起源可能相同，对于复杂题目，往往需要列出多个多立方程才能求解。

若同时应用多个定理解题时，往往列出线形相关的方程，而他们的相关性有时很难看出来，而却未列出该列的方程，或列方程数目过多，使解题困难，一些同学感到理论力学不好学，感觉复杂的理论力学题目。

虽然可以条条大路通罗马，但因为可选择的途径太多，有时象进入迷宫，绕来绕去，不知下一步路如何走，甚至回到同一点，比如用功率方程和动静法列出的方程表面上不同，实际上是同一个，一些学生会感到困惑，因为有些教科书上并未直接说明功率方程可由动静法推导得到，其本质上也是一个力/矩方程。

我们组织编写了本辅导书，主要目的是帮助那些对理论力学解题方法多样性无所适从的同学，了解各解题方法的内在关联和差异，容易在众多的解题方法中找到适合自己的技巧性不高的较简单方法，而该方法可以推广到一种类型的题目。

大学阶段要学的东西很多，为了高效率掌握一门课程的主要思想，对许多题目可能用同一种较合理的方法来解决，也是同学们所期望的，对于理论力学的学习，因为其方法的多样性，这种追求同一性的求知愿望可能更强烈。

运动学中的矢量分析方法运动学是物理学中研究物体运动规律的一个重要分支，而矢量分析则是运动学中的一种基本工具。

矢量分析方法能够提供关于物体位置、位移、速度和加速度等方面的详细信息，为我们深入理解运动提供了有力的支持。

本文将介绍运动学中常用的矢量分析方法，并探讨其应用。

一、位置矢量的表示和分析方法在运动学中，我们常常需要描述物体的位置。

为了准确地表示物体的位置，我们引入了位置矢量的概念。

位置矢量是从参考点（原点）指向物体位置的矢量，通常用符号r表示。

位置矢量可以用坐标表示，比如在直角坐标系中，位置矢量可以表示为r = xi + yj + zk，其中i、j、k为分别指向坐标轴x、y、z正方向的单位矢量，x、y、z为物体在各坐标轴上的坐标。

利用位置矢量，我们可以方便地研究物体的位移、速度和加速度等性质。

例如，给定物体的两个不同时刻的位置矢量r1和r2，物体的位移矢量可以表示为Δr = r2 - r1。

而物体的平均速度矢量可以表示为vav = (Δr) / Δt，其中Δt为物体在两个时刻之间的时间间隔。

二、速度和加速度的矢量分析方法速度和加速度是描述物体运动快慢和变化快慢的重要概念。

在矢量分析中，我们通过对位置矢量的微分来定义速度和加速度。

具体地说，物体的速度矢量可以表示为v = dr/dt，而物体的加速度矢量可以表示为a = dv/dt。

通过对速度和加速度进行矢量分析，我们可以得到更多有关物体运动的信息。

例如，给定物体的速度矢量v，我们可以分解它为沿着各坐标轴方向的分速度，即v = vxi + vyj + vzk。

这样，我们可以得到物体在各方向上的速度大小和方向。

类似地，给定物体的加速度矢量a，我们也可以进行类似的分解。

三、相对运动的矢量分析方法在研究物体的相对运动时，矢量分析方法同样发挥了重要作用。

相对运动是指两个物体相对于彼此的运动情况。

在相对运动分析中，我们通常采用相对速度和相对加速度等概念。

相对速度是指两个物体之间的速度差，可以表示为vrel = va - vb，其中va和vb分别表示两个物体的速度矢量。

力学分析运动趋势常用矢量三角形法矢量三角形法同平行四边形法则在处理矢量的合成和分解时是相同的，也是作图法解决问题的方法之一。

应用矢量三角形法则主要解决的试题类型：如果只有某一个力的大小和方向发生变化，而另外两个力的方向不变，用矢量三角形来判断力的大小变化趋势比较简单。

1、如图所示，用细绳将均匀球悬挂在光滑的竖直墙上，绳受的拉力为T，墙对球的弹力为N，如果将绳的长度增加，则（）A．T、N均不变B．T减小、N增大C．T、N均增大D．T、N均减小2、如图所示，清洗楼房光滑玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中，工人及其装备的总重量为G，且视为质点．悬绳与竖直墙壁的夹角为α，悬绳对工人的拉力大小为F1，墙壁对工人的弹力大小为F2，则（）A．F1=GsinαB．F2=GtanαC．若工人缓慢下移，增加悬绳的长度，则F1与F2的合力变大D．若工人缓慢下移，增加悬绳的长度，则F1减小，F2增大3、如图所示，用拉力F将质量为m的滑块沿光滑的半圆柱面极缓慢地拉到顶端，在这个过程中，拉力F的方向始终沿圆柱面的切线方向，则下列说法正确的是（）A．拉力F的大小在不断减小B．物块受到的支持力在不断增大C．拉力和支持力的合力大小和方向均不变D．拉力和支持力的合力大小不变，方向不断改变4、某欧式建筑物屋顶为半球形，一警卫人员为执行特殊任务，必须冒险在半球形屋顶上向上缓慢爬行（如图），他在向上爬的过程中（）A. 屋顶对他的支持力变大B．屋顶对他的支持力变小C．屋顶对他的摩擦力变大D．屋顶对他的摩擦力变小5、如图所示，小球用细绳系住放在倾角为θ的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐渐向上偏移时，绳上的拉力将()A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大另外一问：球对斜面的压力（）A．逐渐增大B．逐渐减小C．先增大后减小D．先减小后增大6、如图8—1所示，细绳跨过定滑轮，系住一个质量为m的球，球靠在光滑竖直墙上，当拉动细绳使球匀速上升时，球对墙的压力将（）图8—1A．增大B．先增大后减小C．减小D．先减小后增大7、用两根绳子系住一重物，如图8—2所示.绳OA与天花板间夹角θ不变，当用手拉住绳子OB，使绳OB由水平方向转向竖直方向的过程中，OB绳所受的拉力将（）A ．始终减小B ．始终增大C ．先减小后增大D ．先增大后减小图8—2 8、如图4所示，电灯悬挂于O 点，三根绳子的拉力分别为TA 、TB 、TC ，保持O 点的位置不变，绳子的悬点B 也不变，则悬点A 向上移动的过程中，下列说法正确的是（ ）A 、 TA 、TB 一直减少； B 、 TA 一直增大，TB 一直减少；C 、 TA 先增大后减少，TB 先减少后增大；D 、 TA 先减少后增大，TB 一直减少；9、如图，将一球放在两块光滑斜面板AB 和AC 之间，两板与水平面夹角都是60°，现在使AB 板固定，使AC 板与水平面的夹角逐渐减小，则A ．球对AB 板的压力先增大后减小B ．球对AB 板的压力逐渐增大C ．球对AC 板的压力逐渐减小D ．球对AC 板的压力先减小后增大10、拉小船（高一物理寒假作业三） 如图所示，在用力F 拉小船匀速靠岸的过程中，水的阻力保持不变。

1.2运动学解题指导(1)描述物体作平动的四个物理量：位置矢量r、位移、速度v、加速度a都是矢量.要注意矢量的基本运算(矢量加减法，两矢量的点积、叉积等基本运算法则).(2)掌握解运动学两类问题的方法.第一类问题是已知质点的运动及运动方程，求质点运动的速度和加速度.第二类问题是已知质点的加速度及初始条件，求质点运动的速度和运动方程.第一类问题利用数学上求导数的方法，第二类问题用积分的方法.1.3典型例题1-1一质点在x O y平面内运动，其运动方程可能是：问表示质点作直线运动、圆周运动、双曲线运动、椭圆运动、抛物线运动的，分别是哪个方程？解题思路要判断质点在平面内作什么运动，只要求出质点在平面中运动的轨迹方程，从轨迹方程可分辨出质点的不同运动.已知运动方程，求轨迹方程的方法是：将运动方程中的时间t消去，即可得到轨迹方程.解它们的轨迹方程分别是：(1) y = 5 – 2 x,直线；(2) ，抛物线；(3)，圆；(4) ，椭圆；(5) ，双曲线.1－2路灯离地面高度为H，一人在灯下水平路面上以匀速度步行，如图1.3-2.人身高为h，求当人与灯的水平距离为x时，他的头顶在地面上所对应的影子移动的速度V的大小.解题思路取如图1.3-2所示x坐标轴，人的坐标为x，影的坐标为，人的速度为，影子的速度为 .先从图中求出x，之间的关系式，将对时间求一阶导数即得影的速度.解从图中可得影子也以匀速度Ｖ移动，若人的速度是变速度，则影子移动的速度也为变速度，比例系数为 .1-3一质点在x O y平面内运动，运动方程为，式中x, y以m计，t以s计.求：(1) 写出t =3 s时质点的位置矢量，并计算第3 s内的平均速度的大小；(2) t =3 s时，质点的速度和加速度；(3) 什么时刻，质点的位置矢量恰与速度矢量垂直？解题思路：(1)位置矢量r = x i + y j ，将运动方程x ( t ), y ( t )代入即可求得.求平均速度，先算出0~3s的位移，再根据求出；(2) 运动学第一类问题，已知运动方程求速度和加速度：；(3) 位置矢量和速度都是矢量，两矢量垂直的条件是点积为零，即 .解(1)(2) 第一种方法第二种方法：速度和加速度是矢量，可分别求出它的大小和方向来表示. t =3s的速度3s时速度的大小方向：3s时速度跟x轴所成的角度t =3s的加速度大小为，方向为负y.(3) 两矢量垂直的条件是两矢量的点积为零：1- 4 一质点在半径为Ｒ的圆周上运动，其速度与时间的关系为，求：(1) t时刻质点的切向加速度及法向加速度；(2) 从t = 0到t时刻质点通过的路程.解题思路：(1) ；(2) 运动学第二类问题，已知速度求运动方程，.解(1) .(2) .1-5 一质点沿半径为Ｒ的圆周运动，运动方程为.求当切向加速度的大小为总加速度大小的一半时，θ的值是多少？解题思路作出切向加速度、法向加速度、总加速度的矢量图，如图1.3-5所示，根据题意求解.解所以.1- 6一艘正在沿直线行驶的汽船速度为，关闭发动机后，由于阻力，得到一个与船速方向相反、大小与船速平方成正比的加速度，即，k为常数.求船速及船行驶的距离跟时间t的关系.解题思路本题为求解运动学中的第二类问题，即已知加速度及初始条件，求速度及运动方程，用积分方法.解两边积分又根据，两边积分.注意：(1)对一维的直线运动，在公式中可不用矢量计算，而简单地用标量计算，如a, v, x 都用标量，其方向用正、负表示，正的表示方向沿x正方向，负的表示沿x负方向.(2)积分上、下限的取法.下限为初始条件，t = 0时，；上限时间为t，速度为v，位置为x.1- 7 一飞机相对于空气以恒定速度V沿正方形轨道飞行，在无风天气其运动周期为Ｔ，若有恒定的风沿平行于正方形的一对边吹来，风速为v = K V (K<<1).求飞机沿原正方形(对地)飞行的周期的增加量.解题思路此题为相对运动问题.当有风存在时，，分别求出每边机对地的速度，再算出飞行一周的时间跟原来无风时的周期比较，即可求得.解设正方形边长为l，无风时周期.有风时周期1.4 习题选解1.一质点在平面上作曲线运动，其速率v与路程S的关系为，写出切向加速度以路程Ｓ来表示的表式.解根据，将代入，得.注意：Ｓ是随时间而变的量，.如果，就错了.2.在离水面高为h的岸边，有人用绳拉船靠岸.当人以的速度收绳，求船在离岸边处船的速度和加速度各为多少？解建立如图1.4-2所示的坐标系x O y，船在任一时刻的矢径.根据速度的定义，.因为，又由题意可知，所以船速.时，.根据加速度定义，.时，.3.一小球沿斜面向上运动，其运动方程为（SI），则小球运动到最高点的时刻是多少？解小球运动到最高点时v=0，所以.4.一质点的运动方程为式中是正常数.试求：(1) 质点的运动轨迹；(2) 时刻质点的速度.解(提示：本题是在极坐标情况下求解运动轨迹及速度表式.)速度表式：.(1) 从②式得,代入①式，，螺旋线.(2)5.设质点的运动方程为，在计算质点的速度和加速度时：第一种方法是，先求出，然后根据及而求得结果；第二种方法是，先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即.你认为两种方法中哪一种正确？解第二种方法是正确的.因为速度和加速度都是矢量，根据定义，所以.第一种方法中，及只考虑了矢径r的量值r随时间t的变化.根据定义，速度是描述位置变化快慢的大小及方向的物理量.从图1.4-5中看质点从位置１经过时间变化到位置2，位移，速度，而是的长度减去的长度：.从图中看出的长度||也不等于，所以也不是速度的大小.只有在直线运动中，速度的大小才等于.对加速度的大小也可以用同样方法加以讨论.6.已知一质点沿x轴运动，其加速度为，式中Ａ，ω为常数，且t =0时，，.求运动方程.解由，，两边积分得由，两边积分得7.小球从某一高度h以速度u沿水平方向抛出，下落到地面上，发生碰撞后损失一部分能量.已知竖直方向的分速度碰撞后与碰撞前之比为k (k<1).设水平方向没有摩擦，因而水平方向分速度大小不变.试求从抛出小球到其停止跳跃之点的水平距离.解小球的运动轨迹如图1.4-7所示.第一次碰撞前，竖直方向的速度和运动的时间分别为.第一次碰撞后，竖直方向的速度，以碰撞后起跳的瞬间作时间的起点，竖直方向的位移，令，则第一次碰撞到第二次碰撞的时间，由得出，同理得到第n次碰撞后，竖直方向的速度为，第n次碰撞到第(n+1)次碰撞的时间为，故小球沿水平方向运动的总时间为.因为k<1，括号内为递减的无穷几何级数之和，所以.因而，小球从抛出到它停止跳跃时，水平距离为.8.求证：从原点在竖直平面内以相同的初速度向各个方向投射出的物体，它们的最高点位于同一椭圆上(忽略空气阻力).解如图1.4-8所示，设物体到达最高点的时间为，则.令最高点的坐标为，有所以.将上两式两边平方求和，得，即.此式为一椭圆方程，椭圆中心在.9.一人站在山坡上，山坡与水平面成角.他扔出一个初始速度为的小石子，与水平面成角向上.(1) 如忽略空气阻力，试求小石子落在斜坡上距离OP为处；(2) 由此证明，对于给定的和值，Ｓ在时有最大值.解(1) 取如图1.4-9所示的坐标系x O y，；速度在x O y平面x, y轴的分量.在x O y坐标系中的运动方程为：P点坐标(x,0).，代入①式得(2) ，固定，x是θ的函数，x有最大值.，，时有最大值.10.有一宽为l的大江，江水由北向南流去，设江中心流速为，靠两岸的流速为零，江中任一点的流速与江中心流速之差和江心至该点距离的平方成正比.今有相对于水的速度为的汽船由西岸出发，向东偏北方向航行，试求其航线轨迹方程以及到达东岸的地点.解设坐标为x处的水流速度为u，则.当x=0时，u=0，得，将③式代入②式得由③④两式消去t得航线轨迹方程(用到到达东岸地点.11.如图1.4-11所示，一辆汽车以速度在雨中行驶，雨滴落下的速度与竖直方向偏前角，问车后的一捆行李是否会被淋湿？解选雨滴为研究对象.设雨对车的速度为，.由速度矢量图1.4-11(b)可得，即.由上式可求得.当，即时，行李不会被雨淋湿，而当时，行李就会被淋湿.12.设甲船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为Ｄ，速率为，一艘速率为的淡水补给船乙从一港口出发去拦截这条船以提供淡水.(1) 试证乙船必须在甲船行驶过海岸线的某一点之前出发，这一点在乙船后边距离x处：；(2) 如果乙船在尽可能迟的时刻出发，问它在什么地方和什么时候截住这条船？解(1) 设乙船截住甲船所用的时间为t，则根据题意，②式代入①式得由得，故x在处取极小值(可证明)，将代入③式得.(2) 由②式可得13.一升降机以加速度上升，当上升速度为时，有一螺帽自升降机的天花板上松落，天花板与升降机的底面相距2.74 m.计算：(1) 螺帽从天花板落在底面所需的时间；(2) 螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离.解(1)我们站在升降机里来看螺帽下落到底面所用的时间，.(2) .14.以速度v与地面成角发射一火箭，在驱动力、阻力和重力三者作用下，保持速度v不变的曲线运动.已知驱动力和阻力所产生的加速度只有切向分量，求轨迹方程.解如图1.4-14所示，选取自然坐标，，①式中，R为质点所在处的曲率半径，为g与轨迹法线之间的夹角(即切向方向与x轴的夹角).又，②将②式代入①式得，而，故.将上式积分，.当x=0时，，故，所以当x = 0时，y = 0,故= 0，.。

A、B 且由 B 指向 A 的线段即
表示 A 相对 B 的速度, 如图
图 10
10所示. 最后根三角形知识可求得
vA = vB tanH 通过上面的例题可看出, 在用此方法的过程中
无需知道谁是合速度, 谁是分速度, 只要根据题目中 所给的速度方向正确的标出起点和终点即可. 同学 们在用此方法解题时, 屡试不爽, 既快又准.
图3
用同样的方法也可轻松求解例 2. 先画出玻璃
相对于地的速度, 由地指向玻璃. 根据题意要想切割
成矩形, 刀相对于玻璃的速度方
向必须与玻璃垂直, 且由玻璃指
向刀. 然后连接刀和地且由地指
向刀即为刀相对于地的速度, 如
图 4所示. 由此可见例 2 中的求
图4
解 ( 图 2) 是错的.
=例 3> 某人以 5 m / s的速度向东急行, 感觉到
楚. 上述两题均为用速度的合成与分解来解决相对运动 问题, 其理论基础为
v绝对度 = v牵连度 + v相对度 式中可认为 v绝对度 是合速度, v牵连度 和 v相对度 是两个分 速度.
可以用此公式解决上述两个问题. 但在实际解
题的过程中发现有些学生不知谁是绝对速度, 谁是 牵连速度和相对速度, 也分不清谁是合速度, 谁是分 速度. 各种教辅资料中也都用矢量图法, 但学生看过 后仍不得要领. 针对这一情况笔者在教学中总结出 如下方法来解决这一问题, 即在表示矢量的线段的 起点标出参考物体, 在末端标出相对运动物体, 再根 据题目所描述的运动情况即可很快的画出矢量三角 形.
图7
) 32 )
风以 5 m / s的速度从正北刮来. 问实际风速是多大?
) 31 )
2010年第 5期

第八章 质点系动力学：矢量方法一、动量定理和动量矩定理 1 动量定理质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量，即∑==ni i i m 1v p质点系动量定理：质点系动量对时间的一阶导数等于作用于质点系外力系的主矢：)e (R d d F p =t， ∑=e )e (R i F F质点系动量定理的微分形式：t d d )e (R F p =质点系动量定理的积分形式t t t d ,21)e (R )e ()e (12⎰==-F I I p p ，其中)e (I 为外力系主矢的冲量。

质点系的内力不能改变其总动量。

质点系的动量守恒：如果作用在质点系上的外力系主矢为零，则质点系的总动量守恒，即0p p =该常矢量由质点系运动的初始条件确定。

质点系动量定理在直角坐标系中的投影式为()()()()()()∑∑∑=========ni izRz z n i iy Ry y n i ix Rx x F F p t F F p t F F p t 1e e 1e e 1e e d d ,d d ,d d ， 如果0)e (R =x F ，则0x x p p =。

解题要领1） 动量定理给出的是质点系得动量变化与系统外力之间的关系，不涉及外力矩和外力偶，也不涉及内力，因此解决外力和质点系速度或加速度关系问题经常用动量定理. 2） 动量定理中涉及的动量都是绝对的，即涉及的速度都是绝对速度.3） 应用动量定理的微分形式是在某一瞬时，而积分形式或守恒情形是在一时间间隔. 4） 涉及一时间过程的速度变化，统称用动量定理的积分形式.5） 认清质点系统得动量是否守恒十分重要，它可以使方程降阶，简化计算过程.2 质心运动定理质点系的动量等于质心的动量 C ni ii mv m ==∑=1vp ，质心运动定理)e (RF a =C m 质心运动守恒：1） 如0)e (R =F ，则质心速度v C = v C 0 (常矢量)。

进一步，若00=C v ，则const r C =. 2） 如0)e (Rx =F ，则质心速度0Cx Cx v v = (常量)。