【优化方案】2014届高考数学6.2 算术平均数与几何平均数 课时闯关(含答案解析)

2
3
n
n－1
∴ an＝bn·２＝ 2 ( mn＋ 1－m) ．
(2) 由(1) 得： an＝ 2n－ 1( mn＋ 1－ m) ，
an＋1－ an＝ [ m( n＋ 1) ＋ 1－m] ·２n－ ( mn＋ 1－ m) ·２n－1＝ 2n－ 1( mn＋ 1＋ m) ，
∵数列 { an} 是单调递减数列，
列，上面 4 节的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则第 5 节的容积为 ( ) ．
A． 1 升
67 B． 升
66
47 C． 升443 D． 升33anan＋1＋ 12
6．等差数列 { an} 中，a1＝ a3＋ a7－ 2a4＝ 4，则 n2＋3n 的值为整数时 n 的个数为 (
)．
d＞ 0，得 a2＝ 3， a5＝ 9，
1
2
1
1
在 Tn＝1－ 2bn 中，令 n＝ 1，得 b1＝ 3，当 n≥２时， Tn＝ 1－ 2bn，Tn－ 1＝ 1－ 2bn－ 1 ，
1
1
两式相减得 bn＝ 2bn － 1－ 2bn ，
bn 1
∴
bn
＝
－1
3(
n≥
2)
．
2 ∴ bn＝ ·
3
1 3
＝ n－ 1
的前
n 项和为
Tn，且
Tn＝
1－
1 bn(
n∈
N* )
．
2
(1) 求数 列 { an} ，{ bn } 的通项公式； (2) 记 cn＝ anbn，求数列 { cn} 的前 n 项和 Sn.
1
参考答案
一、选择题
43 1． B 解析： 令 an＝ 43－ 3n≥0，解得 n≤ ，故选 B.

是
。
例3:若0<x< 的最大值
1 2
求y=x(1-2x)
EX2 （1）已知m 、n都是正数，且 2m+n=3，求mn的最大值
（2） 若正数x，y满足6x+5y=18， 求xy的最大值．
xy 6x 5y 1 (6x 5y )2 81 27
30 30 2
30 10
； 流量卡代理
正：两项必须都是正数；
定：求两项和的最小值，它们的积应为定值； 求两项积的最大值，它们的和应为定值。
等 ： 等号成立的条件必须存在.
例2、若x>0，求
y x 1 x
的最小值
变1：若 x<0 呢？
构造条 件
变2：若x>3 ,求
yx 1 x3
的最小值
EX1:
已知正数a,b满足a2b=1,则a+b的最小值
；
够抵御的风险毕竟有限，世上无法预计的灾难却是无限的。战胜灾难靠的更多的是临门一脚，先前的惴惴不安帮不上忙。 当风暴的尾巴终于远去，我们守住零乱的家园。气还没有喘匀，新的提醒又智慧地响起来，我们又开始对未来充满恐惧的期待。 人生总是有灾难。其实大多 数人早已练就了对灾难的从容，我们只是还没有学会灾难间隙的快活。我们太多注重了自己警觉苦难，我们太忽视提醒幸福。请从此注意幸福！幸福也需要提醒吗？ 提醒注意跌倒……提醒注意路滑……提醒受骗上当……提醒荣辱不惊……先哲们提醒了我们一万零一次，却不提醒我 们幸福。 也许他们认为幸福不提醒也跑不了的。也许他们以为好的东西你自会珍惜，犯不上谆谆告诫。也许他们太崇尚血与火，觉得幸福无足挂齿。他们总是站在危崖上，指点我们逃离未来的苦难。但避去苦难之后的时间是什么？ 那就是幸福啊！ 享受幸福是需要学习的， 当幸福即将来临的时刻需

第三教时教材：算术平均数与几何平均数目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。

过程：一、定理：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”） 证明：222)(2b a ab b a -=-+⇒⎭⎬⎫>-≠=-=0)(0)(22b a b a b a b a 时，当时，当ab b a 222≥+ 1．指出定理适用范围：R b a ∈,2．强调取“=”的条件b a =二、定理：如果b a ,是正数，那么ab b a ≥+2（当且仅当b a =时取“=”） 证明：∵ab b a 2)()(22≥+ ∴ab b a 2≥+即：ab b a ≥+2 当且仅当b a =时 ab b a =+2注意：1．这个定理适用的范围：+∈R a2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

三、推广：定理：如果+∈R c b a ,,，那么abc c b a 3333≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：∵abc ab b a c b a abc c b a 333)(32233333---++=-++)(3])())[((22c b a ab c c b a b a c b a ++-++-+++=]32)[(222ab c bc ac b ab a c b a -+--++++=))((222ca bc ab c b a c b a ---++++=])()())[((21222a c c b b a c b a -+-+-++= ∵+∈R c b a ,, ∴上式≥0 从而abc c b a 3333≥++指出：这里+∈R c b a ,, ∵0<++c b a 就不能保证推论：如果+∈R c b a ,,，那么33abc cb a ≥++（当且仅当c b a ==时取“=”）证明：3333333333)()()(c b a c b a ⋅⋅≥++⇒33abc c b a ≥++⇒33abc cb a ≥++四、关于“平均数”的概念1．如果++∈>∈N n n R a a a n 且1,,,,21 则：n a a a n+++ 21叫做这n 个正数的算术平均数n n a a a 21叫做这n 个正数的几何平均数2．点题：算术平均数与几何平均数3．基本不等式： n a a a n+++ 21≥n n a a a 21n i R a N n i ≤≤∈∈+1,,*这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）语言表述：n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

6.4 不等式的解法 课时闯关（含答案解析）一、选择题1．不等式x 2－x －6x －1>0的解集为( )A.{}x |x <－2，或x >3B.{}x |x <－2，或1<x <3C.{}x |－2<x <1，或x >3D.{}x |－2<x <1，或1<x <3解析：选C.∵x 2－x －6x －1>0，∴x －3x ＋2x －1>0.∴(x －3)(x ＋2)(x －1)>0，如图，由穿根法可得不等式的解集为{}x |－2<x <1，或x >3.2．已知0＜a ＜1，则不等式a 2x ＋1＜ax 2＋2x －3的解集是( ) A ．(－3,1) B ．(－2,2) C ．(－∞，1) D ．(－2，＋∞)解析：选B.∵函数y ＝a x(0＜a ＜1)为减函数，∴2x ＋1＞x 2＋2x －3，∴x 2－4＜0， ∴－2＜x ＜2.故选B.3．在R 上定义运算⊙，a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2) 解析：选B.∵x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2<0， ∴x 2＋x －2<0.∴－2<x <1.4．不等式log 2x －1x≥1的解集为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1,0)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)解析：选C.由已知得x －1x ≥2，即x ＋1x≤0，由此解得－1≤x ＜0.5．(2013·长春模拟)设f (x )是定义在R 上的增函数，且对于任意的x 都有f (1－x )＋f (1＋x )＝0恒成立．如果实数m 、n 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f m 2－6m ＋23＋f n 2－8n <0m >3，那么m 2＋n 2的取值范围是( )A ．(3,7)B ．(9,25)C ．(13,49)D ．(9,49) 解析：选C.依题意得f (1－x )＝－f (1＋x )，则－f (x )＝f (2－x )，由f (m 2－6m ＋23)＋f (n 2－8n )<0得f (m 2－6m ＋23)＋f (n 2－8n )＝f (m 2－6m ＋23)－f [2－(n 2－8n )]． 又f (x )是定义在R 上的增函数，于是有m 2－6m ＋23<2－(n 2－8n )，即(m －3)2＋(n －4)2<4.在坐标平面mOn 内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m －32＋n －42<4m >3表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，m 2＋n 2可视为该平面区域内的点(m ，n )与原点间的距离的平方，结合图形知m 2＋n 2的取值范围是(13,49)，选C.二、填空题6．(2011·高考上海卷)不等式x ＋1x≤3的解集为________．解析：原不等式等价于x ＋1x －3≤0⇔1－2x x ≤0⇔2x －1x≥0⇔x (2x －1)≥0且x ≠0，解得x ≥12或x ＜0.答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥12或x ＜07．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析：当x ＝－1时，无解．当－1<x ≤0时，1－x 2>0，f (1－x 2)>f (2x )化为(1－x 2)2＋1>1，恒成立．当0<x ≤1时，1－x 2≥0,2x >0，f (1－x 2)>f (2x )化为(1－x 2)2＋1>(2x )2＋1，即1－x 2>2x ，(x ＋1)2<2， ∴0<x <2－1.当1－x 2<0时，无解． 综上知－1<x <2－1. 答案：(－1，2－1)8．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：∵a ≥xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3对任意x >0恒成立， 设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u恒成立即可．∵x >0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．由u ≥5知0<1u ≤15，∴a ≥15.答案：[15，＋∞)三、解答题9．解不等式5－xx 2－2x －3<－1.解：法一：原不等式变为5－xx 2－2x －3＋1<0，即x 2－3x ＋2x 2－2x －3<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2<0x 2－2x －3>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0x 2－2x －3<0⇔－1<x <1或2<x <3.∴原不等式的解集是{}x |－1<x <1或2<x <3.法二：5－x x 2－2x －3<－1⇔x 2－3x ＋2x 2－2x －3<0⇔(x 2－3x ＋2)(x 2－2x －3)<0 ⇔(x －1)(x －2)(x －3)(x ＋1)<0.如图，由数轴标根法得－1<x <1或2<x <3， ∴原不等式的解集为{}x |－1<x <1或2<x <3.10．(2013·郑州五校联考)已知向量a ＝(mx 2，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1mx －1，x (m 为常数)．若向量a ，b 的夹角为锐角，求实数x 的取值范围．解：∵向量a ，b 的夹角为锐角，∴a·b >0，即mx 2mx －1－x >0⇔x mx －1>0⇔x (mx －1)>0. 当m >0时，解得x <0或x >1m.当m <0时，解得1m<x <0.当m ＝0时，解得x <0.综上，当m >0时，x 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <0或x >1m ； 当m <0时，x 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1m <x <0；当m ＝0时，x 的取值范围为{x |x <0}．11．(探究选做)已知函数f (x )＝x 2ax ＋b(a 、b 为常数)，且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)解关于x 的不等式f (x )<k ＋1x －k2－x.解：(1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b－x ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b ＝－9164a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2，所以f (x )＝x 22－x(x ≠2)．(2)由(1)知不等式即x 22－x <k ＋1x －k 2－x， 化简得x 2－k ＋1x ＋k x －2>0，即(x －1)(x －2)(x －k )>0. (*) 当k <1时，不等式(*)的解为k <x <1或x >2； 当k ＝1时，不等式(*)的解为x >2；当1<k ≤2时，不等式(*)的解为1<x <k 或x >2； 当k >2时，不等式(*)的解为1<x <2或x >k . 综上所述：当k <1时，原不等式的解集为{x |k <x <1或x >2}； 当k ＝1时，原不等式的解集为{x |x >2}；当1<k ≤2时，原不等式的解集为{x |1<x <k 或x >2}；当k>2时，原不等式的解集为{x|1<x<2或x>k}．。