八年级数学下册第四章第5节相似三角形学案

三角形相似的判定教案一、教学目标：知识与技能：1. 学生能理解相似三角形的概念，掌握三角形相似的判定方法。

2. 学生能够运用相似三角形的性质解决实际问题。

过程与方法：1. 学生通过观察、操作、交流等活动，培养观察能力、动手能力和表达能力。

2. 学生能够运用转化思想，将复杂几何问题转化为相似三角形问题。

情感态度价值观：1. 学生培养对数学的兴趣，增强自信心，树立克服困难的勇气。

2. 学生学会合作交流，培养团队精神。

二、教学内容：1. 三角形的相似概念：学生通过观察、分析，理解相似三角形的定义。

2. 三角形相似的判定方法：学生掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并能灵活运用。

3. 相似三角形的性质：学生了解相似三角形的性质，包括对应边成比例、对应角相等。

三、教学重点与难点：重点：1. 学生掌握三角形相似的判定方法。

2. 学生能够运用相似三角形的性质解决实际问题。

难点：1. 学生理解并灵活运用SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法。

2. 学生解决复杂几何问题，运用转化思想。

四、教学过程：1. 导入：通过展示生活中的实例，引导学生思考三角形相似的概念。

2. 新课导入：介绍三角形相似的定义，引导学生观察、分析，理解相似三角形的性质。

3. 判定方法的学习：讲解SSS、SAS、ASA、AAS四种判定方法，并通过例题让学生动手实践。

4. 课堂练习：设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识。

5. 总结与拓展：总结相似三角形的判定方法，引导学生思考如何运用相似三角形解决实际问题。

五、课后作业：1. 完成课后练习题，巩固三角形相似的判定方法。

教学评价：1. 课后作业的完成情况，检验学生对知识点的掌握。

2. 课堂练习的参与度，观察学生对问题的思考和解决能力。

3. 学生对相似三角形概念的理解，以及对实际问题的运用能力。

六、教学策略与方法：1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、操作、思考、讨论等活动，发现规律，掌握相似三角形的判定方法。

4.5 相似三角形【基础知识精讲】1．理解相似三角形的意义，会利用定理判定两个三角形相似，并能掌握相似三角形与全等三角形的关系．2．进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认识特殊与一般之间的辩证关系，提高学习数学的兴趣和自信心．【重点难点解析】相似三角形的概念及相似三角形的基本定理．【典型热点考题】例1 如图4-21，□ABCD中，M是AD延长线上一点，BM交AC于点F，交DC于G，则下列结论中错误的是（　）图4-21A．△ABM∽△DGMB．△CGB∽△DGMC．△ABM∽△CGBD．△AMF∽△BAF点悟：用本节概念和定理直接判断．解：应选D．例2 如图4-22，已知MN∥BC，且与△ABC的边CA、BA的延长线分别交于点M、N，点P、Q分别在边AB、AC上，且A P∶PB＝AQ∶QC．图4-22求证：△APQ ∽△ANM ．证明：∵ AP ∶PB ＝AQ ∶QC ，∴ PQ ∥BC ，又MN ∥BC ，∴ MN ∥PQ∴ △APQ ∽△ANM ．例3 写出下列各组相似三角形的对应边的比例式．(1)如图4-23(1)，已知：△ADE ∽△ABC ，且AD 与AB 是对应边．(2)如图4-23(2)，已知：△ABC ∽△AED ，∠B ＝∠AED ．图4-23点悟：要写出两个相似三角形的对应边的比例式，首先要确定两个相似三角形的对应边．因为相似三角形是全等三角形的推广，所以要确定两个相似三角形的各组的对应边，可以参照确定全等三角形对应边的方法，从确定这两个相似三角形对应的顶点出发．解：(1)已知△ADE ∽△ABC ，且AD 和AB 是对应边，它们所对的顶点E 和C 为对应顶点，而A 是两三角形的公共顶点，∠BAC 为公共角，所以两三角形另两组对应边为DE 和BC ，EA 和CA ，得CA EA BC DE AB AD ==．(2)已知△ABC ∽△AED ，且∠ABC ＝∠AED ，A 为公共顶点，另一对应顶点为D 和C ，三组对应边分别是AD 和AC ，AE 和AB ，DE 和CB ．得CB DE AB AE AC AD ==．本题两类相似三角形的图形是相似三角形的基本图形．第一类为平行线型．平行线型是由两条平行线和其他直线配合构成的两个相似三角形，它的对应元素比较明显，对应边，对应角，对应顶点有同样的顺序性，对应边平行或重合．基本图形有两种(图4-24)：图4-24第二类是相交线型．这一类型的对应元素不十分明显，对应顺序也不一致，对应边相交．它的基本图形，也有两种，一种是有一个公共角，另一种是一组对顶角(图4-25)．图4-25其他类型的相似形多可以分解成这两种基本类型或转化为这两种基本类型．例4 如图4-26，已知：△ABC 的边AB 上有一点D ，边BC 的延长线上有一点E ，且AD ＝CE ，DE 交AC 于F ．求证：AB ·DF ＝BC ·EF ．图4-26点悟：如果我们把条件和结论涉及的线段AD ，CE ，AB ，DF ，BC ，EF 在图中都描成红线，可以发现一个完全由红线构成的三角形，即△DBE ，还有一条线AC ，是△DBE 的截线，分别截△DBE 的三边DB ，BE ，DE (或它们的延长线)于A ，C ，F ．这类问题添辅助线的方法至少有三种，即过红线三角形任一顶点作对边的平行线，并与该三角形的截线或其延长线相交(如图4-27)，在每一种图形中，虽然只有一对平行线，但与这对平行线有关的基本图形都能找到两对，根据每一个基本图形都可以写出包含辅助线段在内的一个比例式．图4-27以(2)为例，可以写出BH DF AB AD =，又可以写出BC CE BHEF =．前两式均有BH ，于是可得AD DF AB BH ⋅=，及CE EF BC BH ⋅=，所以，有CE F BC AD DF AB E ⋅⋅=．又因为AD ＝CE ，于是有AB ·DF ＝BC ·EF ．(证略)利用比例线段也可以证明两直线平行或两线段相等．例5 如图4-28，已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，AF 与BE 相交于G ，CE 和DF 相交于H ，求证：GH ∥AD ．图4-28点悟：条件中的AD ∥BC ，给出了两个基本图形，而AE ＝ED ，BF ＝FC ，又使从两个基本图形中给出的比例式有一个公共的比值，从中可以得到HF DH GFAG =．所以GH ∥AD ．证明：∵ AD ∥BC ，∴ GF AG BF AE =，HF DH FCED =．∵ AE ＝ED ，BF ＝FC ，∴ HF DH GFAG =，∴ GH ∥AD ．例6 如图4-29，已知：AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15cm ，AF ＝4cm ．求：BE 和DE 的长．图4-29点悟：题设中的两对平行线起着不同的作用．由DE ∥AC ，A D 平分∠BAC ，可以得到AE ＝DE ．这样已知及欲求的线段BE ，AE ，AB ，AF 都在AB 和AC 这两条边上，利用EF ∥BC ，就可以得到相应的比例线段．求得答案．解：∵ DE ∥AC ，∴ ∠3＝∠2，又AD 平分∠BAC ，∴ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠3，∴ ED ＝AE ．∵ EF ∥BC ，ED ∥CF ，∴ EDCF 为平行四边形，∴ ED ＝CF ＝AE ．设AE ＝x ，则 CF ＝x ，BE ＝15－x ．∵ EF ∥BC ，∴ CF AF BE AE =，即x x x 415=-，∴ 06042=-+x x 解得，)(101舍-=x ，62=x ．∴ DE ＝6cm ，BE ＝9cm ．例7 如图4-30，已知：在△ABC 中，AD 和BE 相交于G ，BD ∶DC ＝3∶1，AG ＝GD ．求BG ∶GE ．图4-30点悟：按照例4的分析，过点G 作GM ∥AC ，根据平行线截得比例线段定理，得BG ∶GE ＝BM ∶MC ，于是只要求出BM ∶MC 的值即可．解：作GM ∥AC 交BC 于M ，则 BG ∶GE ＝BM ∶MC ．∵ AG ＝GD ，∴ DC MC DM 21==．∵ 13=DC BD ，即1621=DC BD ，16=MC BD ．116+=+MC MC BD ，即17=MC BM ，∴ BG ∶GE ＝7∶1．点拨：以上四例中，我们复习了线段成比例和平行线分线段成比例的有关知识．【易错例题分析】例1 已知：在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP ＝3PC ，Q 是CD 的中点．求证：△ADQ ∽△QCP ．证明：在正方形ABCD 中，∵ Q 是CD 的中点，∴ 2=QC AD ，∵ 3=PC BP ，∴ 4=PC BC ．又∵ BC ＝2DQ ，∴ 2=PC DQ ．在△ADQ 和△QCP 中，PC DQ QCAD =，∠C ＝∠D ＝90°，∴ △ADQ ∽△QCP ．警示：证此类题应避免没有目标而乱推理的情况．例2一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图4-31(1)、(2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)．解：由AB ＝1.5米，5.1Δ=ABC S 平方米，得BC ＝2米．设甲加工的桌面边长为x 米，∵DE ∥AB ，Rt △CDE ∽Rt △CBA ，∴ AB DE CB CD=，即5.122xx =-．解得 76=x ，过点B 作Rt △ABC 斜边AC 上的高BH ，交DE 于P ，交AC 于H ．由AB ＝1.5米，BC ＝2米，5.1Δ=ABC S 平方米得AC ＝2.5米，BH ＝1.2米．设乙加工的桌面边长为y 米，∵ DE ∥AC ，∴ Rt △BDE ∽Rt △BAC ．∴ AC DE BH BP =，即5.22.12.1yy =-解得3730=y ，因为373076>即x ＞y ，22y x >，所以甲同学的加工方法符合要求．警示：解此类要避免看不出相似直角三角形而无法解的情况，更要避免看不出对应线段造成的比值写错而形成的计算错误．例3 如图4-32，AD 是直角△ABC 斜边上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F ．求证：BD BEAD AF=．图4-32(2002年，安徽)正解：∵ BA ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴ ∠B ＋∠BA D ＝∠BAD ＋∠DAC ＝90°，∴ ∠B ＝∠DAC ．又∵ ED ⊥DF ，∴ ∠BDE ＋∠EDA ＝∠EDA ＋∠ADF ＝90°，∴ ∠BDE ＝∠ADF ，∴ △BDE ∽△ADF ．∴ AF BE AD BD =，即 BD BEAD AF=．警示：本例常见的错误是不证三角形相似，直接进行线段的比，这是规范的一种情况．。

教案北师大版初中数学八年级下册《相似三角形》一. 教材分析北师大版初中数学八年级下册《相似三角形》一课，是在学生已经掌握了三角形的基本概念、性质和三角形的全等的基础上进行教学的。

本节课的主要内容是相似三角形的定义、性质和判定，以及相似三角形的应用。

通过本节课的学习，使学生能够掌握相似三角形的知识，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念、性质和三角形的全等，他们对这些知识有了一定的理解和运用。

但是，学生对于相似三角形的理解可能会有一定的困难，因为相似三角形与全等三角形有很大的相似性，但又有其特殊性。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，深化对相似三角形知识的理解。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握相似三角形的定义、性质和判定，能够运用相似三角形的知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：相似三角形的定义、性质和判定。

2.教学难点：相似三角形的判定和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法和引导发现法进行教学。

教师通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣；同时，鼓励学生进行合作学习，培养他们的团队精神和沟通能力；在教学过程中，教师注重引导学生发现知识，培养他们的自主学习能力。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔、三角板。

2.学具准备：学生每人准备一套三角板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念、性质和全等三角形的知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）（1）教师通过多媒体课件呈现一组相似的三角形，引导学生观察、思考，从而发现相似三角形的特征。

第四章相似图形4.5 相似三角形一、教材分析《相似三角形》是北师大版八年级下册第四章第五节的内容，在这之前学生已经学习了相似多边形，知道了相似多边形的本质特征，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节课由一般到特殊引出相似三角形的概念，并应用这一概念解决一些具体问题，在本章节的学习中占重要地位。

同时对后续教学内容起奠基作用，也为学生在今后学习和生活中更好的运用数学作准备。

二、学习目标：1、感知相似三角形的概念2、会识别两个相似三角形的对应角和对应边3、通过一些具体情境的应用深化对相似三角形的理解和认识。

三、重点、难点：重点：深入理解和认识相似三角形的概念。

难点：结合具体情境找出相似三角形的对应角、对应边。

四、教法：主要采用引导探究法、合作教学法、类比教学法完成本节教学。

五、学法学生在学习中主要采用自主探究，合作交流等方法学习，并通过观察、合作、讨论、归纳概括出相似三角形概念，并且发展学生智力，培养学生自学能力。

六、教学过程本次教学过程以学案教学为基本形式，主要分为三个层次：1、复习并创设情境，导入新课2、自主探究新课，并及时渗透能力训练3、当堂达标测试第一层次：复习并创设情境导入新课（温故而知新）1、什么是多边形？三角形是不是多边形？2、什么是相似多边形？两个多边形相似如何表示？（注：学生口答结论，用以下类比学习新知）3、相似多边形具有哪些性质？（注：鼓励学生用自己的语言表述，只要抓住实质即可，设计这些问题的目的，用以下面新课中类比学习新知识，此时，教师可进一步问“那同学们知道什么是相似三角形吗？”从而激发了学生兴趣，增强了他们的求知欲，让他们带着“问题”去学习，通过这一问题，也沟通了知识间的内在联系）第二层次：自主探究学习新知并渗透能力训练（“你才是学习的主人”）（一）推陈出新，探究新知（相信自己，你是最棒的！）1、________________________________ 是相似三角形。