中学物理竞赛讲义电势

《电势》讲义一、什么是电势在物理学中，电势是一个非常重要的概念。

简单来说，电势就像是一个“势能的高度”，用来描述电场中某一点所具有的能量性质。

想象一下，在一个山坡上，位置越高的地方，物体所具有的重力势能就越大。

类似地，在电场中，某一点的电势越高，电荷在这一点所具有的电势能就越大。

为了更形象地理解电势，我们可以把电场比作是一个高低不平的“势能场地”。

电荷在这个场地中移动时，其电势能会发生变化，而电势就是用来衡量这个场地中不同位置的势能高低的。

二、电势的定义电势的定义是：把单位正电荷从电场中的某一点移动到参考点（通常取为无穷远处或者大地）时，电场力所做的功。

这个定义可能听起来有点抽象，我们来举个例子。

假设有一个电场，我们要计算其中某一点 A 的电势。

我们把一个单位正电荷从 A 点移动到无穷远处，如果电场力对这个电荷做了 10 焦耳的功，那么 A 点的电势就是 10 伏特。

需要注意的是，电势是一个相对的概念，就像高度一样。

我们说一个地方的高度是多少，总是相对于某个基准面而言的。

在电势中，参考点就是这个基准。

三、电势的单位电势的国际单位是伏特（V），它是以意大利物理学家亚历山德罗·伏特的名字命名的。

1 伏特等于 1 焦耳/库仑。

这意味着，如果在电场中移动 1 库仑的电荷，电场力做了 1 焦耳的功，那么这个位置的电势就是 1 伏特。

除了伏特，在一些特定的情况下，还可能会用到毫伏（mV）、千伏（kV）等单位。

四、电势差电势差是指电场中两点之间电势的差值。

它也被称为电压。

比如说，A 点的电势是 10 伏特，B 点的电势是 5 伏特，那么 A、B 两点之间的电势差就是 5 伏特。

电势差是非常重要的概念，在电路中，电流的产生就是由于存在电势差，电荷在电势差的作用下定向移动，从而形成电流。

五、等势面在电场中，电势相等的点所组成的面叫做等势面。

等势面有一些重要的性质。

首先，等势面与电场线垂直。

这是因为如果不垂直，电场力就会在等势面上做功，这与等势面的定义矛盾。

2020高中物理竞赛江苏省苏州高级中学竞赛讲义第五章静电场第二次课：2学时1 题目：§5.3 电势§5.4 电容静电场的能量2 目的：1）会计算几种典型的带电体的电势2）建立电场能量的概念一、引入课题本章从功能角度研究静电场的性质。

二、讲授新课§5.3 电势一、静电场力所做的功在点电荷q的电场中，把另一点电荷q0由a点→b点(沿路径L) 过程中，电场力作的功1b 00d d d cosA q E l q E lθ=⋅=⋅⋅vv00cosA q E dl q Edlθ==⎰⎰u r rg式中结论:功仅与 的始末位置有关，与路径无关。

静电场力是保守力。

静电场是保守场，又称势场。

2 任意电荷的电场（视为点电荷的组合） 在点电荷系q 1、q 2、…的电场中，移动q 0，有 根据电场的叠加原理 则结论：电荷在静电场中移动时，电场力所作的功与该电荷及其在电场中的起始和终了位置有关，而与电荷所经历的路径无关。

对连续带电体的场强同样可得此结论静电力作功与路径无关，静电场是保守场。

二、静电场的环路定理（安培环路定理） 在静电场中，沿闭合路径积分 即可知，静电场是保守场。

在静电场中，电场场强沿任意闭合路径的线积分等于零。

这一规律称为静电场的安培环路定理。

讨论：d 0LE l ⋅=⎰v v Ñd cos d l rθ=204 πq E r ε=0020011d ()44b ar r a bq q q q A r r r r πεπε==-⎰q iiE E =∑v v0d lA q E l =⋅⎰vv 0d i l iq E l=⋅∑⎰vv baL 21212000()()00()()0baL a L b bbL a L aA q E dlq E dl q E dl q E dl q E dl=•=•+•=•-•=⎰⎰⎰⎰⎰rr rr r r r r r r Ñ1) 环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。

11.2电势一、电势叠加原理某点的总电势等于各场源电荷在该点产生的电势的标量和。

二、几种常见电场的电势1、距离点电荷 r 处的电势（微元法证明）rkQ =ϕ2、半径为R 的均匀带电薄球壳壳外：r kQ =ϕ 壳内：RkQ=ϕ例1、（1）解释：接触起电中电量均分定理的适用条件为两个小球完全相同。

（2）解释：不规则导体，尖的部位电荷面密度较大。

244kQ k R k R R Rσπϕπσ===例2、求带电量为Q ，半径为R 的均匀带电细环在圆心处的电势kQ Rϕ=例3、半径为R 2的导体球壳包围半径为R 1的金属球，金属球具有电势U 1。

如果让球壳接地。

那么金属球的电势变为多少？例4、一个半径为a 的孤立带电金属丝环，其中心处电势为U 0，将此球靠近圆心为O 1、半径为b 的接地的导体球，只有球中心O 位于球面上，如图所示，试求球上感应电荷的电量。

例5、如图所示，两个同心导体球，内球半径为R 1，外球是个球壳，内半径为R 2，外半径R 3.在下列各种情况下求内外球壳的电势差以及壳内空腔和壳外空间的电势分布规律.（1）内球带q +，外球壳带Q +. （2）内球带q +，外球壳不带电.（3）内球带q +，外球壳不带电且接地.（4）内球通过外壳小孔接地，外球壳带Q +.【解析】如错误!未找到引用源。

所示，根据叠加原理:(1)R 1处有均匀的+q ，R 2必有均匀的-q ，R 3处当然有+(Q+q)电荷，因此：内球1123q q Q qU k k k R R R +=-+外球233()()q q k Q q k Q q U kk r r R R ++=-+= 上式中23R r R << 电势差121212q qU U U k k R R =-=- 腔内23()q q k Q q U kk r R R +=-+内 (R 1<r<R 2) 壳外33()()q q k Q q k Q q U k k r r R R ++=-+=外 (r>R 3)(2)R 1处有+q ，R 2处有-q ，R 3处有+q ，因此：内球1123q q qU k kk R R R =-+ 外球233q q q qU k k k k r r R R =-+=上式中23R r R << 电势差121212q qU U U kk R R =-=- b aO O 1腔内23q q kq U kk r R R =-+内 (R 1<r<R 2) 壳外q q kq kqU k k r r r r=-+=外 (r>R3)（3）R 1处有+q ，R 2处有-q ，外球壳接地，外球壳U 2=0，R 3处无电荷.内球112q q U k k R R =- 电势差121212q qU U U k k R R =-=-腔内2q qU k k r R =-内 (R 1<r<R 2)壳外0q qU k k r r=-=外 （r ＞R 3） （4）内球接地电势为零，内球带'q -，R 2处有'q +，R 3处有()Q q '+-，先求q ′，因为:123''(')0q q k Q q k k R R R --++= 解得:12122313QR R q R R R R R R '=+-内球:10U =外球:2223'''q q Q q U k k k R R R -=-++ 21122313()kQ R R R R R R R R -=+- 21U =腔内:23'inside q q Q q U k k kr R R ''-=-++ 21122313(1)kQR RR R R R R R r=-+- (R 1<r<R 2) 壳外:3'outside q q Q q U kk k r r R ''-=-++ 321122313()()kQR R R R R R R R R r-=+- （r ＞R 3）例6、如图所示，O 为半径等于R 的原来不带电的导体球的球心，O 1、O 2、O 3为位于球内的三个半径皆为r 的球形空腔的球心，它们与O 共面，已知2321ROO OO OO ===．在OO 1、OO 2的连线上距O 1、O 2为2r的P 1、P 2点处分别放置带电量为q 1和q 2的线度很小的导体（视为点电荷），在O 3处放置一带电量为q 3的点电荷，设法使q 1、q 2和q 3固定不动．在导体球外的P 点放一个电量为Q 的点电荷，P 点与O 1、O 2、O 3共面，位于O O 3的延长线上，到O 的距离R OP 2=． 1．求q 3的电势能．2．将带有电量q 1、q 2的小导体释放，当重新达到静电平衡时，各表面上的电荷分布有何变化？ 此时q 3的电势能为多少？1．由静电感应知空腔1、2及3的表面分别出现电量为1q -、2q -和3q -的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量321q q q ++．由静电屏蔽可知，点电荷q 1及感应电荷（1q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷q 2及感应电荷（2q -）在空腔外产生的电场为零；点电荷q 3及感应电荷（3q -）在空腔外产生的电场为零．因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量321q q q ++作球对称分布．当球外P 点处放置电荷Q 后，由于静电感应，球面上的总电量仍为()321q q q ++，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的Q 和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零．O 3处的电势由位于P 点处的Q 、导体球表面的电荷()321q q q ++及空腔3表面的感应电荷（3q -）共同产生．无论()321q q q ++在球面上如何分布，球面上的面电荷到O 点的距离都是R ，因而在O 点产生的电势为R q q q k321++， Q 在O 点产生的电势为RQk 2，这两部分电荷在O 3点产生的电势U '与它们在O 点产生的电势相等，即有⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++='R q q q Q k R Q R q q q k U 22222321321（1）因q 3放在空腔3的中心处，其感应电荷3q -在空腔3壁上均匀分布．这些电荷在O 3点产生的电势为rq kU 3-='' (2)根据电势叠加定理，O 3点的电势为⎪⎭⎫⎝⎛-+++=''+'=r q R q q q Q k U U U 33212222(3)故q 3的电势能⎪⎭⎫⎝⎛-+++==r q R q q q Q kq U q W 3321332222(4)2． 由于静电屏蔽，空腔1外所有电荷在空腔1内产生的合电场为零，空腔1内的电荷q 1仅受到腔内壁感应电荷1q -的静电力作用，因q 1不在空腔1的中心O 1点，所以感应电荷1q -在空腔表面分布不均匀，与q 1相距较近的区域电荷面密度较大，对q 1的吸力较大，在空腔表面感应电荷的静电力作用下，q 1最后到达空腔1表面，与感应电荷1q -中和．同理，空腔2中q 2也将在空腔表面感应电荷2q -的静电力作用下到达空腔2的表面与感应电荷2q -中和．达到平衡后，腔1、2表面上无电荷分布，腔3表面和导体球外表面的电荷分布没有变化．O 3的电势仍由球外的电荷Q 和导体球外表面的电量()321q q q ++及空腔3内壁的电荷3q -共同产生，故O 3处的电势U 与q 3的电势能W 仍如(3)式与(4)式所示．二、电像法比较等量异种点电荷周围的电场和点电荷与接地导体板周围的电场。

电势能和电势一、静电力做功与电势能的变化 1．静电力做功和特点：静电力对电荷做的功只与电荷的起始位置和终止位置有关，而与电荷经过的路径无关。

这一点跟重力做功很相似．说明：这一结论在匀强电场中适用，在非匀强电场中也适用。

2．电势能：定义：电荷在电场中具有的能叫做电势能，用Ep 表示． 单位：焦耳， 是标量． 3．静电力做功与电势能变化的关系：静电力对电荷做了功，电势能就发生了变化，静电力对电荷做了多少功，就有多少电势能转化为其他形式的能，电荷克服静电力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电势能．也就是说，静电力做功是电势能转化为其他形式的能的度量，所以： 静电力做功等于电势能的减少量，即pB pA AB E E W -=静电力做正功，电势能一定减少，静电力做负功，电势能一定增加． 4．电势能的大小．电势能是标量，电势能的大小是相对于参考位置来说的，（所谓参考位置就是电势能为零的位置）参考位置的选取是任意的，通常取无限远处或大地为参考点，即电势能零点，设电荷在电场中某点A 的电势能为E p A ，移动到参考点O 时电场力做功W AO ，则W AO ＝E p A －E p O ，若规定O 点为参考点就有E p O ＝0，则：E p A ＝W AO所以：电荷在某点的电势能等于把它从这点移动到零势能点位置时电场力做的功。

5．重力势能与电势能的比较．例1：右图中MN 为电场中某一条电场线方向向右，在线取两点a 、b 今将一电荷＋q 从a 移到b 则（ ）重力势能电势能重力做功与路径无关，只与始末位置有关静电力做功与路径无关，只与始末位置有关重力做正功，重力势能减小．重力做负功，重力势能增加静电力做正功，电势能减小．静电力做负功，电势能增加重力势能的数值具有相对性，可以为正值，可以为负值，也可以为零 电势能的数值具有相对性，可以为正，可以为负，也可以是零 重力势能是标量电势能是标量A.电场力做正功，＋q的电势能增加；B.电场力做负功，＋q的电势能增加；C.电场力做正功，＋q的电势能减少；D.电场力做负功，＋q的电势能减少。