【精编】奥数精编训练-三角形等高模型与鸟头模型(一)
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板块一 三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1DCBA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形．例题精讲4-3-1.三角形等高模型与鸟头模型【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？DCBA【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米．ED CA【巩固】(2009年四中小升初入学测试题)如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【巩固】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是 ．CDE【例 4】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．E BAE BA【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCBBCG E【例 5】 长方形ABCD 的面积为36，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？EEE【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．【例6】如右图，E在AD上，AD垂直BC，12AD=厘米，3DE=厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ED CBA【例7】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？FDECBA【巩固】如图，在△ABC 中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与△ABE 等积的三角形一共有哪几个三角形？EDC BA【巩固】如图，在梯形ABCD 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ODBA【例 8】 如图，三角形ABC 的面积为1，其中3AE AB =，2BD BC =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【例 9】 如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC ∆的面积是 平方厘米．AA【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF的长是BF 长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？CB【巩固】如图，在长方形ABCD 中，Y 是BD 的中点，Z 是DY 的中点，如果24AB =厘米，8BC =厘米，求三角形ZCY 的面积．ABC DZ Y【巩固】如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA【巩固】如图，在三角形ABC 中，8BC =厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形EBF 的面积是多少平方厘米？FE CBA【例 10】 如图所示，A 、B 、C 都是正方形边的中点，△COD 比△AOB 大15平方厘米。
△AOB的面积为 平方厘米。
A【例 11】 如图ABCD 是一个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是36个平方单位，求三角形EFG 的面积是多少个平方单位．F EG D C BAF EGDC BA【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？DD【例12】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．【例13】图中ABCD是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米。
连接BE交AD于P，再连接PC。
则图中阴影部分的面积是( )平方厘米。
A(A)6.36 (B)3.18 (C)2.12 （D）1.59【例14】如图，BC是半径为6的圆O上的弦，且BC的长度与圆的半径相等，A是圆外的一点，OA的长度为12，且OA与BC平行，那么图中阴影部分的面积是。
（π 3.14）A【巩固】在下图中，A 为半径为3的⊙0外一点。
弦BC ∥A 0且BC =3。
连结AC 。
阴影面积等于 .(π=3.14)A【例 15】 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【例 16】 如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．【例 17】 如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分．三角形BDC 的面积比三角形ABD的面积大10平方分米．已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米．求梯形ABCD 的面积．DCBA【例 18】 图中AOB 的面积为215cm ，线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积．OCBDA【例 19】 如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形．DCBAA′ABD【例 20】 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红【例 21】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？【例 22】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CHCH【例 23】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．BAAB D【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ∆的面积是5，求阴影BPD ∆的面积．BAAB D【例 24】 在长方形ABCD 内部有一点O ，形成等腰AOB ∆的面积为16，等腰DOC ∆的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC ∆的面积是多少？D【例 25】 如右图所示，在梯形ABCD 中，E 、F 分别是其两腰AB 、CD 的中点，G 是EF 上的任意一点，已知ADG ∆ 的面积为215cm ，而BCG ∆的面积恰好是梯形ABCD 面积的720，则梯形ABCD 的面积是 2cm ．A B CDEFGA B CDEFG【例 26】 如图所示，四边形ABCD 与AEGF 都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．GFECB AGFEDCB A【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？A BGC E F DA BGCEF D【例 27】 如图，正方形ABCD 的边长为6，AE ＝1.5，CF ＝2．长方形EFGH 的面积为 ．HGFEDCBA【例 28】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC，如果ADE 的面积为4平方厘米．求三角形CDF的面积．AEBFC DD CFBA【巩固】如右图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若1ADE S △，求BEF △ 的面积．AB CDEFABCDEF【例 29】 梯形ABCD 中，AE 与DC 平行，15ABE S ∆=,BCF S ∆= .FEDCBA【例 30】 图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．【例 31】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KEBA K PEBA【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．AA【巩固】如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ．FF【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【巩固】已知正方形ABCD 边长为10，正方形BEFG 边长为6，求阴影部分的面积．GABGAB【例 32】 于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG F E D C B AHGF ED C B A【例 33】 如下图，E 、F 分别是梯形ABCD 的下底BC 和腰CD 上的点，DF FC =，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等．已知梯形ABCD 的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积．BC【例 34】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F ED CAF ED CA F ED CB A【例 35】 如图，在平行四边形ABCD 中，BE EC =，2CF FD =．求阴影面积与空白面积的比．B【例 36】 如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．E baOD CBA【例 37】 如图，在梯形ABCD 中，:4:3AD BE =，:2:3BE EC =，且BOE ∆的面积比AOD ∆的面积小10平方厘米．梯形ABCD 的面积是 平方厘米．OAB CDE【巩固】如图，BD 是梯形ABCD 的一条对角线，线段AE 与DC 平行，AE 与BD 相交于O 点．已知三角形BOE 的面积比三角形AOD 的面积大4平方米，并且25EC BC =．求梯形ABCD的面积．OA B CDEOA B CDE【例38】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49．那么图中阴影部分的面积是多少？E【例 39】图中是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形．将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米？【例40】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，2EC DE=，F是DG的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？【例41】如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF DC=,且2=．则两块地ACF和CFB的面积比是_________．AD DEF E DCB AF E DCB AG FE DCBA【例 42】 如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．KJIH GFE DC B A【巩固】如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，并且OAB ∆、ABC ∆、BCD ∆、CDE ∆、DEF ∆的面积都等于1，则DCF ∆的面积等于 ．O【例 43】 E 、M 分别为直角梯形ABCD 两边上的点，且DQ 、CP 、ME 彼此平行，若5AD =，7BC =，5AE =，3EB =．求阴影部分的面积．B CEB CE【例 44】 已知ABC 为等边三角形，面积为400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【例 45】 如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【巩固】如图，点D 、E 、F 在线段CG 上，已知2CD =厘米，8DE =厘米，20EF =厘米，4FG =厘米，AB 将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平方厘米，则三角形ADG 的面积是多少平方厘米？ABCD EFGGFED CBA【例 46】 如图，正方形的边长为10，四边形EFGH 的面积为5，那么阴影部分的面积是 ．ABAB【巩固】如图，正方形的边长为12，阴影部分的面积为60，那么四边形EFGH 的面积是 ．ABAB【例 47】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．BA【巩固】如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN 的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．NOMPDCBA【巩固】如图所示，矩形ABCD 的面积为36平方厘米，四边形PMON 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，2AE ED ，则阴影部分的面积为 ．BB【例 48】 如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？【例 49】 如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为10cm 的正方形，则阴影部分四边形的面积是 2cm ．QP N MHG FEA B CD【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？QP N MHG F EA BCD【巩固】已知正方形的边长为10，3EC =，2BF =，则ABCD S =四边形 ．FE DC BANMA B CDEF【例 50】 如图，三角形AEF 的面积是17，DE 、BF 的长度分别为11、3．求长方形ABCD 的面积．A B CDEFMHG A B CDEF【例 51】 如图，长方形ABCD 中，67AB =，30BC =．E 、F 分别是AB BC 、边上的两点，49BE BF +=．那么，三角形DEF 面积的最小值是 ．A BC D E FM NO A BC D EF【例 52】 ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．【例 53】 如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是ABCD 各边的中点，求阴影部分与四边形PQRS 的面积之比．【巩固】如图，E 、F 、G 、H 分别是四边形ABCD 各边的中点，FG 与FH 交于点O ，1S 、2S 、3S 及4S 分别表示四个小四边形的面积．试比较13S S +与24S S +的大小．OS 4S 3S 2S 1H GFEDC BAOS 4S 3S 2S 1H GFEDC BA【例 54】 如图，四边形ABCD 中，::3:2:1DE EF FC =，::3:2:1BG GH AH =，:1:2AD BC =，已知四边形ABCD 的面积等于4，则四边形EFHG 的面积= ．HG F EDCB AHG F EDCBA【拓展】如图，对于任意四边形ABCD ，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形EFGH ，求四边形EFGH 的面积是四边形ABCD 的几分之几？K JPON M HG ABCDEF【例 55】 有正三角形ABC ，在边AB 、BC 、CA 的正中间分别取点L 、M 、N ，在边AL 、BM 、CN 上分别取点P 、Q 、R ，使LP MQ NR ==，当PM 和RL 、PM 和QN 、QN 和RL 的相交点分别是X 、Y 、Z 时，使XY XL =．这时，三角形XYZ 的面积是三角形ABC 的面积的几分之几？请写出思考过程．A BCN M QR P L XY Z【例 56】 如图：已知在梯形ABCD 中，上底是下底的23，其中F 是BC 边上任意一点，三角形AM E 、三角形BM F 、三角形NFC 的面积分别为14、20、12．求三角形NDE 的面积．CDNFEM BAhCDNFEMBA【例 57】 如图，已知ABCD 是梯形，AD ∥BC ，:1:2AD BC =，:1:3AOF DOE S S ∆∆=，224cm BEF S ∆=，求AOF ∆的面积．O FDECBACB【例 58】 如图，ABCD 是一个四边形，M 、N 分别是AB 、CD 的中点．如果ASM ∆、MTB ∆与DSN ∆的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD 的面积为 ．MNTSDC B AMNTSDC BA【例 59】 直角边长分别为18厘米,10厘米的直角△ABC 和直角边长分别为14厘米,4厘米的直角△ADE 如图摆放．M 为AE 的中点，则△ACM 的面积为 平方厘米．【例 60】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PAC 的面积为6，求平行四边形PGDF 的面积比平行四边形PEBH 的面积大 ．B【例 61】 如图，平行四边形ABCD 与平行四边形EFCG 是两个形状一模一样的平行四边形，点G 、D 、都在线段AE 上，三角形BEF 的面积是2，那么三角形ABD 的面积是____.GFEDCBA【例62】如图长方形ABCD，AB = 24，BC = 18，把AB边对折到AC上与AC重合，把AD边也对折到AC上与AC重合，请问得到的新图形的面积是多少？BCEBC。
