等底等高模型-小学奥数

等高（等底）模型【知识点分析】1 基础知识：三角形面积=底.K高昇斯哄：三角形面枳的丸小，取决于三角瞪底和高的乘积.若底不变，高越大（小），面积越大a卜）；若高不变，底越丸（小儿面积越大（小）；2. 模型结论：①两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；女！■图S] * —a * b②两个三角形底相等，面积比等于它们的髙之比：特殊:等底等高的两个三角形面积相等；（注意平行线）其他常用蛀论：（1）夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图$*=£*；反之，如果则可知宜线曲平行于CD.（2）等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；（3）三甫形罰积等于与它等底等高的平行四边珈圍积妁一半；（4）两个平行四边形高相等*面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.3、拓展结论：拓展1:图（1）:四边形ABCD为正方形，E、F、G是各边中点，H是是AD上任意一点，贝US阴二扌S正证明：连接BH、CH,根据等高等底知：S©=S②，S云S空S⑥三S⑥，所以正图（2）：四边形ABCD为正方形，E、F、G是各边三等分点，H是是AD上任意一点、,则S阴气S正（证明方法同上）图（3）:四边形ABCD为长方形，E、F、G是各边中点，H是是AD上任意一点，则S十丄S长（证明方法同上）2拓展2：图（2）: S赵S小正，证明同上（辅助线如图）图（3）: S阴二大正，证明同上（辅助线如图）图⑷：$阴=gs中正，证明：辅助线如图，根据平行s，、RE=S住阳,所以,S阴冷S中【典型例题】W 1：如右因，E在AD上.AD至直BC・ylD = 12 ^耒，DE = 3圧米.求三角形ABC的和积是三角形EBC面积的几倍？例2:长方形ABCD的面积为36, E> F. G为各边中点，H为AD边上任意一点, 问阴影部分面积是多少？例3:（第6届走美杯5年级决春第8題）央如图，A. B、C都是正方形边的中A, ACOD比AAOB大15平方厘米。

等高（等底）模型
练一练
1.如图，E在AD上，AD垂直BC于D，AD12 厘米，DE 3 厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC 面积的几倍
A
E
B D C
•
2．如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8 平方厘米．平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米
D C
F
A
E B
3.如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24 厘米，BC8 厘米，求三角形ZCY的面积．
D C
Z Y
A B
4. 如图所示，一个面积是100 的长方形分成4 个不同的三角形．问：红色部分的面积和是多少
5.如图所示，四边形ABCD是梯形，面积是40，E是AB的中点，求阴影部分的面积.
6.如图，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4 厘米，BC的长是3 厘米，那么
图中阴影部分的面积是多少平方厘米
A B
E F
D C
7.校园里有一块长方形的地长18 米，宽12 米，想种上红花、黄花和绿草.（除长方
形四个顶点外，其余各点均为各边中点）.一种设计方案如图，那么其中红花和黄花
的面积和是＿＿＿＿平方米.。

小学奥数-几何五大模型（等高模型）三角形等高模型与鸟头模型模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)；如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时1发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来3的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图S1:S2a:bABS1aS2bCD③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACDS△BCD；反之，如果S△ACDS△BCD，则可知直线AB平行于CD．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。

【解析】⑴如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：B【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。

⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ABDC【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC 和DC为底时，它们的高都是从A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。

小学奥数-几何五大模型(等高模型)模型一 三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底⨯高2÷从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图 12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；三角形等高模型与鸟头模型两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。

【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：CEDBAFC DB A G D CB A⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考：⑸⑷⑶⑵⑴⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

模型一三角形等高模型已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时1发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来3的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化. 同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如图S i :S2 a:b③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD S A BCD ；反之，如果S A ACD S A BCD，则可知直线AB平行于CD •④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.你有多少种方法将任意一个三角形分成： ⑴3个面积相等的三角形； ⑵4个面积相等的三角形； ⑶ 6个面积相等的三角形。

⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一：⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考:如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。

⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？⑵求三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍?因为三角形 ABD 、三角形 ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从 A 点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。

等高（等底）模型
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1.如图，E在AD上，AD垂直BC于D，AD=12厘米，DE=3厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
A
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B D C
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2．如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？
D C
F
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E B
3.如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积．
D C
Z Y
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4. 如图所示，一个面积是100的长方形分成4个不同的三角形．问：红色部分的面积和是多少？
5.如图所示，四边形ABCD是梯形，面积是40，E是AB的中点，求阴影部分的面积.
6.如图，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那
么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
A B
E F
D C
7.校园里有一块长方形的地长18米，宽12米，想种上红花、黄花和绿草.（除长方
形四个顶点外，其余各点均为各边中点）.一种设计方案如图，那么其中红花和黄花
的面积和是＿＿＿＿平方米.。

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1.如图，E在AD上，AD垂直BC于D，AD=12厘米，DE=3厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
A
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B D C
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2．如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？
D C
F
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E B
3.如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积．
D C
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A B
4. 如图所示，一个面积是100的长方形分成4个不同的三角形．问：红色部分的面积和是多少？
5.如图所示，四边形ABCD是梯形，面积是40，E是AB的中点，求阴影部分的面积.
6.如图，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那
么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
A B
E F
D C
7.校园里有一块长方形的地长18米，宽12米，想种上红花、黄花和绿草.（除长方
形四个顶点外，其余各点均为各边中点）.一种设计方案如图，那么其中红花和黄花
的面积和是＿＿＿＿平方米.。

教学过程课堂精讲一、知识梳理1、三角形的面积=底边长 高÷2;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。

2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。

3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。

4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半；5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半；例1、如图，直角三角形ABC中AB=2,BC=2，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？拓展、如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE 的面积是多少？例2、如下图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为6平方厘米，ABC ∆的面积是多少平方厘米？FE DCBA拓展、如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，三角形ADE 面积为3，三角形BDE 、三角形ABC 面积分别是多少？拓展、如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．F E DCBA拓展、如图,一个长方形被分成4个不同颜色的三角形,红色三角形的面积是9平方厘米,黄色三角形的面积是21平方厘米,绿色三角形的面积是10平方厘米,那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米?例5、图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？E D GCFBA拓展、正图长方形ABCD 的面积是32平方厘米，E 、F 都是所在边的中点，三角形AEF 的面积是多少？例6、已知正方形ABCD的边长是10厘米，正方形EFGH的面积是多少？拓展、已知大正方形的边长是12厘米，中间最小正方形的面积是多少？拓展、如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？例7、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．拓展、右图是由大、小两个正方形组成的，大正方形的边长是6厘米，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．G4AB CDEF例8、四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，已知三角形AFH 的面积是7平方厘米。

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1.如图，E在AD上，AD垂直BC于D，AD12 厘米，DE 3 厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC 面积的几倍
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2．如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8 平方厘米．平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米
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3.如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24 厘米，BC8 厘米，求三角形ZCY的面积．
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4. 如图所示，一个面积是100 的长方形分成4 个不同的三角形．问：红色部分的面积和是多少
5.如图所示，四边形ABCD是梯形，面积是40，E是AB的中点，求阴影部分的面积.
6.如图，ABFE和CDEF都是长方形，AB的长是4 厘米，BC的长是3 厘米，那么
图中阴影部分的面积是多少平方厘米
A B
E F
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7.校园里有一块长方形的地长18 米，宽12 米，想种上红花、黄花和绿草.（除长方
形四个顶点外，其余各点均为各边中点）.一种设计方案如图，那么其中红花和黄花
的面积和是＿＿＿＿平方米.
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