版高考数学一轮复习第四章解三角形讲义

第四章 解三角形命题探究(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B===. 由正弦定理=,得AB===5. (2)在△ABC 中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos =-cos Bcos +sinB·sin ,又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-.因为0<A<π,所以sin A==.因此,cos =cos Acos +sin Asin=-×+×=.考纲解读分析解读江苏高考对本部分的内容是每年必考,所以这部分内容是高考热点,试题类型主要是解答题,偶考填空题.(1)考小题,重在能力:主要和其他知识相综合,体现知识的交汇性,一般和平面向量、不等式、函数等知识相结合,对能力要求较高.(2)考大题,重在本质:和三角函数相关知识相融合,考查正、余弦定理与三角变换的熟练运用.(3)考应用,融入三角形之中:以实际问题为背景,通过建立数学模型解决问题,主要考查运用三角公式进行恒等变换的能力.五年高考考点一正弦、余弦定理1.(2016课标全国Ⅰ改编,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b= .答案 32.(2016山东改编,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A= .答案3.(2016天津理改编,3,5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC= .答案 14.(2016北京,13,5分)在△ABC中,∠A=,a=c,则= .答案 15.(2015北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则= .答案 16.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为.答案87.(2015重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC= .答案8.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案79.(2014江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sin A+sin B=2sin C,则cos C的最小值是.答案10.(2016四川,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.(1)证明:sin Asin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.解析(1)证明:根据正弦定理,可设===k(k>0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入+=中,有+=,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,得sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理的推论,有cos A==.所以sin A==.由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B==4.教师用书专用(11—18)11.(2017课标全国Ⅱ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B= .答案60°12.(2017课标全国Ⅰ文改编,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cosC)=0,a=2,c=,则C= .答案13.(2017山东理改编,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是.①a=2b;②b=2a;③A=2B;④B=2A.答案①14.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A 的值为.答案-15.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC面积的最大值为.答案16.(2013浙江理,16,4分)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BA M=,则sin∠BAC=.答案17.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.解析(1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD===.(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,所以sin∠CAD===,sin∠BAD===.于是sin α=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=×-×=.在△ABC中,由正弦定理,得=,故BC===3.18.(2014辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析(1)由·=2得c·acos B=2,又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sin B===,由正弦定理,得sin C=sin B=×=.因为a=b>c,所以C为锐角.因此cos C===.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.考点二解三角形及其应用1.(2017浙江,14,5分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连结CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.答案;2.(2016课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= .答案3.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD= m.答案1004.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.解析本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.(1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10,AM=40,所以MC==30,从而sin∠MAC=.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1==16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1==24,从而GG1===40.设∠EGG1=α,∠ENG=β,则sin α=sin=cos∠KGG1=.因为<α<π,所以cos α=-.在△ENG中,由正弦定理可得=,解得sin β=.因为0<β<,所以cos β=.于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sin αcos β +cos αsin β=×+×=.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG,交EG的延长线于Q2,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2==20.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm)5.(2014江苏,18,16分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸),tan∠BCO=.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?解析解法一:(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60),C(170,0),直线BC的斜率k BC=-tan∠BCO=-.因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率k AB=.设点B的坐标为(a,b),则k BC==-,k AB==.解得a=80,b=120.所以BC==150(m).因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m(0≤d≤60).由条件知,直线BC的方程为y=-(x-170),即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r==.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以即解得10≤d≤35.故当d=10时,r=最大,即圆面积最大.所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图,延长OA,CB交于点F.因为tan∠FCO=,所以sin∠FCO=,cos∠FCO=.因为OA=60 m,OC=170 m,所以OF=OCtan∠FCO= m,CF== m,从而AF=OF-OA= m. 因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=.又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB= m,从而BC=CF-BF=150 m.因此新桥BC的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连结MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,设MD=r m,OM=d m(0≤d≤60).因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO====,所以r=.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,所以即解得10≤d≤35.故当d=10时,r=最大,即圆面积最大.所以当OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.6.(2013江苏,18,16分)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解析(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.由=,得AB=×sin C=×=1 040(m).所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为d m,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50),因0≤t≤,即0≤t≤8,故当t= min时,甲、乙两游客距离最短.(3)由=,得BC=×sin A=×=500(m).乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在(单位:m/min)范围内.教师用书专用(7—16)7.(2013福建理,13,4分)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为.答案8.(2016天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=bsin A.(1)求B;(2)若cos A=,求sin C的值.解析(1)在△ABC中,由=,可得asin B=bsin A,又由asin 2B=bsin A,得2asin Bcos B=bsinA=asin B,所以cos B=,得B=.(2)由cos A=,可得sin A=,则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin=sin A+cos A=.9.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=,求cos C的值.解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由cos B=得sin B=,cos 2B=2cos2B-1=-,故cos A=-,sin A=,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.10.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sin A+sin C=2si n(A+C).(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由余弦定理得cos B==≥=,当且仅当a=c时等号成立.∴cos B的最小值为.11.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2D C.(1)求;(2)若∠BAC=60°,求∠B.解析(1)由正弦定理得=,=.因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以==.(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=cos∠B+sin∠B.由(1)知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=,即∠B=30°.12.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.由A=,即B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,所以2sin Ccos C=sin2C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.13.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B≠0,从而tan A=,由于0<A<π,所以A=.(2)解法一:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以△ABC的面积为absin C=.14.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btan A,且B为钝角.(1)证明:B-A=;(2)求sin A+sin C的取值范围.解析(1)证明:由a=btan A及正弦定理,得==,所以sin B=cos A,即sin B=sin. 又B为钝角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=.(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-=-2A>0,所以A∈.于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+.因为0<A<,所以0<sin A<,因此<-2+≤.由此可知sin A+sin C的取值范围是.15.(2013课标全国Ⅰ理,17,12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.解析(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2××cos 30°=.故PA=.(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sin α.在△PBA中,由正弦定理得=,化简得cos α=4sin α.所以tan α=,即tan∠PBA=.16.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sinAcos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求△ABC的面积.解析(1)由题意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-+2B-=π,即A+B=,所以C=.(2)由(1)及c=,sin A=,=,得a=,由a<c,得A<C.从而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,所以,△ABC的面积为S=acsin B=.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一正弦、余弦定理1.(苏教必5,一,1,变式)若△ABC的面积为,BC=2,C=60°,则边AB的长度等于.答案 22.(2017江苏苏州期中,8)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=2bc,sin C=3sin B,则A= .答案60°3.(2017江苏南京高淳质检,6)在△ABC中,已知A=45°,C=105°,BC=,则AC= .答案 14.(2017江苏徐州沛县中学质检,9)在△ABC中,已知BC=2,AC=,B=,那么△ABC的面积是.答案5.(2017江苏泰州姜堰期中,16)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=1,b=2,cos C=.(1)求△ABC的周长;(2)求cos(A-C)的值.解析(1)由余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcos C=1+4-2×1×2×=4,所以c=2,所以△ABC的周长为5.(2)在△ABC中,因为cos C=,所以sin C=,由=,可得sin A=,由余弦定理得cos A==,所以cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C=.考点二解三角形及其应用6.(2018江苏姜堰中学期中)分别从地面上距离旗杆底端10米、20米、30米的A,B,C处测得杆顶的仰角为α,β,γ,且α+β+γ=90°,则旗杆高米.答案107.(2016江苏南通、扬州、泰州调研,15)在斜三角形ABC中,tan A+tan B+tan Atan B=1.(1)求角C的大小;(2)若A=15°,AB=,求△AB C的周长.解析(1)因为tan A+tan B+tan Atan B=1,即tan A+tan B=1-tan Atan B.因为在斜三角形ABC中,1-tan Atan B≠0,所以tan(A+B)==1,即tan(180°-C)=1,亦即tan C=-1.因为0°<C<180°,所以C=135°.(2)在△ABC中,A=15°,C=135°,则B=180°-A-C=30°.△ABC中,由正弦定理得===2,故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=,CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+CA+BC=+1+=.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:100分时间:50分钟)一、填空题(每小题5分,共25分)1.(2018江苏东台安丰高级中学月考)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=b+1=a+2,C=2A,则△ABC 的面积等于.答案2.(2018江苏海安中学阶段测试)在△ABC中,已知AB=5,BC=3,B=2A,则边AC的长为.答案23.(2018江苏南通中学高三阶段测试)在△ABC中,角A、B、C的对边依次为a、b、c,若△ABC为锐角三角形,且满足c2-b2=ab,则-+2sin C的取值范围是.答案4.(2018江苏盐城高三(上)期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=,a=4,角A的平分线交边BC于点D,其中AD=3,则S△ABC= .答案125.(苏教必5,一,2,变式)在△ABC中,已知AB=,cos∠ABC=,AC边上的中线BD=,则sin A= .答案二、解答题(共75分)6.(2018江苏徐州铜山中学期中)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+2c=2bcos A.(1)求角B的大小;(2)若b=2,a+c=4,求△ABC的面积.解析(1)因为a+2c=2bcos A,所以sin A+2sin C=2sin Bcos A,因为C=π-(A+B),所以sin A+2sin(A+B)=2sin Bcos A.即sin A+2sin Acos B+2cos Asin B=2sin Bcos A,所以sin A·(1+2cos B)=0.因为sin A≠0,所以cos B=-,又因为0<B<π,所以B=.(2)由余弦定理得,a2+c2+ac=12,即(a+c)2-ac=12.又因为a+c=4,所以ac=4,所以S△ABC=acsin B=×4×=.7.(2017江苏无锡期中,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin A=acos B.(1)求B的值;(2)若cos Asin C=,求角A的值.解析(1)因为=,所以bsin A=asin B,又bsin A=acos B,所以acos B=asin B,所以tan B=,所以B=.(2)因为cos Asin C=,所以cos Asin=,所以cos A=cos2A+sin A·cos A=·+sin 2A=,所以sin=-,因为0<A<,所以2A+∈,所以2A+=,A=.8.(2017江苏苏北四市摸底,15)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tan B=2,tan C=3.(1)求角A的大小;(2)若c=3,求b的长.解析(1)因为tan B=2,tan C=3,A+B+C=π,所以tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-=-=1,又A∈(0,π),所以A=.(2)因为tan B==2,且sin2B+cos2B=1,B∈(0,π),所以sin B=,同理可得,sin C=.由正弦定理,得b===2.9.(2017江苏南通中学期中,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b(sin C+cos C). (1)求B;(2)若A=,D为△ABC外一点,DB=2,DC=1,求四边形ABDC面积的最大值.解析(1)在△ABC中,∵a=b(sin C+cos C),∴sin A=sin B(sin C+cos C),∴sin(π-B-C)=sin B(sin C+cos C),∴sin(B+C)=sin B(sin C+cos C),∴sin Bcos C+cos Bsin C=sin Bsin C+sin Bcos C,∴cos Bsin C=sin Bsin C,又∵C∈(0,π),故sin C≠0,∴cos B=sin B,即tan B=1.又B∈(0,π),∴B=.(2)在△BCD中,DB=2,DC=1,BC2=12+22-2×1×2×cos D=5-4cos D.由(1)可知∠ABC=,又A=,∴△ABC为等腰直角三角形,S△ABC=BC2=-cos D,又S△BDC=BD·DC·sin D=sin D,∴S四边形ABDC=-cos D+sin D=+sin,∴当D=时,四边形ABDC的面积取得最大值,最大值为+.10.(2017江苏南京、盐城一模)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且bsin 2C=csin B.(1)求角C;(2)若sin=,求sin A的值.解析(1)由bsin 2C=csin B,得2sin Bsin Ccos C=sin Csin B,因为sin B>0,sin C>0,所以cos C=,又C∈(0,π),所以C=.(2)因为C=,所以B∈,所以B-∈,又sin=,所以cos==.又A+B=,即A=-B,所以sin A=sin=sin=sin cos-cos sin=×-×=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 三角形中的几何计算1.(2016江苏清江中学周练,17)如图,△ABC为一直角三角形草坪,其中∠C=90°,BC=2米,AB=4米,为了重建草坪,设计师准备了两套方案:方案一:扩大为一个直角三角形,其中斜边DE过点B,且与AC平行,DF过点A,EF过点C.方案二:扩大为一个等边三角形,其中DE过点B,DF过点A,EF过点C.(1)求方案一中三角形DEF的面积S1的最小值;(2)求方案二中三角形DEF的面积S2的最大值.解析(1)设∠ACF=α,α∈,则AF=2sin α,FC=2cos α,因为DE∥AC,所以∠E=α,∠CBE=∠ACB=90°,且=,所以EC=,=,解得AD=.所以S1==3×+4,所以当且仅当sin 2α=1,即α=时,S1取最小值7+4.(2)在三角形DBA中,设∠DBA=β,β∈,则=,解得DB=sin,在三角形CBE中,易知∠BCE=β,则由=,解得EB=sin β,则等边三角形DEF的边长为sin+sin β=(2sin β+cos β),所以边长的最大值为,所以面积S2的最大值为×=.方法2 利用正、余弦定理判断三角形的形状2.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.解析解法一:∵2b=a+c,∴2sin B=sin A+sin C.∵B=60°,∴A+C=120°.∴2sin 60°=sin(120°-C)+sin C.展开整理得sin C+cos C=1.∴sin(C+30°)=1.∵0°<C<120°,∴C+30°=90°.∴C=60°.故A=60°.∴△ABC为等边三角形.解法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B.∵B=60°,b=,∴=a2+c2-2accos 60°,化简得(a-c)2=0,∴a=c.又B=60°,∴a=b=c.∴△ABC为等边三角形.3.在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判断三角形的形状.解析解法一:已知等式可化为a2[sin(A-B)-sin(A+B)]=b2[-sin(A+B)-sin(A-B)],∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A.由正弦定理可知上式可化为sin2Acos Asin B=s in2Bcos Bsin A,∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0,∴sin 2A=sin 2B,由2A,2B∈(0,2π),得2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A=-B,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.解法二:同解法一可得2a2cos Asin B=2b2sin Acos B.由正、余弦定理,可得a2b·=b2a·,∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴a=b或a2+b2=c2,∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.方法3 解三角形应用题的方法4.(2018江苏东台安丰中学月考)如图,在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在l上设立了A,B两个报名点,满足A,B,C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作:A,B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A,B两点),然后乘同一艘游轮前往C岛.据统计,每批游客A处需发车2辆,B处需发车4辆,每辆汽车每千米耗费2元,游轮每千米耗费12元.设∠CDA=α,每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元.(1)写出S关于α的函数表达式,并指出α的取值范围;(2)问:中转点D距离A处多远时,S最小?解析(1)由题知在△ACD中,∠CAD=,AC=10,∠ACD=-α.由正弦定理知==,即CD=,AD=,所以S=4AD+8BD+12CD=12CD-4AD+80=+80=20·+60.(2)S'=20·,令S'=0得cos α=.当<cos α<时,S'<0;当-<cos α<时,S'>0,所以当cos α=时,S取得最小值,此时sin α=,AD==,所以中转点D距A处 km时,运输成本S最小.5.如图,A,B是海面上位于东西方向且相距5(3+)海里的两个观测点.现位于A点北偏东45°,B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,则该救援船到达D点需要多长时间?解析由题意知AB=5(3+)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.在△DAB中,由正弦定理得=,DB=====10(海里).∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20海里,在△DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1 200-2×10×20×=900,∴CD=30海里,则需要的时间t==1(小时), 即该救援船到达D点需要1小时.。