9_4第二型曲面积分

第九章
第四节 对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系
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一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
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• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 : 方向余弦 侧的规定
cos α
cos β
cos γ
封闭曲面 外侧 内侧
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
• 设 Σ 为有向曲面, 其面元 ∆S 在 xoy 面上的投影记为 (∆S ) x y , ( ∆S ) x y 的面积为 (∆σ ) x y ≥ 0 , 则规定
(∆S ) x y
(∆σ ) x y , 当cos γ > 0时 = − (∆σ ) x y , 当cos γ < 0时 当cos γ ≡ 0时 0,
类似可规定 ( ∆S ) yz , ( ∆S ) zx
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二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
v = ( P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R ( x, y, z ))
求单位时间流过有向曲面 ∑ 的流量Φ . 分析: 若 ∑ 是面积为S 的平面, 法向量: n = (cos α , cos β , cos γ ) 流速为常向量: v 则流量
n
v
θ
S
Φ = S ⋅ v cosθ
=S v⋅n
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对一般的有向曲面∑ , 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 v = ( P ( x, y, z ), Q( x, y, z ), R ( x, y, z )) 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” 进行分析可得 Φ = lim
n
ni
vi
∑ λ →0
n
设 ni = (cos α i , cos β i , cos γ i ) , 则
λ →0 i =1
n
i =1
vi ⋅ n i ∆Si
Σ
Φ = lim ∑ [ P (ξ i ,ηi , ζ i ) cos α i + Q(ξ i ,ηi , ζ i ) cos β i
+ R (ξ i ,ηi , ζ i ) cos γ i ] ∆Si
= lim
[ P (ξ i ,ηi , ζ i )(∆Si ) y z + Q(ξ i ,ηi , ζ i )(∆Si ) z x ∑ λ →0
i =1
+ R (ξ i ,ηi , ζ i )(∆Si ) x y ]
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2. 定义. 设 ∑ 为光滑的有向曲面, P( x, y, z ), Q( x, y, z ),
R( x, y, z ) 在 ∑ 上有界，对Σ 的任意分割和在局部面元上
任意取点，记λ为局部面元的最大直径，若下极限存在
[P(ξ i ,ηi , ζ i )(∆Si ) y z ∑ λ →0
lim
i =1
n
+ Q(ξ i ,ηi , ζ i )(∆Si ) z x + R (ξ i ,ηi , ζ i )(∆Si ) x y ]
P dx
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 分, 或第二型曲面积分. 记作
∫∫Σ Pd y d z + Qd z d x + Rd x d y
P, Q, R 叫做被积函数; ∑ 叫做积分曲面.
dy Q
dz R
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∫∫Σ P d y d z 称为P 在有向曲面∑上对 y, z 的曲面积分; ∫∫Σ Q d z d x 称为Q 在有向曲面∑上对 z, x 的曲面积分; ∫∫Σ Rd x d y 称为R 在有向曲面∑上对 x, y 的曲面积分.
引例中, 流过有向曲面 ∑ 的流体的流量为
Φ = ∫∫ Pd y d z + Qd z d x + Rd x d y
Σ
若记 ∑ 正侧的单位法向量为 n = ( cos α , cos β , cos γ ) 令 d S = n d S = (d yd z , d zd x, d x d y )
A = ( P ( x, y , z ) , Q ( x, y , z ) , R ( x, y , z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
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∫∫Σ P d y d z + Q d z d x + R d x d y = ∫∫ A ⋅ n d S = ∫∫ A ⋅ d S Σ Σ
3. 性质 (1) 若 ∑ = ∪ ∑ i , 且 ∑ i 之间无公共内点, 则
i =1 k
∫∫Σ A ⋅ d S = ∑ ∫∫∑ i A ⋅ d S
i =1
k
(2) 用Σˉ 表示 Σ 的反向曲面, 则
∫∫Σ
−
A ⋅ d S = − ∫∫ A ⋅ d S
Σ
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4. 对坐标的曲面积分存在的充分条件 若R (x, y, z) 在有向光滑曲面∑上连续，则
∫∫Σ Rd x d y 存在.
对 ∫∫ P d y d z 和 ∫∫ Q d z d x 也有类似的充 Σ Σ 分条件.
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三、对坐标的曲面积分的计算法
定理1. 设光滑曲面∑ : z = z ( x, y ) , ( x, y ) ∈ Dx y 取上侧,
R ( x, y, z ) 是 ∑ 上的连续函数, 则
∫∫Σ R( x, y, z ) d x d y = ∫∫D
如果积分曲面 Σ 取下侧, 则
xy
R ( x, y , z ( x, y ) ) d x d y
∫∫Σ R( x, y, z ) d x d y = − ∫∫Dx y R( x, y, z ( x, y )) d x d y
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•若,),(,),(:z y D z y z y x x ∈=∑则有
∫∫Σz y z y x P d d ),,(),
(z y,P z y D ∫∫±=),(z y x z y d d •若,),(,),(:x z D x z x z y y ∈=∑则有
∫∫Σ
x z z y x Q d d ),,() z , ,(∫∫
±=x
z D x Q ),(x z y x
z d d (前正后负)
(右正左负)
说明:
o z
y
x
1
1
∑
2
∑
y x
D
o z
y
x
1
1
∑
2
∑
y x
D
o z
y
x
1
1
∑
2
∑
y x
D
θ
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四、两类曲面积分的联系
定理2.设∑：z = z (x , y ) 为有向曲面，z x 与z y 连续，(,,),(,,),P x y z Q x y z (,,)R x y z 在∑上连续，∑法向量的方向余弦为则
cos ,cos ,cos ,αβγ∫∫∑
++y
x R x z Q z y P d d d d d d ()S
R Q P d cos cos cos ∫∫∑
++=γβα
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令∫∫∑
++y
x R x z Q z y P d d d d d d ()S R Q P d cos cos cos ∫∫
∑
++=γβα∫∫∑
=S
A n d 向量形式
),,,(R Q P A =)
cos ,cos ,(cos γβα=n )
d d ,d d ,d (d d d y x x z z y S n S ==∫∫∑
⋅S A d n A A n ⋅=∫∫∑
⋅=S
n A d ( A 在n 上的投影)
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定理3.设∑与P , Q , R 满足定理2的条件，则有
d d d d d d P y z Q z x R x y ∑
++∫∫()(,,),,1d d .
x y P Q R z z x y ∑
=−−∫∫
y
x
z
11
1
n
y
x
z
11
1
n
2
o y x
24
2
o y x
25
2
o y x
26
28
性质:
∫∫−
Σ
++y x R x z Q z y P d d d d d d ∫∫Σ
++−=y
x R x z Q z y P d d d d d d 联系:
∫∫Σ
++y x R x z Q z y P d d d d d d ()∫∫
Σ
++=S
R Q P d cos cos cos γβα思考:
的方向有关,上述联系公式是否矛盾?
两类曲线积分的定义一个与Σ的方向无关, 一个与Σ()(,,),,1d d .
x y P Q R z z x y ∑
=−−∫∫
q 。

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q 。