【全国百强校】浙江省温州中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题

绝密★启用前【全国百强校】浙江省温州中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：63分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且，则使得为整数的正整数n 的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．62、当时，不等式恒成立，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．3、在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n(n ∈N *)，则a 100的值为( ) A ．5 050 B ．5 051 C ．4 950 D ．4 9514、△ABC 中，则角A 为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5、如图所示，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝A. B.C.D.6、函数的最小正周期是A ．B ．πC ．D ．2π7、已知－<θ<，且sinθ＋cosθ＝a ，其中a ∈(0,1)，则关于tanθ的值，在以下四个答案中，可能正确的是A ．－3B ．3 或C ．－D ．－3或－8、在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则＝A．lg>lg x（x>0）B．sin x＋≥2（x≠kπ，k∈Z）C．x2＋1≥2|x|（x∈R）D．>1（x∈R）第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）10、《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．11、记[x]为不超过实数x的最大整数，例如，[2]＝2，[1.5]＝1，[－0.3]＝－1.设a为正整数，数列{x n}满足x1＝a，x n＋1＝ (n∈N*)．现有下列命题：①当a＝5时，数列{x n}的前3项依次为5,3,2；②对数列{x n}都存在正整数k，当n≥k时总有x n＝x k；③当n≥1时，x n＞－1；④对某个正整数k，若x k＋1≥x k，则x k＝[]．其中的真命题有________．12、若不等式0＜ax2+bx+c＜1的解集为(0,1)，则实数a的取值范围是_________。

13、如图，公路MN和PQ在P处交汇，且∠QPN＝30°，在A处有一所中学，AP＝160 m，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受影响，已知拖拉机的速度为18 km/h，那么学校受影响的时间为________s.14、已知，若则______15、sin213°+ sin247°+ sin13°sin47°_______．16、如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2,1)时，的坐标为________．三、解答题（题型注释）17、已知函数.(1)求方程的实数解；(2)如果数列满足，（），是否存在实数，使得对所有的都成立？证明你的结论．(3)在（Ⅱ）的条件下，设数列的前项的和为，证明：．18、已知向量a ＝(cosωx －sinωx ，sinωx)，b ＝(－cosωx －sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a·b ＋λ(x ∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y ＝f(x)的图象经过点，求函数f(x)在区间上的取值范围19、（2011•山东）等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且其中的任何两个数不在下表的同一列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足：b n=a n+（﹣1）n lna n，求数列{b n}的前2n项和S2n．20、在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin.(1)求sinC的值；(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．参考答案1、C2、C3、D4、B5、B6、D7、C8、D9、C10、11、①③④12、(-4,4)13、2414、115、16、(2－sin 2,1－cos 2)17、(Ⅰ)；(Ⅱ) 存在满足题意；(Ⅲ)证明见解析.18、(1)；(2) .19、（1）a n=2•3n﹣1，n∈N*．（2）S2n=32n+nln3﹣120、(1)；(2) .【解析】1、∵等差数列{a n}、{b n}，∴，∴ ,又，∴，经验证,当n=1,3,5,13,35时,为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5.本题选择C选项.2、设①若时，原不等式不恒成立．②若1+cosθ+sinθ≠0，有：，求解关于的不等式可得：的取值范围是 . 本题选择C选项.3、由于a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，…，a n－a n－1＝n－1，以上各式相加得a n－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝，即a n＝＋1，所以a100＝＋1＝4 951，故选D．4、由题意结合正弦定理可得：，整理可得：，则：，据此有：，，即，据此可得，综上有： .点睛：在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．5、因为四边形ABCD是正方形,且AE=AD=1,所以∠AED=.在Rt△EBC中,EB=2,BC=1,所以sin∠BEC=,cos∠BEC=.sin∠CED=sin=cos∠BEC-sin∠BEC==.6、由于函数sinx的最小正周期：2π所以：函数的最小正周期为2π.本题选择D选项.点睛：求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝A sin(ωx＋φ)或y＝A cos(ωx＋φ)的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝A sin ωx或y ＝A cos ωx＋b的形式．7、由，得到cosθ>0，所以把sinθ+cosθ=a两边平方得：(sinθ+cosθ)2=a2，即sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ=a2,又a∈(0,1)，所以2sinθcosθ=a2−1<0，所以sinθ<0，又sinθ+cosθ=a>0，所以cosθ>−sinθ>0，则tanθ<0.据此可得：或-3.本题选择D选项.8、以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系.∵AB是Rt△ABC的斜边，∴以AB为直径的圆必定经过C点.设AB=2r，∠CBD=α，则A（-r，0），B（r，0），C（rcosα，rsinα）.∵点P为线段CD的中点，∴，∴，，∴ .又∵点P为线段CD的中点，CD=r，∴，∴ .本题选择D选项.9、试题分析：因为，所以，则，故A错误；当时，，故B错误；当时，，故D错误；因为，即；故选C．考点：1．基本不等式．10、试题分析：由题意可知，解得，所以.考点：等差数列通项公式．11、①当时，，该说法正确；②当时，该数列是从第三项开始为的摆动数列，该说法错误；③当时，，则：成立；假设时，，当时，，而：，当且仅当时等号成立.故：，对于任意的正整数n，当时，，该说法正确；④，由①②的规律可得一定成立.综上可得，真命题有①③④.12、由题意可得，在不等式成立的情况下只有这几种情况。

当a=0时,b≠0,不等式的解集(0,1)，适当选取b，c可以满足题意。

当a>0时,不等式0<ax2+bx+c<1对应的二次函数的对称轴为x=，开口向上，所以x=0时,ax2+bx+c=c=1，x=1时，a+b+c=1，最小值为x=时,，联立解这个不等式组得：a<4，在a<0时,不等式0<ax2+bx+c<1对应的二次函数的对称轴为x=，开口向下。

所以x=0时,ax2+bx+c=c=0，且x=1时,ax2+bx+c=a+b=0最大值为x=时,，联立解这个不等式组得：a>−4.综上a的范围是：(−4,4).13、学校受到噪音影响。

理由如下：作AH⊥MN于H，如图，∵PA=160m,∠QPN=30∘，∴AH= PA=80m，而80m<100m，∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校受到噪音影响，以点A为圆心，100m为半径作A交MN于B. C，如图，∵AH⊥BC，∴BH=CH，在Rt△ABH中，AB=100m，AH=80m，，∴BC=2BH=120m，∵拖拉机的速度=18km/h=5m/s，∴拖拉机在线段BC上行驶所需要的时间=120÷5=24(秒)，∴学校受影响的时间为24秒。

14、∵，∴sinβ=sin(α+β−α)=2cos(α+β)sinα，即sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=2cos(α+β)sinα移项得：sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα两边同时除以cos(α+β)cosα得：tan(α+β)=3tanα，∵tan(α+β)=3，∴tanα=1.故答案为：1点睛：给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．15、由题意可得：16、如图，连结AP，分别过P，A作PC，AB垂直x轴于C，B点，过A作AD⊥PC 于D点．由题意知的长为2.∵圆的半径为1，∴∠BAP＝2，故∠DAP＝2－.∴DP＝AP·sin＝－cos 2，∴PC＝1－cos 2，DA＝APcos＝sin 2.∴OC＝2－sin 2.故＝(2－sin 2,1－cos 2)．17、试题分析：(Ⅰ)由题意得到关于实数x的方程，解方程可得；(Ⅱ)由数列递推公式的特点可知存在满足题意；(Ⅲ)由题意求得数列的前n项和，结合正整数n的奇偶性即可证得结论.试题解析：（Ⅰ）；（Ⅱ）存在使得．证法1：因为，当时，单调递减，所以．因为，所以由得且．下面用数学归纳法证明．因为，所以当时结论成立．假设当时结论成立，即．由于为上的减函数，所以，从而，因此，即．综上所述，对一切，都成立，即存在使得．证法2：，且是以为首项，为公比的等比数列.所以.易知，所以当为奇数时，；当为偶数时，即存在，使得.（Ⅲ）证明：由（2），我们有，从而. 设，则由得.由于，因此n=1，2，3时，成立，左边不等式均成立．当n>3时，有，因此．从而．即．解法2: 由（Ⅱ）可知，所以，所以所以所以当为偶数时，；所以当为奇数时，即.(其他解法酌情给分)18、试题分析：(1)整理函数的解析式可得：，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为；(2)化简三角函数的解析式，结合函数的定义域可得函数的取值范围是 .试题解析：(1)因为f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.所以f(x)的最小正周期是.(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－.故f(x)＝2sin－，由0≤x≤，有－≤x－≤，所以－≤sin≤1，得－1－≤2sin x－－≤2－.故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．19、（1）当a1=3时，不符合题意；当a1=2时，当且仅当a2=6，a3=18时符合题意；当a1=10时，不符合题意；所以a1=2，a2=6，a3=18，∴公比为q=3，故：a n=2•3n﹣1，n∈N*．（2）∵b n=a n+（﹣1）n lna n=2•3n﹣1+（﹣1）n ln（2•3n﹣1）=2•3n﹣1+（﹣1）n[ln2+（n﹣1）ln3]=2•3n﹣1+（﹣1）n（ln2﹣ln3）+（﹣1）n nln3∴S2n=b1+b2+…+b2n=2（1+3+…+32n﹣1）+[﹣1+1﹣1+…+（﹣1）2n]•（ln2﹣ln3）+[﹣1+2﹣3+…+（﹣1）2n2n]ln3==32n+nln3﹣1∴数列{b n}的前2n项和S2n=32n+nln3﹣1．20、试题分析：(1)由题意求解三角方程可得；(2)整理题中所给的等式，结合余弦定理可得 .试题解析：(1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，即sin＝2sin2，由sin≠0得2cos＋1＝2sin，即sin－cos＝，两边平方得：sinC＝.(2)由sin－cos＝＞0得＜＜，即＜C＜π，则由sinC＝得cosC＝－，由a2＋b2＝4(a＋b)－8得：(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝8＋2，所以c＝＋1.点睛：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．。