大学数学物理方法 复变函数 第一章 复数与复变函数2

复变函数学习指导书第一章 复数与复变函数一.内容提要 (一)复数及其表示1.复数的概念形如z x iy =+的数称为复数,其中,x y 是实数,i 是虚数单位,21i =-.,x y 分别为z 的实部与虚部,记为()()Re ,Im x z y z ==. 当0x =时,z iy =为纯虚数;0y =,z x =为实数.称复数x iy -为复数z x iy =+的共轭复数,记为z ,即z x iy =-. 规定:(1)()()()()121212Re Re ,Im Im z z z z z z =⇔==(2)000x z x iy y =⎧=+=⇔⎨=⎩(3)两个复数不能比较大小. 2.复数的表示(1) 点表示：(),z x iy x y =+⇔表示xo y 平面上点的坐标； (2) 矢量表示：用从原点指向点(),x y 的矢量表示，如图（1-1）所示矢量长度为复数z的模，记为z =0z ≠时，称矢量与x 轴正向的夹角为z的幅角，记()Arg z ，此时有()tan y A rgz x=，它是一个多值函数；称位于(,]ππ-中的幅角为z 的主值，记作()arg z ，于是有()()arg 2,(Arg z z k k π=+是整数）。

()a r g z 与arctany x之间的关系如下：当0,x > arg arctan y z x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan y y z xx y y z x ππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩；(3) 三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=； (4) 指数表示：i z z e θ=，其中arg z θ=。

(5) 复球面表示：复数可用复球面上的点表示。

(二) 复数的运算1.加减法 ● 设复数111222,z x iy z x iy =+=+, 则()()121212z z x x i y y ±=±+±. ● ()()22Re ,22z z x z z z iy iIm z +==-==●12121212,z z z z z z z z +≤+-≥- (请考虑几何意义)2.乘除法 (1) 乘法 ● 若111222,z x iy z x iy =+=+,则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++ ● 若121122,i i z z e z z eθθ==,则()121212i z z z z eθθ+= (请考虑几何意义)● ()()()12121212,z z z z Arg z z Arg z Arg z ==+●2221212,z z x y z z z z z =+==,(2) 除法●若111222,z x iy z x iy =+=+,则有 ()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x iz x iy x iy x iy x yx y+-++-===+++-++●若121122,i i z z e z z e θθ==,则()121122i z z ez z θθ-= (请考虑几何意义)● ()()11112222,z z z Arg Arg z Arg z z z z ⎛⎫==- ⎪⎝⎭●1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭ 3.乘幂与方根 (1) 乘幂 ● 若,i z z e θ=则nnin z z e θ=● ()(),nnnzz Arg znArg z ==●()()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+ (n 是任意整数) (De Moivre 公式)(2) 方根●122cos sin (0,1,21)nk k zi k n n n θπθπ++⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭● 注意：一个复数开n 次方根一定有n 个相异的值；并且负数也能开偶次方根。

xrcosq, yrsinq,
q q 复数z=x+yi 可表示为 z r (c o s is in),称为复
数z的三角表示式. 再利用Euler公式
eiqcosqisin q,
复数z=x+yi 又可表示为 z reiq , 称为复数的
指数表示式, 其中r=|z|, q=Argz.
例1.3 将 z 122i化为三角表示式与指数表示式.
5
解： 显然, r = | z | = 1, 又
sin
5
cos
2
5
cos 3 ,
10
cos
5
sin
2
5
sin 3
10
.
因此 zcos3isin3ei130
10
10
当 z 0时, ArgzArgz. 当 z reiq 时, z reiq .
共轭复数的几何性质
一对共轭复数z和 z 在 复平面的位置是关于 实轴对称的.
由此引出方根的概念。
二、复数的乘幂与方根
2. 复数的方根 复数求方根是复数乘幂的逆运算。
定义 设 z是给定的复数，n 是正整数，求所有满足 wn z的 复数 w ，称为把复数 z开 n 次方，或者称为求复数 z的 n 次方根，记作 wn z 或 wz1/n. 复数 z的 n 次方根一般是多值的。
二、复数的乘幂与方根
有时, 在进行说明后, 把主辐的角是定辐角义主为值满, 单足位是弧
>> x=sym('x','real');y=sy
0q2 的辐角, 这时上式仍然>成> 立x=3. ;y=4;z=x+y*i;
当z=0时, Argz没有意义, 即零>>向th量eta没=a有ng确le(z定)

内点: N (z0 ) E
边界点: N (z0 )既有E的点,也有不是E的点,
集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，
记为 E.
3.开集: 所有点为内点的集合；
闭集: 或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；
E' E,
有界集:
M 0,z E, z M, 或M 0,使E NM (0)
例 E {z | z 1}
例3: 设 z 1 ,试证 (1 i)z3 iz 3 .
2
4
证明: (1 i)z3 iz z (1 i)z2 i
z (1i z 2 i )
1 (1 2 1) 1 (1 1) 3
24
22
4
例4: 求复数 1 z 的实部,虚部和模.(z 1)
1 z
解:
1 1
z z
(1 z)(1 1 z 2
由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线 称为按段光滑曲线.
注:按段光滑曲线是可求长的,但简单曲线不一定可求长.
5 单连通区域
复平面上的一个区域D, 如果在其中任作 一条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于D, 就称 为单连通域. 一个区域如果不是单连通域, 就称 为多连通域.
单连通域
多连通域
例 (1) 满足下列条件的点集是什么, 如果是区 域, 指出是单连通域还是多连通域?
E的每一点及圆周 z 1上点都是E的聚点, 圆周 z 1为E的边界,
E为开集.
4.聚点(极限点)的等价说法
(1) z0 E', (2) N (z0 ) E有无穷多点, (3) N (z0 )存在异于z0属于E的点, (4) N (z0 )含属于E的两个不同的点,
(5)
{zn}
E, lim n

莫雷拉定理
总结词
莫雷拉定理是复变函数中一个关于全 纯函数的积分性质的定理。
详细描述
莫雷拉定理说明，如果全纯函数f(z)在圆盘 |z| < R内有界，那么对于任意实数t，积分 ∫f(z)e^(it)dz在|z| = R的边界上非零。这个 定理在研究全纯函数的性质以及解决一些数 学物理问题时非常有用。
柯西定理
总结词
柯西定理是复变函数中的一个基本定理，它表明如果一个函数在某个区域内的点上满足某种条件，则 该函数在该区域内可积。
详细描述
柯西定理说明，如果函数f(z)在某个区域D内是解析的，并且存在常数C使得对于D内的任意点z，都有 |f(z)|≤C，那么函数f(z)在D内是可积的。这意味着满足一定条件的解析函数在一定区域内具有可积性。
幂级数展开的收敛性
幂级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件。
幂级数展开的应用
幂级数展开在数学物理中广泛应用于求解微分方程和积分方程。
泰级数展开
泰勒级数展开定义
01
将一个复变函数表示为多项式的无穷级数。
泰勒级数展开的收敛性
02
泰勒级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件。
泰勒级数展开的应用
个定理在解决一些数学物理问题时非常有用。
柯西不等式
总结词
柯西不等式是复变函数中一个基本的积分不等式，它反映了函数与其共轭函数之间的积分关系。
详细描述
柯西不等式表明，对于任意实数a和b，以及在全平面上的非负函数f和g，有∫f(z)g(z*)dz ≥ |∫f(z)dz * ∫g(z*)dz|， 其中z*是z的共轭复数。这个不等式在处理一些积分问题时非常有用。
积分路径
积分性质
复数函数的积分具有线性性质、可加 性、可交换性等基本性质。