范里安《微观经济学(高级教程)》课后习题详解(资产市场)

第4章成本最小化1．严格证明利润最大化意味着成本最小化。

Prove rigorously that profit maximization implies cost minimization.证明：令*x 为价格(),p w 下利润最大化的一个投入向量。

这意味着，对于所有可允许的x ，*x 必须满足()()**pf x wx pf x wx -≥-。

假设对于产出()*f x ，*x 没有使成本最小化，即存在一个向量**x 满足()()***f x f x ≥与w ()***0x x -<，因而在**x 下所取得的利润必须大于在*x 下所取得的利润：()()()*********pf x wx pf x wx pf x wx --≥>-这与*x 使利润最大化的假设相矛盾，故假设不成立，因此利润最大化意味着成本最小化。

2．使用库恩-塔克定理得出即使最优解涉及边界解时也是正确的成本最小化条件。

Use the Kuhn-Tucker theorem to derive conditions for cost minimization that are valid even if the optimal solution involves a boundary solution.答：互补—松弛条件为：()()()()******0000j j j j jj f x t w x x f x t w x x y f x t y f x t ⎡⎤∂⎢⎥-=∂⎢⎥⎣⎦∂-≤∂≥⎡⎤-=⎣⎦-≤≥当*0i x >和*0j x =成立时，上式就隐含着：()()**iijj f x x w w f x x ∂∂≥∂∂这个不等式意味着用 j x 代替i x 时，可以降低成本，然而由于企业已经用完了它可以得到的 j x 的所有数量，所以继续降低成本是不可能的。

3．一个厂商有两个车间，它们各自的成本函数为()2111/2C y y =和()222C y y =。

术、管理水平等。令完全替代品的生产函数： f x，y ax by ，构造函数 q g f x，y ， 例如 q ax byk ， a x b yk k ax byk ，因此规模报酬取决于 k 。规模报酬可能递增、递减或不变。
2．如果产出由两种生产要素生产，且规模报酬递增，则（ ）。 A．不可能有递减的技术替代率 B．所有要素都有递增的边际产品 C．在等产量线图上，在从原点引出的一条射线上移动，当与原点的距离增加一倍时， 产量增加大于一倍 D．至少一种要素的边际产品递增
3．如果规模报酬不变，那么将任何一种要素的投入增加一倍，产量也会相应增加一倍。 （）
【答案】F 【解析】规模报酬不变意味着将所有生产要素的投入增加一定的倍数，产量也会增加相 同的倍数。
4．即便所有生产要素边际产品递减的情况下，规模报酬递增也是可能的。（ ） 【答案】T 【解析】生产要素边际产品递减规律是短期的概念，而规模报酬属于长期概念，两者没
【答案】C
【解析】生产函数可写为：
f
x，y
2 x
x
y
x y x y ，因此等产量线由两部分组成，当
x y 时，等产量线是垂直的；当 x y 时，等产量线是斜率为-1 的直线。
4．下列的说法中正确的是（ ）。 A．生产要素的边际技术替代率是规模报酬递减规律造成的 B．边际收益递减规律是规模报酬递减规律造成的 C．规模报酬递减是边际收益递减规律造成的 D．生产要素的边际技术替代率递减是边际收益递减规律造成的 【答案】D
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8．边际报酬递减规律决定了当一种投入要素连续增加时，它所带来的边际产量最终必 是递减的。（ ）
【答案】F 【解析】边际报酬递减规律仅适用于所有其他投入和技术水平都保持不变的情况下，若 技术水平和其他要素投入变动，边际产量不一定是递减的。

第6章 对 偶1．成本函数为(){}1212,,min ,c w w y w w y =。

生产函数是什么？条件要素需求函数是什么？The cost function is (){}1212,,min ,c w w y w w y =. What is the production function? What are the conditional factor demands?解：由成本函数(){}1212,,min ,c w w y w w y =可以知道：两种要素是互相替代的，因此生 产函数是：()1212,f x x x x =+条件要素需求函数是：2．成本函数为()()1212,,c w w y y w w =+。

条件要素需求是什么？生产函数是什么？ The cost function is ()()1212,,c w w y y w w =+. What are the conditional factor demands? What is the production function?解：由成本函数()()1212,,c w w y y w w =+的形式可以看出，两种要素是互补的，因此生产函数是里昂惕夫技术：(){}1212,min ,f x x x x =条件要素需求是：12x x y ==。

3．成本函数为()1212,,a b c w w y w w y =。

a 和b 有什么关系？The cost function is ()1212,,a b c w w y w w y =. What do we know about a and b ？ 答：由于成本函数是w 的非减函数，所以0a ＞，0b ＞。

由于成本函数是w 的凹函数，所以成本函数关于w 的二阶导数为负：由于成本函数是w 的一次齐次函数，所以有：()()()()121212,,aba b a b c tw tw y tw tw t w w +==所以，1a b +=。

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第8章 选 择
1．弗兰克·费雪的支出函数是 e p，u ，他对开玩笑的需求函数是 xj p，m ，其中 p 为
价格向量，收入 m 0 。证明：对弗兰克而言，当且仅当 2e / pju 0 时，开玩笑为正常品。
Frank Fisher’s expenditure function is e p，u . His demand function for jokes
is xj p，m , where p is vector of prices and m 0 is his income. Show that jokes
are a normal good for Frank if and only if 2e / pju 0 .
证明：恒等式 xj p，m hj p，v p，m e p，v p，m / pj 两边关于 m 求导得：
答：柯布-道格拉斯效用函数由下式给出：u
x1，x2
x1a
x1a 2
，在两边取对数，两种物品
的需求函数可以通过解下式导出：
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max
x1，x2
a
ln
x1
1
a
ln
x2
满足
p1x1 p2 x2 m
将约束条件代入目标函数得到：
x j
2e p，v p，m v p，m
，由于收入的边际效应 v / m 一定为正，故当且仅当
m
pi u
m
2e /
p j u
0
时，
x j m
0
，开玩笑为正常品。
2．计算两物品的柯布-道格拉斯需求函数的替代矩阵。验证对角线各项是负的，交叉价 格效应是对称的。