高一数学教案：44同角三角函数的基本关系式(一).doc

课 题：44同角三角函数的基本关系式（一）教学目的：⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力． 教学重点：同角三角函数的基本关系教学难点：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；(2)三角函数式的化简；(3)证明三角恒等式． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：本节主要涉及到三个公式，均由三角函数定义推出．在教学过程中，要注意引导学生理解每个公式，懂得公式的来龙去脉，并能灵活运用、掌握各种恒等变形的技能、技巧．要给学生提供展示自己思路的平台，营造自主探究解决问题的环境，把鼓励带进课堂，把方法带进课堂，充分发挥学生的主体作用．教材中给出了同角三角函数间的三个基本关系式．其实根据这三个基本关系还可以变形得到一些基本关系．如:由αααtan cos sin = 得:αααtan cos sin ⋅=, 同样可以有:αααcot sin cos ⋅= αα22cos 11tan =+，αα22sin 11cot =+，αα22cos sin 1=-等等,可以引导学生和用三个基本关系进行转换，培养学生的自主学习习惯．教材中的3个基本关系式，只有：sin 2α+cos 2α=1是绝对恒等式，即对于任意实数α都成立,另外两个公式,仅当α取使关系式的两边都有意义的值时才能成立．因此，在运用这些公式进行恒等变形时，角的允许值范围有时会发生变化是不奇怪的，在教学中可经常提醒学生注意这一点．这组公式的灵活运用是本节教学的难点．灵活运用的前提是熟练掌握公式．弄清它们的来笼去脉是解决这一问题的有效方法．从“左”到“右”或从“右”到“左”运用公式，最后达到灵活运用，同时要明确它们成立的先决条件．教材中指出：“在第二个式子中)k (2k Z ∈+≠ππα时，式子两边都有意义；在第三个式子中，α的终边不在坐标轴上,这时，式子两边都有意义，”并指出：“除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式．”这段话学生是不太容易理解的，教师应适当加以解释．首先应让学生分析等式两边的三角式的取值范围，并从中发现，两边的取值范围经常是不相同的，如果一个等式在这两个数值集合的交集上总能保持相等，那么这个等式就是恒等式．因此，每一个恒等式并不是对任何值都能保持相等，所以可以认为，这组公式的成立也是有条件的，公式后面括号里给出条件是不容忽视的． 教学过程：一、复习引入：1设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r2．任意角的三角函数的定义及其定义域ry=αsin R yr=αcsc {}Z k k ∈≠,|παα r x=αcos Rx r =αsec ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα x y =αtan ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k ,2|ππαα yx=αcot {}Z k k ∈≠,|παα 以上六种函数，统称为三角函数3三角函数在各象限内的符号规律： 第一象限全为正,二正三切四余弦 4终边相同的角的同一三角函数值相等诱导公式一（其中Z ∈k ）: 用弧度制可写成ααsin )360sin(=︒⋅+k απαsin )2sin(=+k ααcos )360cos(=︒⋅+k απαcos )2cos(=+k ααtan )360tan(=︒⋅+k απαtan )2tan(=+k这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题． 二、讲解新课：1．公式: 1cos sin 22=+αα αααt a n c o s s i n = 1c o t t a n=⋅αα 2．采用定义证明： 1c o s s i n c o s ,s i n 122222=+∴===+ααααrx r y ry x 且αααππαtan cos sin )(22==⨯=÷=∈+≠xyx r r y r x r y Z k k 时，当cot αtan α1cot tan ,23=⋅=⋅+≠≠yx x y k k ααππαπα时且当 3．推广：1cos sin 22=+αα这种关系称为平方关系,类似的平方关系还有：1tan sec 22=-αα 1c o t c s c 22=-αααααtan cos sin =这种关系称为商数关系,类似的商数关系还有：αααcot sin cos = 1cot tan =α⋅α这种关系称为倒数关类似的倒数关系还有：1sin csc =α⋅α1c o s s e c =α⋅α4．点题：三种关系，八个公式，称为同角三角函数的基本关系 5．注意：1︒“同角”的概念与角的表达形式无关，如： 13cos 3sin 22=+αα 2t a n 2c o s2s i nαα=2︒上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立3︒据此，由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号6①对角线上两个函数的乘积为1(倒数关系)②任一角的函数等于与其相邻的两个函数的积(商数关系)③阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方(平方关系)三、讲解范例：例1． 已知54sin =α，并且α是第二象限角，求α的其他三角函数值． 分析：由平方关系可求cos α的值，由已知条件和cos α的值可以求tan α的值，进而用倒数关系求得cot α的值．解：∵sin 2α+cos 2α=1，α是第二象限角,53)54(1sin 1cos 22-=--=--=∴αα345354cos sin tan -=-==∴ααα.43tan 1cot -==αα例2．已知178cos -=α，求sin α、tan α的值． 分析：∵cos α＜0 ∴α是第二或第三象限角．因此要对α所在象限分类．当α是第二象限角时， .8151781715cos sin tan ,1715)178(1cos 1sin 22-=-===--=-=ααααα当α是第三象限时 .815tan ,1715cos 1sin 2=-=--=ααα 提问：不计算sin α的值，能否算得tan α的值？由于αα22tan 1cos 1+=而α在Ⅱ或III 象限 .815117181cos 1tan 22±=-⎪⎭⎫⎝⎛-±=-±=∴αα 221cos 1tan αα=+例3．已知tan α为非零实数，用tan α表示sin α，cos α．解：由1tan sec 22+=αα 即 αα22tan 11cos +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=∴为第二、三象限角当为第一、四象限角当ααααα22tan 11tan 11cos而 αααcos tan sin ⋅=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=∴为第二、三象限角当为第一、四象限角当ααααααα22tan 1tan tan 1tan sin四、课堂练习：1．已知21cos =θ ， 求θtan 的值． 解法1：)tan sin (cos θθθ−−−→−−−−→−商数关系平方关系 ∵21cos =θ， ∴α在Ⅰ、Ⅳ象限， 当α在Ⅰ象限时，,23)21(1cos 1sin 22=-=-=θθ∴.32123cos sin tan ===θθθ当α在Ⅳ象限时,23cos 1sin 2-=--=θθ ∴.3cos sin tan -==θθθ 解法2：)tan cos 1(cot θθθ−−−→−−−−→−平方关系倒数关系 当α在Ⅰ象限时，.3121cos 1tan ,2cos 121cos 22=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴=∴=θθθ当α在Ⅳ象限时31cos 1tan 2-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=θθ2．已知2tan =α，求αsin 的值解∵ tan α= 2 > 0，∴α在Ⅰ、Ⅲ象限 ①当α在Ⅰ象限时．，521tan 1cos 122=+=+=αα，51cos =∴α .552251tan cos sin =⋅=⋅=∴ααα ②当α在Ⅲ象限时521tan 1cos 122-=+-=+-=∴αα, ,51cos -=∴α .552tan cos sin -=⋅=∴ααα 注意：此题在求出cos α的值以后，若直接用平方关系求sin α的值，有符号判断问题，需要再分类，就出现二次分类增添了解决问题的复杂性．本题采用了商数关系，避开了引用平方关系求sin α值，使得问题轻松获解．3．已知tan α=－3，则sin α= ，cot α = ．思路分析：由tan α＝－3＜0知，α在第二或第四象限， ∴可分类后用同角三角函数基本关系求解．（略） 由于这是一个填空题，∴可先将角α视为锐角，求出sin α和cot α的值，然后具体的再看α角所在象限得出sin α、cot α的符号．将α视为锐角α′，则有tan α′=3，∴αsin ′=.103 cot α′=31, 03tan <-=α ∴α在第Ⅱ或第Ⅳ象限．∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=)IV (3103)(10103sin 象限在第象限在第ααα31cot -=α 五、小结与总结已知角的一个三角函数值求其他三角函数值时，应用平方关系确定符号是个难点，一般地说，这类计算题可分为以下三种情况：⑴已知象限，由象限定符号；⑵已知值，由值分情况讨论；⑶值是字母，开平方时，分情况讨论 六、课后作业：七、板书设计（略） 八、课后记：1已知21cos sin =+αα，求下列各式的值①sin 3α＋cos 3α ②sin 4α＋cos 4α ③sin 6α＋cos 6α分析：由21cos sin =+αα两边平方，整理得83cos sin -=αα 然后将各式化成关于sin α＋cos α，sin αcos α的式子将上两式的值代入即可求得各式的值1611 ②3223③6437注意：sin α＋cos α、sin α·cos α称为关于角α的正弦和余弦的基本对称式，关于sin α、cos α的所有对称式都可以用基本对称式来表示2已知sin α·cos α＝81，且24παπ<<，则cos α－sin α的值是多少? 分析：由sin α·cos α＝81得2sin αcos α＝41sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝1－41（cos α－sin α）2＝43∵24παπ<<，∴cos α＜sin α即cos α－sin α＜3∴cosα－sinα2。