2020届高考数学(理科)一轮复习江苏专版4.8解三角形的综合应用学案

第四章 三角函数、解三角形第一节 弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式3.科§网Z §X §X §K]y 叫做α的正弦，记作sin αx 叫做α的余弦，记作cos αyx 叫做α的正切，记作tan α各象限符号Ⅰ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ－＋－三角函 数线有向线段MP 为正弦线有向线段OM 为余弦线有向线段AT 为正切线1．(教材习题改编)将－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，则使|θ|最小的θ值为________．解析：∵－11π4＝－3π4＋(－2π)，∴θ＝－3π4.答案：－3π42．(教材习题改编)如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)为________． 解析：因为75°＝5π12，330°＝11π6， 故集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪11π6＋2k π<α<5π12＋2π＋2k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π－π6<α<2k π＋5π12，k ∈Z . 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π－π6<α<2k π＋5π12，k ∈Z3．(教材习题改编)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定落在第________象限．解析：由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能与y 轴的非正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，所以θ的终边只能位于第四象限．答案：四4．已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1.21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝y x .[小题纠偏]1．下列命题正确的是________．①小于90°的角都是锐角；②第一象限的角都是锐角；③终边相同的角一定相等；④－950°12′是第二象限的角．答案：④2．已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ＝________，tan θ＝________.解析：由题意，得r ＝3＋m 2，∴m3＋m2＝24m . ∵m ≠0，∴m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角，∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角，∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝－5－3＝153.答案：－64 ±1533．若α是第一象限角，则α3是第________象限角．解析：∵α是第一象限角， ∴k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k 3·360°<α3<k 3·360°＋30°，k ∈Z. 当k ＝3n 时，有n ·360°<α3<n ·360°＋30°，k ∈Z ，∴α3为第一象限角． 当k ＝3n ＋1时，有n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°，k ∈Z ，∴α3为第二象限角． 当k ＝3n ＋2时，有n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°，k ∈Z ，∴α3为第三象限角． 综上可知，α3为第一、二、三象限角．答案：一、二、三考点一 角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．给出下列四个命题： ①－3π4是第二象限角；②4π3是第三角限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有________(填序号)．解析：－3π4是第三象限角，故①错误； 4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确； －400°＝－360°－40°，从而③正确； －315°＝－360°＋45°，从而④正确． 答案：②③④2．(易错题)若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．解析：∵α是第二象限角，∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．答案：一、三3．若角α与8π5终边相同，则在[0,2π]内终边与α4角终边相同的角是________．解析：由题意，得α＝8π5＋2kπ(k∈Z)，α4＝2π5＋kπ2(k∈Z)．又α4∈[0,2π]，所以k可取的所有值为0,1,2,3，故α4可取的所有值为2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π104．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°，得－765°≤k×360°<－45°，解得－765360≤k<－45360，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°[谨记通法]1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合．2．确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤 (1)用终边相同角的形式表示出角α的范围； (2)再写出kα或αk 的范围；(3)然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置，如“题组练透”第2题易错．考点二 扇形的弧长及面积公式 基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎨⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.答案：4或12．(易错题)若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm.解析：设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ，∴l＝|α|·r＝2π3×43＝833π cm.答案：83 3π3．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.又S＝12θr2＝12r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.当且仅当r＝10时，S max＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l＝αr，扇形的面积公式是S＝12lr＝12αr2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第2题．考点三三角函数的定义(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以填空题的形式出现．常见的命题角度有：(1)三角函数值的符号判定；(2)由角的终边上一点的P 的坐标求三角函数值； (3)由三角函数的定义求参数值．[题点全练]角度一： 三角函数值的符号判定1．若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是第________象限角．解析：由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号， 则α为第二或第三象限角． 由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号， 则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． 答案：三角度二：由角的终边上一点P 的坐标求三角函数值 2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________.解析：因为A 点纵坐标y A ＝45，且A 点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35.答案：－353．(2019·苏州调研)已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，则m ＝________. 解析：由题设知x ＝－3，y ＝m ，∴r 2＝|OP |2＝(－3)2＋m 2(O 为原点)，r ＝3＋m 2. ∴sin α＝mr ＝2m 4＝m 22，∴r ＝3＋m 2＝22， 即3＋m 2＝8，解得m ＝±5. 答案：±5角度三：由三角函数的定义求参数值4．已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．解析：由三角函数的定义知tan α＝－6x ，于是－6x ＝－35，解得x＝10.答案：105．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________．解析：∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上．∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案：(－2,3][方法归纳]应用三角函数定义的3种求法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm ，则扇形的面积为________cm 2.解析：∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12αr 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．答案：80π2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．解析：因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＜0，cos α＜0，所以角α的终边在第二象限．答案：二3．在与2 010°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为________．解析：∵2 010°＝67π6＝12π－5π6，∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角的弧度数为－5π6. 答案：－5π64．(2019·南京六校联考)点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于第________象限．解析：因为sin 2 015°＝sin(11×180°＋35°) ＝－sin 35°＜0，cos 2 015°＝cos(11×180°＋35°)＝－cos 35°＜0，所以点A (sin 2 015°，cos 2 015°)位于第三象限． 答案：三5．(2019·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________.解析：因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16.解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43.答案：－43二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是________．解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角． 又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.答案：－π32．(2019·宿迁模拟)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于________．解析：因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos 2.答案：－cos 23．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________．解析：设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，∴α＝ 3. 答案： 34．(1)已知扇形周长为10，面积是4，则扇形的圆心角为________． (2)已知扇形周长为40，若扇形面积最大，则圆心角为________． 解析：(1)设圆心角为θ，半径为r ，则⎩⎨⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8.(舍去) 故扇形圆心角为12.(2)设圆心角为θ，半径为r ， 则2r ＋rθ＝40.S ＝12θ·r 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100， 当且仅当r ＝10时，S max ＝100. 此时圆心角θ＝2. 答案：(1)12(2)25．(2019·镇江调研)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝________.解析：取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故 cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.答案：－356．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角． 解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一7．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)8．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π49．已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． 解：设α终边上任一点为P (k ，－3k )，则r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |. 当k >0时，r ＝10k ，∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10 kk ＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k <0时，r ＝－10k ，∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10k k ＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.10．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎨⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r≤14⎝⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝4， 当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1.法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时， 扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若A 是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2，则A2是第________象限角．解析：因为A 是第三象限角， 所以2k π＋π<A <2k π＋3π2(k ∈Z)，所以k π＋π2<A 2<k π＋3π4(k ∈Z)，所以A2是第二、四象限角．又因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A 2＝－sin A 2， 所以sin A2<0，所以A2是第四象限角．答案：四2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为________． 解析：由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限， 又角θ与角α的终边相同， 所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0. 所以y ＝－1＋1－1＝－1. 答案：－13．已知sin α＜0，tan α＞0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α＞0, 知α在第一、三象限， 故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系 sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系 tan α＝sin αcos α. 2．诱导公式1．(教材习题改编)若α是第二象限角，tan α＝－815，则sin α＝________.解析：由题意得⎩⎨⎧sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝－815，解得sin α＝±817.因为α为第二象限角，所以sin α>0，所以sin α＝817. 答案：8172．(教材习题改编)已知tan θ＝2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝________.解析：原式＝cos θ－(－cos θ)cos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝－2. 答案：－23．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是________．解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2.答案：24．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝________；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3＝________.答案：(1)22(2) 31．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化． [小题纠偏]1．已知α为第四象限角，且 sin(π－α)＝－13，则tan α＝________.解析：由 sin(π－α)＝－13，得 sin α＝－13.因为α在第四象限，所以 cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝223，则 tan α＝sin αcos α＝－13223＝－24.答案：－242．若sin(3π＋θ)＝13，则sin θ＝________.答案：－133．已知cos(π＋α)＝－12，且α是第四象限角，计算：(1)sin(2π－α)＝________；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)(n ∈Z)＝______.解析：因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又因为α是第四象限角， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－32.(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin[α－(2n ＋1)π]sin (α＋2n π)cos (α－2n π)＝sin (2n π＋π＋α)＋sin (－2n π－π＋α)sin (2n π＋α)cos (－2n π＋α)＝sin (π＋α)＋sin (－π＋α)sin αcos α＝－sin α－sin (π－α)sin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.答案：(1)32(2)－4考点一 三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．sin 210°cos 120°的值为________．解析：sin 210°cos 120°＝－sin 30°(－cos 60°)＝12×12＝14.答案：142．(2019·淮安模拟)已知角α终边上一点M 的坐标为(3，1)，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值是________．解析：由题可知，cos α＝32，sin α＝12，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12cos α－32sin α＝0. 答案：03．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝________.解析：tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－334．(易错题)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α≠－12，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝________.解析：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝ 3.答案： 3[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．考点二 同角三角函数的基本关系(题点多变型考点——纵引横联)已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝15.求tan α的值．[解] 法一：联立方程⎩⎨⎧sin α＋cos α＝15， ①sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①得cos α＝15－sin α，将其代入②，整理得 25sin 2α－5sin α－12＝0. ∵α是三角形的内角， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.∴(sin α＋cos α)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫152，即1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925.∵sin αcos α＝－1225＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0. ∴sin α－cos α＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－43.[类题通法]同角三角函数基本关系式的应用技巧θ)2∓2sin θcos θ和积 转换利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ[越变越明][变式一] 保持母题条件不变， 求：(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α；(2)sin 2α＋2sin αcos α的值． 解：由母题可知：tan α＝－43.(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2 ＝－43－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋2＝87.(2)sin 2α＋2sin αcos α＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋2tan α1＋tan 2α＝169－831＋169＝－825.[变式二] 若母题条件变为“sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5”， 求tan α的值．解：法一：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5, 得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.法二：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得sin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，∴6sin α＝12cos α，即tan α＝2.[变式三] 若母题中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tan α＝－13， 求 sin α＋cos α的值．解：由tan α＝－13，得sin α＝ －13cos α，将其代入 sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α＜0， ∴cos α＝－31010， sin α＝1010，故 sin α＋cos α＝－105. [破译玄机]1．三角形中求值问题，首先明确角的范围，才能求出角的值或三角函数值．2．三角形中常用的角的变形有：A ＋B ＝π－C,2A ＋2B ＝2π－2C ，A 2＋B 2＋C 2＝π2等，于是可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋B 2＝sin C2等． 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝________.解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45.答案：452．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ＝________.解析：∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝ 3.∵|θ|＜π2，∴θ＝π3.答案：π33．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.答案：－134．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.答案：－435．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A 的值是________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－A ＝－sin A ＝12.答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·南师附中检测)角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (1,2)，则sin(π－α)的值是________．解析：因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (1,2)，所以sin α＝255，sin(π－α)＝sin α＝255.答案：2552．若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α的值等于________． 解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α，可得sin α＝－2cos α，则tanα＝－2，sin α·cos α＝tan α1＋tan 2α＝－25.答案：－253．(2019·苏北四市调研)cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝________.解析：原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝ 3.答案： 34．已知f (α)＝sin (π－α)cos (2π－α)cos (－π－α)tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝________.解析：∵f (α)＝sin α·cos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12.答案：－125．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α＝__________.解析：∵5π4<α<3π2， ∴cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|， ∴cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. 答案：326．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos (π＋α)＋sin (π－α)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin (π＋α)＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α(－sin α)－sin α＝－sin α＋sin α＝0. 答案：07．sin 4π3·cos 5π6·tan 错误!＝________.解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π－π3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×(－3)＝－334.答案：－3348．(2019·南通调研)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a (|a |≤1)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________. 解析：由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a . sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 答案：09．已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f (0)＝1. (1)求A 的值；(2)若f (α)＝－15，α是第二象限角，求cos α.解：(1)由f (0)＝1，得A sin π4＝1，A ×22＝1，∴A ＝ 2.(2)由(1)得，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝sin x ＋cos x .由f (α)＝－15，得sin α＋cos α＝－15，∴sin α＝－cos α－15，即sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos α－152，∴1－cos 2α＝cos 2α＋25cos α＋125，cos 2α＋15cos α－1225＝0，解得cos α＝35或cos α＝－45.∵α是第二象限角，∴cos α<0， ∴cos α＝－45.10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解：由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912. 答案：9122．若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋α＋1，且f (2 013)＝2，则f (2 015)＝________.解析：因为f (2 013)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2 013＋α＋1＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 006π＋π2＋α＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋1＝cos α＋1＝2， 所以cos α＝1.所以f (2 015)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2 015＋α＋1 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 007π＋π2＋α＋1＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋1 ＝－cos α＋1＝0. 答案：03．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫503π1 007的值． 解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎪⎫π2 014＋f ⎝⎛⎭⎪⎫503π1 007＝sin 2π2 014＋sin 21 006π2 014＝sin 2π2 014＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π2 014 ＝sin 2π2 014＋cos 2π2 014＝1. 第三节 三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)． 余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(表中k ∈Z).1．(教材习题改编)函数y ＝2sin x －1的定义域为______________________．解析：由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z)2．(教材习题改编)使函数y ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3取最小值时x 的集合为________________．解析：要使函数取最小值，则2x －2π3＝2k π＋π(k ∈Z)，知x ＝k π＋5π6，k ∈Z. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋5π6，k ∈Z3．(教材习题改编)函数y ＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是________． 解析：根据正弦函数图象，可知x ＝π6时，函数取到最小值1；x＝π2时，函数取到最大值2. 答案：[1,2]4．函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋2的定义域为______________． 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z 1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结． [小题纠偏]1．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．解析：由已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以sin 错误!∈错误!，故函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－222．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调减区间为____________．解析：由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)3．函数y ＝lg sin(cos x )的定义域为________． 解析：由sin(cos x )>0⇒2k π<cos x <2k π＋π(k ∈Z)． 又－1≤cos x ≤1，∴0<cos x ≤1.故所求定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z .答案：错误!考点一 三角函数的定义域与值域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．解析：∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3答案：2－ 32．(易错题)函数y ＝1tan x －1的定义域为______________．解析：要使函数有意义，必须有⎩⎨⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋kx ，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z3．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0， 得⎩⎨⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 4．(易错题)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值与最小值． 解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22.[谨记通法]1．三角函数定义域的2种求法(1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，如“题组练透”第2题易忽视．(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域． 2．三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数，如“题组练透”第4题．考点二 三角函数的单调性(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]写出下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]；(2)f (x )＝|tan x |；(3)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2. 解：(1)由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z. 又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π. (2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是错误!，k ∈Z ，减区间是错误!，k ∈Z.(3)当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，函数f (x )是增函数．因此函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－5π12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2. [由题悟法]求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[提醒] 求解三角函数的单调区间时若x 的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．[即时应用]1．(2019·宿迁调研)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为______．解析：由已知函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin 错误!的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z.故所给函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) 2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.答案：32考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．常见的命题角度有： (1)三角函数的周期；(2)求三角函数的对称轴或对称中心； (3)三角函数对称性的应用．[题点全练]角度一：三角函数的周期1．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的最小正周期为________．解析：T ＝2π|－2|＝π. 答案：π2．(2019·南京调研)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2， 即k ＜π＜2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或3角度二：求三角函数的对称轴或对称中心3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的对称轴为________．解析：由题意得，2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝π8＋k π2(k ∈Z)即为函数f (x )的对称轴．答案：x ＝π8＋k π2(k ∈Z)4．函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心是________．解析：2x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，所以x ＝k π4－π6，k ∈Z.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4－π6，0(k ∈Z)角度三：三角函数对称性的应用5．(2019·南京四校联考)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为________．解析：πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z)⇒ωmin ＝2.答案：26.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f 错误!的值为________．解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝12cos π6＝34.答案：34[方法归纳]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数y ＝cos x －32的定义域为________． 解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z.答案：错误!(k ∈Z)2．函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________． 解析：y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －542＋98.故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， 故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． 答案：[－9,1]3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值是________．解析：由题意知，T ＝π4，所以πω＝π4，所以ω＝4，所以f (x )＝tan 4x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0.答案：04．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是____________． 解析：由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ，2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z) 5．函数y ＝3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝______. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z)． 答案：53π4＋2k π(k ∈Z) 二保高考，全练题型做到高考达标1．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是_______________________________.解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0，k ∈Z2．(2019·苏锡常镇四市调研)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )的单调增区间为________．解析：因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f (x )＝2sin 2x ，令2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z)，解得函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z)3．已知函数y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是________．解析：因为y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数，所以ω<0且π|ω|≥π，则－1≤ω<0.答案：[－1,0)4．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则x 0＝________.解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2.又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，而x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x 0＝5π12. 答案：5π125．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，且|φ|＜π2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：由题意得函数f (x )的周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，所以ω＝2，此时f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，于是f 错误!＝sin 错误!＝cos 错误!＝32. 答案：326．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值为________． 解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ， ∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．。

(例 2(1))
(1) 用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积，并确定 sinθ 的取值范围； 【解答】如图(2)，连接 PO 并延长交 MN 于点 H，则 PH⊥MN，所以 OH＝10. 过点 O 作 OE⊥BC 于点 E，则 OE∥MN，所以∠COE＝θ，故 OE＝40cosθ，EC＝40sinθ，
【解析】结合正弦函数的图象可以看出，函数 f(x)的周期为 3，所以2ωπ＝3，即 ω ＝23π，所以 φ＝－π2，所以23πt－π2＝2kπ＋π2(k∈N*)，所以 t＝3k＋32(k∈N* )．
知识梳理 1. 建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤 (1) 阅读理解，审清题意； (2) 创设变量，构建模型； (3) 计算推理，解决模型； (4) 结合实际，检验作答． 2. 三角函数模型的主要应用 (1) 在解决物理问题中的应用； (2) 在解决测量问题中的应用； (3) 在解决航海问题中的应用.
海岸线，∠CAB＝3π，AB⊥BD，B︵C是以 A 为圆心，半径为 1 km 的圆弧型小路．该市 拟修建一条从 C 通往海岸的观光专线C︵PPQ，其中 P 为B︵C上异于 B，C 的一点，PQ 与
AB 平行，设∠PAB＝θ.
(变式)
(1) 求证：观光专线C︵PPQ 的总长度随 θ 的增大而减小； 【解答】由题知，∠CAP＝3π－θ，所以C︵P＝π3－θ.又 PQ＝AB－APcosθ＝1－cosθ，
【解析】因为 x∈π4，3π，所以 x＋π6∈51π2，2π，所以 cosx＋π6∈0，
6－ 4
2，所
以最大值为
6－ 2
2＋3.
2. (必修 4P42 例 2 改编)一根足够长的绳子绕在半径为 50 cm 的轮圈上，绳子的
下端 B 处悬挂着物体 W，已知轮子按逆时针方向每分钟匀速旋转 4 圈，那么需要 15

第四章 三角函数、解三角形 4.7 解三角形的综合应用教师用书 理苏教版1.仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①). 2.方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等. 3.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②). 【知识拓展】 1.三角形的面积公式S ＝p p －a p －bp －c (p ＝a ＋b ＋c2)，S ＝abc 4R ＝rp (R 为三角形外接圆半径，r 为三角形内切圆半径，p ＝a ＋b ＋c2).2.坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × )(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，π2].( × )(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( √ ) (4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，π2).( √ )1.(教材改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为________ m. 答案 50 2解析 由正弦定理得AB sin∠ACB ＝ACsin B ，又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m).2.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是________n mile. 答案 70解析 设两船之间的距离为d ，则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900， ∴d ＝70，即两船相距70 n mile.3.(教材改编)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC ＝________ n mile. 答案 5 6解析 如图，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°，∴BCsin 60°＝10sin 45°，∴BC ＝5 6.4.如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________. 答案32a 解析 由已知得∠DAC ＝30°，△ADC 为等腰三角形，AD ＝3a ，又在Rt△ADB 中，AB ＝12AD＝32a . 5.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h ；水的流向是正东，流速是20 km/h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h.答案 60° 20 3解析 如图，∠AOB ＝60°，由余弦定理知OC 2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC ＝203，∠COY ＝30°＋30°＝60°. 题型一 求距离、高度问题例1 (1)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD是60 m，则河流的宽度BC＝________ m.(2)如图，A，B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的射影，则山高CD＝________ m.答案(1)120(3－1) (2)800(3＋1)解析(1)如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以CD＝AD·tan 60°＝603(m).在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan 15°＝60(2－3)(m).所以BC＝CD－BD＝603－60(2－3)＝120(3－1) (m).(2)在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.由ABsin 15°＝ADsin 45°，得AD＝AB·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m).∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝800(3＋1) m.思维升华求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念.(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(1)一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________ km.(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m. 答案 (1)30 2 (2)30＋30 3解析 (1)如图，由题意，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°， ∴B ＝45°，AC ＝60 km ， 由正弦定理BC sin 30°＝ACsin 45°，∴BC ＝30 2 km.(2)在△PAB 中，∠PAB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24， 由正弦定理得PB sin 30°＝ABsin 15°，∴PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，∴树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m). 题型二 求角度问题例2 甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C 处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值.(结果保留根号，无需求近似值)解 设用t 小时，甲船追上乙船，且在C 处相遇，那么在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝180°－15°－45°＝120°， 由余弦定理，得(28t )2＝81＋(20t )2－2×9×20t ×(－12)，128t 2－60t －27＝0， 解得t ＝34或t ＝－932(舍去)，所以AC ＝21(海里)，BC ＝15(海里)， 根据正弦定理，得 sin∠BAC ＝BC sin∠ABC AC ＝5314， cos∠BAC ＝1－75142＝1114. 又∠ABC ＝120°，∠BAC 为锐角， 所以θ＝45°－∠BAC ， sin θ＝sin(45°－∠BAC )＝sin 45°cos∠BAC －cos 45°sin∠BAC ＝112－5628.思维升华 解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.(1)(2016·苏州模拟)如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________. 答案2114解析 在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°， 由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理，得AB sin∠ACB ＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB ＝AB BC ·sin∠BAC ＝217. 由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°) ＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝2114. 题型三 三角形与三角函数的综合问题例3 (2016·扬州调研)在斜三角形ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1. (1)求C 的值；(2)若A ＝15°，AB ＝2，求△ABC 的周长.解 (1)方法一 因为tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1，即tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ， 因为在斜三角形ABC 中，1－tan A tan B ≠0，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝1，即tan(180°－C )＝1，即tan C ＝－1， 因为0°<C <180°，所以C ＝135°.方法二 由tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1， 得sin A cos A ＋sin B cos B ＋sin A sin Bcos A cos B＝1， 化简得sin A cos B ＋sin B cos A ＋sin A sin B ＝cos A cos B ，即sin(A ＋B )＝cos(A ＋B )， 所以sin C ＝－cos C ，因为斜三角形ABC ，所以C ＝135°.(2)在△ABC 中，A ＝15°，C ＝135°，则B ＝180°－A －C ＝30°. 由正弦定理BC sin A ＝CA sin B ＝ABsin C得BCsin 15°＝CA sin 30°＝2sin 135°＝2，故BC ＝2sin 15°＝2sin(45°－30°) ＝2(sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°)＝6－22， CA ＝2sin 30°＝1.所以△ABC 的周长为AB ＋BC ＋CA ＝2＋6－22＋1 ＝2＋6＋22. 思维升华 三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题.(2016·南京学情调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝b cos A .(1)求ba的值；(2)若sin A ＝13，求sin(C －π4)的值.解 (1)方法一 由a cos B ＝b cos A ， 结合正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 即sin(A －B )＝0.因为A ，B ∈(0，π)，所以A －B ∈(－π，π)， 所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ，即b a＝1. 方法二 由a cos B ＝b cos A ，结合余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc，即2a 2＝2b 2，即b a＝1.(2) 因为sin A ＝13，由(1)知A ＝B ，因此A 为锐角，所以cos A ＝223.所以sin C ＝sin(π－2A )＝sin 2A ＝2sin A cos A ＝429，cos C ＝cos(π－2A )＝－cos 2A ＝－1＋2sin 2A ＝－79.所以sin(C －π4)＝sin C cos π4－cos C sin π4＝429×22＋79×22＝8＋7218. 10.函数思想在解三角形中的应用典例 (14分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.思想方法指导 已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决. 规范解答解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，[1分]则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos 90°－30° ＝900t 2－600t ＋400＝900t －132＋300. [3分]故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.[6分]即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. [7分](2)设小艇与轮船在B 处相遇.则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)， 故v 2＝900－600t ＋400t2.[10分]∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30，故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.[13分]故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时.[14分]1.(2017·苏北四市联考)一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是________海里. 答案 10 2解析 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°， 根据正弦定理得BC sin 30°＝ABsin 45°，解得BC ＝102(海里).2.在高出海平面200 m 的小岛顶上A 处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________ m. 答案 200(3＋1)解析 过点A 作AH ⊥BC 于点H ，由图易知∠BAH ＝45°，∠CAH ＝60°，AH ＝200 m ， 则BH ＝AH ＝200 m ，CH ＝AH ·tan 60°＝200 3 (m). 故两船距离BC ＝BH ＋CH ＝200(3＋1) (m).3.江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m. 答案 10 3解析 如图，OM ＝AO tan 45°＝30 (m)，ON ＝AO tan 30°＝30×33＝10 3 (m)，在△MON 中，由余弦定理得，MN ＝ 900＋300－2×30×103×32＝300＝10 3 (m).4.(2016·南京模拟)如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________. 答案 45°解析 依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)， 又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝3052＋20102－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22， 又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.5.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________.答案 15 6解析 在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°.由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°， 所以BC ＝15 2.在Rt△ABC 中，AB ＝BC tan∠ACB ＝152×3＝15 6.6.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗.答案 0.6解析 在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°，CD ＝106(米). 由正弦定理，得BC ＝CD sin 45°sin 30°＝203(米). 在Rt△ABC 中，AB ＝BC sin 60°＝203×32＝30(米). 所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒). 7.如图，CD 是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD 所在水平面上的山体外取点A ，B ，并测得四边形ABCD 中，∠ABC ＝π3，∠BAD ＝23π，AB ＝BC ＝400米，AD ＝250米，则应开凿的隧道CD 的长为________米.答案 350解析 在△ABC 中，AB ＝BC ＝400米，∠ABC ＝π3， ∴AC ＝AB ＝400米，∠BAC ＝π3.∴∠CAD ＝∠BAD －∠BAC ＝2π3－π3＝π3. ∴在△CAD 中，由余弦定理，得CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos∠CAD＝4002＋2502－2·400·250·cos π3＝122 500. ∴CD ＝350米.8.如图，一艘船上午9∶30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是______ n mile/h.答案 32解析 设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°， 由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32. 9.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.答案 507解析 如图，连结OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC ＝507.*10.在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________.答案 (1，2]解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin π4＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤sin π2，即x ∈(1，2]. 11.要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度.解 如图，设电视塔AB 高为x m ，则在Rt△ABC 中，由∠ACB ＝45°，得BC ＝x .在Rt△ADB 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理得，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°，即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40 m.12.(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6的值. 解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14， 可得sin A ＝154. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝315， 得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4.由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8.由asin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6 ＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. *13.在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解 如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船(在D 点)，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，解得BC ＝ 6.又BC sin∠BAC ＝ACsin∠ABC ， ∴sin∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin 120°6＝22， ∴∠ABC ＝45°，故B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin∠BCD ＝CD sin∠CBD ， ∴sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝6，解得t ＝610小时≈15分钟. ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.14.(教材改编)如图，有两条相交成60°角的直路X ′X ，Y ′Y ，交点是O ，甲、乙两人分别在OX 、OY 上，甲的起始位置离点O 3 km ，乙的起始位置离点O 1 km.后来甲沿XX ′的方向，乙沿YY ′的方向，同时以4 km/h 的速度步行.(1) 求甲、乙在起始位置时两人之间的距离；(2) 设t h 后甲、乙两人的距离为d (t )，写出d (t )的表达式.当t 为何值时，甲、乙两人之间的距离最短？并求出两人之间的最短距离.解 (1) 由余弦定理，得起初两人的距离为12＋32－2×1×3×cos 60°＝7(km).(2)设t h 后两人的距离为d (t )，则当0≤t ≤14时， d (t )＝＝16t 2－16t ＋7；当t >34时， d (t )＝＝16t 2－16t ＋7；当14<t ≤34时， d (t )＝＝16t 2－16t ＋7.所以d (t )＝16t 2－16t ＋7＝ 16t －122＋3 (t ≥0)，当t ＝12时，两人的距离最短. 答 当t ＝12时，两人的最短距离为 3 km.。

§4.8三角函数的综合应用【复习目标】理解三角函数中自变量的两面性——角与实数，将三角函数问题与几何、代数联系起来； 三角恒等变型与三角函数的图象与性质是综合应用的两个方面。

【课前预习】⊿ABC 的内角满足t a n s i n 0A A -<，c o s s i n 0A A +>，则A 的范围是 。

若111c o s s i n θθ-=，则sin2θ= 。

由函数52s i n 3()66y x x ππ=≤≤与函数2y =的图象围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是 。

已知()f x 是定义在（0，3）上的函数，图象如图所示，那么不等式()c o s 0f x x <的解集是 （ ）A ．()()0,12,3⋃B ．(1,)(,3)22ππ⋃ C ．()0,1,32π⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ D ．()()0,11,3⋃函数|s i n |,[,]y x x x ππ=+∈-的大致图象是 （ ）【典型例题】例1 已知函数2()s i n s i n fx x x a =-++.（1） 当()0f x =有实数解时，（2） 求a 的取值范围； （3） 若x R ∈，（4） 有171()4f x ≤≤，（5） 求a 的取值范围。

例2 （2003上海卷·22）已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有()f x T +=T ·()f x 成立.（1）函数()f x = x 是否属于集合M ？说明理由； （2）设函数()f x =a x （a >0,且a ≠1）的图象与y=x 的图象有公共点，证明：()f x =a x ∈M ；（3）若函数()f x =sin kx ∈M ,求实数k 的取值范围.【本课小结】【课后作业】（2004北京春·16）在∆A B C 中，a ，b ，c 分别是∠∠∠A B C ，，的对边长，已知a ，b ，c成等比数列，且a c a c b c 22-=-，求∠A 的大小及b Bc sin 的值。