试卷分类汇编_分式方程

分式与分式方程专题练习（56题）一、单选题1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）方程213x =+的解是（）A ．1x =B ．=1x -C ．5x =D ．5x =-2．（2023·河北·统考中考真题）化简233y x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果是（）A ．6xyB ．5xyC ．25x y D ．26x y 3．（2023·湖南·统考中考真题）下列计算正确的是（）A ．623a a a=B ．()325aa=C ．22()()a ba b a b a b +=+++D ．0113⎛⎫-= ⎪⎝⎭4．（2023·贵州·统考中考真题）化简11a a a+-结果正确的是（）A ．1B ．aC ．1aD ．1a-5．（2023·山东东营·统考中考真题）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x 千克，依题意所列方程正确的是（）A ．960060000.41.5x x -=B ．960060000.41.5x x -=C ．600096000.41.5x x-=D ．600096000.41.5x x-=6．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）若分式方程3122a x x =-++的解为负数，则a 的取值范围是（）A ．1a <-且2a ≠-B ．0a <且2a ≠-C ．2a <-且3a ≠-D ．1a <-且3a ≠-7．（2023·辽宁·统考中考真题）某校八年级学生去距离学校120km 的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发1h 后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度，设慢车的速度是km/h x ，所列方程正确的是（）A ．1201201 1.5x x+=B ．1201201 1.5x x-=C ．1201201.51x x =-D ．1201201.51x x =+．三、解答题25．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是4800kg，今年龙虾的总产量是6000kg，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少60kg，求今年龙虾的平均亩产量．26．（2023·湖南常德·统考中考真题）“六一”儿童节将至，张老板计划购买A型玩具和B型玩具进行销售，若用1200元购买A型玩具的数量比用1500元购买B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具进价的1.5倍．(1)求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少？(2)若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板购进A，B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购进多少个？27．（2023·贵州·统考中考真题）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天生产x 件产品．解答下列问题：(1)更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；(2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．28．（2023·吉林·统考中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式20元，求购买两种食品各多少份？(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50％，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？42．（2023·黑龙江·统考中考真题）2023年5月30日上午9点31分，神舟十六号载人飞船在酒泉发射中心发射升空，某中学组织毕业班的同学到当地电视台演播大厅观看现场直播，学校准备为同学们购进A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫多10元，用500元购进A款和用400元购进B款的文化衫的数量相同．(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元？(2)已知毕业班的同学一共有300人，学校计划用不多于14800元，不少于14750元购买文化衫，求有几种购买方案？(3)在实际购买时，由于数量较多，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利m元，采购人员发现（2）中的所有购买方案所需资金恰好相同，试求m值．43．（2023·江苏扬州·统考中考真题）甲、乙两名学生到离校2.4km的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发30min后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度．44．（2023·辽宁营口·统考中考真题）某大型超市购进一款热销的消毒洗衣液，由于原材料价格上涨，今年每瓶洗衣液的进价比去年每瓶洗衣液的进价上涨4元，今年用1440元购进这款洗衣液的数量与去年用1200元购进这款洗衣液的数量相同．当每瓶洗衣液的现售价为36元时，每周可卖出600瓶，为了能薄利多销．该元，每周的销量可增加行驶时间．48．（2023·山东泰安·统考中考真题）为进行某项数学综合与实践活动，小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具．该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款，否则按零售价付款．小明如果给学校九年级学生每人购买一个，只能按零售价付款，需用3600元；如果多购买60个，则可以按批发价付款，同样需用3600元，若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同，求这个学校九年级学生有多少人？49．（2023·山东·统考中考真题）某校组织学生去郭永怀纪念馆进行研学活动．纪念馆距学校72千米，部分学生乘坐大型客车先行，出发12分钟后，另一部分学生乘坐小型客车前往，结果同时到达．已知小型客车的速度是大型客车速度的1.2倍，求大型客车的速度．50．（2023·四川德阳·统考中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积4.82平方公里，计划中的某项工程，已知由甲单独施工需要1156．（2023·山东·统考中考真题）先化简2211a aaa a--⎛⎫-÷⎪⎝⎭，再从33a-<<的范围内选择一个合适的数代入求值．12。

分式与分式方程一.选择题1.（2015•淄博第10题,4分）若关于x 的方程+=2的解为正数，则m 的取值范围是（ ）A ． m ＜6B ．m ＞6C ． m ＜6且m ≠0D ． m ＞6且m ≠8考点： 分式方程的解．.分析： 先得出分式方程的解，再得出关于m 的不等式，解答即可． 解答： 解：原方程化为整式方程得：2﹣x ﹣m =2（x ﹣2）， 解得：x =2﹣， 因为关于x 的方程+=2的解为正数，可得：，解得：m ＜6，因为x =2时原方程无解， 所以可得，解得：m ≠0． 故选C ．点评： 此题考查分式方程，关键是根据分式方程的解法进行分析． 2、（2015•四川自贡,第3题4分）方程-=+2x 10x 1的解是（ ） A .1或－1 B .－1 C .0 D .1 考点：解分式方程、分式方程的解.分析：解分式方程关键是去分母化为整式方程来解，但整式方程的解不一定是分式方程的解，要注意代入最简公分母验根（代入最简公分母后所得到值不能为0）.略解：去分母：-=2x 10，解得：,==-12x 1x 1；把,==-12x 1x 1代入+=x 10后知=-x 1不是原分式方程的解，原分式方程的解=x 1.故选D .3. （2015•浙江金华，第2题3分）要使分式1x 2+有意义，则x 的取值应满足【 】A . x 2=-B . x 2≠-C . x 2>-D . x 2≠- 【答案】D .【考点】分式有意义的条件.【分析】根据分式分母不为0的条件，要使1x 2+在实数范围内有意义，必须x 20x 2+≠⇒≠-.故选D .5. （2015•四川省内江市，第5题，3分）函数y =+中自变量x 的取值范围是（ ）A ． x ≤2B ．x ≤2且x ≠1 C ． x ＜2且x ≠1 D ． x ≠1考点： 函数自变量的取值范围．.分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 解答： 解：根据二次根式有意义，分式有意义得：2﹣x ≥0且x ﹣1≠0， 解得：x ≤2且x ≠1． 故选：B ．点评： 本题考查函数自变量的取值范围，涉及的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．6. （2015•浙江省绍兴市，第6题，4分）化简xx x -+-1112的结果是A . 1+xB .11+x C . 1-x D . 1-x x考点：分式的加减法．. 专题：计算题．分析：原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．解答：解：原式=﹣===x +1．故选A点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．(2015·南宁，第12题3分)对于两个不相等的实数a 、b ，我们规定符号Max {a ，b }表示a 、b 中的较大值，如：Max {2，4}=4，按照这个规定，方程{}xx x x Max 12,+=-的解为（ ）. （A ）21- （B ）22- （C ）2121-+或 （D ）121-+或 考点：解分式方程．. 专题：新定义．分析：根据x 与﹣x 的大小关系，取x 与﹣x 中的最大值化简所求方程，求出解即可． 解答：解：当x ＜﹣x ，即x ＜0时，所求方程变形得：﹣x =，去分母得：x 2+2x +1=0，即x =﹣1；当x ＞﹣x ，即x ＞0时，所求方程变形得：x =，即x 2﹣2x =1，解得：x =1+或x =1﹣（舍去），经检验x =﹣1与x =1+都为分式方程的解．故选D ．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．8. （2015山东济宁，8，3分）解分式方程时，去分母后变形正确的为（ ）A ．2+（x +2）=3（x －1）B ．2－x +2=3（x －1）C ．2－（x +2）=3D ． 2－（x +2）=3（x －1） 【答案】D 【解析】试题分析： 根据分式方程的特点， 原方程化为：，去分母时，两边同乘以x －1，得：.故选D考点：分式方程的去分母9. （2015•浙江衢州,第18题6分）先化简，再求值：，其中．【答案】解：原式=，当时，原式=【考点】分式的化简求值．【分析】将被除式因式分解，除法变乘法，约分化简，最后代求值即可.10．（2015•甘肃武威,第20题4分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x=0．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=0代入进行计算即可．解答：解：原式=÷（﹣）=•=，当x=0时，原式=．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．11．（2015•广东佛山,第17题6分）计算：﹣．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．解答：解：原式=﹣==．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．（2015•广东广州,第19题10分）已知A=﹣（1）化简A；（2）当x满足不等式组，且x为整数时，求A的值．考点：分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．分析：（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．解答：解：（1）A=﹣=﹣=﹣=（2）∵∴∴1≤x＜3，∵x为整数，∴x=1或x=2，①当x=1时，∵x﹣1≠0，∴A=中x≠1，∴当x=1时，A=无意义．②当x=2时，A==．点评：（1）此题主要考查了分式的化简求值，注意化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤．（2）此题还考查了求一元一次不等式组的整数解问题，要熟练掌握，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件求得不等式组的整数解即可．13、（2015·湖南省常德市，第7题3分）分式方程23122xx x+=--的解为：A 、1B 、2C 、13D 、0【解答与分析】这是分式方程的解法：答案为A14．（2015·湖南省益阳市，第6题5分）下列等式成立的是（ ）A ．+=B ．=C ． =D ． =﹣考点： 分式的混合运算． 专题： 计算题．分析： 原式各项计算得到结果，即可做出判断． 解答： 解：A 、原式=，错误；B 、原式不能约分，错误；C 、原式==，正确；D 、原式==﹣，错误， 故选C点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．（2015·湖南省衡阳市，第4题3分）若分式的值为0，则的值为（ ）．A ．2或－1B ．0C ．2D ．－1二.填空题1．（2015·湖北省孝感市，第11题3分）分式方程351+=x x 的解是 ☆ ．考点：解分式方程．.专题：方程思想．分析：观察可得最简公分母是x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程的两边同乘x（x+3），得x+3=5x，解得x=．检验：把x=代入x（x+3）=≠0．∴原方程的解为：x=．故答案为：x=．点评：考查了解分式方程，注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．2．（2015·湖南省衡阳市，第16题3分）方程的解为．[w*ww~.^3、（2015·湖南省常德市，第10题3分）若分式211xx-+的值为0，则x＝【解答与分析】这其实就分式方程的解法：211xx-+＝0，解之得答案为：x＝14．(2015•江苏无锡,第12题2分)化简得．考点：约分．分析：首先分别把分式的分母、分子因式分解，然后约去分式的分子与分母的公因式即可．解答：解：==故答案为：．点评：此题主要考查了约分问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式．②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面．③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．5．（2015•广东梅州,第16题5分）若=+，对任意自然数n都成立，则a= ，b﹣；计算：m=+++…+= ．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据题意确定出a与b的值即可；原式利用拆项法变形，计算即可确定出m的值．解答：解：=+=，可得2n（a+b）+a﹣b=1，即，解得：a=，b=﹣；m=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，故答案为：；﹣；．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．（2015•广东佛山,第12题3分）分式方程的解是3 ．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x=3（x﹣2），去括号得：x=3x﹣6，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．7．（2015•甘肃武威,第12题3分）分式方程的解是x=2 ．考点：解分式方程．分析：观察可得最简公分母是x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．解答：解：方程的两边同乘x（x+3），得2（x+3）=5x，解得x=2．检验：把x=2代入x（x+3）=10≠0，即x=2是原分式方程的解．故原方程的解为：x=2．故答案为：x=2．点评：此题考查了分式方程的求解方法．注意：①解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，②解分式方程一定注意要验根．8．(2015·南宁，第14题3分)要使分式11-x 有意义，则字母x 的取值范围是 ． 点：分式有意义的条件．.分析：分式有意义，分母不等于零．解答：解：依题意得 x ﹣1≠0，即x ≠1时，分式有意义．故答案是：x ≠1．点评：本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．9．(2015·贵州六盘水，第14题4分)已知0654≠==ab c ，则a c b +的值为 ．考点：比例的性质．.分析：根据比例的性质，可用a 表示b 、c ，根据分式的性质，可得答案．解答：解：由比例的性质，得 c =a ，b =A ．===．故答案为：．点评：本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出a 表示b 、c 是解题关键，又利用了分式的性质．10． (2015·河南，第16题8分)先化简，再求值：)11(22222ab b a b ab a -÷-+-，其中15+=a ，15-=b .【分析】解答本题应从运算顺序入手，先将括号里通分，能因式分解的进行因式分解，然后将除法变乘法，最后约分化简成最简分式后，将a ,b 的值代入求解.解：原式=abba b a b a -÷--)(22）（……………………………………………………（4分）=b a abb a -⋅-2 =2ab.……………………………………………………（6分）当1,1a b ==时，原式=22152)15(15=-=-+）（.…………（8分）11． (2015·黑龙江绥化，第14题 分)若代数式6265x 2-+-x x 的值等于0 ，则x =_________．考点：分式的值为零的条件．．分析：根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．解答：解：由分式的值为零的条件得x 2﹣5x +6=0，2x ﹣6≠0，由x 2﹣5x +6=0，得x =2或x =3， 由2x ﹣6≠0，得x ≠3， ∴x =2， 故答案为2．点评：本题考查了分式值为0的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．12．（2015•广东省,第12题，4分）分式方程321=+x x的解是 ▲ . 【答案】2=x . 【考点】解分式方程【分析】去分母，得：()321=+x x ， 解得：2=x ，经检验，2=x 是原方程的解， ∴原方程的解是2=x .13．（2015•广东梅州,第15题，3分）若1212)12)(12(1++-=+-n bn a n n ，对任意自然数n 都成立，则=a ，=b ；计算：=⨯++⨯+⨯+⨯=21191751531311 m ．考点：分式的加减法．. 专题：计算题．分析：已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，根据题意确定出a 与b 的值即可；原式利用拆项法变形，计算即可确定出m 的值． 解答：解：=+=，可得2n （a +b ）+a ﹣b =1，即，解得：a =，b =﹣； m =（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=， 故答案为：；﹣；．点评：此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．（2015•安徽省,第14题，5分）已知实数a 、b 、c 满足a ＋b ＝ab ＝c ，有下列结论： ①若c ≠0，则 1 a ＋ 1b ＝1；②若a ＝3，则b ＋c ＝9；③若a ＝b ＝c ，则abc ＝0；④若a 、b 、c 中只有两个数相等，则a ＋b ＋c ＝8．其中正确的是 (把所有正确结论的序号都选上)． 考点：分式的混合运算；解一元一次方程．.分析：按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．解答：解：①∵a +b =ab ≠0，∴+=1，此选项正确；②∵a =3，则3+b =3b ，b =，c =，∴b +c =+=6，此选项错误；③∵a =b =c ，则2a =a 2=a ，∴a =0，abc =0，此选项正确；④∵a 、b 、c 中只有两个数相等，不妨a =b ，则2a =a 2，a =0，或a =2，a =0不合题意，a =2，则b =2，c =4，∴a +b +c =8，此选项正确． 其中正确的是①④． 故答案为：①③④．点评：此题考查分式的混合运算，一元一次方程的运用，灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题．15．（2015•甘肃兰州,第17题，4分）如果k fed c b a ===（0≠++f d b ），且)(3f d be c a ++=++，那么k =_____ 【 答 案 】3【考点解剖】本题考查比例的基本性质【解答过程】因为k f e d c b a ===，且0≠++f d b ，所以fd b ec a f ed c b a k ++++====，而)(3f d b e c a ++=++，即3=++++fd b ec a ，所以3=k 。

中考数学真题专项汇编解析—分式与分式方程一．选择题1．（2022·天津）计算1122a a a ++++的结果是（ ） A ．1 B ．22a + C ．2a + D ．2a a + 【答案】A【分析】利用同分母分式的加法法则计算，约分得到结果即可． 【详解】解：1121222a a a a a +++==+++．故选：A ． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是掌握分式加减运算顺序和运算法则． 2．（2022·浙江杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式()111v f f u v=+≠表示，其中f 表示照相机镜头的焦距，u 表示物体到镜头的距离，v 表示胶片（像）到镜头的距离．已知f ，v ，则u ＝（ ） A ．fvf v -B ．f vfv-C ．fvv f- D ．v ffv-【答案】C【分析】利用分式的基本性质，把等式()111v f f u v =+≠恒等变形，用含f 、v 的代数式表示u ．【详解】解：∵()111v f f u v =+≠，∵111f u ν=+，即111u f ν=-，∵1f uf νν-=，∵f u fνν=-，故选：C ． 【点睛】本题考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则． 3．（2022·四川眉山）化简422a a +-+的结果是（ ） A ．1 B ．22a a +C ．224a a -D ．2a a + 【答案】B【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．【详解】解：422a a +-+244=22-+++a a a 2=2+a a ．故选：B【点睛】本题考查分式的混合运算法则，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 4．（2022·湖南怀化）代数式25x ，1π，224x +，x 2﹣23，1x ，12x x ++中，属于分式的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【答案】B【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可．【详解】分母中含有字母的是224x +，1x ，12x x ++，∵分式有3个，故选：B ． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 5．（2022·四川凉山）分式13x+有意义的条件是（ ） A ．x ＝－3 B ．x ≠－3 C ．x ≠3 D ．x ≠0【答案】B【分析】根据分式的分母不能为0即可得．【详解】解：由分式的分母不能为0得：30x +≠，解得3x ≠-， 即分式13x+有意义的条件是3x ≠-，故选：B ． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．6．（2022·四川南充）已知0a b >>，且223a b ab +=，则2221111a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是（ ）AB ．CD ．【答案】B【分析】先将分式进件化简为a bb a+-，然后利用完全平方公式得出a b -=a b +，代入计算即可得出结果．【详解】解：2221111a b a b ⎛⎫⎛⎫+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22222a b b a ab a b +-⎛⎫=÷ ⎪⎝⎭()()()22222a b a b a b b a b a +=⨯+-a b b a +=-，∵223a b ab +=，∵222a ab b ab -+=，∵()2a b ab -=， ∵a>b>0，∵a b -=∵223a b ab +=，∵2225a ab b ab ++=，∵()25a b ab +=，∵a>b>0，∵a b +=，∵原式=，故选：B ． 【点睛】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键． 7．（2022·云南）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x 棵．则下列方程正确的是（ ） A ．40030050x x=- B ．30040050x x=- C ．40030050x x=+ D ．30040050x x=+ 【答案】B【分析】设实际平均每天植树x 棵，则原计划每天植树（x -50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可． 【详解】解：设现在平均每天植树x 棵，则原计划每天植树（x -50）棵， 根据题意，可列方程：30040050x x=-，故选：B ． 【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．8．（2022·山东泰安）某工程需要在规定时间内完成，如果甲工程队单独做，恰好如期完成； 如果乙工程队单独做，则多用3天，现在甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队单独做，恰好如期完成，求规定时间．如果设规定日期为x 天，下面所列方程中错误的是（ ） A ．2x1xx 3+=+ B ．23x x 3=+ C ．11x 221x x 3x 3-⎛⎫+⨯+= ⎪++⎝⎭ D ．1x1x x 3+=+ 【答案】D【分析】设总工程量为1，因为甲工程队单独去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率为1x；因为乙工程队单独去做，要超过规定日期3天，所以乙的工作效率为1x 3+，根据甲、乙两队合做2天，剩下的由乙队独做，恰好在规定日期完成，列方程即可．【详解】解：设规定日期为x 天，由题意可得，11x 221xx 3x 3-⎛⎫+⨯+= ⎪++⎝⎭， 整理得2x 1x x 3+=+，或2x 1x x 3=-+或23x x 3=+． 则ABC 选项均正确，故选：D ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 9．（2022·四川德阳）关于x 的方程211x ax +=-的解是正数，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞－1 B ．a ＞－1且a ≠0 C ．a ＜－1 D ．a ＜－1且a ≠－2 【答案】D【分析】将分式方程变为整式方程求出解，再根据解为正数且不能为增根，得出答案. 【详解】方程左右两端同乘以最小公分母x -1，得2x+a=x -1.解得：x=-a -1且x 为正数．所以-a -1＞0，解得a ＜-1，且a≠-2.（因为当a=-2时，方程不成立.） 【点睛】本题难度中等，易错点：容易漏掉了a≠-2这个信息． 10．（2022·四川遂宁）若关于x 的方程221mxx =+无解，则m 的值为（ ） A ．0 B ．4或6 C ．6 D ．0或4【答案】D【分析】现将分时方程化为整式方程，再根据方程无解的情况分类讨论，当40m -=时，当40m -≠时，0x =或210x +=，进行计算即可．【详解】方程两边同乘(21)x x +，得2(21)x mx +=，整理得(4)2m x -=， 原方程无解，∴当40m -=时，4m =； 当40m -≠时，0x =或210x +=，此时，24x m =-，解得0x =或12x =-，当0x =时，204x m ==-无解； 当12x =-时，2142x m ==--，解得0m =； 综上，m 的值为0或4；故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，即分式方程有增根，分两种情况，分别是最简公分母为0和化成的整式方程无解，熟练掌握知识点是解题的关键．11．（2022·浙江丽水）某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程50004000302x x=-，则方程中x 表示（ ） A ．足球的单价 B ．篮球的单价 C ．足球的数量 D ．篮球的数量【答案】D 【分析】由50004000302x x=-的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x 的含义． 【详解】解：由50004000302x x=-可得： 由50002x 表示的是足球的单价，而4000x表示的是篮球的单价， x 表示的是购买篮球的数量，故选D【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键． 二．填空题12．（2022·湖北黄冈）若分式21x -有意义，则x 的取值范围是________． 【答案】1x ≠【分析】根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：∵分式21x -有意义，∵10x -≠， 解得1x ≠．故答案为：1x ≠．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．13．（2022·浙江湖州）当a ＝1时，分式1a a+的值是______． 【答案】2【分析】直接把a 的值代入计算即可． 【详解】解：当a =1时，11121a a ++==．故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了分式求值问题，在解题时要根据题意代入计算即可． 14．（2022·湖南怀化）计算52x x ++﹣32x +＝_____． 【答案】1【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减计算即可． 【详解】解：52x x ++﹣32x +=532122x x x x +-+==++故答案为：1． 【点睛】本题考查分式的加减，解题关键是熟练掌握同分母分式相加减时分母不变，分子相加减，异分母相加减时，先通分变为同分母分式，再加减．15．（2022·四川自贡）化简：22a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++ ＝____________． 【答案】2a a + 【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．【详解】22a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++=2a 3(a 2)(a 2)2a 3a 2(a 2)-+-⋅+-++ 22222a a a a a -=+=+++故答案为2a a + 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键． 16．（2022·四川泸州）若方程33122x x x-+=--的解使关于x 的不等式()230-->a x 成立，则实数a 的取值范围是________． 【答案】1a <-【分析】先解分式方程得1x =，再把1x =代入不等式计算即可． 【详解】33122x x x-+=--去分母得：323x x -+-=-解得：1x = 经检验，1x =是分式方程的解 把1x =代入不等式()230-->a x 得：230a -->解得1a <-故答案为：1a <-【点睛】本题综合考查分式方程的解法和一元一次不等式的解法，解题的关键是熟记相关运算法则．17．（2022·浙江宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，11ba b a⊗=+．若21(1)++⊗=x x x x ，则x 的值为___________． 【答案】12-【分析】根据新定义可得221(1)x x x x x ++⊗=+，由此建立方程22121x x x x x++=+解方程即可． 【详解】解：∵11ba b a ⊗=+，∵()211121(1)11x x x x x x x x x x x ++++⊗=+==+++， 又∵21(1)++⊗=x x x x ，∵22121x x x x x++=+，∵()()()221210x x x x x ++-+=，∵()()2210x x x x +-+=，∵()2210x x +=，∵21(1)++⊗=x x x x即0x ≠，∵210x +=，解得12x =-， 经检验12x =-是方程22121x x x x x++=+的解，故答案为：12-． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，正确理解题意得到关于x 的方程是解题的关键．18．（2022·江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x 人，则可列分式方程为__________． 【答案】16014010xx =- 【分析】先表示乙每小时采样（x -10）人，进而得出甲采样160人和乙采样140人所用的时间，再根据时间相等列出方程即可．【详解】根据题意可知乙每小时采样（x -10）人，根据题意，得16014010xx =-． 故答案为：16014010xx =-． 【点睛】本题主要考查了列分式方程，确定等量关系是列方程的关键． 19．（2022·浙江金华）若分式23x -的值为2，则x 的值是_______． 【答案】4【分析】根据题意建立分式方程，再解方程即可； 【详解】解：由题意得：223x =- 去分母：()223x =- 去括号：226x =- 移项，合并同类项：28x = 系数化为1：4x =经检验，x =4是原方程的解， 故答案为：4；【点睛】本题考查了分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题关键． 20．（2022·四川成都）分式方程31144x x x-+=--的解是_________． 【答案】3x =【分析】找出分式方程的最简公分母，方程左右两边同时乘以最简公分母，去分母后再利用去括号法则去括号，移项合并，将x 的系数化为1，求出x 的值，将求出的x 的值代入最简公分母中进行检验，即可得到原分式方程的解． 【详解】解：31144x x x-+=-- 解：化为整式方程为：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是原方程的解， 故答案为：3x =．【点睛】此题考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要验根，熟练掌握分式方程的解法是关键．21．（2022·重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5:6:7，需香樟数量之比为4:3:9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2:3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为_________． 【答案】35【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可．【详解】设三座山各需香樟数量分别为4x 、3x 、9x ．甲、乙两山需红枫数量2a 、3a ． ∵425336x a x a +=+，∵3a x =，故丙山的红枫数量为()742955x a x x +-=，设香樟和红枫价格分别为m 、n ．∵()()()()()16695161 6.25%120%695125%mx x x x n x m x x x n +++=-⋅-+++⋅+，∵:5:4m n =，∵实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为()()()()161 6.25%120%3695125%5x mx x x n ⋅-⋅-=++⋅+，故答案为：35．【点睛】本题考查未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求解是解题的关键．22．（2022·湖南衡阳）计算：2422a a a +=++_________． 【答案】2【分析】分式分母相同，直接加减，最后约分． 【详解】解：2422a a a +++242a a +=+()222a a +=+2= 【点睛】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键． 23.（2022·浙江台州）如图的解题过程中，第∵步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是____．先化简，再求值：314xx -+-，其中x =解：原式3(4)(4)4xx x x -=⋅-+--34x x =-+-1=-【答案】5【分析】根据题意得到方程3114xx -+=--，解方程即可求解． 【详解】解：依题意得：3114x x -+=--，即3204xx -+=-， 去分母得：3-x +2(x -4)=0， 去括号得：3-x +2x -8=0， 解得：x =5，经检验，x =5是方程的解， 故答案为：5．【点睛】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． 24．（2022·四川成都）已知2272a a -=，则代数式2211a a a a a --⎛⎫-÷⎪⎝⎭的值为_________． 【答案】72【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值；【详解】解：2211a a a a a --⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭＝22211a a a a a a ⎛⎫---÷ ⎪⎝⎭＝22211a a a a a -+-÷ ＝22(1)1a a a a -⨯-＝(1)a a -＝2-a a ． 2272a a -=，移项得2227a a -=，左边提取公因式得22()7a a -=， 两边同除以2得272a a -=， ∵原式＝72．故答案为：72．【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25．（2022·湖南常德）方程()21522x x x x +=-的解为________． 【答案】4x =【分析】根据方程两边同时乘以()22x x -，化为整式方程，进而进行计算即可求解，最后注意检验．【详解】解：方程两边同时乘以()22x x -，()()222252x x ⨯-+=⨯-482510x x -+=-解得4x =经检验，4x =是原方程的解 故答案为：4x =【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程一定要注意检验． 三．解答题26．（2022·江苏宿迁）解方程：21122x x x =+--． 【答案】x ＝﹣1【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解：21122x x x =+--， 2x ＝x ﹣2+1， x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是原方程的解， 则原方程的解是x ＝﹣1．【点睛】本题考查解分式方程，得出方程的解之后一定要验根．27．（2022·四川泸州）化简：22311(1).m m m m m-+-+÷ 【答案】11m m -+ 【分析】直接根据分式的混合计算法则求解即可．【详解】解：22311(1)m m m m m-+-+÷ ()()231`11m m m m m m m÷++=--+()()2211`1m m m mm m -+=⋅+-()()()21`11mm mm m +⋅--=11m m -=+． 【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．28．（2022·新疆）先化简，再求值：22931121112a a a a a a a ⎛⎫--÷-⋅⎪-+--+⎝⎭，其中2a =． 【答案】1【分析】根据平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则对原式进行化简，再把a 值代入求解即可．【详解】解：22931121112a a a a a a a ⎛⎫--÷-⋅⎪-+--+⎝⎭()()()2331113121a a a a a a a ⎡⎤+--=⋅-⋅⎢⎥--+-⎢⎥⎣⎦311112a a a a +⎛⎫=-⋅⎪--+⎝⎭ 2112a a a +=⋅-+ 11a =-， ∵2a =， ∵原式111121a ===--． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．29．（2022·四川乐山）先化简，再求值：211121xx x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x = 【答案】1x +1【分析】先将括号内的通分、分式的除法变乘法，再结合完全平方公式即可化简，代入x 的值即可求解． 【详解】21(1-)121xx x x ÷+++ 21121(-)11x x x x x x+++=⨯++ 211(1)1x x x x+-+=⨯+ 1x =+，∵x∵原式=11x +=．【点睛】本题考查了分式混合运算，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键． 30．（2022·湖南邵阳）先化简，再从－1，0，1x 值代入求值．211111x x x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭．【答案】11x + 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x 的值代入计算即可求出值． 【详解】解：211111x x x x ⎛⎫+÷⎪+--⎝⎭11(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x ⎡⎤-=+÷⎢⎥+-+--⎣⎦1(1)(1)x x x x x-=⋅+-=11x +， ∵x +1≠0，x -1≠0，x ≠0，∵x ≠±1，x ≠0当x=【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．31．（2022·陕西）化简：212111a a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭． 【答案】1a +【分析】分式计算先通分，再计算乘除即可．【详解】解：原式211112a a a a a++--=⋅-2(1)(1)12a a a a a +-=⋅-1a =+． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确地计算能力是解决问题的关键． 32．（2022·湖南株洲）先化简，再求值：2111144x x x x +⎛⎫+⋅ ⎪+++⎝⎭，其中4x =． 【答案】12x +，16 【分析】先将括号内式子通分，再约分化简，最后将4x =代入求值即可． 【详解】解：2221111111441114241(2)2x x x x x x x x x x x x x x +++⎛⎫+⋅=⋅=⋅= ⎪+++++++++⎝⎭+++， 将4x =代入得，原式1112426x ===++． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则和完全平方公式是解题的关键．33．（2022·江苏扬州）计算：(1)(02cos 45π︒+ (2)22221121m m m m +⎛⎫+÷⎪--+⎝⎭【答案】(1)1 (2)12m - 【分析】（1）根据特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式进行计算即可； （2）先合并括号里的分式，再对分子和分母分别因式分解即可化简； (1)解：原式=21-1 (2)解：原式=()()21211121m m m m m --⎛⎫+⋅ ⎪--+⎝⎭=()()211121m m m m -+⋅-+=12m -． 【点睛】本题主要考查分式的化简、特殊锐角三角函数值、零指数幂、二次根式的计算，掌握相关运算法则是解题的关键．34．（2022·江西）以下是某同学化筒分式2113422x x x x +⎛⎫-÷⎪-+-⎭的部分运算过程： (1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；(2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)∵(2)见解析【分析】根据分式的运算法则：先乘方，再加减，最后乘除，有括号先算括号里面的计算即可． (1)第∵步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案为：∵； (2)解：原式＝112(2)(2)23x x x x x ⎡⎤+--⨯⎢⎥+-+⎣⎦122(2)(2)(2)(2)3x x x x x x x ⎡⎤+--=-⨯⎢⎥+-+-⎣⎦122(2)(2)3x x x x x +-+-=⨯+-32(2)(2)3x x x -=⨯+-12x =+ 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键． 35．（2022·重庆）计算：(1)()()(2)x y x y y y +-+-；(2)2244124m m m m m -+⎛⎫-÷⎪⎝⎭-+． 【答案】(1)22x y -(2)22m - 【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可； （2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可． (1)解：()()(2)x y x y y y +-+-=2222x y y y -+-=22x y -(2)解： 2244124m m m m m -+⎛⎫-÷⎪⎝⎭-+ =()()()222222m m m m m m -+-÷++- =()()()222222m m m m +-⨯+- =22m - 【点睛】本题考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项、分式的混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．36．（2022·江苏连云港）化简：221311x x x x -+--． 【答案】11x x -+ 【分析】根据异分母分式的加法计算法则求解即可．【详解】解：原式2221311x x xx x +-=+-- 22131x x x x ++-=-22211x x x -+=-22(1)1x x -=- 2(1)=(1)(1)x x x -+- 11x x -=+． 【点睛】本题主要考查了异分母分式的加法，熟知相关计算法则是解题的关键．37．（2022·四川达州）化简求值：222112111a a a a a a a ⎛⎫-+÷+ ⎪-+--⎝⎭，其中31a．【答案】11a +【分析】先将分子因式分解，再进行通分，然后根据分式减法法则进行计算，最后再根据分式除法法则计算即可化简，再把a 的值代入计算即可求值．【详解】解：原式＝()()()2211111a a a a a a a -+++÷+-- ()()()()2211111a a a a a +--=⋅-+1=1a +；当31a=． 【点睛】本题考查分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则以及正确的计算是解题的关键．38．（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数） (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n +1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n +1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明． (1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++， 第三个式子()11111452041441=+=+++，……∵第（n +1）个式子1111(1)n n n n =+++； (2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n++=+==+++++=左边， ∵1111(1)n n n n =+++． 【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．39．（2022·四川凉山）先化简，再求值：524(2)23m m m m-++⋅--，其中m 为满足－1＜m ＜4的整数．【答案】26--m ，当0m =时，式子的值为6-；当1m =时，式子的值为8-．【分析】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定m 的值，代入计算即可得．【详解】解：原式(2)(2)52(2)223m m m m m m+--⎡⎤=+⋅⎢⎥---⎣⎦ 2452(2)()223m m m m m --=+⋅---292(2)23m m m m--=⋅--(3)(3)2(2)23m m m m m +--=⋅--2(3)m =-+26m =--， 20,30m m -≠-≠，2,3m m ∴≠≠，又m 为满足14-<<m 的整数，0m ∴=或1m =，当0m =时，原式262066m =--=-⨯-=-， 当1m =时，原式262168m =--=-⨯-=-，综上，当0m =时，式子的值为6-；当1m =时，式子的值为8-．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．40．（2022·山东滨州）先化简，再求值：2344111a a a a a ++⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭，其中10(1tan 45π2)a -=︒+-【答案】22a a -+，0 【分析】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a ，最后代入计算．【详解】解：2344111a a a a a ++⎛⎫+-÷⎪--⎝⎭()22213111a a a a a +⎛⎫-=-÷ ⎪---⎝⎭()222411a a a a +-=÷--()()()222112a a a a a +--=⋅-+22a a -=+； ∵101tan 45π122)2(1a -=︒+-=+-=，∵原式2220222a a --===++． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．41．（2022·重庆）计算：(1)()()224x x x ++-；(2)2212a a bb b -⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭．【答案】(1)224x +(2)2a b+ 【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解；（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解． (1)解：原式22444x x x x =+++-224x =+ (2)解：原式2()()a b b b a b a b -=⨯+-2a b=+ 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．42．（2022·山东泰安）（1）若单项式14m n x y -与单项式33812m n x y --是一多项式中的同类项，求m 、n 的值；（2）先化简，再求值：211111xx x x ⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭，其中1x =． 【答案】（1）m =2，n =-1；（2）21x +，4-【分析】（1）根据同类项的概念列二元一次方程组，然后解方程组求得m 和n 的值； （2）先通分算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值． 【详解】解：（1）由题意可得33814m n m n -=⎧⎨-=⎩①②，∵-∵3⨯，可得：55n -=，解得：1n =-， 把1n =-代入∵，可得：(1)3m --=，解得：2m =，m ∴的值为2，n 的值为1-；（2）原式(1)(1)[](1)(1)(1)(1)x x x x x x x -++=⋅+-+-21(1)(1)(1)(1)x x x x x x x -++=⋅+-+-21x =+，当1x 时，原式21)12114=+=-+=-【点睛】本题考查同类项，解二元一次方程组，分式的化简求值，二次根式的混合运算，理解同类项的概念，掌握消元法解二元一次方程组的步骤以及完全平方公式222()2a b a ab b +=++的结构是解题关键．43．（2022·四川乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办，为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局为此进行了电力抢修演练．现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修．维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆，已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．【答案】摩托车的速度为40千米/时【分析】设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时，根据抢修车比摩托车少用10分钟，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设摩托车的速度为x 千米/时，则抢修车的速度为1.5x 千米/时， 依题意，得：2020101.560x x -=，解得：x =40， 经检验，x =40是所列方程的根，且符合题意， 答：摩托车的速度为40千米/时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 44．（2022·湖南怀化）去年防洪期间，某部门从超市购买了一批数量相等的雨衣（单位：件）和雨鞋（单位：双），其中购买雨衣用了400元，购买雨鞋用了350元，已知每件雨衣比每双雨鞋贵5元．(1)求每件雨衣和每双雨鞋各多少元？(2)为支持今年防洪工作，该超市今年的雨衣和雨鞋单价在去年的基础上均下降了20%，并按套（即一件雨衣和一双雨鞋为一套）优惠销售． 优惠方案为：若一次购买不超过5套，则每套打九折：若一次购买超过5套，则前5套打九折，超过部分每套打八折．设今年该部门购买了a 套，购买费用为W 元，请写出W 关于a 的函数关系式．(3)在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买多少套？【答案】(1)每件雨衣40元，每双雨鞋35元(2)()600.954052705600.848305a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩(3)最多可购买6套 【分析】（1）根据题意，设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，列分式方程求解即可； （2）根据题意，按套装降价20%后得到每套60元，根据费用=单价×套数即可得出结论； （3）根据题意，结合（2）中所求，得出不等式4830320a +≤，求解后根据实际意义取值即可．(1)解：设每件雨衣()5+x 元，每双雨鞋x 元，则4003505x x=+，解得35x =， 经检验，35x =是原分式方程的根，540x ∴+=，答：每件雨衣40元，每双雨鞋35元；(2)解：根据题意，一套原价为354075+=元，下降20%后的现价为()75120%60⨯-=元，则()600.954,052705600.84830,5a a a W a a a ⨯⨯=≤<⎧=⎨+-⨯⨯=+≥⎩； (3)解：320270>，∴购买的套数在5a ≥范围内，即4830320a +≤，解得145 6.04224a ≤≈， 答：在（2）的情况下，今年该部门购买费用不超过320元时最多可购买6套．【点睛】本题考查实际应用题，涉及分式方程的实际应用、一次分段函数的实际应用和不等式解实际应用题等知识，熟练掌握实际应用题的求解步骤“设、列、解、答”，根据题意得出相应关系式是解决问题的关键．45．（2022·重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．(1)若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；(2)若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．【答案】(1)24/千米时(2)18千米/时【分析】（1）设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，根据甲出发半小时恰好追上乙列方程求解即可；（2）设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，根据甲、乙恰好同时到达B地列方程求解即可．(1)解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，由题意得：0.5 1.20.52x x⨯=+，解得：20x，则1.224x=（千米/时），答：甲骑行的速度为24千米/时；(2)设乙的速度为x千米/时，则甲的速度为1.2x千米/时，由题意得：301303 1.2x x-=，解得15x=，经检验15x=是分式方程的解，则1.218x=（千米/时），答：甲骑行的速度为18千米/时．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和分式方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．46．（2022·重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．(1)计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？(2)因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？【答案】(1)100米(2)90米【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x 米，原来每天修建()20x -米，根据工效问题公式：工作总量＝工作时间×工作效率，列出关于x 的一元一次方程，解方程即可得出答案；（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y 米，技术更新后每天修建()120y +％米，根据水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y 的分式方程，解方程即可得出答案．(1)解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x 米，原来每天修建()20x -米，则有()5202600x x -+=解得100x =∵甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．(2)∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同∵两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米)解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y 米，技术更新后每天修建()120y +％米，即1.2y 米 则有5403609001.2100y y +=解得90y =经检验，90y=是原方程的解，符合题意∵乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，应注意分式方程要检验，读懂题意，正确设出未知数，并列出方程，是解题的关键．47．（2022·四川自贡）学校师生去距学校45千米的吴玉章故居开展研学活动，骑行爱好者张老师骑自行车先行2小时后，其余师生乘汽车出发，结果同时到达；已知汽车速度是自行车速度的3倍，求张老师骑车的速度．【答案】张老师骑车的速度为15千米/小时【分析】实际应用题的解题步骤“设、列、解、答”，根据问题设未知数，找到题中等量关系张老师先走2小时，结果同时达到列分式方程，求解即可．【详解】解：设张老师骑车的速度为x千米/小时，则汽车速度是3x千米/小时，根据题意得：454523x x=+，解之得15x=，经检验15x=是分式方程的解，答：张老师骑车的速度为15千米/小时．【点睛】本题考查分式方程解实际应用题，根据问题设未知数，读懂题意，找到等量关系列出分式方程是解决问题的关键．48．（2022·江苏扬州）某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级（1）班的4个小组制作360面彩旗，后因1个小组另有任务，其余3个小组的每名学生要比原计划多做3面彩旗才能完成任务．如果这4个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？【答案】每个小组有学生10名．【分析】设每个小组有学生x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】解：设每个小组有学生x名，。

初中数学试题分类汇编：分式方程的增根无解问题综合训练1（填空 附答案） 1．若关于x 的分式方程32x x -＝32x π+-有增根，则m 的值为_____．2．若关于x 的分式方程34x -＋4x m x +-＝1有增根，则m 的值是___________3．如果关于x 的方程1101mx x +-=-有增根，则m =_______________.4．若关于x 的分式方程3122m x x =+++有增根，则m=______．5．若关于x 的方程2x m 2x 22x ++=--有增根，则m 的值是 ▲6．若关于x 的分式方程7311mx x x +=--无解，则实数m =_______．7．若分式1 1x -= 21a x - 要产生增根，则a=___________。

8．分式方程11(1)(2)x m x x x -=--+有增根，则m 的值为__________。

9．方程：223242kx x x x -=--+无解，则k 的值为___________．10．若关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根，则m =_________．11．若关于x 的分式方程3222x m x +=+有增根，则m 的值为__________．12．关于x 的分式方程721511x m x x -+=--有增根，则m 的值为__________．13．若分式方程211x m x x-=--有增根，则m ＝________.14．若关于x 的方程32211x m x x -=+++无解，则m 的值为________． 15．当m =____________时,解分式方程533x m x x -=--会出现增根．16．解分式方程225111m x x x +=+--会产生增根，则m=___________17．若关于x 的分式方程3111m x x +=--无解，则m 的值是_____．18．若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a =________． 19．分式方程311(1)(2)x x x x -=--+的解为________． 20．若关于x 的方程42332x m x x---＝m 无解，则m 的值为_____． 21．已知关于x 的方程1122ax x x -=--无解，则a =__________． 22．若关于x 的分式方程333x a x x+--=2a 无解，则a 的值为_____． 23．若分式方程1x a x -+＝a 无解，则a 的值为________． 24．若关于x 的分式方程3333x m m x x++=--有增根，则实数m 的值为_______． 25．若分式方程11x m x x =--无解，则m 的值为__________． 26．若关于x 的分式方程233x m x x -=--无解，则m 的值为__________ 27．若关于x 的方程2222x m x x-+=---有增根，则增根x =___． 28．将5个完全相同的乒乓球，依次标上数字：0，1，2，3，4，并放入不透明的口袋中，现把它们摇匀，随机从中任意抽出1个，记乒乓球上的数字为m ，则数字m 使分式方程2x x +﹣1＝(2)(3)x m x +-无解的概率为_____． 29．当m =____时，233x m x x =+--会产生增根． 30．若分式方程244x a x x =+--无解，则a =_____________.参考答案1．3【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x-2=0，得到x=2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【详解】解：去分母得：3x＝m+3，由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入方程得：6＝m+3，解得：m＝3，故答案为：3【点睛】此题考查分式方程的增根，解题关键在于得到x的值.2．-1【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x-4=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【详解】去分母得：3-x-m=x-4，由分式方程有增根，得到x-4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：3-4-m=0，解得：m=-1，故答案为：-1.．【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3．-1【解析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x−1＝0，所以增根是x＝1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．【详解】方程两边都乘x−1得mx＋1-x＋1＝0，∵方程有增根，∴最简公分母x−1＝0，即增根是x＝1，把x＝1代入整式方程，得m＝−1．故答案为：−1．【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．4．3【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根，所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x+2=0，得到x=-2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【详解】解：分式方程为：3m=1 x+2x+2，方程左右两边同乘(x+2)，得：3=x+m+2，∵方程有增根，∴最简公分母x+2=0，即x=-2，将x=-2代入3=x+m+2，得：m=3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值，解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．5．0．方程两边都乘以最简公分母（x－2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值：方程两边都乘以（x－2）得，2－x－m=2（x－2）．∵分式方程有增根，∴x－2=0，解得x=2．∴2－2－m=2（2－2），解得m=0．6．3或7．【解析】解：方程去分母得：7+3（x﹣1）=mx，整理得：（m﹣3）x=4．①当整式方程无解时，m﹣3=0，m=3；②当整式方程的解为分式方程的增根时，x=1，∴m﹣3=4，m=7．综上所述：∴m的值为3或7．故答案为3或7．7．a=2【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．【详解】去分母得：x+1=a，由分式方程有增根，得到x=1或x=-1，当x=1时，a=2；当x=-1时，a=0，检验：当a=0时，此时，分式方程，增根不是x=-1，舍去，故答案为：2．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8．3【解析】方程两边都乘以最简公分母（x-1）（x+2）把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于0的未知数的值，求出增根，然后代入进行计算即可得解．【详解】 解：∵分式方程()()1112x m x x x -=--+有增根，∴x-1=0，x+2=0，∴x 1=1，x 2=-2．两边同时乘以（x-1）（x+2），原方程可化为x （x+2）-（x-1）（x+2）=m ，整理得，m=x+2，当x=1时，m=1+2=3，当x=-2时，m=-2+2=0，当m=0时，方程为11x x --=0， 此时1=0，即方程无解，∴m=3时，分式方程有增根，故答案为：m=3.【点睛】本题考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解题关键．9．4或6-或 1.-【解析】【分析】先把分式方程转化为整式方程，分情况讨论，即方程无解与方程有增根两种情况，从而可得答案．【详解】 解：223242kx x x x -=--+， ()()23,2222kx x x x x ∴-=-+-+()()2232,x kx x ∴+-=-()110,k x ∴+=当10k +=时，方程无解，1,k ∴=-又因为方程的增根为：2,x =±把2x =代入()110,k x +=15,k ∴+=4,k ∴=把2x =-代入()110,k x +=15,k ∴+=-6,k ∴=-综上：原方程无解时，1k =- 或4k =或6k=-． 故答案为：4或6-或 1.-【点睛】本题考查的是分式方程无解时，求字母系数的值，掌握方程无解包括两种情况是解题的关键． 10．3．【解析】【分析】先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出x 的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出m 的值．【详解】解：去分母得：()332x m x =++-，整理得：21x m =+，∵关于x 的分式方程33122x m x x +=+--有增根，即20x -=， ∴2x =，把2x =代入到21x m =+中得：221m ⨯=+，解得：3m =，故答案为：3．【点睛】本题主要考查了利用增根求字母的值，增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．11．3【解析】【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，并求出x的值，然后再令x+2=0，即可求得m的值. 【详解】解：由3222x mx+=+得：x=4-2m令x+2=0，得4-2m+2=0，解得m=3故答案为3.【点睛】本题考查了分式方程的增根，解分式方程和把增根代入整式方程求得相关字母的值是解答本题的关键.12．4．【解析】去分母得：7x+5(x-1)=2m-1，因为分式方程有增根，所以x-1=0，所以x=1，把x=1代入7x+5(x-1)=2m-1，得：7=2m-1，解得：m=4，故答案为4.13．－1【解析】【分析】首先根据分式方程的解法求出x的值，然后根据增根求出m的值．【详解】解：解方程可得：x=m+2，根据方程有增根，则x=1，即m+2=1，解得：m=－1．故答案为：-1【点睛】本题考查分式方程的增根，掌握增根的概念是本题的解题关键．14．5【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【详解】去分母得：3x−2=2x+2+m，由分式方程无解，得到x+1=0，即x=−1，代入整式方程得：−5=−2+2+m，解得：m=−5，故答案为-5.【点睛】此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则.15．2【解析】分析：分式方程的增根是分式方程转化为整式方程的根，且使分式方程的分母为0的未知数的值．详解：分式方程可化为：x-5=-m，由分母可知，分式方程的增根是3，当x=3时，3-5=-m，解得m=2，故答案为：2．点睛：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．16．﹣4或﹣10【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0，得到x＝﹣1或1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【详解】方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣5（x+1）＝m∵原方程有增根，∴最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0，解得x＝﹣1或1，当x＝﹣1时，﹣4＝m，当x＝1时，m＝﹣10，故m的值可能是﹣4或﹣10．故答案为﹣4或﹣10【点睛】增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．17．3【解析】【分析】【详解】解：去分母，得m﹣3=x﹣1，x=m﹣2．∵关于x的分式方程无解，∴最简公分母x ﹣1=0，∴x=1，当x=1时，得m=3，即m 的值为3．故答案为3．18．-2或1【解析】【分析】分式方程无解分为两种可能，一个是分式方程有增根造成无解，另一个是去分母后的整式方程无解，而使得分式方程无解，根据两种情况分别求a 值即可.【详解】解：根据解分式方程的步骤去分母，整理得: 311x a x x--=- ，解得: ()23a x += ， 当2=0a +时，即2a =-时，整式方程无解，则原分式方程无解；当20a +≠时，当x=0或x=1时，分母为零，分式方程有增根，则分式方程无解无解， 则分别代入得，()213a +⋅=，()203a +=（无解）,解得a=1故答案为-2或1【点睛】本题考查了分式方程的无解的情况，讨论分式方程有增根和整式方程无解是解题关键． 19．无解；【解析】【分析】两边乘(1)(2)x x -+化为整式方程即可解决问题；【详解】解：两边乘(1)(2)x x -+得到：(2)(1)(2)3x x x x +--+=解得：=1x经检验：=1x 是分式方程的增根，故原分式方程无解．【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．20．12或38-.【解析】【分析】分式方程无解的两种情况是：1．分式方程去分母化为整式方程，整式方程无解；2．整式方程的解使分式方程分母为零．据此分析即可．【详解】解：方程两边同时乘以(2x﹣3)，得：x+4m＝m(2x﹣3)，整理得：(2m﹣1)x＝7m①当2m﹣1＝0时，整式方程无解，m＝1 2②当2m﹣1≠0时，x＝721-mm，x＝32时，原分式方程无解；即32127=-mm，解得m＝38-故答案为：12或38-.【点睛】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是明确分式方程无解的条件几种情况，然后再分类讨论.21．0或1【解析】【分析】根据分式方程无解的条件：去分母后所得的整式方程无解或者解这个整式方程的解使原分母为0，分类讨论当a=0时与a≠0时求出答案.【详解】解：1122 axx x-=--去分母得：11ax-=，即：2ax=，分情况讨论：①当整式方程无解时，0a=，此时分式方程无解；②当分式方程无解时，即x=2，此时0a ≠，则22x a== ， 解得：1a = ，故当0a =或者1a =时分式方程无解；故答案为：0或1【点睛】 本题主要考查了分式方程无解的条件：去分母后所得的整式方程无解或者解这个整式方程的解使原分母为0，正确掌握解分式方程的步骤是解题的关键.22．1或12【解析】分析：直接解分式方程，再利用当1-2a=0时，当1-2a≠0时，分别得出答案．详解：去分母得：x-3a=2a （x-3），整理得：（1-2a ）x=-3a ，当1-2a=0时，方程无解，故a=12； 当1-2a≠0时，x=312a a--=3时，分式方程无解， 则a=1， 故关于x 的分式方程333x a x x +-+=2a 无解，则a 的值为：1或12． 故答案为1或12． 点睛：此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．23．1或-1【解析】【分析】根据分式方程无解，得到最简公分母为0求出x 的值，分式方程转化为整式方程，把x 的值代入计算即可．【详解】解：去分母：x a ax a -=+ 即：1)2a x a -=-（ ． 显然a=1时，方程无解．由分式方程无解，得到x+1=0，即：x=-1．把x=-1代入整式方程：-a+1=-2a ．解得：a=-1．综上：a 的值为1或者-1．【点睛】本题考查了分式方程的解，需要注意在任何时候考虑分母不能够为0．24．32【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x ﹣3＝0，求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．【详解】解：去分母，得：x +m ﹣3m ＝3（x ﹣3），由分式方程有增根，得到x ﹣3＝0，即x ＝3，把x ＝3代入整式方程可得：3+m ﹣3m ＝0，解得m ＝32， 故答案为：32． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．25．1【解析】【分析】先把分式方程化为整式方程，求出方程的解，再由分式方程无解，得到1x =，代入计算，即可得到m 的值.【详解】解：∵11x m x x =--， ∴(1)()0x x m --=，∴1x =或x m =，∵关于x 的分式方11x m x x =--无解，即是1x =， 当1x =时，1m =．故答案为：1．【点睛】本题考查了解分式方程，根据分式方程无解求参数的值，解题的关键是掌握解分式方程的方法.26．3【解析】【分析】首先将分式方程化为整式方程，表示出整式方程的解，再根据分式方程无解确定x 的值，然后再求m 的值.【详解】解：去分母得：x−2（x −3）＝m ，解得：x ＝6−m ，由分式方程无解可得：x ＝3，即6−m ＝3，解得：m ＝3，故答案为：3.【点睛】本题考查了分式方程无解问题．分两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根．27．2【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．确定增根的可能值，让最简公分母x-2=0即可．【详解】解：∵分式方程的最简公分母是x-2，原方程有增根，∴最简公分母x-2=0，∴增根是x=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了分式方程的增根问题，只需让最简公分母为0即可．本题需注意，分式方程的分母是多项式又能因式分解时应先因式分解．28．1 5【解析】【分析】由分式方程，得m=x（x-3）-（x+2）（x-3），x=-2或3时，分式方程无解，x=-2时，m=10；x=3时，m=0，所以在0，1，2，3，4取一个数字m使分式方程无解的概率为15．【详解】解：由分式方程，得m＝x（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣3）x＝﹣2或3时，分式方程无解，x＝﹣2时，m＝10，x＝3时，m＝0，所以在0，1，2，3，4，取一个数字m使分式方程无解的概率为15．故答案为：15．【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握解分式方程是解题的关键．29．3【解析】【分析】把分式方程去分母化为整式方程，由题意将3x 代入即可求出m的值．【详解】解：∵233x m x x =+--， ∴()23x m x =+-，∴6x m =-，∵方程有增根，∴增根为3x =，把3x =代入到6x m =-中得：3m =，故答案为：3．【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可以按照如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母为零求出增根；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值． 30．4【解析】【分析】先通过去分母，把分式方程化为整式方程，求出8x a =-，根据分式方程无解，可得8x a =-是分式方程有增根，进而即可求解．【详解】244x a x x =+--， 去分母得：2(4)x x a =-+，解得：8x a =-， ∵分式方程244x a x x =+--无解， ∴8x a =-是增根，即：8-a=4，∴a=4．故答案是：4．【点睛】本题主要考查分式方程的增根，学会去分母，把分式方程化为整式方程，熟练掌握分式方程的增根的意义：使分式方程的分母等于零的根，是解题的关键．。

2022~2023学年北京市八年级上期末数学试卷分类汇编——分式一．选择题（共11小题）1．（2022秋•密云区期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠﹣4B．x＝﹣4C．x≠4D．x＝4 2．（2022秋•密云区期末）我国的泉州湾跨海大桥是世界首座跨海高铁大桥，其创新采用的“石墨烯重防腐涂装体系”，将实现30年超长防腐寿命的突破．石墨烯作为本世纪发现的最具颠覆性的新材料之一，其理论厚度仅有0.00000000034m，请将0.00000000034用科学记数法表示为（）A．0.34×109B．0.34×10﹣9C．3.4×1010D．3.4×10﹣10 3．（2022秋•怀柔区期末）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＝1C．x＜1D．x≠1 4．（2022秋•平谷区期末）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．5．（2022秋•顺义区期末）如果把分式中的m，n都扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A．扩大为原来的2倍B．缩小为原来的C．扩大为原来的4倍D．不变6．（2022秋•门头沟区期末）如果分式有意义，那么x的取值范围（）A．x≠0B．x≠1C．x＝﹣1D．x≠﹣1 7．（2022秋•怀柔区期末）2022年11月30日神舟十五号飞船载乘3名航天员成功与神舟十四号航天员乘组上演“太空相会”．航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温．气凝胶，是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于0.00000002m，0.00000002m用科学记数法表示为（）A．2×10﹣9B．2×108C．2×10﹣8D．0.2×10﹣88．（2022秋•西城区期末）地处北京怀柔科学城的“北京光源”（HEPS）是我国第一台高能同步辐射光源，在施工时严格执行“防微振动控制”的要求，控制精度级别达到纳米（nm）级．lnm＝0.000000001m．将0.000000001用科学记数法表示应为（）A．1×10﹣8B．1×10﹣9C．10×10﹣10D．0.1×10﹣8 9．（2022秋•西城区期末）下列各式从左到右的变形正确的是（）A．B．C．D．10．（2022秋•顺义区期末）解方程，去分母后正确的是（）A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）11．（2022秋•怀柔区期末）计算的结果为（）A．B．1C．﹣1D．﹣2二．填空题（共8小题）12．（2022秋•密云区期末）分式的值为0，则x的值是．13．（2022秋•西城区期末）若分式有意义，则字母x满足的条件是．14．（2022秋•顺义区期末）若分式值为0，则x的值为．15．（2022秋•顺义区期末）计算：＝．16．（2022秋•门头沟区期末）若分式＝0，x＝．17．（2022秋•平谷区期末）若分式的值为零，则x的值为．18．（2022秋•东城区期末）若分式的值等于零，则x的值是．19．（2022秋•怀柔区期末）分式与的最简公分母是．三．解答题（共26小题）20．（2022秋•西城区期末）解方程：．21．（2022秋•平谷区期末）解分式方程：．22．（2022秋•平谷区期末）已知：，（x，y是正整数）．（1）若，求M﹣N的值；（2）试比较M与N的大小．23．（2022秋•东城区期末）在化简分式时，甲同学的解法如下．阅读甲同学的解法，完成下列问题．解：原式＝……①＝（x+1）（x﹣1）﹣•（x+1）（x﹣1）……②＝2x﹣（x+1）……③＝2x﹣x﹣1……④＝x﹣1．……⑤（1）甲同学从第步开始出错（填序号）；（2）请你写出正确的解法．24．（2022秋•门头沟区期末）计算：．25．（2022秋•密云区期末）﹣÷．26．（2022秋•密云区期末）解分式方程：．27．（2022秋•平谷区期末）计算：．28．（2022秋•平谷区期末）先化简，再代入求值：，其中．29．（2022秋•东城区期末）先化简，再求值：（）•，其中x从﹣2，2，3三个数中任取一个合适的值．30．（2022秋•东城区期末）解分式方程：1﹣＝．31．（2022秋•顺义区期末）计算：（1）；（2）．31．（2022秋•顺义区期末）计算：．32．（2022秋•顺义区期末）先化简，再求值：，其中．34．（2022秋•门头沟区期末）列方程解应用题：甲、乙两地相距19千米某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍．求步行的速度和骑自行车的速度．35．（2022秋•怀柔区期末）填空：，变形的依据是．36．（2022秋•怀柔区期末）解分式方程：．37．（2022秋•密云区期末）交通是经济的脉络和文明的纽带．截至2020年底，我国高速铁路运营里程五年间翻了近一番，稳居世界第一，居民出行更加便捷．据悉，甲乙两城市相距800千米，乘坐高铁列车比乘坐普通列车的运行时间缩短了4小时，已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的2.5倍，求高铁列车的平均速度．38．（2022秋•怀柔区期末）某种消毒液原液需加水稀释后使用，用于衣物消杀的浓度是用于环境消杀浓度的2倍．取1L原液加水稀释用于衣物消杀，再取2L原液加水稀释用于环境消杀．按相应浓度稀释后发现，用于衣物消杀加入水的体积比用于环境消杀加入水的体积少6L．求该消毒液用于环境消杀的浓度．（浓度＝原液体积/加入水的体积，注意此浓度无单位）39．（2022秋•西城区期末）已知a＝﹣，求代数式的值．40．（2022秋•西城区期末）阅读两位同学的探究交流活动过程：a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明．；①b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式：；②；③；④…c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）；d．小亮对第n个等式进行了证明．解答下列问题：（1）第⑤个等式是；（2）第n个等式是；（3）请你证明第n个等式成立．41．（2022秋•平谷区期末）阅读理解：材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234……﹣0.25﹣0.5﹣1无意义10.50.0.25…﹣0.从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，若x无限增大，则无限接近于0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小．材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：；根据上述材料完成下列问题：（1）当x＞0时，随着x的增大，的值（增大或减小）；当x＜0时，随着x的增大，的值（增大或减小）；（2）当x＞﹣3时，随着x的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数；（3）当0＜x＜1时，直接写出代数式值的取值范围是．42．（2022秋•顺义区期末）某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾桶，学校先用2400元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用3200元购买了一批放在户外使用的大号垃圾桶，已知一个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍．且大号垃圾桶购买的数量比小号垃圾桶少50个，求一个小号垃圾桶的价格．43．（2022秋•门头沟区期末）化简：．44．（2022秋•门头沟区期末）先化简，再求值：，其中．45．（2022秋•门头沟区期末）解方程：﹣＝1．第11页（共11页）。

中考全国100份试卷分类汇编分式方程1、(黄石)分式方程3121x x =-的解为 A.1x = B. 2x = C. 4x = D. 3x = 答案：D解析：去分母，得：3（x －1）＝2x ，即3x －3＝2x ，解得：x ＝3，经检验x ＝3是原方程的根。

2、（•温州）若分式的值为0，则x 的值是（ ）A ． x =3B ． x =0C ． x =﹣3D ． x =﹣4考点：分式的值为零的条件． 分析：根据分式值为零的条件可得x ﹣3=0，且x+4≠0，再解即可． 解答：解：由题意得：x ﹣3=0，且x+4≠0， 解得：x=3，故选：A ．点评： 此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．3、（•莱芜）方程=0的解为（ ） A ． ﹣2 B ． 2 C ． ±2 D ． 考点： 解分式方程．专题： 计算题．分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．解答： 解：去分母得：x 2﹣4=0，解得：x=2或x=﹣2，经检验x=2是增根，分式方程的解为x=﹣2．故选A点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．4、（•滨州）把方程变形为x=2，其依据是（ ） A ． 等式的性质1B ． 等式的性质2C ． 分式的基本性质D ． 不等式的性质1考点：等式的性质．分析：根据等式的基本性质，对原式进行分析即可．解答：解：把方程变形为x=2，其依据是等式的性质2；故选：B．点评：本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．5、（•益阳）分式方程的解是（）A．x=3 B．x=﹣3 C．x= D．x=考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：5x=3x﹣6，解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．故选B．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．6、（山西，6，2分）解分式方程22311xx x时，去分母后变形为（）A．2+（x+2）=3（x-1）B．2-x+2=3（x-1）C．2-（x+2）=3（1- x）D．2-（x+2）=3（x-1）【答案】D【解析】原方程化为：22311xx x+-=--，去分母时，两边同乘以x－1，得：2－（x＋2）＝3（x－1），选D。

初中数学试题分类汇编：分式方程根据解的情况求值问题综合训练1（填空 附答案） 1．若分式方程1133a x x x -+=--有增根，则 a 的值是__________________． 2．关于x 的分式方程21+m x ＝－1的解是负数，则m 的取值范围是_________． 3．若关于x 的分式方程32ax x --＝32x -+2有正整数解，则符合条件的非负整数a 的值为_____．4．若关于x 的方程4122a x x =+--无解，则a 的值是______． 5．关于x 的方程1242k x x x -=--的解为正数，则k 的取值范围是____． 6．关于x 的分式方程11222k x x-+=--的解为正实数，则k 的取值范围是________． 7．若关于x 的方程3x m x +-+33m x-=3的解为正数，则m 的取值范围是______． 8．若关于x 的分式方程212x m x +=-+的解是负数，则m 的取值范围是_________________．9．关于x 的方程211x a x +=-的解是正数，则a 的取值范围是_________． 10．若关于x 的方程2222x m x x ++=--的解为正数，则m 的取值范围是_______． 11．若数a 使关于x 的分式方程2311x a x x++=--的解为非负数，且使关于y 的不等式组()3113431220y y y a -+⎧-≥-⎪⎨⎪-<⎩的解集为0y ≤，则符合条件的所有整数a 的积为_____________12．已知关于x 的分式方程233x k x x -=--有一个正数解，则k 的取值范围为________. 13．若关于x 的分式方程x 2322m m x x ++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是____．14．若关于x 的方程1222x m x x-=---的解为正数，则m 的取值范围为_____. 15．已知关于x 的方程341x m x +=-的解是正数，则m 的取值范围为__________． 16．若方程323x x k=++的根为负数，则k 的取值范围是______。

有关分式方程的应用题1．（2021•泰安）接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？2．（2020•泰安）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A 种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？3.（2019•泰安）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？4.（2018年东营）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．4.（2018年泰安）文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍，若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．（1）甲乙两种图书的售价分别为每本多少元？（2）书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？（购进的两种图书全部销售完．）（2022•菏泽）某健身器材店计划购买一批篮球和排球，已知每个篮球进价是每个排球进价的1.5倍，若用3600元购进篮球的数量比用3200元购进排球的数量少10个．（1）篮球、排球的进价分别为每个多少元？（2）该健身器材店决定用不多于28000元购进篮球和排球共300个进行销售，最多可以购买多少个篮球？5（2019•菏泽）列方程（组）解应用题：德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计2019年8月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高80%，那么行驶81千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短36分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．6.（2018•菏泽）列方程（组）解应用题：为顺利通过国家义务教育均衡发展验收，我市某中学配备了两个多媒体教室，购买了笔记本电脑和台式电脑共120台，购买笔记本电脑用了7.2万元，购买台式电脑用了24万元，已知笔记本电脑单价是台式电脑单价的1.5倍，那么笔记本电脑和台式电脑的单价各是多少？7（2019济南）为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．（1）求A和B两种图书的单价；（2）书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？8济南2021.24．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子．已知购进甲种粽子的金额是1200元，购进乙种粽子的金额是800元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少50个，甲种粽子的单价是乙种粽子单价的2倍．（1）求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元？（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共200个，若总金额不超过1150元，问最多购进多少个甲种粽子？9（2021•青岛）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．（1）求两种品牌洗衣液的进价；（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？10．（2019年青岛市）（8分）甲、乙两人加工同一种零件，甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍，两人各加工600个这种零件，甲比乙少用5天．（1）求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？（2）已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元，现有3000个这种零件的加工任务，甲单独加工一段时间后另有安排，剩余任务由乙单独完成．如果总加工费不超过7800元，那么甲至少加工了多少天？11.（2017年青岛市）（本小题满分10分）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间比淡季上涨，下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元日总收入（元）（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变。

《分式方程》精编测试题及参考答案一、选择题1.解分式方程1x−1−2=31−x,去分母得( )A.1-2(x-1)=-3B.1-2(x-1)=3C.1-2x-2=-3D.1-2x+2=32.分式方程xx−1−1=3(x−1)(x+2)的解为( )A.无解B.x=1C.x=-1D.x=-23.若关于x的方程x+1x−2=2a−3a+5的解为x=0,则a等于( )A.15 B.25C.35D.454.分式方程1x−3+1x+3=4x2−9的解是( )A.x=±2B.x=2C.x=-2D.无解5.若关于x的方程x−2x−3=mx−3+2无解,则m等于( )A.0B.1C.2D.36.关于x的分式方程2x+ax+1=1的解为负数,则a的取值范围为( ) A.a>1 B.a<1 C.a>1且a≠2 D.a<1且a≠-27.若m是整数,且关于x的方程3m+1x2−1+mx+1=2x−1有整数解,则m的值是( )A.3或5B.-3或5C.-1或3D.-3或-58.某市为美化城市环境,计划种植树木30万棵,由于志愿者的加入,实际每天植树比原计划多20%,结果提前5天完成任务,设原计划每天种植x万棵,可列方程是( )A.3020%x +5=30xB.30x−3020%x=5 C.30x−30(1+20%)x=5 D.30(1+20%)x−30x=59.某校九年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自行车先走,过了30min后,其余师生乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍,设骑车师生的速度为xkm/h.根据题意,下列方程正确的是( )A.15x +12=152xB.15x=152x+12C.15x+30=152xD.15x=152x+3010.若关于x的分式方程xx−1+1=m1−x的解为非负数,则m的取值范围是( )A.m≤1且m≠-1B.m≥-1且m≠1C.m<1且m≠-1D.m>-1且m≠111.若关于x的方程xx−3−2=mx−3有正数解,则( )A.m>0且m≠3B.m<6且m≠3C.m<0D.m>612.某施工队挖一条240m的渠道,开工后每天比原计划多挖20m,结果提前2天完成任务,若设原计划每天挖xm,则所列方程正确的是( )A.240x −240x+20=2 B.240x−240x+2=20 C.240x−20−240x=2 D.240x−2−240x=2013.某工厂生产A、B两种型号的扫地机器人.B型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%;清扫100m2所用的时间A型机器人比B型机器人多用40分钟.两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积?若设A型扫地机器人每小时清扫xm2,根据题意可列方程为( )A.1000.5x =100x+23B.1000.5x+23=100xC.100x+23=1001.5xD.100x=1001.5x+2314.为了丰富学生的校园生活,学校购进一批篮球和排球,其中篮球的单价比排球的单价多20元。

初中数学试题分类汇编：分式方程的增根无解问题综合训练2（解答 附答案） 1．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?1322x x+=--. （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x =，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？2．阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程3111a x x+=--的解为正数，求a 的取值范围？ 经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2．由题意可得a ﹣2＞0，所以a ＞2，问题解决．小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．老师说：小强所说完全正确．请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明： ．完成下列问题：（1）已知关于x 的方程212mx x -+=1的解为负数，求m 的取值范围； （2）若关于x 的分式方程32233x nx x x --+--=﹣1无解．直接写出n 的取值范围． 3．当a 为何值时，关于x 的方程223224ax x x x +=-+-无解. 4．已知关于x 的分式方程2222x m x x++=--， （1）若分式方程有增根，求m 的值；（2）若分式方程的解是正数，求m 的取值范围．5．若关于x 的分式方程223242mx x x x +=--+无解，求m 的值． 6．若关于x 的方程：234393ax x x x +=--+无解，求a 的值． 7．已知关于x 的分式方程1x a a x -=+无解，求a 的值． 8．关于x 的方程：ax 121x 11x+=+--． ()1当a 2=时，求这个方程的解；()2若这个方程无解且a 1≠，求a 的值．9．已知，关于x 的分式方程1235a b x x x --=+-. （1）当1a =，0b =时，求分式方程的解；（2）当1a =时，求b 为何值时分式方程1235a b x x x --=+-无解： （3）若3a b =，且a 、b 为正整数，当分式方程1235a b x x x --=+-的解为整数时，求b 的值.10．已知关于x 的分式方程311x a x x--=+无解，求a 的值． 11．解方程：（1）3513x x =++ （2）若分式方程：342(2)=+--a x x x x 无解，求a 的值． 12．若关于x 的方程1221(1)(2)x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值? 13．若关于x 的方程()23011x x a x x x x -+-+=--没有实数根，则a 的值是多少？ 14．解分式方程: 51x + 31x -= 261x - 15．已知关于x 的分式方程2311x a a x x x x --=+--，回答下列问题： （1） 原方程去分母后，整理成关于x 的整式方程得：_______________________． （2） 若原分式方程无解，求a 的值．16．（1）解方程：2210x x --=（2）已知关于x 的方程1011m x x x --=--无解，方程260x kx ++=的一个根是m ． ①求m 和k 的值；②求方程260x kx ++=的另一个根． 17．若关于x 的方程311x a x x--=-无解，求a 的值. 18．当a 为何值时，关于x 的分式方程212(1)1232a a x x x x +-=---+总无解. 19．a 为何值时，关于x 的方程213242ax x x x +=--+会产生增根？20．a 为何值时，分式方程()31011x a x x x x +-+=++无解？ 21．当k 为何值时，分式方程()62511x k x x x x +=--- 有增根？ 22．若关于x 的方程4233k x x x-+=--有增根，试求k 的值. 23．已知关于x 的方程4122ax x x =+--． （1）当3a =时，解这个方程；（2）若这个方程无解，求a 的值．参考答案1．（1）0x=;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.【解析】【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.【详解】（1）方程两边同时乘以()2x-得()5321x+-=-解得0x=经检验，0x=是原分式方程的解.（2）设？为m，方程两边同时乘以()2x-得()321m x+-=-由于2x=是原分式方程的增根，所以把2x=代入上面的等式得()3221m+-=-1m=-所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．2．（1）：m＜12且m≠﹣14；（2）n=1或n=53．【解析】【分析】考虑分式的分母不为0，即分式必须有意义；（1）表示出分式方程的解，由解为负数确定出m的范围即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n的范围即可．【详解】请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；（1）解关于x的分式方程得，x=321 m-，∵方程有解，且解为负数，∴21032 21mm-⎧⎪⎨≠-⎪-⎩＜，解得：m＜12且m≠-14；（2）分式方程去分母得：3-2x+nx-2=-x+3，即（n-1）x=2，由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3，代入整式方程得：n=53；当n-1=0时，整式方程无解，此时n=1，综上，n=1或n=53．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．3．a=1，-4或6时原方程无解．【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可．【详解】由原方程得：2（x+2）+ax=3（x-2），整理得：（a-1）x=-10，（i）当a-1=0，即a=1时，原方程无解；（ii）当a-1≠0，原方程有增根x=±2，当x=2时，2（a-1）=-10，即a=-4；当x=-2时，-2（a-1）=-10，即a=6，即当a=1，-4或6时原方程无解．【点睛】此题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键．4．（1）m=0；(2)m<6且m≠0．【解析】【分析】（1）方程两边都乘以最简公分母()2x -，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x 的值，然后代入进行计算即可求出m 的值；（2）解分式方程得2x m =+，根据方程的解为正数得出20m +>，且22m +≠，解不等式即可得出答案．【详解】（1）方程两边都乘以()2x -得，()222x m x --=-分式方程有增根20x ∴-=解得2x =()22222m ∴--=-解得0m =（2）方程两边都乘以()2x -得，()222x m x --=- 解得63m x -= 方程的根为正数603m -∴>，且0m ≠ 6m ∴<，且0m ≠【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，将分式方程化为整式方程是解题的关键．5．m =4-或1或6【解析】【分析】先把原方程去掉分母转化为整式方程()110m x -=，然后根据原方程无解可得x =2或﹣2或1－m =0，进一步即可求出m 的值．【详解】 解：原方程即为：()()222322x x mx x x +=+--+， 方程两边同乘以()()22x x +-，约去分母，得()()2232x mx x ++=-，整理，得()110m x -=，当x =2时，原方程无解，此时()2110m -=，解得：m =4-；当x =﹣2时，原方程无解，此时()2110m --=，解得：m =6；当1－m =0时，原方程无解，解得：m =1；综上，m =4-或1或6．【点睛】本题考查了分式方程的解法和分式方程的增根及无解问题，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是解题关键．6．a ＝1或8或﹣6．【解析】【分析】分式的无解分两种情况来解：（1）是分式有增根，即分母为零；（2）是分式方程转化成整式方程后，整数方程无解，即未知数系数为0．【详解】解：分式方程去分母得：3x +9+ax ＝4x ﹣12，（1）由分式方程有增根，得到（x +3）（x ﹣3）＝0，即x ＝3或x ＝﹣3，把x ＝3代入整式方程得：18+3a ＝0，即a ＝﹣6；把x ＝﹣3代入整式方程得：﹣3a ＝﹣24，即a ＝8，综上，a 的值为﹣6或8．（2）整式方程整理得：（a ﹣1）x ＝﹣21，由方程无解，得到a ﹣1＝0，即a ＝1或8或﹣6．【点睛】注意区分分式方程无解和有增根两种情况．分式方程无解包括有增根和化成整数方程后无解的情况，而有增根仅仅是分式分母为0一种情形．7．1a =或-1【解析】【分析】分式方程无解，即化成整式方程时无解，或者求得的x 能令最简公分母为0，据此进行解答．【详解】方程去分母得：x-a=a(x+1)，理得，（1-a ）x=2a ，当整式方程无解时，1-a =0，a=1，当分式方程无解时：x=-1，a=-1，所以1a =或-1时，原方程无解．【点睛】本题考查了分式方程，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．8．(1) x 4=-;(2)a=-3【解析】【分析】(1)把a=2代入方程，解分式方程即可；(2)根据增根的概念解答．【详解】()1当a 2=时，原方程为2x 121x 11x+=+--，方程两边同时乘以()x 1-得：2x 12x 1+=-+-，解这个整式方程得：x 4=-，检验：当x 4=-时，x 14150-=--=-≠，x 4∴=-是原方程的解；()2方程两边同时乘以()x 1-得：ax 12x 1+=-+-，即（a-1）x=-4，若原方程无解且a 1≠，则x 10-=，解得：x 1=，将x 1=代入整式方程得：a 14-=-，解得：a 3=-．【点睛】本题考查的是分式方程的解法，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．9．（1）1011x =-；（2）5b =或112；（3）3,29,55,185b = 【解析】【分析】（1）将a ，b 的值代入方程得11235x x x +=+-，解出这个方程，最后进行检验即可； （2）把1a =代入方程得11235b x x x --=+-，分式方程去分母转化为整式方程为(112)310b x b -=-，由分式方程有增根，得11-2b=0，或230x +=（不存在），或50x -=求出b 的值即可；（3）把3a b =代入原方程得31235b b x x x --=+-，将分式方程化为整式方程求出x 的表达式，再根据x 是正整数求出b ，然后进行检验即可．【详解】（1）当1a =，0b =时，分式方程为：11235x x x +=+-解得：1011x =- 经检验：1011x =-时是原方程的解 （2）解：当1a =时，分式方程为：11235b x x x --=+- (112)310b x b -=-①若1120b -=，即112b =时，有：1302x •=，此方程无解 ②若1120b -≠，即112b ≠时，则 若230x +=，即310230112b b-⨯+=-，663320b b -=-，不成立 若50x -=，即31050112b b--=-，解得5b = ∴综上所述，5b =或112时，原方程无解 （3）解：当3a b =时，分式方程为：31235b b x x x --=+- 即(10)1815b x b +=-∵,a b 是正整数∴100b +≠ ∴181510b x b-=+ 即1951810x b =-+ 又∵,a b 是正整数，x 是整数.∴3,5,29,55,185b =经检验，当5b =时，5x =（不符合题意，舍去）∴3,29,55,185b =【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．10．a 的值是-4或-1【解析】【分析】分式方程无解有两种情况：①去分母后所得整式方程无解，②解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【详解】311x a x x--=+， 两边乘以x(x+1)，得x(x-a)-3(x+1)=x(x+1)，整理，得(a+4)x=-3，显然当a=-4时，方程无解； ∵分式方程311x a x x--=+无解， ∴x(x+1)=0，∴x=0或x=-1，当x=0时，(a+4) ×0≠-3，此时a 无解；当x=-1时，(a+4) ×(-1)=-3，解得a=-1．综上可知，当分式方程无解时，a 的值是-4或-1．【点睛】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，是需要识记的内容．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 11．（1）x=2；（2）a=2或3．【解析】【分析】（1）通过取分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1，即可求解；（2）先去分母，整理得(3-a )x=4-2a ，分两种情况：① 当分式有增根时，② 当方程（3-a ）x=4-2a 无解时，分别求出a 的值，即可．【详解】（1）去分母得：3(3)5(1)x x +=+，去括号，移项，合并同类项得：2x=4，解得：x=2，经检验：x=2是方程的根；（2）去分母得：3x=a(x-2)+4，即：(3-a )x=4-2a ，分两种情况讨论：① 当分式有增根时，即x(x-2)=0，得x=0或2，当x=0时，a=2；当x=2时得6=4，不成立，② 当方程（3-a ）x=4-2a 无解时，即3-a=0，a=3；∴原方程无解时，a=2或3．【点睛】本题主要考查分式方程的解法以及根据分式方程根的情况求参数，掌握解分式方程的步骤，把分式方程化为整式方程是解题的关键．12．5a =-或12-或2-． 【解析】【分析】 方程1221(1)(2)x x ax x x x x ++-=+--+可化为方程122(1)(2)(1)(2)x ax x x x x --+=-+-+，利用方程1221(1)(2)x x ax x x x x ++-=+--+无解，求a 的值． 【详解】 解：方程1221(1)(2)x x ax x x x x ++-=+--+ 可化为方程122(1)(2)(1)(2)x ax x x x x --+=-+-+， ∴−1−2x=ax+2，把1代入可得a=−5,2代入可得a=12-，此时方程无解； 又a=−2时方程无解，∴a=−5或12-，或−2， 【点睛】 本题考查分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的化简.13．a=2或-3【解析】【分析】通过去分母，去括号，合并同类项，对分式方程进行化简，得(3)50a x --+=，结合方程没有实数根，即可求解．【详解】()23011x x a x x x x -+-+=--， 方程两边同乘以x(x-1)，得：(2)(1)()30x x x x a ---++=，去括号，合并同类项，得：(3)50a x --+=，把增根x=1代入(3)50a x --+=，得350a --+=，解得：a=2，当-3-a=0时，050+≠，∴当a=-3时，方程()23011x x a x x x x -+-+=--没有实数根， 综上所述：a=2或-3．【点睛】本题主要考查根据方程的解的情况求参数的值，掌握分式方程的解法和分式方程的增根的意义，是解题的关键．14．无解【解析】【分析】分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，再检验是否为方程的解．【详解】解： 51x + 31x -= 261x -方程两边乘（x ﹣1）（x +1），得5（x ﹣1）+3（x +1）=6．解得x =1．检验：当x =1时，x 2﹣1=0．因此x =1不是原分式方程的解．所以原分式方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程的步骤的知识，即去分母：在方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程、解方程、验根：把整式方程的根代入最简公分母，若结果是零，则这个根是原方程的增根，必须舍去；若结果不为零，则是原方程的根、得出结论，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．15．（1）(2)3a x a +=-；（2）-2、3或12． 【解析】【分析】（1）先确定最简公分母是()1x x -,方程两边同时乘以最简公分母约去分母，移项整理即可求解;（2）根据分式方程无解,分两种情况讨论,第一种,整式方程无解,第二种原分式方程有增根.【详解】（1）解:方程两边同时乘以()1x x -可得: ()()()311x x a x x x a ---=-+,整理可得: ()23a x a --=-,即(2)3a x a +=-.（2）当20a +=时,(2)3a x a +=-无解;解得:a =-2. 因为2311x a a x x x x--=+--增根是x =0和x =1, 所以当x =0时, 03a =-,解得3a =,当x =1时, 23a a +=-,解得a =12. 【点睛】本题主要考查分式方程解法和分式方程无解问题,解决本题的关键是要熟练掌握分式方程无解问题的方法.16．（1）112x =-，21x =;（2）①2m =，5k =-，②另一个根是3． 【解析】【分析】 （1）用因式分解法解方程即可；（2）①根据分式方程无解，先求出m 的值 ，然后将m 代入一元二次方程中求出k 的值即可；②根据根与系数的关系可求出另一个根．【详解】（1）原方程可化为()()2110x x +-=210x +=或10x -= 解得：112x =-，21x = （2）①解：将分式方程两边同时(1)x ⨯- ，得到10m x --= ，解得1x m =- ∵分式方程无解，11x m ∴=-=2m ∴=，把2m =代入方程260x kx ++=，得22260k ++=求得5k =-②根据一元二次方程根与系数的关系可得126x x =∵2m =∴另外一个根是3【点睛】本题主要考查解一元二次方程及一元二次方程根与系数的关系，分式方程无解问题，掌握分式方程无解问题的方法及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．1-2a =或分析：该分式方程311x a x x--=-无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．详解：去分母得：x （x-a ）-3（x-1）=x （x-1），去括号得：x 2-ax-3x+3=x 2-x ，移项合并得：（a+2）x=3．（1）把x=0代入（a+2）x=3，∴a 无解；把x=1代入（a+2）x=3，解得a=1；（2）（a+2）x=3，当a+2=0时，0×x=3，x 无解 即a=-2时，整式方程无解．综上所述，当a=1或a=-2时，原方程无解．故答案为a=1或a=-2．点睛：分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 18．a=-1或32-或-2 【解析】【分析】先把原分式方程的两边乘以()()12x x --，然后化简，根据分式无意义的条件得出x 的取值范围即可．【详解】解：两边乘以()()12x x --得()212(1)x a x a -+-=+整理得()134a x a +=+∵方程无解∴10a +=或3411a a +=+或3421a a +=+ 解得a=-1或32-或-2.本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是解本题的关键．19．a=﹣2或a=6【解析】【分析】先去分母化为整式方程，整理得：（a -2）x +8=0，由于关于x 的方程213242ax x x x +=--+会产生增根，则(x +2)(x -2)=0，解得x =-2或x =2，然后把x =-2或x =2分别代入（a -2）x +8=0，即可求得a 的值.【详解】解：方程两边都乘（x ﹣2）（x +2），得x +2+ax=3（x ﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母（x ﹣2）（x +2）=0，解得x=2或﹣2，x=2时，a=﹣2，当x=﹣2，a=6，当a=﹣2或a=6时，关于x 的方程213242ax x x x +=--+会产生增根． 【点睛】本题考查了分式方程的增根；先把分式方程转化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程的分母为0，则这个整式方程的解就是分式方程的增根.20．当3a =-或0a =时原分式方程无解【解析】 【试题分析】方程()31011x a x x x x +-+=++的两边同乘以()1x x +，去分母，得： ()()310x x x a +-++=，整理，得330x a ++=. 即()133x a =-+，把()133x a =-+代入最简公分母()1x x +,使其值为零,说明整式方程的根是增根. 当 ()1303x a =-+=时,3a =-;当 ()1313x a =-+=-时,0a =,于是当3a =-或0a =时原分式方程无解.【试题解析】 方程()31011x a x x x x +-+=++的两边同乘以()1x x +，去分母，得 ()()310.x x x a +-++=整理，得330x a ++=。