二次函数一般式PPT精选文档

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二次函数课件

x 1对称，则b
2、函数y m 1x2 2m 1x 1的图象与x轴只有
一个交点，求实数 m的取值集合。 3、已知二次函数的图象的顶点坐标是（1，- 3），且经过点（2,0），求这个函数的解析式。
4、已知二次函数 f x的图象的顶点为 A1,16，且图象
在x轴上截得线段长为 8
（1）求函数f x的解析式；
二次函数
一、求解析式
1、一般式：y ax2 bx ca 0 2、顶点式：已知顶点坐标h, k , 设二次函数 y ax h2 ka 0 3、交点式：二次函数与 x轴的交点为x1,0, x2 ,0 设二次函数y ax x1x x2
1、若函数y x2 a 2x 3, x a,b的图象关于
（2）用a表示出函数在 5,5上的最大值。
3、函数f x x2 2ax 1 a在区间0,1上有
最大值 2，求实数 a的值。
4、求f x x2 2ax 1在0,2上的最大值 M a
和最小值 ma 的表达式。
三、定轴动区间（图象法）
1、已知函数 f x 1 x 12 n的定义域和值域都是ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 间
（2）求函数f x在区间1,2上的最大值和最小值。
二、动轴定区间（讨论对称轴位置）
1、求二次函数 y x2 2x在下列区间上的最大值和最小值
（1） 2,0；（2）1,2；（3）2,4 2、已知函数f x x2 2ax 2, x 5,5
(1)当a 1时，求函数f x的最大值和最小值；
2
1，m, 求m，n的值。
2、若函数 f
x
x2
3x
4的定义域为 0，m，值域为
25， 4
4
则m的取值范围是
3、已知函数 f x x2 4x 2在区间t,t 2上的最小值为 gt，求

二次函数顶点式及一般式的对称轴及顶点坐标课件.ppt

那么二次函数的解析式是怎样的呢？ 10
二次函数解析式
1、一般式：y=ax2+bx+c (a≠0) 二次三项式
y
2、交点式：y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0）
3、顶点式： y=a(x-h)2+k (a≠0)
· · (X1,0) o
x
(X2,0)
1、顶点式的对称轴和顶点坐标是什么？ 2、一般式如何转化成顶点式呢？
c 3. 抛物线y=2(x+3)2 的顶点在( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. x轴上
D. y轴上
13
一般式如何转化成顶点式呢？
由顶点式：y=a(x-h)2+k (a≠0)可知：对称轴x=h, 顶点坐标（h,k).
y=ax2+bx+c (a≠0)
顶点坐标最关键，
ax2bxc a a
一般式配方它就现！横标即为对
[合作探究·提认知] 电视剧《闯关东》讲述了济南章丘朱家峪人朱开山一家，从清末到九一八事变爆发闯关东的前尘往事。下图是朱开山一家从山东辗转逃亡到东北途中可能用到的四种交通工具。
依据材料概括晚清中国交通方式的特点，并分析其成因。提示：特点：新旧交通工具并存(或：传统的帆船、独轮车，近代的小火轮、火车同时使用)。原因：近代西方列强的侵略加剧了中国的贫困，阻碍社会发展；西方工业文明的冲击与示范；中国民族工业的兴起与发展；政府及各阶层人士的提倡与推动。
关键词——交通和通讯不断进步、辛亥革命和国民大革命顺应
时代潮流
图说历史
主旨句归纳
(1)近代交通由传统的人力工具逐渐演变为
机械动力牵引的新式交通工具，火车、
汽车、电车、轮船、飞机先后出现。

二次函数一般式的图像与性质(与a.b.c符号)ppt课件

5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请根据图象判断下列各式的符号：
a < 0 ,b< 0, c > 0 ,∆ > 0 , a-b+c >0,a+b+c = 0
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19
自我挑战1
1.已知y=ax2+bx+c的图象如图所示,请在下列横线上填写“<”,“>”或“=”.
（1） a__<_0, b__<__0, c__>___0, abc__>__0 b2-4ac__>___0
为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的
单位长度，建立平面直角坐标系，求（1）以这一部分抛物线为图
y
象的函数解析式，并写出x的取
O
值范围；
x
（2）有一辆宽2.8米，高1米的
农用货车（货物最高处与地面AB
的距离）能否通过此隧道？
A CB
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26
探究活动:
一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解析式，你认为首先要做的工作是什么?如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：
当a < 0 时开口向下 a 越大图象开口越小
a 越小图象开口越大
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13
b影响对称轴的位置
b与图象的关系当b=0时对称轴为y轴当ab>0时对称轴在y轴左侧当ab<0时对称轴在y轴右侧
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14
c与图象的关系
C 确定图象与y轴的交点
当c＝0时图象过原点当 c > 0时图象与y轴正半轴相交当c < 0时图象与y轴负半轴相交

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3．巩固练习
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：（1） y 3x2；开口向上、y 轴、原点．（2） y3x2；开口向下、y 轴、原点．（3） y 1 x 2 ；开口向上、y 轴、原点．
1、函y数 a2xbxc其 ( a中 b ,c,是常 )，数当 ab ,c,满足什么条件时
(1)它是二次函数?
(2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
解：（1） a 0
(2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
2.二次函数y=(2x-1)2+2的二次项系数是________,常数项是______.
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题4 类比 a＞0 时的研究过程，画图研究当 a＜0 时，二次函数 y = ax2 的图象特征．
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2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
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4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？（2）本节课是如何研究二次函数 y = ax2 的图象和性质的？
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• 学习重点：观察图象，得出二次函数 y = ax2 的图象特征和性质．
1．复习研究函数的一般方法

二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件

二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的函数，其中$a$、$b$、$c$为常数，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义表明二次函数具有一个自变量$x$，一个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物线开口向上；如果二次项系数a小于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高

人教版九年级上册二次函数一般式的图像和性质精品系列PPT

有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴，没有变化的：抛物线的开口方向、形状
新课
我们复习了将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到y 3 x 22 5 的图象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1 用配方法把 y 1 x2 3x 5 化为
2
2
2．用公式法把抛物线 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
把 y ax2 bx c 变形为 y a x h2 k的方法
和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ax2 bx c 0 ”类似．具体演算如下：
人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件
解：列表 y 2x2 8x 6 0 x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件
练习1 用配方法把 y 2x2 4x 7 化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标
和对称轴。
答案：y 2 x 12 5 ，顶点坐标是(1，5)，
对称轴是直线 x＝1．
人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件

二次函数的图像和性质一般形式(精品课件).ppt

4
∴开口方向：向上; 对称轴：x=4; 顶点坐标:(4,-4)；
-----------------------
X=4
﹒ ·（4，-4）
y
9
8 7 6 5 4 3 2
1
32 1 0 1 2 3 4 5 1 2
将抛物线y 1 x2 2
向右平移4个单位后，再向下平移4个单位，会得到抛物线：
y
1 2
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
一般地， a我(x 们 b可)2以 4用ac 配b2方法求抛物线y=a2xa2+bx+4ca (a≠0) 对称的轴顶为点：与对直称线轴x b ，
2a 顶点坐标是：推2导ba过, 4程a！c4a b2
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
• 1.将二次函数y=4x2_8x-1等号左边配方得 ______________
• 2.你能说出函数y=4(x-2)2+1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
• 3.函数y=4(x-2)2+1图象与函数y=4x2的图象有什么关系？
试研究二次函数y
（1）y -2x2 - 4x 3
对于二次函数 y ax2 bxc，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？
解：y ax2 bx c
a(x2 b x) c a
a[x2 b x ( b )2 ( b )2 ] c
a
2a
2a
a x b 2 4ac b2
2a
4a
(平移？
说一说
根据图象，你能说出它的增减性吗？
X=4
-----------------------

二次函数一般式图像和性质(精品课件).ppt

的值是
（）
• A4
B. -1
C. 3
D.4或A-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x
轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立
的是（ B ）
A.b2-4ac>0
B.
-
b 2a
<0
y
C.a+b+c=0
D. 4ac-b2 >0-1 o 1 x 4a
5.若把抛物线y = x2 - 2x+1向右平移2个单位,再向
如何画出y 1 x2 6x 21的图象呢? 2
我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,
容易确定相应抛物线的顶点为(h,k), 二次函数 y 1 x2 6x 21也能化成这样的形式吗?
2
y 1 x2 6x 21 你知道是怎样配
2
方的吗？
配
(1)“提”：提出二次项系数；
方
( 2 )“配”：括号内配成完全平方；
y
10
5
O
5
10 x
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
函数y=ax²+bx+c的顶点是
求次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．
配方:
这个结果通常称为求顶点坐标公式.
y ax2 bx c
a x2 b x c
提取二次项系数
a c
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
y
1
. -1
3. 1
x
1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在

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x b 增大.2a
时，y随x的增大而
x b 2a
8
（2）：
如果a<0，当x b 时，y随x的增大而减小，
当x
b
2a 时，y随x的增大而增大.
2a
9
你能把 yax2 bxc 改写成 ya(xh)2 k吗？
用配方法
你知道吗?
10
y ax 2 bx c
a(x
2
b a
x
c) a
a
x
2
b a
性质
2
分析：这种函数形式并不是我们所熟悉的二次函数，所以考虑将其变形
配方可得： y1(x6)2 3 2
3
根据前面的知识，我们知道：其变形过程如下所示
y
1 2
x
2
向右平移6个y
单位长度
1 2
(x
6)2向上平移3 个单位长度
y
1(x6)2 2
3
还有什么方法平移呢
4
如果我们直接画二次函数 y1x2 6x21的图象，
对称轴 x： 2ba22212
对称 x 轴 2 b a ： 2 12 23
y
4
a cb2 4a
4213(2 421
)2
1
y4
acb2 4a
421432(1
22
)-
5
顶点坐标-： 5 ）（ 3 ，
顶点坐标：（ 2 ， 1 ） 15
1.抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是，
当x>h时，
当x>h时，
y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。
x=h时,y最小值=k
x=h时,y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.
2
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k
的图象和性质，能否利用这些知识
来讨论二次函数 y1x2 6x21图象和
所以开口向上，对称轴 x1，顶点（1， 1）
3
33
解：（ 2 ）配方得 y = -( x + 1 )3+ 1
所以开口向下，对称轴 x 1 ，顶点（ 1 ， 1 ）
解：（ 3 ）配方得 y = -2 ( x -2 )2 所以开口向下，对称轴 x2 ，顶点（ 2 ， 0 ）
可按如下步骤进行.
2
利用图形对称性列表：
x
····· 3 4 5 6 7 8 9 ·····
·
y1x2 6x21······ 2
7.5
5
3.5 3 3.5
5
7.5 ·····
描点画图：
由图象可知：（1）在对称轴左侧，抛物线从左到右下降（2）在对称轴右侧，抛物线从左到右上升
5
你能用上面的方法讨论二次函数 y2x24x1
解：（ 4）配方得 y=1(x-4)2-5 2
所以开口向上，对称轴 x4，顶点（ 4， -5）
18
19
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
早胜初中刘鹏德
1
回顾：二次函数y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2 +k(a≠0) 开口方向顶点坐标对称轴增减性
极值
a>0
向上 (h ,k)
a<0
向下 (h ,k)
x=h
x=h
当x<h时，
当x<h时,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
y
1x2 2
-2x3
（1y ） 22x-121 x3
解：
a
1 2
0
开口方向：向上。
对称轴 x： 2ba22212
y
4
a cb2 4a
4213(2 421
)2
1
顶点坐标：（ 2 ， 1 ） 14
y
1x2 2
-2x3
（1y ） 22x-121 x3
解：
a
1 2
0
开口方向：向上。
解： a 2 0 开口方向：向上。
2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
要记住公式哦！
a
(x
b 2a
)2
4ac - b 2
4a 2
a( x b )2 4ac b 2
2a
4a
12
y
1x2 2
-2x3
解：
a
1 2
0
开口方向：向上。
对称轴 x： 2ba22212
y
4
a cb2 4a
4213(2 421
)2
1
顶点坐标：（ 2 ， 1 ） 13
与x轴的交点坐标是
(。1,0)或（3，0）
(0,3)
抛物线与y轴的交点有什么特征？
抛物线与x轴的交点有什么特征？
16
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
(1)y3x22x (2)yx22x
(3)y2x28x8
(4)y1x24x3 2
17
解：（ 1）配方得 y=3(x+1)31 33
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
a
(x
b 2a
)2
4ac - b 2
4a 2
a( x b )2 4ac b 2
2a
4a
11
∴开口方向：由a决定;
y ax 2 bx c
a(x
2
b a
x
c) a
对称轴x：2ba 顶点（坐 2b标 a， 44 a ：图象和性质吗？
6
一般的，二次函数y=ax2+bx+c可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
ya(xb)24acb2 2a 4a
因此，其对称轴是： b 2a
4 ac b 2
顶点是：
4a
7
从二次函数y=ax2+bx+c的图象可以看出：
（1）：如果a>0，当x b 时， y随x的增大而减小2，a 当