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人教版九年级上册22.1.4二次函数一般式的图像和性质课件

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人教版数学九年级上册22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-课件

人教版数学九年级上册22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-课件
即b≤1，故选择D .
练一练 填表：
y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5
顶点坐标 (1,3) (0,-1)
( 1 ,-6)
3
对称轴
x=1 y轴 直线x= 1
3
最值 最大值1 最大值-1
最小值-6
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系
例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结
配方可得
y 1 x2 6x21 2
1(x2 12x42) 2
1(x212x626242) 2
1[(x212x62)6242] 2
1[(x6)2 6] 2
想一想：配方的方法及
1 (x 6)2 3. 2
步骤是什么？
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/152021/8/152021/8/158/15/2021 1:19:21 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/152021/8/152021/8/15Aug-2115-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/152021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021
增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1

《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学

《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标

人教版九年级数学上册 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c=0的图象和性质(共22张PPT)

人教版九年级数学上册 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c=0的图象和性质(共22张PPT)
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1) 即：y=－x2+1
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）

人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)

人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．

人教版九年级上册22.1二次函数的图象和性质 复习课件(共32张PPT)

人教版九年级上册22.1二次函数的图象和性质 复习课件(共32张PPT)

o
2
x
5
10
15
D.(4,3)
4
例 3 （ 2 ） （ 山 东 中 考 ） 抛 物 线 y = a x ²+ b x + c 经 过 点 A （ - 2 , 7 ） ， B（6,7）C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一个点D 的坐标是
例 3 （ 3 ） （ 上 海 中 考 ） 抛 物 线 2 （ x + m ) ²+ n ( m , n 是 常 数 ）
y
8
6
4
2
10
5
o
5
x
10
15
2
4
例 3 ， 如 图 已 知 抛 物 线 y = x ²+ b x + c 的 对 称 轴 为 x = 2 ， 点
A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为
（0,3），则点B的坐标为（
）
8y
6 4
x=2
A.(2,3) B.(3,2)
2A
B
C.(3,3)
5
二次函数的解析式（三种形式解析式）
一 般 式 ： y = a x ²+ b x + c ( a ≠ ﾷ )
顶 点 式 ： y = a ( x - h ) ²+ k ( a8, h , k 为 常 数 ， 且 a ≠ ﾷ )
两根式：y=a(x-x1)（x-x2)(a≠ﾷ,x1,x2是抛物线与x轴两交点
解析式为
6
y
4
2
A(-1,0)
B(3,0)
15
10
5
O
x5
10
2
4
∙x 3
2)2 2∙(x +例2) 43：如图，在平面直角坐标系xOy中，抛8 物线C1的顶点为A（-1， -4），且过点B（-3,0）。

人教版九年级数学上册(课件)22.1.4 二次函数y=ax +bx+c

人教版九年级数学上册(课件)22.1.4 二次函数y=ax +bx+c

y

1 2
x2

4x

3
解: (1) a = 3 > 0Байду номын сангаас物线开口向上
x顶


2 23


1 3
y顶

22 43


1 3
顶点坐标为

1 3
,

1 3

对称轴x 1
3
当x


1 3
时，y最小值＝-
1 3
（2） y x2 2x
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
九年级数学上册·R
第22章 二次函数
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
回顾：二次函数y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2 +k(a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
极值
a>0
a<0
向上 (h ,k)
向下 (h ,k)
x=h
x=h
当x<h时，
当x<h时,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
所以当 x b 时，二次函数 y ax2 bx c
2a
4ac b2
有最小（大）值
4a
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的
值最小（大）？
（1） y 3x2 2x
（2） y x2 2x
（3）y 2x2 8x 8
（4）
我们知道，像 y ax h2 k 这样的函数，容易确定相应抛物线的

人教版九年级上册二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)课件

人教版九年级上册二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第1课时)课件
2

b 4ac b 2
y=a(x-h)2+k。
a x

2
2a
4a

2
b
4
ac

b


a x
.
2a
4a

2
引入
y=ax 2 +bx+c的性质
探究
归纳总结
举个栗子
2
b
4
ac

b


y ax 2 bx c a x
1 2
y x 6 x 21
2
1 2
( x 12 x 42)
2
1 2
( x 12 x 62 62 42)
2
1
2
[( x 6) 6]
2
1
( x 6)2 3.
2
y=ax 2 +bx+c的性质
探究 将 =
1 2

2
引入
探究
归纳总结
举个栗子
22.1 二次函数的图像和性质
22.1.4 y=ax 2+bx+c的图像性质
y=ax 2 +bx+c的性质
引入
探究
二次函数的一般式y=ax2+bx+c，有什么性质？
它的开口由什么决定？
对称轴是什么？
顶点是什么？
归纳总结
举个栗子Βιβλιοθήκη 练习y=ax 2 +bx+c的性质
引入
用配方法解一元二次方程：x2+2x+2=0
1 2
= − 6 + 21

人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)

人教九年级数学上册《二次函数图像与性质》课件(共14张PPT)

(3) 二次函数的图象是什么 形 状呢？
结合图象讨论
性质是数形结合
的研究函数的重要 方法．我们得从最 简单的二次函数开 始逐步深入地讨论 一般二次函数的图 象和性质．
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
x ··· －3 －2 －1 0
2 0.5
0 0.5 2 4.5
···
8
x
·· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
·
y 2x2 ·· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
·
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
－4 －2
24
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比 ，有什么共同2 点和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2
8 6
y 2x2
不同点：a 值越大，抛物线的开 口越小．
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 yx2,y1x2,y2x2 的图象，并考虑这些抛物 2
1
2
3 ···
y = x2 ··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
2. 根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.连线 如图，再用平滑曲线顺次
9
连接各点，就得到y = x2 的图象
．
6
y = x2

人教版九年级数学上册课件：22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质

人教版九年级数学上册课件：22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质

解析：⑴根据题意 得： 解得 所以抛物线的解析式为
y 3
－1 O
x
⑵令
解得
根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是
6、已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象， 判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
化简
再根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x
… -2 -1 0 1 2
3
4…
… 29 14 5 2 5 14 29 …
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
1.能熟练求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某 一范围内的增减性. 2.能根据条件确定二次函数的关系式及顶点坐标、对称 轴.
学习感知：
同学们：通过这节课的学习，与同 桌分享与交流，学有所获，共同探讨学 有所困。
抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(1)a决定抛物线形状及开口方向，若 a 相 等，则形状相同。 ①a＞0开口向上； ②a＜0开口向下。
抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。
(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由 于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线 x b ，故
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 对称轴是x=3，顶点坐标是（3，-5） 对称轴是x=8，顶点坐标是（8,1） 对称轴是x=0，顶点坐标是（0，12）

人教版九年级上册22.二次函数的图像与性质课件(共129张)

人教版九年级上册22.二次函数的图像与性质课件(共129张)
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
思考：这个二次函数图象有什么特征？
（1）形状是开口向上的抛物线
9
6
（2）图象关于y轴对称
3
（3）有最低点，没有最高点
－3
3
y轴是抛物线y = x 2 的对称轴，抛物线y = x 2 与它的对称 轴的交点（0,0）叫做抛物线y = x2 的顶点，它是抛物线y = x 2 的最低点．
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a ≠0 (2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是 函数y= ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区分:前者是函数.后者是方程.等式另一 边前者是y,后者是0
知识运用
例1:下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1 (不是 )
(2)y=3x2 （ 是 )
画形如y=ax2的函数图像： 1、函数y=x2的图像；视察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像
…二次函数的图像和性质…
• y=ax2的函数图像 • y=ax2 +k 的函数图像 • y=a(x-h)2的函数图像 • y=a(x-h)2 +k 的函数图像 • y=ax2+bx+c 的函数图像

人教版数学九年级上册课件22.1.4二次函数的图像和性质

人教版数学九年级上册课件22.1.4二次函数的图像和性质
2 2
16
14
12
10
8
6
4
2
15
10
5
5
10
15
一般地,对于二次函数y=ax² +bx+c,我们可以利用配方法 推导出它的对称轴和顶点坐标. 试将式一般转化为顶点 式.
2 b b 2 b 2 a x x a c a 2a 2a
2
y ax2 bx c 2 b a x x c a
b 4ac b2 a x . 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
作用
• 二次函数图象特征与 参数a,b,c的关系.完成 下表.
作用
符号
字母符号
图象特征 图象特征
归纳总结： a的符号决定 开口方向 ,简记为 “上正下负 ”. a,b的符号决定 对称轴位置 ,简记为 “左同右异 ”. c的符号决定 与y轴交点 ,简记为 “ 上正下负 ”

22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第二课时)(课件)九年级数学上册(人教版)

22.1.4二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质(第二课时)(课件)九年级数学上册(人教版)

C. y=(x-2)2-1
D. y= 1 (x-2)2-1 2
分层作业
3．一抛物线的形状、开口方向与抛物线 y= 1 x2-2x+3 相同，顶点为(-2，1)，则此抛物线的解析式为( )
2
A. y= 1 (x-2)2+1
2
B. y= 1 (x+2)2-1
2
C. y= 1 (x+2)2+1
2
D. y= 1 (x-2)2-1
分层作业
【拓展延伸作业】
6.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC. (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点 D 是抛物线的顶点，求△BCD 的面积.
分层作业
解：(1)：抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-1，0)，点 B(3，0)，且 OB=OC， ∴OC=OB=3. ∴C(0.3), 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3)，将 C(0，3)代入得， -3a=3. ∴a=-1, ∴抛物线的解析式为 y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3；
∴DE=4-2=2，
∴S△CDB= 1 DE·OB= 1 ×2×3=3
2
2
分层作业
7. 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点(0，-1)和(2，7)
(1)求二次函数解析式及对称轴
(2)若点(-5，y1)(m，y2)是抛物线上不同的两个点，且 y1+y2=28，求 m 的值
解：把（0，-1)和(2，7)分别代入 y=x2+bx+c 可得： (2)把 x=-5 代入二次函数得：y1=14，

22.1.4二次函数的图像与性质ppt课件

22.1.4二次函数的图像与性质ppt课件
2
列表、描点、连线，画出函数 y 1 x 62 3 图像.
y
1 2
x2
2 6x
21
问题：
1.怎样平移抛物线 y 1 x2
2
可以得到抛物线
●
●
5
●
●
●
●
●
（6,3）
O
5
10
y 1 x2 6x 21 ？ 2
2.看图像说说抛物线 y 1 x2 6x 21
2
的增减性。
x
12
你能用前面的方法讨论二次函数 y = -2x2 - 4x +1 的 图象和性质吗？
2
9
如何将 y 1 x2 6x 21 转化成y =a（x - h）2 +k 的形
式？
2
y 1 x2 6x 21 2
= （12 x2-12x）+ 21
(提取二次项系数)
= （12 x2-12x+36-36） +21 （配方）
= 12（x – 6）2 -18+21 = 12（x - 6）2 +3
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c 图象和性质（一）
y
o
x
1
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
y=ax2 上加下减 y=a(x-h)2 +k 左加右减
2
抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
• （3）2x2 4x 2 （4） 2x2 3x 1
7
问题1 如何研究二次函数
y
1 x2
6x

22.1《二次函数的图象和性质》课件(共5课时)

22.1《二次函数的图象和性质》课件(共5课时)

2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
归纳： 一般地，当 a＞0 时，抛物线 y = ax2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k），开口向上，顶点是抛物线的最 低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大．
3．练习、巩固二次函数的定义
练习2 填空： （1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是__S_=__4_π_r_2_； （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加 产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两 年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
y 20x2 40x 20
2．通过实例，归纳二次函数的定义
这三个函数关系式有什么共同点？
y 6x2 m 1 n2 1 n
2
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）抛物线 y = ax2 + k 与抛物线 y = ax2 的区别与联 系是什么？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 5 题（1）.
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第4课时）
• 本课是在学生已经学习了二次函数 y = ax2，y = ax2+ k 的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对二次函 数图象和性质研究的延续．
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图 象和性质

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件 2024-2025学年人教版数学九上

22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件 2024-2025学年人教版数学九上
【例 1】如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增
大而增大，则实数a的取值范围是( B )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
知识讲解
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例 2】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象
面积．
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝
4
＝4，
1
A．(－3，－6)
B．(1，－4)
C．(1，－6)
D．(－3，－4)
再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为
y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，
此时二次函数图象的顶点为(1，－6).
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
项目
a
b
字母的符号
图象的特征
确的结论的序号是________；
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；
由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；
由抛物线的顶点在第四象限，得
b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
【例 4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过
2
2

b
c
b
b
b
c






2
2
2
y ax bx c a x x a x x
a

人教版九年级上册学数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性课件

人教版九年级上册学数学22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性课件

c的正负
y 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 x -1
课堂小结
1. 二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数符号的关系.
2. 数学思想方法：数形结合． 3. 常用解题方法：赋值法．
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数符号的关系.
数学思想方法：数形结合．
的图象上的三个点．
二次函数 y=ax2+bx+c的图象与各项系数符号的关系.
类型二：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断式子符号．
类型二：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断式子符号．
课堂小结
开口方向
y 3
2 1
2a
决定抛物线与y轴的交点位置
巩固落实
类型一：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断各项系数符号．
例1. 若二次函数 y=ax2+bx+c的图象如图所示，
你可以判断出 a，b，c的符号吗？ a <0
y
3
x
b
2-a
>
0
2
b >0
1
c >0
-2 -1 O -1
1 2 3x
巩固落实
类型二：由二次函数 y=ax2+bx+c图象判断式子符号．
-2 -1 O -1
1 2 3x
a的正负
y 3 2 1
-3 -2 -1 O 1 x -1
对称轴位置
开口方向
y 3
2 1
课堂小结
－
b 2a
的正负
a的正负
b的正负
y 3 2 1

人教版九年级上册二次函数一般式的图像和性质课件

人教版九年级上册二次函数一般式的图像和性质课件

解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y
＝0，所以 0 02 k 4 0 k 7，所以k＝
－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；
②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，
即
b
k 4
0
，所以k＝－4，所
2a
21
以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
例3 画出 y 2x2 8x 6 的图像，利用函 数图像回答： (1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
4ac b2 4a
0，且a＜0，所以4ac b2
0，故
b2 4ac 0 。
判断2a＋b的符号
(5)因为顶点横坐标小于1，即
b 2a
1
，
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点 的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0， 故a＋b＋c＞0；
8
4ac b2 2,
4 21 82
7
2a 2 2
4a
42
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
人教版九年级上册22.1.4二次函数一 般式的 图像和 性质课 件
例6已知函数 y 1 x2 3x 1 ，当x为何值
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x
c a
a
x2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c
a
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a2
a
x
b 2a
2
4ac b2 4a
所以抛物线 y ax2 bx c 的顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
，对称轴是直线 x b 。
2a
例2 用公式法把 y 1 x2 x 5 化为
b2
;
（5）增减性：
①若a＞0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小。
②若a＜0，当
x
b 2a
时，y随x的增大而减小；
当
x
b 2a
时，y随x的增大而增大。
例4 已知抛物线 y x2 k 4 x k 7,
①k取何值时，抛物线经过原点； ②k取何值时，抛物线顶点在y轴上； ③k取何值时，抛物线顶点在x轴上； ④k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。
x2
3x
5 2
1 2
x2
6x
5
1 x2
2
6x
9 9 5
1 2
x
32
4
1 x 32 2
2

顶点坐标为（－3，－2），对称轴为x＝－3
练习1 用配方法把 y 2x2 4x 7 化为
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标
和对称轴。
答案：y 2 x 12 5 ，顶点坐标是(1，5)，
3x
( 3 )a b 2
-0.5
1-1
( 4 )a 1其 中 正 确
-1.5
的 个 数 为( )
2-2
-2.5
A.1 B.2 C .3
D-3 .4
-3.5
5.二次函数y ax2 bx c的图象开口向上，
图象经过点( 1,2 )(1,0 )且与y轴相交于负半轴
( a )问：给出四个结论(：1 )a 0( 2 )b 0( 3 )c 0
y 2x2 8x 1 2 x2 4x 1 2 x2 4x 4 4 1
2 x 22 7 7
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
解法二（公式法）：
因为a＝2＞0，抛物线 y 2x2 8x 1有最低点， 所以y有最小值，
因为－ b
8
4ac b2 2,
4 21 82
7
2
2
y a x h2 k 的形式，求出对称轴和顶点
坐标．
解：在 y 1 x2 x 5 中，a 1 ,b 1, c 5
2
2
2
2
b
1
1,
4ac b2
4
1 2
5 2
12
4
2
2a
y
21
1 2
x
1
2
4a
2
，
4
1 2
2
2
∴顶点为（1，－2），对称轴为直线 x＝1。
2．确定抛物线的开口方向、对称轴 及顶点坐标。 3．在对称轴的两侧以顶点为中心左 右对称描点画图。
例3 画出 y 2x2 8x 6 的图像，利用函 数图像回答：
(1)x取什么值时，y＝0？ (2)x取什么值时，y＞0？ (3)x取什么值时，y＜0？ (4)x取什么值时，y有最大值或最小值？
解：列表 y 2x2 8x 6 0 x …0 1 2 3 4 … y … －6 0 2 0 －6 …
4ac b2 4a
0，且a＜0，所以4ac b2
0，故
b2 4ac 0 。
判断2a＋b的符号
(5)因为顶点横坐标小于1，即
b 2a
1
，
且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；
判断a＋b＋c的符号
(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点 的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0， 故a＋b＋c＞0；
4a
4 1
k2 4k 12 0 ，解得：k1 2, k2 6 ，所 以当k＝2或k＝－6时，抛物线顶点在x轴 上。 ④由②、③知，当k＝－4或k＝2或k＝－6 时，抛物线的顶点在坐标轴上。
例5 当x取何值时，二次函数 y 2x2 8x 1 有最大值 或最小值，最大值或最小值是多少？
解法一（配方法）：
练习2 用公式法把y 2x2 8x 6 化成
y a x h2 k 的形式，并求出顶点坐标和
对称轴。
答案：y 2 x 22 2 ，顶点坐标为
（2，2）对称轴是直线 x＝2
3． y ax2 bx c 图象的画法．
步骤：1．利用配方法或公式法把y ax2 bx c
化为y a x h2 k 的形式。
y
·（2,2）y 2x2 8x 6
由图像知：
· · （1,0）
（3,0）
x
(1)当x＝1或x＝3时， y＝0；
(2)当1＜x＜3时，
y＞0；
(3)当x＜1或x＞3时，
y＜0；
x=2
(4)当x＝2时，
· · （0,－6）
（4,－6）
y有最大值2。
4．二次函数 y ax2 bx c 的性质：
对称轴是直线 x＝1．
2．用公式法把抛物线 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
把 y ax2 bx c 变形为 y a x h2 k的方法
和我们前面学过的用配方法解二次方程 “ax2 bx c 0 ”类似．具体演算如下：
y
ax2
bx
c
a
x2
b a
2a 2 2
4a
42
所以当x＝2时，y最小值＝－7 。
总结：求二次函数最值，有两个方法． (1)用配方法；(2)用公式法．
例6已知函数 y 1 x2 3x 1 ，当x为何值
2
2
时，函数值y随自变量的值的增大而减小。
解法一： a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
又y 1 x2 3x 1 1 x2 6x 9 9 1
y m 1 x2 2mx 3m 2m 1
的最大值是0，求此函数的解析式．
解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐
标的值为0．所以应满足以下的条件组．
m 1 0， ①
4
m
1
3m
2
2m
2
4m 1
0
②
由②解方程得 m1
1 2
, m2
2 不合题意，舍去
所求函数解析式为
y
1 2
1
x2
2
1 2
x
( 4 )a b c 0其中正确结论的序号是______
(b)问 ： 给 出 四 个 结 论 ：
y
(1)abc 0(2)2a b 0
2
(3)a c 1(4)a 1
其中正确结论的序号
是 ______
1
x
1
6.已 知 抛 物 线y ax2 bx c的 顶 点 在
抛 物 线y 3 x2上 ， 并 且 它 与 抛 物 8
那么一般地，函数y ax2 的图象怎样平 移就得到 y ax2 bx c 的图象呢？
1．用配方法把 y ax2 bx c 化为
y a x h2 k 的形式。
例1 用配方法把 y 1 x2 3x 5 化为
2
2
y a x h2 k 的形式，求出顶点坐标和对称轴。
解：y
1 2
（1）顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
;
（2）对称轴是直线 x b
2a
（3）开口方向：当 a＞0时，抛物线开
口向上；当 a＜0时，抛物线开口向下。
（4）最值：
如果a＞0，当 x
b 2a
时，函数有最小值，
y最小＝
4ac 4a
b2
,
如果a＜0，当
x
b 2a
时，函数有最大值，
y最大＝
4ac 4a
2
22
2
1 x 32 9 1
2
22
1 x 32
2
5
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y
随x的增大而减小。
解法二：
a 1 0 ，∴抛物线开口向下，
2
b 3 3
2a
2
1 2
∴ 对称轴是直线x＝－3，当 x＞－3时，y 随x的增大而减小。
例7 已知二次函数
解：①抛物线经过原点，则当x＝0时，y
＝0，所以 0 02 k 4 0 k 7，所以k＝
－7，所以当k＝－7时，抛物线经过原点；
②抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，
即
b
k 4
0
，所以k＝－4，所
2a
21
以当k＝－4时，抛物线顶点在y轴上。
③抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，
即 4ac b2 4 1 k 7 k 42 0 ，整理得
例8 已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象，判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)b2－4ac；(5)2a＋b； (6)a＋b＋c；(7)a－b＋c．
分析：已知的是几何关系(图形的位置、 形状)，需要求出的是数量关系，所以应 发挥数形结合的作用．
判断a的符号
判断a－b＋c的符号
(7)因为图象上的点的横坐标为－1时， 点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1) ＋c＜0，故a－b＋c＜0．
结束
例9.用 总 长 为60m的 篱 笆 围 成 矩 形 场 地 ， 矩 形 面 积S随 矩 形 一 边 长l的 变 化 而 变 化 ， 当l是 多 少 时 场 地 面 积S最 大 ？