高中数学希望杯竞赛高一(复试)(真题含详细答案)

第十四届高一试题（A 卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为 A ．3B ．6C ．8D ．102．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．b a c <<3．函数()()3sin 205sin 80y x x ︒=+++︒的最大值是（ ）． A ．112B ．376C ．7D ．64．已知函数()()221,0211025,23x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩的图象与直线y =有4个不同的交点，则这4个交点的横坐标之和为（ ）． A ．10B ．11C ．12D ．135．已知α是函数()log 2018a f x x x =-的一个零点，β是函数()2018xg x xa =-的一个零点，则αβ的值为（ ）． A ．1B ．2018C ．22018D ．40366．设函数π9π()sin(2),0,48f x x x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，若方程()f x a =恰好有三个根123,,x x x ，且123x x x <<，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．9π5π[,)84B ．5π11π[,)48C ．3π13π[,)28 D ．7π15π[,)487．在ABC V 中，120,2,1,BAC AB AC =︒∠==(01)BD BC λλ<=<u u u r u u u r，设()f AD BC λ=⋅u u u r u u u r ，则()f λ的取值范围是（ ）. A ．()5,2-B ．()5,2--C ．()4,3-D ．()2,5-8．设1250,,,a a a L 是从1,0,1-这三个整数中取值组成的数列，若12508a a a +++=L 且()()()2221250111100a a a ++++++=L ，则1250,,,a a a L 当中取1的项共有（ ）．A ．16个B ．13个C ．34个D ．21个二、填空题9．已知函数()222,0log 1,0ax a x f x x x ⎧++≤=⎨->⎩，若104f f ⎡⎤⎫⎛< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则实数a 的取值范围是． 10．等差数列{}n a 中，()1111,,2018m n a a a m n n m===≠，则数列{}n a 的公差d =． 11．已知()sin23sin2αγβ+=，则()()tan tan αβγαβγ-+=++.12．已知函数()1f x x m =-，若存在π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()()sin cos 0f f αα+=，则实数m 的取值范围是． 13．若平面向量,a b r r 满足：23a b -≤r r ；则a b ⋅r r 的最小值是14．已知数列{}n a 各项均为正整数，对于*n ∈N 有：()()1135,,,2n n n n n n k a a a a k a a ++⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数其中是使为奇数的正整数为偶数．若n a 是不为1的奇数，且n a 恒为常数，则n a =．15．若33sin cos 0θθ->，则sin cos θθ-的取值范围是．16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且其图象连续不断，对任意120x x <<，有()()12121f x f x x x ->--，且()21f =，则不等式()30f x x -≤+≤的解集为．三、解答题17．已知集合(){}22263250A x x a x a a =-+--+<，{1B x x =<或}4x ≥．(1)当A B =U R 时，求实数a 的取值范围； (2)当B A ⊆R R痧时，求实数a 的取值范围．18．在数列{}n a 中，点()*1,,n n P a a n +∈N 在直线2y x k =+上，数列{}n b 满足条件：12b =，()*1n n n b a a n +=-∈N ． (1)求证：数列{}n b 是等比数列； (2)若2121log ,n n n n nc b S c c c b ==+++L ，求12602n n S n +->+成立的正整数n 的最小值． 19．已知ABC V中，2,4,AC BC AB ===D 是BC 的中点．(1)求AD 的长；(2)点P 是以ACD ∠为圆心角的劣弧»AD 上任意一点，求22PA PD +的取值范围．20．已知函数()1,R 1x f x x x -=∈+且1x ≠-． (1)就m 的取值情况，讨论关于x 的方程()f x x m -=在[]0,1上的解的个数；(2)若可变动的实数12,x x 满足()()12331x xf f +=，求()12f x x +的最小值．。

第十四届“希望杯”全国数学邀请赛高一 第1试一、选择题（每小题5分，共50分） 1．设11log 111log 111log 111log 15432+++=P ，则 A ．10<<PB ．21<<PC ．32<<PD ．43<<P 2．方程2)72(log 2=-x x 的解的个数是 A ．4 B ．3 C ．1D ．03．已知四边形ABCD 在映射f ：),(y x →)2,1(+-y x 作用下的象集为四边形D C B A ''''。

四边形ABCD 的面积等于6，则四边形D C B A ''''的面积等于A ．9B ．26C ．34D ．64．已知R y x ∈,，则“1≤xy ”是“122≤+y x ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．图2是函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象，由图象可以看出 A ．0>a ，0>d B ．0<a ，0<d C ．0<a ，0>d D ．0>a ，0<d6．设5log 21=a ，5log 31=b ，5log 2=c ，5log 3=d ，则a,b,c,d 的大小关系是A ．b a c d >>>B ．a b c d >>>C ．a b d c >>>D ．b a d c >>> 7． An equilateral triangle （等边三角形）and a circle have the same center. The area of the triangle not in the circle equals the area of the circle not in the triangle. If the radius of the circle is 2, then the length of a side of the triangle isA ．43πB ．432π C ．433π D ．434π 8．已知数列{}n a 中，31=a ，52=a ，且对大于2的正整数n ，总有21---=n n n a a a ，则2003a 等于A ．5-B ．2-C ．2D ．3 9．等比数列{}n a 中，15361=a ，公比21-=q ，用n P 表示数列的前n 项之积，则n P 中最大的是 A ．9P B ．10P C ．11P D ．12P10．2002年9月28日，“希望杯”组委会第二次赴俄考查团启程，途径哈巴罗夫斯克和莫斯科，两地航程约9000千米，往返飞行所用的时间并不相同，这是因为在北半球的高纬度地区，有股终年方向恒定的西风，人们称它为“高空西风带”，已知往返飞行的时间相差1.5小时，飞机在无风天气的平均时速为每小时1000千米，那么西风速度最接近A ．60千米/小时B ．70千米/小时C ．80千米/小时D ．90千米/小时 二、A 组填空题（每小题5分，共50分）11．函数)0(log )(>=a x x f a ，其中0>a 1≠a ，则方程3)(=x a f 的解集是_______。

高中数学希望杯竞赛高一(复试)(真题含详细答案)高中数学希望杯竞赛高一（复试）真题及详细答案选择题1.选择A，因为只有一种可能。

2.选择C，需要注意集合A的元素是y。

3.选择A，因为等价于|2x-1|<1/3.4.选择B，可以使用特殊值法，取等边三角形即可；事实上，在锐角三角形中，恒有sinA>cosB。

这里A、B位置可交换。

5.选择B，因为a=1/(1-a)无实数解，故而不可能只有1个元素。

设a是其元素，1/(1-a)也是其元素且不等于a，于是1/[1-1/(1-a)]也是其元素，令它等于a，此时有解于是A={2,1/2,-1}。

6.题目遗漏，无法回答。

7.选择D，需要注意旋转体的上下差异。

可以取下面的一半来算：先将下面的一半分成两部分，然后相加即可。

8.选择D，需要设直线交y轴于D。

∠BOA=120°，于是r=4/√3，然后解△BOD，正弦求出面积，余弦求BD，解得距离。

9.选择B，需要理解题意。

先算得y=(x+2)(x+2)-7，作出两个函数的图像，简单看一下即可。

10.选择D，可以使用特殊值法，算出a1，a2即可。

填空题11.填1/2012，因为令x=1，迭代前面几个，找出规律。

12.填-1，需要注意，360/(a-x)和-360/(a-x)都是A中元素，两者的x和为2a，而360的正因子共有4*3*2=24个，故而2a*24=336，解得a=7/13.简单，注意到a为负！令a=-1即可。

14.填-√3或√3，将集合A化简，可得x=sina。

y=1+cosa，于是x^2+(y-1)^2=1，和直线相切。

15.填105，两小时中行驶的路程为210或110，除以2即可。

16.填35，需要变形，y=(2011x)/(x-2011)，先考虑正整数情况，由于2011为素数，故而x-2011=1或x-2011=2011或x-2011为正整数，而x/(x-2011)=1+2011/(x-2011)，所以x-2011=1或x-2011=2011.注意到x，y位置可互换。

第30届i希望杯数学竞赛试题高一一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. 根号3B. 1.1010010001...C. πD. 0.33333...2. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(-1)的值。

A. 6B. 4C. 2D. 03. 如果一个圆的半径为r，那么它的周长是2πr。

当r=4时，圆的周长是多少？A. 8πB. 12πC. 16πD. 20π4. 一个等差数列的首项是5，公差是3，那么第10项是多少？A. 28B. 32C. 35D. 405. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，根据勾股定理，这个三角形是什么形状？A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。

7. 如果一个二次方程x^2 + 4x + 4 = 0，那么它的根是________。

8. 一个圆的面积是πr^2，当r=5时，圆的面积是________。

9. 一个等比数列的首项是2，公比是2，那么第5项是________。

10. 已知一个函数y = kx + b，当x=1时，y=3；当x=2时，y=5。

求k和b的值，k=________，b=________。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 解不等式：3x - 5 > 2x + 1。

12. 证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是存在的。

13. 已知函数g(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2，求g(x)的极值点。

14. 一个班级有50名学生，其中20名男生和30名女生。

如果随机选择一名学生，求选中男生的概率。

四、证明题（每题5分，共10分）15. 证明：对于任意实数a和b，(a + b)^2 ≤ 2(a^2 + b^2)。

16. 证明：如果一个三角形的内角和为180度，那么这个三角形是平面上的三角形。

第十届“新希望杯”高一A 卷参考答案一、选择题（每小题5分，共40分） 1．C2．B3．A .4．C 5．A 6．D 7．C 8．B二、填空题（每小题6分，共48分）9．(2-，6) 10．138⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11．612．11(1)23nn --⋅⋅13．214115．()1,7 16．π三、解答题（17题、18题14分，19题16分，20题18分）17．解：（1）对集合A 由2280x x --+>，解得(42)A =-，；对集合B 有2111y x x =++-+，则1y ≥或1y ≤-，(1221)B ⎤⎡=-∞--+∞⎦⎣，，.故(42212212)A B ⎤⎡=----⎦⎣，，.（2）∵R ðA =][(42)-∞-+∞，，，由2(4)()0z az a+-≤知0a ≠.当0a >时，由22(4)()0z z a +-≤知224C a ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，，不满足C ⊆R ðA ；当0a <时，由22(4)()0z z a +-≥知]22(4)C a ⎡=-∞-+∞⎢⎣，，. 欲使C ⊆R ðA ，则222a ≥，10a -≤<. 综上整数1a =-.18．解：（1）观察可得点(01)(31)(05)A B C ，，，，，，经过变化后在45斜坐标系中的对应点1(0)2A '，、1(3)2B '，、 5(0)2C '，，所以有(3,0)(0,2)(3,2)A B A C B C ''''''===-，，，同时32A B A C ''''==，. 新坐标系xOy '中两坐标系夹角为45，则边A B ''上的高为22sin 45=故△A B C '''的面积13222A B C S A B '''∆''==（2）∵点D 分A B ''所成的比为λ，且由0>λ， ∴A DDB '='λ，即33(0)(0)11A D DB ''==++，，，λλλ.分别化简(1)(2)=(6(1)2(2))x A D B C '''=+-++-+，λλλλ；3(3)(2(3))1y B D A C '''=+-=--+，λλλ. ∵0x y ⋅>，∴[]236(1)()2(2)2(3)(2)(223)01+--+-=--->+λλλλλλ. 由22230--<λλ<<λ0<<λ19．解：(1)∵()g x 的函数图象与x 轴的一个交点坐标为(3,0)-，∴ 1()()(3)g x a x x x =-+，其中1x 是与x 轴的另一个交点横坐标.又24211(1)((5)4(1))g x a x x x x +=+-+-，2x -整除2(1)g x +， 所以2x =是方程4211((5)4(1))0a x x x x +-+-=的一个解，0a ≠， 则11164(5)4(1)0x x +-+-=，即15x =，进一步有()(5)(3)g x a x x =-+. 已知(4)7g =，那么可得1a =-，函数2()(1)16g x x =--+. 而()g x 的函数图象是由函数()f x 按向量(1,16)m =平移后得到的， 则22()(11)1616f x x x =--++-=-. (2)对任意的x ，都有()16g x n x -≤恒成立，当0n =时，2()(1)1616g x x =--+≤，成立，满足条件；当0n >时，2(2)10x n x -+--≤恒成立，则2(2)40n ∆=--≤，解得04n <≤； 当0n <时，2(2)10x n x -++-≤恒成立，则2(2)40n ∆=+-≤，解得40n -≤<， 综上所述实数n 的取值范围为44n -≤≤.20．解：（1）根据C n m 的定义可得C 2(1)2nn n -=，而2(1)(32)12n n n -+=-+C 2n ，∴C 21n n S +=21(1)(32)(1)2n n n n S n S --+--= C 2n n S 21(1)()n n n S S -+--，∴C 2n1()n n S S +-21(1)()n n n S S -=--，进而有递推关系式21212(1)C n n n a n n a n+-+==. 已知11a =，利用“迭乘”原理得1211112(1)2221(1)2(1)1n n nn n n a a a n n a a n a a a n n ++-+⨯=⋅⋅=⋅⋅=+⋅-. 故通项公式12n n a n -=⋅，经检验当1n =时，也满足此式.（2）存在.理由如下： 由(1)知12112122322n n n S a a a n -=+++=+⨯+⨯++⋅，①231222232(1)22n n n S n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，②用②-①可得1231112(12)1(2222)21212n n n n n S n n -----=--+++++⋅=--+⋅-(1)21n n =-⋅+.显然{}n S 是单调递增的，又891793,4097S S ==，故存在k ∈N *，使得任意n k ≥，都有2014n S >，并且k 的最小值为9.。

希望杯高中组试题及答案一、选择题（每小题3分，共30分）1. 下列哪项是光合作用的主要产物？A. 氧气B. 二氧化碳C. 水D. 葡萄糖答案：D2. 欧姆定律描述了电压、电流和电阻之间的关系，其公式为：A. V = IRB. V = RIC. I = VRD. I = R/V答案：A3. 地球的大气层中，最外层的层是：A. 对流层B. 平流层C. 热层D. 电离层答案：C4. 在数学中，一个数的平方根是：A. 一个数的两倍B. 一个数的一半C. 一个数的倒数D. 一个数的相反数答案：C5. 以下哪个选项是描述细胞核功能的？A. 细胞核是细胞的能量工厂B. 细胞核是细胞的控制中心C. 细胞核是细胞的废物处理中心D. 细胞核是细胞的保护屏障答案：B6. 以下哪项是描述DNA的？A. 双螺旋结构B. 单螺旋结构C. 线性结构D. 三螺旋结构答案：A7. 以下哪个选项是描述元素周期表的？A. 按照原子序数排列的元素列表B. 按照原子质量排列的元素列表C. 按照元素颜色排列的元素列表D. 按照元素的化学性质排列的元素列表答案：A8. 以下哪个选项是描述牛顿第一定律的？A. 物体在没有外力作用下会保持静止或匀速直线运动B. 物体在受到外力作用下会加速C. 物体在受到外力作用下会减速D. 物体在没有外力作用下会不断加速答案：A9. 以下哪个选项是描述生态系统中能量流动的？A. 能量在生态系统中是循环的B. 能量在生态系统中是单向流动的C. 能量在生态系统中是双向流动的D. 能量在生态系统中是随机流动的答案：B10. 以下哪个选项是描述光的波粒二象性的？A. 光同时具有波动性和粒子性B. 光只具有波动性C. 光只具有粒子性D. 光既不是波也不是粒子答案：A二、填空题（每小题4分，共20分）1. 地球的自转周期是________小时。

答案：242. 牛顿的第二定律公式为________。

答案：F = ma3. 人体中最大的细胞是________。

“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题............................................. 003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题............................................. 010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题............................................. 018-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题............................................. 024-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题............................................. 032-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题............................................. 038-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题............................................. 048-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题............................................. 056-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题............................................. 064-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 .......................................... 071-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题........................................... 078-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题........................................... 085-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题........................................... 096-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题........................................... 103-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题............................................ 111-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题........................................... 118-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题........................................... 127-12918.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题........................................... 136-13819.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题........................................... 145-14720.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题........................................... 148-15121.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题....................................... 159-16122.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题....................................... 167-16923.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题....................................... 171-17424.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 176-17825.希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题....................................... 182-18426.希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 186-18927.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题....................................... 193-19628.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题....................................... 198-20029.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题 (203)30.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题 (204)31.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第一试试题....................................... 213-21832.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第二试试题 (204)33.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第一试试题....................................... 228-23334.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第二试试题....................................... 234-23835.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第一试试题....................................... 242-246 26.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第二试试题....................................... 248-25137.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第一试试题....................................... 252-25638.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第二试试题....................................... 257-26239.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第一试试题....................................... 263-26620.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第二试试题....................................... 267-27121.希望杯第二十一届（2010年）初中一年级第一试试题................................... 274-27622.希望杯第二十二届（2011年）初中一年级第二试试题................................... 285-28823.希望杯第二十三届（2012年）初中一年级第二试试题................................... 288-301希望杯第一届（1990年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( )A．a，b都是0．B．a，b之一是0．C．a，b互为相反数．D．a，b互为倒数．2．下面的说法中正确的是( )A．单项式与单项式的和是单项式．B．单项式与单项式的和是多项式．C．多项式与多项式的和是多项式．D．整式与整式的和是整式．3．下面说法中不正确的是( )A. 有最小的自然数．B．没有最小的正有理数．C．没有最大的负整数．D．没有最大的非负数．4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( )A．a，b同号．B．a，b异号．C．a＞0．D．b＞0．5．大于－π并且不是自然数的整数有( )A．2个．B．3个．C．4个．D．无数个．6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身．这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A．0个．B．1个．C．2个．D．3个．7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( )A．a大于－a．B．a小于－a．C．a大于－a或a小于－a．D．a不一定大于－a．8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数．B．乘以同一个整式．C．加上同一个代数式．D．都加上1．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( )A．一样多． B．多了．C．少了．D．多少都可能．10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( )A．增多．B．减少．C．不变．D．增多、减少都有可能．二、填空题（每题1分，共10分）1. 21115160.01253(87.5)(2)4571615⨯-⨯-÷⨯+--= ______． 2．198919902－198919892=______． 3.2481632(21)(21)(21)(21)(21)21+++++-=________. 4. 关于x 的方程12148x x +--=的解是_________. 5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______．6.当x=-24125时,代数式(3x 3－5x 2+6x －1)－(x 3－2x 2+x －2)+(－2x 3+3x 2+1)的值是____． 7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式272711()(0.16)()73724a b b a a b --++-+的值是______. 8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克．9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的13.如果工作4天后,工作效率提高了15,那么完成这批零件的一半，一共需要______天．10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合．答案与提示一、选择题1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D 9．C 10．A提示：1．令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此2．x2，2x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A．两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B．两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D．3．1是最小的自然数，A正确．可以找到正所以C“没有最大的负整数”的说法不正确．写出扩大自然数列，0，1，2，3，…，n，…，易知无最大非负数，D正确．所以不正确的说法应选C．5．在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C．6．由12=1，13=1可知甲、乙两种说法是正确的．由(－1)3=－1，可知丁也是正确的说法．而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于它本身”的说法不正确．即丙不正确．在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙1个说法不正确．所以选B．7．令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D．8．对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数．所以排除A．我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B．若在方程x－2=0两边加上同一个代数式去了原方程x=2的根．所以应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D．9．设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a；第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C．10．设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为设河水速度增大后为v，(v＞v0)则往返一次所用时间为由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v所以(a+v0)(a+v)＞(a－v0)(a－v)∴t0－t＜0，即t0＜t．因此河水速增大所用时间将增多，选A．二、填空题提示：2．198919902－198919892=(19891990+19891989)×(19891990－19891989) =(19891990+19891989)×1=39783979．3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28－1)(28+1)(216+1)=(216－1)(216+1)=232－1．2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=45．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)=－2500．6．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)=5x+27．注意到：当a=－0.2，b=0.04时，a2－b=(－0.2)2－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0．8．食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40%解得：x=45000（克）．10．在4时整，时针与分针针夹角为120°即希望杯第一届（1990年）初中一年级第2试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是( )A．a%．B．(1+a)%． C.1100aa+D.100aa+2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时( )A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．3.已知数x=100,则( )A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则111,,ab b a c-的大小关系是( )A.111ab b a c<<-; B.1b a-<1ab<1c; C.1c<1b a-<1ab; D.1c<1ab<1b a-.5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有( )A．2组．B．6组．C．12组．D．16组．二、填空题（每题1分，共5分）1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m的数值是______．3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=13S1=13S2,求S．3.求方程11156x y z++=的正整数解.答案与提示一、选择题1．D 2．C 3．C 4．C 5．D提示：1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是前年比去年少这个产值差占去年的应选D．2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的红墨水的数量是①乙杯中减少的蓝墨水的数量是②∵①=②∴选C．∴x－25=(10n+2+5)2可知应当选C．4．由所给出的数轴表示（如图3）：可以看出∴①＜②＜③，∴选C．5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5∵x，y是整数，∴2x+3y，x+y也是整数．由下面的表可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．二、填空题提示：1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy及x*m=x(m≠0)得a·0+bm-c·0·m=0，∴bm=0．∵m≠0，∴b=0．∴等式改为x*y=ax-cxy．∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1．∴题设的等式即x*y=5x-xy．在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．3．∵打开所有关闭着的20个房间，∴最多要试开4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy-4y2-x+17y-15中划波浪线的三项应当这样分解：3x -52x +3现在要考虑y，只须先改写作然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=5．5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，显然，这个和被3除时必得余数2．另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方(3b)2=9b2(3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)2=9b2+12b+4=(9b2+12b+3)+1被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．三、解答题1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．甲、乙分手后，乙继续前行的路程是这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得最大值30(48-4·8)=480（公里），因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．2．由题设可得即2S-5S3=8……②∴x，y，z都＞1，因此，当1＜x≤y≤z时，解(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四组．由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．希望杯第二届（1991年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．数1是( )A．最小整数．B．最小正数．C．最小自然数．D．最小有理数．2．若a＞b，则( )A.11a b; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|．D．a2＞b2．3．a为有理数，则一定成立的关系式是( )A．7a＞a．B．7+a＞a．C．7+a＞7．D．|a|≥7．4．图中表示阴影部分面积的代数式是( )A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．5．以下的运算的结果中，最大的一个数是( )A．(-13579)+0.2468; B.(-13579)+1 2468;C.(-13579)×12468; D.(-13579)÷124686．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是( ) A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132．D．5.3692．7.如果四个数的和的14是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( )A．16． B．15． C．14． D．13．8.下列分数中,大于-13且小于-14的是( )A.-1120; B.-413; C.-316; D.-617.9.方程甲:34(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( )A.甲方程的两边都加上了同一个整式x ．B.甲方程的两边都乘以43x; C. 甲方程的两边都乘以43; D. 甲方程的两边都乘以34. 10．如图: ，数轴上标出了有理数a ，b ，c 的位置,其中O 是原点,则111,,a b c的大小关系是( ) A.111a b c>>; B.1b >1c >1a ; C. 1b >1a >1c ; D. 1c >1a >1b .11.方程522.2 3.7x =的根是( ) A ．27． B ．28． C ．29． D ．30． 12.当x=12,y=-2时,代数式42x y xy -的值是( )A ．-6．B ．-2．C ．2．D ．6．13．在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( )A ．225．B ．0.15．C ．0.0001．D ．1．14.不等式124816x x x xx ++++>的解集是( ) A ．x ＜16． B ．x ＞16．C ．x ＜1． D.x>-116. 15．浓度为p%的盐水m 公斤与浓度为q%的盐水n 公斤混合后的溶液浓度是 ( ) A.%2p q +; B.()%mp nq +; C.()%mp nq p q ++;D.()%mp nq m n++.二、填空题（每题1分，共15分）1． 计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______． 2． 计算：-32÷6×16=_______.3．计算：(63)36162-⨯=__________.4．求值：(-1991)-|3-|-31||=______．5．计算:111111 2612203042-----=_________.6．n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009．则n的最小值等于______．7. 计算：19191919199191919191⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=_______.8. 计算：15[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.9.在(-2)5,(-3)5,512⎛⎫-⎪⎝⎭,513⎛⎫-⎪⎝⎭中,最大的那个数是________.10．不超过(-1.7)2的最大整数是______．11.解方程21101211,_____. 3124x x xx-++-=-=12.求值:355355113113355113⎛⎫---⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________.13．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______．14.一个数的相反数的负倒数是119,则这个数是_______.15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数之和都相等,则ab cd efa b c d e f+++++++=____.答案与提示一、选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D提示：1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小自然数．选C．有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22＜(-3)2，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B．3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B．4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C．5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

希望杯高一数学竞赛试题希望杯数学竞赛是一项旨在激发学生学习数学兴趣和提高数学素养的竞赛活动。

以下是一份模拟的高一数学竞赛试题，供参赛学生练习使用。

一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值为：A. 6B. 4C. 2D. 02. 已知\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形ABC的三边长，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定3. 集合\( A = \{ x | x^2 - 5x + 6 = 0 \} \)，求集合\( A \)的元素个数：A. 1B. 2C. 3D. 44. 若\( \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \)，求\( \sin\theta \cdot \cos \theta \)的值为：A. 1B. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{\sqrt{2}}{4} \)二、填空题（每题4分，共16分）5. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)的值为：________。

6. 若\( x \)，\( y \)满足\( 2x - 3y = 7 \)，求\( 4x + 6y - 14 \)的值为：________。

7. 已知圆的半径为5，圆心到直线\( x + y - 7 = 0 \)的距离为4，则该直线与圆的位置关系是：________。

8. 若\( \log_2 3 = a \)，求\( \log_{\frac{1}{2}} 3 \)的值为：________。

三、解答题（每题14分，共56分）9. 已知函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1 \)，求证：对于任意实数\( x \)，都有\( f(x) \geq -1 \)。

第四届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试 班级 姓名一、 选择题1、如果函数)(x f y =有反函数，函数)(x f y =的图象过点),(b a -，则---------（ ）（A ）)(1x f y -=的图象过点),(b a -，)(1y f x -=的图象过点),(a b -。

（B ）)(1x fy -=的图象过点),(a b -，)(1y f x -=的图象过点),(b a -。

（C ）)(1x f y -=的图象过点),(a b -，)(1y f x -=的图象过点),(b a -。

（D ）)(1x f y -=的图象过点),(a b --，)(1y f x -=的图象过点),(b a --。

2、函数)(x f y =的定义域和值域都是-R ，那么函数)(x f y --=的图象----（ ）（A ）在第一象限（B ）在第二象限（C ）在第三象限（D ）在第四象限 3、正方体的对角线长度是3，则正方体的表面积是------------------------------（ ）（A ）33 （B ）6 （C ）36 （D ）124、三棱锥A-BCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则C 在面ABD 内的射影是ABD 的（A ）重心 （B ）垂心 （C ）外心 （D ）内心------------------------------（ ）5、奇函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，函数)(1x fy -=在),0[+∞上是减函数，则)(x f y -=在]0,(-∞上-----------------------------------------------------------------（ ）（A ）是增函数 （B ）是减函数 （C ）有时是增函数，有时是减函数（D ）有时是增函数，有时是减函数，有时是常函数6、函数)(a x f y -=与函数)(x a f y -=的图象间的关系是--------------------（ ）（A ）关于y 轴对称 （B ）关于x 轴对称（C ）关于直线a x 2=对称 （D ）关于直线a x =对称7、对于任何Z k ∈，都有)cos()sin(ππαπαk k ++=+，则α的值是------------（ ） （A ）4ππ+k （B ）43ππ+k （C ）2ππ+k （D ）43ππ-k （以上Z k ∈） 8、不等式0>tgx 的解集是P 1，不等式0cos sin >⋅x x 的解集是P 2，不等式0csc sec >⋅x x 的解集是P 3，则有------------------------------------------------------（ ）（A ）321P P P ==（B ）321P P P =⊂（C ）321P P P ⊂=（D ）123P P P =⊂9、用棱长为a 的正方体，削成一个体积最大的正四面体，这个正四面体的表面积是 （A ）243a （B ）223a （C ）23a （D ）232a -------------（ ） 10、正n )3,(≥∈n N n 棱台上、下底面、侧面的面积依次是21,S S )0(12>>S S ，侧S ，若侧S S S =-)(212，则棱台侧面与底面所成二面角的大小是------------（ ）（A ）30 （B ）45 （C ）60 （D ）7511、三棱锥P-ABC 中，APB=BPC=CPA=90，M 为底面ABC 内的任意一点，APM=α，BPM=β，36sin =α，66cos =β，则CPM 的值是----------（ ） （A ）30 （B ）45 （C ）60 （D ）7512、如果对任何),1(+∞∈x ，都有βαx x>，则有理数α、β间的关系是-------（ ） （A ）α0>，β0<（B ）α0<，β0>（C ）α>β（D ）|α|>|β|13、定义在R 上的函数)(x f y =有反函数，则函数b a x f y ++=)(的图象与b a x f y ++=-)(1的图象间的关系是-------------------------------------------------（ ）（A ） 关于直线b a x y ++=对称 （B ）关于直线b a y x ++=对称 （C ）关于直线b a x y -+=对称 （D ）关于直线b a y x -+=对称14、函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=。

2017年高中“希望杯”浙江省二试试题一、选择题：本大题共10个小题,每小题4分,共40分.1.已知锐角α终边上一点的坐标为(2sin 3,2cos3)-，则α=（ ） A ．3π- B ．3 C ．32π-D ．32π-2.若定义在R 上的函数(1)y f x =-是奇函数，则()f x 的图象一定过点（ ） A ．（0，0） B ．（1，0） C ．（-1，0） D ．（1，-1）3.在集合(0,1)(1,)+∞上定义运算“★”：{|l o g ,,}ax A A x b a b B =∈∈★B=，则集合11{,}2{2,4}4★的真子集的个数是（ ）A ．1B ．3C ．7D ．15 4.Two sets expressed asA=2{(,)|sin 1.2sin 1,}x y y x x x R =-+∈,B=sin {(,)|2,}xx y y x R -=∈then the number ofelement for AB is ( )A ．0B ．1 C.2 D ．infinite5.设32()366f x x x x =-+-，且()1,()5f a f b ==-，则a b += （ ） A ．-2 B ．0 C.1 D ．26.若0a ≠，则等比数列333248log 5,log 5,log 5a a a a a a ++++++的公比是（ ）A ．12 B ．2 C.13D ．3 7.`2()(1)()(0)31x F x f x x =-≠+是偶函数，且()f x 不恒等于0，则()f x （ ）A ．是奇函数B ．是偶函数 C.可能是奇函数，也可能是偶函数 D ．既不是奇函数，也不是偶函数8.对于方程||0x x px q ++=进行讨论，下面有四个结论：①至多有三个实根.②至少有一个实根.③仅当240p q -≥时才有实根.④当0p <和0q >时，有三个实根.A ．1个B ．2个 C.3个 D ．4个9.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，15,10,6AB AA AD ===，点E 在1DD 上，点F在AD 上，点G 在AB 上，且1:1:2,:2:3,:3:4DF FA D E ED BG GA ===，则EFG ∆（图中阴影部分）在平面11BCC B 上正投影的面积是（ ）A ．8B ．10 C.12 D ．1510.设定义在R 上的函数()f x 满足3()()2f x f x =-+，又知(0)2,(1)2,(2)3f f f =-==，则(1)(2)(3)(2009)f f f f ++++的值等于（ ）A ．2009B ．2010 C.2011 D ．2012第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分40分）11.已知函数222,0,()2,0.x x x f x x x x ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩若2(3)(2)f a f a ->，则实数a 取值范围是 ．12.设432()f x x ax bx cx d =++++，其中,,,a b c d 是常数，如果(1)10,(2)20,(3)30f f f ===，则(10)(6)f f +-= ．13.用[]x 表示不超过实数x 的最大整数，若0[sin(10)1k ⨯=-，则最小正整数k 为 ．14.若13(2)2()3(0)f x f x x x+=≠，则()f x = ．15.若(1sin )(1sin )y a x a x =++--，当1sin 0x +=时，y 取得最小值；当sin 0a x +=时，y 取得最大值，则a 的取值范围是 ．16.已知数列{}n a 满足*11210()n n n a a a n N ++++=∈110,n n a b a c==+，若{}n b 是等差数列，且其前n 项和为n S ，则2013S = ．17.不等式组424222log (824)33sin cos 2y y x x x y ππ-+⎧-+≤⎪⎨≥⎪⎩的解集是 ．18.If a sequence {}n a is definde as 1125,21n n a a a n +=-=-,then the minimum value ofna nis ． 19.已知函数()(*),f n k n N k =∈是0.9196461178┅ 的小数点后的第n 个数字，则5(((5)))8(((8)))f f f f f f += ．20.设:p 函数()log(101)xf x ax =+-是偶函数，:q 函数42()2x xag x -=是奇函数，则p 是q 的 条件（填必要不充分，或充分不必要，或充要，或既不充分也不必要）． 三、解答题 每题都要写出推算过程.21. 已知数列}{n a ，其中.2,3211n n n a a a a +==+ （1）求}{n a 的通项公式；（2）求满足20121>n a 的n 的最小值.22.在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，已知5,8==c b ，且)sin sin )(sin (C B A c b a -+++ .sin )32(B a +=（1）求角C 的大小； （2）求.ABC S ∆23.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.0),1(log ,0),1(log )(212x x x x x f（1）判断函数)(x f y =的奇偶性；（2）对任意两个实数21,x x ，求证：当021>+x x 时，0)()(21>+x f x f ； （3）对任何实数0)23()(,2≥-+-x xe f a ef x 恒成立，求实数a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CCCDD 6-10:CABCD二、填空题11. 31<<-a 12.8104 13. 19 14.xx 56109-15.[－1，0]16. 2027091 17.)}1,2)(1,2(|),{(---y x 18.54119.8620.充要三、解答题21.（1）由n n n a a a 221+=+，得21)1(1+=++n n a a由题设，易知 0>n a于是2212)1(log )1(log +=++n n a a即)1(log 2)1(log 212+=++n n a a所以)}1({log 12++n a 是以2)13(log 2=+为首项，2为公比的等比数列故nn n a 222)1(log 12=⋅=+-则nn a 221=+ 因此122-=nn a (2)由20121>n a ，即20121122>-n，得2012222>n因为1514221638420122163842=⨯<<=， 所以*,22142N n n∈>即152,22152≥≥n n故4≥n . 因此，所示n 的最小值是22.解：由)sin sin )(sin (C B A c b a -+++.sin )32(B a +=及正弦定理，可得()()(2a b c a b c ab +++-=即2222(2a ab b c ab ++-=+222c a b =+由余弦定理，可得6C π=或56π， 因为b c >，所以 于是，当56C π=时，B 也是钝角，不满足三角形内角和定理， 故 6C π=.(2)图中,ABC ∆可以是锐角三角形，也可以是钝角三角形.从A 作AD BC ⊥于D ，则在Rt ADC ∆中，14,2AD AC DC AC ====又3BD =，所以3BC =+或3BC =-+故162ABC S BC AD ∆=⋅=±+ 23.（1）因为2(0)log (10)0f =+=当0x <时，0x ->，所以12()log (1)f x x =-2log (1)x =--()f x =-即()()f x f x -=-当0x >时，0x -<，所以12()log [1()]f x x =--2log (1)x =-+()f x =-即()()f x f x -=-综上知，()y f x =是奇函数.(2)因为2log y x =是单调递增函数，1u x =+也是单调递增函数，由复合函数的单调性知 当0x ≥时，2log (1)y x =+是单调递增函数 由（1）知由奇函数的单调性，知0x <时，()f x 是单调递增函数 从而()y f x =是定义在R 单调递增上的奇函数， 由021>+x x ，得，12x x >- 所以122()()()f x f x f x >-=- 即0)()(21>+x f x f (3)因为2()(32)0xx f e a f e -+-≥所以2()(32)(23)xx x f e a f e f e -≥--=-于是223xx ea e -≥-即2223(1)2xx x a ee e ≥-+=-+当0x =时，2(1)2xe -+有最小值2, 所以只需2a ≤，就有2()(32)0xx f ea f e -+-≥恒成立，故a 的取值范围是(,2]-∞.。

第20届全国希望杯高一数学邀请赛第二试（第1类）一、选择题（每题4分，40分）1、设的定义域为D ，又()()().h x f x g x =+若(),()f x g x 的最大值分别是M ，N ，最小值分别是m ，n ，则下面的结论中正确的是（ ）A ．()h x 的最大值是M+NB ．()h x 的最小值是m ＋nC ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+D ．()h x 的值域为{|}x m n x M N +≤≤+的一个子集 2、方程log (0,1)x a a x a a -=>≠的实数根的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33、已知函数32()1(0)f x ax bx cx a =++-<，且(5)3f =，那么使()0f x =成立的x 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定的4、设22{(,)|S x y x y =-是奇数，,}x y R ∈,22{(,)|sin(2)sin(2)T x y x y ππ=-＝22cos(2)cos(2),,}x y x y R ππ-∈，则S ，T 的关系是（ ）A ．S ≠⊂T B ．T ≠⊂S C ．S=T D ．S T =Φ5、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x M x N ==∈∈，若{1,2,3}M =，N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ）A ．9B ．6C ．18D ．166、关于x 的整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠中，若a b +是偶数，c 是奇数，则（ ）A ．方程没有整数根B ．方程有两个相等的整数根C ．方程有两个不相等的整数根D ．不能判定方程整数根的情况 7、设x 是某个三角形的最小内角，则cos cos sin22x y x x =-的值域是（ ）A．( B．1(]2C．1(1,]2+ D．8、已知esin tan 的大小关系是（ ）A．sin tan <<< B．sin tan <<<C．tansin <<<D ．tansin <<9、()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ） A ．()f x 的图像关于x ＝2对称 B ．()f x 的图像关于点(4,0)-对称 C ．()f x 的周期为4 D ．()f x 的周期为810、某航空公司经营A,B,C,D 四个城市之间的客运业务，其中部分单程机票的价格如下： A,B 区间：2000元；A,C 区间：1600元；A,D 区间：2500元；B,C 之间：1200元；C,D 区间：900元。

第三届高一试题（决赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题一、单选题1．已知数列{}n a 满足()1112,1n n a a a -+==-+，则2008a 等于（ ）. A ．32- B ．13- C ．1 D ．22．已知20072007sin cos 1x x +=，则对任意0k >，必有（ ）.A ．sin cos 1k k x x +=B ．sin cos 1k k x x +>C ．sin cos 1k k x x +<D ．sin cos k k x x +的值不确定3．集合{}{}1,0,1,2,3,4,5,6M N =-=，映射:f M N →，对任意的x M ∈，都有()()x f x xf x ++是奇数，这样的映射f 的个数为（ ）.A ．122B ．15C ．50D ．274．等差数列{}{},n n a b 的前n 项的和分别为,n n S T ，且41,35n n S n T n =-=+，则118a b =（ ）. A ．8370 B ．4135 C ．4336 D ．以上均不对5．对任意正整数k ，定义()1f k 为k 的各位数字之和的平方，对于2n ≥，令()()()11n n f k f f k -=，则()200711f =（ ）.A ．16B ．49C ．169D ．2566．已知函数()242f x x ax =++在区间[]1,3-上的最小值是1，则=a （ ）A ．12或1112-B ．12 C ．12- D ．12或12-二、填空题7．数列{}n a 中，21121,2n n a a a a n a =++⋅⋅⋅+=，则该数列的前2007项的和是. 8．若实数a b 、()a b ≠ 满足()x a f x x b+=-+的反函数()F x 有对称中心M 则点M 的坐标为. 9．若函数()ππsin ,,33f x x x ω⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，且()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ω的范围是. 10．设m 、n 都是正整数．若关于x 的方程()m cosx n m sinx +=+有实数解，则m 、n 应满足的条件是． 11．设实数a 使得关于x 的一元二次方程2556617150x ax a -+-=的两个根均是整数.则所有这样的a 是.12．不等式2log 1x ≥的解集为.三、解答题13．求函数()22sin 4sin cos cos 1f x a x x x b x =++-的最大值和最小值.14．设给定三个非空数集{}280M x x x k =-+<，{}2430N x x x =-+<，{}210160P x x x =-+<，满足：若a M ∈，则()a N P ∈U ，求实数k 的取值范围.15．已知函数()()2232f x ax a x a -=--+-（a 为负整数），函数()f x 的图象过点()()()()()()2,0,,,m m g x f f x F x pg x f x ⎡⎤-∈==+⎣⎦R .是否存在实数()0p p <，使()F x 在(],3-∞-上为减函数，且在[]3,0-上为增函数.16．正实数000,,a b c 成等差数列，对n +∈N ，11111111143242n n n n n n n n nn n n a a b c b a b c c a b c ---------=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩，已知方程22007200720070a x b x c ++=有两个相等的实根，求00a c 的值.。