Section 2.1 Limits and Continuity 極限與連續【Topic 1. 極限(Limit)】1. 表示法x → c (念法：x 逼近c ) 意指 x 值任意靠近c ，但絕不等於c 值。
2. 對一個函數 f (x ) 而言，若x 逼近c (不等於c )，造成 f (x ) 逼近或等於某個特定L 值，則稱L 為函數 f 在 c 點的極限(值)，可寫成 L x f cx =→)(lim 。
數學家柯西 (Cauchy) 提出極限的定義，稱為極限的δε−定義(δε− definition of a limit ：較適理工學院研讀)。
3. x → c 當x 逼近c 有兩個方向：(1)當 x < c ，則 −→=−L x f cx )(lim ，稱為左極限；(1)當 x > c ，則 +→=+L x f cx )(lim ，稱為右極限。
4. 若極限存在，則 極限 L = 左極限 −L = 右極限 +L 。
(極限的存在性)5. 何時可以直接將x = c 代入函數 f (x ) 即可求得極限 )(lim x f cx →？請參考下列極限規則。
(稍後你會學到，當函數在 x = c 連續時，則極限等於函數值。
)6. 無窮極限與垂直漸近線： 無窮大 ∞ 與負無窮大 – ∞ 本身不是一個數值。
x → ∞ 代表 x 可以無止境的增大；x → – ∞ 代表 x 可以無止境的變小。
∞=→)(lim x f cx 代表當x 逐漸逼近c 時，f (x ) 可以無止境的增大；−∞=→)(lim x f cx 代表當x 逐漸逼近c 時，f (x ) 可以無止境的變小。
當 x 從 c 的左方或右方逼近 c 時，如果 f (x ) 趨近無窮大 (或負無窮大) [即單邊極限即可] ，我們就稱直線 x = c 是 f 函數圖形的一條垂直漸近線。
7. 在無窮遠處的極限與水平漸近線：L x f x =−∞→)(lim 或 L x f x =∞→)(lim 代表當x 在無窮遠處的極限值為 L 。
函数的极限与连续性函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了不同变量之间的关系。
而函数的极限和连续性则是函数理论中的两个重要概念，它们对于理解和分析函数的性质起着至关重要的作用。
一、函数的极限理论在介绍函数的极限之前，我们首先来了解一下函数的定义。
函数是一种将每一个自变量对应到唯一的因变量的规则。
符号表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数的极限是指当自变量趋向于某个值时，因变量的变化趋势。
1.1 无穷大与无穷小在讨论函数的极限时，我们会遇到两类特殊的数：无穷大和无穷小。
无穷大指的是绝对值超过任何有限数的数，记作∞；无穷小指的是绝对值趋近于0的数，记作0。
在函数极限的计算中，无穷大和无穷小起着重要的作用。
1.2 极限的定义和性质对于函数的极限，我们有以下定义：设函数f(x)在a的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，存在一个正数δ>0，使得函数在点a的去心邻域内的所有点x，满足|f(x)-l|<ε，其中l为实数，那么我们称l是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)〖f(x)=l〗。
极限有一些基本的性质，如极限的唯一性、四则运算、初等函数在某点的极限等等。
这些性质为我们进行函数极限的计算和推导提供了便利。
二、函数的连续性理论函数的连续性是指函数在某一点上的值与该点的极限值相等。
简单来说，就是函数图像在该点上没有断裂或间断。
连续性是理解和分析函数性质的基础。
2.1 连续性的定义设函数f(x)在点a的某个邻域内有定义，如果lim┬(x→a)〖f(x)=f(a)〗，那么我们称函数f(x)在点a处连续。
连续性的定义要求极限值和函数值相等，也就是说，函数在断点上没有间断或突变。
如果一个函数在其定义域上的每个点都连续，则称该函数在整个定义域上连续。
2.2 连续函数与间断点基于连续性的概念，我们可以将函数分为连续函数和间断函数两类。
连续函数是指在定义域上的每个点都连续的函数，而间断函数则是指在某些点上不连续的函数。
