实变考试参考资料

14、建立下面集合之间的具体双射 1）（-1,1）与[-1,1] 2)实数轴和全体无理数3）R 3中除去一点的单位球面与全平面R 24）平面中的开圆盘{（x,y ）:x 2+y 2<1}与闭圆盘{（x,y ）:x 2+y 2≤1}解：（1）、从（-1,1）与[-1,1]分别取出两个数集A={r 1,r 2,r 3,……，r n }与B={-1,1，r 1，r 2，……，r n-2}则A 、B 之间可定义以下双射：Ф(r 1)=-1, Ф(r 2)=1, Ф(r n )=r n (n>2)然后定义Ф：(-1,1)︱A →[-1,1]︱B x →x 得Ф（-1,1）→[-1,1]是所求双射（2）、从R 与R\Q 中分别取出两个可数集A=Q ∪B 与B=2，则A 与B 之间可定义如下双射：Ф2然后定义：Ф：R|A →(R\Q)|B x →x得：Ф：R →R\Q 是实数轴与全体无理数之间的双射。

(3)、假设单位球面上除去P 点按以下步骤建立双射： i)球心为O P 点关于O 点对称的点为球内的点Q 以Q 为切点作一个切面R 2以O 为原点作一直角坐标系ii ）过切点Q 连接PQ iii ）连接P 点与球面上异于P 点的任一点M 并延长，点肯定交R 2与一点记为M ’ 这就建立了R 3中除去一点的单位球面与全平面R 2之间的双射。

(4)、首先两个同心圆周之上的点之间可建立一一对应：做圆周集合子列 A n ={(x,y):x 2+y 2=12n } n ∈N 则 令E 1=n-2∞A n ⊂{(x,y):x 2+y 2<1}E 2=n-1∞ A n ⊂{(x,y):x 2+y 2≤1}且 E 1~E 2 又{(x,y):x 2+y 2<1}| E 1={(x,y):x 2+y 2≤1}|E 2 ，令B 1=(x,y):x 2+y 2<1}B 2={(x,y):x 2+y 2≤1}则 B 2=(B 1|E 1) E 2 令 Ф((x,y))= （x 1,y 1）若（x,,y ）∈B 1|E 1或（x 2,y 2）若（x,y ）∈E 2 由此得：Ф是B 1到B 2的双射。

《实变函数》期末考试试题汇编目录《实变函数》期末考试模拟试题（一） (2)《实变函数》期末考试模拟试题（二） (7)《实变函数》期末考试模拟试题（三） (13)《实变函数》期末考试模拟试题（四） (18)《实变函数》期末考试模拟试题（五） (27)《实变函数》期末考试模拟试题（六） (30)《实变函数》期末考试模拟试题（七） (32)《实变函数》期末考试模拟试题（八） (36)《实变函数》期末考试模拟试题（九） (41)《实变函数》期末考试模拟试题（十） (47)《实变函数》期末考试题（一） (57)《实变函数》期末考试题（二） (63)《实变函数》期末考试模拟试题（一）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（ A ）（A ）(\)A B B A B ⋃=⋃ （B ）(\)A B B A ⋃= （C ）(\)B A A A ⋃⊆ （D ）(\)B A A ⊆ 2、若n E R ⊂是开集，则（ B ）（A ）E E '⊂ （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ）（A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0Ef x x =⎰，则（ A ）（A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ）（A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ⊂至少有一个内点，则（ B 、D ）（A ）*m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集3、设[,]E a b ⊂是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）（A ）()f z +和()f z -有且仅有一个在E 上L 可积 （B ）()f z +和()f z -都在E 上L 可积 （C ）()f z 在E 上不一定L 可积 （D ）()f z 在E 上一定L 可积5、设()f z 是[,]a b 的单调函数，则（ A 、C 、D ）（A ）()f z 是[,]a b 的有界变差函数 （B ）()f z 是[,]a b 的绝对连续函数 （C ）()f z 在[,]a b 上几乎处处连续 （D ）()f z 在[,]a b 上几乎处处可导 三、填空题（将正确的答案填在横线上）1、设X 为全集，A ，B 为X 的两个子集，则\A B=C A B ⋂ 。

做试题,没答案?上自考365,网校名师为你详细解答!浙江省2007年10月高等教育自学考试实变函数与泛函分析初步试题课程代码：10023一、单项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.已知Z 和Q 分别为整数集和有理数集，记A=［0，1］-Q ，则( ) A Z Q =>A B. Z Q ==A C. Z Q >>A D. Z Q =<A2.若A=［0,1］-{31,21,1，…},B=［2,3］∩Q ,C=［5,6］-Q ,则A ∪B ∪C 的测度为( ) A.1B.2C.3D.无意义 3.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--∈ 其他,1]3,1[,1]1,0[,22x x Q x x ∩Q ,则⎰］，［80f(x)dx=( )A.0B.1C.2D.8二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）4.集列的上限集与下限集一定不相等.( )5.开集一定是博雷尔（Borel ）集.( )6.设E ⊂R 1，E 是E 的闭包，mE=0，则m(E )=0.( )7.设f(x)在［0，1］的一个稠密集上处处不连续，则f(x)一定不是Riemann 可积函数.( )8.定义在零测集上的函数一定是可测函数.( )9.定义在区间上的单调函数的导数几乎处处存在.( )三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

10.设A 2n-1=(0,sin n 1)，A 2n =(n1,n),则集列{A n }的上限集为___________. 11.球面S 2={（x,y,z)|x 2+y 2+z 2=1}的基数为___________.12.设F={(x,y)|x 2+y 2≤1},E=F ∪⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=)1,0(,1sin |),(x x y y x ，则E 的开核E =___________.13.记E 为康托集和有理数集的并集，则mE=___________. 14.设函数f(x)在［0，1］上单调，E 是f(x)的连续点全体，则mE=___________.15.f(x)是可测集E 上的简单函数是指___________.16.函数f(x)在区间［a,b ］上的黎曼可积的充要条件是___________.17.f(x)与g(x)在E 上几乎处处相等是指___________.18.举一个函数列{f n (x)}的例子，使得{f n (x)}在［0,∞)上处处收敛于0，但{f n (x)}在［0,∞)上不依测度收敛于0，例如f n (x)=___________.19.区间［a,b ］上的函数F(x)是f(x)的一个不定积分是指________________________________________________________.四、完成下列各题(本大题共4小题，每小题9分，共36分)20.设f(x)是(-∞,+∞)上的实值连续函数，证明对于任意常数a,E={x|f(x)>a}是开集，而F={x|f(x)≥a}总是闭集.21.设E 是［0,1］中的不可测集，令f(x)⎩⎨⎧∉-∈,,,E x x E x x ，问f(x)和|f(x)|在［0,1］上是否可测？为什么？22.设f(x)在E 上可积分，记e n =E ［|f|≥n ］，证明0lim =∙∞→n n me n . 23.问函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=∈0,0]1,0(,1sin 2x x x x 在［0,1］上是不是有界变差函数？为什么？。

上单调函数的不连续点所成之集的测度等于n上的广11 ()k E f ak∞=≥+=_________.7．设f是[a上的单调函数，则8．设f是可测集E上的非负可测函数，则_________.9．区间[上的有界是10．设F (x)是定义在的充要条件是：1jk j k A∞∞==； B.1jk j kA∞∞==C.1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===； D. 1lim k j k k j kA A ∞∞→∞===。

2．设f (x )是E 上的可测函数，则对任意实数a ，有 ( )A. E [x ; f (x ) >a ]是开集；B. E [x ; f (x ) ≥ a ]是闭集；C. E [x ; f (x ) >a ]是可测集；D. E [x ; f (x ) = a ]是零测集。

3．下列断言中错误的是 ( )A. 有理点集为零测集；B. Cantor 集为零测集；C. 零测集的子集是零测集；D. 无穷个零测集的并是零测集。

4．设f (x )为可测集E 上的可测函数，若()Ef x dx <+∞⎰，则下列断言错误的是 ( )A. f (x )在E 上L-积分存在；B. f (x )在E 上L-可积；C. f (x )在E 上未必L-可积；D. f (x )在E 上a.e.有限。

5．设{}k f 是nE ⊂上的可测函数列，lim ()k k f x →∞存在，则lim ()k k f x →∞是 （ ）A.简单函数；B.连续函数；C.可测函数；D.单调函数。

6．设f 是[,]a b 上有界变差函数，则有 ( )A. ()f x 连续；B. ()f x '存在；C ．()f x ' a.e.存在；D. ()f x ''存在。

7．设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E A 是 （ ）.A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零； .C 不可测集； .D 以上都不对。

2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。

考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。

请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。

2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。

3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f 是L 可积的。

4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -， 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。

5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就试卷 共 8 页 第 2 页得到列维定理的结论：。

一、单项选择题1．下列命题或表达式正确的是 DA ．}{b b ⊂B ．2}2{=C ．对于任意集合B A ,，有B A ⊂或A B ⊂D ．φφ⊂ 2．下列命题不正确的是 AA ．若点集A 是无界集，则+∞=A m *B ．若点集E 是有界集，则+∞<E m *C ．可数点集的外测度为零D ．康托集P 的测度为零 3．下列表达式正确的是 DA.}0),(m ax {)(x f x f -=+B ．)()()(x f x f x f -++= C.)()(|)(|x f x f x f -+-=D ．}),(min{)]([n x f x f n = 4．下列命题不正确的是 BA ．开集、闭集都是可测集B ．可测集都是Borel 集C ．外测度为零的集是可测集D ．σF 型集，δG 型集都是可测集 5．下列集合基数为a （可数集）的是 CA ．康托集PB ．)1,0(C ．设i n nx x x x x A R A |),,,({,21 ==⊂是整数，},,2,1n i =D ．区间)1,0(中的无理数全体二、计算题1. 设()3cos 0,\2x x E f x x x E π⎧∈⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎩，E 为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦中有理数集，求()0,2f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰.解：因为0mE =，所以()cos ,.f x x a e =于[]0,1 于是()0,0,22cos f x dx xdx ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=⎰⎰而cos x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式 []()22000,1cos cos sin |1xdx R xdx x ππ===⎰⎰因此()0,21f x dx π⎡⎤⎢⎥⎣⎦=⎰2. 设()()[]22cos ,0,11n nx nx f x x n x =∈+，求()[]0,1lim n n f x dx →∞⎰.解：因为()n f x 在[]0,1上连续，所以可测()1,2,n =又()()[]2222cos 1,0,1,1,2,1122n nx nx nx nx f x x n n x n x nx =≤≤=∈=++而22lim01n nxn x →∞=+，所以()lim 0n n f x →∞=.因此由有界控制收敛定理()[]()[][]0,10,10,1limlim 00nnn n f x dx f x dx dx →∞→∞===⎰⎰⎰三、判断题 1. 若,A B 可测, A B ⊂且A B ≠,则mA mB <.(×)2. 设E 为点集, P E ∉, 则P 是E 的外点. (×)3. 点集11,2,,E n⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的闭集.(×) 4. 任意多个闭集的并集是闭集.(×) 5. 若n ER ⊂,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合.(√)6.非可数的无限集为c 势集。

师范大学期中/期末试卷（A ）(简明答案)课程名称：实变函数学生姓名：___________________ 学 号：___________________ 专 业：___________________ 年级/班级：__________________ 课程性质：专业必修…………………………………………………………………………………………一.判别题(每题2分,共20分)1. 设()f x 在(,)-∞+∞上单调增,则()f x 的不连续点是可数的.2. 不可数个闭集的交集仍是闭集.3. 设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +⊂=L 则1()lim ().n n n n m E m E ∞→∞==I4. 任意多个可测集的交集是可测集.5. 若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ⊂-=,()f x 在F 上连续.6. 若,mE <∞{}()n f x 在E 上几乎处处有限,几乎处处收敛于几乎处处有限的(),f x 则0,δ∀>存在闭集,()F E m E F δδδ⊂-<,{}()n f x 在F δ上一致收敛于()f x .7.cos xx是[1,)+∞上勒贝格可积函数. 8. 若()f x 是[,]a b 上单调增连续函数,且()0f x '=几乎处处成立,则()f x 为常值函数. 9. 若()f x 是[0,1]上单调严格增绝对连续函数,()g x 在([0,1])f 满足李普西茨条件,则(())g f x 是[0,1]上绝对连续函数.10. 设(,)f x y 在{}(,):,()()D x y a x b g x y h x =≤≤≤≤上可积,其中(),()g x h x 是[,]a b 上连续函数,则()()()(,).bh x ag x Df P dP dx f x y dy =⎰⎰⎰二.(12分)若在可测集E 上,()()(),()()()n n f x f x n g x g x n ⇒→∞⇒→∞. 求证:在E 上,()()()()().n n f x g x f x g x n +⇒+→∞三. (12分)设()f x 在E 上可积,[],1,2,n E E f n n =≥=L . 求证:(1)lim ()0;n n m E →∞= (2)lim ()0.n n nm E →∞=四. (12分)若{}()n f x 是一列[,]a b 上有界变差函数,[,],lim ()(),n n x a b f x f x →∞∀∈=且0,M ∃>().1,2,.bn af M n ∨≤=L 求证:f 是[,]a b 上有界变差函数.五. (12分)设E 是可测集,{}n E 是E 内的一列可测子集.1,()(),1,2,0,\n nn E nx E f x x n x E E χ∈⎧===⎨∈⎩L求证：(1){}()n f x 在E 上一致收敛于1的充分且必要条件是:,,.n N n N E E ∃∀>= (2)()1n f x ⇒的充分且必要条件是:lim ()0.n n m E E →∞-=六. (12分)设()f x 在E 上可积,(),()(),1,2,0,()n f x f x nf x n f x n ⎧≤⎪==⎨>⎪⎩L求证:(1)()n f x 在E 上可积,1,2,n =L ;(2)lim ()()n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰.七. (10分)设{}()n g x 是一列可测集E 上可积函数,lim ()()n n g x g x →∞=在E 上几乎处处成立,且lim ()()n EEn g x dx g x dx →∞=⎰⎰.{}()n f x 是一列E 上可测函数,lim ()()n n f x f x →∞=在E 上几乎处处成立,且,()(),1,2,n n x E f x g x n ∀∈≤=L . 求证: lim ()()n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰.八.(10分)设E 是可测集,{}n E 是E 内的一列可测子集.1,()(),1,0,\n nn E n x E f x x n x E E χ∈⎧===⎨∈⎩L仿第五题(1) 给出lim ()1n n f x →∞=在E 上几乎处处成立的充分且必要条件，并证明;(2) 给出{}()n f x 在E 上“基本上”一致收敛于1的充分且必要条件，并证明.。

2024年卫生专业技术资格考试公共卫生(中级362)专业实践能力复习试题(答案在后面)案例分析题（总25大题，75小题，共100分）第一题临床案例材料：患者，男，35岁，因发热、咳嗽、乏力3天就诊于当地社区卫生服务中心。

患者3天前开始出现发热，最高体温38.5℃，伴有咳嗽、乏力，无咳痰，无胸闷、气促。

患者既往有慢性支气管炎病史，否认高血压、糖尿病等慢性病史。

吸烟史20年，每日20支，饮酒史10年，每日约100克。

患者居住在空气污染较严重的地区，家中未安装空气净化设备。

查体：T 38.2℃，P 92次/分，R 20次/分，BP 120/80mmHg。

双肺呼吸音粗，可闻及散在干啰音。

心率92次/分，律齐，各瓣膜听诊区未闻及杂音。

腹部查体无异常。

辅助检查：血常规示白细胞计数10.5×10^9/L，中性粒细胞百分比80%，淋巴细胞百分比18%，单核细胞百分比2%。

胸部X光片显示双肺纹理增粗，未见明显实变影。

问题：1、根据患者病史和临床表现，最可能的诊断是什么？A、普通感冒B、肺炎C、慢性支气管炎急性发作D、肺结核2、针对患者的治疗，以下哪项措施最为重要？A、给予退热药物B、给予抗生素治疗C、给予止咳药物D、给予吸氧治疗3、为了降低患者所在地区空气污染对公共卫生的影响，以下哪项措施最为有效？A、加强空气质量监测和预警B、限制车辆行驶C、推广使用空气净化设备D、以上都是第二题临床案例材料：患者，男，45岁，已婚，农民。

主诉：发热、咳嗽、乏力3天。

现病史：患者3天前出现发热，最高体温达39.2℃，伴有咳嗽、乏力，无咽痛、腹泻、皮疹等症状。

患者自述在当地诊所就诊，给予退热药物治疗，症状有所缓解，但仍反复发热。

患者既往有高血压病史，无其他慢性病史。

查体：体温39.0℃，脉搏110次/分，呼吸20次/分，血压150/90mmHg。

双肺呼吸音粗，未闻及干湿啰音。

实验室检查：白细胞计数10.5×109/L，中性粒细胞比例85%，淋巴细胞比例15%，血红蛋白120g/L，血小板计数180×109/L。

实变函数期末考试卷A及参考答卷Prepared on 22 November 20202011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班) 《实变函数》期末考试卷（A）试卷共 8 页第 1 页考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。

考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。

请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。

2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。

3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f是L 可积的。

4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -，即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。

9.
10. 于 .
二、证明题
1. 证明如下:
2. 中任何一个元素可以由球心 , 半径为 唯一确定, , , 跑遍所有的正有理数, 跑遍所有的有理数. 因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故 为可数集.
3.令 , 则 且 为可测集, 于是对于 , 都有 ，故
,
令 , 得到 , 故 可测. 从而
2、设在 上 ,而 成立, ,则有 ．
3、设 是 上 有限的函数，若对任意 ，存在闭子集 ，使 在 上连续，且 ，证明： 是 上的可测函数．(鲁津定理的逆定理)
4、在有限闭区间 上的单调有限函数 是有界变差函数．
答案
一、计算题
1、设 ，其中 为Cantor集，计算 。
解.设 ，因 ，
则在 上 ，
2、求极限
D.若 ,则 可测．
3. 若 是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 （）
A.
B.
C.
D.
4. 下列断言中( )是错误的 （）
A.零测集是可测集
B.可数个零测集的并是零测集
C.任意个零测集的并是零测集
D.零测集的任意子集是可测集
5. 设 是 [a,b]上有界变差函数，则下面不成立的是 （）
A. 在[a,b]上有界
9. 设 是E上几乎处处有限的可测函数列, 是E上几乎处处有限的可测函数,若 , 有________________________, 则称 在E上依测度收敛于 . （）
10. 设E使闭区间[a,b]中的全体无理数集, 则 ________________________ （）
三、名词解释
1. Jordan分解定理
解：设 ，则易知当 时，
又因 ，( )，所以当 时，

材料部分1. 土工筛粗细筛的分界粒径是2mm2. 作液塑限试验时,土应过0-5mm 筛孔3. 粗粒组含量多于总质量50%的土为粗粒土4. 重型击实试验时击实锤质量为4.5kg5. 塑性指数表达式为Ip=WL-Wp6. 含粗粒越多的土,其最大干密度越大7. 塑限试验时土中有机质含量不大于5%8. 土的含水量试验标准方法是烘干法9. 压缩试验土样侧向无变形10. 承载板法测土的回弹模量时,每次加载时间为1min11. 土的压缩系数A 表达式为a=e1-e2/p2-p12. 筛分法与沉降分析法的分界粒径是0.074mm13. 交通部《公路土工试验规程》(JTJ051—93规定液塑限试验锥重为100g,入土时间为5s14. 用烘干法测土的含水量时,烘箱温度为105~110℃15. 承载法一般采用贯入量2.5mm 时的单位压力与标准压力之比16. 土的压缩指数Cc 的表达式为Cc=e1-e2/lgp2-lgp117. 击实曲线位于饱和曲线左上侧18. 无凝聚性土的宜用干筛法进行颗粒分析19. 含粘粒砂砾土的宜用水筛法进行颗粒分析20. 已土的液限WL=40%,塑限WP=20%,则该土塑性指数为2021. 测土的含水量时,盒+湿土质量为200g,烘干后盒+干土质量为150g,盒质量为50g,该土的含水量为50%22. 环刀法测土密度,环刀与土合质量为205g,环刀质量为100g,环刀容积为100cm3,则土的密度为1.05g/cm323. 液塑限联合测定法可测定土的液限24. 土达液限时,锥入深度为20mm25. 液限测联合测定,锥入时间为5s26. 先期固结压力指标可以断定为天然固结状态27. 土的CBR 值指试验贯入量达2.5mm 时,单位压力对标准碎石压入相同贯入量时荷载强度的比值28. 做CBR 试验时,为求得最大干密度与最佳含水量,应采用击实试验重型击实方法29. CBR 试验,饱水后试件吸水量Ws=泡水后试筒和试件质量—泡水前试筒和试件质量30. 固结试验预压荷载为1KPa31. 直剪试结果可知,土的粘聚力C 为纵坐标上截距32. 做CBR 试验时,荷载板共需加4 块33. 承载板法测土的回弹模量时,预压应进行1min34. 回弹模量测定时,缺载多久进行读数1min35. 回弹模量测定时,每级荷载下的回弹变形值=加载读数—卸载读数36. 进行酸碱度测定时,需制备土悬液,该悬液土样应过1mm 孔径筛37. 酸碱度试验时,土悬液土水比为1:538. 直剪试验得到的直线是强度指标的确定依据,该直线是垂直压力与抗剪强度39. 进行土的烧失量试验时,试验温度为950℃40. 渗透试验目的是测定土的渗透系数指标41. 塑性指数指标能反映土的可塑性大小42. 液性指数能反映粘土所处的稠度状态43. 饱和度指标反映土中水充满孔隙的程度44. 当土的饱和度为1 时,该土称为完全饱和土45. 当土的饱和度为0 时,该土称为完全干燥土46. 土的三相中,不计其质量的一相是气相47. 反应土渗透性强弱的指标是渗透系数48. 不均匀系数反映级配曲线上土粒分布范围49. 曲率系数反映级配曲线上土粒分布形状50. 手捻试验可测定细粒土的塑性性质51. 搓条试验时,土条搓得越细而不断裂,则土的塑性越高52. 液塑限联合测定试验中,测某含水量一土样锥入深度应测2 次53. 做筛分试验时,各级筛上和筛底土总质量与筛前试样质量之差,不应大于1%54. 土的简易鉴别方法,可用目测法代替筛分法确定土粒组成55. 通过手捻试验结果,手感滑腻,无砂,捻面光滑的土的塑性高56. 搓条试验,将含水量略大于塑限的湿土块揉捏并搓成土条,能搓成1mm 土条57. 液塑限试验,若三点不在同一条直线上,应通过液限点与其他两点连成两条直线58. 土的塑限锥入深度应由液限查W1-Hp 曲线查得59. 滚搓法测土的塑限,土条搓至直径达3mm 时,产生裂缝并开始断裂时土的含水量为塑限60. 击实试验时,击实功按锤重×落高×击数计算的61. 击实曲线左段与右段的关系为左陡右缓62. 渗透试验整理出的关系线是e-k 两个量的关系线63. 土中粗,细粒组含量相同时,土定名为细粒土64. 某种土,不均匀系数为3,曲率系数为2,则该土级配不良65. 每种土都有成分代号,当由两个基本代号构成时,第一个代号表示土的主成分66. 每种土都有成分代号,当由三个基本代号构成时,第一个代号表示土的主成分67. 每种土都有成分代号,当由两个基本代号构成时,第二个代号表示土的副成分68. 土的最佳含水量与塑限的含水量比较接近69. 砂类土的含水量可以用比重法测定70. 司笃克斯定理认为,土粒粒径增大,则土粒在水中沉降的速度加快71. 同一种土的密度,土颗粒密度,干密度三者之间的关系是土颗粒密度>土的密度>干密度72. 4℃时纯净水时,水的密度为1g/cm373. 土的相对密度在数值上等于土颗密度74. 砂土处于最疏松状态时,其孔隙比为最大75. 蜡封试件空中质量与水中质量之差,数值上等于蜡封试件的体积(水的密度为1g/cm376. 灌砂法测试洞的体积是通过灌进标准砂的质量方法求得77. 筛分试验时,取总土质量300g,筛完后,各级筛及筛度筛余量之和为290g,则该试验结果试验作废78. 计算土的级配指标时,d60 指通过率是60%所对应的粒径79. 粘土中掺加砂土,则土的最佳含水量将降低80. 缩限是土的含水量达缩限后再降低,土体积不变。

土工试验1、液限< 塑限< 缩限2、土中的水分为强结合水、弱结合水及自由水。

3、烘干法测定含水量，适用于粘质土、粉质土、砂类土和有机质土类4、含水量的其它测试方法：红外线照射法、烘干法、实容积法、微波加热法、碳化钙气压法5、测定密度常用的方法有：环刀法、蜡封法、灌砂法、灌水法、电动取土法6、不能用环刀法削的坚硬、易碎、含有粗粒，形状不规则的土可用蜡封法，灌砂法、灌水法一般在野外应用。

7、环刀法测密度步骤：①按工程需要取原状土或制备所需状态的扰动土样，整平两端，环刀内壁涂一薄层凡士林，刀口向下放在土样上。

②用修土刀或钢丝锯将土样上部削成略大于环刀直径的土样，然后将环刀垂直下压，边压边削，至土样伸出环刀上部为止。

削去两端余土，使与环刀口面齐平，并用剩余土样测定含水量。

③擦净环刀外壁，称环刀与土合质量m1，准确至0.1g④结果整理：P=（m1-m2）/V其中：m1：环刀与土合质量g；m2：环刀质量g，V:环刀体积cm38、蜡封法测密度：此法适用于不规则的土样（体积不小于500 cm3）试验步骤：①用削土刀切取体积大于30 cm3试件，削除试件表面的松浮土以及尖锐棱角，在天平上称量，准确至0.01g，取代表性土样进行含水量测定。

②将石蜡加热至刚过熔点，用细线系住试件浸入石蜡中，使试件表面覆盖一薄层严密的石蜡，若试件蜡膜上有气泡，需用热针刺破气泡，再用石蜡填充针孔，涂平孔口。

③待冷却后，将蜡封试件在天平上称量，准确到0.01g；④用细线将蜡封试件置于天平一端，使其浸浮在盛有蒸馏水的烧杯中，注意试件不要接触烧杯壁，称蜡封件的水下质量，准确0.01g，并测量蒸馏水的温度。

⑤将蜡封试件从水中取出，擦干石蜡表面水分，在空气中称其质量，将其与蜡封试件在天平上所称质量相比，若质量增加表示水分进入试件中，若浸入水分质量超过0.03g 应重做；⑥结果整理：P=m/[( m1—m2)/Pwt-( m1—m)/Pn]9、塑性高表示土中胶体粘粒含量大，同时也表示粘土中可能有蒙脱石或其他高活性的胶体粘粒较多。

实变函数期末考试卷A附件一东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 实变函数 考试学期 11-12-2 得分 适用专业 数学系 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 （开卷、半开卷请在此写明考试可带哪些资料） 卷无一. (10分)试叙述可数集的定义，并分别给出一个可数集合和一个不可数集的例子。

二. (10 分)叙述勒贝格外测度的定义，并证明可数集的外测度为零.三. (10分)设E 是可测集，证明存在E 的一列单调增加的闭子集列1E,n n F F +⊂⊂n 1,∀≥ 使得 n mE=lim nmF →∞.四. (10 分)(1)试给出有界闭区间上有界函数Riemann 可积的充分必要条件。

(2)给出一个Lebesgue 可积但Riemann 不可积的例子。

五. (10分)(1) 叙述依测度收敛的定义。

(2) 若在E 上，()()n f x f x ⇒, ()()n g x g x ⇒, 证明()f x 和()g x 在E 上几乎处处相等。

六.(10分)叙述有界变差函数和绝对连续函数的定义，并分别给出一个例子。

七.(10分)设n f (x)在 E 上Lebesgue 可积。

如果lim |()|0nE n f x dx →∞→⎰, 证明存在子列kn {f }在E 上几乎处处收敛于零。

八. (10分)(1)试叙述Fatou 引理;(2)求下列极限： 20arctan()lim 1n nx dxx +∞→∞+⎰九．设()f x 在[,]a b 上Lebesgue 可积。

(1) 若()x φ是[,]a b 上的有界可测函数，证明()()f x x φ在[,]a b 上是Lebesgue 可积的。

(2) 如果对[,]a b 上的任意有界可测函数()x φ，总有()()0baf x x dx φ=⎰成立. 证明()f x 在[,]a b 上几乎处处为零。

(3) 如果对任意连续函数()x φ总有 ()()0b a f x x dx φ=⎰成立，证明上述(2)中结论仍然成立。

浙江省2010年1月高等教育自学考试实变函数与泛函分析初步试题课程代码：10023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设M 是任意一个集合，N 是M 的所有子集构成的集合，则它们的基数之间的关系是（ ） A.M <N B. M =N C.M >ND.不能判定2.设Q 是R 中有理数的全体，Q 2={（r 1,r 2）|r 1∈Q ,r 2∈Q },则在R 2中Q 2的开核（Q 2）0是（ ） A.Q 2 B. φ C.R 2D.R 2＼Q 23.设P 是Cantor 三分集，)(x f =⎩⎨⎧∉-∈P x Px 11，则[]⎰=1,0)(dx x f （ ）A.0B.1C.-1D.24.设)(x f 在闭集E 有定义，x 0是x 的一个孤立点，则)(x f 在x 0的振幅ω（x 0）满足（ ） A.ω（x 0）>0 B.ω（x 0）=0 C.ω（x 0）<0 D.不能判定5.设)(x f 为［a ,b ］上的有界变差函数，则关于f （x ）的叙述不正确的是（ ）A.)(x f 在［a ,b ］有界B.)(x f 可以表示为两个增函数之差C.)(x f '在［a ,b ］存在D.)(x f '在［a ,b ］可积二、判断题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

1.在所有无限集中，可数集的基数最小.（ ） 2.一列开集的交集是开集.（ ）3.R n （n >1）中开集一定可以表示为可数个互不相交的n 维半开半闭区间的合集.（ ）4.可数个测度为零的集合的并集的测度不一定为零.（ ）5.Dinichlet 函数不是Lebesgue 可测函数.（ ）6.设)(x f 在E ⊂R n 上Lebesgue 可积，则|)(x f |在E ⊂R n 上Lebesgue 可积.（ ）7.连续函数一定是有界变差函数.（ ）三、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）请在每小题的空格中填上正确答案。

浙江省2007年10月高等教育自学考试实变函数与泛函分析初步试题课程代码：10023一、单项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.已知Z 和Q 分别为整数集和有理数集，记A=［0，1］-Q ，则( ) A Z Q =>A B. Z Q ==A C. Z Q >>A D. Z Q =<A2.若A=［0,1］-{31,21,1，…},B=［2,3］∩Q ,C=［5,6］-Q ,则A ∪B ∪C 的测度为( ) A.1B.2C.3D.无意义3.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈--∈ 其他,1]3,1[,1]1,0[,22x x Q x x ∩Q ,则⎰］，［80f(x)dx=( ) A.0B.1C.2D.8二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

4.集列的上限集与下限集一定不相等.( )5.开集一定是博雷尔（Borel ）集.( )6.设E ⊂R 1，E 是E 的闭包，mE=0，则m(E )=0.( )7.设f(x)在［0，1］的一个稠密集上处处不连续，则f(x)一定不是Riemann 可积函数.( )8.定义在零测集上的函数一定是可测函数.( )9.定义在区间上的单调函数的导数几乎处处存在.( )三、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

10.设A 2n-1=(0,sin n 1)，A 2n =(n1,n),则集列{A n }的上限集为___________. 11.球面S 2={（x,y,z)|x 2+y 2+z 2=1}的基数为___________.12.设F={(x,y)|x 2+y 2≤1},E=F ∪⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=)1,0(,1sin |),(x x y y x ，则E 的开核E &=___________. 13.记E 为康托集和有理数集的并集，则mE=___________.14.设函数f(x)在［0，1］上单调，E 是f(x)的连续点全体，则mE=___________.15.f(x)是可测集E 上的简单函数是指___________.16.函数f(x)在区间［a,b ］上的黎曼可积的充要条件是___________.17.f(x)与g(x)在E 上几乎处处相等是指___________.18.举一个函数列{f n (x)}的例子，使得{f n (x)}在［0,∞)上处处收敛于0，但{f n (x)}在［0,∞)上不依测度收敛于0，例如f n (x)=___________.19.区间［a,b ］上的函数F(x)是f(x)的一个不定积分是指________________________________________________________.四、完成下列各题(本大题共4小题，每小题9分，共36分)20.设f(x)是(-∞,+∞)上的实值连续函数，证明对于任意常数a,E={x|f(x)>a}是开集，而F={x|f(x)≥a}总是闭集.21.设E 是［0,1］中的不可测集，令f(x)⎩⎨⎧∉-∈,,,E x x E x x ，问f(x)和|f(x)|在［0,1］上是否可测？为什么？ 22.设f(x)在E 上可积分，记e n =E ［|f|≥n ］，证明0lim =•∞→n n me n . 23.问函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=∈0,0]1,0(,1sin 2x x x x 在［0,1］上是不是有界变差函数？为什么？。

实变及泛函分析初步自学考试大纲第一章 集合（一）重点集合的概念, 集合的表示, 子集, 真子集；集合的并, 交, 余, D.Morgan 法则, 集合的直积；上限集, 下限集, 极限集, 单调集列及其极限集；单射, 满射, 一一映射, 映射基本性质, 集合的势, 对等, 对等基本性质, 基数, 基数的比较, 伯恩斯坦定理；可数集, 可数集性质, 有理数集；不可数集存在性, 连续集及其性质, 不存在基数最大的无限集；nR 中的距离, 邻域, 区间, 开球, 闭球, 球面；开集, 开集性质, 内点, 内核, 边界点, 边界；收敛点列, 聚点, 聚点的等价定义, 孤立点, 孤立点集, 导集, 闭集, 闭集性质；δG 集合, σF 集合, δG 集合和σF 集合的性质, Borel 集；1R 中开集及闭集的构造, n R 中开集及闭集的构造。

识记：集合的概念, 集合的表示, 子集, 真子集；集合的并, 交, 余, D.Morgan 法则, 集合的直积；上限集, 下限集, 极限集, 单调集列及其极限集；单射, 满射, 一一映射, 集合的势, 对等, 对等基本性质, 基数, 基数的比较, 伯恩斯坦定理；可数集, 可数集性质, 有理数集；不可数集存在性, 连续集及其性质, 不存在基数最大的无限集；nR 中的距离, 邻域, 区间, 开球, 闭球, 球面；开集, 开集性质, 内点, 内核, 边界点, 边界；收敛点列, 聚点, 孤立点, 孤立点集, 导集, 闭集, 闭集性质, δG 集合, σF 集合, δG 集合和σF 集合的性质, Borel 集；1R 中开集及闭集的构造, n R 中开集及闭集的构造。

理解：集合的表示, 子集, 真子集；集合的并, 交, 余, D.Morgan 法则, 集合的直积；上限集, 下限集, 极限集, 单调集列及其极限集；一一映射, 映射基本性质, 集合对等的基本性质, 基数的比较, 伯恩斯坦定理；可数集, 可数集性质, 有理数集；不可数集存在性, 连续集及其性质；nR 中的距离, 邻域, 开球, 闭球, 球面；开集, 开集性质, 内点, 内核, 边界点, 边界；聚点, 聚点的等价定义, 孤立点, 孤立点集, 导集, 闭集, 闭集性质；δG 集合和σF 集合的性质, Borel 集；1R 中开集及闭集的构造, n R 中开集及闭集的构造。

《实变函数》期末考试卷姓名 班级 座号 成绩一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“√”或“×”，共8×3=24分）1．设E 是可测集，()f z 是E 上几乎处处为零的实函数，则()f x 在E 上可测。

（ ）2．设()f z 是可测集E 上的非负可测函数，则()f x 必在E 上勒贝格可积。

（ ） 3．设()f z 是可测集E 上的可测函数，则()d E f x x ⎰一定存在。

（ ） 4．设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若2()d 0Ef x x =⎰，则()f z 在E 上几乎处处为零。

（ ） 5．设()f x 是(,)a b 上的单调函数，则()f x 是(,)a b 上的可测函数。

（ ） 6. 设1E 和2E 都是可测集，()f z 是1E 和2E 上的可测函数，则()f x 不一定是12E E ⋃上的可测函数。

（ ） 7. 设()f z 是可测集E 上的可测函数，且()d Ef x x ⎰存在，则()f x +和()f x -至少有一个在E 上L 可积。

（ ） 8. 设1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数, 则()D x 在[0,1]上勒贝格可积，但不是黎曼可积的。

（ ）二、 填空题（每空2分，共9×2=18分）1.设,T n nE R R ⊆⊆若对于任意集合都有，则称L E 为ebesgue 可测集，*此时称m E 为E 的 ，记为mE 。

２. 设P 是康托集，则mP = ；任意可数集合的外测度为 。

3．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，若对任意实数a ，都有[()]E x f x a >是 ，则称()f x 是可测集E 上的可测函数.4．设函数列{()}n f x 为可测集E 上的可测函数列，且()n f x 在E 上依测度收敛于()f x ，则存在{()}n f x 的子列{()}kn f x ，使得()kn f x 在E 上 .5．设mE <+∞,{()}n f x 是E 上的可测函数列，()f x 是E 上的实函数, 若()n f x 在E 上几乎处处收敛于()f x ，则()n f x 在E 上 收敛于()f x .6．设()f x 在[,]a b 上黎曼可积，则()f x 在[,]a b 上勒贝格可积，且它们的积分值 ． 7．设()f x ,()g x 都在[,]a b 上勒贝格可积，且几乎处处相等,则它们在[,]a b 上勒贝格积分值 ．三、叙述题 (3小题 , 每题6分，共3×6=18分)1) 依测度收敛 2) 可测分划3) Lebesgue 基本定理四、简答题(2小题 , 每题8分，共2×8=16分)1、可测集E 上的可测函数与连续函数有何关系？2、设A 是[0,1]中的不可测集，令,(),[0,1]x x Af x x x A∈⎧=⎨-∈-⎩ 问()f x 在[0,1]上是否可测？()f x 是否可测？为什么？五、证明题 (共3小题 , 每题8分，共3×8=24分)1、设()f x 是可测集n E R ⊂上的可测函数。