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微积分三大定理
微积分是数学中的重要分支，它研究的是函数的变化与求和。
微积分的发展离不开三大定理，它们分别是导数的基本定理、中值定理和积分的基本定理。
这三个定理是微积分的核心，为我们解决各种实际问题提供了重要的工具和方法。
导数的基本定理是微积分中最基本的定理之一。
它告诉我们如何求函数的导数。
导数是描述函数在某一点上的变化率的概念，它决定了函数的增减性和曲线的斜率。
导数的基本定理使我们能够通过求导来研究函数的性质，例如函数的最值、凹凸性等。
它是微积分中理论和实际应用的基础。
中值定理是导数的一个重要应用。
它的核心思想是函数在某个区间内的平均变化率等于某个点上的瞬时变化率。
中值定理为我们提供了一种刻画函数变化的方法，它能够帮助我们找到函数在某个区间内的极值点和临界点。
中值定理的应用广泛，不仅在数学中有重要地位，还在物理、经济等领域中有着深远的影响。
积分的基本定理是微积分的重要组成部分。
它告诉我们如何求函数的积分。
积分是求解曲线下面的面积或计算曲线的总变化量的工具。
积分的基本定理使我们能够通过求积分来计算函数的面积、体积、质量等物理量，它在科学研究和工程实践中起着重要的作用。
微积分三大定理的发展与应用，不仅丰富了数学理论，也推动了科
学技术的进步。
它们为我们解决实际问题提供了强有力的工具和方法，使我们能够更好地理解和描述自然界的现象。
无论是在自然科学、社会科学还是工程技术领域，微积分的应用都是不可或缺的。
通过学习和应用微积分三大定理，我们能够更好地理解和解决复杂的实际问题，为人类的发展和进步做出贡献。
授课主题 微积分基本定理教学目标1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．教学内容1. 微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a ) .定理中的式子称为“牛顿—莱布尼茨公式”，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )|b a来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a ).2. 定积分和曲边梯形面积的关系：设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上. (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下.(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.题型一 利用微积分基本定理求定积分 例1 (1)求定积分⎰202x d x 的值；(2)求定积分⎰1－1(2x －x 2)d x 的值；(3)求定积分⎰0－π(sin x ＋2e x )d x 的值． 解析：(1) ⎰202x d x ＝2⎰20x d x ＝2×⎪⎪12x 220＝22－02＝4.(2) ⎰1－1(2x －x 2)d x ＝⎰1－12x d x ＋⎰1－1(－x 2)d x ＝x 2|1－1－13x 3|1－1＝－23. (3) ⎰－π(sin x ＋2e x )d x ＝⎰0－πsin x d x ＋2⎰－πe x d x ＝－cos x |0－π＋2e x |0－π＝－cos 0＋cos(－π)＋2(e 0－e －π)＝－2eπ. 点评：应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果． 巩 固 求下列定积分的值．(1) ⎰10(2x ＋3)d x ； (2) ⎰1－2(1－t 3)d t ；(3) ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ； (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x . 分析：利用微积分基本定理，关键是求出相应被积函数的一个原函数． 解析：(1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3，∴⎰10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )|10＝1＋3＝4.(2)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3， ∴⎰1－2(1－t 3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －14t 41－2＝1－14－⎣⎡⎦⎤－2－14(－2)4＝7－14＝274. (3)因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ， 又(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ，所以 ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝⎰π0( sin x ＋cos x ) d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0 ＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2. (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎰31(6x 2+6+12x ) d x ＝(2x 3+6x +6x 2)|31＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112 题型二 求分段函数的定积分例2 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3]，求⎰30f (x )d x 的值．解析：由积分的性质，知：⎰30f (x )d x ＝⎰10f (x )d x ＋⎰21f (x )d x ＋⎰32f (x )d x ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 点评：分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行；带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． 巩 固 ⎰3-3 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解析：设y＝|2x＋3|＋|3－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，x≤－32，6，－32<x<32，4x，x≥32.所以⎰3－3(|2x＋3|＋|3－2x|)d x＝323(4)x---⎰d x＋32326-⎰d x＋3324x⎰d x＝＝(－2)×⎝⎛⎭⎫322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝⎛⎭⎫－32＋2×32－2×⎝⎛⎭⎫322＝45.题型三利用定积分求参数例3已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎰10f(x)d x＝－2，求a，b，c的值．解析：由f(－1)＝2得a－b＋c＝2.①因为f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0.②又⎰10f(x)d x＝⎰10(ax2＋bx＋c)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax3＋12bx2＋cx10＝13a＋12b＋c，所以13a＋12b＋c＝－2③解①②③组成的方程组得a＝6, b＝0，c＝－4.点评：利用定积分求参数，根据题设条件列出关于参数的方程(组)，解方程(组)得参数的值．巩固f(x)是一次函数，且⎰10f(x)d x＝5，⎰10xf(x)d x＝176，求f(x)的解析式．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则⎰10(ax＋b)d x＝⎰10ax d x＋⎰10b d x＝12ax2⎰10＋bx⎰10＝12a＋b，⎰10x(ax＋b)d x＝⎰10(ax2＋bx)d x＝13ax3⎰10＋12bx2⎰10＝13a＋12b，由⎩⎨⎧12a＋b＝5，13a＋12b＝176，解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.A组1．下列各定积分等于1的是()A.⎰10x d xB.⎰10(x＋1)d xC.⎰101d xD.⎰1012d x解析：⎰10x d x ＝12x 2⎰10＝12； ⎰10(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎰10＝32；⎰101d x ＝x |10＝1； ⎰1012d x ＝12x ⎰10＝12. 答案：C 2． ⎰421xd x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 解析：⎰421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D3．函数y ＝⎰x 0cos x d x 的导数是( )A ．cos xB ．－sin xC ．cos x －1D ．sin x 答案：AB 组一、选择题1. ⎰10(e x＋2x )d x ＝( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0＜x ≤1，则⎰1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 答案：B3．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )A. ⎰20(x 2－1)d xB. |⎰20(x 2－1)d x |C. ⎰20|x 2－1|d xD. ⎰20(x 2－1)d x ＋⎰21(x 2－1)d x答案：C4．下列定积分计算正确的是( )A. ⎰π－πsin x d x ＝4 B. ⎰102xd x ＝1C. ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ln e 2D. ⎰1－13x 2d x ＝3解析：⎰π－πsin x d x ＝－cos x|π－π＝0； ⎰102xd x ＝12ln 2x＝log 2e ； ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ |(x －ln x )21＝1－ln 2＝ln e 2； ⎰1－13x 2d x ＝x 3|1－1=2.故选C.答案：C5.若⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则正数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ |(x 2＋ln x )a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，所以a 2－1＝3，所以a ＝－2(舍去)，a ＝2.故选B. 答案：B 二、填空题6．定积分⎰21x d x ＝__________. 答案：23(22－1)7．若⎰T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：因为⎝⎛⎭⎫x 33′＝x 2，所以⎰T 0x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33|T 0＝9，所以T ＝3. 答案：38．计算定积分⎰1－1(x 2＋sin x )d x ＝________. 答案：23三、解答题9．计算下列定积分：(1) ⎰30|2－x |d x ；解析： ⎰30|2－x |d x ＝⎰20(2－x )d x ＋⎰32(x －2)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 220＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－2x 32＝2＋12＝52. (2)⎰π2－π2cos 2x d x .解析：10．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且⎰10f (x )d x ＝1，求证：⎰10[f (x )]2d x >1.证明：由于⎰10f (x )d x ＝⎰10(ax ＋b )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx 10＝12a ＋b ， 所以12a ＋b ＝1，所以⎰10[f (x )]2d x ＝⎰10(ax ＋b )2d x ＝⎰10(a 2x 2＋2abx ＋b 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13a 2x 3＋abx 2＋b 2x 10＝13a 2＋ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b 2＋112a 2＝1＋112a 2>1(a ≠0)，故原不等式成立．1． 设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 的值等于 ( )A.56 B.12 C.23 D.16答案 A解析 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1， 所以f (x )＝x 2＋x ，于是ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56. 2．(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 答案 A 解析＝－a ＋1＝2，a ＝－1.3． 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12 B ．1 C.32D. 3答案 D 解析4． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76答案 A解析 根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋1＝43. 5． ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.答案 12解析 ʃ30(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |30＝13×33＋3＝12. 6. 如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．答案 43解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝ʃ20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.。
微积分基本定理及其应用微积分是高等数学中的一门重要课程，它为理解自然规律和科学现象提供了强有力的数学工具。
在微积分中，基本定理是一个重要的概念，它是微积分中最基本的定理之一。
基本定理包括牛顿-莱布尼茨公式和分部积分公式两部分。
本文将分别介绍基本定理及其应用。
一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，它将微积分的两个重要概念联系起来，即微分和积分。
牛顿-莱布尼茨公式的表述如下：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则对于 $[a,b]$ 之间的任意一点 $x$，有：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$其中，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数。
牛顿-莱布尼茨公式的意义在于，它将积分转化为了原函数的差值，从而实现了对于函数 $f(x)$ 积分的求解。
在实际应用中，我们经常需要求解一些复杂的积分问题，而牛顿-莱布尼茨公式的使用，可以大大简化这个过程。
例如，求解下面的积分：$$\int_{0}^{1}x^2dx$$根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以先求出函数 $f(x)=x^2$ 的原函数 $F(x)$，然后再利用公式求解积分。
易得：$$F(x)=\frac{1}{3}x^3$$则：$$\int_{0}^{1}x^2dx=F(1)-F(0)=\frac{1}{3}$$二、分部积分公式分部积分公式是微积分中的另一个基本定理，它将积分于微分有机结合在了一起，从而将一些复杂的积分问题简化为一些其他积分问题的组合。
分部积分公式的表述如下：若函数 $u(x)$ 和 $v(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续可微，则对于$[a,b]$ 之间的任意一点 $x$，有：$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$分部积分公式可以用于求解一些复杂的积分问题，特别是在计算工程、物理和化学等领域中很常用。
微积分基本定理公式微积分基本定理公式，这可是数学领域里相当重要的一块内容！咱们先来说说啥是微积分基本定理公式。
简单来讲，微积分基本定理公式就像是一座桥梁，把导数和定积分这两个看似不太相关的概念紧密地联系在了一起。
它告诉我们，如果有一个函数 F(x) 是另一个函数 f(x) 的原函数，那么在某个区间 [a, b] 上，定积分∫（从 a 到 b）f(x)dx 就等于 F(b) - F(a)。
就比如说，咱们来算一个简单的例子。
假设 f(x) = 2x，那它的一个原函数 F(x) 就是 x²。
如果我们要计算在区间 [1, 3] 上的定积分∫（从 1到 3）2xdx ，根据微积分基本定理公式，那就等于 F(3) - F(1)，也就是3² - 1² = 9 - 1 = 8 。
还记得我之前给学生们讲这个公式的时候，有个学生特别可爱。
那是一节高中数学课，我正在黑板上推导微积分基本定理公式，底下的学生们都聚精会神地看着。
突然，一个平时特别活泼的男生举起了手，皱着眉头问我：“老师，这公式到底有啥用啊？感觉好复杂！”我笑了笑，没急着回答他，而是先在黑板上写下了一个物理中的匀加速直线运动的速度与位移的关系式子。
然后我对他说：“你看，这个物理问题，如果没有微积分基本定理公式，咱们要想求出位移，得多麻烦呀。
但是有了它，一下子就能轻松搞定。
”这孩子听了之后，眼睛一下子亮了起来，好像突然明白了什么。
这微积分基本定理公式在实际生活中的应用那可多了去了。
比如说，要计算一条不规则曲线围成的面积，要是没有这个公式，那可真是让人头疼。
但有了它，咱们就能把复杂的问题简单化，轻松求出面积来。
再比如，在经济学中，计算成本和收益的时候，微积分基本定理公式也能大显身手。
它可以帮助我们分析企业的生产决策，找到最优的生产规模，从而实现利润最大化。
而且啊，这公式不仅仅是在数学、物理、经济这些学科里有用，它还能培养咱们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
微积分的公式大全微积分是数学的一个重要分支，应用广泛，内容繁多。
在这里，我将为您介绍一些微积分中的基本公式和定理。
请注意，这里只是列举一些常用的公式，若要深入学习微积分，请参考相关教材和课程。
1.导数的基本公式：- 常数导数法则：对于常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。
- 幂函数导数法则：对于幂函数f(x) = x^n ，其中n是常数，则其导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
-和差导数法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
-积法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
-商法则：若f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.基本积分公式：- 反微分法则：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
- 平方差公式：∫(a^2 - x^2)^(1/2) dx = (1/2)(x√(a^2 - x^2) + a^2sin^(-1)(x/a)) + C。
- 指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C，其中e是自然对数的底数。
- 三角函数积分：∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
3.特殊函数和公式：-泰勒级数展开：函数f(x)在点a处的泰勒展开式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...。
- 自然对数函数和指数函数的微分法则：d/dx(ln(x)) = 1/x，d/dx(e^x) = e^x。
微积分七个基本定理
1、定义域定理（积分定义域定理）：如果函数f（x）有连续的导数f'(x)，那么f（x）在定义域内具有定义连续性。
2、基本定理（积分基本定理）：设内一区间上有一函数f（x），若f（x）在这区间上存在连续的导数f'(x)，那么f（x）的定积分就存在，且可以用反常积分形式表示。
3、基本定理（积分变换定理）：如果函数f(x)和函数g(x)都在某一区间(a,b)上具有反常积分，则有f(x)g(x)在区间(a,b)上有定积分。
4、分部积分定理（部分积分定理）：若f（x）是a到b范围内任意一点x上的可积函数，则有∫f（x）dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx。
5、置换定理：积分置换定理正如名字说的，即把函数f（x）的变量由x换成g（x）的变量，在规定的变换空间内，得到的积分值相等。
6、定理（积分级数定理）：积分级数定理表明，若函数f（x）在区间[a,b]上连续，那么函数的定积分值等同于其积分级数的和。
7、变量替换定理：变量替换定理定义为：如果函数f（x）与变量x 具有连续导数，且变量u=g（x）具有连续导数，那么：∫f（u）d u=∫f （x）g'（x）dx。
