分式方程增根与无解专题

八年级数学下---分式方程的增根与无解专项练习 分式方程有增根：指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；（注意是分母为0的x 值不一定都是增根）分式方程无解：是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．练习1：1、当k 为何值时，方程x x k x --=-133会出现增根？ 2、已知分式方程3312x ax x +++=有增根，求a 的值。

3、分式方程x x m x x x -+-=+111有增根x =1，则m 的值为多少？ 4、a 为何值时，关于x 的方程4121x x x a x x -+=+-()有解？ 5、求使分式方程x x m x --=-3232产生增根的m 的值。

6、已知关于x 的方程2x x k 2x 21x 12-+=++-有增根，求k 的值。

7、当m 为何值时，关于x 的方程21112x x m x x x ---=+-无实根。

练习2：1、若方程4412212--=--+x x x k x 会产生增根，则（ ） A 、2±=k B 、k=2C 、k=－2D 、k 为任何实数2、若解分式方程21112x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（） A.－1或－2B.－1或2C.1或2 D.1或－23、若方程)1)(1(6-+x x -1-x m =1有增根，则它的增根是（） A 、0B 、1C 、-1D 、1或-14、若方程有增根，则a ＝（）. 5、已知有增根，则k ＝（）． 6、若分式方程+3=有增根，则a 的值是（）7、关于x 的方程12144a xx x -+=--有增根，则a =（）8、若分式方程=11m xx +-有增根，则m 的值为（）9、分式方程121mx x =-+有增根，则增根为（）10、关于x 的方程1122kx x +=--有增根，则k 的值为（）11、关于x 的方程21326x m x x -=--有增根，则m 的值（）练习3：1、若方程32x x --=2mx -无解，求m 的值。

标题：探究分式方程的增根和无解现象一、引言分式方程作为高中数学中的重要内容，既有着理论性的抽象性，又有着实际问题的应用性。

在探究分式方程的解的过程中，我们经常会遇到一些特殊的情况，即增根和无解的情形。

本文将深入探讨分式方程有增根和无解的情况，并通过给出20道题目，帮助读者更好地理解和掌握分式方程的解法。

希望通过本文的阐述，读者能够对分式方程有增根和无解的情况有更加深入的认识。

二、分式方程有增根和无解的现象1. 分式方程的定义及一般形式在分式方程中，我们通常会遇到形如$\frac{ax+b}{cx+d}=e$的方程，其中a、b、c、d、e为已知数，x为未知数。

我们的目标是求出x的值，使得方程成立。

2. 分式方程有增根的情况当我们解分式方程时，有时会得到多个不同的x值能够使方程成立。

这种情况被称为分式方程有增根的现象。

对于方程$\frac{2x+3}{x-1}=3$，我们发现当x=3时，方程成立，同时当x=2时也成立。

这便是分式方程有增根的典型情况。

3. 分式方程无解的情况另有时我们解分式方程时却找不到任何一个x值能够使方程成立。

这种情况被称为分式方程无解的现象。

对于方程$\frac{2x+1}{x+3}=3$，我们无法找到任何一个x值能够使方程成立，这便是分式方程无解的典型情况。

三、20道题目示例我们通过以下20道题目来帮助读者更好地理解和掌握分式方程有增根和无解的情况。

1. $\frac{2x+3}{x-1}=3$2. $\frac{3x-5}{2x+4}=2$3. $\frac{4x-2}{2x+3}=5$4. $\frac{5x+1}{3x-2}=4$5. $\frac{2x+1}{x-2}=3$6. $\frac{4x-3}{2x+5}=2$7. $\frac{5x-2}{3x+1}=6$8. $\frac{3x+2}{x+1}=2$9. $\frac{2x-1}{x+3}=4$10. $\frac{6x+2}{3x-4}=1$11. $\frac{4x+3}{x-2}=3$12. $\frac{7x+1}{4x+3}=5$13. $\frac{5x-3}{2x-1}=4$14. $\frac{3x+2}{x-5}=2$15. $\frac{2x-3}{x-4}=3$16. $\frac{8x-2}{4x-1}=5$17. $\frac{4x+5}{2x-3}=6$18. $\frac{5x+2}{3x-1}=4$19. $\frac{6x-1}{3x+2}=2$20. $\frac{7x+3}{2x-1}=3$四、总结和回顾在本文中，我们深入探讨了分式方程有增根和无解的情况。

分式方程的增根和无解专题课本题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须磨练.例1.解方程(1) 2223-=---x x x (2) 114112=---+x x x 专练一.解分式方程 （每题5分共50分）（1）223433x x x x +-=+ （2）3513+=+x x ; （3）30120021200=--x x（4）255522-++x x x =1(5) 2124111x x x +=+--. (6) 2227461x x x x x +=+--（7）11322x x x -+=---(8)512552x x x =---(9) 6165122++=-+x x x x 题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程双方同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不合适原分式方程的根,这种根平日称为增根.例2. 若方程x x x --=+-34731有增根,则增根为. 例3．若关于x 的方程313292-=++-x x x m 有增根, 则增根是若干?产生增根的m 值又是若干?评注：由以上几例可知,解答此类问题的根本思绪是：（1）将所给方程化为整式方程;（2）由所给方程肯定增根（使最简公分母为零的未知数的值或标题给出）（3）将增根代入变形后的整式方程,求出字母系数的值.专演习二：3323-+=-x x x 有增根,则增根为.2. 使关于x 的方程a x x a x 2224222-+-=-产生增根的a 的值是（ ）A. 2B. －2C. ±2D. 与a 无关3.若解分式方程21112x x m x x x x +-++=+产生增根,则m 的值是（ ）A. －1或－2B. －1或2C. 1或2D. 1或－24.当m 为何值时,解方程115122-=-++x m x x 会产生增根?5.关于x 的方程x x k x -=+-323会产生增根,求k 的值.6.当k 为何值时,解关于x 的方程：()()()1151112x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1.7.当a 取何值时,解关于x 的方程：()()x x x x x ax x x ---++=+-+12212212无增根？ 题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解.例4、 若方程x m x x -=--223无解,求m 的值.1、已知关于x 的方程mx m x =-+3无解,求m 的值.2.的值。

初中数学分式方程增根与无解问题专题突破一（附答案详解）1．方程2223671x x x x x +=--+的根的情况，说法正确的是（的根的情况，说法正确的是（ ） A ．0是它的增根 B ．－1是它的增根C ．原分式方程无解D ．1是它的根2．下列结论正确的是（．下列结论正确的是（ ）A ．4131-=+y y 是分式方程是分式方程B ．方程1416222=--+-x x x 无解无解C ．方程x x xx x x +=+222的根为x=0D ．只要是分式方程，解时一定会出现增根．只要是分式方程，解时一定会出现增根3．分式方程 有增根，则增根可能是（有增根，则增根可能是（ ）。

A ．0B ．2C ．0或2D ．14．若分式方程有增根，则增根可能是（有增根，则增根可能是（ ）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．05．若分式方程21111x kx x +-=--有增根，则增根可能是（有增根，则增根可能是（ ）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．06．若分式方程33x x -++1=m 有增根，则这个增根的值为（有增根，则这个增根的值为（ ）A ．1B ．3C ．－3D ．3或-37．如果解分式方程出现了增根，那么增根是（出现了增根，那么增根是（ ）A ．0B ．-1C ．3D ．18．关于的分式方程有增根，则的值为（的值为（ ）A． B． C． D．9．关于x的分式方程+3=有增根，则增根为（有增根，则增根为（ ）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣310．若关于的分式方程有增根，则的值是（的值是（ ）A．或 B． C． D．或11．若分式方程有增根,则k的值是_________.12．若分式方程有增根，则的值为_______．13．若分式方程有增根，则=_________14．分式方程有增根，则m＝_____________．15．若分式方程＝2有增根，则m的值为的值为 。

16．若分式方程有增根，则的值是_____17．若关于x的分式方程有增根，则m的值为_____．18．若关于x的分式方程有增根，则= ．19．用去分母的方法，解关于x 的分式方程的分式方程 8x x-＝2＋8m x -有增根，则m ＝ ．20．若关于x 的分式方程有增根，则m=________答案: 1．C解：方程两边同乘x(x+1)(x-1)，得3(x+1)-6x=7(x-1)， 解得：x=1， 检验：当x=1时，x(x+1)(x-1)=0，所以x=1不是原方程的解，原方程无解，故选C. 2．B解：A 、利用分式方程的定义判断即可得到结果；、利用分式方程的定义判断即可得到结果；B 、分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验得到分式方程的解，即可做出判断；的解，即可做出判断；C 、分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验得到分式方程的解，即可做出判断；D 、分式方程不一定出现增根．、分式方程不一定出现增根．解：A 、4131-=+y y 是一元一次方程，错误；是一元一次方程，错误；B 、方程1416222=--+-x x x ， 去分母得：（x ﹣2）22﹣16=x 22﹣4，整理得：x 2﹣4x+4﹣16=x 2﹣4， 移项合并得：﹣4x=8，解得：x=﹣2，经检验x=﹣2是增根，分式方程无解，正确；是增根，分式方程无解，正确；C 、方程x x xx x x+=+222，去分母得：2x=x ，解得：x=0，经检验x=0是增根，分式方程无解，错误；是增根，分式方程无解，错误；D 、分式方程解时不一定会出现增根，错误，故选B3．C解：方程两边通乘以x （x-2）得x=2（x-2）+m ，解得x=4-m ，由于有增根，所以4-m=0或4-m=2．故选C4．A 解：∵原方程有增根，解：∵原方程有增根，∴最简公分母（x+1）（x ﹣1）=0，解得x=﹣1或1， 当x=﹣1，k=﹣2+2=0．而当k=0时，原方程为﹣1=0，此时方程无解．故x=1，故选：A ．5．C 解：∵原方程有增根，∴最简公分母(x+1)(x−1)=0，解得x=−1或1，∴增根可能是：±1.故选：C.6．C解：∵分式方程33x x -++1=m 有增根，∴x+3=0，∴x=-3，即-3是分式方程的增根，故选C 7．C解：∵原方程有增根，∴最简公分母(x −3)=0，解得x =3，故选：C.8．C解：∵关于的分式方程有增根∴x-1=0解得x=1 原方程两边同乘以x-1可得m-3=x-1把x=1代入可得m=3.故选：C.9．A解：方程两边都乘（x ﹣1），得7+3（x ﹣1）=m ，∵原方程有增根，∴最简公分母x ﹣1=0，解得x=1，当x=1时，m=7，这是可能的，符合题意．故选：A ．10．A解：解：∵∵关于x 的分式方程有增根，有增根， ∴是方程 的根，的根， 当11．-1解：方程两边都乘（x-3），得，得1-2（x-3）=-k，∵方程有增根，∴最简公分母x-3=0，即增根是x=3，把x=3代入整式方程，得k=-1．故答案为：-1．12．1解：方程的两边都乘以（x-3），得x-2-2（x-3）=m，化简，得m=-x+4，原方程的增根为x=3，把x=3代入m=-x+4，得m=1，故答案为：1．13．1解:∵分式方程有增根，∴x=2,把x=2代入x-m=1中得：m=1.故答案是：1.14．3解:分式方程去分母得：x+x﹣3=m， 根据分式方程有增根得到x﹣3=0，即x=3， 将x=3代入整式方程得：3+3﹣3=m，则m=3，故答案为：3．15．－1解：先对原方程去分母，再由方程无解可得，再代入去分母后的方程求解即可. 方程＝2去分母得因为分式方程＝2有增根，所以所以，解得.16．0解:∵分式方程有增根，∴∴x=2是方程1+3（x-2）=a+1的根，∴a=0．故答案是：0．17．±解:方程两边都乘x-3，得x-2（x-3）=m 2，∵原方程增根为x=3，∴把x=3代入整式方程，得m=±．18．1解:方程两边同乘以x （x-1）得，x （x-a ）-3（x-1）= x （x-1）， 整理得，(-a-2)x+3=0， ∵关于x 的分式方程存在增根，∴x （x-1）=0，∴x=0或x=1，把x=0代入(-a-2)x+3=0得，a 无解；把x=1代入(-a-2)x+3=0,解得a=1；∴a 的值为1．19．8解:方程两边都乘（x-8），得，得X=2(x-8)+m ，∵原方程有增根，∵原方程有增根，∴最简公分母x-8=0，解得x=8．当x=8时，m=820．-1解:方程两边都乘(x −2)，得1=−m +x −2，∵原方程有增根，∴最简公分母(x −2)=0，解得x =2，当x =2时，m =−1，故答案为−1.i时，解得：当时，解得：故选：A.。

分式方程专题一：知识梳理如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。

二：例题精讲例题1：若方程﹣=1有增根，则它的增根是，m=．【解答】解：由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0，解得：x=±1，分式方程去分母得：6﹣m（x+1）=x2﹣1，把x=1代入整式方程得：6﹣2m=0，即m=3；把x=﹣1代入整式方程得：6=0，无解，综上，分式方程的增根是1，m=3．故答案为：1；3．反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．例题2：若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：﹣2+x+m=2（x﹣2），解得：x=m+2，∵方程的解为正数，∴m+2＞0，且m+2≠2，解得：m＞﹣2，且m≠0，故答案为：m＞﹣2且m≠0．反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．例题3：若关于x的分式方程=a无解，则a的值为．【解答】解：两边同乘以x+1，得x﹣a=ax+a移项及合并同类项，得x（a﹣1）=﹣2a，系数化为1，得x=，∵关于x的分式方程=a无解，∴x+1=0或a﹣1=0，即x=﹣1或a=1，∴﹣1=，得a=﹣1，故答案为：±1．反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．三：典型错题1.在中，x的取值范围为．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=，B=．6.若解分式方程产生增根，则m=．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是9.已知，则的值为．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，则的值为．参考答案：例题1：反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．【解答】解：去分母得：2x﹣a=x+1，由分式方程有增根，得到x+1=0，即x=﹣1，把x=﹣1代入得：﹣2﹣a=0，解得：a=﹣2，故答案为：﹣1；﹣2（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．【解答】解：去分母得：5x﹣3﹣mx=2x﹣8，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：20﹣3﹣4m=0，快捷得：m=，故答案为：（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．【解答】解：去分母得：5x﹣5=x+2k﹣6x，由分式方程有增根，得到x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，把x=0代入整式方程得：k=﹣；把x=1代入整式方程得：k=，则k的值为或﹣．故答案为：或﹣例题2：反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．【解答】解：解关于x的方程=3得x=m+6，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．【解答】解：把方程移项通分得，∴方程的解为x=a﹣6，∵方程的解是负数，∴x=a﹣6＜0，∴a＜6，当x=﹣2时，2×（﹣2）+a=0，∴a=4，∴a的取值范围是：a＜6且a≠4．故答案为：a＜6且a≠4．例题3：反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．【解答】解：去分母得：2x+4+kx=3x﹣6，当k=1时，方程化简得：4=﹣6，无解，符合题意；由分式方程无解，得到x2﹣4=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入整式方程得：4+4+2k=0，即k=﹣4；把x=﹣2代入整式方程得：﹣4+4﹣2k=﹣12，即k=6，故答案为：﹣4或6或1（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得x﹣1=m+3（x﹣2）．m=﹣2x+5．分式方程的增根是x=2，将x=2代入，得m=﹣2×2=5=1，故答案为：1．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：m﹣（x﹣1）=0，即m=x﹣1，∵关于x的分式方程无解，∴x=1或x=﹣1，当x=1时，m=0，当x=﹣1时，m=﹣2，故答案为：0或﹣2．典型错题：1.在中，x的取值范围为0＜x≤1．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是x≥1或x＜﹣2．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=﹣12，B=17．6.若解分式方程产生增根，则m=﹣2或1．．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是m≥﹣2且m≠﹣1 ．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0．9.已知，求的值．【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1=3x，===．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，求的值．【解答】解：∵a2+b2=9ab，∴a2+b2+2ab=11ab，a2+b2﹣2ab=7ab，即（a+b）2=11ab，（a﹣b）2=7ab，∵b＞a＞0，即b﹣a＞0，∴a+b=，b﹣a=，则原式=﹣=﹣=﹣．。

分式方程1. 关于x 的方程12144a xx x -+=--有增根，则a =-------答案：7 2. 解关于x 的方程15mx =-下列说法正确的是（C ）A.方程的解为5x m =+B.当5m >-时，方程的解为正数C.当5m <-时，方程的解为负数D.无法确定3.若分式方程1x aa x +=-无解，则a 的值为-----------答案：1或-14 若分式方程=11m xx +-有增根，则m 的值为-------------答案：-15.分式方程121mx x =-+有增根，则增根为------------答案：2或-1 6. 关于x 的方程1122kx x +=--有增根，则k 的值为-----------答案：1 7. 若分式方程x aa a+=无解，则a 的值是----------答案：08.若分式方程201m x m x ++=-无解,则m 的取值是------答案：-1或1-29. 若关于x 的方程(1)5321mx m x +-=-+无解，则m 的值为-------答案：6，10 10. 若关于x 的方程311x m x x--=-无解，求m 的值为-------答案：分式方程应用题分类讲解与训练一、【行程中的应用性问题】例1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？练习、 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．例3 A 、B 两地相距87千米，甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度。

分式方程的增根与无解1. 解分式方程的思路是：（1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。

（2） 解这个整式方程。

（3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

（4） 写出原方程的根。

“一化二解三检验四总结”例1：解方程214111x x x +-=-- （1） 增根是使最简公分母值为零的未知数的值。

（2） 增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。

例2：解关于x 的方程223242ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。

解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a =所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。

方法总结：1.化为整式方程。

2.把增根代入整式方程求出字母的值。

例3：解关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。

解：化整式方程的(1)10a x -=-当10a -=时，整式方程无解。

解得1a =原分式方程无解。

当10a -≠时，整式方程有解。

当它的解为增根时原分式方程无解。

把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。

综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。

方法总结：1.化为整式方程。

2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。

例4：若分式方程212x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。

解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23>≠解得2a <且4a ≠- 思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？2．若此方程无解a 的值是多少？方程总结：1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。

专题5.29分式方程增根、无解、正负数解问题（基础篇）（专项练习）一、单选题1．已知关于x 的分式方程211x kx x -=--的解是负数，则k 的取值范围为（）A ．02k <<B ．2k >-且1k ≠-C ．2k >D ．2k <且1k ≠2．如果关于x 的分式方程()21322ax x x -=--无解，则实数a 的值为（）.A ．1或32B ．32C ．1-或32D ．1-3．若关于x 的分式方程1x aa x -=+无解，则a 的值为()A ．1B ．1-C ．1-或0D ．1或1-4．关于x 的方程31111x mx x --=++有增根，则方程的增根是（）A ．1-B ．4C ．4-D ．25．若关于x 的方程3211x mx x -=+--有增根，则m 的值为（）A ．1B ．0C ．3D ．2-6．关于x 的分式方程433x k x x-=--的解为非正数，则k 的取值范围是（）A ．12k ≤-B ．12k ≥-C ．12k >D ．12k <-7．若方程212x ax +=--的解是非负数，则a 的取值范围是（）A ．2a ≤B ．2a <且4a ≠-C ．2a ≥D ．2a ≤且4a ≠-8．已知关于x 的分式方程311m x +=-的解为正数，则m 的取值范围是（）A ．4m ≥-B ．4m ≥-且3m ≠-C ．4m >-D ．4m >-且3m ≠-9．如果关于x 的方程211x x m-+=的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．1m >-B ．1m >-且0m ≠C ．1m <-D ．1m <-且2m ≠-10．若分式方程311x mx x -=--有增根，则m 等于（）A ．3B ．3-C ．2D ．2-二、填空题11．若方程1122k x x+=--有增根，则方程的增根是__________．12．若分式方程233x m x x -=--无解，则m 的值为_____．13．若关于x 的方程，232111mx x x x -=-+-无解，则m 的值为_______________14．已知关于x 的分式方程2233x kx x -=+--无解，则k 的值是__________．15．关于x 的方程1122kx x x +=--无解，则k 的值为__________．16．若关于x 的分式方程2322x kx x -=--的解为非负数，则k 的取值范围为______．17．若关于x 的分式方程133x kx x +=++有增根，则k 的值是__________．18．如果关于x 的方程7766x mx x--=--的解是非负数，则m 的取值范围为___________．19．若关于x 的分式方程5233x mx x+=---有增根，则常数m 的值是_________．20．若关于x 的分式方程3211x m x x+=--的解为正数，则m 的取值范围是 ______．三、解答题21．给定关于x 的分式方程7311mx x x +=--，求：（1）m 为何值时，这个方程的解为2x =？（2）m 为何值时，这个方程无解？22．已知关于x 的分式方程()()211122mx x x x x +=--++，(1)若方程的增根为x =1，求m 的值(2)若方程有增根，求m 的值(3)若方程无解，求m 的值．23．解答下列问题:已知关于x 的方程2233x mxx x =-++（1）m 为何值时，方程无解？（2）m 为何值时，方程的解为负数？24．已知关于x 的方程5311x a x x --=--无解，求a 的值．参考答案1．C【分析】解分式方程用k 表示出x ，根据解为正数及分式有意义的条件得到关于k 的不等式组，解不等式组即可得到答案．解：解得：211x k x x -=--去分母得：()21x x k ---=，∴23kx -=，∵211x k x x -=--的解为负数，且分式有意义，∴2032103kk -⎧<⎪⎪⎨-⎪-≠⎪⎩，解得：2k >，故选：C ．【点拨】本题考查分式方程与不等式的综合应用，解分式方程得到关于k 的不等式组是解题关键，注意分式有意义的条件，避免漏解．2．C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a 的值即可．解：方程两边同乘2(2)x -可得：23x ax -=-，当整式方程无解时，此时1a =-，当整式方程有解时2x =，代入可得：230a -=，解得32a =，综上所述，a 的值为1-或32，故C 正确．故选：C ．【点拨】本题主要考查分式方程无解情况，先转化为整式方程，然后根据无解的情况，分类讨论即可．3．D【分析】化简分式方程得21ax a =-，要是分式方程无解有两种情况，当分式方程有增根时，=1x -，代入即可算出a 的值，当等式不成立时，使分母为0，则1a =．解：1x aa x -=+化简得：21a x a=-当分式方程有增根时，=1x -代入得1a =-．当分母为0时，1a =．a 的值为1-或1．故选：D ．【点拨】本题主要考查的是分式方程无解的两种情况①当分式方程有增根时，此方程无解，②当等式不成立时，此方程无解．4．C【分析】由分式方程有增根，得到10x +=，求出x 的值，将原方程去分母化为整式方程，将x 的值代入即可求出m 的值．解：由分式方程有增根，得到10x +=，解得：=1x -，分式方程31111x mx x --=++，去分母得311x m x --=+，将=1x -代入311x m x --=+中，得：3111m ---=-+，解得：4m =-，故选：C ．【点拨】本题考查了分式方程的增根，关键是求出增根的值，代入到分式方程化简后的整式方程中去求未知数参数的值．5．D【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母10x -=，得到1x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值．解：3211x mx x -=+--方程两边都乘以1x -，得：()321x m x -=+-，∵分式方程有增根，∴10x -=，即1x =，将1x =代入整式方程，得：13m -=，即2m =-，故选：D ．【点拨】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．6．A【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可．解：方程433x kx x-=--两边同时乘以(3)x -得：4(3)x x k --=-，412x x k ∴-+=-，312x k ∴-=--，43kx ∴=+， 解为非正数，∴403k+≤，12k ∴≤-．故选：A ．【点拨】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．7．D【分析】根据分式有解得到4a ≠-，再根据分式方程的解为非负数求出2a ≤，即可得到答案．解：212x ax +=--解方程得23ax -=，∵方程212x ax +=--的解是非负数，而且20x -≠，∴2x ≠，∴203a-≥而且223a -≠，得2a ≤且4a ≠-，∴当2a ≤且4a ≠-时方程212x ax +=--的解是非负数．故选：D【点拨】此题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．8．D【分析】解分式方程用m 表示x ，由关于x 的分式方程的解是正数及分式方程的增根可求解m 的取值范围．解：方程两边同乘以1x -得31m x +=-，解得4x m =+，∵x 的分式方程311m x +=-的解是正数，∴4>0m +，解得>4m -，∵10x -≠，即410m +-≠，解得3m ≠-，∴m 的取值范围为>4m -且3m ≠-．故选：D ．【点拨】本题考查的是解一元一次不等式，分式方程的解法，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．9．D 【分析】根据211x x m-+=得出1x m =--，为正数，即10m -->，从而得出m 的取值范围．再根据10x -≠，推出2m ≠-．解：211x x m-+=21x m x +=-解得：1x m =--方程211x x m-+=的解是正数，10x m ∴=-->1m ∴<-10x -≠ 即1x ≠11m ∴--≠2m ∴≠-1m ∴<-且2m ≠-故选：D【点拨】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解此题的关键．10．D【分析】方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求出分式方程的增根，然后代入整式方程，解关于m 的方程即可得解．解：311x mx x -=--，去分母，得3x m -=，由分式方程有增根，得到10x -=，即1x =，把1x =代入3x m -=，并解得2m =-．故选：D ．【点拨】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．11．2x =【分析】根据分式方程的增根是分母为0时x 的值进行求解即可．解：∵方程1122k x x+=--有增根，∴20x -=，∴2x =，故答案为：2x =．【点拨】本题主要考查了求分式方程的增根，熟知分式方程的增根即为分母为0时未知数的值是解题的关键．12．3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x ＝3，代入整式方程即可求出m 的值．解：去分母得：x ﹣2x +6＝m ，将x ＝3代入得：﹣3+6＝m ，则m ＝3．故答案为：3．【点拨】本题考查了分式方程无解的情况，熟练的掌握分式方程无解成立的条件是解题的关键．13．5m =或6m =或4m =．【分析】分式方程去分母转化为整式方程求得15x m=-，由分式方程无解求出m 的值即可．解：232111mx x x x -=-+-()()321111mx x x x x -=+-+-()()3121mx x x --=+()51m x -=-15x m=- 关于x 的方程232111mx x x x -=-+-无解50m ∴-=或1111055m m ⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭5m ∴=或115m =--或115m=-解得：5m =或6m =或4m =故答案为：5m =或6m =或4m =．【点拨】本题考查了分式方程无解的情况，将分式方程转化为整式方程是解题的关键．14．1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x-3=0求出x 的值，代入整式方程求出k 的值即可．解：分式方程去分母得：x-2=k+2（x-3），即x=4-k ，由分式方程无解得到x-3=0，即x=3，代入整式方程得：3=4-k ，解得：k=1，故答案为：1．【点拨】此题考查了分式方程的解，需注意在解分式方程时要考虑分母不为0．15．k =1或k =12【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x 的值，代入整式方程计算即可求出k 的值．解：去分母得：12x kx +-=，∴()11k x -=-，∵分式方程无解，∴k -1=0或121x k =-=-，∴k =1或k =12，故答案为：k =1或k =12．【点拨】此题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．16．3k ≥-且1k ≠-【分析】首先解分式方程用含k 的式子表示x ，然后根据解是非负数，求出k 的取值范围即可．解：∵2322x k x x-=--，∴()322x x k --=-，整理，可得：3x k =+，∵关于x 的分式方程2322x kx x-=--的解为非负数，∴30k +≥且32k +≠，解得：3k ≥-且1k ≠-．故答案为：3k ≥-且1k ≠-．【点拨】本题考查解分式方程和解一元一次不等式，解答此题的关键是注意分母不为0．17．2-【分析】先去分母，化成整式方程，再根据增根为使得分母为0的值，将其代入变形后的整式方程即可解出k ．解：在方程133x kx x +=++两边同时乘以3x （+）得1x k +=，∵方程有增根，即3x =-满足方程1x k +=，将3x =-代入得31k -+=，∴2k =-故答案为：2-．【点拨】本题考查了分式方程的增根，正确理解增根的含义是解题的关键．18．35m ≥-且1m ≠【分析】解分式方程求得方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．解：7766x mx x--=--，去分母得：77(6)x m x -+=-，去括号得：7742x m x -+=-，移项，合并同类项得：6350x m -++=，解得：356mx +=． 关于x 的方程7766x mx x--=--的解的解为非负数，∴3506m+≥．解得：35m ≥-．分式方程有可能产生增根6，6x ∴≠-，∴3566m+≠-，1m ∴≠．综上，m 的取值范围是35m ≥-且1m ≠．故答案为：35m ≥-且1m ≠．【点拨】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程，正确求出分式方程的解是解题的关键．19．8【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到30x -=，据此求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．解：去分母，得：() 523x x m+=-+由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =，把3x =代入整式方程，可得： 8m =．故答案为：8．【点拨】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20．2m <-且3m ≠-【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．解：去分母，得：()321x m x =-+-，去括号，移项，合并同类项，得：2x m =--．∵关于x 的分式方程3211x m x x=+--的解为正数，∴20m -->．又∵10x -≠，∴1x ≠．∴21m --≠．解得：2m <-且3m ≠-．故答案为：2m <-且3m ≠-．【点拨】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用m 表示出x 的值是解题的关键．21．（1）m ＝5（2）m ＝3或7【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将x ＝2代入计算即可求出m 的值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将x ＝1代入计算，即可求出m 的值．解：分式方程去分母得：7+3（x−1）＝mx ，（1）将x ＝2代入得：7+3（2−1）＝2m ，解得m ＝5；（2）整理得(m-3)x=4,当m=3时，整式方程无解；当3m ≠时，将x ＝1代入得：7+3（1−1）＝m ，解得m ＝7．此时，方程有增根，综上，m ＝3或7时原方程无解．【点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．22．(1)m =-6；(2)当x =﹣2时，m =1.5；当x =1时，m =﹣6；(3)m 的值为﹣1或﹣6或1.5【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母（x -1）(x +2)，化为整式方程；把方程的增根x =1代入整式方程，解方程即可得；（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x 的值，然后代入整式方程即可得；（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得．（1）解：方程两边同时乘以（x +2）（x ﹣1），得2（x +2）+mx =x -1，整理得（m +1）x =﹣5，∵x =1是分式方程的增根，∴1+m =﹣5，解得：m =﹣6；（2）解：∵原分式方程有增根，∴（x +2）（x ﹣1）=0，解得：x =﹣2或x =1，当x =﹣2时，m =1.5；当x =1时，m =﹣6；（3）解：当m +1=0时，该方程无解，此时m =﹣1；当m +1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m =﹣6或m =1.5，综上，m 的值为﹣1或﹣6或1.5．【点拨】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键．23．（1）4m =或2m =；（2）4m <且2m ≠【分析】(1)将分式通分后得出新的方程,①令新方程无解解出即可;②原分式分母为零,解出x 代入新方程解出m.(2)将新方程的x 表示出来,令方程小于零,解出即可.解：()()223323233326233x mx x x x x mx x x x m x x x x =-+++=-+++--=++由上得:2x =(m -2)x -6,整理得:(4-m )x =-6.(1)①当4-m=0即m=4时,原方程无解;②当分母x+3=0即x=-3时,方程无解;故2×(-3)=(m-2)×(-3)－6,解得m=2,综上所述,m=4或m=2.(2)()46m x -=-当m≠4时,604x m-=<-,解得4m <综上所述,4m <且2m ≠.【点拨】本题考查分式方程的运算,关键在于理解无解的情况.24．4a =-【分析】根据题意可得1x =，然后把x 的值代入5311x a x x --=--去分母后得到的整式方程中进行计算即可解答．解：5311x a x x --=--，两边同乘以(1)x -得()531x x a --=-，解得：84a x +=∵关于x 的方程5311x a x x --=--无解，∴10x -=，即1x =把1x =代入84a x +=中可得：解得：4a =-，∴4a =-．【点拨】本题考查了分式方程，把x的值代入整式方程中进行计算是解题的关键．。

专题12 分式方程的无解与增根知识解读1.分式方程增根的定义方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 2.分式方程无解有两种可能（1）将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是“0x =1”的形式，即整式方程无解；（2）整式方程求得的解，使得原分式方程的分母等于0，即求得的根为增根。

3.验根的方法（1）代人原方程检验，看方程左、右两边的值是否相等，如果相等，则未知数的值是原方程的解，否则就是原方程的增根；（2）代人最简公分母检验，看最简公分母的值是否为零，若值为零，则未知数的值是原方程的增根，否则就是原方程的根.前一种方法虽然计算量大，但是能检查解分式方程中有无计算错误，后一种虽然简单，但不能检查解方程的过程有无计算错误，所以在使用后一种检验方法时，应以解方程的过程没有错误为前提。

培优学案典例示范一、分式方程增根的讨论 例1若方程233x mx x -=--有增根，则m 的值为 （ ） A. -3 B .3 C .0 D .以上都不对【提示】如果这个方程有增根，则这个增根为x =3，x =3虽然不是233x mx x -=--的解，但却是这个方程去分母之后得到的整式方程的解。

【技巧点评】方程有增根，一定存在使公分母等于0的未知数的值.解这类题的一般步骤：①把分式方程化成整式；方程；②令公分母为0，求出x 的值；③把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值。

跟踪训练1.当m 为何值时，解方程225++111mx x x =--会产生增根？二、分式方程的无解 例2若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = . 【提示】分式方程无解，需要就分式方程有增根和整式方程无解两种情况讨论。

【技巧点评】已知分式方程的无解，可先考虑去分母，将它化成整式方程，然后讨论是整式方程无解，还是分式方程的根为增根。

跟踪训练2.当k 时，分式方程，0111x k x x x x +-=--+无解.三、分式方程解的讨论 例3 已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围为 。