分式方程增根与无解专题

x-2 (x-3)=m
整理得：
x=6-m
∵原方程有解，故 6-m 不是增根。
∴6-m≠3 即 m≠3
∵x＞0
∴m＜6
由此可得答案为 m 的取值范围是 m＜6 且 m≠3。 一、分式方程有增根，求参数值
2
x2 4xa 例 7 a 为何值时，关于 x 的方程 x 3 =0 有增根？
解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得 x2-4x+a=0（※） 因为分式方程有增根，增根为 x=3，把 x=3 代入（※）得，9-12+a=0 a=3
整理得（a－1）x＝－10
②
1
若原方程无解，则有两种情形： （1）当 a－1＝0（即 a＝1）时，方程②为 0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。 （2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为 x＝2 或－2，把 x＝2 或－2 代入方程②中，求出 a＝－4 或 6． 综上所述，a＝1 或 a＝一４或 a＝6 时，原分式方程无解． 例 5：（2005 扬州中考题）
入（※）得 m=-2
3 所以 m=- 2 或-2 时，原分式方程有增根
k
2
点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程 x 1 +1= ( x 1)( x 2) 有增根，可求得 k=-
2
8
3 ，但分式方程这时有一实根 x= 3 。
二、分式方程是无实数解，求参数值
x2 m 例 9 若关于 x 的方程 x 5 = x 5 +2 无实数，求 m 的值。
整理得：
m(x+1)=7-x2
当 x= -1 时,此时 m 无解；
当 x=1 时,解得 m=3。

八年级数学下---分式方程的增根与无解专项练习 分式方程有增根：指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；（注意是分母为0的x 值不一定都是增根）分式方程无解：是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．练习1：1、当k 为何值时，方程x x k x --=-133会出现增根？ 2、已知分式方程3312x ax x +++=有增根，求a 的值。

3、分式方程x x m x x x -+-=+111有增根x =1，则m 的值为多少？ 4、a 为何值时，关于x 的方程4121x x x a x x -+=+-()有解？ 5、求使分式方程x x m x --=-3232产生增根的m 的值。

6、已知关于x 的方程2x x k 2x 21x 12-+=++-有增根，求k 的值。

7、当m 为何值时，关于x 的方程21112x x m x x x ---=+-无实根。

练习2：1、若方程4412212--=--+x x x k x 会产生增根，则（ ） A 、2±=k B 、k=2C 、k=－2D 、k 为任何实数2、若解分式方程21112x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（） A.－1或－2B.－1或2C.1或2 D.1或－23、若方程)1)(1(6-+x x -1-x m =1有增根，则它的增根是（） A 、0B 、1C 、-1D 、1或-14、若方程有增根，则a ＝（）. 5、已知有增根，则k ＝（）． 6、若分式方程+3=有增根，则a 的值是（）7、关于x 的方程12144a xx x -+=--有增根，则a =（）8、若分式方程=11m xx +-有增根，则m 的值为（）9、分式方程121mx x =-+有增根，则增根为（）10、关于x 的方程1122kx x +=--有增根，则k 的值为（）11、关于x 的方程21326x m x x -=--有增根，则m 的值（）练习3：1、若方程32x x --=2mx -无解，求m 的值。

标题：探究分式方程的增根和无解现象一、引言分式方程作为高中数学中的重要内容，既有着理论性的抽象性，又有着实际问题的应用性。

在探究分式方程的解的过程中，我们经常会遇到一些特殊的情况，即增根和无解的情形。

本文将深入探讨分式方程有增根和无解的情况，并通过给出20道题目，帮助读者更好地理解和掌握分式方程的解法。

希望通过本文的阐述，读者能够对分式方程有增根和无解的情况有更加深入的认识。

二、分式方程有增根和无解的现象1. 分式方程的定义及一般形式在分式方程中，我们通常会遇到形如$\frac{ax+b}{cx+d}=e$的方程，其中a、b、c、d、e为已知数，x为未知数。

我们的目标是求出x的值，使得方程成立。

2. 分式方程有增根的情况当我们解分式方程时，有时会得到多个不同的x值能够使方程成立。

这种情况被称为分式方程有增根的现象。

对于方程$\frac{2x+3}{x-1}=3$，我们发现当x=3时，方程成立，同时当x=2时也成立。

这便是分式方程有增根的典型情况。

3. 分式方程无解的情况另有时我们解分式方程时却找不到任何一个x值能够使方程成立。

这种情况被称为分式方程无解的现象。

对于方程$\frac{2x+1}{x+3}=3$，我们无法找到任何一个x值能够使方程成立，这便是分式方程无解的典型情况。

三、20道题目示例我们通过以下20道题目来帮助读者更好地理解和掌握分式方程有增根和无解的情况。

1. $\frac{2x+3}{x-1}=3$2. $\frac{3x-5}{2x+4}=2$3. $\frac{4x-2}{2x+3}=5$4. $\frac{5x+1}{3x-2}=4$5. $\frac{2x+1}{x-2}=3$6. $\frac{4x-3}{2x+5}=2$7. $\frac{5x-2}{3x+1}=6$8. $\frac{3x+2}{x+1}=2$9. $\frac{2x-1}{x+3}=4$10. $\frac{6x+2}{3x-4}=1$11. $\frac{4x+3}{x-2}=3$12. $\frac{7x+1}{4x+3}=5$13. $\frac{5x-3}{2x-1}=4$14. $\frac{3x+2}{x-5}=2$15. $\frac{2x-3}{x-4}=3$16. $\frac{8x-2}{4x-1}=5$17. $\frac{4x+5}{2x-3}=6$18. $\frac{5x+2}{3x-1}=4$19. $\frac{6x-1}{3x+2}=2$20. $\frac{7x+3}{2x-1}=3$四、总结和回顾在本文中，我们深入探讨了分式方程有增根和无解的情况。

分式方程的增根和无解专题课本题型一:解分式方程, 解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为0,所以解分式方程必须磨练.例1.解方程(1) 2223-=---x x x (2) 114112=---+x x x 专练一.解分式方程 （每题5分共50分）（1）223433x x x x +-=+ （2）3513+=+x x ; （3）30120021200=--x x（4）255522-++x x x =1(5) 2124111x x x +=+--. (6) 2227461x x x x x +=+--（7）11322x x x -+=---(8)512552x x x =---(9) 6165122++=-+x x x x 题型二:关于增根:将分式方程变形为整式方程,方程双方同时乘以一个含有未知数的整式,并越去分母,有时可能产生不合适原分式方程的根,这种根平日称为增根.例2. 若方程x x x --=+-34731有增根,则增根为. 例3．若关于x 的方程313292-=++-x x x m 有增根, 则增根是若干?产生增根的m 值又是若干?评注：由以上几例可知,解答此类问题的根本思绪是：（1）将所给方程化为整式方程;（2）由所给方程肯定增根（使最简公分母为零的未知数的值或标题给出）（3）将增根代入变形后的整式方程,求出字母系数的值.专演习二：3323-+=-x x x 有增根,则增根为.2. 使关于x 的方程a x x a x 2224222-+-=-产生增根的a 的值是（ ）A. 2B. －2C. ±2D. 与a 无关3.若解分式方程21112x x m x x x x +-++=+产生增根,则m 的值是（ ）A. －1或－2B. －1或2C. 1或2D. 1或－24.当m 为何值时,解方程115122-=-++x m x x 会产生增根?5.关于x 的方程x x k x -=+-323会产生增根,求k 的值.6.当k 为何值时,解关于x 的方程：()()()1151112x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1.7.当a 取何值时,解关于x 的方程：()()x x x x x ax x x ---++=+-+12212212无增根？ 题型三:分式方程无解①转化成整式方程来解,产生了增根;②转化的整式方程无解.例4、 若方程x m x x -=--223无解,求m 的值.1、已知关于x 的方程mx m x =-+3无解,求m 的值.2.的值。

初中数学分式方程增根与无解问题专题突破一（附答案详解）1．方程2223671x x x x x +=--+的根的情况，说法正确的是（的根的情况，说法正确的是（ ） A ．0是它的增根 B ．－1是它的增根C ．原分式方程无解D ．1是它的根2．下列结论正确的是（．下列结论正确的是（ ）A ．4131-=+y y 是分式方程是分式方程B ．方程1416222=--+-x x x 无解无解C ．方程x x xx x x +=+222的根为x=0D ．只要是分式方程，解时一定会出现增根．只要是分式方程，解时一定会出现增根3．分式方程 有增根，则增根可能是（有增根，则增根可能是（ ）。

A ．0B ．2C ．0或2D ．14．若分式方程有增根，则增根可能是（有增根，则增根可能是（ ）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．05．若分式方程21111x kx x +-=--有增根，则增根可能是（有增根，则增根可能是（ ）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．06．若分式方程33x x -++1=m 有增根，则这个增根的值为（有增根，则这个增根的值为（ ）A ．1B ．3C ．－3D ．3或-37．如果解分式方程出现了增根，那么增根是（出现了增根，那么增根是（ ）A ．0B ．-1C ．3D ．18．关于的分式方程有增根，则的值为（的值为（ ）A． B． C． D．9．关于x的分式方程+3=有增根，则增根为（有增根，则增根为（ ）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣310．若关于的分式方程有增根，则的值是（的值是（ ）A．或 B． C． D．或11．若分式方程有增根,则k的值是_________.12．若分式方程有增根，则的值为_______．13．若分式方程有增根，则=_________14．分式方程有增根，则m＝_____________．15．若分式方程＝2有增根，则m的值为的值为 。

16．若分式方程有增根，则的值是_____17．若关于x的分式方程有增根，则m的值为_____．18．若关于x的分式方程有增根，则= ．19．用去分母的方法，解关于x 的分式方程的分式方程 8x x-＝2＋8m x -有增根，则m ＝ ．20．若关于x 的分式方程有增根，则m=________答案: 1．C解：方程两边同乘x(x+1)(x-1)，得3(x+1)-6x=7(x-1)， 解得：x=1， 检验：当x=1时，x(x+1)(x-1)=0，所以x=1不是原方程的解，原方程无解，故选C. 2．B解：A 、利用分式方程的定义判断即可得到结果；、利用分式方程的定义判断即可得到结果；B 、分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验得到分式方程的解，即可做出判断；的解，即可做出判断；C 、分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验得到分式方程的解，即可做出判断；D 、分式方程不一定出现增根．、分式方程不一定出现增根．解：A 、4131-=+y y 是一元一次方程，错误；是一元一次方程，错误；B 、方程1416222=--+-x x x ， 去分母得：（x ﹣2）22﹣16=x 22﹣4，整理得：x 2﹣4x+4﹣16=x 2﹣4， 移项合并得：﹣4x=8，解得：x=﹣2，经检验x=﹣2是增根，分式方程无解，正确；是增根，分式方程无解，正确；C 、方程x x xx x x+=+222，去分母得：2x=x ，解得：x=0，经检验x=0是增根，分式方程无解，错误；是增根，分式方程无解，错误；D 、分式方程解时不一定会出现增根，错误，故选B3．C解：方程两边通乘以x （x-2）得x=2（x-2）+m ，解得x=4-m ，由于有增根，所以4-m=0或4-m=2．故选C4．A 解：∵原方程有增根，解：∵原方程有增根，∴最简公分母（x+1）（x ﹣1）=0，解得x=﹣1或1， 当x=﹣1，k=﹣2+2=0．而当k=0时，原方程为﹣1=0，此时方程无解．故x=1，故选：A ．5．C 解：∵原方程有增根，∴最简公分母(x+1)(x−1)=0，解得x=−1或1，∴增根可能是：±1.故选：C.6．C解：∵分式方程33x x -++1=m 有增根，∴x+3=0，∴x=-3，即-3是分式方程的增根，故选C 7．C解：∵原方程有增根，∴最简公分母(x −3)=0，解得x =3，故选：C.8．C解：∵关于的分式方程有增根∴x-1=0解得x=1 原方程两边同乘以x-1可得m-3=x-1把x=1代入可得m=3.故选：C.9．A解：方程两边都乘（x ﹣1），得7+3（x ﹣1）=m ，∵原方程有增根，∴最简公分母x ﹣1=0，解得x=1，当x=1时，m=7，这是可能的，符合题意．故选：A ．10．A解：解：∵∵关于x 的分式方程有增根，有增根， ∴是方程 的根，的根， 当11．-1解：方程两边都乘（x-3），得，得1-2（x-3）=-k，∵方程有增根，∴最简公分母x-3=0，即增根是x=3，把x=3代入整式方程，得k=-1．故答案为：-1．12．1解：方程的两边都乘以（x-3），得x-2-2（x-3）=m，化简，得m=-x+4，原方程的增根为x=3，把x=3代入m=-x+4，得m=1，故答案为：1．13．1解:∵分式方程有增根，∴x=2,把x=2代入x-m=1中得：m=1.故答案是：1.14．3解:分式方程去分母得：x+x﹣3=m， 根据分式方程有增根得到x﹣3=0，即x=3， 将x=3代入整式方程得：3+3﹣3=m，则m=3，故答案为：3．15．－1解：先对原方程去分母，再由方程无解可得，再代入去分母后的方程求解即可. 方程＝2去分母得因为分式方程＝2有增根，所以所以，解得.16．0解:∵分式方程有增根，∴∴x=2是方程1+3（x-2）=a+1的根，∴a=0．故答案是：0．17．±解:方程两边都乘x-3，得x-2（x-3）=m 2，∵原方程增根为x=3，∴把x=3代入整式方程，得m=±．18．1解:方程两边同乘以x （x-1）得，x （x-a ）-3（x-1）= x （x-1）， 整理得，(-a-2)x+3=0， ∵关于x 的分式方程存在增根，∴x （x-1）=0，∴x=0或x=1，把x=0代入(-a-2)x+3=0得，a 无解；把x=1代入(-a-2)x+3=0,解得a=1；∴a 的值为1．19．8解:方程两边都乘（x-8），得，得X=2(x-8)+m ，∵原方程有增根，∵原方程有增根，∴最简公分母x-8=0，解得x=8．当x=8时，m=820．-1解:方程两边都乘(x −2)，得1=−m +x −2，∵原方程有增根，∴最简公分母(x −2)=0，解得x =2，当x =2时，m =−1，故答案为−1.i时，解得：当时，解得：故选：A.。

分式方程专题一：知识梳理如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。

二：例题精讲例题1：若方程﹣=1有增根，则它的增根是，m=．【解答】解：由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0，解得：x=±1，分式方程去分母得：6﹣m（x+1）=x2﹣1，把x=1代入整式方程得：6﹣2m=0，即m=3；把x=﹣1代入整式方程得：6=0，无解，综上，分式方程的增根是1，m=3．故答案为：1；3．反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．例题2：若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：﹣2+x+m=2（x﹣2），解得：x=m+2，∵方程的解为正数，∴m+2＞0，且m+2≠2，解得：m＞﹣2，且m≠0，故答案为：m＞﹣2且m≠0．反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．例题3：若关于x的分式方程=a无解，则a的值为．【解答】解：两边同乘以x+1，得x﹣a=ax+a移项及合并同类项，得x（a﹣1）=﹣2a，系数化为1，得x=，∵关于x的分式方程=a无解，∴x+1=0或a﹣1=0，即x=﹣1或a=1，∴﹣1=，得a=﹣1，故答案为：±1．反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．三：典型错题1.在中，x的取值范围为．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=，B=．6.若解分式方程产生增根，则m=．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是9.已知，则的值为．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，则的值为．参考答案：例题1：反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．【解答】解：去分母得：2x﹣a=x+1，由分式方程有增根，得到x+1=0，即x=﹣1，把x=﹣1代入得：﹣2﹣a=0，解得：a=﹣2，故答案为：﹣1；﹣2（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．【解答】解：去分母得：5x﹣3﹣mx=2x﹣8，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：20﹣3﹣4m=0，快捷得：m=，故答案为：（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．【解答】解：去分母得：5x﹣5=x+2k﹣6x，由分式方程有增根，得到x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，把x=0代入整式方程得：k=﹣；把x=1代入整式方程得：k=，则k的值为或﹣．故答案为：或﹣例题2：反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．【解答】解：解关于x的方程=3得x=m+6，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．【解答】解：把方程移项通分得，∴方程的解为x=a﹣6，∵方程的解是负数，∴x=a﹣6＜0，∴a＜6，当x=﹣2时，2×（﹣2）+a=0，∴a=4，∴a的取值范围是：a＜6且a≠4．故答案为：a＜6且a≠4．例题3：反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．【解答】解：去分母得：2x+4+kx=3x﹣6，当k=1时，方程化简得：4=﹣6，无解，符合题意；由分式方程无解，得到x2﹣4=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入整式方程得：4+4+2k=0，即k=﹣4；把x=﹣2代入整式方程得：﹣4+4﹣2k=﹣12，即k=6，故答案为：﹣4或6或1（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得x﹣1=m+3（x﹣2）．m=﹣2x+5．分式方程的增根是x=2，将x=2代入，得m=﹣2×2=5=1，故答案为：1．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：m﹣（x﹣1）=0，即m=x﹣1，∵关于x的分式方程无解，∴x=1或x=﹣1，当x=1时，m=0，当x=﹣1时，m=﹣2，故答案为：0或﹣2．典型错题：1.在中，x的取值范围为0＜x≤1．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是x≥1或x＜﹣2．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=﹣12，B=17．6.若解分式方程产生增根，则m=﹣2或1．．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是m≥﹣2且m≠﹣1 ．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0．9.已知，求的值．【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1=3x，===．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，求的值．【解答】解：∵a2+b2=9ab，∴a2+b2+2ab=11ab，a2+b2﹣2ab=7ab，即（a+b）2=11ab，（a﹣b）2=7ab，∵b＞a＞0，即b﹣a＞0，∴a+b=，b﹣a=，则原式=﹣=﹣=﹣．。

分式方程1. 关于x 的方程12144a xx x -+=--有增根，则a =-------答案：7 2. 解关于x 的方程15mx =-下列说法正确的是（C ）A.方程的解为5x m =+B.当5m >-时，方程的解为正数C.当5m <-时，方程的解为负数D.无法确定3.若分式方程1x aa x +=-无解，则a 的值为-----------答案：1或-14 若分式方程=11m xx +-有增根，则m 的值为-------------答案：-15.分式方程121mx x =-+有增根，则增根为------------答案：2或-1 6. 关于x 的方程1122kx x +=--有增根，则k 的值为-----------答案：1 7. 若分式方程x aa a+=无解，则a 的值是----------答案：08.若分式方程201m x m x ++=-无解,则m 的取值是------答案：-1或1-29. 若关于x 的方程(1)5321mx m x +-=-+无解，则m 的值为-------答案：6，10 10. 若关于x 的方程311x m x x--=-无解，求m 的值为-------答案：分式方程应用题分类讲解与训练一、【行程中的应用性问题】例1 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？练习、 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．例3 A 、B 两地相距87千米，甲骑自行车从A 地出发向B 地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B 地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A 地驶来，两人在距离B 地45千米C 处相遇，求甲乙的速度。

分式方程的增根与无解1. 解分式方程的思路是：（1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。

（2） 解这个整式方程。

（3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

（4） 写出原方程的根。

“一化二解三检验四总结”例1：解方程214111x x x +-=-- （1） 增根是使最简公分母值为零的未知数的值。

（2） 增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。

例2：解关于x 的方程223242ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。

解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a =所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。

方法总结：1.化为整式方程。

2.把增根代入整式方程求出字母的值。

例3：解关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。

解：化整式方程的(1)10a x -=-当10a -=时，整式方程无解。

解得1a =原分式方程无解。

当10a -≠时，整式方程有解。

当它的解为增根时原分式方程无解。

把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。

综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。

方法总结：1.化为整式方程。

2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。

例4：若分式方程212x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。

解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23>≠解得2a <且4a ≠- 思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？2．若此方程无解a 的值是多少？方程总结：1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。

专题5.29分式方程增根、无解、正负数解问题（基础篇）（专项练习）一、单选题1．已知关于x 的分式方程211x kx x -=--的解是负数，则k 的取值范围为（）A ．02k <<B ．2k >-且1k ≠-C ．2k >D ．2k <且1k ≠2．如果关于x 的分式方程()21322ax x x -=--无解，则实数a 的值为（）.A ．1或32B ．32C ．1-或32D ．1-3．若关于x 的分式方程1x aa x -=+无解，则a 的值为()A ．1B ．1-C ．1-或0D ．1或1-4．关于x 的方程31111x mx x --=++有增根，则方程的增根是（）A ．1-B ．4C ．4-D ．25．若关于x 的方程3211x mx x -=+--有增根，则m 的值为（）A ．1B ．0C ．3D ．2-6．关于x 的分式方程433x k x x-=--的解为非正数，则k 的取值范围是（）A ．12k ≤-B ．12k ≥-C ．12k >D ．12k <-7．若方程212x ax +=--的解是非负数，则a 的取值范围是（）A ．2a ≤B ．2a <且4a ≠-C ．2a ≥D ．2a ≤且4a ≠-8．已知关于x 的分式方程311m x +=-的解为正数，则m 的取值范围是（）A ．4m ≥-B ．4m ≥-且3m ≠-C ．4m >-D ．4m >-且3m ≠-9．如果关于x 的方程211x x m-+=的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．1m >-B ．1m >-且0m ≠C ．1m <-D ．1m <-且2m ≠-10．若分式方程311x mx x -=--有增根，则m 等于（）A ．3B ．3-C ．2D ．2-二、填空题11．若方程1122k x x+=--有增根，则方程的增根是__________．12．若分式方程233x m x x -=--无解，则m 的值为_____．13．若关于x 的方程，232111mx x x x -=-+-无解，则m 的值为_______________14．已知关于x 的分式方程2233x kx x -=+--无解，则k 的值是__________．15．关于x 的方程1122kx x x +=--无解，则k 的值为__________．16．若关于x 的分式方程2322x kx x -=--的解为非负数，则k 的取值范围为______．17．若关于x 的分式方程133x kx x +=++有增根，则k 的值是__________．18．如果关于x 的方程7766x mx x--=--的解是非负数，则m 的取值范围为___________．19．若关于x 的分式方程5233x mx x+=---有增根，则常数m 的值是_________．20．若关于x 的分式方程3211x m x x+=--的解为正数，则m 的取值范围是 ______．三、解答题21．给定关于x 的分式方程7311mx x x +=--，求：（1）m 为何值时，这个方程的解为2x =？（2）m 为何值时，这个方程无解？22．已知关于x 的分式方程()()211122mx x x x x +=--++，(1)若方程的增根为x =1，求m 的值(2)若方程有增根，求m 的值(3)若方程无解，求m 的值．23．解答下列问题:已知关于x 的方程2233x mxx x =-++（1）m 为何值时，方程无解？（2）m 为何值时，方程的解为负数？24．已知关于x 的方程5311x a x x --=--无解，求a 的值．参考答案1．C【分析】解分式方程用k 表示出x ，根据解为正数及分式有意义的条件得到关于k 的不等式组，解不等式组即可得到答案．解：解得：211x k x x -=--去分母得：()21x x k ---=，∴23kx -=，∵211x k x x -=--的解为负数，且分式有意义，∴2032103kk -⎧<⎪⎪⎨-⎪-≠⎪⎩，解得：2k >，故选：C ．【点拨】本题考查分式方程与不等式的综合应用，解分式方程得到关于k 的不等式组是解题关键，注意分式有意义的条件，避免漏解．2．C【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a 的值即可．解：方程两边同乘2(2)x -可得：23x ax -=-，当整式方程无解时，此时1a =-，当整式方程有解时2x =，代入可得：230a -=，解得32a =，综上所述，a 的值为1-或32，故C 正确．故选：C ．【点拨】本题主要考查分式方程无解情况，先转化为整式方程，然后根据无解的情况，分类讨论即可．3．D【分析】化简分式方程得21ax a =-，要是分式方程无解有两种情况，当分式方程有增根时，=1x -，代入即可算出a 的值，当等式不成立时，使分母为0，则1a =．解：1x aa x -=+化简得：21a x a=-当分式方程有增根时，=1x -代入得1a =-．当分母为0时，1a =．a 的值为1-或1．故选：D ．【点拨】本题主要考查的是分式方程无解的两种情况①当分式方程有增根时，此方程无解，②当等式不成立时，此方程无解．4．C【分析】由分式方程有增根，得到10x +=，求出x 的值，将原方程去分母化为整式方程，将x 的值代入即可求出m 的值．解：由分式方程有增根，得到10x +=，解得：=1x -，分式方程31111x mx x --=++，去分母得311x m x --=+，将=1x -代入311x m x --=+中，得：3111m ---=-+，解得：4m =-，故选：C ．【点拨】本题考查了分式方程的增根，关键是求出增根的值，代入到分式方程化简后的整式方程中去求未知数参数的值．5．D【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母10x -=，得到1x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值．解：3211x mx x -=+--方程两边都乘以1x -，得：()321x m x -=+-，∵分式方程有增根，∴10x -=，即1x =，将1x =代入整式方程，得：13m -=，即2m =-，故选：D ．【点拨】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．6．A【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k 的不等式，解出k 的范围即可．解：方程433x kx x-=--两边同时乘以(3)x -得：4(3)x x k --=-，412x x k ∴-+=-，312x k ∴-=--，43kx ∴=+， 解为非正数，∴403k+≤，12k ∴≤-．故选：A ．【点拨】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．7．D【分析】根据分式有解得到4a ≠-，再根据分式方程的解为非负数求出2a ≤，即可得到答案．解：212x ax +=--解方程得23ax -=，∵方程212x ax +=--的解是非负数，而且20x -≠，∴2x ≠，∴203a-≥而且223a -≠，得2a ≤且4a ≠-，∴当2a ≤且4a ≠-时方程212x ax +=--的解是非负数．故选：D【点拨】此题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．8．D【分析】解分式方程用m 表示x ，由关于x 的分式方程的解是正数及分式方程的增根可求解m 的取值范围．解：方程两边同乘以1x -得31m x +=-，解得4x m =+，∵x 的分式方程311m x +=-的解是正数，∴4>0m +，解得>4m -，∵10x -≠，即410m +-≠，解得3m ≠-，∴m 的取值范围为>4m -且3m ≠-．故选：D ．【点拨】本题考查的是解一元一次不等式，分式方程的解法，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．9．D 【分析】根据211x x m-+=得出1x m =--，为正数，即10m -->，从而得出m 的取值范围．再根据10x -≠，推出2m ≠-．解：211x x m-+=21x m x +=-解得：1x m =--方程211x x m-+=的解是正数，10x m ∴=-->1m ∴<-10x -≠ 即1x ≠11m ∴--≠2m ∴≠-1m ∴<-且2m ≠-故选：D【点拨】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤是解此题的关键．10．D【分析】方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再求出分式方程的增根，然后代入整式方程，解关于m 的方程即可得解．解：311x mx x -=--，去分母，得3x m -=，由分式方程有增根，得到10x -=，即1x =，把1x =代入3x m -=，并解得2m =-．故选：D ．【点拨】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．11．2x =【分析】根据分式方程的增根是分母为0时x 的值进行求解即可．解：∵方程1122k x x+=--有增根，∴20x -=，∴2x =，故答案为：2x =．【点拨】本题主要考查了求分式方程的增根，熟知分式方程的增根即为分母为0时未知数的值是解题的关键．12．3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x ＝3，代入整式方程即可求出m 的值．解：去分母得：x ﹣2x +6＝m ，将x ＝3代入得：﹣3+6＝m ，则m ＝3．故答案为：3．【点拨】本题考查了分式方程无解的情况，熟练的掌握分式方程无解成立的条件是解题的关键．13．5m =或6m =或4m =．【分析】分式方程去分母转化为整式方程求得15x m=-，由分式方程无解求出m 的值即可．解：232111mx x x x -=-+-()()321111mx x x x x -=+-+-()()3121mx x x --=+()51m x -=-15x m=- 关于x 的方程232111mx x x x -=-+-无解50m ∴-=或1111055m m ⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭5m ∴=或115m =--或115m=-解得：5m =或6m =或4m =故答案为：5m =或6m =或4m =．【点拨】本题考查了分式方程无解的情况，将分式方程转化为整式方程是解题的关键．14．1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x-3=0求出x 的值，代入整式方程求出k 的值即可．解：分式方程去分母得：x-2=k+2（x-3），即x=4-k ，由分式方程无解得到x-3=0，即x=3，代入整式方程得：3=4-k ，解得：k=1，故答案为：1．【点拨】此题考查了分式方程的解，需注意在解分式方程时要考虑分母不为0．15．k =1或k =12【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x 的值，代入整式方程计算即可求出k 的值．解：去分母得：12x kx +-=，∴()11k x -=-，∵分式方程无解，∴k -1=0或121x k =-=-，∴k =1或k =12，故答案为：k =1或k =12．【点拨】此题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根．16．3k ≥-且1k ≠-【分析】首先解分式方程用含k 的式子表示x ，然后根据解是非负数，求出k 的取值范围即可．解：∵2322x k x x-=--，∴()322x x k --=-，整理，可得：3x k =+，∵关于x 的分式方程2322x kx x-=--的解为非负数，∴30k +≥且32k +≠，解得：3k ≥-且1k ≠-．故答案为：3k ≥-且1k ≠-．【点拨】本题考查解分式方程和解一元一次不等式，解答此题的关键是注意分母不为0．17．2-【分析】先去分母，化成整式方程，再根据增根为使得分母为0的值，将其代入变形后的整式方程即可解出k ．解：在方程133x kx x +=++两边同时乘以3x （+）得1x k +=，∵方程有增根，即3x =-满足方程1x k +=，将3x =-代入得31k -+=，∴2k =-故答案为：2-．【点拨】本题考查了分式方程的增根，正确理解增根的含义是解题的关键．18．35m ≥-且1m ≠【分析】解分式方程求得方程的解，利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．解：7766x mx x--=--，去分母得：77(6)x m x -+=-，去括号得：7742x m x -+=-，移项，合并同类项得：6350x m -++=，解得：356mx +=． 关于x 的方程7766x mx x--=--的解的解为非负数，∴3506m+≥．解得：35m ≥-．分式方程有可能产生增根6，6x ∴≠-，∴3566m+≠-，1m ∴≠．综上，m 的取值范围是35m ≥-且1m ≠．故答案为：35m ≥-且1m ≠．【点拨】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程，正确求出分式方程的解是解题的关键．19．8【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到30x -=，据此求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．解：去分母，得：() 523x x m+=-+由分式方程有增根，得到30x -=，即3x =，把3x =代入整式方程，可得： 8m =．故答案为：8．【点拨】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20．2m <-且3m ≠-【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．解：去分母，得：()321x m x =-+-，去括号，移项，合并同类项，得：2x m =--．∵关于x 的分式方程3211x m x x=+--的解为正数，∴20m -->．又∵10x -≠，∴1x ≠．∴21m --≠．解得：2m <-且3m ≠-．故答案为：2m <-且3m ≠-．【点拨】本题考查的是根据分式方程的解的情况求参数，可以正确用m 表示出x 的值是解题的关键．21．（1）m ＝5（2）m ＝3或7【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，将x ＝2代入计算即可求出m 的值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，将x ＝1代入计算，即可求出m 的值．解：分式方程去分母得：7+3（x−1）＝mx ，（1）将x ＝2代入得：7+3（2−1）＝2m ，解得m ＝5；（2）整理得(m-3)x=4,当m=3时，整式方程无解；当3m ≠时，将x ＝1代入得：7+3（1−1）＝m ，解得m ＝7．此时，方程有增根，综上，m ＝3或7时原方程无解．【点拨】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．22．(1)m =-6；(2)当x =﹣2时，m =1.5；当x =1时，m =﹣6；(3)m 的值为﹣1或﹣6或1.5【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母（x -1）(x +2)，化为整式方程；把方程的增根x =1代入整式方程，解方程即可得；（2）若方程有增根，则最简公分母为0，从而求得x 的值，然后代入整式方程即可得；（3）方程无解，有两种情况，一种是原方程有增根，一种是所得整式方程无解，分别求解即可得．（1）解：方程两边同时乘以（x +2）（x ﹣1），得2（x +2）+mx =x -1，整理得（m +1）x =﹣5，∵x =1是分式方程的增根，∴1+m =﹣5，解得：m =﹣6；（2）解：∵原分式方程有增根，∴（x +2）（x ﹣1）=0，解得：x =﹣2或x =1，当x =﹣2时，m =1.5；当x =1时，m =﹣6；（3）解：当m +1=0时，该方程无解，此时m =﹣1；当m +1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m =﹣6或m =1.5，综上，m 的值为﹣1或﹣6或1.5．【点拨】本题考查了分式方程无解的问题，正确的将分式方程转化为整式方程，明确方程产生无解的原因，能正确地根据产生的原因进行解答是关键．23．（1）4m =或2m =；（2）4m <且2m ≠【分析】(1)将分式通分后得出新的方程,①令新方程无解解出即可;②原分式分母为零,解出x 代入新方程解出m.(2)将新方程的x 表示出来,令方程小于零,解出即可.解：()()223323233326233x mx x x x x mx x x x m x x x x =-+++=-+++--=++由上得:2x =(m -2)x -6,整理得:(4-m )x =-6.(1)①当4-m=0即m=4时,原方程无解;②当分母x+3=0即x=-3时,方程无解;故2×(-3)=(m-2)×(-3)－6,解得m=2,综上所述,m=4或m=2.(2)()46m x -=-当m≠4时,604x m-=<-,解得4m <综上所述,4m <且2m ≠.【点拨】本题考查分式方程的运算,关键在于理解无解的情况.24．4a =-【分析】根据题意可得1x =，然后把x 的值代入5311x a x x --=--去分母后得到的整式方程中进行计算即可解答．解：5311x a x x --=--，两边同乘以(1)x -得()531x x a --=-，解得：84a x +=∵关于x 的方程5311x a x x --=--无解，∴10x -=，即1x =把1x =代入84a x +=中可得：解得：4a =-，∴4a =-．【点拨】本题考查了分式方程，把x的值代入整式方程中进行计算是解题的关键．。

专题12 分式方程的无解与增根知识解读1.分式方程增根的定义方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 2.分式方程无解有两种可能（1）将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是“0x =1”的形式，即整式方程无解；（2）整式方程求得的解，使得原分式方程的分母等于0，即求得的根为增根。

3.验根的方法（1）代人原方程检验，看方程左、右两边的值是否相等，如果相等，则未知数的值是原方程的解，否则就是原方程的增根；（2）代人最简公分母检验，看最简公分母的值是否为零，若值为零，则未知数的值是原方程的增根，否则就是原方程的根.前一种方法虽然计算量大，但是能检查解分式方程中有无计算错误，后一种虽然简单，但不能检查解方程的过程有无计算错误，所以在使用后一种检验方法时，应以解方程的过程没有错误为前提。

培优学案典例示范一、分式方程增根的讨论 例1若方程233x mx x -=--有增根，则m 的值为 （ ） A. -3 B .3 C .0 D .以上都不对【提示】如果这个方程有增根，则这个增根为x =3，x =3虽然不是233x mx x -=--的解，但却是这个方程去分母之后得到的整式方程的解。

【技巧点评】方程有增根，一定存在使公分母等于0的未知数的值.解这类题的一般步骤：①把分式方程化成整式；方程；②令公分母为0，求出x 的值；③把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值。

跟踪训练1.当m 为何值时，解方程225++111mx x x =--会产生增根？二、分式方程的无解 例2若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = . 【提示】分式方程无解，需要就分式方程有增根和整式方程无解两种情况讨论。

【技巧点评】已知分式方程的无解，可先考虑去分母，将它化成整式方程，然后讨论是整式方程无解，还是分式方程的根为增根。

跟踪训练2.当k 时，分式方程，0111x k x x x x +-=--+无解.三、分式方程解的讨论 例3 已知关于x 的方程232x mx +=-的解是正数，则m 的取值范围为 。

分式方程 1. 关于x 的方程12144a x x x-+=--有增根;则a =-------答案：7 2. 解关于x 的方程15m x =-下列说法正确的是C A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时;方程的解为正数C.当5m <-时;方程的解为负数D.无法确定3.若分式方程1x a a x +=-无解;则a 的值为-----------答案：1或-1 4 若分式方程=11m x x +-有增根;则m 的值为-------------答案：-1 5.分式方程121m x x =-+有增根;则增根为------------答案：2或-1 6. 关于x 的方程1122k x x +=--有增根;则k 的值为-----------答案：17. 若分式方程x a a a+=无解;则a 的值是----------答案：0 8.若分式方程201m x m x ++=-无解;则m 的取值是------答案：-1或1-29. 若关于x 的方程(1)5321mx m x +-=-+无解;则m 的值为-------答案：6;1010. 若关于x 的方程311x m x x--=-无解;求m 的值为-------答案： 分式方程应用题分类讲解与训练一、行程中的应用性问题例1 甲、乙两个车站相距96千米;快车和慢车同时从甲站开出;1小时后快车在慢车前12千米;快车比慢车早40分钟到达乙站;快车和慢车的速度各是多少练习、 甲、乙两地相距828km;一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地;直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h;比普通快车早4h到达乙地;求两车的平均速度．例3 A、B两地相距87千米;甲骑自行车从A地出发向B地驶去;经过30分钟后;乙骑自行车由B地出发;用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来;两人在距离B地45千米C处相遇;求甲乙的速度..练习、某客车从甲地到乙地走全长480Km的高速公路;从乙地到甲地走全长600Km的普通公路..又知在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km;由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从乙地到甲地所需时间的一半;求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间..例4 一队学生去校外参观．他们出发30分钟时;学校要把一个紧急通知传给带队老师;派一名学生骑车从学校出发;按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍;这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米;问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间练习：农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机;一部分人骑自行车先走;40分钟后;其余的人乘汽车出发;结果他们同时到达;已知汽车的速度是自行车的3倍;求两车的速度．二、工程类应用性问题例1 甲乙两个工程队合作一项工程;两队合作2天后;由乙队单独112做1天就完成了全部工程..已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍;问甲乙单独做各需多少天例2 甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字;乙的速度是甲的3倍;因此比甲少用20分钟完成任务;他们平均每分钟输入汉字多少个练习1：某农场原计划在若干天内收割小麦960公顷;但实际每天多收割40公顷;结果提前4天完成任务;试求原计划一天的工作量及原计划的天数..2、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半;加一天乙型拖拉机;两台合耕;1天耕完这块地的另一半..乙型拖拉机单独耕这块地需要几天3. 某项工程;需要在规定的时间内完成..若由甲队去做;恰能如期完成；若由乙队去做;需要超过规定日期三天..现在由甲乙两队共同做2天后;余下的工程由乙队独自去做;恰好在规定的日期内完成;求规定的日期是多少天4、甲乙两个水管同时向一个水池注水;一小时能注满水池的87;如果甲管单独注水40分钟;再由乙管单独注水半小时;共注水池的21;甲乙两管单独注水各需多少时间才能注满水池三、营销类应用性问题例1 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后;其平均价比原甲种原料每千克少3元;比乙种原料每千克多1元;问混合后的单价每千克是多少元练习 1.某商场销售某种商品;一月份销售了若干件;共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4元;但是销售量比一月份增加了5000件;从而获得利润比一月份多2000元;调价前每件商品的利润为多少元2、小明和同学一起去书店买书;他们先用15元买了一种科普书;又用15元买了一种文学书;科普书的价格比文学书的价格高出一半;因此他们买的文学书比科普书多一本;这种科普和文学书的价格各是多少3．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包;面市后发现供不应求;商店又购进第二批同样的书包;所购数量是第一批购进数量的3倍;但单价贵了4元;结果第二批用了6300元..1求第一批购进书包的单价是多少元2若商店销售这两批书包时;每个售价都是120元;全部售出后;商店共盈利多少元四、轮船顺逆水应用问题例1 轮船顺流、逆流各走48千米;共需5小时;如果水流速度是4千米/小时;求轮船在静水中的速度..练习1. 轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等;已知水流速度为2千米／时;求船在静水中的速度..2、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同..已知水流的速度是3千米/时;求轮船在静水中的速度.. 五、其他应用性问题例1 要在15%的盐水40千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为20%．练习、甲容器中有15%的盐水30升;乙容器中有18%的盐水20升;如果向两个容器各加入等量的水;使它们的浓度相等;那么加入的水是多少升1、某校招生录取时;为了防止数据输入出错;2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍;然后让计算机比较两人的输入是否一致;已知甲的输入速度是乙的2倍;结果甲比乙少用2小时输完..问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩2、供电局的电力维修工要到30千米远的郊区进行电力抢修;技术工人骑摩托车先走;15分钟后;抢修车装载这所需材料出发;结果他们同时到达;;已知抢修的速度是摩托车的1.5倍..求这两种车的速度..3、某大商场家电部送货人员与销售人员人数之比1：8;今年夏天由于家电购买量明显增多;家电部经理从销售人员中抽调了22人去送货;结果送货人员与销售人员人数之比位2：5.求这个商场家电部原来各有多少名送货和销售人员4、甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城..已知A、C两城的距离为450千米;B、C两城的距离为400千米;甲车比乙车的速度快10千米/时;结果两辆车同时到达C城..求两车的速度..5、某厂储存了350t煤;由于改进炉灶结构和烧煤技术;每天能节约2t煤;使储存的煤比原计划多用了20天..若设原计划用x天;则根据每天能节约2t 煤的关系列方程：若设原计划每天烧yt煤;则根据储存的煤比原计划多了20天的关系列方程：6、在2008年春运期间;我国南方出现大范围冰雪灾害;导致某地电路断电;该地供电局立即组织电工进行抢修..已知供电局距离抢修工地15km;抢修车装载这所需材料先从供电局出发;15min后;电工乘吉普车从同乙地点出发;结果他们同时到达抢修工地;又知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍..若设抢修车的速度位xkm/h;则依题意可列方程：7、某市为治理污水;需要铺设一段全长位3000m的污水输送管道;为了尽量减少施工队城市交通所造成的影响;实际施工时每天的工效比原计划提高25%;结果提前30天完成任务..若设原计划每天铺设xm;则依题意可列方程8、某运输公司需要装运一批货物;先用人工装运;6h完成了一半任务;后来机械装运和人工装运一起进行;1h 完成了后一半任务..如果设单独采用机械装运xh可以完成后一半任务;那么x满足的方程为9、学校要举行跳绳比赛;同学们都积极练习..甲同学跳180个所用的时间与乙同学们跳240个所用的时间一样..又已知甲每分钟比乙少跳5个;求每人每分钟各跳多少个10、两个小组同时开始攀登一座450m高的山;第一组的攀登速度是第二组的1.2倍;他们比第二组早15min到达顶峰..两个小组的攀登速度各是多少11、在“5.12大地震”灾民安置工作中;某企业接到一批生产甲种板材24000m2和乙种板材12000m2的任务..已知该企业安排140人生产这两种板材;每人每天能生产板材30m2.问：应分别安排多少人生产甲种板材和乙种板材;才能确保他们用相同的时间完成各自的生产任务12、某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器;现在生产600台机器所需的时间与原计划生产450台机器所需的时间相同..现在平均每天生产多少台机器13、一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍..用这台机器收割10公顷小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用1h..这台收割机每小时收割多少公顷小麦14、某乡要修一条堤坝;规定x 天完成..若由甲队单独做;恰能如期完成；若由乙队单独做;则要超过规定日期3天完成..现由甲、乙两队合作2天;余下的工程由乙队单独做;恰能如期完成;问：规定日期是多少天15、2008年5月12日14h28min;四川汶川发生了8.0级大地震;震后两小时;武警某师参谋长王毅奉命率部队乘车火速向汶川县城开进..13日凌晨1h15min;车行至古尔沟;巨大的山体塌方将道路完全堵塞;部队无法继续前进;王毅毅然决定带领先遣分队徒步向汶川挺进;到达理县时为救援当地受灾群众而耽搁了1h;随后;先遣分队步行速度提高1/9;于13日23h15min赶到汶川县城..1设先遣分队从古尔沟到理县的步行平均速度为xkm/h;根据题意填写下表2根据题意及表中所得的信息列出方程;并求出先遣分队徒步从理县到汶川的平均速度是每小时多少千米16、某商厦用8万元购进一种衬衫;销完后又用17.6万元购进了第二批这种衬衫;所购数量是第一批的2倍;但购入单价贵了4元..若设第一批购进x件;则x满足的方程位 ;解之得x= ..已知商厦销售这种衬衫时每件定价都是56元;最后剩下150件按八折售完..在这两笔生意中;该商厦共赢利元..17、甲、乙两班学生参加植树造林;已知甲班每天比乙班多植5棵;甲班植80棵所用的天数与乙班植70棵所用的天数相等..若设甲班每天植x棵;则依题意可得方程18、x各同学包租一辆车去景点旅游;租金位180元;出发时增加了2个同学;结果每个同学比原来少分摊3元;则x满足的方程为19、2004年12月28日;我国第一条城际铁路——合宁铁路合肥至南京正式开工建设;建成后;合肥至南京的铁路运行里程将由目前的312km缩短至154km;设计时速是现行时速的2.5倍;旅客列车运行时间将因此缩短约3.13h;求合宁铁路的设计时速..20、甲、乙两地相距19千米;某人从甲地去乙地;先步行7千米;然后改骑自行车;共用了2小时达到乙地;已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍;求步行的速度和骑自行车的速度..21、张明4小时清点完一批图书的一半;李强加入清点另一半图书的工作;两人合作1小时清点完另乙半图书;如果李强单独清点这批图书需要几小时22、某学校学生进行急行军训练;预计行60千米的路程在下午5时到达;后来由于八速度加快1/5;结果于下午4时到达;求原计划行军的速度23、甲容器中有15%的盐水30升;乙容器中有18%的盐水20升;如果向两个容器各加入等量的水;使它们的浓度相等;那么加入的水是多少升。

Fra bibliotek（×）
2、无例 解的分如式方： 程就一x定-有3增根。 0；
（ ×）
X=-3
3、分式方程(若x有增3)根(，x-增1根) 代入最简公
分母中，例其值如一定：为20。=0 0X=2
（√）
x 4、使分式方程的分母等于0的未知数的值
一定是分式方程的增根。
（×）
1 4x2
2
k x2
例3：已知关于x的方程 有增根，求实数K的值。
分式方程
去分母
整式方程
解整式方程
一化 二解
目标
a是分式 方程的解
最简公分母不为０
X=a
检验 最简公分母为０
三检验
a不是分式 方程的解
a就是分式 方程的增根
例1 解方程：
2 4x 3
x2 x 4 x2 解：方程两边都乘以(x+2)(x-2)，得
2
2(x+2)-4x=3(x-2)．
解这个方程，得x=2．
检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0，
所以x=２是增根，原方程无解．
所以原分式方程无解．
例2 解方程：
x -1=3-x +2 x+2 x+2
解：方程两边都乘以(x+2),得x-1=3-x+2(x+2)
整理得 0x＝8．
因为此方程无解， 所以原分式方程无解．
分式方程的增根与无解
分式方程的增根：在分式方程化为整式方程 的过程中，若整式方程的解使最简公分母为0， 那么这个根叫做原分式方程的增根。
01
分式方程的增根是在分式方 程化为整式方程的过程中， 整式方程的解使最简公分母 为0的未知数的值。

中考复习——分式方程的增根与无解问题一、选择题1、关于x的分式方程71x-+3=1mx-有增根，则增根为（）．A. x=1B. x=-1C. x=3D. x=-3答案：A解答：方程两边都乘（x-1），得7+3（x-1）=m，∵原方程有增根，∴最简公分母x-1=0，解得x=1，当x=1时，m=7，这是可能的，符合题意．2、若关于x的分式方程23x-+3x mx+-=1有增根，则m的值为（）．A. 3B. 0C. -1D. -3答案：C解答：方程两边都乘（x-3），得2-（x+m）=x-3，∵原方程有增根，∴最简公分母x-3=0，解得x=3，当x=3时，m=-1，选C.3、关于x的分式方程322mx x---=1有增根，则m的值（）．A. m=2B. m=1C. m=3D. m=-3答案：D解答：去分母得：m+3=x-2，由分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2，把x=2代入整式方程得：m+3=0，解得：m=-3．选D.4、若关于x 的分式方程24x m x +-+2xx -=1有增根，则m 的值是（ ）． A. m =2或m =6 B. m =2C. m =6D. m =-2或m =-6答案：A解答：∵关于x 的分式方程24x m x +-+2xx -=1有增根， ∴x =±2是方程x +m -x （x +2）=4-x 2的根， 当x =2时，2+m -2（2+2）=4-4， 解得：m =6，当x =-2时，-2+m =4-4， 解得：m =2． 选A.5、关于x 的分式方程71x x -+5=211m x --有增根，则m 的值为（ ）．A. 1B. 3C. 4D. 5答案：C解答：方程两边都乘（x -1）， 得7x +5（x -1）=2m -1， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x -1=0， 解得x =1，当x =1时，7=2m -1， 解得m =4， 所以m 的值为4． 6、若关于x 的方程31x -=1-1k x-无解，则k 的值为（ ）．A. 3B. 1C. 0D. -1答案：A解答：方程两边都乘x -1， 得：3=x -1+k ， ∵原方程有增根，∴最简公分母x-1=0，解得x=1，当x=1时，k=3．故k的值为3．选A.7、关于x的方程321xx-+=2+1mx+无解，则m的值为（）．A. -5B. -8C. -2D. 5答案：A解答：去分母得：3x-2=2x+2+m，由分式方程无解，得到x+1=0，即x=-1，代入整式方程得：-5=-2+2+m，解得：m=-5，选A.8、关于x的方程12xx--=2mx-+2无解，则m的值是（）．A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C解答：去分母得x-1=m+2（x-2），解得x=3-m，当x=2时分母为0，方程无解，即3-m=2，m=1时方程无解．选C.9、若关于x的方程32233x mxx x-----=-1无解，则m的值为（）．A. 1B. 3C. 1或53D.53答案：C解答：两边同时乘x-3，得3-2x+mx-2=-x+3，∴（m-1）x=2．①当m=1时，0=2矛盾，∴无解．②当m ≠1时，x =21m -， ∴方程无解． ∴方程有增根， ∴x =3，即21m -=3， ∴m =53．综上所述m =1或53． 选C. 10、若分式232x a x x --+12x -=2x无解，则实数a 的取值为（ ）．A. 0或2B. 4C. 8D. 4或8答案：D 解答：解方程：232x a x x --+12x -=2x，去分母，得3x -a +x =2（x -2）， 去括号，得3x -a +x =2x -4， 移项，得3x +x -2x =-4+a ， 合并同类项，得2x =-4+a ， 系数化为1，得x =42a -， 又∵原分式方程无解， ∴42a -=0或2， ∴a =4或8． 选D.11、若关于x 的方程12x =3k x +无解，则k 的值为（ ）．A. 0或12B. -1C. -2D. -3答案：A解答：去分母得：x +3=2kx ， ∴（2k -1）x =3，当k =12时，（2k -1）x =3无解，即原方程无解． 由分式方程无解，得到2x （x +3）=0， 解得：x =0或x =-3．把x =0代入整式方程得：3=0，无解． 把x =-3代入整式方程得：-6k =0，解得k =0． 综上所述，k 的值为0或12． 选A. 二、填空题 12、若关于x 的方程32x x --=2mx-有增根，则m =______． 答案：1解答：方程两边都乘（x -2），得x -3=-m ， ∵方程有增根，∴最简公分母x -2=0，即增根是x =2， 把x =2代入整式方程，得m =1． 故答案为：1． 13、关于x 的方程23x x m--=0有增根．则m =______． 答案：9 解答：要使方程23x x m--=0有增根，则x =3使x 2-m =0， 得m =9． 14、分式方程233m x x---=1有增根，则m =______． 答案：-2解答：去分母得：m +2=x -3，由分式方程有增根，得到x -3=0，即x =3， 把x =3代入整式方程得：m +2=0， 解得m =-2． 故答案为：-2．15、若关于x 的分式方程31x a x x---=1无解，则a =______． 答案：1或-2解答：去分母得x 2-ax -3x +3=x 2-x ，（a +2）x =3， ①去分母后的整式方程无解，∴a +2=0，a =-2； ②解为增根，舍去，∴x =1，a =1， x =0，不符合题意． 16、若关于x 的分式方程3x x --2=3mx -有增根，则m 的值为______． 答案：3解答：方程两边都乘x -3， 得x -2（x -3）=m ． ∵原方程有增根， ∴最简公分母x -3=0， 解得x =3， 当x =3时，m =3． 故m 的值是3． 17、若关于x 的方程22x -+2x m x+-=2有增根，则m 的值是______． 答案：0解答：方程两边都乘以（x -2）， 得2-x -m =2（x -2）， ∵分式方程有增根， ∴x -2=0， 解得x =2， ∴2-2-m =2（2-2）， 解得m =0．18、已知关于x 的分式方程21x ax +-=1无解，则a 的值为______． 答案：-2 解答：21x ax +-=1 方程两边同乘以x -1，得移项及合并同类项，得 x =-1-a ，∵关于x 的分式方程21x ax +-=1无解， ∴x -1=0，得x =1， ∴-1-a =1，得a =-2． 故答案为：-2． 19、关于x 的分式方程2m x -+2xx-=2无解，则实数m 的值为______． 答案：2解答：去分母得：m -x =2x -2， 把x =2，代入得：m -2=22-2， 解得：m =2．20、如果关于x 的分式方程25x x --=5mx-无解，m 的值为______． 答案：-3解答：将原分式方程整理为整式方程：x =2-m ， ∵分式方程无解，∴分式方程有增根x =5， ∴m =-3．21、关于x 的分式方程2142m x x --+=0无解，则m =______． 答案：0或-4解答：方程去分母得：m -（x -2）=0，解得：x =2+m ，∴当x =2时分母为0，方程无解，即2+m =2，∴m =0时方程无解．当x =-2时分母为0，方程无解，即2+m =-2，∴m =-4时方程无解．综上所述，m 的值是0或-4． 22、若分式方程2111x mx x x +-+-=11x x +-无解，则m 的值是______． 答案：-3或-5或-1解答：方程去分母得：x （x -1）-（mx +1）=（x +1）（x +1）， 解得：x （3+m ）+2=0，当x =0时整式方程无解，即m =-3， ∴当x =1时分母为0，方程无解，∴当x =-1时分母为0，方程无解， 即m =-1．故答案为：-3或-5或-1． 23、若关于x 的分式方程52a x -+=2xx++3无解，那么a 的值为______． 答案：7 解答：52a x -+=2xx++3， 去分母得：5-a =x +3（x +2）， 将x =-2代入上式得：5-a =-2， 所以a =7． 故答案为：7．24、若关于x 的分式方程32xx --1=32m x +-有增根，则m 的值为______．答案：3解答：方程两边都乘（x -2），得3x -x +2=m +3， ∵原方程有增根，∴最简公分母x -2=0，解得x =2，把x =2代入3x -x +2=m +3，得3×2-2+2=m +3，解得m =3． 25、关于x 的方程3mx x -=33x -无解，则m 的值是______． 答案：1或0解答：去分母得mx =3，∵x =3时，最简公分母x -3=0，此时整式方程的解是原方程的增根， ∴当x =3时，原方程无解，此时3m =3，解得m =1， 当m =0时，整式方程无解． ∴m 的值为1或0时，方程无解． 故答案为：1或0． 三、解答题26、若关于x 的分式方程31x a x x---=1无解，求a 的值． 答案：a =1或a =-2．解答：去分母得：x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），去括号得：x2-ax-3x+3=x2-x，移项合并得：（a+2）x=3，（1）把x=0代入（a+2）x=3，∴a无解，当x=1代入（a+2）x=3，解得a=1，（2）（a+2）x=3，当a+2=0时，0×x=3，x无解，即a=-2时，整式方程无解，综上所述，当a=1或a=-2时，原方程无解，故答案为：a=1或a=-2．27、当a为何值时，关于x的方程ax=()21xx x+-无解？答案：1或-2解答：方程两边同乘x（x-1）得：a（x-1）=x+2，整理得：（a-1）x=2+a（i）当a-1=0，即a=1时，原方程无解；（ii）当a-1≠0，原方程有增根x=0或1，当x=0时，2+a=0，即a=-2；当x=1时，a-1=2+a，无解，即当a=1或-2时原方程无解．28、已知关于x的分式方程21x-+()()12mxx x-+=12x+．（1）已知m=4，求方程的解．（2）若该分式方程无解，试求m的值．答案：（1）x=-1．（2）m的值可能为-1、1.5或-6．解答：（1）方程两边同时乘以（x+2）（x-1），去分母并整理得5x=-5，解得x=-1，经检验，x =-1是原方程的解．（2）方程两边同时乘以（x +2）（x -1）， 去分母并整理得（m +1）x =-5， ∵原分式方程无解，∴m +1=0或（x +2）（x -1）=0， 当m +1=0时，m =-1； 当（x +2）（x -1）=0时， 解得：x =-2或x =1， 当x =-2时，m =1.5； 当x =1时，m =-6；所以m 的值可能为-1、1.5或-6． 29、已知关于x 的分式方程1xx --1=()()12m x x -+ （1）m 为何值时，这个方程的解为x =2？ （2）m 为何值时，这个方程有增根？ 答案：（1）m =4．（2）m =3．解答：（1）分式方程去分母得：x （x +2）-（x -1）（x -2）=m ， 将x =2代入得：8-4=m ，即m =4．（2）分式方程去分母得：x （x +2）-（x -1）（x -2）=m ， 将x =1代入得：m =3；将x =-2代入得：m =0（舍去）． 则m =3．30、已知关于x 的方程111m xx x ----=0无解，方程x 2+kx +6=0的一个根是m ． （1）求m 和k 的值．（2）求方程x 2+kx +6=0的另一个根．答案：（1）m =2，k =-5．（2）方程的另一个根为3． 解答：（1）∵关于x 的方程111m xx x ----=0无解， ∴x -1=0， 解得x =1，方程去分母得：m -1-x =0，把x=1代入m-1-x=0得：m=2．把m=2代入方程x2+kx+6=0得：4+2k+6=0，解得：k=-5．（2）方程x2-5x+6=0，（x-2）（x-3）=0，∴x1=2，x2=3，∴方程的另一个根为3．。

分式方程的增根与无解讲解例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．例3（2007湖北荆门）若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x ＝2或－2，把x ＝2或－2代入方程②中，求出a ＝－4或6．综上所述，a ＝1或a ＝一４或a ＝6时，原分式方程无解．例5：（2005扬州中考题）若方程)1)(1(6-+x x -1-x m =1有增根，则它的增根是（ ） A 、0 B 、1 C 、-1 D 、1或-1分析：使方程的最简公分母 (x+1)(x-1)=0则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。

分式方程 【2 】1. 解分式方程的思绪是：（1） 在方程的双方都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程.（2） 解这个整式方程.（3） 把整式方程的根带入最简公分母,看成果是不是为零,使最简公分母为零的根是原方程的增根,必须舍去.（4） 写出原方程的根.“一化二解三磨练四总结”例1：解方程214111x x x +-=-- 例2：解关于x 的方程223242ax x x x +=--+有增根,则常数a 的值. 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根,把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10,解得6a = 所以4a =-或6a =时,原方程产生增根.办法总结：1.化为整式方程.2.把增根代入整式方程求出字母的值.例3：解关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解,则常数a 的值. 解：化整式方程的(1)10a x -=-当10a -=时,整式方程无解.解得1a =原分式方程无解.当10a -≠时,整式方程有解.当它的解为增根时原分式方程无解.把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =.综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解.办法总结：1.化为整式方程.2.把整式方程分为两种情形评论辩论,整式方程无解和整式方程的解为增根. 例4：若分式方程212x a x +=--的解是正数,求a 的取值规模.解：解方程的23a x -=且2x ≠,由题意得不等式组：2-a 032-a 23>≠解得2a <且4a ≠- 思虑：1.若此方程解为非正数呢？答案是若干？2．若此方程无解a 的值是若干？方程总结：1.化为整式方程求根,但是不能是增根.2.依据题意列不等式组.当堂检测1. 解方程11322x x x-=---答案：2x =是增根原方程无解. 2. 关于x 的方程12144a x x x-+=--有增根,则a =-------答案：7 3. 解关于x 的方程15m x =-下列说法准确的是（C ） A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时,方程的解为正数C.当5m <-时,方程的解为负数D.无法肯定4.若分式方程1x a a x +=-无解,则a 的值为-----------答案：1或-1 5.若分式方程=11m x x +-有增根,则m 的值为-------------答案：-1 6.分式方程121m x x =-+有增根,则增根为------------答案：2或-1 7.关于x 的方程1122k x x +=--有增根,则k 的值为-----------答案：1 8.若分式方程x a a a+=无解,则a 的值是----------答案：0 9.若分式方程201m x m x ++=-无解,则m 的取值是------答案：-1或1-210.若关于x 的方程(1)5321m x m x +-=-+无解,则m 的值为-------答案：6,10 11.若关于x 的方程311x m x x--=-无解,求m 的值为-------答案： 12.解方程21162-x 2312x x x -=---答案67x =- 13．解方程2240x-11x -=-14.解方程221 2525xx x-= -+15.解方程222213339 x xx x--=-+-16.关于x的方程21326x mx x-=--有增根,则m的值-----答案：m=2或-217.当a为何值时,关于x的分式方程311x ax x--=-无解.答案:-2或1。

分式方程的增根与无解问题专题练习一、分式方程的增根问题 1、关于x 的分式方程522x mx x -=++有增根，则m 的值为（ ）．A. 0B. -5C. -2D. -7答案：D解答：原分式方程去分母得：x -5=m ， ∵方程有增根， ∴x +2=0即x =-2， ∴m =-2-5=-7． 选D.2、关于x 的方程1xx --1=()()21a x x +-有增根，那么a =（ ）．A. -2B. 0C. 1D. 3答案：D解答：去分母得：x （x +2）-（x +2）（x -1）=a ， 由分式方程有增根，得到x +2=0或x -1=0， 解得：x =-2或x =1，把x =-2代入整式方程得：a =0，经检验不合题意，舍去； 把x =1代入整式方程得：a =3， 选D3、已知关于x 的方程22x mx +-=3有增根，则m 的值为______． 答案：-4 解答：∵22x mx +-=3， ∴2x +m =3x -6， ∴x =m +6． 又∵有增根， ∴m +6=2， ∴m =-4．4、若分式方程2111x m x x ----=1有增根，则m 的值是______． 答案：3 解答：2111x m x x ----=1， 同乘以x -1得： 2x -（m -1）=x -1， 2x -x =-1+m -1， x =m -2．∵该分式方程存在增根，即x -1=0，x =1， ∴m -2=1， ∴m =3．5、已知关于x 的分式方程1x mx +-=2有增根，则m 的值为______． 答案：-1解答：原方式可化为2（x -1）=m +x ． 当原分式方程有增根时，x =1． 将x =1代入得m +1=0． 解得m =-1． 6、已知关于x 的方程311x kx x ----=2有增根，则增根为______，k 的值为______． 答案：1；-2解答：原方程去分母，整理，得k =-x -1． ∵原方程有增根，而原方程的最简公分母为x -1． ∴由x -1=0可知原方程的增根为x =1． 当x =1时，k =-1-1=-2．因此，原方程的增根为1，k 的值为-2． 故答案为：1；-2． 7、若关于x 的分式方程12x x ++=2mx -有增根，则增根为______． 答案：2或-2解答：∵原方程有增根， ∴最简公分母（x +2）（x -2）=0，解得x=-2或2．故答案为2或-2．8、已知方程21 4x-+2=2kx-有增根，则k=______．答案：1 4解答：原方程去分母，得1+2（x2-4）=k（x+2）①，∵原方程有增根，∴x+2=0或x-2=0，∴x=-2或2．把x=-2代入①，得，方程无解．把x=2代入①，得，1+2×（22-4）=k（2+2），解得k=14．故答案为14．9、若关于x的方程21x x -+25kx x-+=211kx--有增根，则k的值为______．答案：3，6或9解答：去分母，得：x+1+（k-5）（x-1）=（k-1）x ①若x=1为增根，则：1+1+0=k-1，k=3，②若x=-1为增根，则：-1+1-2（k-5）=-（k-1），得：k=9，③若x=0为增根，则：0+1-（k-5）=0，k=6，综上，k的值为3，6或9．10、若关于x 的分式方程2611mx x ---=1有增根，则增根是______． 答案：x =1解答：去分母，得：6-m （x +1）=x 2-1， 移项，得：7-m （x +1）=x 2， 当x =-1时，原方程无解， 则x =1为原方程的增根． 11、关于x 的分式方程12mx x +-=-1有增根，求m 的值． 答案：-12． 解答：方程两边都乘（x -2），得mx +1=-（x -2）， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x -2=0， 解得x =2，当x =2时，2m +1=-（2-2），解得m =-12． 12、若关于x 的方程33x -+29ax x -=43x +有增根，求a 的值．答案：a =-6或a =8．解答：化为整式方程得：3（x +3）+ax =4（x -3）， 整理得ax =x -21，再将x =3，x =-3分别代入ax =x -21中，得a =-6或a =8． 二、分式方程的无解问题 13、关于x 的方程321x x -+=2+1mx +无解，则m 的值为（ ）．A. -5B. -8C. -2D. 5答案：A解答：去分母得：3x -2=2x +2+m ， 由分式方程无解，得到x +1=0， 即x =-1，代入整式方程得：-5=-2+2+m ， 解得：m =-5， 选A.14、若分式方程31xx+=1mx++2无解，则m=（）．A. -3B. -2C. -1D. 0答案：A解答：31xx+=1mx++2，3x=m+2x+2，x=m+2，∵x=-1是原方程的增根，原方程无解，∴m+2=-1，∴m=-3．选A.15、关于x的分式方程23m xx+--1=2x无解，则m的值为（）．A. -1.5B. 1C. -1.5或2D. -0.5或-1.5答案：D解答：23m xx+--1=2x，方程两边都乘以x（x-3），得：x（x+2m）-x（x-3）=2（x-3），整理，得：（2m+1）x=-6，x=-621 m+，∵原分式方程无解，∴2m+1=0或-621m+=3或-621m+=0．解得：x=-0.5或x=-1.5，选D.16、关于x的方程12xx--=1mx-+1无解，则m的值是（）．A. 0B. 0或1C. 1D. 2答案：B解答：解分式方程12xx--=1mx-+1，整理得（x-1}）2}=m（x-2）+（x-1）（x-2），（1-m ）x =1-2m ，当m =1时，整式方程无解； 当m ≠1时，x =121mm--． ∵当x =1或x =2时，x 为原方程的増根， 当x =1时，解得m =0； 当x =2时，方程121mm--=2无解． ∴当m =0或1时，原方程无解， 选B.17、若关于x 的方程323x x --+23mxx+-=-1无解，则m 的值为（ ）．A. 3B. -3C. -53或-1 D. 0答案：C解答：去分母得：3-2x -2-mx =-x +3整理为：（ ）（1+m ）x =-2 该整式方程无解时，原分式方程无解，此时m =-1该整式方程有解，此解恰好是原分式方程的增根，此时m =-53． 18、若分式方程31a x --=2无解，则a =______． 答案：3 解答：31a x --=2， 解得：a =2x +1， ∵x =1时，方程无解， ∴a =2×1+1=3． 19、若方程52m x --+1=12x -无解，则m =______． 答案：4 解答：52m x --=12x --1． 52m x --=()122x x ---．52m x --=32x x --．5-m =3-x ． x =-2+m ．当x =2时，方程无解． ∴-2+m =2． ∴m =4．20、若关于x 的方程3m x -+2=43xx --无解，则m 的值为______． 答案：1 解答：3m x -+2=43xx -- m +2（x -3）=4-x m +2x -6=4-x 3x =10-m∵方程无解，可知x =3． ∴9=10-m ， ∴m =1．21、若关于x 的分式方程1x k x +-=4x+1无解，则k 的值是______． 答案：3或-1解答：化整式方程得：x 2+kx =4x -4+x 2-x ， 化简得：（k -3）x =-4．当k -3=0时，整式方程无解，即k =3时，分式方程无解． 当k -3≠0时，整式方程的解x =43k-为分式方程增根1时， 即k =-1时分式方程无解， ∴k =3或-1．22、若关于x 的分式方程23kx x -+532x-=4无解，则k 的值为______． 答案：8或103解答：去分母，得：kx -5=4（2x -3）， kx -5=8x -12， kx -8x =-7，当k =8时，原方程无解，当k ≠8时，x =78k --， ∵无解， ∴2x -3=0，∴x =32， ∴78k --=32， ∴k =103，综上，k 的值为8或103． 23、关于x 的方程2ax x -=42x -+1无解，求a 的值．答案：a =1或2．解答：方程去分母得：ax =4+x -2， 解得：（a -1）x =2，∴当a -1=0即a =1时，整式方程无解，分式方程无解， 当a ≠1时，x =21a -， x =2时分母为0，方程无解， 即21a -=2，a =2时方程无解， 综上，当a =1或2时，原分式方程无解． 24、已知关于x 的分式方程2211a a x x x x---++=0无解，求a 的值． 答案：a =12，0，-1时，原方程无解． 解答：方程两边同时乘x （x +1），得： ax -（2a -x -1）=0， 整理得（a +1）x =2a -1，当a =-1时，整式方程无解，原分式方程无解； 当整式方程的解是原分式方程的增根时， 将x =0或x =-1代入整式方程，解得a =12或a =0． 综上所述，a =-1，12或0．。

分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，是指解分式方程时，原分式方程去分母后所得的整式方程的解，但这个解并不是原分式方程的解，因为这个解使最简公分母为0 。

增根必须同时满足两个条件：（1）必须是由分式方程转化成的整式方程的根。

（2）此根能使原分式方程的某个分母为零。

分式方程无解包含两种情形：（一）原分式方程化去分母后的整式方程无解；（二）原分式方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原分式方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原分式方程无解．例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．例3若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．例5当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下： 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。