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常用连续型分布性质汇总及其关系1. 常用分布1．1 正态分布（1）若X 的密度函数和分布函数分别为()()()222222(),.,.x t xp x x F x e dt x μσμσ-----∞=-∞<<+∞=-∞<<+∞ 则称X 服从正态分布，记作()2~,,X N μσ，其中参数,0.μσ-∞<<+∞>（2）背景：一个变量若是由大量微小的、独立的随机因素的叠加结果，则此变量一定是正态变量。
测量误差就是由量具零点偏差、测量环境的影响、测量技术的影响、测量人员的心理影响等等随机因素叠加而成的，所以测量误差常认为服从正态分布。
（3）关于参数,μσ：μ是正态分布的的数学期望，即()E X μ=，称μ为正态分布的位置参数。
μ为正态分布的对称中心，在μ的左侧和()p x 下的面积为0.5；在μ的右侧和()p x 下的面积也是0.5，所以μ也是正态分布的中位数。
2σ是正态分布的方差，即2().Var X σ=σ是正态分布的标准差，σ愈小，正态分布愈集中，σ愈大，正态分布愈分散。
σ又称为是正态分布的的尺度参数。
（4）称0,1μσ==时的正态分布(0,1)N 为标准正态分布。
记U 为标准正态分布变量，()u ϕ和()u Φ为标准正态分布的密度函数和分布函数。
()u ϕ和()u φ满足：()()()();1.u u u u ϕϕ-=Φ-=-Φ（5）标准化变换：若()2~,,X N μσ则()~0,1.X U N μσ-=（6）若()2~,,X N μσ则对任意实数a 与b ，有()(),()1(),()()(),b P X b a P a X b a P a X b μσμσμμσσ-≤=Φ-<=-Φ--<≤=Φ-Φ0.6826,1,()()()0.9545,2,.0.9973, 3.k P X k k k k k μσ=⎧⎪-<=Φ-Φ-==⎨⎪=⎩（7）特征函数 22()exp{}.2t t i t σϕμ=-（标准正态分布2()exp{}2t t ϕ=-）1.2.均匀分布（1）若X 的密度函数和分布函数分别为1().0a x b P x b a else ⎧<<⎪=-⎨⎪⎩ 0,,(),.1,.x a x a F x a x b b a x b <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩ 则称X 服从区间(,)a b 上的均匀分布，记作()~,.X U a b（2）背景：向区间(,)a b 随机投点，落点坐标X 一定服从均匀分布(),.U a b（3）()2(),().212b a a b E X Var X -+==（4）特征函数().()itb itae e t b a itϕ-=- 1.3. 指数分布（1）若X 的密度函数和分布函数分别为,0,()0,.x e x P x else λλ-⎧≥=⎨⎩ 1,0,().0,.x e x F x else λ-⎧-≥=⎨⎩ 则称X 服从指数分布，记作()~,X Exp λ其中参数0.λ>（2）背景：若一个元器件（或一台设备、或一个系统）遇到外来冲击时即告失败，则首次冲击到来的时间X （寿命）服从指数分布，很多产品的寿命可认为服从或者近似服从指数分布。
常用的连续概率分布如下：（1）正态分布。
其特点是密度函数以均值为中心对称分布，这是一种最常用的概率分布，其均值为，方差为，用表示。
当，时，称为标准正态分布，用N(0，1)表示。
正态分布适用于描述一般经济变量的概率分布，如销售量、售价、产品成本等。
（2）三角型分布。
其特点是密度数是由最大值、最可能值和最小值构成的对称的或不对称的三角型。
适用描述工期、投资等不对称分布的输入变量，也可用于描述产量、成本等对称分布的变量。
（3）β分布。
其特点是密度函数为在最大值两边不对称分布，适用于描述工期等不对称分布的变量。
（4）经验分布。
其密度函数并不适合于某些标准的概率函数，要根据统计资料及主观经验估计的非标准概率分布，它适合于项目评价中的所有各种变量。
（5）指数分布。
指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、无线电元器件寿命等等。
指数分布的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。
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